阶段有三种定义：一种是古典概率,一种是几何概率,另一
概率论abc
概率论abc概率论是一门研究随机现象规律的数学学科。
其研究内容涉及到随机事件的概率、随机变量及其分布、极限理论等方面。
A-随机事件和概率随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
例如：掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上都是可能事件，因为在掷的过程中，无法确定它将会朝哪个方向翻转。
概率是对随机事件发生的可能性进行度量的数学方法。
概率有三种定义方式：经典概率、几何概率和古典概率。
经典概率是指在随机试验中，每个基本事件出现的次数都是有限的，且每个基本事件出现的可能性相等的情况下，某一事件发生的可能性等于该事件发生的基本事件数与样本空间中基本事件数的比值。
几何概率是指在某些特殊情况下，概率可以用几何图形的面积、长度、体积等形式表示。
例如：掷一枚均匀的硬币，正反面出现的概率相等，可以通过在平面上绘制一个1:1的正方形来表示。
古典概率是指在随机试验中，基本事件出现的可能性不一定相等，但是我们可以通过历史数据或经验得到每种基本事件出现的概率，从而计算某一事件发生的概率。
B-随机变量和分布随机变量是指随机现象中用数值来表示其结果的变量。
例如：掷一枚硬币，正面朝上为1，反面朝上为0，我们可以将这个随机过程用随机变量X=1表示。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。
离散型随机变量的取值为有限个或可数个；连续型随机变量的取值可以是任意实数。
概率分布是指随机变量在各个取值点上的概率。
离散型随机变量的概率分布可以表示为概率质量函数（Probability Mass Function，PMF），连续型随机变量的概率分布可以表示为概率密度函数（Probability Density Function，PDF）。
C-极限理论极限理论是概率论中的重要内容，它涉及到许多基本概念和定理，如大数定律、中心极限定理等。
大数定律是指在随机试验中，当试验次数增加时，随机事件发生的频率趋近于该事件的概率。
例如：我们多次掷硬币，当投掷的次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将逐渐趋近于0.5。
2、概率的几种定义(古典概型)
又1～2000中能被6整除的整数有
个
能被8整除的整数有
个
既能被6整除又能被8整除的整数有 个
于是，所求概率
64
例 将15名新生随机的平均分配到三个班 级中去，这15名新生中有3名是优秀生。
（1）每一个班级各分配到一名优秀生的概 率是多少？
（2）3名优秀生分配在同一个班级的概率 是多少？
65
5
② 从 个元素中取出 个元素，而 不考虑其顺序，称为组合，其组合 的总数为：
6
三、举 例
例1 有一号码锁上有6个拨盘，每个 拨盘有 才能将锁打开。 十个数字，给定 一个6位数字暗码，只有拨对号码时，
问：“一次就能打开”的概率是多
少？
7
解：样本空间中样本点总数为 设 A=“一次就把锁打开” A所含样本点数
则称这个随机试验 为几何型随机
或称几何概型， 称为
的样本空
间，（可以是一维区间、二维区域、
三维区域，它们通常用长度，面积、
体积来度量大小）
A
S
27
定义：设 是一几何概型， 为它 的样本空间， 且A是可度量的， 以 、 分别表示 S 和 A 的 度量。
设 A=“随机点落在区域A内” 则 称为事件A发生的
23
所以事件
包含的样本点数为
所以
24
二、 概率的几何定义 古典概率局限于试验结果的有
限性，对许多试验结果无限的情况，
有时可用几何的方法来解决（注意
这里也要求等可能性）。
25
几何概型 向某一可度量的区域 内投一 点，如果所投的点落在 中任意区
域 内的可能性大小与
正比，而与 试验。
26
的度量成
的位置和形状无关，
高中概率论中一个易错概念
高中概率论中的一个易错概念摘要：在教学中经常碰到不可能事件和必然事件，我们都知道其相应的概率分别是0和1；但概率是0和1时，常有人相应地误以为它们一定对应着不可能事件和必然事件。
本文讨论的就是这种错误思想的成因，和用具体例子来正确认识这个问题。
关键字：概率的统计定义概率的古典定义概率的公里化定义测度概率论是研究自然界、人类社会及技术过程中大量随机现象规律性的一门数学分支。
随着现代科学技术迅速发展，这门学科得到蓬勃发展，在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有越来越多的应用。
但在我们高中阶段引入概率知识后，本人发现很多学生在学习了概率的初步知识后认为“概率是0相应的事件就不发生”，在本人的教学学习活动中也发现不少教师在这一概念上不甚清楚，甚至给出“概率值是1相应的事件必然发生”这样犯了科学性错误的结论。
下面我们先来看两个例子。
例1．抛掷一颗骰子（假设骰子的质地是均匀的），它落地时向上的数可能是1，2，3，4，5，6中六个数字之一，求结果是3的平方的概率。
例2．在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取6件，求取得的6件产品都是次品的概率。
如以上这样的例子，其所求中的事件都是不可能事件，不可能发生的，相应的概率值都是0，因此造成很多人认为“概率是0相应的事件就不发生”。
接下来我们再看两个例子。
例3．在自然数集里任取一个数，求取到的数恰好是2的概率。
例4．在闭区间上任取一个数，求取到的数恰好是的概率。
在这两个例子中，我们很容易得到所求事件的概率都是0。
但是我们也很显然的知道，在例3和例4当中的事件并不是不可能发生的，不是不可能事件，在这两个例题中的事件都有可能发生！“概率是0相应的事件就不发生”这个结论在这两个例题中是错误的！是什么原因造成这种结果呢·其实是我们在教学过程中没有很好的把握概率学中的基本概念，没有深刻理解概率的定义。
其实概率的定义有多种形式,如以下三种定义形式：1.概率的统计定义：在相同的条件下做大量的重复试验，一个事件出现的次数k和总的试验次数n( )之比，称为这个事件在这n 次试验中出现的频率。
高三概率知识点总结
高三概率知识点总结聪明出于勤奋，天才在于积累。
我们要振作精神，下苦功学习。
小编准备了高三概率知识点总结法，希望能帮助到大家。
古典概率与几何概率1、基本事件特点：任何两个基本事件是互斥的;任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。
2、古典概率：具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件出现的可能性相等.P(A)A中所含样本点的个数nA中所含样本点的个数n.3、几何概率：如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的`区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件A的概率为几何概率.几何概率具有无限性和等可能性。
4、古典概率和几何概率的基本事件都是等可能的;但古典概率基本事件的个数是有限的，几何概率的是无限个的.计数与概率问题在近几年的高考中都加大了考查的力度，每年都以解答题的形式出现。
