点的三面投影规律.
2-2 点、线、面的投影特性
2-2 点、线、面的投影特性一、点的投影1、点的三面投影点是组成物体最基本的几何元素。
如图2-9所示，在三投影面体系中，由空间点A（x，y，z）分别向三投影面作正投影，得其三面投影a（x，y）、a′(x，z）、a″（y，z），即过点A分别作三投影面的垂线，其垂足即为点A的三面投影；展开H面和W面，得到点A的三视图：a 、a′长对正，a′、a″高平齐，a 、a″宽相等，如图2-10所示。
图2-9 点的三面投影图2-10 点的三视图例1 ：已知空间点B的两面投影b ，b′，如图2-11所示，求其第三面投影b″。
分析：空间点B的三面投影b 、b′、b″符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。
作图： b′与b″高平齐，b与b″宽相等，则其交点即为b″。
图2-11 求点的第三面投影图2-12 求点的三面投影例2 ：已知空间点D(5,4,3)，如图2-12所示,求其三面投影。
分析：空间点D的三面投影分别为d（x，y）、d′（x，z）、d″（y，z），且符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。
作图：分别在三投影轴上取x1=5，y1=4，z1=3，按“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律分别作直线段，交点即为空间点D的三面投影（d 、d′、d″）。
2、两点的相对位置空间两点的相对位置是指空间两点间前后、左右、上下的位置关系。
两点在空间的相对位置可以根据两点的坐标值来判定，如图2-13所示。
X坐标确定两点的左右位置关系。
X坐标值大的点在左；Y坐标确定两点的前后位置关系。
Y坐标值大的点在前；Z坐标确定两点的上下位置关系。
Z坐标值大的点在上。
图2-13 两点的相对位置故A点在B点的右，后，上方，即B点在A点的左，前，下方。
3、重影点及其可见性判断若空间两点在某一投影面上的投影重合，则称这两点为该投影面的重影点。
此时，这两点位于同一投射线上，且有两个坐标的值分别相等，不等值的坐标之大小可以确定重影点的可见性，即X、Y、Z坐标值大的点分别位于左方、前方、上方，为可见点，如图2-14所示。
点的投影
点的投影与直角坐标的关系
点的投影与直角坐标的关系
【例1-2】已知点A（30，10，20），求作它的三面投影图。 作图步骤： （1）作投影轴； （2）在OX轴上由O向左量取30，得aχ； （3）过aχ作OX轴的垂线，并沿垂线向下量取aχa=10，得a；向上量取 aχa′=20，得a′； （4）根据a、a′，求出第三投影a″。
学习愉快
化工制图及CAD技术
点的投影规律
【例1-1】 作图步骤：
已知点A的正面投影和侧面投影，求作其水平投影。
根据点的投影规律自正面投影a′作OX轴的垂线，过侧面投影a″作 OYW垂线并延长交45°辅助线于一点，过该点作OYH的垂线，与a′所引 的垂线交于a，即得点A的水平投影。
点的投影规律
点的投影规律
2、点的投影与直角坐标的关系
点的投影与直角坐标的关系
两点的相对位置
化工制图及CAD技术
教学目标
认 知 目 标
情 感 目 标
能 力 目 标
了解两点的相 对位置及特点。
培养学生形成规范 的绘图习惯以及规 范的绘图技能。
认识两点的相
对位置及特点。
两点的相对位置
1、两点的相对位置 （1）两点相对位置的判断 空间两点的相对位置可从两点的同面投影中反映出来，如图1-12所示， 或由两点的坐标差来确定。左右相对位置由X坐标确定，XA>XB表示点A在 点B的左方；前后相对位置由Y坐标确定，YA<YB表示点A在点B的后方；上 下相对位置由Z坐标确定, ZA<ZB表示点A在点B的下方。
点的投影
化工制图及CAD技术
教学目标
认 知 目 标
情 感 目 标
能 力 目 标
了解点的投影规律及特点
点、线、面投影关系
空间点对于由V、H和W面组成的投影体系有三种位置关系：（1）当点的x、y、z坐标均不为零时，点的三面投影均落在投影面内；（2）当点的x、y、z坐标有一个为零时，空间点在投影面上，其两个投影落在投影轴上，特别值得注意的是，当点在H面上时，其W面的投影落在Y 轴上，当按三视图的形成方法展开投影体系时，其W面投影随Y轴一起绕Z轴向后旋转落在YW 轴上。
