重庆市七校联盟2020-2021学年高二数学上学期联考试题 理(含解析)
重庆市主城区七校2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题
故选：B
【点睛】
本题主要考查了异面直线夹角的问题,可根据题意作平行线找到所成的角或利用空间向量求解,属于基础题型.
5．A
【分析】
设双曲线的方程是 再代入 求解即可.
【详解】
由题,设双曲线的方程是 ,又双曲线过 ,故 .
故 .
故选：A
【点睛】
本题主要考查了共渐近线的双曲线方程问题,属于基础题型.
20．已知点A（x1，y1），D（x2，y2）其中（x1＜x2）是曲线y2＝9x（y≥0）．上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C且|BC|＝3．
（Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的方程：
（Ⅱ）记△AOD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求 的范围
21．如图，在多面体ABD﹣A1B1C1D1中四边形A1B1C1D1，ADD1A1．ABB1A1均为正方形．点M是BD的中点．点H在线段C1M上，且A1H与平面ABD所成角的正弦值为 ．
【点睛】
本题主要考查了空间中的轨迹问题,主要是找到定量关系分析轨迹,属于中等题型.
17．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） ．
【分析】
(Ⅰ)取EF中点M,再证明EF⊥平面A′DM即可.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ,再求解 与 即可.
【详解】
（Ⅰ）证明：取EF中点M,连接A′M,DM,
显然,DE＝DF,故DM⊥EF；
显然,A′E＝A′F,则A′M⊥EF,
A． B． C． D．2
12．已知双曲线Γ： （a＞0，b＞0）的上焦点为F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2 相切于点D．且|DF| ，则双曲线Γ的渐近线方程为（）
A． x±y＝0B． C．6x±7y＝0D．7x±6y＝0
2020-2021学年重庆市三峡名校联盟高二上学期联考数学试题(解析版)
2020-2021学年重庆市三峡名校联盟高二上学期联考数学试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{B y Ry =∈=∣，则A B =（ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}1【答案】B【分析】首先求出集合B ，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为{B y Ry =∈=∣，所以{}|0B y y =≥，因为{}2,1,0,1,2A =--所以{}0,1,2A B =故选：B【点睛】本题考查交集的计算，属于基础题.2．斜率为2，且过直线4y x =-和直线2y x =+交点的直线方程为（ ） A ． 21y x =+ B ．21y x =-C ．22y x =-D ． 22y x =+【答案】A【分析】求出两直线的交点坐标，根据点斜式可得结果. 【详解】联立42y x y x =-⎧⎨=+⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，所以两直线的交点坐标为()1,3，所求直线方程为()321y x -=-.整理为21y x =+. 故选：A【点睛】本题考查了求两直线的交点，考查了直线方程的点斜式，属于基础题. 3．设0a b <<，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．11a b> B ．11a b a>- C ．||a b >-D >【答案】B【分析】对于A ，C ，D 利用不等式的性质分析即可，对于B 举反例即可 【详解】对于A ，因为0a b <<，所以0ab >，所以0a bab ab<<，即11a b >，所以A成立；对于B ，若2a =-，1b =-，则11a b =--，112a =-，此时11a a b>-，所以B 不成立；对于C ，因为0a b <<，所以||||a b b >=-，所以C 成立； 对于D ，因为0a b <<，所以0a b ->->，则a b ->-，所以D 成立，故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质的应用，属于基础题.4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC=+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．函数()x xe ef x x--=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再利用特殊值判断.【详解】因为函数()x xe ef x x --=的定义域为：{}|0x x ≠，且()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-，所以()f x 是偶函数，排除BD ，又因为1(0)f x e e -=->，排除C ，故选：A6．若直线1:220l ax y +-=与直线()22:(1)10l x a y a +-++=平行，则a 的值为（ ） A ．1a =-B ．2a =C ．2a =-或1a =D ．2a =或1a =-【答案】B【分析】利用直线平行的充要条件知：(1)20a a --=，求a 值，注意验证所得a 值是否符合题意，即可确定a 值.【详解】由题意知：(1)20a a --=，解得2a =或1a =-，当1a =-时，1:220l x y -+=，2:220l x y -+=两线重合，故不合题意； 当2a =时，1:10l x y +-=，2:50l x y ++=两线平行； ∴2a =. 故选：B.7．张衡（78年~139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 31-，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）A ．9B ．9.42CD ．【答案】D【分析】由正方体性质，确定线段AB 最小时两点与球心的位置关系及数量关系R r AB -=，若正方体棱长为a ，内切球半径2a r =，外接球半径R =a ，结合已知条件以及球的表面积公式，求外接球表面积.【详解】由正方体的性质知：其外接球与内切球的球心重合，所以两球的球面上两点A ，B 的距离最小时，球心与A ，B 共线，且在球心的同侧，若正方体棱长为a ，内切球半径2a r =，外接球半径R =∴R r -==1a =，则R ，∴外接球的表面积243S R ππ==，而25168π=，有π=∴S =故选：D.8．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上的一点，()1213PF PF λλ=≤≤，122F PF π∠=，则椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎦B ．22⎣⎦C ．24⎣⎦D ．4⎫⎪⎪⎣⎭【答案】C【分析】利用椭圆定义和勾股定理可表示出2,a c ，得到()22211e λλ+=+，利用换元法将()2211λλ++转化为二次函数的形式，求得二次函数的值域即为2e 的范围，解不等式可求得结果.【详解】设()1,0F c -，()2,0F c ，由椭圆定义知：()1222212PF PF PF PF PF a λλ+=+=+=…①，122F PF π∠=，()222222221222214PF PF PF PF PF c λλ∴+=+=+=…②，由①②可得：()()2222222114114c e a λλλλ++===++， 设1t λ=+，[]1,3λ∈，[]2,4t ∴∈，则()22222221122221111222t t t e t t t t t -+-+⎛⎫===-+=-+ ⎪⎝⎭，当112t =时，()2min12e =；当114t =时，()2max58e=； 21528e ∴≤≤，解得：,24e ∈⎣⎦.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆离心率取值范围的求解问题，解题关键是能够将离心率表示为关于λ的函数的形式，进而通过函数值域的求解方法来求得离心率的取值范围.9．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题不正确的是（ ）A ．若,,//m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若,//m n αα⊥，则m n ⊥C ．若//,m αβα⊂，则//m βD ．//,//m n αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等 【答案】A【分析】根据线、面垂直平行的判断定理性质，逐一进行判断. 【详解】选项A ：若,m n m α⊥⊥，则n ⊂α或//n α， 又//n β，并不能得到αβ⊥这一结论，故选项A 错误； 选项B ：若,//m n αα⊥，则由线面垂直的性质定理和线面平行的 性质定理可得m n ⊥，故选项B 正确；选项C ：若//,m αβα⊂，则有面面平行的性质定理可知//m β， 故选项C 正确；选项D ：若//,//m n αβ，则由线面角的定义和等角定理知，m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故选项D 正确. 故选:A【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，以及线面角的定义和等角定理等基础知识，需要对每个选项逐一进行判断，属于中档题.二、多选题10．已知实数,x y 满足方程22410x y x +-+=，则下列说法正确的是（ ） A ．y x -2-B ．22xy +的最大值为7+C ．y xD ．x y +的最大值为2+【答案】AB【分析】设2x θ=，y θ=，将ABD 中的式子化为三角函数的形式，根据三角函数的最值可求得结果；根据yx的几何意义，利用圆的切线的求解方法可求得yx的取值范围，由此确定C 的正误. 【详解】由22410x y x +-+=得：()2223x y -+=，可设2x θ=，y θ=；对于A，224y x πθθθ⎛⎫-=--=-- ⎪⎝⎭，当sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()max 2y x -=，A 正确； 对于B，222243cos 3sin 7x y θθθθ+=+++=+， 当cos 1θ=时，()22max7x y +=+B 正确；对于C ，y x表示圆()2223x y -+=上的点与坐标原点连线的斜率， 设过坐标原点的圆的切线方程为y kx ==k =y x ⎡∴∈⎣，max y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭C 错误； 对于D，224x y πθθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()max 2x y +=，D 错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题考查与圆上的点的坐标有关的最值问题的求解，解题关键是能够利用换元法，结合三角恒等变换的公式将问题转化为三角函数值域的求解.11．设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若1|PF OP =，则下列说法正确的是（ ） A ．2F P b = BC ．点P在直线3x a =上 D．双曲线的渐近线方程为y =【答案】ABC【分析】利用点到直线的距离公式可判断A ；求出OP ，由12cos OPFOP OF ∠=-，得到1PF ==，根据余弦定理可知1cos FOP ∠=ac-，可判断B ；由点P 在直线y =上，可设()()0P x x >，由OP a =可判断C；由e =方程可判断D.【详解】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=， 焦点()1,0F c -，()2,0F c ，()0,0,0a b c >>>因为过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，所以2bcF P b c===，故A 正确；因为OP a ===，则()1222cos cos 180cos OP aFOP F OP F OP OF c∠=-∠=-∠=-=-，所以1PF ==，在三角形1OPF 中，根据余弦定理可知2221111cos 2OP OF F PFOP OP OF +-∠==⋅22262a c a aac c+-=-，解得223a c =，即离心率3e =或3e =-（舍），故B 正确； 因为点P 在直线2y x =上，可设()(),20P x x x >，由OP a =可知，()2223OP x xx a =+==，解得33x a =，故C 正确； 因为2213b e a=+=，解得2b a =，所以渐近线的方程为2y x =±，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】本题考查双曲线的几何性质以及渐近线方程、离心率的求法，关键点是熟练掌握双曲线的几何性质，考查综合分析问题、解决问题能力及运算能力，属于中档题. 12．如图，直三棱柱11,ABC A B C -，ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11A C 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，则（ ）A ．FM 与BD 一定是异面直线B ．三棱锥D MEF -的体积为定值14C ．直线11B C 与BD 所成角为2π D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB FE -的外接球体积为556【答案】CD【分析】A 当特殊情况M 与B 重合有FM 与BD 相交且共面；B 根据线面垂直、面面垂直判定可证面1BEFB ⊥面11ACC A ，可知EMFS、D 到面1BEFB 的距离，可求D EMF V -；C 根据线面垂直的判定及性质即可确定11B C 与BD 所成角；D 由面面垂直、勾股、矩形性质等确定外接球半径，进而求体积，即可判断各项的正误. 【详解】A ：当M 与B 重合时，FM 与BD 相交且共面，错误；B ：由题意知：BE AC ⊥，AC EF ⊥且BE EF E =，则AC ⊥面1BEFB ，又AC ⊂面11ACC A ，面1BEFB ⋂面11ACC A EF =，所以面1BEFB ⊥面11ACC A ，又1121122EMFSEF BE =⋅⋅=⨯⨯=，D 到面1BEFB 的距离为1h =，所以1133D EMF EMFV h S-=⋅⋅=，错误； C ：由AB BC ⊥，1BC B B ⊥，1B B AB B =，所以BC ⊥面11ABB A ，又11//BC B C ，即11B C ⊥面11ABB A ，而BD ⊂面11ABB A ，则11BD B C ⊥，正确；D ：由B 中，面1BEFB ⊥面11ACC A ，即面DEF ⊥面1BEFB ，则D 到面1BEFB 的距离为1h =，又D 为1AA 中点，若1,BF EB 交点为O ，G 为EF 中点，连接,,OG GD OD ，则OG GD ⊥，故225OD OG GD =+=，由矩形的性质知：15OB OE OF OB ====，令四棱锥1D BB FE -的外接球半径为R ，则5R =，所以四棱锥1D BB FE -的外接球体积为354356V R π==，正确. 故选：CD.【点睛】关键点点睛：利用线面、面面关系确定几何体的高，结合棱锥体积公式求体积，根据线面垂直、勾股定理及矩形性质确定外接球半径，结合球体体积公式求体积.三、填空题13．为了了解某社区居民的2019年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆ0.760.4yx =+，则t =___________________. 【答案】9【分析】计算样本点中心，代入回归方程得出t 的值.【详解】8.28.61011.311.9105x ++++==，0.76100.48y =⨯+=6.27.189.785t ++++∴=，解得9t =故答案为：914．已知,0()απ∈-，4cos 5α=-，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________________.【答案】7【分析】根据,0()απ∈-，4cos 5α=-，利用三角函数的基本关系求得tan α，再利用两角和的正切公式求解.【详解】因为,0()απ∈-，4cos 5α=-， 所以3sin 5α=-，3tan 4α=， 所以3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-⋅-， 故答案为：715．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CP 的中点，2AB AC PA ===，则直线PA 与平面DEF 所成角为_________弧度. 【答案】4π【分析】根据题意作出示意图，取AC 中点G ，作GH EF ⊥，根据条件证明GFH ∠即为线面角，由此求解出线面角.【详解】如图所示，取AC 中点G ，连接,FG GE ，作GH EF ⊥交EF 于H 点， 因为,F G 为,PC AC 中点，所以//FG PA所以PA 与平面DEF 所成角即为FG 与平面DEF 所成角 又因为PA ⊥平面ABC ，所以FG 平面ABC ，所以FG DE ⊥ 又因为,D E 为,BA BC 中点，所以//DE AG ，同理可知//GE AD 又因为90BAC ∠=︒，所以90DEG ∠=︒，所以DE GE ⊥，且GE FG G =所以DE ⊥平面EFG ，所以DE GH ⊥且,GH EF EFDE E ⊥=所以GH ⊥平面EFD ，所以FG 与平面DEF 所成角为GFH ∠ 又因为111,122FG PA EG AB ====，所以22112=+=EF 所以2sin EG GFH EF ∠==，0,2GFH π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以4GFH π∠= 故答案为：4π.【点睛】关键点睛：本题考查利用几何方法求解线面角，解答问题的关键在于能否准确的找到线面角，难度一般，本题还可以利用向量方法求解线面角.四、双空题16．已知动点P 到定点(2,0)F 的距离比到定直线3x =-的距离小1，则点P 的轨迹M 的标准方程为________；A 、B 、C 为该轨迹M 上的三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++=________.【答案】28y x = 12【分析】根据条件知动点P 到定点(2,0)F 的距离和到定直线2x =-的距离相等，再由抛物线的定义求解；根据0FA FB FC ++=，得到点(2,0)F 是三角形的重心，得到6A B B x x x ++=，再利用抛物线的定义求解.【详解】因为动点P 到定点(2,0)F 的距离比到定直线3x =-的距离小1， 所以动点P 到定点(2,0)F 的距离和到定直线2x =-的距离相等， 所以动点P 的轨迹是以(2,0)F 的为焦点的抛物线， 则22p=，解得4p =， 所以点P 的轨迹M 的标准方程为28y x =；因为A 、B 、C 为M 上的三点，且0FA FB FC ++=， 所以点(2,0)F 是三角形的重心， 则6A B B x x x ++=，所以||||||22212A B C FA FB FC x x x ++=+++++= 故答案为：28y x =，12五、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，求数列{}n n a b +的前n 项的和n S .【答案】（1）2n a n =；（2）2122n n S n n +=++-.【分析】(1)结合等差数列的通项公式和已知条件即可求出首项，进而可求出通项公式. (2)求出{}n b 的通项公式，根据数列求和的定义写出n S 的表达式，结合等差数列、等比数列前n 项和的公式即可求出n S .【详解】（1）由126a a +=，得126a d +=，又2d =，所以12a =， 所以()2212n a n n =+-=.（2）设{}n b 公比为q ，由题意12b =，224b q ==，即2q，所以2n n b =，于是22nn n a b n +=+，故()()22124222222nn n S n nn +=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++-.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了数列的求和，属于基础题.18．设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知15b =，3c =，1cos 6B =-． （1）求sinC 的值； （2）求ABC 的面积． 【答案】（1）216；（2）352. 【分析】（1）根据同角三角函数关系求得sin B ，利用正弦定理求得结果； （2）利用余弦定理构造方程求得a ，由三角形面积公式求得结果. 【详解】（1）1cos 06B =-<且()0,B π∈，,2B ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，235sin 1cos B B ∴=-=， 由正弦定理得：35sin 212sin 615c B C b ===. （2）由余弦定理得：222261cos 266a c b a B ac a +--===-，解得：2a =或3a =-（舍）， 112135sin 21522ABCSab C ∴==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形的问题，考查学生对于正弦定理、余弦定理和三角形面积公式掌握的熟练程度，属于基础题.19．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD DC ==，点E ，F 分别为AD ，PC 的中点．（Ⅰ）证明：//DF 平面PBE ； （Ⅱ）求点F 到平面PBE 的距离． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）6. 【详解】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点G ，连接EG 、FG ，由已知结合三角形中位线定理可得//DE FG 且DE FG =，得四边形DEGF 为平行四边形，从而可得//DF EG ，再由线面平行的判定可得//DF 平面PBE ；（Ⅱ）利用等积法可得：D PBE P BDE V V =﹣﹣，代入棱锥体积公式可得点F 到平面PBE 的距离．试题解析：（Ⅰ）证明：取点G 是PB 的中点，连接EG ，FG ，则//FG BC ，且12FG BC =， ∵//DE BC 且12DE BC =， ∴//DE FG 且DE FG =， ∴四边形DEGF 为平行四边形， ∴//DF EG ，∴//DF 平面PBE ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知//DF 平面PBE ，所以点D 到平面PBE 的距离与F 到平面PBE 的距离是相等的，故转化为求点D 到平面PBE 的距离，设为d ． 利用等体积法：D PBE P BDE V V --=，即1133PBE BDE S d S PD ∆∆⋅=⋅，112BDE S DE AB ∆=⨯⨯=，∵5PE BE ==，23PB =，∴6PBE S ∆=，∴6d =．点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题；在证明线面平行的过程中，常见的方法有：1、构造三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行；在该题中利用的是构造平行四边形.