相似三角形知识点总结精编版
相似三角形知识点梳理
相似三角形知识点梳理知识点1 有关相似形的概念(1) 形状一样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2) 假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数) ．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质〔1〕定义：在四条线段 d c b a , , , 中，假如 ba和的比等于 d c和的比，那么这四条线段 d c b a , , , 叫做成比例线段，简称比例线段．知识点 4 相似三角形的概念〔1〕定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽” 表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为 1 的相似三角形．〔2〕三角形相似的断定方法1、平行法：〔图上〕平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、断定定理 1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA3、断定定理 2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． SAS4、断定定理 3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似． SSS5、断定定理 4：直角三角形中，“HL”全等与相似的比拟：知识点 5 相似三角形的性质(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2) 相似三角形周长的比等于相似比．(3) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点 7 等积式证明题常用方法归纳：(1) 总体思路: “等积” 变“比例”，“比例” 找“相似”(2) 找相似：通过“横找”“竖看” 寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，可以组成三角形，并且有可能是相似的，那么可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(3) 找中间比：假设没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上) ，那么需要进展“转移” (或“交换” ) ，常用的“交换” 方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相似找不到，找中间比。
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
精编初三《相似三角形》知识点总结：数学篇
精编初三《相似三角形》知识点总结：数学
篇
所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法有：
平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两
个直角三角形也相似。
射影定理
相似三角形的性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方
有了上文为大家总结的相似三角形知识点总结，大家及时提前复习，在考试中一定能取得好成绩。
初三下册数学期中考要点之圆周角
2016初三下册数学期中考要点之圆的对称性。
相似三角形知识点归纳(全)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质E BD DB C(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点整理
初中数学相似三角形知识库相似三角形知识点整理一、定义
相似三角形是指两个三角形之间的几何关系，它们的边都是可以比拟的，只不过比例不同，这个比例就是相似比例。
二、定理
1、相似三角形定理：同一个平面中的两个三角形如果它们的两个角的对应边比例相等，那么这两个三角形就是相似的。
2、两相似三角形的比例定理：同一个平面上的两个相似三角形，只要知道它们两个角的对应边比例，那么它们其他的边的比例也可以由此求出。
三、性质
1、锐角相似三角形的性质：两个锐角相似的三角形，它们的锐角相同，其余两个角也相同。
2、直角相似三角形的性质：两个直角相似的三角形，它们的直角相同，其余两个角也相同。
3、相似三角形中边及面积之间的关系：两个三角形相似，那么它们的三个边比例也一定是相等的，两个三角形的面积之比等于它们两个侧面的比例之平方。
四、进一步推广
1、直线及平面之间的相似：两条线段之间也有相似性，即它们的比例也可以求出，同样的，两个平面也有相似性，它们的比例也可以求出。
2、圆锥及圆柱之间的相似：圆锥和圆柱是两种各有特点的几何体，它们之间当然也有相似性，它们的比例也可以求出。
3、圆面积的相似：圆的面积之比可以求出。
相似三角形知识点整理精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理 推论(骨干定理)平行线分线段成比例定理(基本定理)应用于△中 相似三角形定理1定理2 定理3 Rt △ 推论推论的逆定理推论角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形知识点归纳
相似三角形知识点归纳1.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。
