专题25 平面几何的最值问题
平面几何的最值问题及求法
数 学教 学
２１ 年第 ５ ００ 期
平 面几何 的最值 问题 及 求法
５５ ２１ ３ ０广东 省东莞市常 学（ 部 平中 高中 ）陈 洪波
一
、
利用三角形的性质
利用三 角形 “ 两边之和大 于第三边， 两边之
设正 △ＡＢ 的边长为 ２ Ｍ 是 Ｊ 边上的中点， ， Ｅ ； ｊ是边Ｂ ［ ） 上的任意一点， ＋Ｐ 的最大值 Ｐ Ｍ 和最小值分别记为ｓ ， 和ｔ 则求 ｓ 一ｔ的值． 解： 如图 ２ ． Ｐ ≤ ，’ ，Ｆ ≤ Ｍ， ’ Ｊ ） ＰＡ＋ ＰＭ ≤ ＣＡ＋ ＣＭ ＝ ２＋ 、３ ／． ／
所 以Ｐ Ｐ ＝ ｘＯｐ ２ ／ ＇ ＋Ｏ ＂ Ｐ
例２ （ ０ 年全国初中数学联合竞赛试题） ２ ０ ０
２１ 年第 ５ ００ 期
＝ ￣ ＯＰ２＋ ＯＰ２＝ １ ｖ － ／ ０ ／ ２
．
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５２ —５
解： 以点 为旋转 中心， ＡＢＣ 将 Ｅ按顺时针 方向旋转 ６ 。 ＡＢＧ 连结 ＥＦ， ＡＢ ０到 Ｆ， 则 ＥＦ为
Ａ１
、
‘ ＼ ，
‘
、 ＼＼ Ｍ 、１ ＾
＝
３ 。 ０ ．
ｊ、 、 ‘ ， Ｎ
图４
设 正方 形 边 长 为 ， ＢＧ ＝ ， 则 ＧＨ ＝ － ， ４ ｘ
Ｂ 日 ： 日 ：
（ ） ＋ ．
由Ｇ Ｈ 十 日 ＝ＡＧ ， 得
１ ２ ＋
分析： 因河宽一定的， 以桥 Ｍ Ⅳ 的长度一 所 定， 只须使 Ｍ ＋ＢⅣ 最短即可． 可平移 Ｍ （ 或
于 Ｂ． ’Ｒｃ ． △ＤＤ Ｇ中， ＤＧ． 。ＤＤ ． ＤＤ ＞ ． ．
＞
Ｍ 连结 ＣＭ 则 ． ， Ｍ ＝ ９ 。 所以 ０， Ｍ ｘＡ ＋Ｃ ＝ ／ Ｃ２ ＝ 、７ ． ＝ 、 ． ／，’ ／ ．￡ ／ ／ ７ 从而 ８ 一ｔ ＝（ 十 ） 一７ ４ ． 。 。 ２ 。 ＝４ ５ 二、 利用对称变换 例３ （００ ２０ 年黄 冈初 中数学竞赛试题） 如图 ３ ， （Ｂ ＝ ４ 。 二 ） ５ 角内有一 点Ｐ， ＰＯ ＝ １， ０ 在 角的两条 边上有两点 Ｑ 均不 同于点 Ｄ， 、 求 ＡＰ Ｒ的周长的最小值． Ｑ
(完整word版)平面几何的定值与最值问题
第二十三讲平面几何的定值与最值问题【趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒，他是集市上的一个小贩.••每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B，但是，到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城，阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,•而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1。
这个信徒想,我怎样选择朝拜点，才能使从家到朝拜点，•然后再到集市的路程最短呢?（1) （2）解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β。
那么朝圣者沿A→P→B的路线去走，距离最短.证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.连结BP•′与切线MN•交于R，AR+BR〉AP+BP.∵RP′+AP′〉AR.∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB〉AR+BP〉AP+BP。
不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.•“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”，解决它的方法是采用“等角原理"。
【知识延伸】平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值，然后证明当相应几何元素变化时，此值保持不变.例1如果△ABC的外接圆半径R一定，求证：abcS是定值。
（S表示△ABC的面积）解析由三角形面积S=12absinC和正弦定理sincC=2R,∴c=2RsinC.∴abcS=2sincC=4sinsinR CC=4R是定值。
点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形，计算出结果是4R，即为定值。
平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系，例如在变动一些几何元素时，•某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,•这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形（或者至少证明不等式可以成为等式）。
几何中的最值问题
几何中的最值问题作为一门重要的数学学科，几何中有许多重要的概念和方法，其中最值问题是一个广泛研究的内容。
在几何中，最值问题是指在某些条件下，某个几何量（如长度、面积、体积等）的最大值或最小值问题。
本文将从不同角度介绍几何中的最值问题及其应用。
一、最值问题的基础概念在几何问题中，最值问题最常见的便是一些面积、长度和体积的最值问题。
最常见的方法是使用微积分的极值定理，通过计算导数为0的点来找到函数的最大值和最小值。
此外，还有最大和最小的边界问题。
这些问题需要考虑的是给定条件下的最大可行解或最小可行解。
例如，给定一个面积固定的矩形，我们需要求出其长度和宽度的最大或最小值。
这些问题与微积分密切相关，但在解决这些问题时需要更多的几何知识和直觉。
二、平面几何中的最值问题在平面几何中，最值问题通常涉及三角形、四边形和圆形等形状。
这些形状的特性可以用来求解最值问题，通常需要使用各种几何知识和技巧。
例如，对于一个给定面积的三角形，在其周长恒定的情况下，需要求出该三角形的最大或最小长度。
为解决这类问题，我们可以利用三角形的海涅定理或余弦定理，通过微积分的极值定理得到最优解。
对于圆形，最值问题可能涉及到面积和周长问题，这些需要用到圆相关的特点和公式，如半径、直径、周长和面积等，通常需要通过微积分的方法求解。
另一方面，对于四边形最值问题，我们需要利用它们的对角线和相邻边的关系来解决，这通常需要将四边形划分为三角形或矩形来计算。
三、空间几何中的最值问题在空间几何中，最值问题通常涉及立体体积，包括长方体、正方体、棱锥和棱柱等。
这些问题需要利用空间几何的特点和公式来求解，常用的方法包括微积分的极值定理和立体几何的体积计算公式。
例如，对于一个矩形长方体，在其表面积固定的情况下，需要求出其有最大或最小的体积。
如果我们设该矩形长方体的长、宽和高分别为x、y和z，那么该矩形长方体的体积可以表示为V(x,y,z)=xyz。
通过微积分的方法，可以证明只有当x=y=z时，该方体的体积最大。
专题25 费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题(老师版)
专题25 费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2021春•顺德区期末）点P 为ABC ∆所在平面内一点，当PA PB PC ++取到最小值时，则称该点为ABC ∆的“费马点”．当ABC ∆的三个内角均小于120︒时，费马点满足如下特征：120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒．如图，在ABC ∆中，AB AC ==BC ，则其费马点到A ，B ，C 三点的距离之和为( )A ．4B ．2C ．2-D ．2+【解答】解：根据题意，ABC ∆为等腰三角形，120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒，PB PC ∴=，在PBC ∆中，由余弦定理可得：2222cos BC BP CP BP CP BPC =+-⋅⋅∠，即222122()2BP BP =-⨯-，解得：1BP =， 在ABP ∆中，由余弦定理可得：2222cos AB BP AP BP AP APB =+-⋅⋅∠，即22112()2AP AP =+-⨯-⨯，解得：2AP =， 4AP BP CP ∴++=，∴其费马点到A ，B ，C 三点距离之和为4．故选：A ．2．（2020秋•新华区校级期末）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒，根据以上性质，函数()f x =的最小值为( )A ．2BC ．2-D ．2+【解答】解：根据题意画出图象并建立如图所示的直角坐标系，设三角形三个顶点分别为A ，B ，C ，函数()f x (,)x y到点(1,0)C ，点(1,0)B -，点(0,2)A 的距离之和，可知ABC ∆为等腰三角形，则这个等腰三角形的“费马点”在高线AO 上，设点G 为“费马点”，连接GB ，GC ，则60OGB OGC ∠=∠=︒，GO =GB GC ==，2GA =，∴距离之和为22GA GB GC ++==+即函数()f x 2+．故选：D ．3．（2020秋•安徽月考）17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在ABC ∆中，若三个内角均小于120︒，当点P 满足120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上性质，已知a 为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则||||||a b a b a c -+++-的最小值是( )A ．2B ．23+C 1-D 1【解答】解：设(,),(1,0),(0,1)a x y b c ===，则2||||||(1)a b a b a c x -+++-=-即为点(,)P x y 到(1,0)A ，(1,0)B -和(0,1)C 三个点的距离之和，则ABC ∆为等腰直角三角形，如图，由费马点的性质不难得到，当点P 的坐标为时，距离之和最小为(11+=+． 故选：D ．4．（2014春•鹿城区校级期末）设点F 为锐角ABC ∆的“费马点”，即F 是在ABC ∆内满足120AFB BFC CFA ∠=∠=∠=︒的点．若||3FA =，|4FB =，||5FC =，且实数x ，y 满足AF xAB y AC =+，则(x y= ) A ．54 B ．2516 C ．32 D ．94【解答】解：以F 为坐标原点，以FA 为y 轴正方向建立空间坐标系，如下图所示：由120AFB BFC CFA ∠=∠=∠=︒，||3FA =，||4FB =，||5FC =，得：(0,3)FA =，(23FB =2)-，(FC =，5)2-由AF xAB y AC =+可得：532302x y -=，故54x y =，故选：A ． 二．填空题（共15小题） 5．（2021•泰安模拟）在一个三角形ABC 中到三个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，经证明它也满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，因此费马点也称为三角形的等角中心如图，在ABC ∆外作等边ACD ∆，再作ACD ∆的外接圆，则外接圆与线段BD 的交点P 即为费马点．若1AB =，2BC =，90CAB ∠=︒，则PA PB PC ++= 7 ．【解答】解：方法一、如图1，在线段BD 上取一点Q ，使CP CQ =，因为60CPD CAD ∠=∠=︒，所以CPQ ∆是正三角形；又60DCQ ACQ ACQ ACP ∠+∠=∠+∠=︒，所以DCQ ACP ∠=∠，又CD CA =，CQ CP =，所以CQD CPA ∆≅∆， 所以PA PB PC DQ QP PA BD ++=++=；在ABD ∆中，22213AD AC ==-=，1AB =，6090150BAD ∠=︒+︒=︒，由余弦定理得，2221(3)213cos1507BD =+-⨯⨯⨯︒=，所以7BD =．方法二、建立平面直角坐标系，如图2所示：正三角形ACD 中，22213AD AC ==-=，所以323123OD =⨯⨯=，所以圆O 的方程为：221x y +=；又(1,0)D -，1(2A，，1(2C，3(2B，， 直线BD的斜率为02312k +==--， 所以直线BD的方程为1)y x =+；由2211)x y y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，11(14P，，计算PA =，PB ==PC =，所以PA PB PC ++=6．