（3）当点的x、y、z坐标均有两个为零时，空间点在投影轴上，其一个投影与原点重合。
点的三面投影规律⑴ 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴。
⑵ 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴。
⑶ 点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离。
［投影面垂直线］空间直线对投影面有三种位置关系：平行、垂直和倾斜。
若空间直线垂直于一个投影面，则必平行于其他两个投影面，这样的直线称之为投影面垂直线，对于垂直于V、H、W面的直线分别称之为正垂线、铅垂线和侧垂线。
投影面垂直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一个点，其他两个投影面上投影平行（或垂直）于投影轴，且反映实长。
若空间直线平行于一个投影面，倾斜于其他两个投影面，这样的直线称之为投影面平行线，按其平行于V、H、W面分别称之为正平线、水平线和侧平线。
投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映实长，其他两个投影面上投影平行（或垂直）于投影轴，且投影线段的长小于空间线段的实长。
一般位置直线和三个投影面均处于倾斜位置，其三个投影和投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长。
从投影图上也不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角。
［投影面平行面］空间平面对投影面有三种位置关系：平行、垂直和一般位置。
若空间平面平行于一个投影面，则必垂直于其他两个投影面，这样的平面称之为投影面平行，对平行于V、H、W面的平面分别称之为正平面、水平面和侧平面。
投影面平行面在其平行的投影面上的投影反映实形，其他两个投影面上投影积聚成一条直线，且垂直于该投影面内的投影轴［投影面垂直面］若空间平面垂直于一个投影面，而倾斜于其他两个投影面，这样的平面称之为投影面垂直面，按垂直于V、H、W面的平面分别称之为正垂面、铅垂面和侧垂面。
第二章 点的投影
例【1-2-3】：已知点A的坐标x=20，y=15，z=10，即： 已知点A的坐标x=20，y=15，z=10， x=20 20，15，10），求作点A的三面投影图。 ），求作点 A（20，15，10），求作点A的三面投影图。 • 【解】：如图1-2-24所示 如图1 24所示
(a)画出投影轴； 画出投影轴； 画出投影轴
（ b）过b作OX轴的 ） 作 轴的 垂线 bbx并延长之 并延长之
（c）过b〞作OZ轴的垂 ） 〞 轴的垂 并延长之， 线b〞bz并延长之，与bbx 〞 并延长之 延长线相交于b′点即为所求 延长线相交于 点即为所求
例【1-2-2】：已知空间点C的H面投影c和V面投影c′， 已知空间点C 面投影c 面投影c′， c′ 求作点C 面投影c 求作点C的W面投影c〞。 • 【解】：如图1-2-22所示， 如图1 22所示 所示，
4
点的投影
1 ．点的三面投影及其规律 1 ） 点的三面投影及其投影标注
如图1-2-19(a)是空间点 三面投影的直观图。图1-2是空间点A三面投影的直观图 如图 是空间点 三面投影的直观图。 19 (b)是三个投影面回转展平后所得点 的投影图。 是三个投影面回转展平后所得点A的投影图 是三个投影面回转展平后所得点 的投影图。
空间点到W面的距离为x坐标； 空间点到W面的距离为x坐标；即：Aa〞=a′az=aaYH=x坐标 空间点到V面的距离为y坐标； 空间点到V面的距离为y坐标；即：Aa′=aax=a〞az=y坐标 空间点到H面的距离为Z坐标； 空间点到H面的距离为Z坐标；即：Aa=a′ax=a〞aYW=Z坐标
• 空间点及投影位置即可用坐标方法表示，如点A的空 空间点及投影位置即可用坐标方法表示， 间位置是： ）；点 间位置是：A（x，y，z）；点A的H面投影是a（x，y， ），点 ，），点 0），点A的V面投影a′（x，0，z，），点A的W面投 ，）。应用坐标能较容易地求作点 影a〞（0，y，z，）。应用坐标能较容易地求作点 的投影和指出点的空间位置。 的投影和指出点的空间位置。