求点到面的距离主要是利用等体积法.20．一个圆经过点()2,0F ，且和直线20x +=相切． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）已知点()1,0B -，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P Q 、，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点． 【答案】（1）28y x =；（2）证明见解析【分析】（1）圆心到定点()2,0F 与到定直线2x =-的距离相等，可知圆心的轨迹是以点F 为焦点的抛物线，求出方程即可；（2）易知直线l 斜率存在且不为零，可设直线():0l my x n m =+≠，设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立直线l 与抛物线方程，可得关于y 的一元二次方程，由x 轴是PBQ ∠的角平分线，可得121211y y x x -=++，整理可求得128y y =-，再结合韦达定理128y y n =，从而可求得n 的值，进而可求得直线l 过定点.【详解】（1）由题意，圆心到定点()2,0F 与到定直线2x =-的距离相等， 根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹是以点F 为焦点的抛物线，其方程为28y x =. （2）由题可知，直线l 与C 有两个交点且不垂于于x 轴，所以直线l 斜率存在且不为零，设直线():0l my x n m =+≠，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立28my x n y x=+⎧⎨=⎩，可得2880y my n -+=，则264320m n ∆=->，且1280y y m +=≠，128y y n =，又2118y x =，2228y x =，x 轴是PBQ ∠的角平分线，所以12122212121188y y y yx x y y --=⇒=++++，整理可得128y y =-， 所以1288y y n ==-，即1n =-，此时满足0∆>，故l ：1my x =-，所以，直线PQ 过定点()1,0.【点睛】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查直线恒过定点问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平 面ABCD ，平面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，//AD BC ，AB AC ⊥，2AB AC ==，点E 在AD 上，且2AE ED =.（1）已知点F 在BC 上，且2=CF FB ，求证：平面PEF ⊥平面PAC ； （2）若直线PC 与平面PAB 所成的角为45︒，求二面角--A PB E 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）223. 【分析】（1）先证明四边形ABFE 为平行四边形，得//AB EF ，则AC EF ⊥，又可得PA EF ⊥，即可证明EF ⊥平面PAC ，进而证得平面PEF ⊥平面PAC ；（2）根据线面角定义找出PC 与平面PAB 所成角，得PA 的长度，建立空间直角坐标系，分别求出平面PAB 与平面PBE 的法向量，再利用向量法求出二面角--A PB E 的余弦值.【详解】（1）∵AB AC ⊥，AB AC =，∴45ACB ∠=︒， ∵底面ABCD 是直角梯形，90ADC ∠=︒，//AD BC ， ∴45ACD ∠=︒，即AD CD =，则22==BC AD ，∵2AE ED =，2=CF FB ，∴23==AE BF AD ， ∴四边形ABFE 是平行四边形，则//AB EF ，∴AC EF ⊥， ∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA EF ⊥， ∵PAAC A =，∴EF ⊥平面PAC ．又∵EF ⊂平面PEF ，∴平面PEF ⊥平面PAC . （2）∵PA AC ⊥，AC AB ⊥，∴AC ⊥平面PAB ， 则APC ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角， 所以tan 1∠==ACAPC PA，即2==PA AC取BC 的中点为G ，连接AG ，则AG BC ⊥，以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则(1,1,0)B -，(1,1,0)C ，20,,03⎛⎫⎪⎝⎭E，(0,0,2)P ， ∴51,,03⎛⎫=- ⎪⎝⎭EB ，20,,23⎛⎫=-⎪⎝⎭EP ， 设平面PBE 的法向量(,,)n x y z =，则5032203n EB x y n EP y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，令3y =，则(5,3,2)n = ∵(1,1,0)AC =是平面P AB 的一个法向量， ∴22cos ,26n AC n AC n AC⋅〈〉===⨯⋅，即二面角--A PB E 的余弦值为223.【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直，及面面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则①两直线,l m 所成的角为θ(02πθ<≤),cos a b a bθ⋅=；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅=；③二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u vθ⋅=22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为(1,0)F -，其四个顶点围成的四边形面积为 （1）求曲线E 的方程；（2）过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，设AB 的中点为M ，C 、D 两点为曲线E 上关于原点O 对称的两点，且(0)CO OM λλ=>，求四边形ACBD 面积的取值范围．【答案】（1）22132x y +=；（2）. 【分析】（1）将椭圆四个顶点围成的四边形面积表示为2ab ，结合焦点坐标，联立方程组，求解即可；（2）设出直线l 的方程，利用弦长公式求AB ，再利用0()CO OM λλ>= ，建立直线l 方程中参数,m λ的关系，再利用点到直线的距离，以及面积公式，将四边形面积表示为函数形式，求该函数的取值范围即可.【详解】（1）根据题意得2ab =226a b =， 又因为2221c a b ==-，解得23a =，22b =，所以椭圆E 的方程为22132x y +=；（2）①当直线l 的斜率为0时，点M 与O 重合，不满足0()CO OM λλ>=，故不成立；②当直线l 斜率不为0时，设:1AB x my =-， 代入E 得222(1)360my y -+-= 整理得22(23)440m y my +--=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12122244,2323m y y y y m m -+==++，所以21|AB y y=-==，212122246()22,2323mx x m y ym m-+=+-=-=++所以2232(,)2323mMm m-++，因为0()CO OMλλ>=，所以2232(,)2323mCm mλλ-++，又因为C在曲线E上，代入得222222294(23)(23)132mm mλλ+++=，整理得2223mλ=+因为点O到直线AB的距离d=设四边形ACBD面积为S，ABO的面积为1S，则212211)222323mS AB dm m+=⋅=⨯=++所以1112(1)(1)223ABC ABDS S S S S Smλλλ=+=++-==⋅+，将2223mλ=+代入得S==m R∈，20m∴≥，21011m∴<≤+，211113221m∴≤<++4S∴≤<故四边形的取值范围为．【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中四边形面积的最值，涉及弦长公式的应用，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于较难题.。
重庆市名校联盟2023-2024学年高二上学期第二次联考(12月)数学试卷(含答案)
三峡名校联盟2023年秋季联考高2025届数学试卷（答案在最后）命题人：数学测试卷共4页，满分150分、考试时间120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线y =的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.90︒D.不存在【答案】B 【解析】【分析】先求出斜率，进而可求出倾斜角.【详解】直线y =，所以其倾斜角为60︒.故选：B .2.已知空间向量()3,2,1a =，则向量a在坐标平面Oxy 上的投影向量是（）A.()3,2,0 B.()3,0,1 C.()0,2,1 D.()0,2,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的定义可得结果.【详解】根根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点(3,2,1)a =在坐标平面Oxy 上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变.所以空间向量(3,2,1)a =在坐标平面oxy 上的投影坐标是：(3,2,0).故选：A.3.若双曲线2212y x m -=的焦点与椭圆22134x y +=的长轴端点重合，则m 的值为（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆以及双曲线的几何性质即可求解.【详解】椭圆22134x y +=的长轴端点为(0,2),(0,2)-，所以双曲线的焦点为(0,2),(0,2)-，故242m m +=⇒=，故选：A4.在三棱锥A BCD -中，若BCD △为正三角形，且E 为其中心，则1322AB BC DE AD +--等于（）A.ABB.2BDC.0D.2DE【答案】C 【解析】【分析】延长DE 交BC 于F ，得F 是BC 中点，32DF DE =，然后由向量的线性运算求解．【详解】延长DE 交BC 于F ，如图，则F 是BC 中点，32DF DE =，1322AB BC DE AD +-- 0AB BF DF AD AB BF FD AD =+--=++-= ，故选：C．5.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线：当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.3412x y =+-表示的圆锥曲线为（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.以上都不对【答案】B 【解析】3412x y =+-51=>判断.3412x y =+-51=>表示：动点(),P x y 到定点()0,0O 的即可与到定直线34120x y +-=的距离的比为5且大于1，所以其轨迹为双曲线，故选：B6.已知圆2221:C x y b +=与椭圆22222:1(0),x y C a b P a b+=>>为椭圆2C 的右顶点，由点P 作圆1C 的两条切线其夹角为60︒，则椭圆2C 的离心率是（）A.12B.2C.2D.32【答案】C 【解析】【分析】由题意作图，由点(,0)P a 作圆1C 的两条切线,PB PC ，则30OPB ∠=︒,得2a b =，进而得2234a c =，即可得出离心率.【详解】圆2221:C x y b +=的圆心1C 即为(0,0)O ，半径为b ，由题意作图，由点(,0)P a 作圆1C 的两条切线,PB PC，∵两条切线其夹角为60︒，∴30OPB ∠=︒,∴2OP OB =，即2a b =，则222244()a b a c ==-，即2234a c =，得2c e a ==，故选：C.7.已知点P 为圆22(1)(2)1x y -+-=上动点，且x =，则m 的最大值为（）A.0B.45C.115D.【答案】B 【解析】【分析】由x =1m =，即求y x 的最小值，数形结合即可求解.【详解】圆22(1)(2)1x y -+-=，圆心(1,2)，半径为1，则[0,2],[1,3]x y ∈∈，当0x =时，2y =，此时0m =，当2(]0,x ∈时，由x =1m =，即求yx的最小值，即圆上的动点与原点连线的斜率最小，结合图形可知，当直线与圆相切时，取得最小值，又斜率不存在时，0x =，则斜率存在，设直线为y kx =1=，解得34k =，则m 的最大值为45.故选：B8.与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心，如图1所示，已知12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左右焦点，P 是双曲线右支上一点，Q 是12PF F △的一个旁心，如图2所示，直线PQ 与x 轴交于点M ，若2MQ PQ =，则该双曲线的渐近线方程为（）A.32y x =± B.23y x =±C.43y x =±D.34y x=±【答案】A 【解析】【分析】结合题意，运用三角形旁心的定义得出角相等，结合正弦定理，将角度关系转换为边长关系，再结合题意得到a 、b 、c 之间的关系后即可计算渐近线方程.【详解】双曲线221916x y -=中229,16a b ==，所以3,4a b ==，则225c a b =+=，由三角形得旁心的定义可知12,F Q F Q 分别平分12,PF M PF M ∠∠，在1PF Q △中，111sin sin PF PQPQF PFQ =∠∠，在1MF Q 中，111|sin sin MF MQ MQF MF Q=∠∠∣，因为11πPQF MQF ∠+∠=，11PF Q MF Q ∠=∠，所以11sin sin PQF MQF ∠=∠，11sin sin PF Q MF Q ∠=∠，所以11MQ MF PQ PF =，同理可得22MQ MF PQPF =，所以2112211221322MQ MF MF MF MF c c PQPF PF PF PF a a -======-，而2222222133142c a b b b a a a a +==+=⇒=±，故渐近线方程为：32y x =±.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量()()1,1,,2,1,2m b m a =-=--，则下列结论中正确的是（）A.若2a =，则m = B.若a b ⊥，则1m =-C.不存在实数λ，使得a bλ=D.若1a b ⋅=-，则1m =【答案】AC 【解析】【分析】根据向量的模的计算公式A 正确，根据向量垂直的条件B 错误，以及共线向量的相关判断C 正确，条件根据向量计算基本法则得出D 错误，即可得出答案.【详解】对于A 中,由2,a =可得2,=解得m =,故A 选项正确；对于B 中,由a b ⊥,可得2120m m --++=，解得1m =,故B 选项错误;对于C 中，若存在实数λ，使得a b λ=则()2,,1112m m λλλ-===--显然λ无解，即不存在实数λ，使得a b λ= 故C 选项正确；对于D 中1a b ⋅=-，则2121m m --++=-，解得0m =，故D 错误.故选：AC10.已知圆22:(1)(1)4C x y -+-=与直线20x my m +--=，下列选项正确的是（）A.圆的圆心坐标为()1,1 B.直线过定点()2,1-C.直线与圆相交且所截最短弦长为D.直线与圆可以相离【答案】AC 【解析】【分析】根据圆的标准方程，可判定A 正确；化简直线为2(1)0x m y -+-=，可判定B 不正确；根据圆的性质和圆的弦长公式，可判定C 正确；根据点()2,1P 在圆内，可判定D 不正确.【详解】对于A 中，由圆22(1)(1)4x y -+-=，可得圆的圆心坐标为()1,1C ，半径为2r =，所以A 正确；对于B 中，由直线20x my m +--=，可化为2(1)0x m y -+-=，令2010x y -=⎧⎨-=⎩，解得2,1x y ==，所以直线恒过点()2,1P ，所以B 不正确；对于C 中，由圆心坐标为()1,1C 和定点()2,1P ，可得1d CP ==，根据圆的性质，当直线与CP 垂直时，直线与圆相交且所截的弦长最短，则最短弦长为=C 正确；对于D 中，由直线恒过定点，且1CP r =<，即点()2,1P 在圆内，所以直线与圆相交，所以D 不正确.故选：AC.11.如图所示几何体，是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90︒得到，G 是圆弧 CE的中点，H 是圆弧 DF 上的动点（含端点），则（）A.存在点H ，使得EH BD ∥B.存在点H ，使得EH BG ⊥C.存在点H ，使得//EH 平面BDGD.存在点H ，使得EH ⊥平面BDG【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，由题意可将图形补全为一个正方体，从而可得//BD EM ，推出矛盾；对于B ，由EF ⊥平面BCNE 可判断；对于CD ，建立空间直角坐标系，设出坐标即可计算判断.【详解】由题意可将图形补全为一个正方体ADMF BCNE -，如图所示:对于A ，因为//BD EM ，若//EH BD ，则//EH EM ，又EH EM E ⋂=，则,EH EM 重合，因为H 是圆弧 DF上的动点，,EH EM 不可能重合，所以//EH BD 不成立，故A 错误；对于B ，因为EF ⊥平面BCNE ，BG ⊂平面BCNE ，所以EF BG ⊥，所以当,F H 重合时，有EH BG ⊥，故B 正确；对于C ，以A 为原点建立空间直角坐标系，设2BC =，则(0,0,2)B ，(2,0,0)D，2)G ，(0,2,2)E ，设(,,0)H m n ，必有224m n +=，故BG = ，(2,0,2)BD =- ，(,2,2)EH m n =--，设面BDG的法向量为(,,)n x y z =，则220x z -=，0+=，解得1x =，1y =-，1z =，故(1,1,1)n =-r，若//EH 平面BDG ，则0EH n m n -=⋅=，解得m n ==H 是 DF的中点，故C 正确；对于D ，由选项C 可知，当EH n λ= 时，EH ⊥平面BDG ，则22m n λλλ=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩，解得202m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，又0,0m n ≥≥，所以EH n λ= 不成立，所以不存在点H ，使得EH ⊥平面BDG ，故D 错误.故选：BC12.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:2C y px =，O 为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点()()2,4P m n n m <射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，且2l 经过点Q ，则（）A.当12p =，1n =时，延长AO 交直线14x =-于点D ，则D 、B 、Q 三点共线B.当12p =，1n =时，若PB 平分ABQ ∠，则4116m =C.AOB ∠的大小为定值D.设该抛物线的准线与x 轴交于点K ，则AKF BKF ∠=∠【答案】ABD 【解析】【分析】对AB ，可代入条件求出抛物线方程后计算出相应的点的坐标，A 选项验证三点纵坐标可得，B 选项中结合条件得到AP AB =计算即可得；对CD ，设出直线AB 方程，联立后得出两点横纵坐标关系后，结合斜率与倾斜角的关系即可得.【详解】如图所示：对A 、B 选项：由()()1122,,,A x y B x y ，1l 平行于x 轴的，当12p =，1n =时，1l 过点()(),11P m m >，所以11y =，把1y =代入抛物线的方程2y x =，解得1x =，即()1,1A ，直线AB 经过焦点1,04⎛⎫⎪⎝⎭，直线AB 的方程为()1011114y x --=--，即4310x y --=，联立24310x y y x--=⎧⎨=⎩，得24310y y --=，所以1234y y +=，1214y y =-，因为11211,4y y y ==-，所以214y =-，即B 点纵坐标为14-，代入得B 点横坐标2116x y ==，直线AO 的方程为y x =，联立14y x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得1414x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以D 点坐标为11,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由光学性质可知BQ 平行于x 轴，则D 、B 、Q 三点纵坐标都相同，所以D 、B 、Q 三点共线，故A 正确；由光学性质可知AP 平行于x 轴，BQ 平行于x 轴，则//AP BQ ，有APB PBQ =∠∠，PB 平分ABQ ∠，有ABP PBQ ∠=∠，所以APB ABP ∠=∠，AP AB ∴=，即25116m -=，得4116m =，故B 正确；对C 、D 选项：设AB 为2px my =+，()11,A x y 、()22,B x y ，由222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 得：2220y pmy p --=，0∆>恒成立，有122y y pm +=，212y y p =-，()()1122221x x m y y p m p +=++=+，设AOx α∠=，BOx β∠=，而11tan OA x k y α==，22tan OB k y x β==-，则()21212212121224tan tan 44OA OBy y y y p k k x x y y y y p αβ-=⋅====-，则tan tan 4αβ=，而()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 3AOB αβαβαβαβ++∠=+==--，并不是定值，故C 错误；直线AK 斜率11112AK y y k p my p x ==++，直线BK 斜率22222BK y y k pmy p x ==++21222121211112111222y y p p p p p y y p my y py py mp y mp y y y y y -======++----+11112221111222222py py y y p y p px p my p my p =-=-=-=-+++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，即AK BK k k =-，因此AKF BKF ∠=∠，故D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线22x y =的焦点F 到准线l 的距离是__________.【答案】1.【解析】【分析】写出焦点坐标与准线方程即可得到答案.【详解】由已知，抛物线的焦点为1(0,)2，准线为=1x -，故抛物线22x y =的焦点F 到准线l 的距离是1.故答案为：1.【点睛】本题考查抛物线的定义，注意焦点到准线的距离为p ，本题是一道基础题.14.已知椭圆22:1167x y C +=的左焦点为,F A B 、是C 上关于原点对称的两点，且90AFB ∠=︒，则ABF △的周长为___________．【答案】14【解析】【分析】设椭圆的右焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，根据椭圆的对称性可得四边形1AFBF 为矩形，从而可得28AF BF a +==，12AB FF c ==，得出答案.