系统数学模型
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第2章系统的数学模型学生版2009
电路网络，已知： 、 、 例1．对于一个简单的 R-L-C 电路网络，已知：R、L、 ． C为常数， u r (t) 为输入电压， u o (t) 为输出电压。 为常数， 为输入电压， 为输出电压。 为常数 要求写出u 的关系方程式。 要求写出 o (t)与u r (t)的关系方程式。 与 的关系方程式 1.分析系统组成，确定输入变量为u (t)，输出变量为u (t)。 1.分析系统组成，确定输入变量为u r (t)，输出变量为u o (t)。 分析系统组成 2.根据电路中的基尔霍夫定律，得： 根据电路中的基尔霍夫定律， 根据电路中的基尔霍夫定律
则当t→∞ →∞时 上述分量→ 系统是稳定的，极点决定了系统的稳定 稳定性 若p<0或σ<0, 则当 →∞时，上述分量→0，系统是稳定的，极点决定了系统的稳定性。 或 极点决定系统响应中的自由运动模态即“通解”这是系统“固有”的成分。 极点决定系统响应中的自由运动模态即“通解”这是系统“固有”的成分。 零点并不形成自由运动模态，但却影响各模态在总响应中所占的比重，影响曲线的形状。 零点并不形成自由运动模态，但却影响各模态在总响应中所占的比重，影响曲线的形状。 四、传递函数的性质 1.传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态特性，它只与系统的结构 传递函数表示系统传递输入信号的能力， 传递函数表示系统传递输入信号的能力 反映系统本身的动态特性， 和参数有关，与输入信号和初始条件无关。 和参数有关，与输入信号和初始条件无关。 2.传递函数是复变量 的有理分式函数，其分子多项式的次数 低于或等于分母多项式的 传递函数是复变量s的有理分式函数 传递函数是复变量 的有理分式函数，其分子多项式的次数m低于或等于分母多项式的 次数n， 次数 ，即m≤n。且系数均为实数。 。且系数均为实数。 3.在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输出时，其传递函数一般也不相同。传 在同一系统中， 在同一系统中 当选取不同的物理量作为输入、输出时，其传递函数一般也不相同。 递函数不反映系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数。 递函数不反映系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数。 4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。 传递函数的定义只适用于线性定常系统。 传递函数的定义只适用于线性定常系统
第2章系统的数学模型02精选全文完整版
的传递函数。
图2-13 油缸－负载系统
解：液压缸的作用力F
F pA
式中p—进油压力
A—液压缸工作面积
该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即
dx
F Bc
kx
dt
式中x —液压缸输出位移
Bc—阻尼系数
K —弹簧刚度
合并以上两式，得液压缸的运动方程式：
dx
Bc
kx Ap
dt
传递函数为
A
4
dt
dt
dt
dt
解：按（2-53）式，则传递函数为
Y ( s)
6s 7
（１） G ( s )
3
X ( s) 5s 2s 2 s 2
（２） G ( s )
Y (பைடு நூலகம்s)
4
4
X ( s) s 2s 3 6s 2 3s 2
二、典型环节的传递函数
bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b0
dt
dx
b1
b0 x
dt
（2-51）
式中，n≥m; an、bm均为系统结构参数所决定的定
常数 。（n，m=0、1、2、3…）
如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉
氏变换后得
an s nY ( s ) an1 s n1Y ( s ) a1 sY ( s ) a0Y ( s )
X(s)=0 系统的特征方程，→ 特征根。
特征方程决定着系统的动态特性。
X(s) 中s的最高阶次等于系统的阶次。
b0
当s=0时 G (0) K 系统的放大系数或增益
a0
！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导
图2-13 油缸－负载系统
解：液压缸的作用力F
F pA
式中p—进油压力
A—液压缸工作面积
该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即
dx
F Bc
kx
dt
式中x —液压缸输出位移
Bc—阻尼系数
K —弹簧刚度
合并以上两式，得液压缸的运动方程式：
dx
Bc
kx Ap
dt
传递函数为
A
4
dt
dt
dt
dt
解：按（2-53）式，则传递函数为
Y ( s)
6s 7
（１） G ( s )
3
X ( s) 5s 2s 2 s 2
（２） G ( s )
Y (பைடு நூலகம்s)
4
4
X ( s) s 2s 3 6s 2 3s 2
二、典型环节的传递函数
bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b0
dt
dx
b1
b0 x
dt
（2-51）
式中，n≥m; an、bm均为系统结构参数所决定的定
常数 。（n，m=0、1、2、3…）
如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉
氏变换后得
an s nY ( s ) an1 s n1Y ( s ) a1 sY ( s ) a0Y ( s )