在复习过程中，由于知识抽象性强，学习中要注重基础知识和基本方法，不可过深，过难。
复习时可从最基本的公式，定理，题型入手，恰当选取典型例题，构建思维模式，造成思维依托和思维的合理定势。
另外，要加强数学思想方法的训练，这部分所涉及的数学思想主要有：分类讨论思想、等价转化思想、整体思想、数形结合思想，在概率和概率与统计中又体现了概率思想、统计思想、数学建模的思想等。
在复习中应有意识用数学思想方法指导解题，不可就题论题，将问题孤立，片面强调单一知识和题型。
能力方面主要考查：运算能力、逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题和解决实际问题的能力。
在高考中本部分以考查实际问题为主，解决它不能机械地套用模式，而要认真分析，抽象出其中的数量关系，转化为数学问题，再利用有关的数学知识加以解决。
例1. 一次掷两颗骰子，求点数和恰为8这一事件A的概率。
分析：这实际上是一个等可能事件的概率。
掷两个骰子出现的基本结果如下表：解：表中基本结果36个，而点数为8的有5个，故：P(A)=-评述：本题可归结为掷骰子问题，通过对掷骰子情况的研究得出各种概率数学模型，体现了数学建模的思想：(1)、投掷一颗均匀的骰子，研究出现各种点的情况，这是等可能事件的概率，各点出现的概率为1/6。
高中数学中几种常见的概率模型
高中数学中几种常见的概率模型高中数学中几种常见的概率模型：古典概型、几何概型、贝努利概型、超几何分布概型1、古典概型：也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。
如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的；古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
2、几何概型：是概率模型之一，别名几何概率模型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果都是无限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
一个试验是否为几何概型在于这个试验是否具有几何概型的两个特征，无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型。
3、贝努利模型：为纪念瑞士科学家雅各布·贝努利而命名。
对随机试验中某事件是否发生，实验的可能结果只有两个，这个只有两个可能结果的实验被称为贝努利实验；重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变。
“独立是指是指各次试验的结果是相互独立的。
基于n重贝努利试验建立的模型，即为贝努利模型。
4、超几何分布：是统计学上一种离散概率分布。
它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。
称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。
超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N) 。
概率的定义与发展史
概率的定义与发展史2019-10-27初中阶段我们学习的概率内容⽐较基础，到了⾼中和⼤学阶段，概率内容将进⼀步丰富和深化，为了让同学们对概率知识板块有个全⾯的了解，下⾯就概率的定义和发展史作⼀个简单的介绍.概率论起源于17世纪中叶，但是它的严格化却是在20世纪完成的.在⼏百年的时间⾥，⼈们对概率意义的认识不断深化，下⾯⼏个定义就反映了这种认识的发展.1.古典定义古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古⽼.在数学史上，概率源于赌博.概率论的创⽴正是从研究赌博等问题⼊⼿，建⽴相关的数学模型，并从中逐步抽象出有关概率的⼀些初始概念.17 世纪有个叫保罗的⼈，⼀天他与梅累两个⼈⼀起赌钱，赌注是每⼈拿出6枚⾦币，通过掷骰⼦，先胜三局者得到12枚⾦币.刚赌完三局时，赌博因故不能进⾏，此时保罗胜⼀局，精通赌博的梅累胜了两局.因此，他们对赌注如何分配产⽣了争吵.保罗认为，根据胜的局数，他应得总数的[13]，即4枚⾦币，梅累得总数的[23]，即8枚⾦币.可是梅累却不这样想.于是他们⼀起去请教法国数学家帕斯卡.“赌⾦分配”问题在⼏年⾥⼀直困扰着帕斯卡.经过反复研究，1654年帕斯卡终于取得了令⼈满意的答案，于是他写信把⾃⼰的⼼得告诉了好友（法国数学家费马），从此⼀场更深⼊的讨论在两⼈之间展开了.荷兰数学家惠更斯也对他们研究的问题很感兴趣，他潜⼼研究，于1657年出版了《论赌博中的计算》，该书塑造了概率论的雏形.帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩⼤应⽤等⽅⾯做出了重⼤的贡献.但直到1812年，法国数学家拉普拉斯才在《概率的分析理论》中给出了概率的古典定义：如果试验的全部可能结果只有n（有限数）个，每个结果发⽣的可能性⼤⼩相等，其中 m个结果发⽣时必然导致事件A发⽣，那么分数[mn]叫做事件 A 发⽣的概率，记作P（A）=[mn].古典定义通过简单明了的⽅式定义了事件的概率，并给出了简单可⾏的算法.2 .⼏何定义概率的⼏何定义提供了某种特殊类型的随机试验：试验的⼀切可能结果是⽆限的且等可能的情形.1777 年，法国数学家布丰发表了《或然性算术试验》，⾸先提出并且解决了著名的“布丰投针问题”，开始了⼏何概率的早期研究，形成概率的⼏何定义.试验如下：事先准备⼀组相距为l的平⾏线，⼀根长为[l2]的针，将针随机地投到画了线的平⾯上，假如针与平⾏线相交，则称“扔出有利”.这样随机投若⼲次，此时令⼈惊奇的结果出现了，“扔出有利”的概率为[1π]，如果反复进⾏的次数越多，得到的[π]的值越精确.在数学发展的过程中，圆周率的计算有着举⾜轻重的地位，它曾经是体现⼀个国家数学发展⽔平的重要标志.⽽概率知识可以计算圆周率，对我们⼼灵是⼀个不⼩的震撼.此实验拓宽了⼈们运⽤数学知识解决复杂问题的渠道，它已发展为⼀种新的数学⽅法――统计实验法，也就是著名的蒙特卡罗法.3.统计定义概率的古典定义和⼏何定义都要求在随机实验中基本事件发⽣的可能性相等，但⼈们发现在相同的条件下做⼤量重复试验，⼀个事件发⽣的次数和总的试验次数N之⽐，在试验次数N很⼤时，它的值将稳定在⼀个常数附近.N越⼤，这个⽐值“远离”这个常数的可能性越⼩，这个常数就称为这个事件的概率.这个定义与统计有密切的关系，它建⽴在频率稳定性的基础上，所以称为概率的统计定义.这种概率讨论的对象不再限于随机试验所有可能的结果为等可能的情形，因⽽更具⼀般性.1919年德国数学家冯·⽶塞斯在《概率论基础研究》⼀书中提出了此定义：在相同的条件下，做⼤量重复试验，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在⼀个固定数值的附近摆动，显⽰出⼀定的稳定性，把这个固定的数值定义为这⼀事件的概率.3.公理化定义概率的前三种定义属于“描述性”定义，在叙述中都⽤了“可能性”⼀词，⽽概率恰是关于“可能性”的概念，所以这些定义从理论上看是不严格的，有循环定义之嫌.由于缺乏严格的理论基础，常常被⼈找到⼀些可钻的空⼦，其中最为典型的要算1889年法国数学家贝特兰提出的概率悖论：在半径为1的圆上随机地取⼀条弦，问所取的弦其长超过圆内接等边三⾓形边长的概率是多少？