记作△ABC∽△DEF。
2.相似三角形的判定条件：(1)AA相似判定法：如果两个三角形的两个角相等，则这两个三角形是相似的。
(2)SAS相似判定法：如果两个三角形的对应两边成比例并且夹角相等，则这两个三角形是相似的。
(3)SSS相似判定法：如果两个三角形的对应三条边成比例，则这两个三角形是相似的。
3.相似三角形的性质：(1)对应边成比例：在相似三角形中，对应边的长度之比相等。
即AB/DE=BC/EF=AC/DF。
(2)对应角相等：在相似三角形中，对应角的度数相等。
即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
(3) 对应角的正弦值成比例：在相似三角形中，如果一个角和其对边的正弦值成比例，则另一个角和其对边的正弦值也成比例。
即sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠F。
(4)图形相似：除了三角形外，相似三角形所在的图形也是相似的。
4.角平分线的性质：(1)在相似三角形中，角平分线之间的关系相等。
即角平分线所分的两个角对应的另外两个角也是相等的。
(2)在相似三角形中，角平分线和对应边长成比例。
即角平分线与对应边所分出的线段之比相等。
5.高度的性质：(1)在相似三角形中，高度之间的关系成比例。
即两个相似三角形的高度之比等于对应边长之比。
(2)在相似三角形中，高度与底边成比例。
即两个相似三角形的高度和底边之比等于对应边长之比。
6.面积的性质：(1)在相似三角形中，面积之间的关系成比例。
即两个相似三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。
(2)在相似三角形中，面积与任意一边平方成比例。
即两个相似三角形的面积和任意一边的平方之比等于对应边长之比。
7.相似三角形的应用：(1)根据相似三角形的性质，可以通过测量一个三角形和两条边的比例，计算出另一个三角形的边长和面积。
(2)在地图上，可以利用相似三角形的性质，测量无法直接测量的远距离。
《相似三角形的性质》 知识清单
《相似三角形的性质》知识清单一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值称为相似比。
二、相似三角形的性质1、对应角相等相似三角形的对应角相等，这是相似三角形最基本的性质之一。
也就是说，如果两个三角形相似，那么它们对应的三个角的度数是完全一样的。
2、对应边成比例相似三角形的对应边成比例。
例如，若三角形 ABC 与三角形A'B'C'相似，相似比为 k，则有 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝ AC/A'C' ＝ k。
3、周长比等于相似比两个相似三角形的周长比等于它们的相似比。
设三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，相似比为 k，三角形 ABC 的周长为 L1，三角形A'B'C'的周长为 L2，则 L1/L2 ＝ k。
4、面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。
设三角形 ABC 与三角形A'B'C'相似，相似比为 k，三角形 ABC 的面积为 S1，三角形 A'B'C'的面积为 S2，则 S1/S2 ＝ k²。
5、对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
例如，在三角形 ABC 与三角形 A'B'C'中，AD 和 A'D'分别是 BC 和B'C'边上的高。
因为两个三角形相似，所以 AD/A'D' ＝相似比。
6、相似三角形的传递性如果三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，三角形 A'B'C'相似于三角形A'＇B'＇C'＇，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'＇B'＇C'＇。
(完整版)相似三角形知识点归纳(全),推荐文档
a
（4）等比性质：如果
c
e
m (b d
f
n 0) ，
知识点1 有关相似形的概念
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bd f
n
那么
a c e m
aห้องสมุดไป่ตู้
．
bd f n b
A
D
B
E
(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．
标比等于k或-k.（若位似中心不是原点，则向坐标轴作垂直构造直角三角形，利用相似解决或
是先平移到原点，求出对应点的坐标再平移回去）
(3)一线三等角的变形:
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙龙课反倒是龙卷风前一天我分页符ZNBX吃噶十
特别在三角形中：
BC EF AB DE
BC EF AC DF
AB BC 等. DE EF A
由 DE∥BC 可得： AD AE 或 BD EC 或 AD AE DB EC AD EA AB AC
D
E
知识点 4 相似三角形的概念
B
C
（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示， 读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等， 对应边成比例．
(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这