（2021•深圳模拟）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔⋅德费马(16011665)-于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC ∆的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC ∆的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为 2+【解答】解：设||||PA m PC =，||||PB n PC =，||PC x =，其中0m >，0n >，0x >， 由余弦定理可得2222222||2cos120(1)AC x m x mx m m x =+-︒=++，2222222||2cos120(1)BC x n x nx n n x =+-︒=++，222222||2cos120AB m x n x mnx =+-︒，因为222||||||AB CA CB =+，所以2222222()(1)(1)m n mn x m m x n n x ++=+++++，即2m n mn ++=，因为0m >，0n >，所以2()4m n mn +，即2()24m n m n +++，当且仅当1m n ==时，取得等号． 因为||||||PA PB PC λ+=，所以m n λ+=，所以224λλ+，解得223λ=或223λ-（舍去），当且仅当1m n ==所以λ的最小值为2+故答案为：2+ 7．（2021•江西模拟）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于23π时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为23π．已知点P 为ABC ∆的费马点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2sin()cos 6A C B π=-，且22()6b a c =-+，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅的值为 6 ． 【解答】解：cos 2sin()cos 6A CB π=-，1cos cos )cos 2A C C B ∴=-，即cos cos cos cos A C B C B -， A B C π++=，cos cos()cos cos sin sin A B C B C B C ∴=-+=-+，cos cos sin sin cos cos cos B C B C C B C B ∴-+=-，即sin sin cos B C C B =，sin 0C ≠，sin tan cos B B B ∴== (0,)B π∈，3B π∴=， 由余弦定理知，2221cos 22a cb B ac +-==， 22()6b a c =-+， 6ac ∴=，12121211sin sin sin sin 6sin 232323223ABC S PA PB PB PC PA PC ac B ππππ∆∴=⋅+⋅+⋅==⨯⨯=，6PA PB PB PC PA PC ∴⋅+⋅+⋅=．故答案为：6．8．（2020秋•全国月考）费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为120︒．已知ABC ∆的三个内角均小于120︒，P为ABC ∆的费马点，且3PA PB PC ++=，则ABC ∆面积的最大值为． 【解答】解：3PA PB PC ++=，22229()2()3()PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PB PC PA PB PA PC PB PC =++=+++⋅+⋅+⋅⋅+⋅+⋅，3PA PB PA PC PB PC ∴⋅+⋅+⋅．111113sin sin sin ()sin1203222222ABC S PA PB APB PB PC BPC PA PC APC PA PB PB PC PA PC ∆∴=⋅⋅∠+⋅⋅∠+⋅⋅∠=⋅+⋅+⋅⋅︒⨯⨯，当且仅当1PA PB PC ===时，等号成立．则ABC ∆．． 9．（2020•江西模拟）我们把三角形三个顶点距离之和最小的点称为费马点，若三角形内角均小于120︒，则该三角形的费马点与三角形三边的张角均为120︒．已知三角形ABC 中内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若||a b -=，60C =︒，若三角形ABC 的费马点为O ，则OA OB OB OC OC OA ++= 6 ．【解答】解：由||a b -=，得22226c a b ab =+-+．由3C π=，得222c a b ab =+-．两式相减得6ab =．所以11sin 622ABC S ab C ∆==⨯． 所以11133sin120sin120sin1202222ABC S OA OB OB OC OA OC ∆=︒+︒+︒=， 得6OA OB OB OC OC OA ++=．故答案为：6．10．（2018秋•上虞区期末）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒．根据以上性质，已知(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ，P 为ABC ∆内一点，记()||||||f P PA PB PC =++，则()f P 的最小值为 2+ ，此时sin PBC ∠= ．【解答】解：如图，由图可知ABC ∆为等腰三角形，由费马点的性质得，当点P 在中线OC 上且120CPB CPA APB ∠=∠=∠=︒时，()f P 有最小值，设OP x =，则2CP x =-．由题意，AC BC ==在Rt POB ∆中，221PB x =+由余弦定理有，2222cos120BC PC PB PC PB =+-︒代入数据有，225(2)1(2x x x =-+++-解方程得x =或x =（舍)或2x =（舍)，此时()(22f P =+= 3(2)sin1202152sin PC PBC BC -︒∠== 故答案为：2+11．（2019•凉山州模拟）点M 是ABC ∆内部或边界上的点，若M 到ABC ∆三个顶点距离之和最小，则称点M 是ABC ∆的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）．若(0,2)A ，(1,0)B -，(1,0)C 时，点0M 是ABC ∆的费马点，且已知0M 在y 轴上，则000||||||AM BM CM ++的大小等于 2+【解答】：当ABC ∆三个内角均小于120︒时，费马点M 在ABC ∆内部，此时120AMB BMC CMA ∠=∠=∠=︒，此时||||||AM BM CM ++的值最小．由ABC ∆为锐角三角形，且||||AB AC =，可得0120BM C ∠=︒，设0(0,)M t ，(02)t <<在直角三角形0M CO 中，060OM C ∠=︒，可得tan30t =︒=， 则则000||||||22AM BMCM ++=++． 故答案为：2+．12．（2018秋•荆州区校级期中）以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA '，CAB '，ABC '，则AA '，BB '，CC '三线共点，该点称为ABC ∆的正等角中心．当ABC ∆的每个内角都小于120︒时，正等角中心点P 满足以下性质：（1）120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）2+【解答】在平面直角坐标系中，令点(0,1)A ，(0,1)B -，(2,0)C ，则(,)x y 到点A 、B 、C 的距离之和．因为ABC ∆是等腰三角形，AC BC =，所以C '点在x 轴负半轴上，所以CC '与x 轴重合．令ABC ∆的费马点为(,)P a b ，则0b =．因为ABC ∆是锐角三角形，由性质（1）得120APC ∠=︒，所以60APO ∠=︒，所以1a ，所以a ．P ，0)到A 、B 、C 的距离分别为PA PB ==，2PC =，所以2PA PB PC ++=故答案为：2．13．（2019春•石家庄期末）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于120︒时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒．根据以上性质，函数()f x =的最小值为 2 【解答】解：由两点间的距离公式得()f x =为点(,)x y 到点(1,0)B ，(1,0)A -，(0,2)C 的距离之和，即求点(,)x y 到点(1,0)，(1,0)-，(0,2)的距离之和的最小值，取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，如右图，在等腰三角形AMB 中，120AMB ∠=︒，可得1cos30AM BM ===︒22CM MO =-=，22=．故答案为：2．14．（2021春•湖北期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC ∆内BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若30ACB ∠=︒，则△A B C '''的面积最大值为 3 ．【解答】解：如图，由正弦定理可得，sin30c c ==︒90ACB ∠''=︒，∴23A C '⨯，B C '=，故A B ''=．由余弦定理可得，2222cos30a b ab c +-︒=，即226a b +=，又222a b ab +，∴22222a b +，整理得：22224123a b ++，故23(233A B ''=，231(24343A B C S A B '''=''⨯+=．故答案为：3．15．（2021春•润州区校级期中）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC ∆内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若90ACB ∠=︒，则△A B C '''的面积最大值为． 【解答】解：如图在Rt ABC ∆中，设直角边CA a =，CB b =，由题意知222224a b AB +===， 做出拿破仑三角形A B C '''如图，连接CA '，CB '，由等边三角形外心的性质可知：23CA '==，同理CB '，309030150ACB ACA ACB B CB ∠''=∠'+∠+∠'=︒+︒+︒=︒， 在△A CB ''中，由余弦定理得222222222144312cos ))2cos150()()33332A B CA CB CA CB A CB a b a b ''='+'-'⋅'⋅∠''=+-⨯︒=+=+⨯+，（当且仅当a b =时取等号），故21142sin 60223A B C SA B '''+=''⋅︒⨯=．所以△A B C '''．．16．（2021•泉州二模）拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点．”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流、物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值．如图，设ABC ∆代表旧城区，新的城市发展中心1O ，2O ，3O 分别为正ACD ∆，正ABE ∆，正BCF ∆的中心．现已知2AB =，30ACB ∠=︒，△123O O O ABC 的面积为．【解答】解：如图所示，连接1CO ，3CO ，由题意得：1CO ，3CO ，330O CB ∠=︒，130O CA ∠=︒， 又30ACB ∠=︒，1390O CO ∴∠=︒，又123213O O O SO ==132O O ∴=， 由勾股定理可得：2221313CO CO O O +=，则22213))AC O O +=，得2212AC BC +=， 由余弦定理可得：2222cos30AB AC BC AC BC =+-⋅⋅︒又2AB =，解得AC BC ⋅=∴1sin 302ABC S AC BC ∆=⋅⋅︒=17．