高中数学：几何概型 (25)

课后作业(二十二)(时间45分钟)学业水平合格练(时间25分钟)1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m ，其实际概率的大小为n ，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．m 是n 的近似值 [解析] 随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．[★答案★] D2．某公司的班车在7∶00,8∶00,8∶30发车，小明在7∶50至8∶30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34[解析] 设小明到达发车站的时间为y ，当y 在7∶50至8∶00，或8∶20至8∶30时，小明等车时间不超过10分钟，故P ＝2040＝12.故选B.[★答案★] B3．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5 cm 的圆，中间有边长为0.5 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )A.49πB.94πC.4π9D.9π4[解析] 由题意知所求的概率为P ＝0.5×0.5π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1.522＝49π. [★答案★] A4．设一直角三角形两直角边的长均是区间[0,1]上的随机数，则斜边的长小于1的概率为( ) A.12 B.34 C.π4 D.3π16[解析] 设两直角边分别为x ，y ，则x ，y 满足x ∈[0,1]，y ∈[0,1]，则P (x 2＋y 2＜1)＝π4. [★答案★] C5．如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A ＝{投中大圆内}，事件B ＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，事件C ＝{投中大圆之外}．(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RNAD.(2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝16b 1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数．(3)统计投在大圆内的次数N 1(即满足a 2＋b 2<36的点(a ，b )的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N 2(即满足4<a 2＋b 2<16的点(a ，b )的个数)，投中木板的总次数N (即满足上述－8<a <8，－8<b <8的点(a ，b )的个数)．则概率P (A )、P (B )、P (C )的近似值分别是( )A.N 1N ，N 2N ，N －N 1NB.N 2N ，N 1N ，N －N 2NC.N 1N ，N 2－N 1N ，N 2ND.N 2N ，N 1N ，N 1－N 2N[解析] P (A )的近似值为N 1N ，P (B )的近似值为N 2N ，P (C )的近似值为N －N 1N .[★答案★] A6．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，用计算器上的随机函数产生一个[－5,5]上的随机数x 0，那么使f (x 0)≤0的概率为( )A ．0.1 B.23 C ．0.3 D ．0.4[解析] 用计算器产生的x 0∈[－5,5]，其区间长度为10.使f (x 0)≤0，即x 20－x 0－2≤0，得－1≤x 0≤2，其区间长度为3，所以使f (x 0)≤0的概率为310＝0.3.[★答案★] C7．用随机模拟方法，近似计算由曲线y ＝x 2及直线y ＝1所围成部分的面积S .利用计算机产生N 组数，每组数由区间[0,1]上的两个均匀随机数a 1＝RAND ，b ＝RAND 组成，然后对a 1进行变换a ＝2(a 1－0.5)，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足x 2i ≤y i ≤1(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到的近似值为( )A.2N 1NB.N 1NC.N 12ND.4N 1N[解析] 由题意，对a 1进行变换a ＝2(a 1－0.5)，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足x 2i ≤y i ≤1(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，所以由随机模拟方法可得到的近似值为N 1N .[★答案★] B8．b 1是[0,1]上的均匀随机数，b ＝3(b 1－2)，则b 是区间________上的均匀随机数．[解析] 0≤b 1≤1，则函数b ＝3(b 1－2)的值域是－6≤b ≤－3，即b 是区间[－6，－3]上的均匀随机数．[★答案★] [－6，－3]9．利用随机模拟方法计算如图中阴影部分(曲线y ＝2x 与x 轴，x ＝±1围成的部分)的面积．[解] ①利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.②经过平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)×2，b ＝b 1×2，得到一组[－1,1]上的均匀随机数和一组[0,2]上的均匀随机数．③统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1.④计算频率N 1N ，即为点落在阴影部分的概率的近似值．⑤用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S 4，N 1N ＝S 4，所以S ≈4N 1N ，即为阴影部分的面积值．10．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率：(1)小燕比小明先到校；(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．[解] 记事件A “小燕比小明先到校”；记事件B “小燕比小明先到校且小明比小军先到校”．①利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a ＝RAND ，b ＝RAND ，c ＝RAND 分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；②统计出试验总次数N 及其中满足b <c 的次数N 1，满足b <c <a 的次数N 2；③计算频率f n (A )＝N 1N ，f n (B )＝N 2N ，即分别为事件A ，B 的概率的近似值．应试能力等级练(时间20分钟)11．P 为圆C 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，Q 为圆C 2：x 2＋y 2＝25上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在C 2内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.1325B.35C.1325πD.35π[解析] 设Q (x 0，y 0)，中点(x ，y )，则P (2x －x 0,2y －y 0)，代入x 2＋y 2＝9，得(2x －x 0)2＋(2y －y 0)2＝9，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝94，故中点的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 02为圆心，以32为半径的圆，又点Q (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝25上，所以区域M 为在以原点为圆心、宽度为3的圆环带，即应有x 2＋y 2＝r 2(1≤r ≤4)，所以在C 2内部任取一点落在M 内的概率为16π－π25π＝35.[★答案★] B12．在利用随机模拟法计算如右图阴影部分(曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与x 轴，x ＝±1围成的部分)的面积时，需要经过伸缩变换得到哪两个区间上的均匀随机数( )A．[－1,1][0,1]B．[－1,1]，[0,2]C．[0,1]，[0,2]D．[0,1]，[0,1][解析]用变换rand()*2－1产生－1～1之间的均匀随机数x表示所投的点的横坐标；用变换rad()*2产生0～2之间的均匀随机数y 表示所投点的纵坐标．故选B.[★答案★] B13．设函数y＝f(x)在区间[0,1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y＝f(x)及直线x＝0，x＝1，y＝0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)0～1区间上的均匀随机数x1，x2，…，x N和y1，y2，…，y N，由此得到N 个点(x i，y i)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足y i≤f(x i)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为________．[解析]由0≤f(x)≤1可知曲线y＝f(x)与直线x＝0，x＝1，y＝0围成了一个曲边图形．因为产生的随机数对在题图的正方形内，正方形的面积为1，共有N 对数，即有N 个点，且满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的有N 1个点，即在函数f (x )图象上及下方有N 1个点，所以由几何概型的求概率公式得：曲线y ＝f (x )与x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的面积的近似值为N1N ×1＝N 1N .[★答案★] N 1N14．某校早上8∶00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7∶30～7∶50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)[解析]设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7∶30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P ＝2252400＝932.[★答案★] 93215．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4 h ，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4 h ，乙船的停泊时间为2 h ，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．[解] (1)设甲、乙两船到达时间分别为x ，y ，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，|y －x |≥4，分别作出区域D 1，D 2，其中D 1：⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤24≤y ≤24，D 2：⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤240≤y ≤24|y －x |≥4.D 1为正方形区域，D 2为图(1)中的阴影部分，设“两船不需要等待码头空出”为事件A ，则P (A )＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)设“两船不需等待码头空出”为事件B ，则区域D 3：y －x >4或x －y >2为如图(2)所示的阴影部分，则P (B )＝S 阴影部分S 正方形＝221288.。