2019-2020年高考数学一轮复习第二章基本初等函数导数的应用第9讲函数模型及其应用课件文

1．某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为 r，
存期是 x，本利和(本金加利息)为 y 元，则本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式是__y_＝__a_(_1_＋__r_)x______． [解析] 由指数函数模型得 y＝a(1＋r)x.
2．某物体一天中的温度 T(单位：℃)是时间 t(单位：h)的函
1．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方 案，在销售额 x 为 8 万元时，奖励 1 万元．销售额 x 为 64 万元时，奖励 4 万元．若公司拟定的奖励模型为 y＝alog4x ＋b.某业务员要得到 8 万元奖励，则他的销售额应为__1__0_2_4__ 万元．
[解析]
依题意得alog48＋b＝1 ， alog464＋b＝4
S(x)是关于 x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为 x＝10，所以当 x∈[4，8]时，S(x)单调递增．所以当 x＝8 米 时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，为 48 平方米．
分段函数模型(高频考点) (2018·江苏省四星级学校联考)某品牌开发了一种新产 品，欲在沿海城市寻找一个工厂代理加工生产该新产品，由于 该新产品的专利保护要求比较高，某种核心配件只能从总公司 购买并且由总公司统一配送，该厂每天需要此核心配件 200 个， 配件的价格为 1.8 元/个，每次购买配件需支付运费 236 元．每 次购买来的配件还需支付保密费用(若 n 天购买一次，则需要
【解】 (1)当 9 天购买一次配件时，该厂用于配件的保密费 用 p＝70＋0.03×200×(2＋1)＝88(元)． (2)①当 0＜x≤7 时，y＝1.8×200x＋10x＋236＝370x＋236. ②当 x＞7 时，y＝1.8×200x＋236＋70＋200×0.03×[(x－7) ＋(x－8)＋…＋2＋1]＝3x2＋321x＋432， 所以 y＝337x02＋x＋32213x6＋，403＜2，x≤x＞7且7且x∈x∈N*N*.
[解] (1)由题意，可得 f(x)＝5x(15≤x≤40)． 当 15≤x≤30 时，g(x)＝90， 当 30<x≤40 时，g(x)＝90＋(x－30)×2＝2x＋30， 所以 g(x)＝920x， ＋1350≤ ，x3≤0<3x0≤，40. (2)当 5x＝90，即 x＝18 时，f(x)＝g(x)； 当 15≤x<18 时，f(x)＝5x<90，g(x)＝90， 所以 f(x)<g(x)； 当 18<x≤30 时，g(x)＝90， 而 f(x)＝5x>5×18＝90，
(2)应用分段函数时的三个注意点 ①分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． ②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． ③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再求 各段函数值范围的并集．
某市有两家乒乓球俱乐部，其收费标准不 同，A 俱乐部每张球台每小时 5 元；B 俱乐部按月收费，一 个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元，超过 30 小 时的部分每张球台每小时 2 元．某学校准备下个月从这两家 中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于 15 小时， 也不超过 40 小时． (1)设在 A 俱乐部租一张球台开展活动 x 小时的费用为 f(x)元 (15≤x≤40)；在 B 俱乐部租一张球台开展活动 x 小时的费用 为 g(x)元(15≤x≤40)，试求 f(x)和 g(x)； (2)问选择哪家比较合算？为什么？
数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0 表示中午 12：00，其后 t 取正值， 则下午 3 时的温度为__7_8__℃___． [解析] T(3)＝33－3×3＋60＝78(℃)．
3．A，B 两城相距 100 km，在两城之间距 A 城 x(km)处建一 核电站给 A，B 两城供电，A、B 城与核电站共线，为保证城 市安全，核电站距城市距离不得小于 10 km.已知 A、B 城月 供电费用分别等于供电距离(km)的平方与月供电量(亿度)之 积的 0.25 倍，若 A 城供电量为每月 20 亿度，B 城为每月 10 亿度． (1)求 x 的取值范围； (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数； (3)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用 y 最少？
(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函 数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直线 下降(自变量的系数小于 0)，构建一次函数模型，利用一次函 数的图象与单调性求解． (2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利 润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图 象与单调性解决．
支付 n 天的保密费用)，其标准如下：7 天以内(含 7 天)，均按 10 元/天支付；7 天以外，根据当天还未生产时剩余配件的数量， 以每天 0.03 元/个支付． (1)当 9 天购买一次配件时，求该厂用于配件的保密费用 p(元) 的值； (2)设该厂 x 天购买一次配件，求该厂在这 x 天中用于配件的总 费用 y(元)关于 x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配 件才能使平均每天支付的费用最少．
第二章 基本初等函数、导数的应用
第9讲 函数模型及其应用
常见函数模型 (1)直线模型：即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x 的 系数 k>0)，通过图象可以很直观地认识它． (2)指数函数模型：能用指数函数表达的函数模型，其增长特 点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越 ____快______ (a>1)，常形象地称之为“指数爆炸”．
