微积分基本公式
微积分基本公式与计算
微积分基本公式与计算微积分是数学中的一个分支，研究的是函数的变化、变化率和积分运算。
微积分的基本公式是指在微积分的基础知识中常用的、基础性的公式和计算方法。
下面将介绍微积分中的基本公式与计算方法。
1.导数公式导数是函数在其中一点上的变化率，描述了函数沿着自变量的变化速率。
常用的导数公式如下：（1）常数函数的导数为0：d(c)/dx = 0，其中c为常数。
（2）幂函数的导数为幂次与系数的乘积：d(x^n)/dx = nx^(n-1)，其中n为实数。
（3）指数函数的导数为函数自身与底数的乘积：d(a^x)/dx = ln(a) * a^x，其中a为底数。
（4）对数函数的导数为导数值与函数自身的倒数的乘积：d(log_a(x))/dx = 1/(x * ln(a))，其中a为对数的底数。
2.求导法则求导法则是指求导数时常用的一些运算规则。
常用求导法则如下：（1）和差法则：d(u ± v)/dx = du/dx ± dv/dx，其中u和v是两个函数。
（2）乘积法则：d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx，其中u和v是两个函数。
（3）商法则：d(u/v)/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2 ，其中u和v是两个函数，v≠0。
（4）链式法则：如果函数y = f(u)和u = g(x)有关系，那么y对x 的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx。
3.积分公式积分是导数的逆运算，是计算函数在一个区间上面积的方法。
常用的积分公式如下：（1）不定积分的基本公式：∫f(x)dx = F(x) + C，其中F'(x) = f(x)，C为常数。
（2）定积分的基本公式：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F'(x) = f(x)。
（3）换元积分法：根据函数的复合结构，选择适当的变量替换，使得被积函数简化，然后再进行积分。
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
微积分公式大全
微积分公式大全1.极限与连续1.1 极限的定义：对于函数$f(x)$，当$x$趋向于$a$时，如果对于任意给定的$\epsilon > 0$，总存在与$a$不相等的$x$使得当$0 < ，x-a，< \delta$时，$，f(x) - L， < \epsilon$，我们就说函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x)=L$。
1.2基本极限公式：a) $\lim_{x \to a}c = c$，其中$c$为常数；b) $\lim_{x \to a}x = a$；c) $\lim_{x \to a}x^n = a^n$，其中$n$为正整数；d) $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$；e) $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$；f) $\lim_{x \to a} \tan x = \tan a$，其中$a \neq\frac{\pi}{2} + \pi k$，$k$为整数；g) $\lim_{x \to a} \ln x = \ln a$，其中$a > 0$。
1.3极限的运算法则：a) $\lim_{x \to a}[f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x)$；b) $\lim_{x \to a} kf(x) = k \lim_{x \to a}f(x)$，其中$k$为常数；c) $\lim_{x \to a} f(x)g(x) = \lim_{x \to a}f(x) \cdot\lim_{x \to a}g(x)$；d) $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)}$，其中$\lim_{x \to a}g(x) \neq 0$；e) $\lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a}f(x)]^n$，其中$n$为正整数。
基本微积分公式
基本微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的变化规律和极限概念。
微积分公式是微积分中最基本的公式，它包括导数公式和积分公式两部分。
导数公式导数是微积分中最基本的概念之一，它表示函数在某一点处的变化率。
导数公式包括以下几种：1. 常数函数的导数为0，即f(x)=c，则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数为其指数乘以系数，即f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数为其自身的常数倍，即f(x)=a^x，则f'(x)=a^xlna。
4. 对数函数的导数为其自变量的倒数，即f(x)=lnx，则f'(x)=1/x。
5. 三角函数的导数为其导数的负数，即f(x)=sinx，则f'(x)=cosx；f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx；f(x)=tanx，则f'(x)=sec^2x。
积分公式积分是微积分中的另一个重要概念，它表示函数在某一区间内的面积或体积。
积分公式包括以下几种：1. 常数函数的积分为其自身乘以积分区间的长度，即∫c dx=cx。
2. 幂函数的积分为其指数加1后除以指数加1的常数倍，即∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)。
3. 指数函数的积分为其自身除以自然对数的常数倍，即∫a^x dx=a^x/lna。
4. 对数函数的积分为其自变量的对数乘以积分区间的长度，即∫lnx dx=xlnx-x。
5. 三角函数的积分为其导数的相反数，即∫sinx dx=-cosx；∫cosx dx=sinx；∫tanx dx=-ln|cosx|。