这个提问者给出了三个不同的答案，产⽣的根本原因是三种解法所作的等可能假设是不同的，所对应的样本空间是不同的，它们是三个不同的随机试验. 因此，在样本点为⽆限的情况下，必须对样本空间及样本点作具体限定，概率的公理化定义由此应运⽽⽣.1900年，38岁的希尔伯特在世界数学家⼤会上提出了建⽴概率公理系统的问题，这就是著名的“希尔伯特的23个问题”中的第6个问题，从⽽引导了⼀批数学家投⼊这⽅⾯的⼯作.在概率公理化的研究道路上，苏联数学家柯尔莫哥洛夫的成绩最为显著，1933年他在《概率论基础》中，运⽤集合论和测度论表⽰概率论的⽅法赋予了概率论以严密性.当然理解这个定义，需要⼀定的预备知识，故此处不再赘述.公理化定义作为⼀个数学平台，让⼈们在此基础上进⾏演绎，得到系统的概率论知识体系.这个定义的产⽣是概率论发展史上的⼀座⾥程碑.总之，“概率”概念的建构，经历了古典概率、⼏何概率、统计定义再到公理化定义，体现了概率定义“从简单到复杂、从特殊到⼀般、从具体到抽象”的逐步变化，反映了⼈们对概率的认识所经历的过程.各种定义产⽣的过程，也体现了⼈类认识随机现象所⾛过的艰难曲折的道路，折射着概率发展的不同阶段和⽔平，渗透着丰富的数学化、模型化思想⽅法，蕴含了深刻的辩证哲理.（作者单位：江苏省⽆锡市新安中学）注：本⽂为⽹友上传，不代表本站观点，与本站⽴场⽆关。
概率论思想的历史演变
概率论思想的历史演变一、概述概率论，作为研究随机现象的数学学科，其思想的历史演变跨越了数千年，从古希腊和罗马时期的哲学思考，到中世纪文艺复兴时期的理论探索，再到19世纪的数学化进程，直至20和21世纪的科技应用，逐步形成了现代意义上的完整理论体系。
概率论的起源可以追溯到古希腊和罗马时期，当时哲学家们开始从哲学的角度探讨可能性和偶然性的问题。
例如，亚里士多德提出了两种判断事件可能性的方法：一是基于结论的推导，二是基于实验观测。
在罗马时期，概率理论被应用于实际工程中，如托勒密在巨大工程中应用概率理论进行估算。
进入中世纪，文艺复兴时期的哲学家们将概率的概念引入了哲学论点中，如但丁对可能事件发生概率的探讨，以及随机离散数组的建立。
这一时期，概率理论还发展到了骰子投掷和算术遗传学等领域。
18世纪，概率论的发展进入了一个新的阶段，罗伯特李和耶稣等学者提出了主观概率论和超确定性等思想，为研究不同可能性的情况提供了新的视角。
19世纪，概率论得到了更大的发展，统计学家和数学家如费马、贝尔、马克斯及高斯等人，将概率理论的概念分解为可能性、随机估计及测度论三个基本层次。
这一时期，概率论逐渐形成了完整的理论体系，并被广泛应用于各个领域。
进入20世纪后半叶，随着科技的飞速发展，概率论与统计学的结合越来越紧密，被广泛应用于模拟计算、逻辑思维等领域，实现了高效率的实证分析及预测性研究。
这使得概率论在解决实际问题中发挥了越来越重要的作用，成为了现代科学研究中不可或缺的一部分。
概率论思想的历史演变是一个漫长而不断深化的过程，从早期的哲学思考到现代的数学化、科技化应用，逐步形成了现代意义上的完整理论体系。
这一过程不仅展现了人类对于随机现象认识的不断深化，也体现了科学技术的发展对于概率论思想的推动和影响。
1. 概率论思想的起源和背景概率论，作为数学的一个分支，其思想的形成和演变跨越了数百年，与人类对随机现象的探索和理解紧密相连。
其起源可以追溯到古希腊和古罗马时期，当时机会主义盛行，但由于数字系统和科学思想的限制，概率论并未得到显著发展。
概率论与数理统计-第1章-第2讲-古典概率与几何概率
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
20
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
10
02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
11
02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
5
02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
9
02 古典概率
古典概率与几何概率的区别
古典概型和几何概型的意义和主要区别在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。
几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念，下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍。
一、古典概型和几何概型的意义（一）.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.1.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2.几何概型求事件A的概率公式：P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)（二）古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍1. 古典概型的特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2. 古典概型求事件A的概率公式：P(A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。
三.利用不同概率模型,培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模题组一：情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球，这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？情景4、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里一次摸出2球，问两球异色的概率是多少？说明：第一组题是古典概型，（1）通过解题让学生从多角度理解古典概型的特征；（2）通过作树状图，让学生领略各题之间存在的不同；（3）体会应用古典概型解决实际问题时应注意的事项（如：元素是否重复利用、元素间有无顺序；实验出现的结果确保等可能性）。
古典概率模型和几何概率模型
2 3
16
一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中 去(nN)，则每盒至多有一球的概率是：
P PNn Nn
17
例11 设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概 率1/N落在N(n≤N)个盒子中的每一个盒子里，且每 个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件
的概率：
A={某指定的一个盒子中没有球} B={某指定的n个盒子中各有一个球} C={恰有n个盒子中各有一个球} D={某指定的一个盒子中恰有m个球}(m≤n)
和该点的连线与轴的夹角小于 4 的概率．
解 过原点Ｏ作线段OC，使其与x轴的夹角
为 4.