【详解】设椭圆的右焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，根据椭圆的对称性可得190AF B ∠=︒,即四边形1AFBF 为矩形所以1BF AF =,126AB FF c ====由椭圆的定义可得128AF AF a +==，所以8AF BF +=所以ABF △的周长为：6814AF BF AB ++=+=故答案为：1415.长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,AB AD AAH ===为1AC 的中点，则直线BH 与AD 所成角的余弦值为________.【答案】23【解析】【分析】以D 为原点，建立空间直角坐标系，求得1(2,0,0),(1,1,2DA BH ==-- ，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为12,1AB AD AA ===，且H 为1AC 的中点，可得1(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,1,2D A B H ，则1(2,0,0),(1,1,2DA BH ==-- ，可得32,2,2DA BH DA BH ⋅=-== ，设直线BH 与AD 所成角为θ，可得2cos cos ,3DA BH DA BH DA BH θ⋅=== ，所以直线BH 与AD 所成角的余弦值为23.故答案为：23.16.设A ，B 是半径为8的球体O 表面上两定点，且60AOB ∠=︒，球体O 表面上动点P 满足34AC AB = ，0PA PC ⋅= ，则动点P 的轨迹为________（在直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线选择）则点P 的轨迹长度为________．【答案】①.圆②.243π7【解析】【分析】先再平面AOB 内求得动点P 的轨迹是一个圆，再转化到空间中，点P 的轨迹是一个球，从而得到两球的交线即为点P 的轨迹．【详解】设以AOB 所在的平面建立直角坐标系，AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，(),P x y ，依题意可得8AB =，则()4,0A -，()4,0B ，由34AC AB = ，则()2,0C ，又0PA PC ⋅= ，即()()()224,2,190x y x y x y ---⨯--=++-=，则点P 的轨迹满足22(1)9x y ++=，故点P 轨迹是以()1,0D -为圆心，半径3的圆，转化到空间中，当点P 绕AB 为轴旋转一周时，PA ，PB 不变，依然满足0PA PC ⋅= ，故空间中点P 的轨迹为以D 为球心，半径为3的球，又点P 在球O 上，故点P 在两球的交线上，其轨迹为圆，球心距为222212cos603823872DO AD AO AD AO =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=，在ODP 中，2222228371cos 22832OP PD OD DPO OP PD +-+-∠===⨯⨯⨯⨯，设DO 边上的高为h ，由等面积法得11sin 22ODP S OD h OP PD DPO =⋅=⋅∠ ,即7832h =⨯⨯，解得7h =，则点P 的轨迹对应圆的半径为17r =，所以点P 的轨迹长度为11232432π2ππ77r =⨯=．故答案为：圆；243π7．【点睛】方法点睛：求球与平面公共点轨迹长度时，先求出平面截球所得圆面的半径，当截面为完整的圆时，可直接求圆周长；当截面只是圆的一部分时，先求圆心角的大小，再计算弧长．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系xOy 中，设点P 的轨迹为曲线C ，点P 到()1,0F 的距离比P 到y 轴的距离大1（其中点P 的横坐标不小于0）.（1）求曲线C 的方程；（2）F 是曲线C 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，求MF .【答案】（1）24y x=（2）32【解析】【分析】（1）设(),,0P x y x ≥，由条件列式化简可得结果；（2）结合焦点坐标可求得点M 的横坐标，利用焦半径公式可求得结果.【小问1详解】设(),,0P x y x ≥，由题意得1PF x =+，即1x =+，整理可得24y x =，即曲线C 的方程为24y x =；【小问2详解】由抛物线方程得：()1,0F ，准线方程为：=1x -，M 为FN 中点，点N 在y 轴上，M ∴点的横坐标为10122+=，由抛物线定义知：13122MF =+=.18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2,AB E F =,分别是1,BD B C 的中点.（1）求直线1A E 与平面BDF 所成角的正弦值；（2）求点1A 到平面BDF 的距离.【答案】（1）3（2）3【解析】【分析】（1）根据题目建立空间直角坐标系，求出平面BDF 的法向量，然后利用线面夹角正弦值的计算公式求解即可；（2）由（1）得出平面BDF 的法向量和1A E ，然后利用向量直接求解点到面的距离即可.【小问1详解】由题知，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，则()0,0,0D ，()2,2,0B ，()1,2,1F ，()12,0,2A ，()1,1,0E ，设直线AE 与平面BDF 所成角为θ，平面BDF 的法向量为()(),,,2,2,0n x y z DB == ，()1,0,1BF =-，则00n DB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得2200x y x z +=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则1,1y z =-=，得平面BDF 的一个法向量为()1,1,1n =- ，向量()1,1,2AE =-- ，则sin 3AE n AE nθ⋅==⋅ .【小问2详解】由（1）知，平面BDF 的一个法向量为()1,1,1n =- ，()11,1,2A E =-- ，所以点1A 到平面BDF的距离为13A E n n ⋅==.19.一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心()0,0O 为圆心，半径为400km 的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km 处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km 的速度做匀速直线运动：（1）运输车将在无人区经历多少小时？（2）若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？【答案】（1）5小时（2）800km【解析】【分析】（1）根据题意，以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，结合点到直线的距离公式求得弦长，即可得到结果；（2）根据题意，由直线与圆相切，即可得到结果.【小问1详解】以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，记运输车从()600,0A 出发，点N 处开始进入无人区，到M 处离开无人区，则圆O 方程为222400x y +=，由运输车沿北偏西60°方向运动，可得直线AB 的斜率3tan1503k =︒=-，则():6003AB l y x =--，即30y +-=，因为O 到AB l 的距离为300km OO '==,则2MN =⨯==，5=小时.【小问2详解】设运输车至少应离火山口km a 出发才安全，此时运输车的行驶直线刚好与圆O 相切，且直线方程为)3y x a =--30y +-=，则O到直线的距离400d ==，解得800a =，即运输车至少应离火山口800km 出发才安全.20.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>)2．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线y kx m =+与双曲线C 交于,P Q 两点，M 是C 的右顶点，且直线MP 与MQ 的斜率之积为23-，证明：直线PQ 恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2212y x -=（2）证明见解析，定点()2,0-．【解析】【分析】（1）根据题意可得关于,a b 的方程组，解得2a ，2b 即可得到双曲线C 的方程；（2）联立直线PQ 与双曲线C 的方程，结合韦达定理再化简23MP MQ k k ⋅=-得2m k =，即可得出直线PQ 恒过定点()2,0-．【小问1详解】根据题意可得222222221c e a c a b a b ⎧⎪==⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得21a =，22b =，所以双曲线C 的方程为2212y x -=．【小问2详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，联立2212y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2222220k x kmx m -+++=，()22820m k ∆=-+>，12222km x x k -+=-，212222m x x k +=-，又(1,0)M 所以()()()1212121212111MP MQ kx m kx m y y k k x x x x x x ++⋅=⋅=---++()()()222222222121221212222222221122k m k m m k x x km x x m k k m km x x x x k k +-++++--==+-++++--22()()2()2()3k m k m k m k m k m +--===-++，所以2m k =，所以直线PQ 的方程为()2y k x =+，恒过定点()2,0-．21.如图甲，在矩形ABCD中，2AB AD E ==为线段DC 的中点，ADE V 沿直线AE折起，使得DC O =点为AE 的中点，连接DO OC 、，如图乙.（1）求证：DO OC ⊥；（2）线段AB 上是否存在一点H ，使得平面ADE 与平面DHC所成角的余弦值为7？若不存在，说明理由；若存在，求出AH 的长度.【答案】（1）证明见解析（2）存在，2【解析】【分析】（1）结合余弦定理求得||OC ，结合勾股定理即可证明.（2）以E 为原点，,,EA EB l 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，应用向量法即可求解.【小问1详解】取线段AE 的中点O ，连接,DO OC ，在Rt ADE △中，DA DE ==π4DEA ∠=，,1DO AE DO ∴⊥=，在OEC △中，131,π24OE AE EC OEC ∠====，由余弦定理可得：2122152OC =++⨯=，OC ∴=，在DOC △中，2226==+DC DO OC ，DO OC ∴⊥；【小问2详解】因为,,,DO AE DO OC AE OC O DO AE ⊥⊥=⊂ 、平面,90ABCE AEB ∠=︒，所以DO ⊥平面ABCE ，过E 作DO 的平行线l ，以E 为原点，,,EA EB l 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()1,0,1,1,1,0,2,0,0,0,2,0D C A B -，平面ADE 的法向量()10,1,0n = ，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 的方程为2x y +=，设H 的坐标为()[],2,0,0,2t t t -∈，则()()1,1,0,2,1,1HC t t DC =---=-- ，设平面DHC 的法向量为()2,,n x y z =u u r ，220,0n HC n DC ⋅=⋅= 所以()()110,20t x t y x y z --+-=-+-=，令1y t =+，则()21,3,1,1,3x t z t n t t t =-=-∴=-+- ，由已知121212cos ,7n n n n n n ⋅〈==〉 ，解之得：32t =或4（舍去），3111,,0,,,0,22222H AH AH ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,，A B 、为椭圆C 的左右顶点，P 为椭圆C 上不同于,A B 的动点，直线,PA PB 的斜率为12,k k 满足1289k k ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）1F 为椭圆C 的左焦点，过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，记1F MN △的内切圆半径为r ，求r 的取值范围.【答案】（1）22198x y +=（2）80,9⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据点P 在椭圆上及1289k k ⋅=-，得2289b a -=-；再根据椭圆的几何性质可得b =，计算得：29a =即可得出椭圆的方程.（2）先联立直线l 与椭圆C 的方程，表示1MN F S 并变形化简；再通过构造函数，利用函数单调性得出1MNF S范围；最后利用等面积法表示出1MN F S ，即可求出内切圆半径r 的取值范围.【小问1详解】由A B 、为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，得(),0A a -，(),0B a .设点P 坐标为()00,x y .因为P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上不同于,A B 的动点∴22000221()x y x a a b +=≠±，即()2222002b y a x a=-.又 1289k k ⋅=-，00120202200y y k k x a x y x a a ⋅=⋅--=+，∴2289b a -=-.由椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,，得：b =.∴29a =，28b =.所以椭圆方程为：22198x y +=.【小问2详解】由题意得：直线l 的斜率不为0；()11,0F -，()21,0F ；且1226NF NF a +==，1226MF MF a +==.设直线l 方程为：1x ty -=，设()()1122,,,M x y N x y .联立方程组221981x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，整理得：()228916640t y ty ++-=.则2122122Δ1016896489t t y y t y y t ⎧⎪=+>⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，∴1121212F MN S F F y y =⨯⨯-△12122y y =⨯-=====++481=+.令1u =≥，函数18y u u =+在[)1,+∞上单调递增，则189u u+≥，所以48160,138u u⎛⎤∈ ⎥⎝⎦+，即1160,3F MN S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦△.因为三角形1F MN 的内切圆半径为r ，所以由等面积法得：()1111142622F MN S NF MF MN r a r ar r =⨯++⨯=⨯⨯==△，则16F MNS r =△.所以80,9r ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.。
2019-2020学年重庆市七校联盟高二上学期联考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年重庆市七校联盟高二上学期联考数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，复数()12z i i =-的共轭复数为 （） A ．2i -- B ．2i -C ．2i -+D ．2i +【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】()122z i i i =-=+， 2z i ∴=-．故选：B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．2．若2017220170122017(12)x a a x a x a x-=+++⋯⋯+，则1232017a a a a ++⋯+=（） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】D【解析】在所给的等式中，分别令0x =，1x =，可得要求式子的值． 【详解】2017220170122017(12)x a a x a x a x -=+++⋯⋯+，令0x =，可得01a =． ∴再令1x =，可得012320171a a a a a +++⋯+=-，则12320172a a a a ++⋯+=-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值问题，属于基础题．3．用反证法证明“若,a b ∈R ，220a b +=，则a ，b 全为0”时，假设正确的是（ ） A ．a ，b 中只有一个为0 B ．a ，b 至少一个为0 C ．a ，b 全不为0 D ．a ，b 至少有一个不为0【答案】D【解析】分析：根据反证法的概念，把要证的结论否定后，即可得到所求的反设. 详解：由题意可知，由于“22,,0a b R a b ∈+=，则,a b 全为0”的否定为“,a b 至少有一个不为0”，故选D.点睛：本题主要考查了反证法的定义的理解与应用，正确理解反证法的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.4．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是 （） A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误 【答案】C【解析】有理数包含有限小数，无限不循环小数，以及整数，故有些有理数是无限循环小数，这个说法是错误的，即大前提是错误的. 【详解】大前提的形式：“有些有理数是无限循环小数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式， ∴推理形式错误.故选：C. 【点睛】本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的． 5．已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，()40.68P ξ≤=，则()2P ξ≥=（ ）A ．0.84B ．0.68C ．0.32D ．0.16【答案】B【解析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果． 【详解】根据随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，所以密度曲线关于直线3x =对称，由于()40.68P ξ≤=，所以()410.680.32P ξ≥=-=， 所以()20.32P ξ≤=，则()2410.320.320.36P ξ≤≤=--=， 所以()20.360.320.68P ξ≥=+=． 故选：B. 【点睛】本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6．已知函数()2f x alnx =+，()'2f e =，则a 的值为 （） A ．1- B ．1C ．2eD ．2e【答案】C【解析】根据题意，求出函数的导数，将x e =代入可得2ae=，变形可得答案． 【详解】根据题意，函数()ln 2f x a x =+，则()a f x x'=， 若()2af e e'==，则2a e =. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的导数计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．7．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28 B ．76C ．123D ．199【答案】C 【解析】【详解】 由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.【考点】观察和归纳推理能力.8．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到两个数均为偶数”，则()|P B A =( )A ．18B ．14C ．25D ．12【答案】B【解析】先求得()P A 和()P AB 的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】依题意()22322542105C C P A C +===,()22251=10C P AB C =,故()|P B A =()()1110245P AB P A ==.故选B. 【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.9．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( ) A ．7种 B ．8种 C ．6种 D ．9种 【答案】A【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC 电话卡”，分三类完成：买1张IC 卡，买2张IC 卡，买3张IC 卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC 电话卡”这件事．买1张IC 卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC 卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC 卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法． 10．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是 A ．920 B ．925 C ．380 D ．19400【答案】D【解析】试题分析：击中目标时甲射击了两次包括甲乙第一次均未击中、甲第二次击中，及甲前两次均未击中、乙第二次才击中，所以其概率为11311143119454454580100400P=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故选D.【考点】独立重复试验的概率.11．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A．72 B．120 C．144 D．168【答案】B【解析】试题分析：将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有32132262224A A A=⨯⨯=(种)；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有31113224622496A A A A=⨯⨯⨯=(种)；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.故选B.【考点】1、分类加法计数原理；2、排列.12．已知函数的定义域为，部分对应值如下表：的导函数的图象如图所示，则下列关于函数的命题：①函数是周期函数；②函数在是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有4个零点。
2019-2020学年重庆市七校联盟高二上学期联考数学(理)试卷.pdf
( Ⅱ ) 求函数 f (x)当 x
3,1 时的最大值与最小值 .