点的投影
10
a
ay
YH
2.5 特殊位置的点的投影
a
y
a
A a
x
a
x
a
y
a
a
投影面上的点
一个坐标为零
2.5 特殊位置的点的投影
a aA
x
a
a a
x
a
投影轴上的点
两个坐标为零
2.5 特殊位置的点的投影
a a aA
a a a
和原点重合的点
三个坐标均为零
3 两点的相对位置和重影点
Z V a az a W
展开后的位置
X
ax O
YW
正面投影：左上方
a H YH
水平投影：正面投影的正下方 侧面投影：正面投影的正右方
2.2 点的三面投影图
Z V a a W
投影面边框一般不画
X
O
YW
a H YH
空白区域
2.2 点的三面投影图
Z a
a
X
O
YW
a
YH
2.3 三投影面体系中点的投影规律
V Z
X H
投影轴 —— X、Y、Z 原 点 —— O
O
W
Y
扬州大学建工学院
2.2 点的三面投影图
Z
Z
V a A X ax O az a W
V a W a X O
W
a
H
ay Y H H
a YH
YW
移去空间点 V面不动 H面连同水平投影绕X轴向下旋转 W面连同侧面投影绕Z轴向右旋转
2.2 点的三面投影图
a
A
x
O ay
z
a H
zA
机械制图-点、直线、平面的投影
在机械制图中，特殊位置点常用于 确定物体的形状和大小，如交点、 切点等。
03 直线投影
直线在三投影面体系中的投影
正投影
直线在正投影面上的投影 与原直线平行或重合，且 长度不变。
侧投影
直线在侧投影面上的投影 与原直线垂直，且高度不 变。
水平投影
直线在水平投影面上的投 影与原直线平行，且长度 不变。
直线上的点的投影特性
点在直线上
点的投影在直线的投影上，且与 原点在同一平面内。
点在直线外
点的投影在直线的投影外，且与 原点不在同一平面内。Leabharlann 两直线的相对位置与投影特性
平行线
两直线在正投影面上的投影平行， 且高度相等。
交叉线
两直线在正投影面上的投影相交， 且高度相等。
垂直线
两直线在正投影面上的投影垂直， 且高度相等。
机械制图-点、直线、平面的投影
目 录
• 引言 • 点投影 • 直线投影 • 平面投影 • 实际应用与案例分析 • 总结与展望
01 引言
主题简介
01
机械制图是工程领域中用于表达 和交流设计思想的一种语言，而 点、直线和平面的投影是机械制 图的基础。
02
本主题将介绍点、直线和平面在 机械制图中的投影原理和方法， 帮助读者更好地理解和应用机械 制图。
投影法概述
投影法是将三维物体转换为二维图形 的方法，是机械制图中的基本技术。
投影法分为中心投影法和平行投影法 ，其中平行投影法又分为正投影法和 斜投影法。
02 点投影
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影
一个点在三投影面体系中分别在H面、 V面和W面上投下影子，形成三个投 影点。
第三章点、直线及平面的投影详解
§3－1 点的投影 §3－2 直线的投影 §3－3 平面的投影
点线面的投影规律
通过上一节的学习及画图实践，可以体会到 画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的 各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱 线是由两个端点决定的。
因此，为了迅速而正确地画出物体的视图， 还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的 投影。
Y
H
向下翻
●a
O
W
ay
Y
a ●
X ax
a●
点的投影规律
Z az
a
●
Z
V a
●
az
O
Y
ay
A
X ax
●
●a
O
W
ay
Y
a●
ay
H
Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
连影垂轴
② aax= aaz= y = A 到 V 面的距离 aax= aay= z = A 到 H 面的距离 aay= aaz= x = A 到 W 面的距离
Z
X
V a′ A
a″ W
a b
a
Z a
b
O
YW
b′
B b″
b
判断方法：
YH
x
ab
H
Y
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