X(s)=0 系统的特征方程，→ 特征根。
特征方程决定着系统的动态特性。
X(s) 中s的最高阶次等于系统的阶次。
b0
当s=0时 G (0) K 系统的放大系数或增益
a0
！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导
系统的数学模型
虽然许多物理关系常以线性方程来表示，但 是在大多数情况下，实际的关系并非是真正 线性的。即使对所谓的线性系统来说，也只 是在一定的工作范围内或忽略去那些影响较 小的非线性因素所引起的误差，工程上又允 许的话，这一系统就可以作为线性系统来处 理。
饱和非线性
当输入信号在一定范围内 变化时，具有饱和特性的 环节其输入输出呈线性关 系；当输入信号x的绝对值 超出其线性范围后，输出 信号不再随输入信号变化 而保持在一常值上。具有 饱和特性的元件如放大器、 调节器等。
当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件； 当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线 性元件来处理。
死区非线性
y(t)
死区特性又称不灵敏特性，图
中横坐标为输入，纵坐标为输
出。当输入信号在零附近变化 -x O x 时，系统输出为零。
x(t)
只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与 输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调 节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区 很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将 它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态 误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。
间隙非线性
传动机构的间隙也是控制系统
y(t)
中一种常见的非线性特性现象。
在机械传动中，由于加工精度
的限制及运动件相互配合的需
要，总会有一定的间隙存在。 -x 例如齿轮传动，为保证转动灵
O +x x(t)
活不发生卡死现象，必须容许
有少量间隙。
由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮
（其转角为输入信号x(t)）总要转过间隙量2 x的空行
弹簧 k
x1(t ) v1(t )
饱和非线性
当输入信号在一定范围内 变化时，具有饱和特性的 环节其输入输出呈线性关 系；当输入信号x的绝对值 超出其线性范围后，输出 信号不再随输入信号变化 而保持在一常值上。具有 饱和特性的元件如放大器、 调节器等。
当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件； 当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线 性元件来处理。
死区非线性
y(t)
死区特性又称不灵敏特性，图
中横坐标为输入，纵坐标为输
出。当输入信号在零附近变化 -x O x 时，系统输出为零。
x(t)
只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与 输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调 节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区 很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将 它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态 误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。
间隙非线性
传动机构的间隙也是控制系统
y(t)
中一种常见的非线性特性现象。
在机械传动中，由于加工精度
的限制及运动件相互配合的需
要，总会有一定的间隙存在。 -x 例如齿轮传动，为保证转动灵
O +x x(t)
活不发生卡死现象，必须容许
有少量间隙。
由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮
（其转角为输入信号x(t)）总要转过间隙量2 x的空行
弹簧 k
x1(t ) v1(t )
系统数学模型是描述系统输入输出及系统内部变量之间关系的数学表达式
系统数学模型是描述系统输入输出及系统内部变量之间关系的数学表达式
系统数学模型是一种描述系统内部变量之间的数学表达式，它是系统的核心。
这种类型的模型可以有效地分析现有系统的结构及性能，并且可以用于改善系统的设计和性能。
系统数学模型通常是由一组微分或微分方程、简化的函数和一组状态变量来描述的。
这组方程可用来计算系统的输入和输出，以及系统中各参数的行为。
通过求解这组方程，就可以求得系统的性能，从而得以评估系统的质量，并找出问题所在。
系统数学模型帮助人们更好地理解系统，探索它的行为规律，它有助于提高系统的可靠性、稳健性和可控制性。
此外，系统数学模型也可以帮助人们预测系统性能，避免不必要的损失，并有助于精确地合理安排系统的资源。
通过构建系统数学模型，可以实现现代科学技术的自动化控制。
这种模型可以应用于机器人控制、新能源转换、交通系统等方面，大大提高自动化控制系统的精准性和效能。
总之，系统数学模型是一种有效的表达方式，可以帮助我们更好地理解系统，改善系统的设计和性能，为进一步推动现代自动化技术发展做出重要贡献。
机械工程控制基础课件 第2章： 系统的数学模型
统，而闭环控制系统则是指系统中存在反馈环节的控制系统。
