《高等代数一》知识点(2013)

高等代数知识点

第一章 多项式

1． 数域的定义、常见数域

2． （系数在）数域P 上的多项式的定义

3． 多项式相等

4． 多项式的次数、零多项式和零次多项式

5． 一元多项式的运算（加减乘）、运算律、多项式环、次数定理

6． 整除的定义：()()g x f x ⇔()()()f x g x h x =（证明，不整除则用反证法）、因式和

倍式

7． 整除的性质：

（1）

一些特殊的整除性（0，常数，自身） （2）

整除的反身性 （3）

整除的传递性 （4） 整除的组合性

8． 带余除法()()()()f x q x g x r x =+、综合除法

9． 整除的判定法则：余式为零

10． 整除不受数域的影响

11．

公因式及最大公因式的定义、()()()

,f x g x ，()0,()()g x g x =，()0,00= 12．

最大公因式的求法（辗转相除法）P44：5 13． 最大公因式可以表示为()(),f x g x 的一个组合()()()()()d x u x f x v x g x =+——Ｐ45：8

14． 互素的定义

15． 互素的相关定理（证明）P45：12、14

（1）

()()(),11()()()()f x g x u x f x v x g x =⇒=+ （2） ()()()()()()()(),1,f x g x f x g x h x f x h x =⇒

（3） ()()()()()()()

()()()121212,,,1,f x g x f x g x f x f x f x f x g x =⇒ 16． 不可约多项式的定义（次数大于等于1）

17． 平凡因式、不可约等价于只有平凡因式

18． 可约性与数域有关

19．

不可约多项式的性质： （1） ()p x 不可约，则()cp x 也不可约

（2） ()p x 不可约，()[],f x P x ∀∈ ()()|(),(),()1p x f x or f x p x ⇒=

（3） ()p x 不可约，()()()p x f x g x ()()()|(),p x f x or

p x g x ⇒ 20． 标准分解式1212()()()()s r r r s f x cp x p x p x =

21．

K 重因式的定义、微商的定义 22． 重因式的相关定理：()p x 是不可约多项式

（1） 若()p x 是()f x 的K 重因式，则()p x 是()f x '的K －1重因式

（2） ()p x 是()f x 的重因式()|(),()|()p x f x p x f x '⇔（()(),()1f x f x '⇔≠）

（3） ()f x 没有重因式()(),()1f x f x '⇔=

（4） ()p x 是()f x 的K 重因式()()(),()p x f x f x '⇔为的K －1重因式

（5）

()1212(),()()()()s r r r s f x f x cp x p x p x '=()()1i i p x f x r ⇔+为的重因式 23．

多项式函数的定义 24．

余数定理()()()()f x x c q x r r f c =-+⇒= 25． 因式定理()()()0x c f x f c -⇔=P45:19 26． 重根与重因式的关系：()()()c f x k x c f x k ⇔-是的重根是的重因式，但是有重

因式未必有重根

27． 求重因式P45：16

28．

根的个数定理：(())f x n n ∂=⇒根的个数至多为个 29． 函数相等的判断定理：

(()),(()),()(),1,,1()()i i f x g x n f a g a i n f x g x ∂∂≤==+⇒=

30． 多项式相等与函数相等的一致性

31． 代数基本定理：复数域上的多项式必有一根，必有一个一次因式，复系数多项式的

不可约多项式只有一次多项式

32． 复系数多项式的因式分解定理：唯一地分解为一次因式的乘积

33． n 次复系数多项式有n 个复根，重根按重数计算

34． 实系数多项式的复根定理

35． 实系数多项式的因式分解定理：唯一地分解为一次和二次不可约因式的乘积

36． 有理数域上存在任意次不可约多项式

37． 复系数实系数多项式的标准分解式、4次的因式分解

38． 本原多项式的定义、性质：

（1） 任给一个有理系数多项式总可以表示成一个有理数与一个本原多项式的乘积（除了

相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）．

（2） Gauss 引理：两个本原多项式的积仍是本原多项式

39． 整系数多项式的因式分解定理：若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的

有理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积

40． 求有理系数多项式的有理根的方法（结合综合除法验证） P46：27

41． 艾森斯坦(Eisenstein)判别法P46：28

第二章 行列式

1． 二级、三级行列式的计算（对角线法则）

2． 排列、逆序、逆序数、排列的奇偶性、对换的定义

3． 逆序数的求法——Ｐ96：5、对换改变奇偶性

4． n 级行列式的定义及计算P97:8

5． 特殊行列式的计算

6． 行列式的性质（转置、换行（冒泡）、数乘、和、线性运算）

7． 余子式、代数余子式的定义及相关计算（111213A A A ++=）

8． 行列式按行（列）展开法则（=D ，=0）

9． 行列式的计算（降阶）（四阶、P98：13（1）（3）（4））

10． 行列式的证明（n 级字母型：按行列展开、以第一行为标准加减、各列加到第一列、

相邻行相加减、加一行一列）P99：17（1）（2）（3）、18（1）（5）

11． 范德蒙德行列式及应用（转置换行）

12． 克拉默法则及解的判定定理（非齐次方程组有唯一解D ≠0，齐次方程组有非零解

D ＝0）

第三章 线性方程组

1． 线性方程组、解、同解的概念

2． 线性方程组的初等变换

3． 矩阵的定义、初等变换及应用，行阶梯形、行最简形矩阵

4． 解线性方程组

5． 向量的定义、表示（行向量与列向量）、相等

6． 特殊向量（零向量、负向量）

7． 向量的运算（加法和数乘）及运算性质

8． 向量空间的定义

9． 线性组合的定义：对应的非齐次线性方程组有解、向量组线性表出P154:12

10． 向量组等价的定义、等价的性质（反身性、对称性、传递性）

11． 线性相关定义：有一个向量可以由其余向量线性表出

12． 线性相关等价定义：存在不全为零的K 使得等式成立——对应的齐次线性方程组

有非零解

13． 线性无关：对应的齐次线性方程组只有零解（证明）（P155:6）

14． 线性相关（无关）的判定（用矩阵的秩来判定）

15． 线性相关（无关）的性质：

（1） 单个向量、两个向量的相关性

（2） 单位向量组线性无关

（3） 含有零向量的向量组必线性相关

（4） 整体与部分的相关性（整体无关则部分无关，部分相关则整体相关）

（5） 线性无关的向量组扩维后还是线性无关的

（6） 设12,,,r ααα与12,,,s βββ是两个向量组。如果 1）向量组12,,,r ααα可以