总结微积分公式是微积分中最基本的公式，它包括导数公式和积分公式两部分。
导数公式用于求函数在某一点处的变化率，积分公式用于求函数在某一区间内的面积或体积。
掌握微积分公式对于学习微积分和解决实际问题都具有重要意义。
微积分的公式大全
微积分的公式大全一、极限公式1.无穷小量定义：若当x→0时，Δx是x的函数之一，且满足Δx/x→0，则称Δx为x的一个无穷小量。
2.极限的基本性质：-函数f(x)的极限即为f(x)的左极限和右极限存在且相等的值。
-函数的极限与函数的值在有限点无关，只与趋向于该点的方式有关。
-函数有界，且极限存在，则函数必定有极大值和极小值。
3.基本极限：-极限的四则运算规则：设x→x0时有f(x)→A，g(x)→B，则f(x)±g(x)→A±B，f(x)g(x)→AB，f(x)/g(x)→A/B。
- 幂函数极限：若m是正整数，则lim(x→a) (x^m) = a^m。
- e 的指数函数极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。
- 自然对数函数极限：lim(x→0) (ln(1+x)/x) = 1-三角函数极限：- lim(x→0) (sinx/x) = 1- lim(x→0) (cosx-1)/x = 0。
四、导数公式1. 基本定义：函数 y=f(x) 在 x0 处可导，当且仅当函数在 x0 处存在极限lim(x→x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)，即导数 f'(x0) 存在。
2.基本导数：- 常数函数的导数为 0：d/dx(c) = 0。
- 幂函数的导数：d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
- 指数函数的导数：d/dx(e^x) = e^x。
- 对数函数的导数：d/dx(loga(x)) = 1/(xln(a))。
-三角函数的导数：- d/dx(sin(x)) = cos(x)。
- d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
- d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
-反三角函数的导数：- d/dx(arcsin(x)) = 1/√(1-x^2)。
- d/dx(arccos(x)) = -1/√(1-x^2)。
- d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x^2)。
高数微积分基本公式大全
高数微积分基本公式大全1.导数的基本公式：-基本导数：(常数)' = 0, (x^n)' = nx^(n-1), (e^x)' = e^x, (a^x)' = a^xln(a), (ln(x))' = 1/x, (sin(x))' = cos(x),(cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = sec^2(x), (cot(x))' = -csc^2(x), (sec(x))' = sec(x)tan(x), (csc(x))' = -csc(x)cot(x).-乘法法则：(uv)' = u'v + uv'.-除法法则：(u/v)' = (u'v - uv') / v^2.-链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x).2.不定积分的基本公式：-基本积分：∫(k) dx = kx + C, ∫(x^n) dx =(1/(n+1))x^(n+1) + C, ∫(e^x) dx = e^x + C, ∫(1/x) dx =ln(|x|) + C, ∫(sin(x)) dx = -cos(x) + C, ∫(cos(x)) dx =sin(x) + C.-分部积分：∫(uv') dx = uv - ∫(u'v) dx.-特殊积分：∫(1/(1+x^2)) dx = arctan(x) + C,∫(1/(sqrt(1-x^2))) dx = arcsin(x) + C.3.微分方程的基本公式：-一阶线性微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x),解为y = e^(-∫P(x)dx) * (∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx + C).-齐次方程：dy/dx = f(y/x),令v = y/x，化为可分离变量的形式求解.-常系数线性齐次微分方程：ay'' + by' + cy = 0，其特征方程为ar^2 + br + c = 0，解为y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)。
微积分的基本公式一定看精心整理
微积分的基本公式一定看精心整理微积分是数学的一个重要分支，研究变化的量与变化率，并通过极限、导数和积分等概念来描述和计算。
一、导数的求法公式1.基本导数公式：（1）常数函数的导数为0。
（2）幂函数的导数：设y=x^n，则y'=n*x^(n-1)。
（3）指数函数的导数：设y=a^x，则y' = ln(a) * a^x。
（4）对数函数的导数：设y=log_a(x)，则y' = 1 / (x * ln(a))。
2.基本求导法则：（1）和差法则：设f(x)和g(x)是可导函数，则(f+g)'=f'+g'，(f-g)'=f'-g'。
（2）常数倍法则：设f(x)是可导函数，c是常数，则(c*f)'=c*f'。
（3）乘积法则：设f(x)和g(x)是可导函数，则(f*g)'=f'*g+f*g'。
（4）商法则：设f(x)和g(x)是可导函数，且g(x)≠0，则(f/g)'=(f'*g-f*g')/g^2（5）复合函数法则：设f(x)和g(x)是可导函数，则(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
二、常见函数的积分公式1.基本积分公式：（1）幂函数的积分：设n≠-1，则∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中C为常数。