（2021•浔阳区校级模拟）法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =︒，以AB 、BC 、AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O 、2O 、3O ，若三角形123O O O角形ABC 的周长最小值为 6 ．【解答】解：由题意知△123O O O 为等边三角形，设边长为m ，则123221sin 602O O O Sm =︒==12||2O O m ==， 设BC a =，AC b =，AB c =，如图所示：在△1O AB 中，1130O AB O BA ∠=∠=︒，由60BAC ∠=︒，可知13120O AO ∠=︒， 在等腰△1BO A 中，由1sin120sin 30AB O A ︒=︒，解得1O A =，同理3O A =， 在△13O AO 中，由余弦定理，得2221313132cos120O O O A O A O A O A =+-⋅⋅︒，即22142()3332c b bc =+-⋅⋅-，即2212b c bc ++=，在ABC ∆中，由余弦定理知，222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，a ∴， 又222()212b c b c bc bc +=++=+，b c ∴+=，ABC ∴∆的周长为a b c ++=又222b c bc +，22123b c bc bc ∴++=，04bc ∴<．令()4)f x x =<， 则()0f x '=<，()f x ∴在(0，4]上单调递减，∴当4x =时取得最小值为f （4）6=，6a b c ∴++，即ABC ∆的周长最小值为6．故答案为：6．18．（2021•淮安模拟）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑⋅波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”．在ABC ∆中，120A ∠=︒，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O ，若△123O O OABC ∆的周长的取值范围为 [3+ ．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：设AB x =，AC y =，120BAC ∠=︒，所以以AC 、AB 为边作等边三角形，其中一边在BA 、CA 的延长线上；由AC y =，CM y =，2y AM =，113O M CM =；所以，1(2y O -)y ；同理，2(2x O ，)；22222212()11||())()()224123x y x y O O y x y x y +=+++=++=+；所以等边△123O O O 的面积为1232221211sin 60||())23O O O SO O x y x y =︒⋅=+=+=解得2()12x y +=，所以x y +=； 在ABC ∆中，由120BAC ∠=︒，所以BC =，所以ABC ∆的周长为l x y =+= 又222()212x y x y xy +=++=，且222x y xy +，所以412xy ，解得3xy，当且仅当x y ===”； 又0x >，0y >，所以03xy <，[3l =+，即ABC ∆的周长最小值为[3+．故答案为：[3+．19．（2021•江苏模拟）法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =︒，以AB 、BC 、AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O 、2O 、3O ，若三角形123O O O，则三角形ABC 的周长最小值为【解答】解：由题意知△123O O O 为等边三角形，设边长为m ，则123221sin 602O O O Sm =︒==，解得12||O O m == 设BC a =，AC b =，AB c =，如图所示：在△12O AO 中，1130O AB O BA ∠=∠=︒，由60BAC ∠=︒，所以12120O AO ∠=︒， 在等腰△1BO A 中，1sin120sin 30AB O A ︒=︒，解得1O A=，同理得3O A =， 在△12O AO 中，由余弦定理得2221313132cos120O O O A O A O A O A =+-⋅⋅︒，即22122()3332c b bc =+-⋅⋅-，即226b c bc ++=，在ABC ∆中，由余弦定理知，222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，a ∴，又222()6b c b c bc bc bc +=+++=+，b c ∴+=，ABC ∴∆的周长为a b c ++=222b c bc +，2263b c bc bc ∴++=，2bc ∴．令()2)f x x =<，则()f x '=当()0f x '<时，有0+<，解得3x >，()f x ∴在(0，2]上单调递减，∴当2x =时取得最小值，f （2）=32a b c ∴++，即ABC ∆的周长最小值为故答案为：． 三．解答题（共3小题）20．（2021春•台江区校级期中）法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对ABC ∆而言，若其内部的点P 满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则称P 为ABC ∆的费马点．如图所示，在ABC ∆中，已知45BAC ∠=︒，设P 为ABC ∆的费马点，且满足45PBA ∠=︒，2PA =． （1）求PAC ∆的面积； （2）求PB 的长度．【解答】解：（1）由已知可得1801204515PAB ∠=︒-︒-︒=︒，451530PAC ∴∠=︒-︒=︒， 在PAC ∆中，1801203030PCA ∠=︒-︒-︒=︒，2PA PC ∴==，PAC ∴∆的面积11sin 2222S PA PC PAC =∠=⨯⨯．（2）1sin15sin(4530)2︒=︒-︒=，sin 45︒，∴在PAB ∆中，由正弦定理sin15sin 45PB PA=︒︒，可得22sin151sin 45PB ︒===︒．21．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB =，1BC =，P 为ABC ∆内一点，90BPC ∠=︒． （1）若12PB =，求PA ； （2）若150APB ∠=︒，求tan PBA ∠．【解答】解：()I 在Rt PBC ∆中，1cos 2PB PBC BC ∠==，60PBC ∴∠=︒，30PBA ∴∠=︒． 在PBA ∆中，由余弦定理得222221172cos30()2224PA PB AB PB AB =+-︒=+-⨯=．PA ∴=． ()II 设PBA α∠=，在Rt PBC ∆中，cos(90)sin PB BC αα=︒-=．在PBA ∆中，由正弦定理得sin sin AB PBAPB PAB=∠∠sin sin(30)αα=︒-，4sin αα=．∴tan α 22．在ABC ∆内存在一点O ，满足BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，求证：ABC ∆的三边构成等比数列．【解答】证明：12BAO CAO CBO ACO BAC ∠=∠=∠=∠=∠，OA OC ∴=，设BAC α∠=，ABC β∠=，ACB γ∠=，在ABO ∆和BCO ∆中，由正弦定理得，11sin()sin 22OA BO βαα=-，11sin sin()22CO BOαγα=-， AO CO =，∴两式相比得，2111sin sin()sin()222αβαγα=--，则1cos cos()cos()αβγβγα-=--+-， 即1cos()cos cos()βγααβγ++-=+-，1802βγαα+-=︒-，180()αβγ=︒-+1cos(1802)cos[180()]cos()αβγβγ∴+︒-=︒-++-，即1cos(2)cos()cos()αβγβγ-=--+，22sin 2sin sin αβγ∴=， 即2BC AC AB =，则AC ，BC ，AB 三边构成等比数列。
专题25平面几何的最值问题_答案.doc
专题25 平面几何的最值问题例】等提示：当CM ®吋，CM 值最小，g 営:晋MN 的最小值为点厅到AB 的距离B'F, BE= —— = 4^5 cm, AC阳=8亦cm, AE=-BE 1=(20, -(4⑹'=8辰m.在△ABB'中，由丄 的“/^二丄血叩乍，得B'F=16cm ・故BM+2 2MN 的最小值为16cm. 例3 由厶APDs 厶BPQ,得(例2题咔“ 、A/竺=如,即盹=竺竺二好2 -P+BQ=x+冬"・・・・x+《4 BP BQAP x x x2 lx — = 14ab ,・••当且仅当x=—即x=V^时，上式等号成立.故当4PV XXp= 伤时，AP+BQ 最小，其最小值为2 后 _b.例4 (1”；=25 +亍，仔= 49”，故要选择路线/较短•⑵Z+EM +b ，(例5题图)X —呂=才(沪一4)厂一4八・当r=-^—时，片=1?,当r>-^—时，/,2>^,当r<-^— 1 2 LV ) 」 兀$ _4 1 - 兀—4 1 2亍-4时，/.2< /； • 例 5 设 DN=x, PN=y,则 S=xy,由厶APQs'ABF,得4f 3，.=-即-2 — (4 — x) 2不在自变量y 的取值范围内，所以y=—不是极值点，当y=3时，S {3)=12,当y=4时，S (4)=8,故S m ”=12.此时，钢板的最大利用率 ---------- : ---- =80%. 例6设PD=x(x>l),42 -Zx2xl2 则 PC=厶—,由 RtMCDsZAB,得&B=S"'= "I ,令 y=&3・Sz^B ，则 Y= ~ PC J7~[2(P)x=10 — 2y,代入 S=xy 得 S=xy=y(10—2小 即 S=~225 +因 3WyW4,而 y=2AB X PA X AB = (x + 厅2(x-l)求y 的最小值，有下列不同思路：①配方：y =2,即当x=3时，y 有最小值4.②例2如图，B f M+x-\ 2 ------ 1 ----- 2 x-1+ 4 , A 当2运用基本不等式：y=X_1 232x-l 2 二当——=——，即当尸3吋，尹有最小值4.③借用判别式，去2 x — 1分母，得 “+2 (l-y)x+l+2y=0,由厶=4(1一尹)2—4(1+2尹)=4尹(p-4)N0,得比 4,・\y 的最小值为4.1.17提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最人.2.83. ^744.D5.D6.B7. C 提示：当点P 与点D 重合时，四边形ACBP 的周长最大.8. (1)连结 ME,过 N 作 NFA.AB 于 F,可证明 RUEB 4竺Rt^MNF,得 MF=AE=x. VME 2=AE 2+AM 2f故 MB 1=X 1+AM 1,即(2—力M) 2=x 2+.4M 2, AM=\~-x.:・S=4AM十 DN xq= "M + " x2=/M+/M+MF=2/M+Ag=2 (l--x 2) +x=~-x 22 24 2+x+2.(2) S=~- (X 2-2 X +1)(x —l)讣丄.故当亦=x= 1 时，四边形ADNM2 2 2 2的面积最大，此吋最大值为仝.29. (1) 3C 长为竺二(2)提示：连结3D (3)过点3作丄力D 于由(2)知四3AB?边形/BCD 为等腰梯形，从而BC=AD-2 AM=2r-2 /M.由厶BAM^/\DAB,得 -------------------ADX YY EF=2 r- —./=4x+2 (2 厂一一)=-- rr r(0<x< V2 r)..当兀=厂时，/取得最大值6— 2+2=4,2 x-lY・・・BC=2厂一一.(x —r) 2+6 r (第8題图)10. (1) V ZAPE= ZADQ.Z4EP= ZAQD,:. ^APE^/\ADQ. (2)由厶4PEs △力DQ,1J 1333'PDFs£\ADQ,S、PEF = — S DPEQF ，得 S、PEF = — — 7+x= — — (x ——)2+ — •故当 x=—2 3 3 2 42时，即P 是/D 的中点时，取得最大值，(3)作A 关于直线BC 的对称点连结DA 交BC 于0,则这个0点就是使LADO 周长最小的点，此时0是BC 的中点. 11. (1)点P 恰好在3C 上时，由对称性知MN 是LABC 的中位线，.