30
总共有多少个基本事件呢？
C
r m
C
s n
所以，事件A发生的概率为
P( A)
Cmr Cns Crs
mn
12
(2)从中任意接连取出k+1(k+1≤m+n)个球，如果每一 个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。
解 试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个
球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同
m
mn
14
在实际中，有许多问题的结构形式与抽球 问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地 抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个 ，求“被抽出的若干个事物满足一定要求”的 概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的 选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择 抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突 出，而不必过多的交代实际背景。
解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(n≤N),总共 有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。
事件A：指定的盒子中不能放球，因此， n个球中的
概率的概念与计算
概率的概念与计算概率是数学中的一个重要概念，用于描述事件发生的可能性大小。
它可以帮助人们理解和解决很多实际问题，如统计学、风险分析和投资决策等。
在本文中，我们将介绍概率的基本概念及其计算方法。
一、概率的基本概念概率是随机事件发生的可能性大小的度量。
它的取值范围在0到1之间，表示不可能事件到必然事件之间的程度。
其中，0表示不可能事件，1表示必然事件。
随机事件指的是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
例如，抛一枚硬币正面向上的事件，摇一个骰子点数为6的事件等。
二、概率的计算方法1. 古典概率古典概率，又称为经典概率，是指在样本空间中，每个样本发生的可能性相等的情况下，事件发生的概率计算方法。
公式为：事件A发生的概率P(A) = 事件A出现的次数 / 样本空间中总的可能性个数。
例如，抛一枚均匀硬币正面向上的概率为1/2，因为硬币正面朝上和反面朝上的可能性都是1/2。
2. 几何概率几何概率是指通过几何方法计算概率。
它主要用于连续型事件的概率计算。
例如，一个球在圆柱体内均匀随机地取一个点，落入某一小区域的概率就可以通过计算这个小区域的面积与圆柱体的底面积之比来求得。
3. 统计概率统计概率是通过数据统计方法计算概率。
它利用实验的结果来估计事件发生的概率。
例如，通过统计数据得知某个城市每年发生的交通事故数，然后将某个具体的交通事故定义为事件A，通过实际发生的事故数与总事故数的比例来计算事件A发生的概率。
三、常用的概率计算工具1. 事件的互斥与独立互斥事件是指两个事件不可能同时发生，例如掷一枚硬币正面朝上和反面朝上就是互斥事件。
独立事件是指事件之间的发生与否互不影响，例如某班级的学生中抽到男生和抽到女生属于独立事件。
2. 事件的组合与排列组合是指从一组元素中选取若干个元素形成一个子集，组合不考虑元素的顺序。
排列是指考虑元素的顺序，在一组元素中选取若干个元素进行排列。
组合与排列的计算可以根据具体情况选择使用。
概率论简史
2、赌博结束时如何公平分配赌注。
帕斯卡(Pascal)，法国 1623-1662
这二人发展了“古典概型”的定义和计算方法， 提出了“数学期望”这一重要概念。
英文“Probability”(概率) 首次出现于1662年出 版的《波尔·罗亚尔逻辑》一书中。
19
现代概率论
现代(高等)概率论
始于 1933年 柯尔莫戈洛夫 (Kolmogorov)出 版的划时代巨著《概率论基础》。 提出了概率论的公理化结构，明确了概率 的定义和概率论的基本概念，引入了新的 工具——测度论。
1933
现今
柯尔莫戈洛夫 (Kolmogorov)，苏联 1903-1987
20Biblioteka 《机遇与博弈》， 1663年发表，该书约成于 1564年。从道德、理论和实践等方面对赌博作了 全面的探讨。如什么时候宜于赌博，如何判断赌 博是否公正，如何识别和防止赌博中的欺诈，赌 博者的个性对结局的影响等
卡丹诺的著作——《机遇博弈》
《机遇与博弈》对概率史有意义的贡献在 于它与概率概念的形成有关。例如，他明 确指出骰子应为“诚实的”（honest）,意 指6面中都有同等的机会出现,他广泛应用 了如下结果：
分赌本问题
研究成果： 1. S1：S2 帕西奥利(Pacioli) ， 1494年 2. 怀疑找到数学解法的可能性，应有法官解决。
S+S1-S2：S-S1+S2 塔泰格利亚（Tartaglia ）1556年 3. 2S+S1-S2-1:2S-S1+S2-1 法雷斯泰尼，1603年
4.卡丹诺的解法(1539年）
多个诚实的骰子投掷结果有同 等机会，并明确定义胜率是有 利结果与不利结果数之比。
概率初步知识点总结
概率初步知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的一种方法，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的范围在0到1之间，即0≤P(A)≤1。
事件发生的概率越大，表示事件发生的可能性越高，反之亦然。
2.概率的计算方法概率的计算方法有三种：古典概率、几何概率和统计概率。
古典概率适用于实验有限且等可能的情况，计算公式为P(A)=n(A)/n(S)。
几何概率适用于连续随机变量的情况，计算公式为P(A)=S(A)/S(S)。
统计概率是通过观察历史数据得到的概率，通过大量实验的频率来估计概率。
3.事件的独立性与相关性独立事件是指事件A和事件B的发生不会相互影响，即P(A∩B)=P(A)P(B)。
相关事件是指事件A的发生会影响事件B的发生，即P(A∩B)≠P(A)P(B)。
当事件A和事件B独立时，它们的联合概率等于它们的乘积，当事件A和事件B相关时，它们的联合概率不等于它们的乘积。
4.事件的互斥与不互斥互斥事件是指事件A和事件B不能同时发生，即P(A∩B)=0。