z 坐标大的在上
例2.已知B点在A下10，A后5，A左10 mm处，求B点的三投影。 作图步骤：（1）根据B的相对位置求 其V.H面的投影 b’,b;
（2）根据点的投影规律,求其第三投影 b”。
§3－1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
《机械制图》点的三面投影
MECHANICAL DRAWING
点的投影 二、点的三面投影
1
三投影面体系的建立
2
点的三面投影
3
点的三面投影规律
4 由点的两面投影求第三投影
2
点的投影
1. 三投影面体系的建立
Z
O
Y
三投影面体系是在两投影面体系的基础上，加上一个与H面、V面都垂直的侧立投影面W（简称侧面）所组成。三个投 影面互相垂直相交，它们的交线称为投影轴。V面和H面的交线称为OX轴，H面和W面的交线称为OY轴，V面和W面的交线称 为OZ轴。三个投影轴互相垂直相交于一点O，称为原点,
a
X
ax
a
6
Z a z a
O
YW
ay
ay
YH
a a z
A ax
a
a
ay
aa X轴， a a Z轴， a a z = a ay a ax =aa y a ax = a a z
点的投影
二、点的三面投影
4、由点的两面投影求第三投影
例1：已知点A的正面与侧面投
a
影，求点A的水平投影。
X
Z a
O
YW
a
YH
规定，不可见点的重合投影加一 圆括号。
点的投影Za’Fra bibliotek例.点A在水平面上的投影可见。
b’
X
O
a” b”
YW
a(b)
YH
17
谢谢观看
Thanks for looking
7
点的投影
二、点的三面投影
Z
4、由点的两面投影求第三投影
例2.已知点A的正面与水
a
a
平面投影，求点A的侧面
第四章点线面的投影 (1)
Δy
ΔΖ
β
Δy α 实长
例2 已知直线AB的H投影及a′,其α为30°，求AB的 V投影。
b'
△Z
△Z
α
例3 已知ab，b′，β=30°,求a′b′。 a′
b′
a′b′
b
60°
a
例4 已知AB实长40㎜，点A距V面30㎜，求ab， 问有几解？
例5 已知AB＝40㎜，α＝30°，β=45°，求AB的两投影。
用定比关系,如图中的（2）。
三、交叉两直线—既不平行又不相交的两条 直线
（ 1）
（ 2）
（ 3）
投影特性：交叉两直线的投影可能表现为相互平
行，但不可能所有同面投影均平行，如上图中 （1）;交叉两直线的投影也可能表现为相交，但 同面投影的交点不是真正交点的投影,不满足投影 规律，如上图示（2）、（3）。
例3
求AB、CD的公垂线（或距离）。 a' n' b' n a(b)
距离
c' m'
d'
c
m d
作业：
P21-28。
§4-6 平面的投影
平面的表示方法 平面的分类及其投影特性
一、平面的表示方法
b' a' b a c c' a' b b' c'
a
不在一条直线 上的三个点
c
直线及直线 外一点
a′ b′
a〞 b〞
a b
若zA ＞ zB ，表示A在B之上。
右图中,A在B的左后上方。
重影点及其可见性判定：
如果空间两点恰好位于某一投影面的一条垂 线上，该两点在该投影面上的投影重合为一点， 则称这两点为对该投影面的重影点。
3章点的投影
学习要求§3.1 点的投影§3.2 两点的相对位置第三章点的投影本章目录第3章点的投影点是构成形体的最基本元素，熟练掌握点的投影规律及其它们之间的相互关系，为学习直线、平面、曲线、曲面及立体等打下良好的基础。
本章将讨论本章学习基本要求熟练熟悉两点的相对位置的判别。
能熟练判别重影点的可见性。
3.1.1 点在三面投影体系中的投影如图3－1(a)所示，将空间点Ａ放置在三面投影体系中，通过点Ａ分别向Ｈ面、Ｖ面和Ｗ面作垂直投射线，则三条投射线与三个投影面的交点分别为点Ａ在Ｈ面的投影a；在Ｖ面的投影a‘及在Ｗ面的投影a″。
a、a′、a″即为空间点Ａ的三面投影。
展开投影面体系后，如图３－１（b）所示。
动画演示点在三投影面中的表示:空间点用英文大写字母（如A、Ｂ…）表示，其投影用小写字母(如Ｈ面用a、b…)表示,V面投影用相应小写字母并在右上方加一撇(如a′、b′…）表示，W 面投影用相应小写字母并在右上方加两撇（如a″、b″…3.1.2 点的投影特征点在三面投影体系中的投影特征为：１．点的投影连线垂直于相应投影轴，如aa′⊥ox 。