••当BC=3时，2点P 在BC 上.(2)由己知得ZUBC 底边上的高〃=“扌=4.①当0＜疋3时，如图1,连结并延长交BC 于点、D, 4D 与MN 交于点O.(第11题图)图22J 2 1 o 1 市△/A/Ns △/3C,得 AO= — X J y=S、PMN =S、AMN =—x — x=—x?即尹=—x?•当=3 时，v3 ■‘233 3'的值最大，最大值是3.②当3<x<6时，如图2,设△PMN 与BC 相交于点E, F, 4P 与 244相交于D.由①屮知AO=-x, :.AP=-x, :.PD=AP~AD=-x-A, T \PEFs 厶ABC.,3 33尹的最大值为4.综上，当兀=4时，夕的值最大，最大值为4.1.8 8^232提示：当ZCAB=ZACD=90°时，四边形ABCD 的面积达到最大值.S MB C(x-3)・••吵=S“wv _c — 1 2b“EF—~ 入3(x —3) 2=-X 2 + 8X -12 = - (X —4) 2 + 4.故当 x=4 时,Q'PE F・• SbPEF=~即2. 0</<1 提示：设BC=a, CA=b, AB=c, b+c=2观(r+1),又—/)csin60°=5A/i5c:=—2 2Ca+b+c) F,即、bc^~ = L [2\/3 +2A/3 G+l)]『，.bc=4r (r+2) . b, c 为方程2 2 2X2-2A/3 (r+1) x+4r (r+2) =0 的两个根，由—0,得(r+1) <22.H r>0, r+l>0,故 r+l<2,即 0</<l.3如7提示:过P 作垂直于"的弦倔此时弓形面积最小•4.丄提示：设 —=x,则 —= 1-^= —,也型=/,3 AB BA CA S’％° ° 2 1S 梯形DEFG = 1 —工厶—2 ( 1 —X ) 2 = — 3 (.X — — ) ' + —・33n:]5. 7 + °提示：当= 时，OC 的长最大.6. C27. (1)由 RtzUBPsRtAPC 。
几何中的最值问题的解决策略
几何中的最值问题的解决策略
在几何中，最值问题通常是要找到一个几何对象的最大值或最小值。
以下是几何中解决最值问题的一些常用策略：
1. 利用性质或定理：利用已知的几何性质或定理来推导出最值问题的解。
例如，利用三角形的角度和性质来证明某个角度或边长的最大值或最小值。
2. 利用几何画图法：通过绘制几何图形，并观察图形的性质来解决最值问题。
例如，通过绘制直角三角形来找到两条边长之和固定时，两条边长的乘积的最大值。
3. 利用代数方法：将几何问题转化为代数问题，并通过求导、求解方程等代数方法来求解最值问题。
例如，通过代数方法来证明一个函数的极值点是函数的最大值或最小值。
4. 利用不等式：通过建立合适的不等式关系来限制几何对象的取值范围，并通过求解不等式来解决最值问题。
例如，通过利用三角不等式来推导出三角函数的最值问题。
5. 利用等式的极值性质：利用等式的极值性质来解决最值问题。
例如，通过证明函数的取值范围，并找到函数在取值范围边界处的最大值或最小值。
综上所述，解决几何中的最值问题需要运用几何性质和定理，绘制几何图形观察性质，以及运用代数方法、不等式关系和极
值性质等。
同时，解决最值问题还需要对几何对象的性质有深刻的理解和运用。
专题25 平面几何的最值问题答案
专题25 平面几何的最值问题322＝4，∴当12x -＝21x -，即当x ＝3时，y 有最小值4. ③借用判别式，去分母，得x 2＋2（1－y ）x ＋1＋2y ＝0，由△＝4（1－y ）2－4（1＋2y ）＝4y （y －4）≥0，得y ≥4，∴y 的最小值为4.A 级1. 17 提示：当两张纸条的对角重合时，菱形周长最大.2. 83.4.D5. D6. B7. C 提示：当点P 与点D 重合时，四边形ACBP 的周长最大.8. （1）连结ME ，过N 作NF ⊥AB 于F ，可证明Rt △EB A ≌Rt △MNF ，得MF ＝AE ＝x.∵ME 2＝AE 2＋AM 2，故MB 2＝x 2＋AM 2，即（2－AM ）2＝x 2＋AM 2，AM ＝1－14x 2，∴S ＝2AM DN +×AD ＝2AM AF +×2＝AM ＋AM ＋MF ＝2 AM ＋AE ＝2（1－14x 2）＋x ＝－12x 2＋x ＋2.（2）S ＝－12（x 2－2 x ＋1）＋52＝－12（x －1）2＋52.故当AE ＝x ＝1时，四边形ADNM 的面积最大，此时最大值为52. 9. （1）BC 长为23r π.（2）提示：连结BD . （3）过点B 作BM ⊥AD 于M ，由（2）知四边形ABCD 为等腰梯形，从而BC ＝AD －2 AM ＝2r －2 AM .由△BAM ∽△DAB ，得AM ＝2AB AD ＝22x r ，∴BC ＝2r －2x r .同理，EF ＝2 r －2x r .l ＝4 x ＋2（2 r －2x r ）＝－x r（x －r ）2＋6 r （0＜x r ）..当x ＝r 时，l 取得最大值6 r .10. （1）∵∠APE ＝∠ADQ ，∠AEP ＝∠AQD ，∴△APE ∽△ADQ .（2）由△APE ∽△ADQ ，△PDF ∽△ADQ ，S △PEF ＝12S □PEQF ，得S △PEF ＝－13x 2＋x ＝－13（x －32）2＋34.故当x ＝32时，即P 是AD 的中点时，S △PEF 取得最大值，（3）作A 关于直线BC 的对称点A′，连结DA′交BC 于Q ，则这个Q 点就是使△ADQ 周长最小的点，此时Q 是BC 的中点.11. （1）点P 恰好在BC 上时，由对称性知MN 是△ABC 的中位线，∴当MN ＝12BC ＝3时，点P 在BC 上.（2）由已知得△ABC 底边上的高h4. ①当0＜x ≤3时，如图1，连结AP 并延长交BC 于点D ，AD 与MN 交于点O .B 级1.832 提示：当∠CAB ＝∠ACD ＝90°时，四边形ABCD 的面积达到最大值. 3. 249π提示：过P 作垂直于OP 的弦AB ，此时弓形面积最小. 4.13 提示：设AD AB ＝x ，则BD BA ＝1－x ＝CG CA ，ADG ABC S S ∆∆＝x 2，BDE ABC S S ∆∆＝（1－x ）2＝CFG ABC S S ∆∆，S 梯形DEFG ＝1―x 2―2（1－x ）2＝－3（x －23）2＋13.5. a 提示：当OA ＝OB 时，OC 的长最大.6. C7. （1）由Rt △ABP ∽Rt △PCQ ，得BP CQ ＝AB CP ，即x y ＝44x -，y ＝－14（x －2）2＋1（0＜x ＜4）.当x ＝2时, y 最大值＝1cm.（2）由14＝－14（x －2）2＋1，得x ＝（2）cm 或（2cm.8. 当过A ，B 两点的圆与x 轴正半轴相切时，切点C 为所求.作O′D ⊥A B 于D .，O′D 2＝O′B 2－B D 2＝2()2a b +－2()2a b -＝ab ，O′D 故点C ，0）.10. （1）提示：证明△ADF ∽△BAC .（2）①AB ＝15，BC ＝9，∠ACB ＝90°，∴AC12=，∴CF ＝AF ＝6，∴()()19632702y x x x =+⨯=+>． ②∵BC ＝９（定值），∴△PBC 的周长最小，就是PB ＋PC 最小，由（1）知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，所以PB ＋PC ＝PB ＋PA ，故只要求PB ＋PA 最小．显然当P 、A 、B 三点共线时PB ＋PA 最小，此时DP ＝DE ，PB ＋PA ＝AB ．由（1），角∠ADF ＝∠FAE ，∠DFA ＝∠ACB ＝90°，得△DAF ∽△ABC ．EF ∥BC ，得AE ＝BE ＝12AB ＝152，EF ＝92．∴ AF ∶BC ＝AD ∶AB ，即6∶9＝AD ∶15，∴AD ＝10．Rt △ADF 中，AD ＝10，AF ＝6，∴DF ＝8．∴DE ＝DF ＋FE ＝8＋92＝252． ∴当x ＝252时，△PBC 的周长最小，此时y ＝1292． 11．（1）令k ＝1，得y ＝x ＋2；令k ＝2，得y ＝2x ＋6，联立解得x ＝4，y ＝2，故定点（4，2）． （2）取x ＝0，得OB ＝2－4k （k ＜0），取y ＝0，得OA ＝()420k k k -<．于是△ABO 的面积()()114224022k S OA OB k k k -==-<，化简得()28820k S k +-+=．由()28640S ∆=--≥得2160S S -≥，故S ≥16．将S ＝16代入上述方程，得k ＝12-．故当k ＝12-，S 值最小． 12．（1）如图，延长EF 交AC 于点D ，DF ∥BC ，Rt △ADF ∽Rt △ACB ，AE ＝AC ＝x ，()2222DE x x y xy y =--=-，22xy y y x y x -+-=，2x －2y －xy ＝22x xy y -，两边平方整理得(x 2＋2x ＋2)y 2－(x 3＋2x 2＋4x )y ＋2x 2＝0．解得2222x y x x =++(y ＝x 舍去) ． （2）由（1）22122222y x x ==-+++≤ ．当且仅当2x x =，即2x =时，上式等号成立．故当2x =时，y 去最大值21-．。
初中数学：平面几何的最值问题-例题与求解（培优25）
初中数学：平面几何的最值问题-例题与求解（培优25）平面几何的最值问题【阅读与思考】几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值.求几何最值问题的基本方法有:1.特殊位置与极端位置法:先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证.2.几何定理(公理)法:应用几何中的不等量性质、定理.3.数形结合法等:揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等.【例题与求解】【解析】作点B关于直线AC的对称点B'，交AC与E，连接B'M，过B'作B'G⊥AB于G，交AC于F，再由对称性可知B'M+MN=BM+MN≥B'G，再由等号成立条件得出AC=10√5，再根据△ABC的面积分别求出BE、BB'的值，由相似三角形的判定定理得出△B'GB~△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解.【点评】本题考查的是最短路线问题及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键.【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质.也考查了平行四边形的性质以及一元二次方程根的判别式运用.【解析】(1)根据勾股定理易得路线1:l₁²=AC²=高²+(底面周长一半)²；路线2:l₂²=(高+底面直径)²；让两个平方比较，平方大的，底数就大.(2)根据(1)得到的结论让两个代数式分三种情况进行比较即可.【点评】此题考查了平面展开一最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减，注意运用类比的方法做类型题.【解析】根据题意画图分析.用含表示某一边的字母的代数式表示面积，关键是表示另一边的长.借助三角形相似建立关系.【点评】根据函数求出的最值与实际问题中的最值不一定相同，需注意自变量的取值范围.【点评】本题主要考查对三角形的面积，相似三角形的性质和判定，勾股定理，面积和等积变形等知识点的理解和掌握，能求出方程x²+2(1-y)x+1+2y=0中y的最小值是解此题的关键.。
12.平面几何的最值问题(教师版)
，
∴当 x 1 2 ，即当 x＝3 时，y 有最小值 4．
2
x 1
②运用基本不等式：y＝ x 1 2 2 2 2 x 1
x 1 2 ＋2＝4， 2 x 1
∴当 x 1 ＝ 2 ，即当 x＝3 时，y 有最小值 4. 2 x 1
③借用判别式，去分母，得 x2＋2（1－y）x＋1＋2y＝0，
由△＝4（1－y）2－4（1＋2y）＝4y（y－4）≥0，得 y≥4，
①求 y 关于 x 的函数关系式；
②当 x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时 y 的值．
（南通市中考试题）
第 9 题图
第 10 题图
第 11 题图
第 12 题图
11．如图，已知直线 l ： y kx 2 4k ( k 为实数)．