不互斥事件是指事件A和事件B可以同时发生，即P(A∩B)≠0。
互斥事件和不互斥事件是概率计算中常见的情况，需要根据具体情况选择合适的计算方法。
5.概率分布和概率密度函数概率分布描述了随机变量的取值与其发生的概率之间的关系，常见的概率分布有均匀分布、正态分布、泊松分布等。
概率密度函数是描述连续随机变量概率分布的一种方法，它在一定区间内的积分值表示了该区间内随机变量的概率。
6.大数定律和中心极限定理大数定律是指在独立同分布的随机变量序列中，随着观测次数的增加，样本平均值趋近于总体均值。
中心极限定理是指在一定条件下，独立同分布的随机变量和足够多的样本之和近似服从正态分布。
大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的定理，它们给出了在大样本条件下随机变量的分布规律。
7.贝叶斯定理贝叶斯定理是一种用于更新概率估计的方法，它通过先验概率和条件概率来计算后验概率。
概率思想的概念
概率思想的概念概率思想是指通过分析和计算事件发生的可能性来了解事件的性质和规律的一种思想方法。
它是现代科学中最基本的数学方法之一，被广泛应用于统计学、物理学、生物学、经济学等各个领域。
概率思想的起源可以追溯到17世纪，由法国数学家布尔巴基（Blaise Pascal）和法国贵族喜帕斯卡（Pierre de Fermat）首次提出。
他们通过研究问题，提出了概率的概念，并发展了一些概率计算的方法。
概率的基本定义是指某个事件发生的可能性大小。
概率的取值范围在0到1之间，即事件不可能发生的概率为0，事件一定发生的概率为1。
如果一个事件的概率为p，那么事件不发生的概率为1-p。
概率思想的核心是通过收集数据、统计分析和数学推理，来确定事件发生的概率。
其中，收集数据是概率思想的基础，通过对大量的观测数据进行统计和分析，可以得到事件发生的概率分布。
统计分析是概率思想的重要方法之一，通过对数据进行加工和分析，可以得到事件发生的规律和趋势。
数学推理则是概率思想的理论基础，通过运用数学方法，可以精确地计算事件发生的概率。
概率思想的应用非常广泛，可以帮助我们理解和预测各种现象。
在统计学中，概率思想被用于描述和分析随机变量的性质，以及进行假设检验和置信区间的构造。
在物理学中，概率思想被用于描述微观粒子的运动和相互作用，以及量子力学中的不确定性原理。
在生物学中，概率思想被用于描述基因的传递和突变，以及进化的过程。
在经济学中，概率思想被用于描述市场的波动和风险，以及进行投资和决策。
概率思想的发展主要经历了两个阶段。
第一个阶段是古典概率学，该阶段的代表人物是布尔巴基和喜帕斯卡。
他们主要研究了和游戏问题，提出了概率的基本概念和一些计算方法。
第二个阶段是现代概率学，该阶段的代表人物是俄国数学家科尔莫戈洛夫（Andrei Kolmogorov）和美国数学家雨果·史坦（Hugo Steinhaus）。
他们通过对概率的严格定义和公理化，为概率思想奠定了坚实的数学基础。
高中概率论中的一个易错概念
高中概率论中的一个易错概念作者：宋圣祥来源：《读写算》2012年第58期摘要：在教学中经常碰到不可能事件和必然事件，我们都知道其相应的概率分别是0和1；但概率是0和1时，常有人相应地误以为它们一定对应着不可能事件和必然事件。
本文讨论的就是这种错误思想的成因，和用具体例子来正确认识这个问题。
关键字：概率的统计定义概率的古典定义概率的公里化定义测度概率论是研究自然界、人类社会及技术过程中大量随机现象规律性的一门数学分支。
随着现代科学技术迅速发展，这门学科得到蓬勃发展，在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有越来越多的应用。
但在我们高中阶段引入概率知识后，本人发现很多学生在学习了概率的初步知识后认为“概率是0相应的事件就不发生”，在本人的教学学习活动中也发现不少教师在这一概念上不甚清楚，甚至给出“概率值是1相应的事件必然发生”这样犯了科学性错误的结论。
下面我们先来看两个例子。
例1．抛掷一颗骰子（假设骰子的质地是均匀的），它落地时向上的数可能是1，2，3，4，5，6中六个数字之一，求结果是3的平方的概率。
例2．在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取6件，求取得的6件产品都是次品的概率。
如以上这样的例子，其所求中的事件都是不可能事件，不可能发生的，相应的概率值都是0，因此造成很多人认为“概率是0相应的事件就不发生”。
接下来我们再看两个例子。
例3．在自然数集里任取一个数，求取到的数恰好是2的概率。
例4．在闭区间上任取一个数，求取到的数恰好是的概率。
在这两个例子中，我们很容易得到所求事件的概率都是0。
但是我们也很显然的知道，在例3和例4当中的事件并不是不可能发生的，不是不可能事件，在这两个例题中的事件都有可能发生！“概率是0相应的事件就不发生”这个结论在这两个例题中是错误的！是什么原因造成这种结果呢·其实是我们在教学过程中没有很好的把握概率学中的基本概念，没有深刻理解概率的定义。
高二上册数学实用知识点
高二上册数学实用知识点高二上册数学实用知识点1.机械振动：机械振动是指物体在平衡位置附近所做的往复运动.2.回复力：回复力是指振动物体所受到的指向平衡位置的力，是由作用效果来命名的.回复力的作用效果总是将物体拉回平衡位置，从而使物体围绕平衡位置做周期性的往复运动。
回复力是由振动物体所受力的合力(如弹簧振子)沿振动方向的分力(如单摆)提供的，这就是回复力的来源。
3.平衡位置：平衡位置是指物体在振动中所受的回复力为零的位置，此时振子未必一定处于平衡状态.比如单摆经过平衡位置时，虽然回复力为零，但合外力并不为零，还有向心力.4.描述振动的物理量：①位移总是相对于平衡位置而言的，方向总是由平衡位置指向振子所在的位置—总是背离平衡位置向外;②振幅是物体离开平衡位置的距离，它描述的是振动的强弱，振幅是标量;③频率是单位时间内完成全振动的次数;④相位用来描述振子振动的步调。
如果振动的振动情况完全相反，则振动步调相反，为反相位.5.简谐运动：A、简谐运动的回复力和位移的变化规律;B、单摆的周期。
由本身性质决定的周期叫固有周期,与摆球的质量、振幅(振动的总能量)无关。
6.简谐运动的表达式和图象：x=Asin(ωt+φ0)简谐运动的图象描述的是一个质点做简谐运动时，在不同时刻的位移，因而振动图象反映了振子的运动规律(注意：振动图象不是运动轨迹)。
由振动图象还可以确定振子某时刻的振动方向.7.简谐运动的能量：不计摩擦和空气阻力的振动是理想化的振动，此时系统只有重力或弹力做功，机械能守恒。