控制系统的状态空间模型
要点一
总结词
控制系统的状态空间模型
要点二
详细描述
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的数学模型， 它通过建立系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态 特性。在状态空间模型中，系统的状态变量、输入变量和 输出变量都被表示为矩阵和向量的形式，从而能够方便地 描述系统的动态行为。状态空间模型具有直观、易于分析 和设计等优点，因此在控制工程中得到了广泛应用。
传递函数模型的求解
通过求解传递函数模型中的代数方程或超 越方程，得到系统在给定输入下的输出响 应。
04
控制系统的数学模型
控制系统的定义与分类
总结词
控制系统的定义与分类
详细描述
控制系统的定义是：控制系统是一种能够实现自动控制和调节的装置或系统，它能够根 据输入信号的变化，自动调节输出信号，以实现某种特定的控制目标。控制系统可以分 为开环控制系统和闭环控制系统两类。开环控制系统是指系统中没有反馈环节的控制系
状态空间模型的求解
通过数值计算方法求解状态空间模型中的微分方程或差分方程，得到 系统状态变量的时间响应。
非线性系统的传递函数模型
总结词
传递函数模型的建立、性质和求解
传递函数模型的性质
传递函数模型是非线性的，具有频率响应 特性，可以描述系统在不同频率下的行为
特性。
传递函数模型的建立
通过拉普拉斯变换将非线性系统的微分方 程或差分方程转换为传递函数的形式，从 而建立非线性系统的传递函数模型。
03
非线性系统的数学模型
非线性系统的定义与性质
总结词
非线性系统的定义、性质和特点
非线性系统的定义
控制系统的状态空间模型
要点一
总结词
控制系统的状态空间模型
要点二
详细描述
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的数学模型， 它通过建立系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态 特性。在状态空间模型中，系统的状态变量、输入变量和 输出变量都被表示为矩阵和向量的形式，从而能够方便地 描述系统的动态行为。状态空间模型具有直观、易于分析 和设计等优点，因此在控制工程中得到了广泛应用。
传递函数模型的求解
通过求解传递函数模型中的代数方程或超 越方程，得到系统在给定输入下的输出响 应。
04
控制系统的数学模型
控制系统的定义与分类
总结词
控制系统的定义与分类
详细描述
控制系统的定义是：控制系统是一种能够实现自动控制和调节的装置或系统，它能够根 据输入信号的变化，自动调节输出信号，以实现某种特定的控制目标。控制系统可以分 为开环控制系统和闭环控制系统两类。开环控制系统是指系统中没有反馈环节的控制系
状态空间模型的求解
通过数值计算方法求解状态空间模型中的微分方程或差分方程，得到 系统状态变量的时间响应。
非线性系统的传递函数模型
总结词
传递函数模型的建立、性质和求解
传递函数模型的性质
传递函数模型是非线性的，具有频率响应 特性，可以描述系统在不同频率下的行为
特性。
传递函数模型的建立
通过拉普拉斯变换将非线性系统的微分方 程或差分方程转换为传递函数的形式，从 而建立非线性系统的传递函数模型。
03
非线性系统的数学模型
非线性系统的定义与性质
总结词
非线性系统的定义、性质和特点
非线性系统的定义
系统数学模型建立
di ui = iR + L + u0 dt du0 1 u0 = ∫ idt i = c c dt d 2 u0 du0 代入得: Lc 2 + Rc + u 0 = ui dt dt
外
x-x
c
阻尼力与元件所受合外力 构成平衡力系
阻力F
& -cx+F外 = 0
(3)、弹性元件 、 与阻尼元件相似。 与阻尼元件相似。
2、机械平移系统 、
建立机械平移系统的微分方程时， 建立机械平移系统的微分方程时，一般以 质量元件为研究对象，对其进行受力分析， 质量元件为研究对象，对其进行受力分析，然 后根据受力平衡方程建立微分方程。 后根据受力平衡方程建立微分方程。
第二节系统微分方程的建立 一、步骤
1、分析系统的组成，系统及环节的输入、输出。 、分析系统的组成，系统及环节的输入、输出。 2、建立每个环节输入、输出的函数关系。 、建立每个环节输入、输出的函数关系。 3、对非线性方程线性化。 、对非线性方程线性化。 4、消除中间变量，建立只含有系统输入、输出 、消除中间变量，建立只含有系统输入、 及系统结构性能参数的微分方程。 及系统结构性能参数的微分方程。微分方程的 一般表达式写作
例1：系统如图示，建立系统的微分方程。 ：系统如图示，建立系统的微分方程。 解：
r ∑F = 0 F1 F2 F3 F4 = 0 d 2 x(t ) dx(t ) f (t ) m c kx(t ) = 0 2 dt dt d 2 x(t ) dx(t ) m +c + kx(t ) = f (t ) 2 dt dt
2、举例 、
电路的微分方程。 例1：建立R-C电路的微分方程。 ： 电路如图， 解：R-C电路如图，设电路电流为i
外
x-x
c
阻尼力与元件所受合外力 构成平衡力系
阻力F
& -cx+F外 = 0
(3)、弹性元件 、 与阻尼元件相似。 与阻尼元件相似。
2、机械平移系统 、
建立机械平移系统的微分方程时， 建立机械平移系统的微分方程时，一般以 质量元件为研究对象，对其进行受力分析， 质量元件为研究对象，对其进行受力分析，然 后根据受力平衡方程建立微分方程。 后根据受力平衡方程建立微分方程。
第二节系统微分方程的建立 一、步骤
1、分析系统的组成，系统及环节的输入、输出。 、分析系统的组成，系统及环节的输入、输出。 2、建立每个环节输入、输出的函数关系。 、建立每个环节输入、输出的函数关系。 3、对非线性方程线性化。 、对非线性方程线性化。 4、消除中间变量，建立只含有系统输入、输出 、消除中间变量，建立只含有系统输入、 及系统结构性能参数的微分方程。 及系统结构性能参数的微分方程。微分方程的 一般表达式写作