a′a″⊥oz2．点的投影到投影轴的距离等于空间点到相邻投影面的距离。
a′a x = a″a y w=Aaaa x =a″a z =Aa′aa yH =a′a z =Aa″。
由上可知，点到某一投影面的距离等于点在另两投影面上的投影到相应投影轴的距离。
动画演示例3-1 已知点A 的水平投影a 及正面投影a′，求作点A 的侧面投影a″(图3-2a)。
分析：根据点在三面投影体系中投影特征：a′a″⊥oz ；aa x = a″az ，即可求得a″。
作图：(1)过a′作oz 轴的垂线；(2)量取aa x =a″a z ，a″即为所求，如图3-2（b ）所示。
用图3-2（c ）、（d ）、（e ）所示的三种方法也可求得同一结果。
动画演示3.1.3 特殊位置的点当点距某一投影面的距离为零时，该点便在此投影面内。
3 三面投影体系
a
A
X
O
点A的水平投影
H
a
点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影 后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。
两面投影图的画法 V a A V a
X
ax a
O
X
ax
O
H H
a
H
展开时，规定V面不动，H面向下旋转90。用投影图 来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在二个不同 投影面上的投影来表示点的空间位置。
1、位置关系
• 以主视图为准，俯视 图在它的正下方，左 视图在它的正右侧，
位置固定，不必标注。
2、三视图之间的“三等”关 系
• 主、俯视图长对正。
• 主、左视图高平齐。
• 俯、左视图宽相等。
2.1.3 两点的相对位置和重影 点
1.两点的相对位置
2.重影点
两点的相对位置
两点的相对位置指两 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。
Y
① aa ⊥OX轴 aaz = aaY = XA（A到W面的距离） ② aa⊥OZ轴 aax =aa Y = ZA （ A到H面的距离）
③aax= aaz= YA
（A到V面的距离）
??已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a● ax az
●
a
通过作45°线 使aaz=aax
a● 解法二:
Bb
O
a
b
Cc c
Aa
例题3：根据投影图判断点在空间的位置
b'
V
B
X a' b c' c O C
a A
例题4：画出点（15，5，10）的三面投影及空间位置
a'
点、线、面的三面投影
0 2 （3）直角投影定理
两直线在空间上垂直（垂直相交或垂直交叉），当其中一条直 线平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影垂直。 利用直角投影原理，可完成过点作投影面平行的垂线，或与其 相关的求点到直线距离，求直角三角形、等腰三角形等平面图形投 影的作图问题。
0 2
0 4）曲线投影 2 （1）曲线的形成和分类
②三个投影的长度都小于实长。
事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状态，则该直线
一定是一条一般位置直线。
0 2）直线上点的投影特性 2
（1）从属性 （2）定比性 点在直线上，点的投影在直线的同面投影上。 点分线段之比等于点的投影分线段的投影之比。
0 2
例 题：
0 3）空间两直线的相对位置 2
0 2 （ 3）常见曲线的投影
·当圆所在的平面为投影面垂直面时， 圆在所垂直的投影面的投影为直线，线 段的长度等于其直径。在另一投影面上 的投影则为椭圆。
·当圆所在平面为一般位置平面时，
圆的两个投影均为椭圆。
0 2
②圆柱螺旋线的投影 一动点在正圆柱表面上绕其轴线作等速回转运动，同时沿 圆柱的轴线方向作等速直线运动，则动点在圆柱表面上的轨迹 称为圆柱螺旋线。常见实例为螺旋楼梯、弧形楼梯
正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于OY轴
0 2
侧平线——平行于W面，同时倾斜于H、V面的直线。
侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于OX轴
