北师大版高中数学必修4第三章数乘向量教学设计

数乘向量

教学目标

一、知识与技能

1、掌握向量数乘运算概念及运算定律，理解向量共线定理。

2、会运用定义、运算律进行有关计算。

二、过程与方法

深入对定理的理解，会运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。

三、情感态度与价值观

由情景引入，由抽象到具体，由难到易，激发学生的数学兴趣，培养学生独立自主，自我发现，自我概括的能力，使得学生在以后的数学学习上能够自由，自主去探索去发现。

教学重点与难点

1.重点：向量数乘运算概念及运算定律，向量共线定理的运用。

2.难点：向量共线、三点共线、直线平行，以及数乘计算的问题。教学准备

多媒体课件、电脑画板

教学过程

一、情景引入

活动一：体会实际，感受新知

在疾风骤雨，雷电交加的晚上，我们都是先看到闪电，后来听到雷声？（展示所找到的关于雷电的影像进行播放）这是因为在同一方

向上光速远远大于声速。经测量,光速大小约为声速的5107.8⨯倍。 活动二：自我实验，学会新知

教师让学生准备小皮筋，自己进行拽拉，固定一边，朝同一方向，两边同时，朝不同方向，看看会发生什么有趣的现象（可以选号码为1-5的同学拍小视频进行讨论）。

组织学生在电脑面板上展示自己所做实验的答案，进行互相讨论以上两个活动有什么异同点。（学生自由在电脑面板进行发言，老师进行总结。）

由以上两个案例分析说明实际中存在这样的向量，他们是共线，而且大小之间存在倍数关系。因此，有必要定义实数与向量积的运算。

二、讲述新知，感悟理解

例如，对于向量3a ρ，我们都知道3个a ρ相加（可进行画图讲解），

即3a ρ=a ρ+a ρ+a ρ.由向量的加法的意义可知，3a ρ仍是一个向量，它的长度为a ρ的三倍，方向与a ρ相同；

向量-3a ρ是3a ρ的相反向量，他的长度与3a ρ相同，也是a ρ的3

倍，它的方向与a ρ 的方向相反。

三、新知概括，深入探究

1、a ρ请大家画出非零向量a ρ，并且做出3a ρ与0a ρ,-2a ρ,. a ρ。 (按照学生的编号，让5-10号码的同学进行回答。）

一般的，实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作a ρλ。它的长度为a a ρρλλ=。

它的方向：当0>λ时，a ρλ与a ρ的方向相同；

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当0<λ时，a ρλ与a ρ的方向相反；

当0=λ时，0=a ρλ，方向任意. 2.请大家试着计算a

b a a ρρρρ)23(,3)3(3++）（，，你能从中发现什么？（按照学生的编号，让10-20奇数号码的同学进行回答。） 向量数乘运算满足如下运算律：

特别地： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算

3.小题练习。

例1设为a ρ,b ρ为向量，计算下列各式。（按照学生的编号，让10-20偶数号码的同学进行回答。）

（1）-2×3a ρ

（2）2(a ρ-b ρ)-(a ρ+3b ρ)

（3）(2m-n)a ρa -m b ρ-(m-n)(a ρ-b ρ)(m,n 为实数)。

4.由上面的共线，我们根据实数与向量积的定义能大概给出向量共线的判定定理吗？

（按照学生的编号，让20-30奇数号码的同学进行回答。） 定理 a ρ一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ρ=λa ρ，则向量b

ρ()b a b a a a a a ρρρρρρρρρλλλμλμλλμμλμλ+=++=+=)()3()2()(a )1(）（为实数，b

a b a a a ρρρρρρλλλλλ-=--=)()(-）（

与非零向量a ρ共线。

5.上面的定理的逆定理对吗？（按照学生的编号，让20-30偶数号码的同学进行回答。） 定理 若向量b ρ与向量a ρ共线，则存在一个实数λ，使得b ρ=λa ρ。

四、课堂小结

1. 向量积的定义。

2. 向量共线、三点共线、直线平行，以及数乘计算的问题。

五、作业布置

课本第82页第3、4题