高中数学：几何概型 (25)

课后作业(二十二)

(时间45分钟)

学业水平合格练(时间25分钟)

1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m ，其实际概率的大小为n ，则( )

A ．m >n

B ．m

C ．m ＝n

D ．m 是n 的近似值 [解析] 随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．

[★答案★] D

2．某公司的班车在7∶00,8∶00,8∶30发车，小明在7∶50至8∶30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )

A.13

B.12

C.23

D.34

[解析] 设小明到达发车站的时间为y ，当y 在7∶50至8∶00，

或8∶20至8∶30时，小明等车时间不超过10分钟，故P ＝2040＝12.

故选B.

[★答案★] B

3．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为1.5 cm 的圆，中间有边长为0.5 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( )

A.49π

B.94π

C.4π9

D.9π4

[解析] 由题意知所求的概率为P ＝0.5×0.5π×⎝ ⎛⎭

⎪⎫1.522＝49π. [★答案★] A

4．设一直角三角形两直角边的长均是区间[0,1]上的随机数，则斜边的长小于1的概率为( ) A.12 B.34 C.π4 D.3π16

[解析] 设两直角边分别为x ，y ，则x ，y 满足x ∈[0,1]，y ∈[0,1]，

则P (x 2＋y 2

＜1)＝π4. [★答案★] C

5．如图所示，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木块，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设镖击中线上或没有投中木板时不算，可重投，记事件A ＝{投中大圆内}，

事件B ＝{投中小圆与中圆形成的圆环内}，

事件C ＝{投中大圆之外}．

(1)用计算机产生两组[0,1]内的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RNAD.

(2)经过伸缩和平移变换，a ＝16a 1－8，b ＝16b 1－8，得到两组[－8,8]内的均匀随机数．

(3)统计投在大圆内的次数N 1(即满足a 2＋b 2<36的点(a ，b )的个数)，投中小圆与中圆形成的圆环次数N 2(即满足4

则概率P (A )、P (B )、P (C )的近似值分别是( )

A.N 1N ，N 2N ，N －N 1N

B.N 2N ，N 1N ，N －N 2N

C.N 1N ，N 2－N 1N ，N 2N

D.N 2N ，N 1N ，N 1－N 2N

[解析] P (A )的近似值为N 1N ，P (B )的近似值为N 2N ，P (C )的近似值

为N －N 1N .

[★答案★] A

6．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，用计算器上的随机函数产生一个[－5,5]上的随机数x 0，那么使f (x 0)≤0的概率为( )

A ．0.1 B.23 C ．0.3 D ．0.4

[解析] 用计算器产生的x 0∈[－5,5]，其区间长度为10.使f (x 0)≤0，即x 20－x 0－2≤0，得－1≤x 0≤2，其区间长度为3，所以使

f (x 0)≤0的概率为310＝0.3.

[★答案★] C

7．用随机模拟方法，近似计算由曲线y ＝x 2及直线y ＝1所围成部分的面积S .利用计算机产生N 组数，每组数由区间[0,1]上的两个均匀随机数a 1＝RAND ，b ＝RAND 组成，然后对a 1进行变换a ＝2(a 1－0.5)，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足x 2i ≤y i ≤1(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到的近似值为( )

A.2N 1N

B.N 1N

C.N 12N

D.4N 1N

[解析] 由题意，对a 1进行变换a ＝2(a 1－0.5)，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足x 2i ≤y i ≤1(i ＝1,2，…，N )的

点数N 1，所以由随机模拟方法可得到的近似值为N 1N .

[★答案★] B

8．b 1是[0,1]上的均匀随机数，b ＝3(b 1－2)，则b 是区间________上的均匀随机数．

[解析] 0≤b 1≤1，则函数b ＝3(b 1－2)的值域是－6≤b ≤－3，

即b 是区间[－6，－3]上的均匀随机数．

[★答案★] [－6，－3]

9．利用随机模拟方法计算如图中阴影部分(曲线y ＝2x 与x 轴，x ＝±1围成的部分)的面积．

[解] ①利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.

②经过平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)×2，b ＝b 1×2，得到一组[－1,1]上的均匀随机数和一组[0,2]上的均匀随机数．

③统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1.

④计算频率N 1N ，即为点落在阴影部分的概率的近似值．

⑤用几何概型的概率公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S 4，

N 1N ＝S 4，所以S ≈4N 1N ，即为阴影部分的面积值．

10．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率：

(1)小燕比小明先到校；

(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．

[解] 记事件A “小燕比小明先到校”；记事件B “小燕比小明先到校且小明比小军先到校”．

①利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a ＝RAND ，b ＝RAND ，c ＝RAND 分别表示小军、小燕和小明三人早上