(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比． (3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
相似三角形知识点归纳(全)
相似三角形知识点归纳(全)相似三角形知识点归纳相似形的概念相似图形是指形状相同的图形，其中最简单的是相似三角形。
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形就是相似多边形。
相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
比例线段的相关概念和性质比例线段是指四条线段a、b、c、d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段就是成比例线段。
比例线段是有顺序的，如果a是b、c、d的第四比例项，那么应得比例式为b/c=d/a。
比例线段有一些性质，例如黄金分割，其中线段AB被分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项，即AC²=AB×BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC≈0.618AB。
还有合、分比性质和等比性质。
比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理是指三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。
在三角形中，由DE∥BC可得AD/DB=AE/EC或者AD/AE=DB/EC，还有其他类似的定理。
注：本文已删除明显有问题的段落，并进行了小幅度的改写。
的三角形，尝试找出它们之间的相似关系。
3)利用相似性质：根据相似三角形的性质，利用对应角相等、对应边成比例等关系进行推导证明。
4)注意细节：在使用相似性质进行证明时，需要注意各个角度、边长的对应关系，以及相似比的顺序等细节问题。
相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形，用符号“∽”表示。
相似三角形对应边的比叫做相似比，对应角相等，对应边成比例。
相似三角形有对应性和顺序性，即把表示对应顶点的字母写在对应位置上，相似三角形的相似比是有顺序的。
需要注意的是，两个三角形形状一样，但大小不一定一样，全等三角形是相似比为1的相似三角形。
判定相似三角形的方法有平行法、AA、SAS、SSS、HL 等。
其中，平行法是指平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
相似三角形知识点
相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
相似三角形知识点归纳
相似三角形知识点归纳下面是关于相似三角形的一些重要知识点的归纳：1.相似三角形的定义：当两个三角形的对应角度相等时，它们称为相似三角形。
记作△ABC∽△DEF。
2.相似三角形的性质：相似三角形具有以下重要性质：-对应角度相等：如果△ABC∽△DEF，则∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。
-对应边长度比相等：如果△ABC∽△DEF，则AB/DE=BC/EF=AC/DF。
-对应高度比相等：如果△ABC∽△DEF，则h₁/h₂=AB/DE=BC/EF=AC/DF，其中h₁和h₂分别为两个三角形的高度。
3.相似三角形的证明方法：-AA相似定理：如果两个三角形的两个角度分别相等，则它们相似。
根据该定理，只需证明两个对应角度相等即可证明两个三角形相似。
-SAS相似定理：如果两个三角形中的一对对应边的比相等，且对应角度相等，则这两个三角形相似。
-SSS相似定理：如果两个三角形的三对对应边比分别相等，则这两个三角形相似。
4.相似三角形的应用：-计算长度比例：根据相似三角形的性质，可以通过已知长度比例的一组相似三角形，来计算其他边的长度比例。
-求解角度：通过已知相似三角形的对应角度相等，可以求解未知的角度。
-计算面积比例：相似三角形的面积比等于边长比的平方。
所以，通过已知相似三角形的边长比，可以计算出面积比。
5.重要的相似三角形定理：-长边分割定理：如果一条直线平行于一个边，且与另外两条边相交，这条直线将三角形分割成两个相似的三角形。
-三角形的垂直角定理：在一个直角三角形中，斜边与任意一个锐角的两个垂直角相等。
总结起来，相似三角形是几何学中一个重要的概念。
通过理解相似三角形的定义、性质、证明方法以及应用，我们可以去解决各种几何问题。
相似三角形的知识点需要掌握好，也是我们在解决几何问题过程中的重要工具。
相似三角形的判定(sss)精编版课件
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么 这两个三角形相似.
简单地说:三边对应的比相等,两三角形相似.
例1： 根据下列条件，判断 ABC和A' B' C ' 是
否相似，并说明理由。 AB 3, BC 5, AC 6, A' B' 6, B' C ' 10, A' C ' 12. AB 3 1 BC 5 1 , , 解：∵ A' B ' 6 2 B ' C ' 10 2 AC 6 1 A' C ' 12 2 AB BC AC ∴ A' B ' B ' C ' A' C '
∴
ABC ∽ A' B ' C '
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’是否 相似，并说明理由． AB=4 cm,BC=6cm,AC=8cm,
A’B’=12cm,B’C’=18cm,A’C’=21cm.