振动的能量和振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。
高二数学上册备考知识点整理一、随机事件主要掌握好(三四五)(1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差;注意差A-B可以表示成A与B的逆的积。
(2)四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律。
(3)事件的五种关系：包含、相等、互斥(互不相容)、对立、相互独立。
二、概率定义(1)统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率;(2)古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件A所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率;(3)几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件A看成这个图形的子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算;(4)公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到[0，1]的映射。
1概率的计算是初中数学统计与概率的难点之一你有哪些
1、概率的计算是初中数学统计与概率的难点之一，你有哪些破解对策？2、完成教学案例：用树状图和列举法求随机事件发生的概率答; 一、概率与统计教学难点分析1、形成“统计观念”学习统计的核心目标就是发展学生的统计观念。
有人以为统计就是分类、计算、填统计表、画统计图，或者是根据统计图回答问题……这些都说明对统计知识的教学出现了偏差。
2、抽样的合理性统计是以样本数据为基础，通过对数据的整理、描述和分析，发现数据的特征或规律，从而对总体的特征作出推断。
所以样本的抽取是否具有代表性，在统计中至关重要。
不同的抽样将产生不同的结论。
怎么能做到有代表性呢？如何抽样更合理，对此学生还存在很多困惑。
3、初中生对统计量的计算不觉得困难，但是如果有较长的时间不使用，大部分学生就会出现遗忘的现象，更甭提灵活运用了，究其原因是对统计量的含义的理解不够到位。
这其中表现最突出的就是方差了。
实质上，只要明确方差的作用是刻画数据的波动状态，认真分析两组数据，就很容易得到乙队的数据波动较大，所以选b选项，根本不需要计算，省时、省力、还不容易出错。
4、建立“随机观念”随机现象是概率与统计部分重要的研究对象，从随机现象中去寻找规律，这对学生来说是一个全新的观念。
特别是如果学生缺乏随机现象的丰富体验，往往很难建立这一观念。
造成概率学习中的困难。
5、概率的抽象性跟过去的精确数学相比较，概率比较抽象，不像前面学的统计量那样，比如说算术平均数，标准差，方差，有对应的公式，代入计算即可。
概率是随机事件发生的可能性的度量。
像长度和面积这些度量都比较直观，对温度的高低在一定范围我们可以感知。
而事件发生的可能性大小的度量，直观看不见，也无法感知。
虽然学生具有一些生活经验，这些经验是学生学习概率的基础，但其中往往有一些是错误的。
逐步消除错误的经验，建立正确的概率直觉是概率教学的一个重要目标。
所以，教师要注重创设情境，让学生在解决实际问题的过程中逐步理解概率。
随机现象与随机事件--初中概率的目标与教学
随机现象与随机事件--初中概率的目标与教学綦春霞【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】4页(P14-17)【作者】綦春霞【作者单位】北京师范大学 100875【正文语种】中文《全日制义务教育数学课程标准(2011版)》(以下简称《标准(2011版)》)在“内容标准”部分提出随机现象与随机事件，并明确了初中概率的目标和要求．那么什么是随机现象和随机事件？初中阶段对概率的目标和内容要求是什么？学生在概率学习中出现的困难有哪些？教学中如何进行针对性教学等，都是一线教师所关注的问题．本文就如上几个方面进行探讨，以期对初中概率教学和概率课程的编排有一定的借鉴．1 随机现象、随机事件与初中概率的目标自然界中的各种现象，如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现哪种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象．如我们通常把硬币上刻有国徽的一面称为正面，现在任意抛一枚质地均匀的硬币，那么可能出现“正面向上”，也可能出现“反面向上”．究竟得到哪一种结果，不可能事先确定，这是一种随机现象．当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不发生，则称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定发生，则称为必然事件；在试验中可能发生、也可能不发生的结果称为随机事件．如某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军，是随机事件；技术非常发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现，是不可能事件．在初中阶段，学生通过概率的学习，能够感受到随机现象在生活中大量存在，体会到数学与社会的联系；通过了解随机现象，可以帮助形成科学的世界观和方法论．此外，概率的游戏性的试验也有助于激发学生的学习兴趣．具体来讲，在该学段，概率学习的总目标有如下四点：一是掌握概率的一些基本的知识和方法，用概率解决一些实际问题；二是运用概率的知识和方法进行推理，并进行交流；三是进一步丰富对概率的认识，知道频率与概率的关系，会计算一些事件发生的概率；四是用随机的观念认识并解释现实世界，能明智地应付变化和不确定性事件．具体来讲，在《标准(2011年版)》中，对于概率内容提出三个方面的具体要求：(1)进一步认识随机现象，感受随机现象的特点；(2)通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率；(3)知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率．这里需要特别指出的是(2)中的简单随机事件，从难度上控制了要求，比如“掷一枚(或一次)均匀的硬币与正多面体”、“摸一个大小和质量相同的球”、“旋转一个(或一次)均匀等分的转盘”等．