（2）指数函数的积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数。
（3）对数函数的积分：∫(1/x) dx = ln，x， + C，其中C为常数。
2.基本初等函数的积分：（1）正弦函数与余弦函数的积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为常数。
（2）正切函数的积分：∫tan(x) dx = ln，sec(x)， + C，其中C为常数。
微积分基本公式
微积分公式tan -1x = x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n x n n + …(1+x)r=1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+… -1<x<1Γ(x) = ⎰∞0t x-1e -t d t = 2⎰∞0t 2x-12t e-d t = ⎰∞)1(ln tx-1d tβ(m , n ) =⎰10x m -1(1-x)n -1d x =2⎰20sin π2m -1x cos 2n -1xd x = ⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希腊字母 (Greek Alphabets)大写小写读音 大写 小写读音 大写 小写读音Α α alpha Ι ιiota Ρ ρrho Β β beta Κ κ kappa Σ σ, ? sigmaΓ γ gamma Λ λ lambda Τ τtau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilonΕ ε epsilon Ν ν nu Φ φphi Ζ ζ zeta Ξ ξ xi Χ χkhi Η η eta Ο ο omicron Ψ ψpsi Θθtheta Ππpi Ω ω omega倒数关系: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1商数关系: tan θ= θθcos sin ; cot θ= θθsin cos平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; ? 顺位高d 顺位低 ;0*? =∞1 *? = ∞∞= 0*01 = 0000 = )(0-∞e ; 0∞ = ∞⋅0e ; ∞1 = ∞⋅0e顺位一: 对数; 反三角(反双曲)顺位二: 多项函数; 幂函数 顺位三: 指数; 三角(双曲)算术平均数(Arithmetic mean)中位数(Median) 取排序后中间的那位数字 众数(Mode)次数出现最多的数值 几何平均数(Geometric mean) 调和平均数(Harmonic mean) 平均差(Average Deviatoin)变异数(Variance)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni标准差(Standard Deviation)nX Xni21)(-∑ or1)(21--∑n X Xni分配 机率函数f (x ) 期望值E(x )变异数V(x )动差母函数m (t )1 000 000 000 000 000 000 000 000 10 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E1 000 000 000 000 000 1015 peta P1 000 000 000 000 1012 tera T 兆1 000 000 000 109 giga G 十亿1 000 000 106 mega M 百万1 000 103 kilo K 千100 102 hecto H 百10 101 deca D 十0.1 10-1 deci d 分，十分之一0.01 10-2 centi c 厘（或写作「厘」），百分之一0.001 10-3 milli m 毫，千分之一0.000 001 10-6 micro ? 微，百万分之一0.000 000 001 10-9 nano n 奈，十亿分之一0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飞（或作「费」），千兆分之一0.000 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y。
微积分基本公式
调和平均数(Harmonic mean)
平均差(Average Deviatoin)
变异数(Variance)
X X1 X 2 ... X n n
取排序后中间的那位数字 次数出现最多的数值
G n X1 X2 ... Xn
H
1
1 ( 1 1 ... 1 )
e jx e jx
sin x =
cos x =
2j
tanh-1( x )= a
a a2 x2
sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + C csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + C
e jx e jx 2
coth-1(
x a
)=
a a2 x2
2 sin α cos β = sin (α +β ) + sin (α -β )
cos α + cos β = 2 cos ½(α +β ) cos ½(α -β )
2 cos α sin β = sin (α +β ) - sin (α -β )
cos α - cos β = -2 sin ½(α +β ) sin ½(α -β )
順位高 順位低 ;
顺位高 d 顺位低 ;
1
10
0* = * = = 0* =
00
0 0 = e0( ) ; 0 = e 0 ; 1 = e 0
顺位一: 对数; 反三角(反双曲) 顺位二: 多项函数; 幂函数 顺位三: 指数; 三角(双曲)
算术平均数(Arithmetic mean) 中位数(Median) 众数(Mode)
微积分公式大全
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
微积分基本公式
b
解
1 2 1 x3]1 1 13 1 03 1 x dx [ 0 3 0 3 3 3
3
.
