2020年中考数学选择填空压轴题汇编最值问题含解析

2020年中考数学选择填空压轴题汇编：最值问题

1.（2020•广东）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待

与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC ＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC 的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为2 2 ．

【解答】解：如图，连接BE，BD．

由题意BD2，

∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，

∴BE MN＝2，

∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，

∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，

∴DE的最小值为22．

故答案为22．

2.（2020•玉林）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y

＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）

A．﹣4 B．0 C．2 D．6

【解答】解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y ＝﹣a（x﹣1）2+4a，

∴原二次函数的顶点为（1，﹣4a），

∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，

∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，

∵（m﹣1）a+b+c≤0，

∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，

∵a＞0，

∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，

∴m的最大值为6，

故选：D．

3.（2020•河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若

OB＝2，则阴影部分周长的最小值为．

【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，

此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C＝CD′，

由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，

∴∠COD′＝90°，

∴CD′2，

的长l，

∴阴影部分周长的最小值为2．

故答案为：．

4.（2020•鄂州）如图，已知直线y x+4与x、y轴交于A、B两点，⊙O的半径为1，P为AB上一动点，

PQ切⊙O于Q点．当线段PQ长取最小值时，直线PQ交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为2．

【解答】解：如图，

在直线y x+4上，x＝0时，y＝4，当y＝0时，x，

∴OB＝4，OA，

∴tan∠OBA，

∴∠OBA＝30°，

由PQ切⊙O于Q点可知：OQ⊥PQ，

∴PQ，

由于OQ＝1，

因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP⊥AB，∴OP OB＝2，

此时PQ，

BP2，

∴OQ OP，即∠OPQ＝30°，

若使点P到直线a的距离最大，

则最大值为PM，且M位于x轴下方，

过点P作PE⊥y轴于点E，

∴EP BP，

∴BE3，

∴OE＝4﹣3＝1，

∵OE OP，

∴∠OPE＝30°，

∴∠EPM＝30°+30°＝60°，

即∠EMP＝30°，

∴PM＝2EP＝2．

故答案为：2．

5.（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C右侧）在x轴上移动，A（0，2），B

（0，4），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（）

A．2B．2C．6D．3

【解答】解：设C（m，0），

∵CD＝2，

∴D（m+2，0），

∵A（0，2），B（0，4），

∴AC+BD，

∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（0，2）和N（﹣2，4）的距离和最小，（PM+PN），

如图1中，作点M关于原点O的对称点Q，连接NQ交x轴于P′，连接MP′，此时P′M+P′N的值最小，

∵N（﹣2，4），Q（0，﹣2）

P′M+P′N的最小值＝P′N+P′M＝P′N+P′Q＝NQ2，

∴AC+BD的最小值为2．

故选：B．

6.（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O

上一动点，点C为弦AB的中点，直线y x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为

2 ．

【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．

∵AC＝CB，AM＝OM，

∴MC OB＝1，

∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，

∴D（4，0），E（0，﹣3），

∴OD＝4，OE＝3，

∴DE5，

∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，

∴△DNM∽△DOE，

∴，

∴，

∴MN，

当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，最小值5×（1）＝2，

故答案为2．

7.（2020•徐州）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45°．则△ABC的面积的最大值为99 ．

【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，

∵弦AB已确定，

∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，

如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，

∵CM⊥AB，CM过O，

∴AM＝BM（垂径定理），

∴AC＝BC，

∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，

∴OM＝AM AB3，