(1) 求证：不论 k 为任何实数，直线 l 都过定点 M，并求点 M 的坐标； (2) 若直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）
例 1 在 Rt△ABC 中，CB=3，CA=4，M 为斜边 AB 上一动点．
过点 M 作 MD⊥AC 于点 D，过 M 作 ME⊥CB 于点 E，
则线段 DE 的最小值为
．（四川省竞赛试题）
解题思路：四边形 CDME 为矩形，
连结 CM，则 DE= CM，将问题转化为求 CM 的最小值．
解： 12 5
解： 如图，B′M＋MN 的最小值为点 B′到 AB 的距离 B′F，
BE＝ AB BC 4 5 cm，BB′＝ 8 5 cm， AC
AE＝
AB2 BE 2
202
4
5
2
8
5 cm．
在△ABB′中，由 1 BB′•AE＝ 1 AB•B′F，得 B′F＝16cm．
中考数学专题复习 平面几何的最值问题_答案
7. C 提示：当点 P 与点 D 重合时，四边形 ACBP 的周长最大.
8. （1）连结 ME，过 N 作 NF⊥AB 于 F，可证明 Rt△EB A≌Rt△MNF，得 MF＝AE＝x.∵
ME2＝AE2＋AM2，故 MB2＝x2＋AM2，即（2－AM）2＝x2＋AM2，AM＝1－ 1 x2，∴S＝ 4
y
的取值范围内，所以
y＝
5 2
不是极值点，当
y＝3
时，S(3)
＝12，当
y＝4
时，S(4)＝8，故
Smax＝12．此时，钢板的最大利用率
42
12 1
2
1
＝80%．
例
2
6 设 PD＝x(x＞1)，则 PC＝ x2 1 ，由 Rt△PCD∽△PAB，得 AB＝ CD PA x 1 ，令 y
PC
x2 1
l22 ，当
r＞
4h 2
4
时， l12
l22
，当
r＜
4h 2
4
时， l12
l22
．
例5
设 DN＝x，PN＝y，则 S＝xy，由△APQ∽△
ABF，得
2
4
4
y
x
1 2
即
x＝10－2y，代入
S＝xy 得 S＝xy＝y(10－2y)，即 S＝－2
y
5 2
2
25 2
，
因
3≤y≤4，而
y＝
5 2
不在自变量
11. （1）点 P 恰好在 BC 上时，由对称性知 MN 是△ABC 的中位线，∴当 MN＝ 1 BC＝3 时， 2
点 P 在 BC 上.（
2）由已知得△ABC 底边上的高 h＝ 52 -32 ＝4. ①当 0＜x≤3 时，如图 1，连结 AP 并延长交
几何最值
几何最值一、赛点归纳:几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量的最大值或最小值。
求几何最值问题的基本类型： 1. 平行几何的最值问题平行几何的最值问题包括求角的大小、线段的长，图形的周长和面积以及这些几何元素的和、差、积、商的最大值和最小值。
2. 解决平等几何中的最值问题经常用到的知识 ⑴在两点间的所有连线中，线段的长度最短；⑵在定点与定直线的所有连线中，垂线段的长最短； ⑶在定圆的所有定弦中，直径最长；⑷在定圆中，过圆内一点的所有弦中，垂直于过该点的直径的弦最短；⑸二次函数的最值；⑹y=a 2+b ≥b求几何最值的基本方法：1. 特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证；2. 几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理；3.数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程，二次函数等。
二、题型范例题型一：利用特殊位置求最值 1、利用两点之间线段最短求最值例1如图，∠AOB=30°，AOB 内一定点P ，且OP=10，在OA 上有一动点Q,OB 上有一动点R,若PQR 的周长最小，最这个值为_______.变式练习1.如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2，BC=3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ），Q 是BC 边上任意一点，连结AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交于AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F 。
（1）求证：△APE ∽△ADQ; (2)设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积S △PEF 关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时， S △PEF 取得最大值？最大值为多少？（3）当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必O给出证明）2、利用三点共线求最值：例2四个工厂A,B,C,D ，AB=a(KM),BC=√2/2a(KM),CD=√2/4a(KM), ∠ABC=90, ∠BCD=120。
高中数学：几何最值问题求法
高中数学：几何最值问题求法最值问题是平面解析几何中的一个既典型又综合的问题．求最值常见的方法有两种：代数法和几何法．若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目条件和结论能明显体现某种函数关系，则可先建立目标函数，再求函数的最值，这就是代数法．一、几何法利用平面几何性质求解最值问题，这种解法若运用得当，往往显得非常简洁明快．例1、已知P（x,y）是圆上的一点，求的最大值与最小值。
分析：，于是问题就可以转化为在以A（2，0）为圆心，以为半径的圆上求点P，使它与原点连线的斜率为最大或最小。
由示意图可知，当OP与此圆相切时，其斜率达到最大值或最小值。
由OA=2，AP1=AP2=，且AP1⊥OP1，AP2⊥OP2，OP1=OP2=1，且∠AOP1=∠AOP2=60°，得。
二、代数法用代数法求最值常用的方法有以下几种：1、利用判别式法求最值、利用此法求最值时，必须同时求得变量的范围，因为方程有解，Δ≥0所指的是在（）范围内方程有解，这一点应切记．例2、（同例1）分析：设，将y=kx代入圆方程得。
x为实数，方程有解，，解得，故。
即。
2、利用二次函数性质求最值．用此法求最值时，必须注意变量的取值范围．例3、已知椭圆及点P（0，5），求点P到椭圆上点的距离的最大值与最小值．分析：以（0，5）为圆心，若内切于椭圆的圆半径为r1，则r1为点P到椭圆上点的距离的最小值；若外切于椭圆的圆半径为r2，则r2为点P到椭圆上点的距离的最大值．因，故点P（0，5）在椭圆内部．设以（0，5）为圆心的圆方程为，与椭圆方程联立消去x2，得。
当时，，即；当y=7时，，即。
注：这里将距离的最大值、最小值的探求转化为半径r的函数，利用函数的性质求得定义域内的最大值、最小值．值得注意的是因为r的定义域的限制，这里不适合利用判别式法．3、利用基本不等式求最值．利用基本不等式求最值时，必须注意应用基本不等式的条件，特别要注意等号的条件以及“和”（或“积”）是不是常数，若连续应用不等式，那么要特别注意同时取等号的条件是否存在．若存在，有最值；若不存在，无最值．例4、过点A（1，4）作一直线，它在两坐标轴上的截距都为正数，且其和为最小，求这条直线的方程．分析：可用截距式设所求直线方程为。
平面几何的定值与最值问题
平面几何的定值平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1 已知△ABC 内接于⊙O,D 是BC•或其延长线上一点,AE 是△ABC 外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD.AE 为定值.证明 如图 (1),当点D 是BC 上任意一点且∠BAE=∠CAD 时,连结BE, 则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD, ∴△ABE ∽△ADC. ∴AB AEAD AC=,即AD ·AE=AB ·AC 为定值. 如图 (2),当点D 在BC 的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB. ∴△AEB ∽△ACD,∴AB AEAD AC= 即AD ·AE=AB ·AC 为定值.综上所述,当点D 在BC 边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD ·AE 为定值.先探求定值,当AD ⊥BC,AE 为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD 这一条件,•不难发现△ACD ∽△AEB,所以AD ·AE=AB ·AC,因为已知AB,AC 均为定值.•再就一般情况分点D•在BC 上,点D 在BC 的延长线上两种情况分别证明.练习1.已知MN 是⊙O 的切线,AB 是⊙O 的直径.求证:点A 、B 与MN 的距离的和为定值. (答案)定长为圆的直径;2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.2.利用特殊位置探求定值(当PC构成直径时)(R,r是两圆的半径).3.⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点,过P作任一直线交⊙O1于点E,交⊙O2于点F.求证:∠EQF为定值.因∠E,∠F为定角(大小固定)易得∠EQF为定值.26．如图16，在平面直角坐标系中，直线y=x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线2(0)y ax x c a=+≠经过A,B,C三点．（1）求过A,B,C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使⊿ABC为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点，使得⊿BMF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．26．解：（1）直线y=x轴交于点(10)A∴-，，(0C·························1分 点A C，都在抛物线上，0a cc⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩ac⎧=⎪∴⎨⎪=⎩x∴抛物线的解析式为233y x x =-················ 3分 ∴顶点13F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ··························· 4分 （2）存在 ································ 5分1(0P ······························· 7分2(2P ······························· 9分 （3）存在 ································ 10分理由： 解法一：延长BC 到点B '，使B C BC '=，连接B F '交直线AC 于点M ，则点M 就是所求的点． ························· 11分 过点B '作B H AB '⊥于点H ．B点在抛物线2y x =-上，(30)B ∴，在Rt BOC △中，tan 3OBC ∠=，30OBC ∴∠=，BC =在Rt BB H '△中，12B H BB ''==6BH H '==，3OH ∴=，(3B '∴--， ·············· 12分设直线B F '的解析式为y kx b =+3k b k b ⎧-=-+⎪∴⎨=+⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y x ∴=···························· 13分xy x ⎪∴⎨=⎪⎩解得7y ⎪⎪⎨⎪=⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时37M ⎛ ⎝⎭，． ·· 14分 解法二：过点F 作AC 的垂线交y 轴于点H ，则点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接BH 交AC 于点M ，则点M 即为所求． ········· 11分过点F 作FG y ⊥轴于点G ，则OB FG ∥，BC FH ∥．90BOC FGH ∴∠=∠= ，BCO FHG ∠=∠ HFG CBO ∴∠=∠同方法一可求得(30)B ，． 在Rt BOC △中，tan OBC ∠=，30OBC ∴∠=，可求得GH GC ==， GF ∴为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形，AC ∴垂直平分FH ．即点H 为点F 关于AC的对称点．0H ⎛∴- ⎝⎭，·············· 12分 设直线BH 的解析式为y kx b =+，由题意得03k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y ∴=···························· 13分xy y =-⎪∴⎨⎪=⎩解得7y ⎪⎪⎨⎪=⎪⎩37M ⎛∴ ⎝⎭， ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △的周长最小，此时37M ⎛ ⎝⎭，． ·· 14分。