所大学至少保送一人的不同保送的方法数为
种 . （用数字作答）
16. 给出下列命题：
①用反证法证明命题“设 a,b, c 为实数，且 a b c 0, ab bc ca 0, 则
a 0,b 0,c 0 ”时，要给出的假设是： a,b ,c 都不是正数；
2
②若函数 f x x x a 在 x 2 处取得极大值，则 a 2或 -6 ；
2019-2020 学年重庆市七校联盟高二上学期联考
数学（理）试卷
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用
0.5 毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡
上的相应位置， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用 2B 铅笔将答题卡上试卷
类型 A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用
y
下列关于函数 f (x) 的命题：
①函数 y f ( x) 是周期函数；
1O
2
45xLeabharlann -2-②函数 f ( x) 在 [0,2] 是减函数；
③如果当 x [ 1, t] 时， f ( x) 的最大值是 2，那么 t 的最大值为 4；
④当 1 a 2时，函数 y f (x) a 有 4 个零点．
其中真命题的个数是
张卡，则不同的买法共有
A.6 种 B.7
种 C.8 种 D.9 种
10. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为
3 和 4 , 且各次射击相互独立 , 若按甲、乙、 45
甲、乙…的次序轮流射击 , 直到有一人击中目标就停止射击 , 则停止射击时 , 甲射击了两次的概
2020-2021学年重庆市七校联考高二(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年重庆市七校联考高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.函数f(x)=log2(3+2x−x2)的定义域为()A. [−1,3]B. (−∞,−1)∪(3,+∞)C. (−1,3)D. (−1,+∞)∪[3，+∞)2.(x2−2x)5展开式中含x4项的系数是()A. 40B. 10C. −40D. −103.设随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2)，若P(ξ≥6)=0.1，则P(ξ>2)=()A. 0.1B. 0.9C. 0.8D. 0.54.甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率为P1，乙解决这个问题的概率为P2，那么以1−P1P2为概率的事件是()A. 甲乙两人至少有一人解决了这个问题B. 甲乙两人都解决了这个问题C. 甲乙两人至多有一人解决了这个问题D. 甲乙两人都未能解决这个问题5.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则()A. −3是函数y=f(x)的极大值点B. y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增C. −1是函数y=f(x)的最小值点D. y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零6.因防控新冠肺炎疫情的需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的3人中至少有1名女医生的概率为()A. 2328B. 514C. 1556D. 277.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，且满足f(2)=0，当x>0时，xf′(x)+f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A. (2,+∞)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. (−2,0)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,2)8.1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作.考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的含量M(单位：太贝克)随时间t(单位：年)的衰变规律满足函数关系：M(t)=M2−t5730，其中M0为t=0时碳14的含量，已知t=5730时，碳14的含量的瞬时变化率是−ln220(太贝克/年)，则M(2865)=()太贝克．A. 573B. 5732√2 C. 573√2 D. 1146二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)={x 3+1,x>0sinx,x≤0，则下列说法不正确的是()A. f(x)是非奇非偶函数B. f(x)是增函数C. f(x)是周期函数D. f(x)的值域是[−1,+∞)10.下列说法正确的是()A. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量x，y线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为ŷ=0.3x−m，若样本中心点为(m,−2.8)，则m=4B. 已知随机变量X的数学期望E(X)=2，若Y=2X−1，则E(Y)=3C. 用相关指数R2来刻画回归的效果，R2的值越接近0，说明模型的拟合效果越好D. 已知袋中装有大小完全相同的2个红球和2个黑球，若有放回地从中摸球，用事件A1表示“第一次摸到红球”，事件A2表示“第二次摸到黑球”，则事件A1与事件A2−是相互独立事件11.欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：e iθ=cosθ+isinθ(把z=r(cosθ+isinθ)称为复数的三角形式，其中从ox轴的正半轴到向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的角θ叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的辐角，把向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度r叫做复数的模)，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数z1=r1e iθ1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2e iθ2=r2(cosθ2+isinθ2)，则我们可以简化复数乘法：z1z2=r1r2e i(θ1+θ2)=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)).根据以上信息，下列说法正确的是()A. 若z=cosθ+isinθ，则有eπi+1=0B. 若r=1，θ=π3，则z3=1C. 若z=r(cosθ+isinθ)，则z n=r n(cosnθ+isinnθ))2021，则z在复平面上对应的点在第一象限D. 设z=(√212.下列命题为真命题的是()C. 2√17>17D. 2√15<15A. ln3<√3ln2B. lnπ<√πe三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知随机变量X～B(10,0.4)，则D(X)=______ ．14.函数f(x)=ln(x+2)−ax在(1,3)上单调递增，则实数a的取值范围是______ ．15.学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有______ 种.16.设y=f′′(x)是y=f′(x)的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都有对称中心(x0,f(x0))，其中x0满足f′′(x0)=0．x3−x2+3x+1的对称中心为______ ；(1)函数g(x)=13(2)现已知当直线kx−y−k+1=0(k∈R)和ℎ(x)=ax3+bx2+5的图象交于3 A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)(x1<x2<x3)三点时，ℎ(x)的图象在点A，点C处的切线总平行，则过点(b,a)可作ℎ(x)的______ 条切线．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数z1=m+ni(m>n>0)满足|z1|=√34，z1的实部与虚部的积为15．(1)求z1；(2)设z2=(a2−2a−3)+(a2−4a+3)i(a∈R)，_____，求a的值．从①z1=z2；②z2为纯虚数；③z2在复平面上对应点的坐标为(−3,3)．这三个条件中选一个，将问题(2)补充完整，并作答．18.设(1−x3)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，且已知(1−x3)n展开式中所有二项式系数之和为1024．(1)求n的值以及二项式系数最大的项；(2)求3a1+32a2+⋯+3n a n的值．19.为了丰富高2022届学生的课余活动，年级决定进行班级之间的乒乓球比赛.甲、乙两个班进行比赛，每场比赛采取“5局3胜制”(即有一个班先胜3局即获胜，比赛结束).比赛排名采用积分制，规则如下：比赛中，以3：0或3：1获胜方记3分，失败方记0分；以3：2获胜方记2分，失败方记1分.已知甲、乙两个班比赛，假设每局比赛甲获胜的概率都是23．(1)求比赛结束时恰好打了5局的概率；(2)甲、乙两个班比赛1场后，求乙班的积分ξ的分布列及期望．20.某传染病感染人群大多数是50岁以上的人群，某传染病进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.如果认为超过8天的潜伏期为“长潜伏期”，现对400个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，其中50岁以上的人群共280人，潜伏期为“长潜伏期”有60人，50岁及50岁以下潜伏期为“非长潜伏期”有80人.按照年龄统计样本，得到下面的2×2列联表．(1)完成上面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；(2)以题目中的样本频率视为概率，设900个病例中恰有k(k∈N∗)个属于“长期潜伏”的概率是P(k)，当k为何值时，P(k)取得最大值．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)x2−(a+2)x+2lnx(a∈R)．21.已知函数f(x)=a2(1)若a=0，求函数f(x)的极值；(2)若x=1是函数f(x)的极小值点，求实数a的取值范围．22.已知函数f(x)=xlnx−x．(1)设曲线y=f(x)在x=e处的切线为y=g(x)，求证：f(x)≥g(x)；(2)若关于x的方程f(x)=a有两个实数根x1，x2，求证：|x2−x1|<2a+e+1．e答案和解析1.【答案】C【解析】解：要使f(x)有意义，则3+2x−x2>0，解得−1<x<3，∴f(x)的定义域为(−1,3)．故选：C．可看出，要使得f(x)有意义，需满足3+2x−x2>0，从而解出x的范围即可．本题考查了函数定义域的定义及求法，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1=C5r⋅(−2)r⋅(x2)5−r=C5r⋅(−2)r⋅x10−3r，x要求x4的项的系数∴10−3r=4，∴r=2，∴x4的项的系数是：(−2)2⋅C52=40．故选：A．根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x 的指数为4求得r，再代入系数求出结果．本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．3.【答案】B【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2)，∴正态分布曲线的对称轴方程为x=4，又P(ξ>6)=0.1，则P(ξ<2)=0.1，∴则P(ξ>2)=0.9．故选：B．由已知求得正态分布曲线的对称轴，由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解P(ξ> 2)．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查数学转化思想方法，是基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，甲解决这个问题的概率为P1，乙解决这个问题的概率为P2，则甲乙同时解决了这个问题的概率为P1P2，事件“甲乙同时解决了这个问题”与事件“甲乙两人至多有一人解决了这个问题”为对立事件，则甲乙两人至多有一人解决了这个问题的概率为1−P1P2，故选：C．根据题意，分析可得甲乙同时解决了这个问题的概率为P1P2，由此可得其对立事件“甲乙两人至多有一人解决了这个问题”的概率，分析选项即可得答案．本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，注意互斥事件与对立事件的区别联系，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象可知，对于A：−3左侧的导数小于0，而右侧的导数大于0，所以−3是函数y=f(x)的极小值点，故A错误；对于B，C：当x∈(−3,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故B正确；−1不是函数y=f(x)的最小值点，故C错误；对于D：由图象得f′(0)>0，所以y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零，故D错误；故选：B．利用函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象对A，B，C，D四个选项逐个判断即可．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：由题意，某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人，则共有C83=56种不同的选法，选派的3人中至少有1名女医生，则共有C52C31+C51C32+C50C33=46种不同的选法，所以选派的3人中至少有1名女医生的概率为4656=2328．故选：A．求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．本题考查了古典概型的概率问题，解题的关键是求出总的基本事件数以及满足条件的基本事件数，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：因为当x>0时，xf′(x)+f(x)<0，所以(xf(x))′<0，令F(x)=xf(x)，则F′(x)<0，F(x)单调递减，因为f(x)是奇函数，所以f(x)=−f(−x)，所以F(−x)=(−x)f(−x)=−x[−f(x)]=xf(x)=F(x)，所以F(x)为偶函数，图象关于y轴对称，因为f(2)=0，所以F(2)=2f(2)=0，所以F(−2)=0，所以在(−∞,−2)时，F(x)<0，f(x)>0，在(−2,0)时，F(x)>0，f(x)<0，在(0,2)时，F(x)>0，f(x)>0，在(2,+∞)时，F(x)<0，f(x)<0，所以f(x)>0成立的x的取值范围是(−∞,−2)∪(0,2)，故选：D．根据题意可得(xf(x))′<0，令F(x)=xf(x)，则F(x)单调递减，由f(x)是奇函数，得F(x)为偶函数，图象关于y轴对称，由f(2)=0，得F(−2)=0，进而可得答案．本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：∵M(t)=M2−t5730，∴M′(t)=M0⋅(−15730)⋅2−t5730⋅ln2，∵当t=5730时，碳14的含量的瞬时变化率是−ln220(太贝克/年)，∴M0⋅(−15730)⋅2−57305730⋅ln2=−ln220，解得M0=573，∴M(t)=573⋅2−t5730，∴M(2865)=573⋅2−28655730=573⋅2−12=573√22．故选：B．对M(t)求导，再根据瞬时变化率可求得M0=573，从而得M(t)的解析式，再代入t= 2865，进行运算即可得解．本题考查指数函数的实际应用，瞬时变化率与导数的关系，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．9.【答案】BC【解析】解：当x>0时，f(x)=x3+1为增函数，当x≤0时，f(x)=sinx不是单调函数，则f(x)的图象不关于原点对称，也不关于y轴对称，函数为非奇非偶函数，故A正确；函数f(x)在定义域中不单调，故B错误；函数在(0,+∞)上不是周期函数，则在定义域中不是周期函数，故C错误；当x>0时，f(x)>1；当x≤0时，f(x)∈[−1,1]，可得f(x)的值域为[−1,+∞)，故D正确．故选：BC．由分段函数的对称性判定A；由x≤0时函数f(x)不单调判定B；由周期函数的定义判断C；求解函数的值域判断D．本题考查分段函数单调性、奇偶性及周期性的判定，考查推理论证能力，是基础题．10.【答案】ABD【解析】解：对于选项A ，−2.8=0.3m −m ，解得m =4，故正确， 对于选项B ，E(Y)=E(2X −1)=2E(X)−1=3，故正确， 对于选项C ，R 2的值越接近0，说明模型的拟合效果越差，故错误，对于选项D ，P(A 1)=24=12，P(A 2−)=24=12，P(A 1A 2−)=2×24×4=14，则P(A 1A 2−)=P(A 1)P(A 2−)，故正确， 故选：ABD ．由回归直线过样本中心可求得判断A 选项，由数学期望的结论可判断B 选项，由相关指数R 2的意义知C 错，由独立事件及古典概型判断D 选项即可．本题考查了回归分析，数学期望，相关指数，独立事件等概率的理解与应用，同时考查了古典概型的应用，属于基础题．11.【答案】AC【解析】解：对于A ，e πi +1=(cosπ+isinπ)+1=0+1=0，故A 正确； 对于C ，由棣莫弗定理可知，两个复数z 1，z 2相乘，所得到的复数的辐角是复数z 1，z 2的辐角之和，模是复数z 1，z 2的模之积，所以z n 的辐角是复数z 的辐角的n 倍，模是|z|n ，故C 正确； 对于B ，z =cos π3+isin π3，所以z 3=13⋅(cosπ+isinπ)=−1，故B 错误； 对于D ， 设z 3=√2=cos π4+isin π4=e iπ4，故z =z 32021=12021⋅eii021π4=ei5π4=cos5π4+isin5π4，故复数z 在复平面上所对应的点为(cos 5π4,sin5π4)，不在第一象限，故D 错误．故选：AC ．根据题干所给出的新定义判断各个选项即可． 本题考查新定义问题，考查复数的运算，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：令f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，令f′(x)=0，得x =e ，可知f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 故对于A ，f(2)>f(√3)，即ln22>√3√3，即√3ln2>2ln √3=ln3，故A 正确， 对于B ，f(√π)>f(√e)，即√π√π>√e √e，即lnπ>√πe ，故B 错误，对于C ，f(√17)<f(4)，即√17√17<ln44，即2ln √17=ln17<√17ln2，所以ln17<ln2√17，故2√17>17，故C 正确， 对于D ，，f(√15)>f(4)，即√15√15>ln44，即2ln √15=ln15>√15ln2，所以ln15>ln2√15，故2√15<15，故D 正确， 故选：ACD ． 构造函数f(x)=lnx x，利用导数分析其单调性，即可判断选项的正误．本题考查了构造函数，利用函数的单调性比较大小，属于中档题．13.【答案】2.4【解析】解：因为随机变量X ～B(10,0.4)， 所以D(X)=10×0.4×(1−0.4)=2.4． 故答案为：2.4．利用二项分布的方差计算公式求解即可．本题考查了二项分布的理解与应用，解题的关键是掌握二项分布的方差计算公式，属于基础题．14.【答案】(−∞,15]【解析】解：f′(x)=1x+2−a ， 因为f(x)在(1,3)上单调递增， 所以1x+2−a ≥0在(1,3)上恒成立， 所以a ≤1x+2在(1,3)上恒成立， 所以a ≤(1x+2)min =15，所以a的取值范围为(−∞,15].故答案为：(−∞,15].求导得f′(x)=1x+2−a，若f(x)在(1,3)上单调递增，则a≤1x+2在(1,3)上恒成立，只需a≤(1x+2)min，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，恒成立问题，属于中档题．15.【答案】36【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①将6人分为3组，要求甲乙不在同一组，有C62C42C22A33−C42C22A22=12种分组方法，②若甲所在的组在14日值班，有A22=2种安排方法，若甲所在的组在13日值班，则乙所在的组必须在12日值班，有1种安排方法，则有3种值班安排方法，故有12×3=36种安排方法．故答案为：36．根据题意，分2步进行分析：①将6人分为3组，要求甲乙不在同一组，②分情况讨论三组的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】(1,103) 2【解析】解：(1)g(x)=13x3−x2+3x+1的导数为g′(x)=x2−2x+3，g″(x)=2x−2，由2x−2=0，可得x=1，y=13−1+3+1=103，可得g(x)的对称中心为(1,103)；(2)曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，∴A，C两点关于f(x)的对称中心对称，故而B为f(x)的对称中心，又直线kx−y−k+1=0横过点(1,1)，∴f(x)的对称中心为(1,1)，即B(1,1)，∴a +b +53=1.① 由y =ax 3+bx 2+53可得y′=3ax 2+2bx ， 令y′=3ax 2+2bx =0可得−2b3a =2，② 由①②可得a =13，b =−1．∴曲线E 的方程为：y =13x 3−x 2+53，y′=x 2−2x ，∴曲线E 在点(x 0,y 0)的切线方程为y =(x 02−2x 0)(x −x 0)+13x 03−x 02+53， 把(−1,13)代入上式，整理得x 03−3x 0−2=0，即(x 0+1)2(x 0−2)=0， ∴(x 0+1)(x 02−x 0−2)=0有两解，即过点(b,a)的切线有2条． 