例1：系统如图示，建立系统的微分方程。 ：系统如图示，建立系统的微分方程。 解：
r ∑F = 0 F1 F2 F3 F4 = 0 d 2 x(t ) dx(t ) f (t ) m c kx(t ) = 0 2 dt dt d 2 x(t ) dx(t ) m +c + kx(t ) = f (t ) 2 dt dt
2、举例 、
电路的微分方程。 例1：建立R-C电路的微分方程。 ： 电路如图， 解：R-C电路如图，设电路电流为i
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
第二章系统数学模型的建立
工质状态 （温度）
工况﹑环境﹑条件 （过热器管长）
时间
建模时多采用分 区集总方法，即将三 维空间的分布参数简 化为一维空间。否则 无法求解。
（4）时间常数差别大
在发电厂中各设备的动态特性不同，其时间常数（动 态响应速度）差别十分悬殊，例如：
汽机甩负荷——转速 烟温——主汽温 燃料——汽压 减温水量——主汽温 时间常数小 响应快
原则2：应建立系统的方框图
方框图——用不同的方框来描述系统的各不同部分， 各个方框之间依据信号的传递关系连接成一个整体，概 括地说明系统的特性。 每个方框——都是由系统的分解而得。 系统的方框图是用来指导系统研究的，它是对系统的 最原则的综合。一般来说，可以根据设备的功能、介质 的性质和过程扣特点把一个系统划分成许多子系统，子 系统又是由许多环节组成的，当不再往下分解时，环节 即为分解的极限，从而确定系统的外部边界和内部边界， 于是整个框图的雏形便形成了。
第二章 系统数学模型的建立
数学模型：——是系统的数学描述，
是系统研究的基础， 是计算机仿真的依据。
2· 建立系统模型的任务 1
（1）确定系统模型的结构 ——定义模型性质、确定模型框架和边界条件、 明确各环节的特性和相互关系。 （2）提供系统模型的数据 ——确定系统中各环节特性的定量关系，确定各 环节相互间的定量关系（即信号传递的定量 关系）。
• 对于已运行的Байду номын сангаас站，如果对原设计进行了改动，对改 动部分应依据改动后的资料。
• 仿真机设计之前尽可能全面地收集到建模所需的资料。
（2）进行初步设计
•初步设计应利用所收集的主要设计资料、根据对仿真机 的要求、按系统和子系统进行。 •初步设计的主要目的：明确仿真范围，绘制仿真系统图。
工况﹑环境﹑条件 （过热器管长）
时间
建模时多采用分 区集总方法，即将三 维空间的分布参数简 化为一维空间。否则 无法求解。
（4）时间常数差别大
在发电厂中各设备的动态特性不同，其时间常数（动 态响应速度）差别十分悬殊，例如：
汽机甩负荷——转速 烟温——主汽温 燃料——汽压 减温水量——主汽温 时间常数小 响应快
原则2：应建立系统的方框图
方框图——用不同的方框来描述系统的各不同部分， 各个方框之间依据信号的传递关系连接成一个整体，概 括地说明系统的特性。 每个方框——都是由系统的分解而得。 系统的方框图是用来指导系统研究的，它是对系统的 最原则的综合。一般来说，可以根据设备的功能、介质 的性质和过程扣特点把一个系统划分成许多子系统，子 系统又是由许多环节组成的，当不再往下分解时，环节 即为分解的极限，从而确定系统的外部边界和内部边界， 于是整个框图的雏形便形成了。
第二章 系统数学模型的建立
数学模型：——是系统的数学描述，
是系统研究的基础， 是计算机仿真的依据。
2· 建立系统模型的任务 1
（1）确定系统模型的结构 ——定义模型性质、确定模型框架和边界条件、 明确各环节的特性和相互关系。 （2）提供系统模型的数据 ——确定系统中各环节特性的定量关系，确定各 环节相互间的定量关系（即信号传递的定量 关系）。
• 对于已运行的Байду номын сангаас站，如果对原设计进行了改动，对改 动部分应依据改动后的资料。
• 仿真机设计之前尽可能全面地收集到建模所需的资料。
（2）进行初步设计
•初步设计应利用所收集的主要设计资料、根据对仿真机 的要求、按系统和子系统进行。 •初步设计的主要目的：明确仿真范围，绘制仿真系统图。
系统的数学模型
系统的数学模型是建立在客观环境系统的基础上的，它反映了评价所涉及的各种环境要素和过程，以及它们之间的相互联系和作用。
这个模型是建立在物理定律和机械定律的基础上的，通过推导可以得到数学模型。
数学模型可以分为静态模型和动态模型，静态模型主要用于静态误差分析，而动态模型则主要用于分析连续系统（微分方程）和离散系统（差分方程）。
系统的数学模型还可以根据目的分为三类：用来帮助对象设计和操作的模型，用来帮助控制系统设计和操作的模型，以及用来进行系统仿真的模型。
在建模过程中，还需要注意掌握好复杂和简单的度，以作合理折中。
系统的数学模型和建模方法
离散时间模型基本种类
差分方程 Z函数 离散状态空间表达式 离散结构框图
返回
➢ 差分方程
T为采样周期，输出变量的初始条件为
➢ Z函数
对式（2.14）两边求Z变换，并设 初始值均为零 ，可得系统的z函数
及其各阶差分的
G(z)
Y(z) U(z)
b'm a'n
zm zn
b'm1 zm1 b'1 z b'0 a'n1 zn1 a'1 z a'0
d n y(t)
d n1 y(t)
dy(t )
an dt n an1 dt n1 a1 dt a0 y(t )
d mu(t )
d m1u(t )
du(t )
bm dt m bm1 dt m1 b1 dt b0u(t )
(m n)
(2.1)
式中，n为系统的阶次，u(t)为系统输入（驱动函数），y(t)为 系统输出，ai, bi 为实常数。
若选取系统的状态变量 x 为
x1 y
x2
x1
dy dt
xn
xn1
d n1 y dt n1
(2.9)
式（2.8）可改写成由下列由n 个一阶微分方程构成的方程组
x1 x2 x2 x3