专题25 平面几何的最值问题
专题25 平面几何的最值问题例题与求解【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）ADMN解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a >)，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值． （永州市竞赛试题）PDA BQ解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值． 【例4】阅读下列材料：问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：图2图1摊平沿AB 剪开ACBBAC路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短．解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率． （中学生数学智能通讯赛试题）NME DAB解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．能力训练A 级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ． （烟台市中考试题）2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB = cm ．3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ．DD 1第1题图 第3题图 第4题图 第5题图4．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是( )A ．42B ．4.75C ．5D ．4.85．如图，圆锥的母线长OA =6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A ，则小虫所走的最短距离为( ) A ．12B ．4πC ．62D ．636．如图，已知∠MON = 40°，P 是∠MON 内的一定点，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，当△P AB 周长最小时，∠APB 的值为( ) A ．80° B ．100° C ．120° D ．140° 7．如图， ⌒AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点．若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是( ) A ．15B ．20C ．15+52D ．15+55NNMOBCBA BA E第6题图 第7题图 第8题图 8．如图，在正方形ABCD 中，AB =2，E 是AD 边上一点（点E 与点A ，D 不重合），BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 与N ．(1) 设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式．(2) 当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？9．如图，六边形ABCDEF内接于半径为r的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=F A．BC的长；(1) 当∠BAD=75°时，求⌒(2) 求证：BC∥AD∥FE；(3) 设AB=x，求六边形ABCDEF的周长l关于x的函数关系式，并指出x为何值时，l取得最大值．10．如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D）．Q是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．(1) 求证：△APE∽△ADQ；(2) 设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3) 当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）FEB Q11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，N不与A，C重合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．(1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？NMB CB 级1．已知凸四边形ABCD 中，AB +AC +CD = 16，且S 四边彤ABCD =32，那么当AC = ，BD = 时，四边形ABCD 面积最大，最大值是 ．2．如图，已知△ABC 的内切圆半径为r ，∠A =60°，BC =23，则r 的取值范围是 ．（江苏省竞赛试题）yxr COFE EDF O BC A OBCAABP D GAB第2题图 第3题图 第4题图 第5题图3．如图⊙O 的半径为2，⊙O 内的一点P 到圆心的距离为1，过点P 的弦与劣弧⌒AB 组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为 ．4．如图，△ABC 的面积为1，点D ，G ，E 和F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ，DE ∥AC ，GF ∥AB ，则梯形DEFG 面积的最大可能值为 ．5．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A ，B 分别在平面直角坐标系的x 轴，y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的最大值是 ．6．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A + PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为( )A ．17172B ．17174C ．17178D ．3QADBCA BDCPP第6题图 第7题图 第8题图7．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B ，C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ．设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm ． (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2) 当y =41cm 时，求x 的值．8．如图，y 轴正半轴上有两点A (0，a )，B (0，b )，其中a >b >0．在x 轴上取一点C ，使∠ACB 最大，求C 点坐标．9．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，使得△CM N 的周长为2．求： (1) ∠MAN 的大小；(2) △MAN 的面积的最小值．10，如图，四边形ABCD 中，AD = CD ，∠DAB =∠ACB =90°，过点D 作DE ⊥AC 于F ，DE 与AB 相交于点E ．(1) 求证：AB ·AF =CB ·CD ； (2)已知AB =15cm ，BC =9cm ，P 是射线DE 上的动点，设DP =x cm(x >0)，四边形BCDP 的面积为y cm 2． ①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时y 的值．MNExCB第6题图 第7题图 第8题图 第9题图11．如图，已知直线l ：k kx y 42-+=(k 为实数)．(1) 求证：不论k 为任何实数，直线l 都过定点M ，并求点M 的坐标；(2) 若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）。
平面几何中的最值问题
平面几何中的最值问题最值问题的解决方法通常有两种：1、 应用几何性质：① 三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；② 两点之间，线段最短；③ 垂线段最短；④ 定圆中，直径最长。
2、运用代数证法：① 运用配方法 ② 运用判别式。
例1、A 、B 两点在直线l 的同侧，在直线L 上取一点P ，使PA+PB 最小。
例2、A 、B 两点在直线l 的同侧，在直线L 上取一点P ，使|PA-PB|最大。
例3、已知AB 是半圆的直径，AB=10,如果这个半圆是一块铁皮，ABDC 是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC 的周长最大？2 .如图是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？【1】如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ？ ．【2】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于P ，直线CB 与AM 相交于点Q ，证明：线段AP 和BQ 的乘积与M 点的选择无关．【3】如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与B点或C点重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为，最小值为．【4】如图，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值为．【5】如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则PBPA 的最大值等于。
例析平面几何中的最值问题