dx 例 4 例 2 计算 1 2 . 1 x 3 解 3 dx [arctanx]1 arctan 3 arctan(1) 1 1 x2 7 ( ) . 3 4 12
提示： x t 2 cos x t 2 设 (x) e dt , 则 (cos x) e dt .
1 1
d (cos x) d (u) du eu 2 ( sin x) sin x ecos2 x . dx du dx
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定理2 就是f(x)在[a, b]上的一个原函数.
b
解 这是求由曲线ysin x, 直线x0, x及x轴所围成的曲 边梯形的的面积.
A 0 sin xdx [ cos x] 0 (1) (1) 2 .
下页
例7 汽车以每小时36km速度行驶, 到某处需要减速停车. 设汽车以等加速度a5m/s2刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车 走了多少距离？ 解 汽车刹车时的初速度为
当汽车停止时, 有 v(t)105t 0, t2(s).
于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为
1 1 22 22 [ 10 [ 10 t t 5 5 t t ]] 10 10(( m m )). . ss 0 v v ( ( t t ) ) dt dt ( 10 ( 10 5 5 t t ) ) dt dt 00 0 0 0 2 2
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例7 汽车以每小时36km速度行驶, 到某处需要减速停车. 设汽车以等加速度a5m/s2刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车 走了多少距离？ 解 汽车刹车时的初速度为
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个微积分是数学的一门重要分支，它主要研究函数的极限、导数、积分等概念和性质。
微积分的基本公式是我们学习和应用微积分的基础，下面将介绍微积分的16个基本公式。
1.1+1=2这是微积分的最基本的公式，表示两个数相加得到另一个数。
2.a*b=b*a这是乘法交换律，表示两个数相乘的结果与顺序无关。
3.a+(b+c)=(a+b)+c这是加法结合律，表示三个数相加的结果与加法的顺序无关。
4.a*(b+c)=a*b+a*c这是乘法分配律，表示一个数与两个数相加的结果等于这个数与每个数相加的结果之和。
5.a-b=-(b-a)这是减法的性质，表示两个数相减的结果与减法的顺序无关。
6.a/b=b/a这是除法的性质，表示两个数相除的结果与除法的顺序无关。
7. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2这是二次方的展开公式，表示两个数的和的平方等于它们的平方和加上两倍的乘积。
8. (a-b)^2=a^2-2ab+b^2这是二次方差的公式，表示两个数的差的平方等于它们的平方差减去两倍的乘积。
9.(a+b)*(a-b)=a^2-b^2这是差的平方公式，表示两个数的和与差的乘积等于它们的平方差。
10. (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3这是立方和的展开公式，表示两个数的和的立方等于它们的立方和加上三倍的乘积加上三倍的乘积再加上立方。
11. (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3这是立方差的公式，表示两个数的差的立方等于它们的立方差减去三倍的乘积加上三倍的乘积再减去立方。
12. (a+b)*(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3这是立方和的因式分解公式，表示两个数的和与和的平方差的乘积等于它们的立方和。
13. (a-b)*(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3这是立方差的因式分解公式，表示两个数的差与差的平方和的乘积等于它们的立方差。
14. (a+b)^n=a^n+na^(n-1)b+(n(n-1)/2)a^(n-2)b^2+...+nb^(n-1)+b^n这是二项式定理，表示两个数的和的n次方等于它们的各种组合的乘积之和。
微积分学基本公式
四、1、0； .