2 初中概率学习中的难点及其成因概率学习中学生常常存在困难，这些困难一些是由于学科本身的认知特点造成的，另外一些是学生在某些具体的内容方面产生的．2.1 由概率学科本身产生的难点概率属于“不确定性”数学，要寻找随机性中的规律性，学习时主要依靠辨证思维和归纳的方法．但概率在教学中会产生很多难点，这是与概率学研究的对象、思路、方式、结论等都与过去具有“确定性”的代数、几何数学内容有根本的不同有关，具体体现在如下两点：· 研究的对象不同学生以前学习过的代数、几何都是确定性的科学，而概率研究对象——随机现象是不确定的，这种不确定成了学生学习的困难．这里需要指出的是，不确定性有两种情况：一是结果的“非此即彼”，不存在“亦此亦彼”的问题，即这是一种结果出现的偶然性(又叫随机性)问题；二是不确定性并不都是概率研究的对象．模糊数学也研究不确定性．“两个人长得像”的现象也是不确定的，是更复杂的不确定性，把它称为模糊性．下面是模糊数学的一个案例，我们可以从中体会两者的不同．案例1 茶叶的等级现有茶叶等级标准样品五种：A，B，C，D，E，其中反映茶叶质量的因素论域为U，U={条索，色泽，净度，汤色，香气，滋味}．假设各个等级的模糊集为：A={0.5，0.4，0.3，0.6，0.5，0.4}；B={0.3，0.2，0.2，0.1，0.2，0.2}；C={0.2，0.2，0.2，0.1，0.1，0.2}；D={0，0.1，0.2，0.1，0.1，0.1}；E={0，0.1，0.1，0.1，0.1，0.1}．现有一样品，其模糊集为L={0.4，0.2，0.1，0.4，0.5，0.6}，试依据择近原则确定该样本属于哪一等级？由上面的例子可以看出，不确定性的随机性与模糊性是有区别的：随机性的不确定，反映在某事件是否发生，判据是明确的；模糊性的不确定，反映在事件本身的涵义上，判据不分明．· 研究的思路、方式和结论不同数学在研究确定性现象过程中所用的科学推理方式基本上属于演绎推理的方式，由一般到特殊；而概率统计学在研究不确定性现象时，由样本推断总体，使用的是归纳推理，而且是不完全归纳推理．因此，所获得的结果也不像以前学的内容那样“确定无疑”．2.2 初中阶段学生概率学习中存在的具体困难在初中阶段，学生在概率学习中对随机观念的建立、等可能性、概率的统计定义、频率与概率的关系等方面存在困难．(1)随机观念随机观念是用概率的思维去考虑问题．而学生常常将随机现象与无规律联系起来. 案例2 某种“17选5”彩票的获奖号码是5个数字，这5个数字是从1～17这17个数字中选择不重复的数字组成的，如果你选择的5个数字与中奖号码完全相同(顺序可以不同)，那么你就可以获得一等奖．下面几种彩票号码，你觉得最可能获一等奖的是哪组？( )(A)1，2，3，4，5 (B)2，5，8，14，17(C)1，3，5，7，9 (D)以上三种可能性相同很多错误选项都是B．我们进行进一步访谈，学生给出这样一些解释．生1：有十位以下的数字和十位以上的数字，比较平均.生2：这一组数与数之间的差距较大.生3：太有序的数不太容易抽中.生4：尽量无规律．……由此可见，学生将“随机性”等同于“无规律”、“平均”等意义．(2)等可能“等可能”是古典概率非常重要的一个特征，它是古典概率思想产生的前提．正是因为“等可能”，所以才会有了“比率”．因此，“等可能性”和“比率”是古典定义教学中的两个落脚点．而学生在处理较为复杂的概率问题中，有时会忽视古典概率的使用条件——等可能．案例3 请分析以下事件，哪些结果发生的可能性是相同的？ (填序号)①掷一枚硬币，出现正面或者反面；②某运动员射击，击中靶子或者未击中靶子；③将种子种下，发芽或者不发芽；④一个人生病或者不生病；⑤给一个电路通电，线路上的小灯泡亮或者不亮；⑥明天下雨或者不下雨．通过对300名学生测试*“八年级数学素养的测试”,北京师范大学区域健康体检项目,主持人：綦春霞.，答案正确占14%.案例4 某商场促销，设置的两个可以自由转动的均匀转盘都被分成六等份，并分别涂上不同颜色．①任意选一个转盘转动一次,如果指针停止后落在红色区域,则中奖;若停在其他区域，则没有奖品；若停在等分线上，则重新转一次．那么小明选择哪个转盘中奖的概率比较大？( )(A)大转盘 (B)小转盘(C)一样大 (D)不能确定② 若活动改为向转盘投掷飞镖，红色区域仍为中奖区域．那么小明选择哪个转盘中奖的概率比较大？( )(A)大转盘 (B)小转盘(C)一样大 (D)不能确定学生出现了一系列错误，如在问题①中，学生选择B，原因有的是“小盘转的圈数多”，有的认为大转盘中奖的概率大，因为“大转盘面积较大”．在问题②中，有的选择A，原因是面积大的色块投中概率较大．有的选择C，认为大小转盘中奖概率一样大，是因为“转盘都被分为六等分”．(3)概率的统计意义概率在初中阶段有三种定义：一种是古典概率；一种是几何概率；一种是概率的统计定义．对于前两种定义，由于有小学知识的铺垫，学生很容易理解，但恰恰是教材中多为古典概型或几何概型的问题，所以容易造成学生解决概率问题时，默认为是等可能的．所以对于概率的统计定义，学生的理解比较困难．概率的统计定义是在相同的条件下做大量重复实验，一个事件A出现的次数m 和总的实验次数n之比，称为事件A在这n次实验中出现的频率．当实验次数n很大时，频率将稳定在一个常数附近．n越大，频率偏离这个常数较大的可能性越小，这个常数称为这个事件的概率．这个定义与统计有密切的关系，它建立在频率稳定性的基础上，所以称为概率的统计定义．这种对概率讨论的对象不再限于随机实验所有可能的结果为等可能的情形，因而更具有一般性．随着人们观察对象的广泛化，人们越来越认识到，对一个随机事件来说，它发生可能性大小的度量是由它自身决定的，并且是客观存在的，就好比一根木棒有长度，一块土地有面积一样，它就是频率稳定的中心值．概率的统计定义提供了概率的一个可供想象的具体值，并且在实验重复次数n较大时，可用频率给出概率的一个近似值，这一点是概率统计定义最有价值的地方．学生经常出现的错误认识是：既然做多次试验也不一定得到概率准确值，那为什么还做试验？(4)频率与概率的关系频率和概率是两个不同概念，频率与实验的次数有关，而频率的稳定性又说明了概率是一个客观存在的数，是随机事件自身的一个属性，它与实验次数无关．虽然在概率计算中，我们一般用事件发生的频率去代替概率，这与实际并不矛盾，就象测定一根木棒的长度一样，人人皆知木棒有其客观存在的“真实长度” ，但用量具去测量，总会有误差，测得的数值总是稳定在木棒“真实长度”的附近，而得不到木棒的“真实长度”值．事实上，人们一般就用测量所得的近似值去代替“真实长度”，只不过根据实际要求选择精度不同的量具罢了．这里木棒的“真实长度”与测得数值之间的关系完全同概率与频率之间的关系一样．