0 投影面平行线的投影特性可概括如下： 2
面的倾角。
①直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且倾斜于投
影轴，该投影与相应投影轴之间的夹角，反映直线与另两个投影 ②该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影 轴，且小于实长。 事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影垂直于同一投 影轴，而另一投影处于倾斜状态，则该直线必平行于倾斜投影所 在的投影面，且反映与其他两投影面夹角的实形。
点的投影
距 ������ 面
20 15 11
距 ����ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ� 面
24 16 10
������������
H
点的三面投影
X
O
H
点的投影规律
（1）点的正面投影和水平投影的连线 垂直于������轴，即������ꞌ������ ⊥ ������������; （2）点的正面投影和侧面投影的连线 垂直于������轴，即������ꞌ������″ ⊥ ������������; 点的侧面投影到������������轴的距离， 即������������������ = ������″������������
������
������������
知识拓展
2、已知表中各点的坐标，作出点的三面正投影图。
������
坐标 点名 ������ ������ ������������ ������ ������ ������
������
24 16 10
������
20 15 11
������
30 18 5
������������
������′由������������ 、������������ 确定， ������″由������������ 、������������ 确定。 作图： （1）确定投影轴， （2）量取坐标值，
������
������′
15
������������
������″
������������
������
������ ������
������������
������������ ������������°
������������
点 的 投 影
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点的投影
Page 16
方法2：在OX轴上从原点O截取14 mm，得到点a x；过点a x作OX轴的垂线，并延长，从点a x向 下截取10 mm，得到点a；从点a x向上截取20 mm， 得到点a′；过原点O作45°辅助线，过a点作OY H轴的 垂线与该辅助线交于一点a O，过该点作OY W轴的 垂线并延长，过a′点作OZ轴的垂线并交延长线于一点， 得到点a″，如图3-21(b)所示。
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三面投影图
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点的投影
Page 4
根据以上分析，可以得出点的三面投影规律：
（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于X轴（长对
正），如图3-17（c影的连线垂直于Z轴（高平
齐），如图3-17（c
a′a″⊥OZ。
（3）点的水平投影到X轴的距离等于点的侧面投影到Z轴
3-17（c）中的aa x=a″a z。
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点的投影
根据上述投影规律，在三面投影体系中，由一点 的任意两个投影均可确定点在空间的位置，同时由点 的任意两个投影可以求出第三个投影。
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点的投影
【例3-4】 已知点A(14,10,20)，作其三面投影。
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点的投影