故答案为：(1,103)，2．(1)对函数g(x)两次求导，令g″(x)=0，可得对称中心；(2)由题意可知直线的定点为曲线E 的对称中心，求出a ，b 的值，根据导数的几何意义列方程，根据方程解的个数得出结论．本题考查导数的几何意义，函数对称性的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为复数z 1=m +ni(m >n >0)满足|z 1|=√34，z 1的实部与虚部的积为15，所以{m 2+n 2=34mn =15，解得{m =5n =3，所以z 1=5+3i ； (2)若选①：因为z 1=z 2，即z 2=(a 2−2a −3)+(a 2−4a +3)i =5+3i ，可得{a 2−2a −3=5a 2−4a +3=3，解得a =4．若选②：因为z 2为纯虚数，则z 2=(a 2−2a −3)+(a 2−4a +3)i 为纯虚数，所以{a 2−2a −3=0a 2−4a +3≠0，解得a =−1． 若选③：因为z 2在复平面上对应点的坐标为(−3,3)， 则z 2=(a 2−2a −3)+(a 2−4a +3)i =−3+3i ，故{a 2−2a −3=−3a 2−4a +3=3，解得a =0．【解析】(1)利用复数模的定义以及实部与虚部的定义，列出关于m 和n 的方程组，求解即可；(2)若选①：利用复数相等的定义，列出方程组，求解即可； 若选②：由纯虚数的定义，列出方程组，求解即可； 若选③：利用复数的几何意义，列出方程组，求解即可．本题考查了复数的运算，主要考查了复数的定义、复数相等的定义、复数的几何意义的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵(1−x3)n 展开式中所有二项式系数之和为1024，∴n =10，故二项式系数最大的项为T 6=C 105⋅(−x3)5=−8481⋅x 5． (2)∵(1−x3)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，∴令x =0，可得a 0=1．∴(1−x3)n =1+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋅⋅⋅+a n x n ，令x =3，可得1+3a 1+32a 2+⋯+3n a n =0， ∴3a 1+32a 2+⋯+3n a n =−1．【解析】(1)由题意利用二项式系数的性质求得n ，从而求得二项式系数最大的项． (2)分别给x 赋值，即可得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．19.【答案】解：(1)比赛结束时恰好打了5局，甲获胜为事件A ，比赛结束时恰好打了5局，乙获胜为事件B ， 比赛结束时恰好打了5局为事件C ， 事件A ，B 互为互斥事件，所以P(C)=P(A)+P(B)=C 42(23)2(13)223+C 42(23)2(13)213=827； 故比赛结束时恰好打了5局的概率为827； (2)乙班的积分ξ的可能取值为0，1，2，3，所以P(ξ=0)=(23)3+C 32(23)2×13×23=1627， P(ξ=1)=C 42(23)2(13)223=1681，P(ξ=2)=C 42(23)2(13)213=881， P(ξ=3)=(13)3+C 32(13)2×23×13=19，所以ξ的分布列为：故E (ξ)=0×1627+1×1681+2×881+3×19=5981．【解析】(1)利用相互独立事件的概率乘法公式以及分类计数原理求解即可； (2)先求出随机变量ξ的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)列联表为所以K 2=400×(60×80−220×40)2280×120×100×300≈34.286>3.841，故，有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关． (2)利用列联表，得“长期潜伏”的频率为100400=14；所以P(k)=C 900k ⋅(14)k ⋅(34)900−k ，则P(k +1)=C 900k+1⋅(14)k+1⋅(34)899−k ， 令P(k+1)P(k)≥1，化简得900−k 3(k+1)≥1，即k ≤8974≈224.25；所以，当k =0，1，2，⋯，224时，P(k +1)≥P(k)， 所以当k =225时，P(k)取得最大值．【解析】(1)补充列联表，并计算K2的值；(2)利用二项分布的概率公式表示出P(k)，利用作商法求出P(k)的最值．本题考查独立性检验、二项分布、函数的最值，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=−2x+2lnx(x>0)，求导得f′(x)=−2+2x =2(1−x)x，令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得x>1，所以f(x)在(0,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，所以f(x)max=f(1)=−2+2ln1=−2．(2)f′(x)=ax−(a+2)+2x =ax2−(a+2)x+2x=(ax−2)(x−1)x，因为x=1是函数f(x)的极小值点，当a=0时，在(0,1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，在(1,+∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以在x=1处取得极大值，不合题意，当a≠0时，令f′(x)=0，得x=2a或x=1，当2a<0，即a<0时，在(0,1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，在(1,+∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以在x=1处取得极大值，不合题意，当2a>0，即a>0时，①若0<2a<1时，即a>2时，在(0,2a)，(1,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，在(2a,1)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以在x=1处取得极小值，符合题意，②若2a=1时，即a=2时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，在x=1处没有取得极值，不合题意，③若2a>1时，即0<a<2时，在(0,1)，(2a ,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增， 在(1,2a )上，f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以在x =1处取得极大值，不符合题意， 综上所述，a 的取值范围为(2,+∞)．【解析】(1)当a =0时，f(x)=−2x +2lnx(x >0)，利用导数法求解即可． (2)f′(x)=(ax−2)(x−1)x，分三种情况：当a =0时，当2a <0时，当2a >0时，分析导数的正负，f(x)的极值，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，极值，参数的取值范围，属于中档题．22.【答案】解：(1)证明：f′(x)=x ⋅1x +lnx −1=lnx ，所以k 切=f′(e)=lne =1， 又f(e)=0，所以曲线y =f(x)在x =e 处的切线为y −0=(x −e)，即y =x −e ， 所以g(x)=x −e ，令F(x)=f(x)−g(x)=xlnx −x −x +e =xlnx −2x +e ， F′(x)=lnx +x ⋅1x −2=lnx −1，所以当x >e 时，F′(x)>0，F(x)单调递增， 当0<x <e 时，F′(x)<0，F(x)单调递减， 所以F(x)min =F(e)=elne −2e +e =0， 所以F(x)≥F(0)， 所以f(x)≥g(x)．(2)证明：不妨设x 1<x 2，直线y =−x −1e 与y =a 相交于点(x 0,a)， 由(1)知，f(x)≥g(x)，则a =−x 0−1e =f(x 1)≥g(x 1)=−x 1−1e ， 从而x 1≥x 0=−a −1e ，当且仅当x 0=1e ，a =−2e 时取等号， 下证：x 2≤a +e ， 由于a =f(x 2)，所以x 2≤a +e ⇔x 2≤f(x 2)+e ， 即证：f(x 2)−x 2+e ≥0，令φ(x)=f(x)−x +e =xlnx −2x +e ， 则φ′(x)=lnx −1，当x ∈(0,e)时，φ′(x)<0，φ(x)单调递减， 当x ∈(e,+∞)，φ′(x)>0，φ(x)单调递增， 所以φ(x)≥φ(e)=0，即x 2≤a +e 成立，当且仅当x 2=e ，a =0时取等号， 由于等号成立的条件不能同时满足，所以|x 1−x 2|=x 2−x 1<(a +e)−(−a −1e )=2a +e +1e ．【解析】(1)求导得f′(x)=lnx ，由导数的几何意义可得k 切=f′(e)=1，又f(e)=0，进而可得切线方程，则g(x)=x −e ，令F(x)=f(x)−g(x)=xlnx −2x +e ，求导，分析F′(x)的正负，F(x)的单调性，进而可得F(x)≥F(x)min ，即可得出答案．(2)不妨设x 1<x 2，不等式等价于|x 1−x 2|=x 2−x 1<(a +e)−(−a −1e )=2a +e +1e ，只需证明x 1≥x 0=−a −1e ，x 2≤a +e ，即可得出答案． 本题考查导数的综合应用，不等式的证明，属于中档题．。
重庆市七校联盟2020学年高二数学上学期联考试题理
重庆市七校联盟 2020 学年高二数学上学期联考试题 理、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有4. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是循环小数”是假命题，推 理错误的原因是A. 使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论” ，但推理形式错误D.使用了“三段论” ，但小前提错误5.( 原创 )已知随机变量服从正态分布 N(3,2) , P(4) 0.68 ,则 P(2)=A. 0.84B. 0.68C. 0.32D.0.166.( 原创 )已知函数 f ( x) aln x 2 ， f '(e ) 2 ，则 a 的值为A ． 1B.1C.2eD.2e7. 观察下列各式： ab 1， a 2 b 23，33ab 444 ， a b57 ， a b 5 11 ，则 a 10 b 10A ．28B.76C.123D.1998.从1、2、3、4、5中任取2个不同的数，事件 A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为 “取到的2个数均为偶数”，则P(B| A)等于1.( 原创 ) 在复平面内，复数 z i(1 2i) 的共轭复数为A ． 2 i B. 2 iC.2iD.2.( 原创 )若 (1 20172x)a 0 a 1x2 a 2xa2017A ．2B.1C.1D.3. 用反证法证明命题“若 a 2b 22ia,b 至少有一个为 0 C. a,b 全不为 0 D.a,b 中只有一个为 0一项是符合题目要求的 . ) A. a,b 至少有一个不为 0 B.a,b R )”, 假设的内容是2017，则 a 1 a 2 a 3 a 20171143 410.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为-和-,且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击4 5,直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是A.- B. C.9.(原创)小王有70元钱，现有面值分别为2520元和30元的两种IC电话卡，若他至少购买一D.张卡，则不同的买法共有A.6 种B.7 种C.8 种D.9 种A.AB. C. D.20 25 8019 40011.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A.72B.120C.144D.16812. 已知函数f(x)的定义域为［1,5］，部分对应值如下表x-1045f(x)1221f(x)的导函数y f'(x)的图象如图所示下列关于函数f (x)的命题：①函数y f(x)是周期函数；②函数f(x)在［0,2］是减函数；③如果当x ［ 1,t］时，f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4；④当1 a 2时，函数y f(x) a有4个零点.其中真命题的个数是A. 1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 2 214.(原创)(3x 2 sinx)dx =15•将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、 上海交通大学、浙江大学三所大学就读，则每16. 给出下列命题:上述命题中，所有正确命题的序号为（I ）实数；（n ）纯虚数.已知函数f(x) x 3 12xI ）求函数f （x ）的单调区间；n ）求函数f （x ）当x 3,1时的最大值与最小值.19. （本小题满分12分）（原创）中秋节吃月饼是我国的传统习俗，设一礼盒中装有(I )求三种月饼各取到 1个的概率；所大学至少保送一人的不同保送的方法数为 种•（用数字作答）13.（原创）（x 2y ）4展开式中二项式系数最大的项的系数为■1用数字作答）①用反证法证明命题“设 a,b,c 为实数，且 a b c 0,ab bc ca 0,贝Ua 0,b 0,c 0 ” 时, 要给出的假设是: a,b,c 都不是正数;②若函数f X x 2处取得极大值，则 a 2或-6 ；③用数学归纳法证明1 * 、 n n(n 1,n N ),在验证n 2成立时,2 1不等式1 1的左边是1 ——；2 3④数列｛a n ｝的前n 项和 S n3n c ，则c 1是数列｛a n ｝为等比数列的充要条件;三、解答题（本大题共6个小题, 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.( 本小题满分10分）（原创）当m 为何实数时，复数m 2 m 6 2(m 2m 8)i 是18.( 本小题满分12分）9个月饼，其中莲蓉月饼 2个,伍仁月饼3个，豆沙月饼4个，这三种月饼的外观完全相同，从中任意选取3个.(n)设X表示取到伍仁月饼的个数，求X的分布列与数学期望.20. (本小题满分12分)数列｛a n｝满足S n 2n a n(n N ).(I)计算a i ,a2, a3, ,并由此猜想通项公式a n;(n)用数学归纳法证明(I)中的猜想.21. (本小题满分12分)某校为全面推进新课程改革，在高一年级开设了研究性学习课程，某班学生在一次研究1 活动课程中，一个小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为一.2 (I )求该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率；(n)如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续下次实验，但实验的总次数不超过5次，求该小组所做实验的次数的概率分布列和数学期望•22. (本小题满分12分).丿 2 1 2 设函数f(x) ax b(lnx x), g(x) - x (1 b)x.已知曲线y f(x)在点(1,2f (1))处的切线与直线x y 1 0垂直.(I )求a的值；(n )求函数f (x)的极值点；(川)若对于任意的b (1,),总存在x1, x2[1,b],使得f (x1) f (x2) 1 g(x1) g(x2) m成立，求实数m的取值范围重庆市七校联考高二数学理科参考答案13. 24 14. 16 15. 150 16. ③④三.解答题17. (本小题满分10分)m 4 0解：(I )当 2 ........................................ 3分m 2m 8 0即m 2时，z是实数； ...................... 5分m2m 6 小0 八(n)当m 4 .................................. 7 分2m 2m 8 0m 3或2......................................... 9 分m 2且m 4m 3时，z是纯虚数. ...................... 10分18. (本小题满分12分)解：(I)由f(x) x3 12x 可得f'(x) 3x2 12 ........................... 2 分令f'(x) 0 即得2x2f(x)的单调递增区间为(2,2) ............................... 4分令f'(x) 0 即得x 2或x 2f(x)单调递减区间为(，2), (2,).综上所述：f(x)的单调递增区间为(2,2)，单调递减区间为(，2),(2, ). ................................... 6 分(n)由(I)可知：f(x)在3, 2上单调递减，在2,1上单调递增 ........................... 8分又f ( 3) ( 3)312 ( 3) 9f( 2) ( 2)312 ( 2) 16 .................................. 10分3f(1) 1 12 1 11 .................................. 11 分f(x)在3,1上的最大值为11,最小值为16 ....................................... 12分19. (本小题满分12分)解: ( I )设三种月饼各取到一个的概率为P,c2c3c：c；则X10分20.(本小题满分12分)解：(I) S n 2n a n当n1时,S21a1a11当n 2时，S222a2a232当n 3时，S323a3a374当n 4时，S24a4a415(n )由题意可得：X可能的取值为C；5P(X0)3C921dd3P(X2)3C9140,1,2,3…6分c；c215P(X1)3C928c31P(X3)3C984X的数学期望E()52145131412分11 51 5 13P(A)1 P(A 1 A 2) 1P(A 1)P(A 2) 1C 5(2)C 5(2)石(n) 的可能取值为2, 3, 4, 5.的分布列为:由此猜想a nn丄 討(n(n )证明①当n 1时,a 11,②假设 n k(k 1且k N )时, 结论成立，即 a kk .2 1 2k 1那么n1时,a k 1S k 1S k2(k 1) a k 1 2ka k2 a kak 110分2a kakak 1a k 22k 1 2k 1 22k 1 1 2k11分所以当1时，结论成立,综上所述a n 2n 1 、—(n N )成立.12分21.(本小题满分12分)解：(I)记“该小组做了5次实验至少有 2 次成功”为事件 A , “只成功一次”为事件 A 1 ,“一次都不成功”为事件 A ，则:故该小组做了 5次这种实验至少有2次成功的概率为13 ...................... 16.则 P(2) (1)2P(113)匕) P(11 4)3 16P( 5)CM 5C 5(2)C 4(i )551610分21x 2 bx b得 f (x) x b(- 1)---------------- (x 0)xx令f (x) 0得xbx b 0 (*)b 2 4b① 当 b 2 4b 0时，即b -4或b 0时(*)式有两个根b J b 2 4bb V b 2 4bX 1, X 2 2 2当 b 4 时，x 1 0, x 20.f (x)在区间(0, x 2)上单调递减，在区间 (x 2,捲)上单调递增，在区间(x 1，)上单调递减•此时x x 2为极小值点，x 捲为极大值点 当 b 0时，x-i 0, x 2 0.f (x)在区间(0, x )上单调递增，在区间 (x 1，)上单调递减，此时x 捲为极大值点，无极小值点............. 6分② 当 b 2 4b 0时，即-4 b 0时f (x)在定义域内单调递减， 无极值点。
重庆市名校联盟2021-2022学年高二上学期第一次联合考试数学试题 Word版含答案