[解] (1)作 PQ⊥AF 于 Q(图略)， 所以 PQ＝(8－y)米， EQ＝(x－4)米． 又△EPQ∽△EDF， 所以EPQQ＝FEDF，即x8－－4y＝42.所以 y＝－12x＋10， 其定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形 BNPM 的面积为 S 平方米，
则 S(x)＝xy＝x10－x2＝－12(x－10)2＋50，
(3)对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其 增长的特点是开始阶段增长得较____快______ (a>1)，但随着 x 的逐渐增大，其函数值的变化越来越_____慢_____，常称之为 “蜗牛式增长”． (4)幂函数模型：能用幂函数表达的函数模型，其增长情况随 xα 中 α 的取值变化而定，常见的有二次函数模型． (5)“对勾”函数模型：形如 f(x)＝x＋ax(a>0，x>0)的函数模 型，在现实生活中也有着广泛的应用，常利用“基本不等式” 解决，有时利用函数的单调性求解最值．
所以 f(x)>g(x)； 当 30<x≤40 时，g(x)＝2x＋30≤2×40＋30＝110， 而 f(x)＝5x>5×30＝150， 所以 f(x)>g(x)． 综上，当 15≤x<18 时，选择 A 俱乐部比较合算； 当 x＝18 时，两俱乐部都可以； 当 18<x≤40 时，选择 B 俱乐部比较合算．
[解] (1)x 的取值范围为[10，90]． (2)y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)． (3)由 y＝5x2＋52(100－x)2＝125x2－500x＋25 000
＝125x－10302＋50 3000，得 x＝1300时，ymin＝50 3000，
即核电站建在距 A 城1300km 处，能使供电总费用 y 最少．
1．必明辨的 1 个易错点 解决实际问题忽视定义域． 2．必会的 1 种方法 解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步 选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符 号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：
x×14x4＋321＝393， 当且仅当 x＝1x44， 即 x＝12 时取等号． 又2 8726＞393，所以当该厂 12 天购买一次配件时才能使平均 每天支付的费用最少．
(1)分段函数模型的应用 分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自 变量的取值区间．对每一个区间进行分类讨论，从而写出函 数的解析式．需注意分段函数的最值是各区间上所得最值的 最大者或最小者．
【解】 设该单位每月获利为 S， 则 S＝100x－y
＝100x－12x2－200x＋80 000
＝－12x2＋300x－80 000 ＝－12(x－300)2－35 000， 因为 400≤x≤600， 所以当 x＝400 时，S 有最大值－40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能不 亏损．
(3x2
－
3x
＋
300)
＋
200×1.8
＝
300 x
＋Leabharlann Baidu
3x
＋
357≥417，当且仅当30x0＝3x，即 x＝10 时，y1 有最小值．
故该养殖场 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费
用最少．
一次函数、二次函数模型 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部 门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转 化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少 为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨) 之间的函数关系可近似地表示为：y＝12x2－200x＋80 000，且 每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果 不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
即32a＋b＝1，解得 a＝2，b＝－2. 3a＋b＝4.
所以 y＝2log4x－2，当 y＝8 时，即 2log4x－2＝8.
x＝1 024(万元)．
2．某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料 200 千克，每千克饲料的价格为 1.8 元，饲料的保管费与其他费 用平均每千克每天 0.03 元，购买饲料每次支付运费 300 元．求 该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最 少．
设该厂 x 天购买一次配件时，平均每天支付的费用为 f(x)元，
370＋23x6，0＜x≤7且x∈N*
则 f(x)＝
.
3x＋4x32＋321，x＞7且x∈N*
当 0＜x≤7 时，f(x)＝370＋2x36，f(x)是(0，7]上的减函数，
所以当 x＝7 时，
f(x)有最小值2
826 7.
当 x＞7 时，f(x)＝3x＋4x32＋321＝3x＋14x4＋321≥3×2×
[解] 设该场 x(x ∈N*)天购买一次饲料平均每天支付的总费 用最少，平均每天支付的总费用为 y1. 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少 200×0.03＝ 6(元)， 所以 x 天饲料的保管费与其他费用共是 6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)．
从而有
y1
＝
1 x
(2018·鄂州 月考 )如图 所示，已知边长为 8 米的正方形钢板有 一个角被锈蚀，其中 AE＝4 米，CD＝6 米．为合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM，使点 P 在边 DE 上． (1)设 MP＝x 米，PN＝y 米，将 y 表示成 x 的函数，求该函 数的解析式及定义域； (2)求矩形 BNPM 面积的最大值．
指数函数、对数函数、幂函数模型与函数拟合
某种出口产品的关税税率 t、市场价格 x(单位：千元/ 万件)与市场供应量 p(单位：万件)之间近似满足关系式 p＝2(1－kt)(x－b)2，其中 k、b 均为常数．当关税税率为 75%时， 若市场价格为 5 千元/万件，则市场供应量约为 1 万件，若市 场价格为 7 千元/万件，则市场供应量约为 2 万件． (1)试确定 k，b 的值； (2)市场需求量 q(单位：万件)与市场价格 x 近似满足关系式： q＝2－x，p＝q 时，市场价格称为平衡价格．当市场平衡价格 不超过 4 千元/万件时，试确定关税税率的最大值．