2020届高三数学第一轮复习 推理与证明课件 新人教B版
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
返回目录
设f(n)=n2+n+41,n∈N*,计算:f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10) 的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确.
返回目录
f(1)=12+1+41=43, f(2)=22+2+41=47, f(3)=32+3+41=53, f(4)=42+4+41=61, f(5)=52+5+41=72, f(6)=62+6+41=83, f(7)=72+7+41=97, f(8)=82+8+41=113, f(9)=92+9+41=131, f(10)=102+10+41=151. ∵43,57,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数, ∴归纳猜想:当n∈N*时,f(n)=n2+n+41的值都为质数, 当n=40时,f(40)=402+40+41=40×(40+1)+41=41×41. ∴f(40)的值是合数,因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.
2
所以数列
1 { an
}是以
1 a1
=1为首项,公差为
1 2
的等差数列.
所以 1 = 1 + (n -1) • 1 = 1 n + 1 .
an
22 2
所以通项公式an=
2 nห้องสมุดไป่ตู้1
.
返回目录
通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正 确性需通过严格的证明，猜想所得结论即可用演绎推理给出 证明.虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的，但它所 具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学 的发现、科学的发明是十分有用的.通过观察实验，对有限 的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究 的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察 个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推 出一个明确表达的一般性命题（猜想）.
2a1
2 =,
2 + a1 3
a3=
2a2
12 = =,
2 +a2 2 4
a4=
2a3
2
= ,…,
2 +a3 5
所以猜想{an}的通项公式an=
2 n+1
.
证明如下：因为a1=1,an+1=
2an ,
2 + an
所以
1
= 2 + an
=
1
1 +.
即
1 11 - =,
an+1
2an
an 2
an+1 an
学案3 推理与证明
考纲解读
考向预测
填填知学情
课内考点突破
规 律 探 究
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7
考纲 解读
1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类 比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
推
2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的 联系和差异;掌握演绎推理的“三段论”，能运用
理 “三段论”进行一些简单的演绎推理.
与 3.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法; 证 了解综合法和分析法的思考过程和特点. 明 4.了解反证法的思考过程和特点.
5.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些 简单的数学命题.
返回目录
考向预测
1.推理在高考中虽然很少刻意去考查，但实际上对推理的 考查无处不在.从近几年的高考题来看，大部分题目主要 考查命题转换、逻辑分析和推理能力，证明题是高考中 常考的题型之一. 2.综合法、分析法是证明不等式常用的方法,不等式的证 明近年来高考虽然淡化了单纯的证明题，但是以能力立 意的、与证明有关的综合题却频繁出现，常常与函数、 数列、三角等综合，考查逻辑推理能力，是高考考查的 一项重要内容. 3.反证法在高考中虽很少单独命题，但是有时运用反证法 的证题思路判断、分析命题有独到之处. 4.数学归纳法作为一种重要的数学思想方法，在高考中有 可能单独命题，更可能的是通过不同的形式来考查“归 纳—猜想—证明”这一基本思想方法.
矛盾，或与
返回目录
5.数学归纳法的概念
设命{题pn}p是1(一或个p0与) 自成然立数;（相2关）的在命假题设集合pk，如成果立（的1)前证提明下起，始 推出pk+1也成立，那么可以断定，{pn}对一切正整数（或 自然数）成立.
6.数学归纳法证明命题的步骤 (1)(归纳奠基）证明当n取第一个值 n=n0 （例如 n0=1 或 n0=2）时，命题成立. (2)（归纳递推）假设 n=k (k≥n0,k∈N+)时命题成立，证 明当 n=k+1时命题也成立.
返回目录
1.合情推理的基本概念 (1)从结构上说，推理一般是由两部分组成，一部分是 已知的事实（或假设），叫做 前提 ；一部分是由已 知推出的判断，叫做 结论 .
返回目录
(2)合情推理的主要形式有 归纳推理 和 类比推理 .
2.演绎推理的基本概念
(1)根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命 题为真的推理，叫做 演绎推理 .
只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整 数n都成立.
返回目录
考点1 归纳推理
在数列{an}中，a1=1,an+1= 数列的通项公式.
2an 2 + an
(n∈N+),猜想这个
【分析】根据已知条件和递推关系，先求出数列的 前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项
返回目录
【解析】
{an}中，a1=1,a2=
返回目录
考点2 类比推理
在△ABC中，AB⊥AC于A,AD⊥BC于D，求证:
(2)把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做
完全归纳推理
.
3.直接证明的有关概念
(1)直接证明是从命题 条件 的 结论 或出发，根据已 知的定义、公理、定理， 直接 推证结论的真实性.
返回目录
(2)常用的直接证明方法有 综合法 与 分析法 . (3)综合法是从 原因 推导到 结果 的思维方法，而分 析法是一种从 结果追溯到 产生这一结果的原因 的思维方法.具体地说，综合法是从已知条件出发，经 过逐步的推理，最后达到待证结论.分析法则是从待证 结论出发，一步一步寻求结论成立的 充分 条件，最 后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
返回目录
4.间接证明的相关概念
（1）一般地，由证明p⇒q转向证明：q⇒r …⇒t,t与
假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定 ¬q为假，
推出q为真的方法，叫做反证法.
（2）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个 矛盾可以是与 假设 矛盾，或与 数学公理、定理、
公式、定义或已被证明了的结论 公认的简单事实 矛盾等.