秘密★启用前重庆市名校联盟2021－2022学年度第一次联合考试数学试题（高2023届）（本试卷共4页，总分150分，考试时间120分钟）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点N 为BC 的中点，点M在线段OA 上，且OM ＝2MA ，则MN =（ ）A .121233a b c -- B .111322a b c -++ C .211323a b c -+ D .211322a b c -++2.直线360x -=的倾斜角为（ ）A .23π B .3π C .6πD .56π 3.已知直线1:10l mx y +-=与直线2:10l x my +-=相互垂直，则实数m 的值是（ ） A .0 B .1 C .－1 D .1±4.倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2021的直线方程是（ ） A .20210x y --= B .20210x y -+= C .20210x y +-= D .20210x y ++=5.一束光线，从点A （－3，3）出发，经x 轴反射到圆C ：（x －5）2＋（y －5）2＝4上的最短路径的长度是（ ）A .2B .2C .2D .26.已知两条异面直线的方向向量分别是(3,1,2),(3,2,1)u v =-=--，则这两条异面直线所成的角θ满足（ ） A .9sin 14θ=B .1sin 4θ=C .9cos 14θ=D .1cos 4θ=7.已知⊙0的圆心是坐标原点O ，且被直线0x +=截得的弦长为6，则⊙O 的方程为（ ）A .224x y +=B .228x y +=C .2212x y +=D .2216x y += 8.已知双曲线C 的焦点为12(2,0),(2,0)F F -，点A 在C 上，且关于原点O 的对称点为B ，||AB =12F F ，四边形12AF BF 的面积为6，则双曲线C 的方程为（ ）A .2213x y -=B .2213y x -= C .222x y -= D .2213y x -=二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{,,}MA MB MC 成为空间的一个基底的是（ ）A .111345OM OA OB OC =++ B .2MA MB MC =+ C .23OM OA OB OC =++ D . 32MA MB MC =- 10.已知直线:20l kx y k -+=和圆22:9O x y +=，则（ ） A .直线l 恒过定点（2，0）B .存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直C .直线l 与圆O 相交D .若k ＝－1，直线l 被圆O 截得的弦长为11.已知直线l 经过点（3，5），且点A （－2，3），B （4，－1）到直线l 的距离相等，则直线l 的方程可能为（ ）A .23210x y +-=B .210x y --=C .220x y ++=D .2360x y -+=12.如图，P 为椭圆221:186x y C +=上的动点，过P 作1C 的切线交圆222:24C x y +=于M ，N ，过点M ，N 作2C 的切线交于点Q ，则（ ）A .OPQSB .OPQSC .Q 的轨迹方程是2213648x y +=D .Q 的轨迹方程是2217296x y +=第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知点A （－2，－2），B （a ，2）且||5AB =，则a 的值为 ．14.已知圆C ：x 2＋y 2－6x －8y －m ＝0，其中m ∈R ，如果圆C 与圆x 2＋y 2＝1相外切，则m 的值为 ．15.已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0内有点M （3，1），则以点M 为中点的圆C 的弦所在的直线方程为 ．16.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截而得到的，若AB ＝4，BC ＝2，13CC =，BE ＝1，则（1）||BF = ；（2）点C 到平面1AEC F 的距离为 ．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知点A （5，－1）关于x 轴的对称点为()11,B x y ，关于原点的对称点为()22,C x y ． （Ⅰ）求△ABC 中过AB ，BC 边上中点的直线方程； （Ⅱ）求△ABC 的面积． 18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆N 过点（－1，0），（1，0），且圆心N 在直线l ：x ＋y －1＝0上；圆M ：22(3)(4)8x y ++-=．（Ⅰ）求圆N 的标准方程，并判断圆M 与圆N 的位置关系；（Ⅱ）直线MN 上是否存在点B ，使得过点B 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为T ，S （不重合），满足BS ＝2BT ？若存在，求出点B 的坐标，若不存在，请说明理由． 19.（本小题满分12分）如图，AP 是圆柱的母线，正△ABC 是该圆柱的下底面的内接三角形，D ，E ，F 分别为BC ，PB ，AB 的中点，G 是EF 的中点，且AP ＝AC ． （Ⅰ）求证：DG ∥平面P AC ；（Ⅱ）求直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值．20.（本小题满分12分）已知双曲线C 与椭圆221126x y +=有相同的焦点，(P -是C 上一点．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记C 的右顶点为M ，与x 轴平行的直线l 与C 交于A ，B 两点，求证：以AB 为直径的圆过点M ．21.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AB ＝2AD ＝2DC ． （Ⅰ）证明：平面P AD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若M 是PB 的中点，求平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值．22.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，其长轴为8，过椭圆上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与x ，y 轴的交点分别为E 、Q ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求△EOQ 面积的最小值．重庆市名校联盟2021－2022学年度第一次联合考试数学试题参考答案（高2023届）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.∵N 为BC 的中点，点M 在线段OA 上，且OM ＝2MA ，且,,OA a OB b OC c ===，11111,,()()33222MA OA a AB OB OA b a BN BC OC OB c b ∴===-=-==-=-，11211()32322MN MA AB BN a b a c b a b c ∴=++=+-+-=-++，故选D ．2.直线360x -=的方程转换为y =+，所以tan θ=，由于(0,)θπ∈，所以23πθ=，故选A ． 3.因为直线1:10l mx y +-=与直线2:10l x my +-=相互垂直，所以mx 1＋1xm ＝0，解得m ＝0，即实数m 的值是0，故选A ．4.因为倾斜角为45°，所以直线的斜率为k ＝tan45°＝1，又在y 轴上的截距为2021，所以所求直线的方程为y ＝x ＋2021，即x －y ＋2021＝0，故选B ．5.如图1，由圆C 的方程可得圆心坐标C （5，5），半径r ＝2，设A 点关于x 轴对称点(3,3)A --'，连接A C '交x 轴于Q 点，交圆C 于P 点，则A P '为所求的最短距离，证明如下：任取x 轴上一点Q ，则AQ QP A Q QP A P ++''=，当且仅当,,A Q P '三点共线时取等号，所以22A P A C r ''=-==，故选A ．6.∵两条异面直线的方向向量分别是(3,1,2),(3,2,1),33(1)u v u v =-=--∴⋅=⨯+-⨯2(2)2(1)9,||3(u -+⨯-==+=，2||3(v =+-=，，又两条异面所成的角为θ，则||99cos |cos ,|||||1414u v u v u v θ⋅=<>===⋅⋅，故选C ．7.∵⊙O 的圆心是坐标原点O ，且被直线0x -+=截得的弦长为6，设⊙O 的方程为x 2＋y 2＝r 2，则弦心距为22262d r ⎛⎫==∴+= ⎪⎝⎭，解得r 2＝12，可得圆的标准方程为x 2＋y 2＝12，故选C ．8.∵原点O 分别为AB 和12F F 的中点，∴四边形12AF BF 为平行四边形，又12||AB F F =，∴四边形12AF BF 为矩形，∵四边形12AF BF 的面积为6， 126AF AF ∴=，又222222121212121216,||2,42AF AF F F AF AF a a AF AF AF AF +==-=∴=+-=16－12＝4，解得a 2＝1，∴b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为2213y x -=，故选B ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.对于A ，因为111345OM OA OB OC =++，且1111345++≠，利用平面向量基本定理可知：点M 不在平面ABC 内，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；对于B ，因为2MA MB MC =+，利用平面向量基本定理可知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成一个空间基底；对于C ，由23,1231OM OA OB OC =++++≠，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法可知：OM 是以点O 为顶点的对角线，向量,,MA MB MC 能构成一个空间基底；对于D ，由32MA MB MC =-，根据平面向量的基本定理可知：向量,,MA MB MC 共面，不能构成空间的一个基底，故选AC ．10.直线:20l kx y k -+=，即(2)0k x y +-=，则直线恒过定点（－2，0），故A 错误；当k ＝－2时，直线:20l kx y k -+=与直线0:220l x y -+=垂直，故B 正确：∵定点（－2，0）在圆O ：x 2＋y 2＝9内部，∴直线l 与圆O 相交，故C 正确：当k ＝－1时，直线l 化为－x －y －2＝0，即x ＋y ＋2＝0，圆心O 到直线的距离d ==l 被圆O 截得的弦长为=D 正确，故选BCD ．11.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为y －5＝k （x －3），即kx －y ＋5－3k ＝0，∵点A （－2，3），B （4，－1）到直线l 的距离相等，=，解得23k =-或k ＝2，当23k =-时，直线l 的方程为25(3)3y x -=--，整理得2x ＋3y －21＝0，当k ＝2时，直线l 的方程为y －5＝2（x －3），整理得2x －y －1＝0.综上，直线l 的方程可能为2x ＋3y －21＝0或2x －y －1＝0，故选AB ．12.设()(),,,p p Q Q P x y Q x y ，则:186P P MN x yl x y +=，即3424p p x x y y +=，过M ，N 作2C 切线交于Q ，则:24MN Q Q l x x y y +=，所以3,4Q P Q P x x y y ==，即,34Q Q P P x y x y ==，因为点P 为椭圆221:186x y C +=上的动点，所以2234186Q Q x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，可得点Q 的轨迹方程为2217296x y +=，故C 错误・D 正确；因为()(),,3,4P P P P OP x y OQ x y ==，所以()222222Δ111||sin ||||1cos ||||()2OPQ S OP OQ POQ OP OQ POQ OP OQ OP OQ ∠∠==-=-⋅12P P x y ===，因为2222128648P P P P xy x y +=p p y =，所以23P P x y ，所以3OPQS，即OPQS的最A 正确，B 错误，故选AD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.∵点A （－2，－2），B （a ，2），且||5,5,1AB a ==∴=或5a =-．14.由圆C ：x 2＋y 2－6x －8y －m ＝0，可得（x －3）2＋（y －4）2＝25＋m ，则圆心C （3，4），半径r =，由圆x 2＋y 2＝1，可得圆心（0，0），半径R ＝1，因为两圆外切，则1=+m ＝－915.圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，即（x －2）2＋y 2＝4，则圆心C （2，0），所以直线MC 的斜率为10132k -==-，则以点M 为中点的圆C 的弦所在的直线的斜率为1k '=-，所以所求直线的方程为y －1＝－1×（x －3），即x ＋y －4＝016.如图2，以D 为原点，DA ，DC ，DF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，D 0，0，0），B （2，4，0），A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），1C （0，4，3）（1）设F （0，0，a ），由1AF EC =，得(2,0,)(2,0,2),2a a -=-∴=，(0,0,2),(2,4,2),||26F BF BF ∴=--∴=．（2）设(,,)n x y z =为平面1AEC F 的法向量，由0n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得40220y z x z +=⎧⎨-+=⎩，取z ＝1，则11,,14n ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 又1(0,0,3),CC C =∴到平面1AEC F 的距离1433||11CC n d n ⋅==． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵点A （5，－1）关于x 轴的对称点为()11,,(5,1)B x y B ∴，………………（1分） 又∵点A （5，－1）关于原点的对称点为()22,,(5,1)C x y C ∴-，………………（2分） ∴AB 的中点坐标是（5，0），BC 的中点坐标是（0，1）．………………（4分）过（5，0），（0，1）的直线方程是051005y x --=--， 整理得x ＋5y －5＝0………………（6分）（Ⅱ）由题意知|||1(1)|2,|||55|10,AB BC AB BC =--==--=⊥，………………（8分）∴△ABC 的面积11||||2101022S AB BC =⋅=⨯⨯=．………………（10分） 18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，圆N 的圆心N 也在直线x ＝0上，联立100x y x +-=⎧⎨=⎩，解得x ＝0，y ＝1，∴N （0，1），半径为||r NA ==2分）圆N 的标准方程为x 2＋（y －1）2＝2，又||NM ==4分）而||M N r r MN +===， ∴圆M 与圆N 相外切．………………（6分）（Ⅱ）∵N （0，1），M （－3，4），直线MN 的方程为x ＋y －1＝0，………………（7分） 设直线MN 上是存在点B 满足题意，设B （a ，1－a ）， 由BS ＝2BT 可知，BS 2＝4BT 2，即BN 2－2＝4（BM 2－8），所以BN 2＝4BM 2－30，………………（9分） 即a 2＋（1－a －1）2＝4[（a ＋3）2＋（1－a －4）2]－30， 整理得a 2＋8a ＋7＝0，解得a ＝－1或a ＝－7，∴B （－1，2）或（－7，8），……………………（11分） 当B （－1，2）时，点B 为圆N 与圆M 的公切点，此时T ，S ，B 重合，不符合题意．∵存在点B （－7，8），满足BS ＝2BT ．………………（12分） 19.（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：如图3，连接DE ，∵E ，F 分别为PB ，AB 的中点，∴，EF ∥P A ，PA ⊂平面P AC ，EF ⊄平面P AC ，∴EF ∥平面P AC ，………………（2分）∵D ，E 分别为BC ，PB 的中点，∴DE ∥PC ，PC ⊂平面P AC ，DE ⊄平面P AC ，∴DE ∥平面P AC ，………………（4分）又,EF DE ⊂平面DGE ，且EF DE E ⋂=， ∴平面DEG ∥平面P AC ，而DG ⊂平面DEG ， ∴DG ∥平面P AC ．………………（6分）（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，分别以AD ，AP 所在直线为y 、z 轴建立空间直角坐标系， ∵△ABC 是正三角形，且AP ＝AC ，不妨设AP ＝4，(0,0,4),(0,(2,P D B G ∴．(2,23,4),(2,0,0),(1,PB DB DG =-==-．……………………（8分）设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则24020n PB x z n DB x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩取y ＝1，则0,1,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．………………（10分）设直线DG 与平面PBC 所成角为θ，则|||sin |cos ,||1n DG n DG n DG θ-⋅=<>===∣， ∴直线DG 与平面PBC 12分） 20.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由已知设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由已知得a 2＋b 2＝12－6＝6，且22961a b-=， 解得a 2＝b 2＝3，∴双曲线C 的方程为22133xy -=．……………………（4分）（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y ＝m （m≠0）， 与x2－y 2＝3联立解得x =x = 不妨设()),A m Bm ，由（Ⅰ）知点M ，……………………（7分）∴AM ，BM的斜率分别为AM BM k k ==，1AM BM k k ∴==-，………………（10分）所以AM ⊥BM ，故以AB 为直径的圆过点M ．……………………（12分）21.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图4，∵P A ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴AP ⊥DC ， 由题设知，AD ⊥DC ， AP AD A ⋂=，由此得DC ⊥平面P AD ， 又DC ⊂平面PCD ，∴平面P AD ⊥平面PCD ．……………………（3分）（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由于P A ＝AB ＝2AD ＝2DC ，设P A ＝2，则A （0，0，0），B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，2），M （0，1，1），则(1,1,0),(0,1,1),(0,1,1),(1,1,0)AC AM BM BC ===-=-，………………（6分） 设平面AMC 的一个法向量为()1111,,n x y z =，11111100n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，得1(1,1,1)n =-；………………（8分） 设平面BMC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，22222200n BC x y n BM y z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，取21x =，得2(1,1,1)n =．……………………（10分） 121212111cos ,33n n n n n n ⋅-∴=><==⨯，∴平面AMC 与平面BMC 的夹角的余弦值为13．………………（12分） 22.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，2a ＝8，得a ＝4，2c e c b a ==∴==． ∴椭圆方程为221164x y +=．（Ⅱ）设点椭圆上点P 坐标为()00,x y ，切点坐标为()()1122,,,A x y B x y ， ∵直线AP ，BP 为圆O 的两切线，圆O 方程为x 2＋y 2＝4………………（4分）0OA AP ∴⋅=，()0101,,(,)AP x x y y OA x y =--=， ()()1011010OA AP x x x y y y ∴⋅=-+-=，得到：221010114x x y y x y ⋅+⋅=+=，即10104x x y y ⋅+⋅=，同理可得20204x x y y ⋅+⋅=，………………（6分）所以点()()1122,,,A x y B x y 同时满足直线方程004x x y y ⋅+⋅=， 即直线AB 方程为：004x x y y ⋅+⋅=，……………………（8分）令x ＝0，得Q 点坐标为040,y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 令y ＝0，得E 点坐标为040,x ⎛⎫⎪⎝⎭，所以001162EOQSx y =⋅，…………………………（10分）因为P 在椭圆上，22220000001,11641644x y x y x y ∴+==+，即EOQ S 最小值为2，当002x y ==12分）。