AB 4 1 BC 6 1 ( 2) , , A' B ' 12 3 B' C ' 18 3 AC 8 . A' C ' 21 AB BC AC . A' B ' B ' C ' A' C '
与 A E C
∴
1 1 1 ∴ DE= BC,DF= AC,EF= AB 2 2 2 1 DE DF EF
BC AC AB
2
∴ △ABC∽△DEF
A 已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线。 D (1)请找出图中的相似三角形。 B E F C
相似三角形性质精编培优专题
相似三角形性质精编培优专题1. 相似三角形的定义相似三角形是指有相同形状但可能不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比值相等。
2. 相似三角形的性质2.1. 相似三角形的内角性质相似三角形的内角都相等。
这意味着如果两个三角形是相似的，它们的对应角度一定相等。
2.2. 相似三角形的边比例性质相似三角形的对应边的长度比例相等。
即如果两个三角形相似，则它们对应边的长度比例一定相等。
2.3. 相似三角形的周长比例性质如果两个三角形相似，那么它们的周长之比等于它们对应边的长度比例。
2.4. 相似三角形的面积比例性质如果两个三角形相似，那么它们的面积之比等于它们对应边长度之比的平方。
3. 相似三角形的应用3.1. 测量无法直接获取长度的物体相似三角形的边比例性质可以应用于测量无法直接获取长度的物体。
通过找到相似的三角形，并测量其中一个三角形的边长，可以计算出其他三角形的边长。
3.2. 解决实际问题相似三角形的性质可以帮助我们解决实际生活中的问题。
例如，可以利用相似三角形的面积比例性质来计算建筑物的高度、大树的高度等。
4. 相似三角形的重要定理4.1. AAA相似定理如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。
4.2. AA相似定理如果两个三角形的两个角分别相等，并且两个角之间的对应边分别成比例，那么它们是相似的。
4.3. SAS相似定理如果两个三角形的两个对应边的比例相等，并且夹角的角度相等，那么它们是相似的。
5. 总结相似三角形是几何学中一个重要的概念。
通过研究相似三角形的性质和定理，我们能够应用它们解决实际问题，并更深刻地理解三角形的特性和关系。
相似三角形的性质包括内角性质、边比例性质、周长比例性质以及面积比例性质。
此外，AAA相似定理、AA相似定理和SAS 相似定理是判断三角形相似的重要依据。
希望通过本文档的介绍，读者能够对相似三角形有更清晰的认识，并能应用它们解决实际问题。
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)相似三角形基本知识点+经典例题一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
它们的对应角度相等，对应边长成比例。
以下是相似三角形的基本知识点和性质：1. 相似三角形的定义：如果两个三角形对应角相等，且对应边成比例，则它们是相似三角形。
2. 相似三角形的性质：a. 对应角相等：两个相似三角形的对应角是相等的。
b. 对应边成比例：两个相似三角形的对应边的比值相等。
3. 相似三角形的判定条件：a. AA判定：如果两个三角形的两对对应角相等，则它们是相似三角形。
b. AAA判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。
二、相似三角形的比例关系相似三角形的对应边长之间存在一定的比例关系。
如果两个三角形是相似的，则对应边的比值相等。
以∆ABC∼∆DEF为例，A与D为对应顶角，AB与DE、BC与EF、AC与DF分别为对应边长。
则有以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用，下面通过一些经典例题来进一步了解相似三角形的应用。
例题一：已知∆ABC与∆DBC是相似三角形，AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm, DB = 2cm，求DC的长度。
解析：根据相似三角形的性质，可以得到以下比例关系：AB/DB = AC/DC3/2 = 5/DCDC = 10/5 = 2cm因此，DC的长度为2cm。
例题二：在平行四边形ABCD中，∠B的度数是∠D的度数的2倍。
若AB= 10cm，BC = 15cm，求AD的长度。
解析：由于ABCD是平行四边形，所以∠B = ∠D。
根据题目条件可得：∠B = 2∠D∠B + ∠D = 180°（平行四边形的内角和为180°）将∠B代入上式得：2∠D + ∠D = 180°3∠D = 180°∠D = 60°由相似三角形的性质可得AB/AD = BC/CD，代入已知值可得：10/AD = 15/CD将CD表示为AD的式子，并代入已知条件可得：10/AD = 15/(2AD)10AD = 30AD = 3cm因此，AD的长度为3cm。
《相似三角形的判定》 知识清单
《相似三角形的判定》知识清单相似三角形是初中数学中的重要内容，它在解决几何问题和实际应用中都有着广泛的用途。
下面为大家梳理相似三角形的判定相关知识。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比。
二、相似三角形的判定方法1、两角分别相等的两个三角形相似这是判定相似三角形最常用的方法之一。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似当两个三角形两组对应边的比相等，并且它们所夹的角相等时，这两个三角形相似。
比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果\（＼frac{AB}｛A'B'｝＝＼frac{AC}｛A'C'｝＼），且∠A ＝∠A'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，＼（＼frac{AB}｛A'B'｝＝＼frac{BC}｛B'C'｝＝＼frac{AC}｛A'C'｝＼），则三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
三、相似三角形判定的应用1、证明两个三角形相似在几何证明题中，常常需要通过上述判定方法来证明两个三角形相似，从而得出相关的角相等或边成比例的结论。
2、求解未知边的长度当已知两个相似三角形的相似比和其中一些边的长度时，可以通过相似三角形对应边成比例的性质来求解未知边的长度。
九年级数学相似三角形知识点汇总参考(搜集整理全面细致)
九年级数学相似三角形知识点汇总参考一、比例线段及比例的性质1.比例线段：（1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.（2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．（3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．2.比例的性质(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质: 或(4)合比性质:(5)等比性质: 且3.平行线分线段成比例定理（1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.（2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.（3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.（6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形：这三个基本图形的用途是: 1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l 1//l 2//l 3，则或或或 基本图形(2): 若DE//BC ，则或或或 基本图形(3): 若AC//BD ，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置. 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC. 