1集合与元素(教师版)

1.1集合

1.1.1 集合的含义及其表示

一、集合与元素

1.集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，用小写字母a、b、c...表示；

把一些元素组成的总体叫做集合，用大写字母A、B、C...表示。如所有的正方形可以组成集合，每个正方形就是这个集合的元素。

例1:判断以下元素的全体是否组成集合：

(1)大于1小于10的偶数；

(2)高一所有高个子的同学；

(3)所有数学难题；

练习1：下列各组对象中，不能组成集合的是( )

A．所有的正数B．所有的老人

C．不等于零的数 D．我国古代四大发明

2.集合中元素的三个特征：（）、（）、无序性．

(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者

不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，

同一集合中不应重复出现同一元素。

(3)无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照

习惯的由小到大的数轴顺序书写。

例2:集合A是含有两个不同实数a－3,2a－1的集合，求实数a的取值范围．

练习2：若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( ) A．锐角三角形B．等腰三角形

C．钝角三角形D．直角三角形

3.集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；

a∈

(1)如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作A

a∉

(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A

例3:已知集合A={a，|a|，a﹣2}，若2∈A，则实数a的值为（）

A．﹣2 B．2 C．4 D．2或 4

【解答】解：∵集合A={a，|a|，a﹣2}，2∈A，

∴a=2，|a|=2或a﹣2=2，

解得a=﹣2或a=2或a=4．

当a=﹣2时，A={﹣2，2，﹣4}，成立；

当a=2时，a=|a|，A 中有两个相等元素，不满足互异性；

当a=4时，a=|a|，A 中有两个相等元素，不满足互异性．

实数a 的值为﹣2．

故选：A ．

练习3：设集合A={2，1﹣a ，a2﹣a+2}，若4∈A ，则a=（ ）

A ．﹣3或﹣1或2

B ．﹣3或﹣1

C ．﹣3或2

D ．﹣1或2

【解答】解：若1﹣a=4，则a=﹣3，∴a2﹣a+2=14，∴A={2，4，14}；

若a2﹣a+2=4，则a=2或a=﹣1，a=2时，1﹣a=﹣1

∴A={2，﹣1，4}；a=﹣1时，1﹣a=2（舍），

故选：C ．

4.集合的表示法：列举法、描述法、图示法（韦恩图）．

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，各元素之间用逗号分开.并用花括号“{}” 括起来表示集合的方法.例如集合{}4321，，，=A .

注意：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点）（0,1和点）（1,0表示不同的

两个点，而集合{}0,1和{}1,0表示同一个集合.

例4：用列举法表示下列集合

（1）{}2A x Z x =∈≤； （2）(){},4,,M x y x y x N y N **=+=∈∈

解析：（1） ∵2x ≤，x Z ∈ ∴2,1,0,1,2x =-- ∴{}2,1,0,1,2A =-- （2） ∵4,,x y x N y N **+=∈∈ ∴13x y =⎧⎨

=⎩或22x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩ ∴

()()(){}1,3,2,2,3,1M =

例5：(2014～2015学年度上海复旦大学附属中学高一上学期期中测试)用列举法表示集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪

65－a ∈N *，a ∈Z ＝__________. 答案：{－1,2,3,4}

练习4:用列举法表示小于5的所有自然数组成的集合.

练习5：用列举法表示方程0322=--x x 的解集.

(2)描述法：用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法.①格式：(){}

x A P x ∈；②含义：它表示集合由具有性质()P x 的所有元素构成的。其中x 为该集合中元素的代表形式，它表明了该集合中的元素是“谁”，是“什么样”；I 表明了x 的范围；()P x 为该集合中元

素所具有的特征。如：不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x 。

例6:坐标轴上的点的集合可表示为（ ）

A ．{（x ，y ）|x=0，y=0；或x ≠0，y=0}

B ．{（x ，y ）|x2+y2=0}

C ．{（x ，y ）|xy=0}

D ．{（x ，y ）|x2+y2≠0}

【解答】解：∵直角坐标系中，x 轴上的点的集合{（x ，y ）|y=0}，

直角坐标系中，y 轴上的点的集合{（x ，y ）|x=0}，

∴坐标轴上的点的集合可表示为{（x ，y ）|y=0}∪{（x ，y ）|x=0}

={（x ，y ）|xy=0}．

故选：C ．

练习6：用描述法表示下列集合.

不等式37<-x 的解集

练习7：用描述法表示012=-x 的解集.

(3)韦恩图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。如：集合{}4,3,2,1可用韦恩图表示为：

5.常用数集的记法：

(1)自然数集：全体自然数的集合记作N ，{}...2,1,0N

(2)正整数集：自然数集内排除0的集记作*N 或+N ,{}...3,2,1*=N

(3)整数集：全体整数的集合记作Z ，{}...2,1,0±±=Z

(4)有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q

(5)实数集：全体实数的集合记作R {}

数数轴上所有点所对应的=R 注意：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0.

（2）非负整数集内排除0的集记作*N 或+N

例7：下列所给关系中正确的个数是（ ）

（1）π∈R ； （2）∉Q ； （3）0∈N ； （4）|﹣4|∉N*； （5）∈Z ．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解答】解：对于（1）：π是一个元素，R 是实数集，π∈R ；正确．