例析平面几何中的最值问题某平面几何元素在给定条件下变动时求某几何量的最大值或最小值问题称为平面几何中这类试题综合性强，通常根据“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形的三边关系”或者“利用隐形圆”等方法，找出最长（短）位置，求出最大（小）值．1.利用对称求最值例1: 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A（5，0），E （0，2），OB＝4，点P是对角线OB上的一个动点，当△EPC周长最小时，则点P的坐标为．解：如图连接AC，AE，分别交OB于G、P′，作BD⊥OA于D．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC＝AG，OG＝BG＝2，A、C关于直线OB对称，∴P′C+P′D＝P′A+P′E＝EA，∴P点在P′时PC+PE+CE最短，在RT△AOG中，AG＝＝＝，∵OA•BD＝•AC•OB，∴BD＝4，AD＝＝3，∴点B坐标（8，4），∴直线OB解析式为y＝x，直线AD解析式为y＝﹣x+2，由解得，∴点P坐标（，）．2：利用两点之间距离最短求最值例2：如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD 上运动，且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是（）A．4 B．4+ C．2+2 D．6解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小．∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形EFHA是平行四边形，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，在Rt△CAH中，CH＝，∴AE+AF的最小值4，∴△AEF的周长的最小值＝4+2＝6，3：利用垂线段最短求最值例3：如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C． D．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是24：利用三边关系求最值例4：:如图，D是等边三角形ABC外一点．若BD＝8，CD＝6，连接AD，则AD的最大值与最小值的差为．解：如图，以CD为边向外作等边△CDE，连接BE，∵△CDE和△ABC是等边三角形，∴CE＝CD，CB＝CA，∠ECD＝∠BCA＝60°，∴∠ECB＝∠DCA，在△ECB和△DCA中，，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE＝AD，∵DE＝CD＝6，BD＝8，∴在△BDE中，BD﹣DE＜BE＜BD+DE，即8﹣6＜BE＜8+6，∴2＜BE＜14，∴2＜AD＜14．则当B、D、E三点共线时，可得BE的最大值与最小值分别为14和2．∴AD的最大值与最小值的差为14﹣2＝12．5：利用隐圆求最值例5：如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（）A．2 B． +1 C．2﹣2 D．3解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，过点M作MH⊥DC于点H，∵在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点，∴2MD＝AD＝CD＝4，∠HDM＝60°，∴∠HMD＝30°，∴HD＝MD＝1，∴HM＝DM×cos30°＝，∴MC＝＝2，∴A′C＝MC﹣MA′＝2﹣2；第6页（共6页）。
几何最值问题
几何最值问题（一）在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
解决平面几何最值问题的常用方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。
一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值1.如图，∠MON=90°矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM 上运动，矩形ABCD的的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A.1 B.C.D.522.在锐角△ABC中，BC=∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是__________________。
第1题第2题第3题第4题3.如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为________________________。
4.在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是______________。
5.如图，底面半径为2㎝，高为9π㎝，点A、B在同一母线上，用一根棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，求棉线最短为___________。
第5题第6题第7题第8题6.将一张半径为8cm、弧长为8πcm的扇形纸片卷成一个无底圆锥，接口处不重叠，如图，AB、AC是相对的两条母线，在母线AC上有一点D，CD=2cm，一只蚂蚁从B经过纸面爬到D，最短的路径长是______________。
7.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路径长__________________。
(平面几何最值问题的几种求解方法)
平面几何最值问题的几种求解方法曹永启 （深圳清华实验学校 518126）平面几何最值问题在近几年数学竞赛中频频出现。
第十六届希望杯数学全国邀请赛初二2试最后一题就是一例。
此类问题求解方法多，涉及知识面广，这对于初涉平面几何的初中学生来说，处处受限，难度较大。
本文旨在通过实例介绍几种初中生能接受的求解方法。
一，平移法平移法一般是寻求特殊位置的几何图形，结合图形的平移来解决问题。
其基本依据有：两点之间线段最短，（三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）。
直角三角形中斜边大于直角边，（从直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短等）。
例1，（一个古老的问题）假设河岸为两条平行线，在河岸两侧有A 村和B 村，要在河上架一座垂直河岸的桥，使A 村到B 村路程最短，如何确定架桥的位置？ 解：设河岸为L 1、 L 2，则L 1∥L 2，两岸距离为d ，过A 点作AA ′⊥L 1，且AA ′=d,连结BA ′交L 2于D ，过D 作CD ⊥L 2交L 1于C ，则CD 即为架桥的位置。
（如图1）由作法可知，四边形AA ′DC 是平行四边形，（AA ′∥DC 且AA ′=DC ）所以AC= A ′D.即AC+BD= A ′B ，而A ′、B 两点以A ′B 最短，故AC+CD+BD 为最短。
例2，在XOY 的边OX 、OY 上分别取一点A 、B ，使OA+OB 为定长L ，试证：当OA=OB 时AB 的长最短。
（如图2）分析：设OA=OB ，OA+OB=L （定长）为了证明AB 的长最短，可在OX 和OY 上分别另取一点A ′、B ′，使O A ′+OB ′=L ，连A ′B ′，则问题变为证明AB ＜A ′B ′。
证明：把A ′B ′平移到AC ，则A ′B ′CA 为平行四边形 ∵OA+OB=O A ′+OB ′ ∴A A ′=BB ′而A A ′=CB ′∴BB ′=CB ′ ∠B ′BC=∠B ′CB ∴∠ B ′BC=XOY Y CB ∠=∠2121' ∴∠B ′BC+∠OBA=90˙∴∠ABC=90˙ ∴AB ＜AC=A ′B ′（直角三角形斜边大于直角边） 二，反射法反射法主要可解决以下两个类型问题。
平面解析几何中几种求最值的方法
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Ｆ Ｏ Ｐ Ａ x
Ｂ Ｂ′ Ｐ′
图３
２ ， ２ （ （ ） 得ｋ ＋ ２ ｋ） １－ ） Ｓ－４ ｋ＋４＝０． ｋ ２ ） （ ， 由 Δ＝ （ 舍去 ） ２ Ｓ－４ －１ ６≥０ 得 Ｓ≥４ 或 Ｓ≤０ 此时 △Ａ Ｏ Ｂ 的最小面积为Ｓ＝４．
２ 由ｋ ＋４ ｋ＋４＝０ 得 ｋ＝－２，
中学教学参考
解题方法与技巧
平面解析几何中几种求最值的方法
） 甘肃会宁县第二中学 （ ７ ３ ０ ７ ０ ０ 吴国顺
一般先根据条件中 解平面解析几何中的最 值 问 题 ， 然后根据函数关系式的 列出的所求目标函数的关系 式 ， 特征选用判别式法 、 不等式的 性 质 以 及 数 形 结 合 等 方 法 求出它的最大值和最小值 ． 一、 判别式法求最值 数学解题中判别式是一 种 重 要 的 角 色 ， 当解析几何 判别式就能发挥其特殊 的量可转化为二次方程问题 时 ， 作用 ． 【 】 例１ 过 点 Ｍ（ １， ２） 如 图 １， ， 、 作直线 Ｌ Ｌ 与 ｘ 轴 ｙ 轴 的 正 半 轴 当 △Ａ 的交点为 Ａ 、 Ｂ． Ｏ Ｂ 的 面 积Ｓ 为最小值时 ， 求直线 Ｌ 的方程 ． 解： 设直线 Ｌ 的方程为ｙ－２＝ ）， 则 Ａ、 ｋ（ ｘ－１ Ｂ 的坐标分别为（ １ ２ ） １ （ － ， ０， ０， ２－ ｋ） ． Ｓ△ＡＯＢ ＝ （ ２－ ｋ ２ 图１
Ｏ y Ｃ Ｐ x
（ ） ， 故所求直线 Ｌ 的方程为ｙ－２＝－２ ｘ－１ 即２ ｘ＋ｙ－４＝０． 二、 应用平面几何知识求最值 把平面解析 几 何 中 的 最 值 问 题 转 化 为 平 面 几 何 中 能 充 分 利 用 平 面 几 何 技 巧 性 强， 运算量小 的最 值 问 题， 的特点 ． 【 例 ２】 平面上有两 如 图 ２， 、 ， 点 Ａ（ －１， ０） Ｂ（ １， ０） Ｍ 为圆（ ｘ
几何最值问题常用解法初二
几何图形中常见最值问题的解法平面几何图形中的最值问题是近几年中考常见的题型，此类问题常让学生无从下手，特别是新市民子女，由于他们数学知识的短缺、题目信息采集不够、综合应用能力弱、数学思维紊乱，课本知识理解不到位等原因造成错误为此我在平时教学中注重对这类问题的归类整理，在教学中对他们进行必要的专题拓展训练，引导他们归纳、总结、获得解决这类问题的基本技能，培养他们的思维习惯.一、轴对称变换—最短路径问题1.书本原型:(1)点A 、点B 在直线l 两侧，在直线l 找一点P ，使PA PB +值最小.分析根据两点之间线段最短.点P 既在直线l 上，又在线段AB 上，PA PB +值最小.解连接AB ，交直线l 于点P ，点P 就是所要求作的点.(2)点A 、点B 在直线l 同侧，在直线l 找一点P ，使PA PB +最小.分析利用轴对称的性质找一个点1B ，使得1PB PB =，因而1PA PB PA PB +=+，要使PA PB +最小，只要1PA PB +最小，只要A 、P 、1B 三点共线.解作点B 关于l 的对称点1B ，连接1AB 交l 于点，点P 就是所要求作的点.(也可以作点A 关于l 的对称点1A ，连接1A B 交l 于点P ，点P 就是所要求作的点).2.应用例1在右图中，以直线l 为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，点(1,2)A 、(4,1)B .(1)在x 轴上找一点P ，使PA PB +最小，请在图中画出点P ，并求出点PA PB +的最小值.分析作A 、B 两点中的一点关于x 轴的对称点，连接这个对称点与另一点的线段交x 轴于点P .PA PB +的最小值实际上就是线段1AB 的长3.∴PA PB +的最小值是3.(2)在y 轴上找一点C ，在x 轴上找一点D ，使四边形ACDB 的周长最小，则点C 的坐标为，点D 的坐标为.分析本题两个动点C 、D ,要使四边形ACDB 的周长最小，只要AC CD BD AB +++的值最小，而AB 是一个定值，只要AC CD BD ++最小.作点A 关于y 轴的对称点1A ，作点B 关于x 轴的对称点1B ，则1AC A C =，1BD B D =，AC CD +11BD A C B D CD +=++，只要1A 、C 、D 、1B 共线，则11A C B D CD ++最小，从而AC CD BD ++最小.解作点A 关于y 轴的对称点1A ，作点B 关于x 轴的对称点1B ，连接11A B .交y 轴于点C ，交x 轴于点D .设直线11A B ，的解析式为y kx b =+, 点A (1,2)关于y 的对称点1(1,2)A -， 点B (4,1)关于x 轴的对称点1(4,1)B -，241k b k b -+=⎧∴⎨+=-⎩，解得3/57/5k b =-⎧⎨=⎩，∴直线11A B 的解析式为37.55y x =-+∴点C 的坐标为7(0,5，点D 的坐标为7(,0)3.二、垂线段最短—最短路径问题1.书本原型在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何挖渠使渠道最短.分析根据垂线段最短，P 到直线l 最短的距离是点P 到直线l 的垂线段的长.解过点P 作直线河岸l 的垂线段，垂足为点A ，线段PA 就是最短的渠道.2.应用例3如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点(4,0)A -、(0,4)B ，⊙O 的半径为1(O 为坐标原点)，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线,PQ Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为.