基本图形(3):若,,,,,之一成立，则AC//DB.4.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.二、黄金分割 1.黄金分割是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC 2＝AB·BC)，C 点为黄金分割点. 2.黄金分割的求法 ①代数求法：已知：线段AB ，求作：线段AB 的黄金分割点C.分析：设C 点为所求作的黄金分割点，则AC 2＝AB·CB，设AB ＝，AC ＝x ，那么 CB ＝－x ， 由AC 2＝AB·CB，得：x 2＝·(－x)＝0， 根据求根公式，得：x ＝整理后，得：x 2＋x －∴(不合题意，舍去)，即AC ＝AB≈0.618AB， 则C 点可作.②黄金分割的几何求法（尺规法）：已知：线段AB ， 求作：线段AB 的黄金分割点C. 作法：如图：(1)过B 点作BD ⊥AB ，使BD ＝AB.(2)连结AD ，在AD 上截取DE ＝DB.(3)在AB 上截取AC ＝AE. 则点C 就是所求的黄金分割点.证明：∵AC ＝AE ＝AD －AB ，而AD ＝∴AC ＝.5-1三、相似三角形 1.相似多边形(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.(2)相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似. (3)相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比. (4)相似多边形的性质①相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． ②相似多边形的周长比等于相似比．③相似多边形的面积比等于相似比的平方． 2.相似三角形（1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. （2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC 和△DEF 相似，可以写成△ABC ∽△DEF ，也可以写成△DEF ∽△ABC ，读作△ABC 相似于△DEF. （3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. ③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. （4）相似三角形的判定：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似.（5）相似三角形应用举例相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识.四、实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义一般的，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 诠释：设P 为一个正数，P 就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；—P 也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2.向量数乘的定义一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）如果时，则：①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；（2）如果时，则：，的方向任意.实数与向量相乘，叫做向量的数乘.n a a nn a a n -n -m a m n a mnk a ka k 0,a 0且≠≠ka ||||||ka k a =ka 0k >ka a 0k <ka a k 0,a=0=或0ka =ka k a（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（3）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设为实数，则：（1）（结合律）；（2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3） （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 诠释：任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.（2）平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.诠释：（1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定.（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立. （3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行. （4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A 、B 、C 三点的共线若存在实数λ，使 .要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.ka m n 、()()m na mn a =()m n a ma na +=+m （+b）=m a a mb +a 0a 0a a a =01a a a=b a m b ma =b m a=m b a a 0≠a 0=b 0=m b ma =a m b ma =b a b a m b ma =⇔AB //BC ⇔AB BC λ=12,e e a 12,λλ1122a e e λλ=+（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．3.用向量方法解决平面几何问题 （1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． （2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算，研究几何元素的关系. ③把运算结果“翻译”成几何关系.12,e e 12,e e 1122a e e λλ=+12,e e。
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相似三角形知识点总结
精编版
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相似三角形知识点总结
1.比例线段的有关概念：
b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2.比例性质：
3.平行线分线段成比例定理：
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l
1∥l
2
∥l
3。
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4.相似三角形的判定：
①两角对应相等，两个三角形相似
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
③三边对应成比例，两三角形相似
④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似
⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
5.相似三角形的性质
①相似三角形的对应角相等
②相似三角形的对应边成比例
③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
④相似三角形周长的比等于相似比
⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方
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整理。