因此，频率既有随机性(每人每次实验都是变化的)，又有规律性(也就是稳定性)，即随机事件发生的频率的稳定值就是概率，人们也就把频率稳定的中心值作为事件发生的概率．于是我们可以说“频率是概率的估计”、“频率的稳定值就是概率”，但不能说“频率的稳定值是概率估计值”．频率的稳定性是概率论的理论基础．3 概率教学中应注意的几个问题3.1 在概率教学中了解学生已有的知识，并针对概率错误给予及时纠正首先在教学中，教师不仅应启发学生寻求问题的答案，而且要解释理由．图2案例5 游乐园中有个名为“找宝藏”的益智游戏，有一个“宝藏”被随意埋在这个图形(图2)的某个区域内．(1)若只允许你选定一个区域进行挖掘，你会选哪一个区域？(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ(2)在问题(1)所选的区域中你一定能挖到宝藏吗？(A)能 (B)不能 (C)不一定问题(2)的正确答案为C．在访谈中笔者发现，有些学生的结果虽然正确，但究其原因，这些学生认为自己之所以选择了正确答案是因为“靠运气，随意选的”．其次，教师要创设丰富、多样化的情境，让学生在变化的情境中体会同一个概率问题，形成恰当的观念．最后，教师应在学生还没有牢固形成这些错误概念之前就培养他们正确的概率概念，加强学生对不确定现象的认真体验，而不是匆忙进入概率计算和套用公式的学习．3.2 重视概率试验的价值和意义概率试验具有重要的价值，教学中，应让学生体会到其价值和意义．首先通过概率试验，有助于学生体会随机现象的特点．在进行试验及对试验数据的分析中，学生将逐渐体会到随机现象的不确定性，以及大量重复试验所呈现的规律性．其次，通过概率试验，可以估计一些随机事件的概率．如抛瓶盖、抛图钉的问题．另外，一些随机事件的概率求解超出学生现有知识水平，也可通过试验获得事件概率的估计值．再次，通过概率试验，有助于学生澄清一些错误认识．如一枚均匀的硬币有正、反两面，因此随意掷出后任何一面朝上的概率都是假如你已经随意投掷了9次，结果都是正面朝上，那么第10次随意掷出后是正面朝上的概率大还是反面朝上的概率大？有的学生会认为，正面朝上的概率大，因为正面朝上出现的次数多；有的学生则认为，反面朝上的概率大，因为前面一直出现的是正面朝上，这次该轮到反面朝上了．3.3 通过比的含义学习来加强对概率计算中算理的理解如前所述，等可能和比是古典概型的两个重要概念，让学生意识到概率中比的含义，并学会用比例计算概率．在其他数学知识的学习中，研究对象都是确定的，结果也是可以求得的.比如代数中的式的运算，几何中的定理“三角形的三条中线交于一点”，“等腰三角形三线合一”等，学生通过折纸和作图可以去获得．但是概率中的计算的意义就并非是显而易见的，即使多次试验也不一定获得结论．因此，教学中要求学生懂得概率计算的算理，学会用比例去表达．案例6 一个盒子中装有红球、白球和黑球共10个，每个球除了颜色其余完全相同，从中任意摸出一球，摸到红球的可能性是20%，摸到白球的可能性是40%，则摸到黑球的可能性是多少？有部分学生的答案是“与白球一样多”．这一答案说明了部分的学生有进行概率计算的意识，但是不能确定地得出具体数字，也没有把不确定的概率与确定的概率值联系起来．我们可以借助于比例的经典案例来说明这一点．案例7 比例的经典案例图3晚上，一辆马车被牵涉进一场交通事故．这个城市共有两家马车公司——绿色马车公司和蓝色马车公司，其中绿色马车占了整个城市马车的85%，而蓝色马车只占15%．据证人说，事故现场的马车是蓝色，而在相同能见度条件下对这个证人的辨认颜色正确率作了测试，结果表明，他的正确辨认率是80%，问事故现场是蓝色马车或绿色马车的概率各是多少?很多人估计事故现场是蓝色马车的概率是或接近80%．比较重视证人的可靠性，这可以解释为直观判断中的典型性，而比较容易忽视基本比例信息(即蓝色马车占15%)．这条信息提醒人们注意，事故现场是蓝色马车的可能性不大．3.4 借助于计算机模拟试验以提高学生的概率素养在用“频率估计概率”这部分的教学中，学生的学习可以借助于计算机模拟试验．在常规的概率教学中，教师用计算机可以直观地表示数据，并且帮助学生学会去探索数据．对于某类不容易进行人工操作或不易实现的试验，计算机模拟试验则更为可行、简易．如计算机模拟掷硬币试验，让学生体会频率的稳定性．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
我认为概率在初中阶段有三种定义：一种是古典概率，一种是几何概率，另一种是概率的统计定义。
对于前两种定义，由于有小学知识的铺垫，学生很容易理解，但恰恰是教材中多为古典概型或几何概型的问题，所以容易造成学生解决概率问题时，默认他是等可能的。
所以对于概率的统计定义，学生的理解比较困难。
但对于概率的统计定义的价值以及它和前两种定义的关系可以从以下几个方面来理解。
在相同的条件下做大量重复实验，一个事件 A出现的次数 m和总的实验次数 n之比，称为事件 A在这 n次实验中出现的频率。
当实验次数 n很大时，频率将稳定在一个常数附近。
n越大，频率偏离这个常数较大的可能性越小，这个常数称为这个事件的概率。
这个定义与统计有密切的关系，它建立在频率稳定性的基础上，所以称为概率的统计定义。
这种对概率讨论的对象不再限于随机实验所有可能的结果为等可能的情形，因而更具有一般性。
例如，掷一枚质地不均匀的硬币，硬币正、反两面向上的可能性会不相等，不能用古典概率而只能用统计方法分析这个问题，如果经过大量重复实验，发现随着实验次数不断增加，硬币正面向上的频率越来越稳定在常数 2/3附近，则可以推断事件 A（硬币正面向上）发生的概率为 P ( A ) = 2/3 。
随着人们观察对象的广泛化 ,人们越来越认识到 , 对一个随机事件来说 , 它发生可能性大小的度量是由它自身决定的 , 并且是客观存在的 , 就好比一根木棒有长度 ,一块土地有面积一样。
它就是频率稳定的中心值。
概率的统计定义提供了概率的一个可供想象的具体值 , 并且在实验重复次数 n较大时 , 可用频率给出概率的一个近似值 , 这一点是概率统计定义最有价值的地方。
概率的统计定义突破了古典概率、几何概率中随机实验要满足“结果等可能”的限制，因而具有一般性，其适用范围也更宽泛。
从理论上说，古典概率、几何概率的概率也能够通过大量重复实验由频率的稳定性得出，即概率的统计定义的适用范围包括“结果等可能”的随机实验。
对于初中学生，只要知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值即可。
为了使高中的学习更轻松，可以设计一些实验，如抛掷瓶盖、硬币、摸球等，使学生从动手实验的过程中体会概率的统计定义。