xn1 xn xn a0 x1 a1 x2 an1 xn u
x1 y
将上式写成矩阵形式，即为能控形式状态方程（2.10），输出方程为（2.12）
x Ax Bu
y
Cx
Du
0 0 0 a0
1 0 0
a1
A 0 1 0
0
an
2
0 0 1 an1 nn
1
差分方程 Z函数 离散状态空间表达式 离散结构框图
返回
➢ 差分方程
T为采样周期，输出变量的初始条件为
➢ Z函数
对式（2.14）两边求Z变换，并设 初始值均为零 ，可得系统的z函数
及其各阶差分的
G(z)
Y(z) U(z)
b'm a'n
zm zn
b'm1 zm1 b'1 z b'0 a'n1 zn1 a'1 z a'0
d n y(t)
d n1 y(t)
dy(t )
an dt n an1 dt n1 a1 dt a0 y(t )
d mu(t )
d m1u(t )
du(t )
bm dt m bm1 dt m1 b1 dt b0u(t )
(m n)
(2.1)
式中，n为系统的阶次，u(t)为系统输入（驱动函数），y(t)为 系统输出，ai, bi 为实常数。
若选取系统的状态变量 x 为
x1 y
x2
x1
dy dt
xn
xn1
d n1 y dt n1
(2.9)
式（2.8）可改写成由下列由n 个一阶微分方程构成的方程组
x1 x2 x2 x3
xn1 xn xn a0 x1 a1 x2 an1 xn u
x1 y
将上式写成矩阵形式，即为能控形式状态方程（2.10），输出方程为（2.12）
x Ax Bu
y
Cx
Du
0 0 0 a0
1 0 0
a1
A 0 1 0
0
an
2
0 0 1 an1 nn
1
描述连续系统的数学模型
描述连续系统的数学模型
连续系统的数学模型可以由多个方程组成,以下是一些常见的连续系统模型:
1. 牛顿第二定律方程:这是一个描述物体运动的方程,它表达了物体的位置和速度随时间的演化,通常写成以下形式:
$dX/dt = -ax$
其中,$X$ 表示物体的位置,$a$ 表示物体的加速度,$t$ 表示物体运动的时间。
2. 热力学方程:热力学方程描述了系统的热力学性质,包括温度的演化和热传导等,通常写成以下形式:
$frac{mathrm{d}T}{mathrm{d}t} =
-kAfrac{mathrm{d}X}{mathrm{d}t}$
其中,$T$ 表示系统的温度,$A$ 表示系统的面积,$k$ 表示热导率,$X$ 表示物体的位置。
3. 电磁学方程:电磁学方程描述了电荷、电流和磁感应等电磁现象的数学模型,可以描述电磁波的传播、电路中电荷的分布等,通常写成以下形式:
$frac{mathrm{d}E}{mathrm{d}t} = -frac{partial V}{partial t}$
其中,$E$ 表示电场强度,$V$ 表示电场的电荷密度,$t$ 表示时间。
4. 波动方程:波动方程描述了声波或波动现象的数学模型,可以描述声波的传播、波动的产生等,通常写成以下形式:
$frac{mathrm{d}^2X}{mathrm{d}t^2} +
frac{mathrm{d}^2theta}{mathrm{d}t^2} = r^2sintheta$
其中,$X$ 表示物体的位置,$theta$ 表示物体的极角,$r$ 表示物体的距离,$t$ 表示时间。
这些方程只是连续系统模型中的一部分,还有很多其他的方程可以用来描述不同的连续系统现象。
机械工程控制基础-系统数学模型
由于：
d 1 A ( H 0 H ) H0 H qi 0 qi dt 2 H0
阻尼
v1 ( t ) x1(t) fC (t)
C
v2 ( t ) x2(t) fC(t)
f C (t ) C v1 (t ) v2 (t ) Cv (t ) dx1 (t ) dx2 (t ) C dt dt dx(t ) C 6 dt
机械平移系统
E Ri
12
电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
电阻 i( t)
R
u ( t) 电容 i( t)
C u ( t)
u(t ) Ri(t )
1 u (t ) i (t )dt C du (t ) i (t ) C Cu dt
13
电感 i( t) L u ( t) R-L-C无源电路网络
消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列
3、 控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
4
质量
fm(t)
m
x (t) v (t) 参考点
2
d d f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) mx dt dt
21
液位系统
A：箱体截面积；
：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决 定的系数，通流面积不变时，为常数。
d A H (t ) H (t ) qi (t ) dt
上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为 非线性系统。
线性系统微分方程的一般形式
chap2 系统的数学模型
线性系统
线性系统可用线性微分方程进行描述
线性微分方程中各阶导数的系数不能是未知函数或变量的非线性函数 线性系统满足叠加原理 例： a2 a1 x a0 x b2u b1u x 非线性系统 非线性系统不能用线性微分方程进行描述 非线性系统不满足叠加定理
例： ml l mgsin 0
控制原理
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4
第二章 系统的数学模型
l1 Q1
H l2 Q2
自动恒温控制系统
水位调节系统
5
控制原理
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第二章 系统的数学模型