设f(n)=n2+n+41,n∈N*,计算:f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10) 的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确.
返回目录
f(1)=12+1+41=43, f(2)=22+2+41=47, f(3)=32+3+41=53, f(4)=42+4+41=61, f(5)=52+5+41=72, f(6)=62+6+41=83, f(7)=72+7+41=97, f(8)=82+8+41=113, f(9)=92+9+41=131, f(10)=102+10+41=151. ∵43,57,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数, ∴归纳猜想:当n∈N*时,f(n)=n2+n+41的值都为质数, 当n=40时,f(40)=402+40+41=40×(40+1)+41=41×41. ∴f(40)的值是合数,因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.
2
所以数列
1 { an
}是以
1 a1
=1为首项,公差为
1 2
的等差数列.
所以 1 = 1 + (n -1) • 1 = 1 n + 1 .
an
22 2
所以通项公式an=
2 nห้องสมุดไป่ตู้1
.
返回目录
通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正 确性需通过严格的证明，猜想所得结论即可用演绎推理给出 证明.虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的，但它所 具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学 的发现、科学的发明是十分有用的.通过观察实验，对有限 的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究 的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察 个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推 出一个明确表达的一般性命题（猜想）.
2a1
2 =,
2 + a1 3
a3=
2a2
12 = =,
2 +a2 2 4
a4=
2a3
2
= ,…,
2 +a3 5
所以猜想{an}的通项公式an=
2 n+1
.
证明如下：因为a1=1,an+1=
2an ,
2 + an
所以
1
= 2 + an
=
1
1 +.
即
1 11 - =,
an+1
2an
an 2
an+1 an
学案3 推理与证明
考纲解读
考向预测
填填知学情
课内考点突破
规 律 探 究
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 考点6 考点7
考纲 解读
1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类 比推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
推
2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的 联系和差异;掌握演绎推理的“三段论”，能运用
理 “三段论”进行一些简单的演绎推理.
与 3.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法; 证 了解综合法和分析法的思考过程和特点. 明 4.了解反证法的思考过程和特点.
5.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些 简单的数学命题.
返回目录
考向预测
1.推理在高考中虽然很少刻意去考查，但实际上对推理的 考查无处不在.从近几年的高考题来看，大部分题目主要 考查命题转换、逻辑分析和推理能力，证明题是高考中 常考的题型之一. 2.综合法、分析法是证明不等式常用的方法,不等式的证 明近年来高考虽然淡化了单纯的证明题，但是以能力立 意的、与证明有关的综合题却频繁出现，常常与函数、 数列、三角等综合，考查逻辑推理能力，是高考考查的 一项重要内容. 3.反证法在高考中虽很少单独命题，但是有时运用反证法 的证题思路判断、分析命题有独到之处. 4.数学归纳法作为一种重要的数学思想方法，在高考中有 可能单独命题，更可能的是通过不同的形式来考查“归 纳—猜想—证明”这一基本思想方法.
矛盾，或与
返回目录
5.数学归纳法的概念
设命{题pn}p是1(一或个p0与) 自成然立数;（相2关）的在命假题设集合pk，如成果立（的1)前证提明下起，始 推出pk+1也成立，那么可以断定，{pn}对一切正整数（或 自然数）成立.
6.数学归纳法证明命题的步骤 (1)(归纳奠基）证明当n取第一个值 n=n0 （例如 n0=1 或 n0=2）时，命题成立. (2)（归纳递推）假设 n=k (k≥n0,k∈N+)时命题成立，证 明当 n=k+1时命题也成立.
返回目录
1.合情推理的基本概念 (1)从结构上说，推理一般是由两部分组成，一部分是 已知的事实（或假设），叫做 前提 ；一部分是由已 知推出的判断，叫做 结论 .
返回目录
(2)合情推理的主要形式有 归纳推理 和 类比推理 .
2.演绎推理的基本概念
(1)根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命 题为真的推理，叫做 演绎推理 .
只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始的所有正整 数n都成立.
返回目录
考点1 归纳推理
在数列{an}中，a1=1,an+1= 数列的通项公式.
2an 2 + an
(n∈N+),猜想这个
【分析】根据已知条件和递推关系，先求出数列的 前几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项
返回目录
【解析】
{an}中，a1=1,a2=
返回目录
考点2 类比推理
在△ABC中，AB⊥AC于A,AD⊥BC于D，求证:
(2)把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做
完全归纳推理
.
3.直接证明的有关概念
(1)直接证明是从命题 条件 的 结论 或出发，根据已 知的定义、公理、定理， 直接 推证结论的真实性.
返回目录
(2)常用的直接证明方法有 综合法 与 分析法 . (3)综合法是从 原因 推导到 结果 的思维方法，而分 析法是一种从 结果追溯到 产生这一结果的原因 的思维方法.具体地说，综合法是从已知条件出发，经 过逐步的推理，最后达到待证结论.分析法则是从待证 结论出发，一步一步寻求结论成立的 充分 条件，最 后达到题设的已知条件或已被证明的事实.
返回目录
4.间接证明的相关概念
（1）一般地，由证明p⇒q转向证明：q⇒r …⇒t,t与
假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定 ¬q为假，
推出q为真的方法，叫做反证法.
（2）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个 矛盾可以是与 假设 矛盾，或与 数学公理、定理、
公式、定义或已被证明了的结论 公认的简单事实 矛盾等.