一维场地地震反应分析

i 2k j )
J
上面两个式子构成了AIk与aIj一一对应的离散傅里叶变 换对，可用快速傅里叶变换算法(FFT)计算.
根据上述离散傅里叶原理，基岩输入的稳态地震波加速度为
z
z
aI (t cN ) AIk exp( iwk (t cN ))
入射波位移振幅EN与加速度振幅AIK的关系为
EN AIk (k ) / k k 1,2
令n N ,得到
E1
EN eN
在地震工程中，通常采用基岩自由地面的加速度时程ag(t)
作为地震输入。考虑到自由地面的放大效应，基岩内竖直
向上入射的剪切波加速度aI＇可以表示为
aI
' (t
z cN
)
1 2
ag
(t
z cN
)
为了将暂态输入波aI‘转换成稳态输入波，可以采用 离散傅里叶变换方法。按照这一方法，暂态时间函数 aI’用周期函数为T的时间函数aI(t)替换即
由递推公式可得顶层和任一层波幅系数之间的转换关系 __ H n Tn H1
__
Tn
Tn1
~~~
T2 • T1
t11 t21
t12
t22
自由地表条件为（1 0） 0可得 E1 F1
因此第一层波幅矢为 H1 (E1, F1)T
代入公式得到 En en E1、 Fn fn E1 其中 en t11 t12, fn t21 t22.
aI (t) aI (t nT) n 0,1,2 ~~~
aI '(t)
0t T
将周期函数aI(t)展开成傅里叶级数
aI (t) AIk exp( iwkt)
式中
k
AIk
1 T
T 0
aI
(t) exp(iwkt)dt
wk k • 2f , f 1/ T
为了近似地计算傅里叶谱AIk，将aI(t)以时间步距△t离散化，
地表面位移振幅E1与加速度振幅A1(0)的关系为
E1 A1(0) /(2k ) k 1,2
得到频率为ω的地表面绝对地震加速度反应值幅为
A1 (0)
(1
2 eN
)
AIk
(k
)
第n层顶面加速度振幅为 Ank TA AIk
其中传递函数
TA
en eN
fn
得到第n层顶面频率为ω的绝对地震加速度反应值幅为
在地震工程中通常将覆盖土层和下卧基岩简化为力学性质竖向 成层变化，但横向为均匀的半无限空间。同时假定地震输入是 垂直向上入射的平面剪切波，因此土层地震反应可以用一维波 动模型分析。
土层地震反应分析的一维力学模型
土层模型如上图，N-1个土层覆盖在基岩均匀半无 限空间之上，各覆盖层厚度、介质质量密度和剪切 模量分别为hn.pn和un。采用局部坐标系并将z轴的 坐标原点设置在各层上界面，正方向垂直向下。
设第N层的入射地震波位移为 U1(z) EN exp( ikN z)
式中kN
cN
, cN
uN 分别为基岩的波数和波速 pN
第n层的地震波位移的频域一般解可以表示为
Un (z) En exp( ikn z) Fn exp( ikn z)
式中En和Fn分别为第n层介质内上行和下行波波幅 系数。
我们选取每一土层的顶面为z轴原点以描述该层内 的波动，第n层和第n+1层波幅系数的转换关系为
An
(0)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(1
en
eN
f
n
)
AIk
(k
)
从而利用傅里叶逆变换技术，可以求得在基岩内竖直 向上入射地震加速度时土层各层面的绝对地震加速度 反应。
谢谢！
Hn1 Tn Hn, n 1,2,~~~,N -1
定义第n层的波幅矢H n为H n
En
Fn
相邻层间转换矩阵Tn为
Tn
1 n
1
2
n
2
exp(iknhn ) exp(iknhn )
1n
2
1n
2
exp(iknhn )
exp(ikn
hn
)
其中 n ncn / c n1 n1, kn w / cn，n 1,2..., N 1
aIj (t) aI (t j ), t j jt, j 0,1 ~~, J -1
其中离散间隔总数J=T/△t,利用矩形积分公式，上式可计算为
1 J 1
AIk
J
aIj exp(iwkt j )
j0
AIk
1 J
J 1
aIj
j0
exp( i2kj)
J
由此可以得到
aIj
J 1 k 0
AIk
exp(