控制系统相关概念：
1. 控制器---对被控对象起控制作用装置的总体 2. 被控对象---要求实现控制的机器、设备或生产过程 3. 输出量（被控量）---表现于控制对象或系统的输出端，用于描述 被控对象工作状态的物理量 4. 输入量（给定量）---作用于控制对象或系统输入端，用于表征被 控量的希望运行规律
d 2 x(t ) M f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) 2 dt dx(t ) f (t ) B Kx(t ) dt
控制原理
d 2 x(t ) dx(t ) M B Kx(t ) f (t ) 2 dt dt
14
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第二章 系统的数学模型
19
控制原理
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第二章 系统的数学模型
2.1 物理系统建模
2.1.4 控制系统建模步骤
① 确定系统的输入量与输出量，将系统分解为各简单环节（按功能）
20
控制原理
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第二章 系统的数学模型
线性系统可用线性微分方程进行描述
线性微分方程中各阶导数的系数不能是未知函数或变量的非线性函数 线性系统满足叠加原理 例： a2 a1 x a0 x b2u b1u x 非线性系统 非线性系统不能用线性微分方程进行描述 非线性系统不满足叠加定理
例： ml l mgsin 0
控制原理
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4
第二章 系统的数学模型
l1 Q1
H l2 Q2
自动恒温控制系统
水位调节系统
5
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第二章 系统的数学模型
控制系统相关概念：
1. 控制器---对被控对象起控制作用装置的总体 2. 被控对象---要求实现控制的机器、设备或生产过程 3. 输出量（被控量）---表现于控制对象或系统的输出端，用于描述 被控对象工作状态的物理量 4. 输入量（给定量）---作用于控制对象或系统输入端，用于表征被 控量的希望运行规律
d 2 x(t ) M f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) 2 dt dx(t ) f (t ) B Kx(t ) dt
控制原理
d 2 x(t ) dx(t ) M B Kx(t ) f (t ) 2 dt dt
14
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第二章 系统的数学模型
19
控制原理
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第二章 系统的数学模型
2.1 物理系统建模
2.1.4 控制系统建模步骤
① 确定系统的输入量与输出量，将系统分解为各简单环节（按功能）
20
控制原理
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第二章 系统的数学模型
第二章系统的数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换 输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
第2章 系统的数学模型(拉普拉斯变换)
t
lim f t 的值
1 lim f t lim sF s lim s 0 t 0 s s s s 1
1 lim f t lim sF s lim s 1 t s 0 s 0 s s 1
3 拉普拉斯反变换 对于任何时间连续的时间函数来 说，它与拉普拉斯变换之间保持唯 一的对应关系。 一一对应
1 定义与基本变换
例5 脉冲函数 0, t ,
t 0 t 0
0
dt 1
单位脉冲函数的拉氏变换为 1
L t 1
2 拉普拉斯变换性质
1.线性定理：
Lk1 f1 t k 2 f 2 t k1 L f1 t k 2 L f 2 t
k13
2
s s1 l 1
k1l
kn k2 s s1 s s 2 s sn
k1
1 d l 1 k1l l 1 F s s s1 s s1 l 1! ds
k11 F s s s1 | s s1
4 求解线性微分方程
解：1、对微分方程进行拉氏变换 利用微分定理： 2 ( s 5s 6)Y ( s) s 7 s
2
4、查表求各分式的拉氏反变换 1 1 L 1(t ) 3s 3 1 4 2 t L 4 e s 2
1
2、求系统输出变量表达式 s 7s 2 Y ( s) s( s 2)( s 3)
1 定义与基本变换
例3 斜坡函数
f(t) A t 0 1
At (t 0) f t 0(t 0)
A L f t s2
lim f t 的值
1 lim f t lim sF s lim s 0 t 0 s s s s 1
1 lim f t lim sF s lim s 1 t s 0 s 0 s s 1
3 拉普拉斯反变换 对于任何时间连续的时间函数来 说，它与拉普拉斯变换之间保持唯 一的对应关系。 一一对应
1 定义与基本变换
例5 脉冲函数 0, t ,
t 0 t 0
0
dt 1
单位脉冲函数的拉氏变换为 1
L t 1
2 拉普拉斯变换性质
1.线性定理：
Lk1 f1 t k 2 f 2 t k1 L f1 t k 2 L f 2 t
k13
2
s s1 l 1
k1l
kn k2 s s1 s s 2 s sn
k1
1 d l 1 k1l l 1 F s s s1 s s1 l 1! ds