2020-2021学年重庆市七校联考高二(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年重庆市七校联考高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1．函数f（x）＝log2（3+2x﹣x2）的定义域为（）A．[﹣1，3]B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）∪[3，+∞）2．（x2﹣）5展开式中含x4项的系数是（）A．40B．10C．﹣40D．﹣103．设随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），若P（ξ≥6）＝0.1，则P（ξ＞2）＝（）A．0.1B．0.9C．0.8D．0.54．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率为P1，乙解决这个问题的概率为P2，那么以1﹣P1P2为概率的事件是（）A．甲乙两人至少有一人解决了这个问题B．甲乙两人都解决了这个问题C．甲乙两人至多有一人解决了这个问题D．甲乙两人都未能解决这个问题5．函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则（）A．﹣3是函数y＝f（x）的极大值点B．y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增C．﹣1是函数y＝f（x）的最小值点D．y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零6．因防控新冠肺炎疫情的需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的3人中至少有1名女医生的概率为（）A．B．C．D．7．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，且满足f（2）＝0，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）8．1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作．考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的含量M（单位：太贝克）随时间t（单位：年）的衰变规律满足函数关系：，其中M0为t＝0时碳14的含量，已知t＝5730时，碳14的含量的瞬时变化率是﹣（太贝克/年），则M（2865）＝（）太贝克．A．573B．C．573D．1146二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.）9．已知函数f（x）＝，则下列说法不正确的是（）A．f（x）是非奇非偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域是[﹣1，+∞）10．下列说法正确的是（）A．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量x，y线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为＝0.3x﹣m，若样本中心点为（m，﹣2.8），则m＝4B．已知随机变量X的数学期望E（X）＝2，若Y＝2X﹣1，则E（Y）＝3C．用相关指数R2来刻画回归的效果，R2的值越接近0，说明模型的拟合效果越好D．已知袋中装有大小完全相同的2个红球和2个黑球，若有放回地从中摸球，用事件A1表示“第一次摸到红球”，事件A2表示“第二次摸到黑球”，则事件A1与事件是相互独立事件11．欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：e iθ＝cosθ+i sinθ（把z＝r（cosθ+i sinθ）称为复数的三角形式，其中从ox轴的正半轴到向量的角θ叫做复数z＝a+bi（a，b∈R）的辐角，把向量的长度r叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数z1＝＝r1（cosθ1+i sinθ1），z2＝＝r2（cosθ2+i sinθ2），则我们可以简化复数乘法：z1z2＝＝r1r2（cos（θ1+θ2）+i sin（θ1+θ2））．根据以上信息，下列说法正确的是（）A．若z＝cosθ+i sinθ，则有eπi+1＝0B．若r＝1，θ＝，则z3＝1C．若z＝r（cosθ+i sinθ），则z n＝r n（cos nθ+i sin nθ）D．设，则z在复平面上对应的点在第一象限12．下列命题为真命题的是（）A．ln3＜ln2B．lnπ＜C．＞17D．＜15三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知随机变量X～B（10，0.4），则D（X）＝．14．函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax在（1，3）上单调递增，则实数a的取值范围是．15．学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有种．16．设y＝f''（x）是y＝f′（x）的导函数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象都有对称中心（x0，f（x0）），其中x0满足f''（x0）＝0．（1）函数g（x）＝+3x+1的对称中心为；（2）现已知当直线kx﹣y﹣k+1＝0（k∈R）和h（x）＝ax3+bx2+的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）三点时，h（x）的图象在点A，点C处的切线总平行，则过点（b，a）可作h（x）的条切线．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知复数z1＝m+ni（m＞n＞0）满足|z1|＝，z1的实部与虚部的积为15．（1）求z1；（2）设z2＝（a2﹣2a﹣3）+（a2﹣4a+3）i（a∈R），_____，求a的值．从①z1＝z2；②z2为纯虚数；③z2在复平面上对应点的坐标为（﹣3，3）．这三个条件中选一个，将问题（2）补充完整，并作答．18．设，且已知展开式中所有二项式系数之和为1024．（1）求n的值以及二项式系数最大的项；（2）求3a1+32a2+⋯+3n a n的值．19．为了丰富高2022届学生的课余活动，年级决定进行班级之间的乒乓球比赛．甲、乙两个班进行比赛，每场比赛采取“5局3胜制”（即有一个班先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，规则如下：比赛中，以3：0或3：1获胜方记3分，失败方记0分；以3：2获胜方记2分，失败方记1分．已知甲、乙两个班比赛，假设每局比赛甲获胜的概率都是．（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率；（2）甲、乙两个班比赛1场后，求乙班的积分ξ的分布列及期望．20．某传染病感染人群大多数是50岁以上的人群，某传染病进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高．如果认为超过8天的潜伏期为“长潜伏期”，现对400个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，其中50岁以上的人群共280人，潜伏期为“长潜伏期”有60人，50岁及50岁以下潜伏期为“非长潜伏期”有80人．按照年龄统计样本，得到下面的2×2列联表．长潜伏期非长潜伏期合计50岁以上50岁及50岁以下合计（1）完成上面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；（2）以题目中的样本频率视为概率，设900个病例中恰有k（k∈N*）个属于“长期潜伏”的概率是P（k），当k为何值时，P（k）取得最大值．附：K2＝P（K2≥k0）0.10.050.010k0 2.706 3.841 6.63521．已知函数f（x）＝．（1）若a＝0，求函数f（x）的极值；（2）若x＝1是函数f（x）的极小值点，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣x．（1）设曲线y＝f（x）在x＝e处的切线为y＝g（x），求证：f（x）≥g（x）；（2）若关于x的方程f（x）＝a有两个实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜2a+e+．参考答案一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1．函数f（x）＝log2（3+2x﹣x2）的定义域为（）A．[﹣1，3]B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣1，3）D．（﹣1，+∞）∪[3，+∞）解：要使f（x）有意义，则3+2x﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜3，∴f（x）的定义域为（﹣1，3）．故选：C．2．（x2﹣）5展开式中含x4项的系数是（）A．40B．10C．﹣40D．﹣10解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1＝•（﹣）r•（x2）5﹣r＝•（﹣2）r•x10﹣3r，要求x4的项的系数∴10﹣3r＝4，∴r＝2，∴x4的项的系数是：（﹣2）2•＝40．故选：A．3．设随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），若P（ξ≥6）＝0.1，则P（ξ＞2）＝（）A．0.1B．0.9C．0.8D．0.5解：∵随机变量ξ服从正态分布N（4，σ2），∴正态分布曲线的对称轴方程为x＝4，又P（ξ＞6）＝0.1，则P（ξ＜2）＝0.1，∴则P（ξ＞2）＝0.9．故选：B．4．甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率为P1，乙解决这个问题的概率为P2，那么以1﹣P1P2为概率的事件是（）A．甲乙两人至少有一人解决了这个问题B．甲乙两人都解决了这个问题C．甲乙两人至多有一人解决了这个问题D．甲乙两人都未能解决这个问题解：根据题意，甲解决这个问题的概率为P1，乙解决这个问题的概率为P2，则甲乙同时解决了这个问题的概率为P1P2，事件“甲乙同时解决了这个问题”与事件“甲乙两人至多有一人解决了这个问题”为对立事件，则甲乙两人至多有一人解决了这个问题的概率为1﹣P1P2，故选：C．5．函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则（）A．﹣3是函数y＝f（x）的极大值点B．y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增C．﹣1是函数y＝f（x）的最小值点D．y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零解：由函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象可知，对于A：﹣3左侧的导数小于0，而右侧的导数大于0，所以﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A错误；对于B，C：当x∈（﹣3，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故B正确；﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故C错误；对于D：由图象得f′（0）＞0，所以y＝f（x）在x＝0处切线的斜率大于零，故D错误；故选：B．6．因防控新冠肺炎疫情的需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的3人中至少有1名女医生的概率为（）A．B．C．D．解：由题意，某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人，则共有种不同的选法，选派的3人中至少有1名女医生，则共有＝46种不同的选法，所以选派的3人中至少有1名女医生的概率为＝．故选：A．7．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，且满足f（2）＝0，当x＞0时，xf′（x）+f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）解：因为当x＞0时，xf′（x）+f（x）＜0，所以（xf（x））′＜0，令F（x）＝xf（x），则F′（x）＜0，F（x）单调递减，因为f（x）是奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x），所以F（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝﹣x[﹣f（x）]＝xf（x）＝F（x），所以F（x）为偶函数，图象关于y轴对称，因为f（2）＝0，所以F（2）＝2f（2）＝0，所以F（﹣2）＝0，所以在（﹣∞，﹣2）时，F（x）＜0，f（x）＞0，在（﹣2，0）时，F（x）＞0，f（x）＜0，在（0，2）时，F（x）＞0，f（x）＞0，在（2，+∞）时，F（x）＜0，f（x）＜0，所以f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（0，2），故选：D．8．1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作．考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的含量M（单位：太贝克）随时间t（单位：年）的衰变规律满足函数关系：，其中M0为t＝0时碳14的含量，已知t＝5730时，碳14的含量的瞬时变化率是﹣（太贝克/年），则M（2865）＝（）太贝克．A．573B．C．573D．1146解：∵，∴，∵当t＝5730时，碳14的含量的瞬时变化率是﹣（太贝克/年），∴＝﹣，解得M0＝573，∴M（t）＝573•，∴M（2865）＝573•＝573•＝．故选：B．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9．已知函数f（x）＝，则下列说法不正确的是（）A．f（x）是非奇非偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域是[﹣1，+∞）解：当x＞0时，f（x）＝x3+1为增函数，当x≤0时，f（x）＝sin x不是单调函数，则f（x）的图象不关于原点对称，也不关于y 轴对称，函数为非奇非偶函数，故A正确；函数f（x）在定义域中不单调，故B错误；函数在（0，+∞）上不是周期函数，则在定义域中不是周期函数，故C错误；当x＞0时，f（x）＞1；当x≤0时，f（x）∈[﹣1，1]，可得f（x）的值域为[﹣1，+∞），故D正确．故选：BC．10．下列说法正确的是（）A．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量x，y线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为＝0.3x﹣m，若样本中心点为（m，﹣2.8），则m＝4B．已知随机变量X的数学期望E（X）＝2，若Y＝2X﹣1，则E（Y）＝3C．用相关指数R2来刻画回归的效果，R2的值越接近0，说明模型的拟合效果越好D．已知袋中装有大小完全相同的2个红球和2个黑球，若有放回地从中摸球，用事件A1表示“第一次摸到红球”，事件A2表示“第二次摸到黑球”，则事件A1与事件是相互独立事件解：对于选项A，﹣2.8＝0.3m﹣m，解得m＝4，故正确，对于选项B，E（Y）＝E（2X﹣1）＝2E（X）﹣1＝3，故正确，对于选项C，R2的值越接近0，说明模型的拟合效果越差，故错误，对于选项D，P（A1）＝＝，P（）＝＝，P（A1）＝＝，则P（A1）＝P（A1）P（），故正确，故选：ABD．11．欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：e iθ＝cosθ+i sinθ（把z＝r（cosθ+i sinθ）称为复数的三角形式，其中从ox轴的正半轴到向量的角θ叫做复数z＝a+bi（a，b∈R）的辐角，把向量的长度r叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数z1＝＝r1（cosθ1+i sinθ1），z2＝＝r2（cosθ2+i sinθ2），则我们可以简化复数乘法：z1z2＝＝r1r2（cos（θ1+θ2）+i sin（θ1+θ2））．根据以上信息，下列说法正确的是（）A．若z＝cosθ+i sinθ，则有eπi+1＝0B．若r＝1，θ＝，则z3＝1C．若z＝r（cosθ+i sinθ），则z n＝r n（cos nθ+i sin nθ）D．设，则z在复平面上对应的点在第一象限解：对于A，eπi+1＝（cosπ+i sinπ）+1＝0+1＝0，故A正确；对于C，由棣莫弗定理可知，两个复数z1，z2相乘，所得到的复数的辐角是复数z1，z2的辐角之和，模是复数z1，z2的模之积，所以z n的辐角是复数z的辐角的n倍，模是|z|n，故C正确；对于B，，所以z3＝13⋅（cosπ+i sinπ）＝﹣1，故B错误；对于D，设，故，故复数z在复平面上所对应的点为，不在第一象限，故D错误．故选：AC．12．下列命题为真命题的是（）A．ln3＜ln2B．lnπ＜C．＞17D．＜15解：令f（x）＝，则f′（x）＝，令f′（x）＝0，得x＝e，可知f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，故对于A，f（2）＞f（），即，即ln2＝ln3，故A正确，对于B，f（），即＞，即lnπ，故B错误，对于C，f（）＜f（4），即＜，即2ln＝ln17＜ln2，所以ln17＜ln2，故2＞17，故C正确，对于D，，f（）＞f（4），即＞，即2ln＝ln15＞ln2，所以ln15＞ln2，故2＜15，故D正确，故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知随机变量X～B（10，0.4），则D（X）＝ 2.4．解：因为随机变量X～B（10，0.4），所以D（X）＝10×0.4×（1﹣0.4）＝2.4．故答案为：2.4．14．函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax在（1，3）上单调递增，则实数a的取值范围是（﹣∞，]．解：f′（x）＝﹣a，因为f（x）在（1，3）上单调递增，所以﹣a≥0在（1，3）上恒成立，所以a≤在（1，3）上恒成立，所以a≤（）min＝，所以a的取值范围为（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．15．学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有36种．解：根据题意，分2步进行分析：①将6人分为3组，要求甲乙不在同一组，有﹣＝12种分组方法，②若甲所在的组在14日值班，有＝2种安排方法，若甲所在的组在13日值班，则乙所在的组必须在12日值班，有1种安排方法，则有3种值班安排方法，故有12×3＝36种安排方法．故答案为：36．16．设y＝f''（x）是y＝f′（x）的导函数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象都有对称中心（x0，f（x0）），其中x0满足f''（x0）＝0．（1）函数g（x）＝+3x+1的对称中心为（1，）；（2）现已知当直线kx﹣y﹣k+1＝0（k∈R）和h（x）＝ax3+bx2+的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）三点时，h（x）的图象在点A，点C处的切线总平行，则过点（b，a）可作h（x）的2条切线．解：（1）g（x）＝+3x+1的导数为g′（x）＝x2﹣2x+3，g″（x）＝2x﹣2，由2x﹣2＝0，可得x＝1，y＝﹣1+3+1＝，可得g（x）的对称中心为（1，）；（2）曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，∴A，C两点关于f（x）的对称中心对称，故而B为f（x）的对称中心，又直线kx﹣y﹣k+1＝0横过点（1，1），∴f（x）的对称中心为（1，1），即B（1，1），∴a+b+＝1．①由y＝ax3+bx2+可得y′＝3ax2+2bx，令y′＝3ax2+2bx＝0可得﹣＝2，②由①②可得a＝，b＝﹣1．∴曲线E的方程为：y＝x3﹣x2+，y′＝x2﹣2x，∴曲线E在点（x0，y0）的切线方程为y＝（x02﹣2x0）（x﹣x0）+x03﹣x02+，把（﹣1，）代入上式，整理得x03﹣3x0﹣2＝0，即（x0+1）2（x0﹣2）＝0，∴（x0+1）（x02﹣x0﹣2）＝0有两解，即过点（b，a）的切线有2条．故答案为：（1，），2．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知复数z1＝m+ni（m＞n＞0）满足|z1|＝，z1的实部与虚部的积为15．（1）求z1；（2）设z2＝（a2﹣2a﹣3）+（a2﹣4a+3）i（a∈R），_____，求a的值．从①z1＝z2；②z2为纯虚数；③z2在复平面上对应点的坐标为（﹣3，3）．这三个条件中选一个，将问题（2）补充完整，并作答．解：（1）因为复数z1＝m+ni（m＞n＞0）满足|z1|＝，z1的实部与虚部的积为15，所以，解得，所以z1＝5+3i；（2）若选①：因为z1＝z2，即z2＝（a2﹣2a﹣3）+（a2﹣4a+3）i＝5+3i，可得，解得a＝4．若选②：因为z2为纯虚数，则z2＝（a2﹣2a﹣3）+（a2﹣4a+3）i为纯虚数，所以，解得a＝﹣1．若选③：因为z2在复平面上对应点的坐标为（﹣3，3），则z2＝（a2﹣2a﹣3）+（a2﹣4a+3）i＝﹣3+3i，故，解得a＝0．18．设，且已知展开式中所有二项式系数之和为1024．（1）求n的值以及二项式系数最大的项；（2）求3a1+32a2+⋯+3n a n的值．解：（1）∵展开式中所有二项式系数之和为1024，∴n＝10，故二项式系数最大的项为T6＝•＝﹣•x5．（2）∵，∴令x＝0，可得a0＝1．∴＝1+a1x+a2x2+a3x3+•••+a n x n，令x＝3，可得1+3a1+32a2+⋯+3n a n＝0，∴3a1+32a2+⋯+3n a n＝﹣1．19．为了丰富高2022届学生的课余活动，年级决定进行班级之间的乒乓球比赛．甲、乙两个班进行比赛，每场比赛采取“5局3胜制”（即有一个班先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，规则如下：比赛中，以3：0或3：1获胜方记3分，失败方记0分；以3：2获胜方记2分，失败方记1分．已知甲、乙两个班比赛，假设每局比赛甲获胜的概率都是．（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率；（2）甲、乙两个班比赛1场后，求乙班的积分ξ的分布列及期望．解：（1）比赛结束时恰好打了5局，甲获胜为事件A，比赛结束时恰好打了5局，乙获胜为事件B，比赛结束时恰好打了5局为事件C，事件A，B互为互斥事件，所以P（C）＝P（A）+P（B）＝+＝；故比赛结束时恰好打了5局的概率为；（2）乙班的积分ξ的可能取值为0，1，2，3，所以P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，所以ξ的分布列为：ξ0123P故E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．20．某传染病感染人群大多数是50岁以上的人群，某传染病进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高．如果认为超过8天的潜伏期为“长潜伏期”，现对400个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，其中50岁以上的人群共280人，潜伏期为“长潜伏期”有60人，50岁及50岁以下潜伏期为“非长潜伏期”有80人．按照年龄统计样本，得到下面的2×2列联表．长潜伏期非长潜伏期合计50岁以上50岁及50岁以下合计（1）完成上面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；（2）以题目中的样本频率视为概率，设900个病例中恰有k（k∈N*）个属于“长期潜伏”的概率是P（k），当k为何值时，P（k）取得最大值．附：K2＝P（K2≥k0）0.10.050.010k0 2.706 3.841 6.635解：（1）列联表为长潜伏期非长潜伏期总计50岁以上6022028050岁及50岁以下4080120合计100300400所以，故，有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关．（2）利用列联表，得“长期潜伏”的频率为；所以，则，令，化简得，即；所以，当k＝0，1，2，⋯，224时，P（k+1）≥P（k），所以当k＝225时，P（k）取得最大值．21．已知函数f（x）＝．（1）若a＝0，求函数f（x）的极值；（2）若x＝1是函数f（x）的极小值点，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝0时，f（x）＝﹣2x+2lnx（x＞0），求导得f′（x）＝﹣2+＝，令f′（x）＞0，得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝﹣2+2ln1＝﹣2．（2）f′（x）＝ax﹣（a+2）+＝＝，因为x＝1是函数f（x）的极小值点，当a＝0时，在（0，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以在x＝1处取得极大值，不合题意，当a≠0时，令f′（x）＝0，得x＝或x＝1，当＜0，即a＜0时，在（0，1）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以在x＝1处取得极大值，不合题意，当＞0，即a＞0时，①若0＜＜1时，即a＞2时，在（0，），（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（，1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以在x＝1处取得极小值，符合题意，②若＝1时，即a＝2时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，在x＝1处没有取得极值，不合题意，③若＞1时，即0＜a＜2时，在（0，1），（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（1，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以在x＝1处取得极大值，不符合题意，综上所述，a的取值范围为（2，+∞）．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣x．（1）设曲线y＝f（x）在x＝e处的切线为y＝g（x），求证：f（x）≥g（x）；（2）若关于x的方程f（x）＝a有两个实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜2a+e+．解：（1）证明：f′（x）＝x•+lnx﹣1＝lnx，所以k切＝f′（e）＝lne＝1，又f（e）＝0，所以曲线y＝f（x）在x＝e处的切线为y﹣0＝（x﹣e），即y＝x﹣e，所以g（x）＝x﹣e，令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝xlnx﹣x﹣x+e＝xlnx﹣2x+e，F′（x）＝lnx+x•﹣2＝lnx﹣1，所以当x＞e时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当0＜x＜e时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，所以F（x）min＝F（e）＝elne﹣2e+e＝0，所以F（x）≥F（0），所以f（x）≥g（x）．（2）证明：不妨设x1＜x2，直线y＝﹣x﹣与y＝a相交于点（x0，a），由（1）知，f（x）≥g（x），则a＝﹣x0﹣＝f（x1）≥g（x1）＝﹣x1﹣，从而x1≥x0＝﹣a﹣，当且仅当x0＝，a＝﹣时取等号，下证：x2≤a+e，由于a＝f（x2），所以x2≤a+e⇔x2≤f（x2）+e，即证：f（x2）﹣x2+e≥0，令φ（x）＝f（x）﹣x+e＝xlnx﹣2x+e，则φ′（x）＝lnx﹣1，当x∈（0，e）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，当x∈（e，+∞），φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，所以φ（x）≥φ（e）＝0，即x2≤a+e成立，当且仅当x2＝e，a＝0时取等号，由于等号成立的条件不能同时满足，所以|x1﹣x2|＝x2﹣x1＜（a+e）﹣（﹣a﹣）＝2a+e+．。
