赋范空间

•
从赋范空间完备观点来看，由于 C[a , b] 是在 L[a , b] 中稠密(当然稠密是按 L[a , b]中距 离来说的)的子空间，而 L[a , b] 是完备空间， b C [a , b ] || x ||1 | x(并不完备， t ) | dt 但 关于范数 a L[a , b] || ||1 C [a , b] 的完备化空 所以 不过是 按 间。
抽象化处理
• 给定赋范空间 X ，并给定 X 中的有穷个向 量 e1 , e2 ,..., en ，对求一组数 1 , 2 ,..., n ， 使得
|| x k 1 k ek || min || x k 1 ak ek || n
n n aF
其中 a (a1 , a2 ,..., an ).
有
|| x y || 1 ( , 0, 1)
•
上给定 的一组线性无关向量,则 x X ,存在 唯一的一组最佳逼近系数 {1 , 2 ,..., n } 适合
|| x k 1 k ek || min || x k 1 ak ek || n
E E0
ess sup | f ( x ) |
xE
E0 E : mE0 0, s.t .,
|| f || sup | f ( x ) |
xE E0
Pr .
|| f ||
mE0 0, E0 E
inf
sup | f ( x ) |
E E0
n, En E : mEn 0, s.t .,
• L ( E ) 空间：E 上关于Lebesgue 测度的 p方可积函数空间。 1)按通常的线性运算成线性空间。 定义 1
p
|| f || ( | f ( x ) | dx )
p E
p
p
2)由Minkowski不等式知，L ( E )是 一个赋范空间。
E F , f (t ) • 设 (, F , ) 是一测度空间， 是 E 上的实值（或复值）函 数，p 0 ，设 f 是 E 上的可测函 p 数，且 | f | 在 E 上是可积的，这种 p f 函数 的全体记做 L ( E , F , ) ， p 简记为 L ( E , ) 。
赋范线性空间 ( X ,|| ||) :
1) ||x || 0, 且 || x || 0 x 0
2) || x ||| | || x ||, R
3) ||x y |||| x || || y ||
令 ( x, y) || x y || , 则 满足距离的三个条件,从而赋范空 间按此距离成为距离空间,其距离 称为由范数诱导的距离. 定义 若 xn , x ( X ,|| ||) (n 1, 2,...) 满足 || x n x || 0(n ) 则称点列{ xn }依范数收敛于 x ,记作
i .e., {xn }是C auchy列
0, 2 x 1 但xn (t ) y(t ) 1, 1 x 2
y C[2, 2] (C[2, 2],|| || ) isn ' t a Banach space.
But C[a , b] with the norm || x || max | x( t ) |
sup | f ( x ) ||| f || 1 n xE En
令E0
n 1
En , mE0 0
|| f || sup | f ( x ) | sup | f ( x ) ||| f || 1 n xE E0 xE En
令n ,
|| f || sup | f ( x ) |
l 空间
p
• 记满足 n1 | xn | , p 1 的实（或 p 复）数列 x { xn } 全体为 l 。在 中规定: 1
p
|| x || p ( n1 | xn | )
p
p
由Minkowski不等式可以验证 || || p 是 l p 上的范数。
• 注：如果 0 p 1 ，Minkowski不等式 p p L 或 l 一般不成立，从而 || || p不是 上 1 p p 的范数。例如 2 ，在 l 中取 x (1,0,...,0), y=(0,1,0,...,0)
表明：具有相同维数的两个有穷维线性赋范空 间在代数上是同构的，在拓扑上是同胚的。
最佳逼近问题
• 逼近论的一个基本问题：给定了一组 函数 1 , 2 ,..., n 和一个函数 f , 用 1 , 2 ,..., n 的线性组合去逼近 f (按某种尺度）,问是否有最佳的逼近 存在？例如 f 是 [0, 2 ]上的一个周期函 n p L 数,用 k 1 k k 去逼近 f ,求在 [0, 2 ] 意义下的最佳逼近.
p
L 空间
• f ( x ) 是可测集 E 上的可测函数。如 果 f ( x ) 和 E 上的一个有界函数几乎处 处相等，称 f ( x ) 是 E 上的本性有界可 测函数。 E 上的本性有界可测函数全 L 体记做 ( E )。定义：

|| f ||
mE0 0, E0 E
inf
sup | f ( x ) |
t[ a ,b ]
is a Banach space .
• 例 P[a , b]是[a , b]上一切多项式的全 体所成的线性空间，定义范数
|| x || max | x( t ) |, x P[a, b]
t[ a ,b ]
P[a , b]是赋范线性空间，但却 从而， P[a , b] 在完 是不完备的。另一方面， 备空间 C[a , b]内稠密。故 C[a , b] 完备 化空间是 P[a , b]。
lim xn x , or xn x( n )
n
•
C [a , b] 是区间 [a , b] 上[a, b] 时,规定 || f || max x[a ,b] | f ( x) |
C [a , b]按范数 || || 成为赋范线性空间.
xE E0
R
n
x ( x1 , x2 ,..., xn ) R
n 1 2 2 k
n
|| x ||1 ( k 1 x )
n
|| x ||2 k 1 | xk |
|| x ||3 max | xk |
1 k n
• || ||1 和 || ||2是 X 上的两个范数， 若 C1 , C2 0, s.t .,
2
2
1 0, -2 x 1 n xn ( t ) nx 1 n, 1- 1 x 1 n 1<x 2 1,
|| xn xm || | xn ( t ) xm ( t ) | dt
2
2
1|1 1 | 2 n m
( n1 | xn yn | ) 2

n 1
1 2 2
2
1 2 2 1 2 2
( | xn | ) ( | yn | )
1 因此 || || p ( p ) 不是范数。 2
n 1
l 空间
F 是 N 的子集 • 令 N 是自然数全体， 是 F上如下的测度：A F 全体， p ( A) A中元素的个数。 { xn } l 时， 时，把它看成函数 x(n) xn ，那 p 末 l 就可以看成 l p ( N , F , ) 。
C1 || x ||2 || x ||1 C2 || x ||2 , x X
则称 || ||1 是 || ||2 等价的。
• 有限维赋范空间（Minkowski空间） 在代数同构意义下，两个有穷维线性空 间等价的充要条件是它们有相同的维数。 两个有穷维线性空间，如果维数相同， 那么它们的拓扑之间有什么关系？ 定理 设 X 有穷维线性空间， || ||1 与 || ||2 都 是 X 上的范数，则 || ||1 与 || ||2 是等价的。
•
度量空间的完备化(以及后来进一 步发展起来的具有一致结构的拓扑空 间的完备化)，可以毫不夸张地说是整 个分析数学的一个重要而基本的思想 和方法。由有理数产生实数是这个思 想的最早的体现。由Riemann积分扩 充为Lebesgue积分，实质上与由连续 函数空间完备化为勒贝格可积函数空 间是一回事。
M span{e1 , e2 ,..., en },
( x , M ) inf || x y ||
yM
? x0 M , s.t .,
(x , x0 ) ( x , M )
• x 在 M 上的最佳逼近元?
严格凸
X 是严格凸的，若
x, y X , x y, || x |||| y || 1
n n aF
X是严格凸的,{e1 , e2 ,..., en } 是 X
Banach空间
• 完备的赋范空间称为Banach空间. • 任一度量空间存在完备化空间，且在 等距同构意义下是唯一的。
例
Q 不完备，R 是 Q 的完备化空间。
• 例（P75）
C[2, 2], || x ||1 | x( t ) | dt