k11 F s s s1 | s s1
4 求解线性微分方程
解：1、对微分方程进行拉氏变换 利用微分定理： 2 ( s 5s 6)Y ( s) s 7 s
2
4、查表求各分式的拉氏反变换 1 1 L 1(t ) 3s 3 1 4 2 t L 4 e s 2
1
2、求系统输出变量表达式 s 7s 2 Y ( s) s( s 2)( s 3)
1 定义与基本变换
例3 斜坡函数
f(t) A t 0 1
At (t 0) f t 0(t 0)
A L f t s2
系统的数学模型
• 大多数实际系统的参数随时间变化并不明显，按 定常系统来处理可保证足够的精确度。
3.1引言-非线性系统
• 不满足齐次性和叠加性的系统，称为非线性系统。 • 虽然许多物理关系常以线性方程表示，但是在大
多数情况下，实际的关系并非真正线性的。 • 许多所谓的线性系统，也只是在一定的工作范围
内保持真正的线性关系。
3.1引言-线性定常系统与时变系统
• 根据系统是否含有参数随时间变化的元件， 自动控制系统可分为时变系统与定常系统两 大类。
• 定常系统：又称为时不变系统，其特点是：
– 描述系统运动的微分或差分方程，其系数均为常数 – 在物理上它代表结构和参数都不随时间变化的这一类系
统 – 反映在系统特性上，系统的响应特性只取决于输入信号
3.2 传递函数
3.2.2 传递函数的说明
• 对于物理可实现系统，分子的次数m 低于分母的次数n ， 且所有系数均为实数。因为实际的物理系统总是存在惯 性，输出不会超前于输入。且各系数都是系统元件参数 的函数，而元件参数只能是实数。
• 传递函数反映系统本身的动态特性，只与系统本身的参 数有关，与外界输入无关。即传递函数只表示输出量与 输入量的关系，是一种函数关系。这种函数关系由系统 的结构和参数所决定，与输入信号和输出信号无关。
的形状和系统的特性，而与输入信号施加的时刻无关。
3.1引言-线性定常系统与时变系统
• 若系统在输入r(t)作用下的响应为y(t) ，当输入延 迟一时间τ，则系统的响应也延迟同一时间τ且形状 保持不变，如下图 所示。定常系统的这种基本特 性给分析研究带来了很大的方便。
线性定常系统特性
3.1引言-线性定常系统与时变系统
1.比例环节
下图为反相运算放大器电路 ui (t) 为输入电压 uo (t) 输出电压
3.1引言-非线性系统
• 不满足齐次性和叠加性的系统，称为非线性系统。 • 虽然许多物理关系常以线性方程表示，但是在大
多数情况下，实际的关系并非真正线性的。 • 许多所谓的线性系统，也只是在一定的工作范围
内保持真正的线性关系。
3.1引言-线性定常系统与时变系统
• 根据系统是否含有参数随时间变化的元件， 自动控制系统可分为时变系统与定常系统两 大类。
• 定常系统：又称为时不变系统，其特点是：
– 描述系统运动的微分或差分方程，其系数均为常数 – 在物理上它代表结构和参数都不随时间变化的这一类系
统 – 反映在系统特性上，系统的响应特性只取决于输入信号
3.2 传递函数
3.2.2 传递函数的说明
• 对于物理可实现系统，分子的次数m 低于分母的次数n ， 且所有系数均为实数。因为实际的物理系统总是存在惯 性，输出不会超前于输入。且各系数都是系统元件参数 的函数，而元件参数只能是实数。
• 传递函数反映系统本身的动态特性，只与系统本身的参 数有关，与外界输入无关。即传递函数只表示输出量与 输入量的关系，是一种函数关系。这种函数关系由系统 的结构和参数所决定，与输入信号和输出信号无关。
的形状和系统的特性，而与输入信号施加的时刻无关。
3.1引言-线性定常系统与时变系统
• 若系统在输入r(t)作用下的响应为y(t) ，当输入延 迟一时间τ，则系统的响应也延迟同一时间τ且形状 保持不变，如下图 所示。定常系统的这种基本特 性给分析研究带来了很大的方便。
线性定常系统特性
3.1引言-线性定常系统与时变系统
1.比例环节
下图为反相运算放大器电路 ui (t) 为输入电压 uo (t) 输出电压
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数学模型的形式
时域（t）
： 微分方程 复域（s）： 传递函数 频域（w）：频率特性
三种数学模型之间的关系
线性系统
传递函数
拉氏 变换
微分方程
傅氏 变换
频率特】RLC电路如下图，分析输入电压ur(t)作用下 电容上电压uc(t)的变化。 R
(2)式两边求导消去中间变量i(t)
duC (t ) d 2 u C (t ) u r (t ) RC LC u C (t ) 2 dt dt
整理成规范形式 (t ) RCuC (t ) uC (t ) ur (t ) LCuC
【例2】建立下面机械平移系统的数学模型 求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。
但实际上有的系统还是了解一部分的，可以分析计
算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系 统的数学模型。 实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般 情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化 但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于 简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求 准确性，使系统的数学模型过于复杂。
Jm：电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量； fm: 电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数