2020-2021学年重庆巴南中学高二数学理联考试卷含解析
2020-2021学年重庆巴南中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．2 B． C． D．4参考答案：C略2. 设α，β，γ为平面，a，b为直线，给出下列条件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能使α∥β一定成立的条件是()A．①② B．②③ C．②④ D．③④参考答案：C略3. 设，则是的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略4. 用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）A、 B、C、 D、参考答案：D略5. 设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（2，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，，则=（）A．1：4 B．1：5 C．1：7 D．1：6参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求得抛物线的焦点坐标和准线方程，再利用抛物线定义，求得点B的坐标，从而写出直线AB方程，联立抛物线方程求得A点坐标，从而得到A到准线的距离，就可求出BN与AE的长度之比，得到所需问题的解．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则|BF|=|BN|=x2+1=，∴x2=，把x2=代入抛物线y2=4x，得，y2=﹣，∴直线AB过点M（2，0）与（，﹣）方程为y=（x﹣2），代入抛物线方程，解得，x1=8，∴|AE|=8+1=9，∵在△AEC中，BN∥AE，∴===，故选：D．6. 某正三棱柱的三视图如右图所示，其中正视图是边长为2的正方形，则该正三棱柱的表面积为（）A、 B、 C、 D、参考答案：C7. 已知直线和，若∥，则的值为 ( )A.1或B. 1C.D.参考答案：B8. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数参考答案：D【考点】命题的否定．【分析】根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论．【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D9. 已知a,b,c,d成等比数列，且抛物线的顶点是(b,c),则a·d=( )A. 1B.2 C. D.参考答案：C略10. 函数的最小值为A．2 B． C．4D．6参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. x，y∈R且x2 –y2 = 2，则当有序数对( x，y )为时，| 2 x + 3 y |取得最小值。
重庆市七校联盟2020-2021学年高二上学期联考数学(文)试卷
【分析】
由回归直线恒过样本点的中心,则将点 代入 中求解即可
【详解】
由题,设回归直线方程为 ,
因为点 在直线上,所以 ,即 ,
所以回归直线方程为 ,
故选：C
【点睛】
本题考查回归直线方程,属于基础题
4．D
【解析】
试题分析： 的共轭复数为 ，故选D．
考点：1.复数的四则运算；2.共轭复数的概念．
5．A
故选：A
【点睛
【分析】
①是函数关系,②③④由散点图的形状进行判定
【详解】
①具有确定的函数关系；
散点图上所有的点在一条直线附近波动,则为线性相关,则②符合；
若散点图上所有的点在一条曲线附近波动,则为非线性相关,则③符合；
故选：D
【点睛】
本题考查由散点图反应变量的相关性,属于基础题
A．①②B．①③C．②④D．②③
3．已知回归直线斜率的估计值为1.32，样本点的中心为点 ，则回归直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．设 ，则z的共轭复数为
A． B． C． D．
5．用三段论推理命题：“任何实数的平方都大于，因为是实数，所以 ”你认为这个推理（）．
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确
【分析】
根据循环语句的特点及输出结果,可判断条件需满足 时进行的运算,不能满足 的运算,根据选项,得出答案
三、解答题
17．当m为何实数时，复数 是
实数；
纯虚数．
18． 、 、 、 、 五位学生的语文成绩 与英语成绩 （单位：分）如下表：
80
75
70
65
60
70
66
68
64
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重庆市七校联盟2020-2021学年高二数学上学期联考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.在复平面内，复数的共轭复数为A. B. C. D.2.若，则A. 2B. 1C.D.3.用反证法证明命题“若，则a、b全为、”，其反设正确的是A. a、b至少有一个不为0B. a、b至少有一个为0C. a、b全不为0D. a、b中只有一个为04.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是A. 使用了归纳推理B. 使用了类比推理C. 使用了“三段论”，但推理形式错误D. 使用了“三段论”，但小前提错误5.已知随机变量服从正态分布，，则A. B. C. D.6.已知函数，，则a的值为A. B. 1 C. 2e D.7.观察下列各式：，，，，，，则A. 28B. 76C. 123D. 1998.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则A. B. C. D.9.小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡，若他至少买一张，则不同的买法共用A. 7种B. 8种C. 6种D. 9种10.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是A. B. C. D.11.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A. 72B. 120C. 144D. 16812.的导函数的图象如图所示．下列关于函数的命题：函数是周期函数；函数在是减函数；如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；当时，函数有4个零点．其中真命题的个数是A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共4小题）13.展开式中二项式系数最大的项的系数为______用数字作答14.______．15.将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有______种16.给出下列命题：用反证法证明命题“设a，b，c为实数，且，，则，，”时，要给出的假设是：a，b，c都不是正数；若函数在处取得极大值，则或；用数学归纳法证明，在验证成立时，不等式的左边是；数列的前n项和，则是数列为等比数列的充要条件；上述命题中，所有正确命题的序号为______．三、解答题（本大题共6小题）17.当m为何实数时，复数是Ⅰ实数；Ⅱ纯虚数．18.已知函数判断函数的单调性求函数当时的最大值与最小值．19.中秋节吃月饼是我国的传统习俗，设一礼盒中装有9个月饼，其中莲蓉月饼2个，伍仁月饼3个，豆沙月饼4个，这三种月饼的外观完全相同，从中任意选取3个．Ⅰ求三种月饼各取到1个的概率；Ⅱ设X表示取到伍仁月饼的个数，求X的分布列与数学期望．20.数列满足Ⅰ计算，，，，并由此猜想通项公式；Ⅱ用数学归纳法证明Ⅰ中的猜想．21.某校为全面推进新课程改革，在高一年级开设了研究性学习课程，某班学生在一次研究活动课程中，一个小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为．求该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率．如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续下次实验，但实验的总次数不超过5次，求该小组所做实验的次数的概率分布列和数学期望．22.设函数，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．Ⅰ求a的值；Ⅱ求函数的极值点；Ⅲ若对于任意，总存在，，使得成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：，．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】D【解析】解：，令，可得．再令，可得，则，故选：D．在所给的等式中，分别令，，可得要求式子的值．本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值问题，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由于“a、b全为、”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选：A．把要证的结论否定之后，即得所求的反设．本题考查用反证法证明数学命题，得到“a、b全为、”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：大前提的形式：“有些有理数是无限循环小数”，不是全称命题，不符合三段论推理形式，推理形式错误，故选：C．本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些”，不难得到结论．演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S 中所有元素都具有性质三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．5.【答案】B【解析】解：根据随机变量服从正态分布，所以密度曲线关于直线对称，由于，所以，所以，则，所以．故选：B．直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果．本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】C【解析】解：根据题意，函数，则，若，则；故选：C．根据题意，求出函数的导数，将代入可得，变形可得答案．本题考查函数的导数计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，，第十项为123，即，．故选：C．观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题．要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．8.【答案】B【解析】解：事件“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：、、、，，事件“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有，．故选：B．用列举法求出事件“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求，同理求出，根据条件概率公式即可求得结果．此题是个基础题．考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．9.【答案】A【解析】解：要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC卡、买2张IC卡、买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买l张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有2种方法．不同的买法共有种．故选：A．利用已知条件，分类列出不同的买法种数即可．本题考查排列组合的实际应用，考查计算能力．10.【答案】C【解析】解：设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况：第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时的概率，第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中，此时的概率，故停止射击时甲射击了两次的概率；故选：C．根据题意，分析可得：停止射击时甲射击了两次包括两种情况：第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而第二次射击时命中，分别由相互独立事件概率的乘法公式计算其概率，再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案．本题考查互斥事件、相互独立事件概率的计算，关键是要根据题意将事件是分类互斥事件或分步相互独立事件，然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．11.【答案】B【解析】解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列，有种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是种；将中间2个空位安排2个小品类节目，有种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是种；则同类节目不相邻的排法种数是，故选：B．根据题意，分2步进行分析：、先将3个歌舞类节目全排列，、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．12.【答案】D【解析】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：由图得：为假命题，与上单调性相反，但原函数图象不一定对称．为真命题．因为在上导函数为负，故原函数递减；为假命题，当时，也满足时，的最大值是2；为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，有2个零点，也可以是3个零点．综上得：真命题只有．故选D．先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．13.【答案】24【解析】解：展开式中的通项公式为，故第项的二项式系数为，故当时，二项式系数最大，故二项式系数最大的项的系数为，故答案为：24．由题意利用二项式展开式的通项公式、二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】16【解析】解：，故答案为：16．由定积分的定义进而求解．考查定积分的计算，属于基础题．15.【答案】150【解析】【分析】每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，当5名学生分成3，1，1时根据分类计数原理得到结果．本题考查了分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题．【解答】解：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，当5名学生分成2，2，1时，共有种结果，当5名学生分成3，1，1时，共有种结果，根据分类计数原理知共有种，故答案为：150．16.【答案】【解析】解：假设是a，b，c不都是正数；所以不正确；函数，则，若在处取得极大值，则时方程的根，所以，解得或，当时，时，时，，所以是极小值点，与题意矛盾，所以不正确；时，左边加到，所以正确；由题意，时，，若是等比数列，则，，即，所以是必要条件；当时，，时，，是等比数列，所以是充分条件，所以正确．故答案为：．对每个命题逐个分析，判断它的正确与否．考查本题考查了命题的真假判断与应用，属于简单题．17.【答案】解：Ⅰ当，即时，z为实数；Ⅱ当，即，得时，z是纯虚数．【解析】Ⅰ由虚部为0求解m的值；Ⅱ由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数的基本概念，是基础题．18.【答案】解：，令得，当或时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；由可知在上是减函数，在上是增函数，且，，，函数在上的最大值为11，最小值为．【解析】本题考查了导数与函数单调性，函数最值的关系，属于中档题．令求出极值点，判断的符号得出单调性；根据的单调性和区间端点函数值计算最值．19.【答案】解：Ⅰ设三种月饼各取到一个的概率为P，则；Ⅱ由题意可得：X可能的取值为0，1，2，3，所以，，，．所以的数学期望．【解析】Ⅰ直接利用组合数的应用求出概率的值．Ⅱ首先求出X的分布列，进一步求出X的数学期望．本题考查的知识要点：组合数的应用，数学期望的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．20.【答案】解：Ⅰ当时，，所以．当时，，所以．同理：，．由此猜想．Ⅱ证明：当时，左边，右边，结论成立．假设且时，结论成立，即，那么时，，所以，所以，这表明时，结论成立．由知对一切猜想成立．【解析】本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当时，猜想也成立，是解题的难点和关键．Ⅰ通过，2，3，4，直接计算，，，，并由此猜想通项公式；Ⅱ直接利用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设，证明．21.【答案】解：Ⅰ记“该小组做了5次实验至少有2次成功”为事件A，“只成功一次”为事件，“一次都不成功”为事件，则：．故该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率为分Ⅱ的可能取值为2，3，4，5．则；，，每对一个得1 分分2 3 4 5P分分【解析】Ⅰ记“该小组做了5次实验至少有2次成功”为事件A，“只成功一次”为事件，“一次都不成功”为事件，则：由此能求出该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率．Ⅱ的可能取值为2，3，4，分别求出，，，的值，由此能求出的分布列和．本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．22.【答案】解：Ⅰ，所以，所以分Ⅱ，其定义域为，，令，当时，，有，即，所以在区间上单调递减，故在区间无极值点；当时，，令，有，，，当时，，即，得在上递减；当时，，即 0'/>，得在上递增；当时，，即，得在上递减．此时有一个极小值点和一个极大值点．当时，，令，有，，当时，，即 0'/>，得在上递增；当时，，即，得在上递减．此时唯一的极大值点，无极小值点．综上可知，当时，函数有一个极小值点和一个极大值点．当时，函数在上有无极值点；当时，函数有唯一的极大值点，无极小值点；分令，，则若总存在，，使得成立，即总存在，，使得成立，即总存在，，使得成立，即，因为，所以，即在上单调递增，所以，即对任意成立，即对任意成立．构造函数：，，，当时，，在上单调递增，对于任意，．所以分【解析】Ⅰ求出函数的导数，得到，求出a的值即可；Ⅱ求出的导数，结合二次函数的性质，通过讨论b的范围，确定函数的单调区间，求出函数的极值点即可；Ⅲ令，，求出的导数，得到，问题转化为即对任意成立．构造函数：，，通过讨论函数的单调性，求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．。