分析因为PQ 是⊙O 的切线，连接OQ ，则90PQO ∠=︒.由勾股定理得222PQ PO OQ =-.因为⊙O 的半径1OQ =，要使PQ 最小，只要PO 最小，从而转化为求PO 的最小值，当PO AB ⊥时，PO 最小值为2.PQ ∴.四、平面展开图—最短路径问题我们常常遇到蚂蚁从一个几何体的一个侧面上一个点，绕过侧面走到另一个点，怎样走最近的问题.通常将曲面展平，转化为两点之间线段最短、垂线段最短问题，从而将曲面的最短路径问题转化为平面最短路径问题例5如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是.分析这是一个蚂蚁爬行的最短路径问题，将圆柱的侧面展平，得到一个矩形.蚂蚁从容器外壁爬到容器内壁最短，就是蚂蚁沿圆柱侧面爬到容器顶经过某一点P ，再爬到点A 的最短路径，实际上就是在一边DE 上找一点P ，使1PA PB +最小.根据轴对称—最短路径问题的作图步骤得蚂蚁沿线段2BA 最短，根据勾股定理可得2BA 的长.解在21Rt A B B ∆中，2112A B = cm ,15BB =cm由勾股定理得，222221114425169A B A B BB =+=+= ,213A B ∴=cm.所以蚂蚁爬行的最短路线长是13cm.学生觉得难以解决的几何最值问题，我在平时的教学中注重把书本原型跟学生讲透;让学生理解书本上的原理:两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，让学生感受到数学中的化归思想、数形结合思想，让学生有章可循，有法可用.授人以鱼不如授人以渔，对于新市民子女的数学学习，主要是提高他们数学学习兴趣，学会解题技能，让他们感受到学习数学乐趣，让他们想学数学、能学数学、学好数学，从而爱上数学，真正实现《新课程标准》所倡导的理念:“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展.”。
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专题25 平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题）ABDCMN解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值． （永州市竞赛试题）PDCA BQ解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值． 【例4】阅读下列材料：问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：图2图1摊平沿AB 剪开ACBBAC路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB 为5分米”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算： 路线1：l 12=AC 2= ；路线2：l 22=（AB +BC ）2= ．∵ l 12 l 22，∴l 1 l 2 （ 填“＞”或“＜”），所以应选择路线 （填“1”或“2”）较短．(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短． （衢州市中考试题）解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率． （中学生数学智能通讯赛试题）NME F DCABP解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值． （中学生数学智能通讯赛试题）11CPABD解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △P AB ，得到PCPACD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．能力训练A 级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ． （烟台市中考试题）2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB = cm ． （广州市中考试题）3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ． （“希望杯”邀请赛试题）AF EAA 1DB D 1B 1C 1CAB CO第1题图 第3题图 第4题图 第5题图4．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是( ) （兰州市中考试题）A ．42B ．4.75C ．5D ．4.85．如图，圆锥的母线长OA =6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A ，则小虫所走的最短距离为( ) （河北省竞赛试题） A ．12B ．4πC ．62D ．636．如图，已知∠MON = 40°，P 是∠MON 内的一定点，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，当△P AB 周长最小时，∠APB 的值为( ) （武汉市竞赛试题） A ．80° B ．100° C ．120° D ．140° 7．如图， ⌒AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点．若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是( ) （福州市中考试题） A ．15B ．20C ．15+52D ．15+55NM NMAOPBDCBCA DBA PE第6题图 第7题图 第8题图 8．如图，在正方形ABCD 中，AB =2，E 是AD 边上一点（点E 与点A ，D 不重合），BE 的垂直平分线交AB 于M ，交DC 与N ．(1) 设AE =x ，四边形ADNM 的面积为S ，写出S 关于x 的函数关系式．(2) 当AE 为何值时，四边形ADNM 的面积最大？最大值是多少？ （山东省中考试题）9．如图，六边形ABCDEF 内接于半径为r 的⊙O ，其中AD 为直径，且AB =CD =DE =F A ． (1) 当∠BAD =75°时，求⌒BC 的长； (2) 求证：BC ∥AD ∥FE ；(3) 设AB =x ，求六边形ABCDEF 的周长l 关于x 的函数关系式，并指出x 为何值时，l 取得最大值．10．如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，BC =3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ）．Q 是BC 边上任意一点．连结AQ ，DQ ，过P 作PE ∥DQ 交于AQ 于E ，作PF //AQ 交DQ 于F ． (1) 求证：△APE ∽△ADQ ；(2) 设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积S △PEF 关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，S △PEF 取得最大值？最大值为多少？(3) 当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必证明）（无锡市中考试题）FEABD CQP11．在等腰△ABC 中，AB =AC =5，BC =6．动点M ，N 分别在两腰AB ，AC 上(M 不与A ，B 重合，N 不与A ，C 重合)，且MN ∥BC ．将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P ． (1)当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？(2)设MN =x ，△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积为y ，试写出y 与x 的函数关系式，当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （宁夏省中考试题）NB CA MB 级1．已知凸四边形ABCD 中，AB +AC +CD = 16，且S 四边彤ABCD =32，那么当AC = ，BD = 时，四边形ABCD 面积最大，最大值是 ． （“华杯赛”试题）2．如图，已知△ABC 的内切圆半径为r ，∠A =60°，BC =23，则r 的取值范围是 ．（江苏省竞赛试题）yxr COFE EDF O BC A OBCAABP D GAB第2题图 第3题图 第4题图 第5题图3．如图⊙O 的半径为2，⊙O 内的一点P 到圆心的距离为1，过点P 的弦与劣弧⌒AB 组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为 ．4．如图，△ABC 的面积为1，点D ，G ，E 和F 分别在边AB ，AC ，BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ，DE ∥AC ，GF ∥AB ，则梯形DEFG 面积的最大可能值为 ．（上海市竞赛试题）5．已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A ，B 分别在平面直角坐标系的x 轴，y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的最大值是 ．（潍坊市中考试题）6．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A + PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为( ) （鄂州市中考试题）A ．17172B ．17174C ．17178D ．3QADBCA BDCPP第6题图 第7题图 第8题图7．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B ，C 重合的任意一点，连结AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ．设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm ． (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值；(2) 当y =41cm 时，求x 的值． （河南省中考试题）8．如图，y 轴正半轴上有两点A (0，a )，B (0，b )，其中a >b >0．在x 轴上取一点C ，使∠ACB 最大，求C 点坐标． （河北省竞赛试题）9．如图，正方形ABCD 的边长为1，点M ，N 分别在BC ，CD 上，使得△CM N 的周长为2．求： (1) ∠MAN 的大小；(2) △MAN 的面积的最小值． （“宇振杯”上海市竞赛试题）10，如图，四边形ABCD 中，AD = CD ，∠DAB =∠ACB =90°，过点D 作DE ⊥AC 于F ，DE 与AB相交于点E ．(1) 求证：AB ·AF =CB ·CD ； (2)已知AB =15cm ，BC =9cm ，P 是射线DE 上的动点，设DP =x cm(x >0)，四边形BCDP 的面积为y cm 2． ①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小？求出此时y 的值．（南通市中考试题）MDC ABNFE DABC Pyxl OABxyH EA CBGF 第6题图 第7题图 第8题图 第9题图11．如图，已知直线l ：k kx y 42-+=(k 为实数)．(1) 求证：不论k 为任何实数，直线l 都过定点M ，并求点M 的坐标；(2) 若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值．（太原市竞赛试题）12．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =x ，点F 在边AB 上，点G ，H 在边BC 上，四边形EFGH 是一个边长为y 的正方形，且AE =AC ． (1) 求y 关于x 的函数解析式；(2) 当x 为何值时，y 取得最大值？求出y 的最大值．（上海市竞赛试题）。