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【解】 作图步骤如下： 方法1：在投影轴OX、OY H、OY W、OZ上， 分别从原点O截取14 mm、10 mm、10 mm 20 mm，得点a x、a y H、a y W和a z； 过点a x、a y H、a y W和a z作投影轴 OX、OY H、OY W、OZ的垂线，即可得到空间A 点的三面投影，如图3-21(a)所示。
第四章点、直线、平面的正投影规律
图29 直线与一般位置平面相交
求直线与一般位置平面的交点K，可按下面 三个步骤进行：
1、过已知直线AB作一铅垂面P位置平面）相 交，为，作为辅助面。
2、求出辅助面P与已知平面的交线MN的投影。 3、求出MN与直线AB的交点K的投影，点K 就是直线与平面的交点。
（a）已知直线AB和 三角形CDE的投影
第四章 点、直线、平面的正投影规律
学习目标和教学要求: ： 1、熟练掌握点的三面正投影规律； 2、掌握各种位置点、直线、平面的投
影特性及点、线、面相对位置关系； 3、掌握定比性、两直线的相对位置关
系、直线与平面相对位置关系。
第一节 点的投影
一、点的三面投影
作出一点A的三面投影a、a′、a″（图41）。
其余两个投影平行于相应的投影轴，例 如表4-1中，CD//H，所以cd=C，a´b´//OX， a"b 投影轴而另一个投影倾斜时，它 必然是一根投影面平行线，平行 于该倾斜投影所在的投影面。
3.投影面垂直线
（1）空间关系
投影面垂直线垂直于某一个投影面， 因而平行于另外两个投影面。例如，表 4-2中空间直线EF⊥H，因而EF平行于V 面和W面,简称铅垂线。投影面垂直线除 铅垂线外，还有垂直于V面的正面垂直 线（正垂线），垂直于W面的侧面垂直 线（侧垂线）。
5、用迹线表示的特殊位置平面示例
（1）投影面垂直平面: 平面Q是铅锤面，在两投影面体系
中，有一条迹线垂直于投影轴，另一 条迹线倾斜于投影轴。 （2）投影面平行平面：
平面R是平行于H面的水平面，在 两投影面体系中，只有一条迹线，平 行于投影轴。如图4-23和4-24所示，
如图4-23用迹线表示的垂直于投影面的平面
图4—4投影图上的方位
工程制图 第三章3-2
§3-2 点、直线、平面的投影任何物体的表面都是由点、线、面等几何元素组成。
如图3-11所示三棱锥，是由四个平面、六条棱线和四个点组成。
由于工程图样是用线框图形来表达，所以绘制三棱锥的三视图，实际上就是绘制构成三棱锥表面的这些点、棱线和平面的三面投影1。
因此，要正确绘制和阅读物体的三视图，须掌握这些基本几何元素的投影规律。
图3-11三棱锥一、点的投影１．点的三面投影形成如图3-12a所示，过空间点A分别向三个投影面作垂线，其垂足a、a′、a″2即为点A 在三个投影面上的投影。
按前述三投影面体系的展开方法将三个投影面展开（图3-12b），去掉表示投影面范围的边框，即得点A的三面投影图（图3-12c）。
图中a x、a y、a z分别为点的投影连线与投影轴OX、OY、OZ的交点。
图3-12点的三面投影形成２．点的三面投影规律从图3-12中点A的三面投影形成可得出点的三面投影规律：（1）点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX。
（2）点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。
（3）点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aa x＝a″a z.此外，从图3-12a还可看出点的投影到投影轴的距离，分别等于空间点到相应投影面的距1本书中，体的多面投影称为视图。
点、线、面等几何元素的投影一般称为投影图。
2空间点用大写字母表示，H面投影用相应的小写字母表示，V面投影用相应的小写字母加“′”表示，W 面投影用相应的小写字母加“″”表示。
离。
如：a′a z＝aa YH反映点A到W面的距离；a′a x＝a″a Yw反映点A到H面的距离； aa x＝a″a z反映点A到V面的距离.根据上述点的三面投影规律，在点的三面投影中，只要知道其中任意两个面的投影，就可求作出该点的第三面投影。
〔例3-2〕已知点B的V面投影b′与H面投影b，求作W面投影b″（图3-13a）。