微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运 动，必须列写系统的微分方程。
列写微分方程的基本步骤：
1) 确定系统的输入量和输出量 2) 将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传 递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各 环节的线性化原始方程。
3) 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分 方程式，并且化为标准形式（与输入量有关的项写在 方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方 程两端变量的导数项均按降幂排列）
2.数学模型的研究意义
能够比定性分析更加精细准确，从理论上对系统的性 能进行定量的分析和计算。 许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运 动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示。 以一个模型分析一类系统。
3.数学模型的种类
静态模型：静态条件下各变量之间的关系 动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程
La + ua ia
Ra
-
Ea +
SM
+ uf -
负载
m
Jm f m
(1) 根据基尔霍夫定律，电枢绕组的电压平衡 方程式为 其中
dia (t ) ua (t ) La Ra ia (t ) Ea (t ) dt
Ea (t ) Cem (t ),电枢反电势, 其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压相反
微分方程数学模型的标准形式
讨论：
(t ) RCuC (t ) uC (t ) ur (t ) LCuC
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械 平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完 全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同 的数学模型来描述。（相似系统）
F ma
a x(t ) F F (t ) F1 F2
F (t ) kx(t ) fx(t ) mx(t )
机械平移系统的微分方程为：
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
注意：写微分方程时，常习惯于把输出写在方程 的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由 高到低排列 。
【例3】 求电枢控制直流电动机的微分方程。
电枢电压ua(t)作为输入量，电机转速ωm(t)作为输 出量. Ra La 分别是电枢电路的电阻和电感；Mc是 折合到电动机轴上的总负载转矩。
La Ra
-
+
ua -
+ uf SM
ia
Ea +
负载
m
Jm
fm
注：电能转化为机械能，由输入的电枢电压ua在电枢回路中产生电枢电流ia， 再由ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩Mm，从而带动负载运动。
§信息控制类专业重要的专业基础课之一§
自动控制原理
——第二章系统数学模型
第二章 控制系统的数学模型
2-1 引言 2-2 微分方程（时域模型） 2-3 传递函数（复域模型） 2-4 结构图和信号流图（图形描述） 2-5 小结
§2-1 引言
1.数学模型的概念
描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系统分析 与设计的基础。
+
L
+
ur(t)
_
i(t)
C
uc(t)
_
R
L C
依据电学中的基尔霍夫定律
ur(t) di (t ) ur (t ) Ri (t ) L uc (t ), （） 1 dt i(t)
uc(t)
1 uC (t ) i (t ) dt , C
(2)
duC (t ) i (t ) C dt
Ce是反电势系数
La + ua ia
Ra
-
Ea +
SM
+ uf -
负载
m
Jm f m
(2) 电磁转矩 Mm与电枢电流成正比：
M m (t ) Cmia (t )
C m 为转矩系数
(3) 电机轴上的转矩平衡方程式为
dm (t ) Jm M m (t ) M c (t ) f mm (t ) dt
k
F(t)
x(t)位移
m
弹簧
阻尼系数f 阻尼器
首先：确定输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据
牛顿第二定律
弹簧的弹力F 1 kx(t ) 阻尼器的阻力F2 fx(t )
F(t) F1(t) x(t)位移
F ma
k
弹簧
m
F2(t)
阻尼系数f 阻尼器
F1为弹簧弹力，方向与运动方向相反，大小与位移成比例，K是弹性 系数。F2是阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反，大小与运动 速度成比例；f是阻尼系数。
4.数学模型的建立方法
分析法（白箱模型） 对系统各部分的运动机理进行分析，根据物理、化 学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛 顿定律、热力学关系等等 实验法（黑箱模型） 人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用 恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系 统辨识
综合法（灰箱模型）