1 2、 . 10
b
5.定积分中值定理
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续，
则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点
使 a f ( x )dx f ( )(b a ) .
b
，
(a b)
积分中值公式
y
f ( )
y=fห้องสมุดไป่ตู้x)
o
a
b
x
三、原函数存在定理
若函数 f (x) 在 [a, b] 上连续，则变 上限定积分
( x )
x
a
f (t )dt
在区间 [a, b] 上可导，且有
d x ( x) f (t )dt f ( x) dx a a x b
变限积分求导: 问：
d ( x) f (t ) d t ? dx a
d ( x) f (t ) d t ? d x ( x)
1 dx. 2 x
例6
解
求
1
2
1 dx. 2 x
1
1
2
1 1 1 dx ( ) 2 x x 2 2
例7 计算
2 0
1 cos x dx
2
例7 计算
2 0
1 cos x dx
2 2
解：原式 0 sin x dx
sin x dx ( sin x) dx
一. 定积分的定义
设函数 f ( x ) 在[a , b]上有定义，
1. 分割
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b
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微积分公式
tan -1
x = x-33x +55x -7
7
x +…+)12()1(12+-+n x n n + …
(1+x)r
=1+r x+!2)1(-r r x 2+!
3)2)(1(--r r r x 3
+… -1<x<1
Γ(x) = ⎰∞0t x-1e -t d t = 2⎰∞0t 2x-1
2
t e
-d t = ⎰∞
)1
(ln t
x-1
d t
β(m , n ) =⎰1
0x m -1(1-x)n -1
d x =2⎰20
sin π
2m -1x cos 2n -1x
d x = ⎰∞
+-+0
1
)
1(n
m m x x d x 希腊字母 (Greek Alphabets)
大写
小写
读音 大写 小写
读音 大写 小写
读音
Α α alpha Ι ι
iota Ρ ρ
rho Β β beta Κ κ kappa Σ σ, ? sigma
Γ γ gamma Λ λ lambda Τ τ
tau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilon
Ε ε epsilon Ν ν nu Φ φ
phi Ζ ζ zeta Ξ ξ xi Χ χ
khi Η η eta Ο ο omicron Ψ ψ
psi Θ
θ
theta Π
π
pi Ω ω omega
倒数关系: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1
商数关系: tan θ= θθcos sin ; cot θ= θ
θ
sin cos
平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ
順位低
順位高
; ? 顺位高d 顺位低 ;
0*? =
∞1 *? = ∞
∞
= 0*01 = 00
00 = )(0-∞e ; 0∞ = ∞⋅0e ; ∞1 = ∞⋅0e
顺位一: 对数; 反三角(反双曲)
顺位二: 多项函数; 幂函数 顺位三: 指数; 三角(双曲)
算术平均数(Arithmetic mean)
中位数(Median) 取排序后中间的那位数字 众数(Mode)
次数出现最多的数值 几何平均数(Geometric mean) 调和平均数(Harmonic mean) 平均差(Average Deviatoin)
变异数(Variance)
n
X X
n
i
2
1
)
(-∑ or
1
)(2
1
--∑n X X
n
i
标准差(Standard Deviation)
n
X X
n
i
2
1
)
(-∑ or
1
)(2
1
--∑n X X
n
i
分配 机率函数f (x ) 期望值E(x )
变异数V(x )
动差母函数m (t )
1 000 000 000 000 000 000 000 000 10 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z
1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E
1 000 000 000 000 000 1015 peta P
1 000 000 000 000 101
2 tera T 兆
1 000 000 000 109 giga G 十亿
1 000 000 106 mega M 百万
1 000 103 kilo K 千
100 102 hecto H 百
10 101 deca D 十
10-1 deci d 分，十分之一
10-2 centi c 厘（或写作「厘」），百分之一
10-3 milli m 毫，千分之一
001 10-6 micro ? 微，百万分之一
000 001 10-9 nano n 奈，十亿分之一
000 000 001 10-12 pico p 皮，兆分之一
000 000 000 001 10-15 femto f 飞（或作「费」），千兆分之一000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿
000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z
000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y。