概率论与数理统计主要内容小结

概率论与数理统计主要内容小结

概率部分

1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式：

)()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P +

其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 贝叶斯公式：∑==

n

j j

j

i i i B A P B P B A P B P A B P 1

)

|()()

|()()|(

其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 2、互不相容与互不相关

B A ,互不相容0)(,==⇔B A P B A φ

事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =⇔ ; 两者没有必然联系

3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。

),,1(~p b X 即二点分布，则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k

),,(~p n b X 即二项分布，则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k k

n

=-==- ),(~λπX 即泊松分布，则分布律为,......1,0,!

}{==

=-k k e k x P k λ

λ

),,(~b a U X 即均匀分布，则概率密度为.,0),(,1

)(⎪⎩⎪

⎨⎧∈-=其它

b a x a b x f

),(~θE X 即指数分布，则概率密度为.,00

,1)(⎪⎩

⎪⎨⎧>=-其它x e x f x θ

θ

),,(~2σμN X 即正态分布，则则概率密度为+∞<<-∞=

-

x e

x f x ,21)(2

2π

.

连续性随机变量X 分布函数性质：（i ）1)(=+∞F ，0)(=-∞F , (ii)分布函数连续 对连续性随机变量X ，已知概率密度)(x f ，则分布函数为⎰

∞

-=x

dt t f x F )()(；

已知分布函数为)(x F ，则概率密度)()(x F x f '=.

对连续性随机变量X ，已知概率密度)(x f , 区间概率⎰=∈L

dx x f L x P )(}{

4、连续函数随机变量函数的概率密度

设连续随机变量X 的概率密度为)(),(X g Y x f X =也是连续型随机变量，求Y 的概率密度 求法

(i) 利用以下结论计算：如果函数)(x g 处处可导，且恒有0)(>'x g （或0)(<'x g ），则Y 概率密度为：

⎩

⎨

⎧<<'=其他,0|,)(|)]([)(β

αy y h y h f y f X Y 其中，)(y h 是)(x g 的反函数，且有)},(),(min{+∞-∞=g g α)}.(),(max{+∞-∞=g g β (ii) 利用分布函数计算：先求)(x g y =值域，再在该值域求Y 的分布函数

=≤=≤=})({}{)(y X g P y Y P y F =

∈}{B X P dx x f

B

x X

)(⎰∈

则有)()(y F y f Y '=. 常用求导公式

)())(()())(()()()()

()

(y y f y y f dx x f y F y f y y Y ααβββα'-'=='=⎰

5、二维随机变量分布律

对于二维连续性随机变量),(Y X ，其联合概率密度为),,(y x f 其联合分布函数为),,(y x F 则,),(),(⎰⎰

∞-∞

-=

x y

dvdu v u f y x F

概率密度性质：（i ）,0),(≥y x f (ii)

⎰⎰

+∞∞-+∞

∞

-=1),(dvdu v u f

已知概率密度),,(y x f 求区域概率有,),(}),{(⎰⎰=∈D

dydx y x f D y x P

边缘分布函数为,),()(⎰⎰∞-+∞

∞

-=x X dvdu v u f x F ,),()(⎰

⎰

∞-+∞

∞

-=y X dudv v u f y F

边缘概率密度为,),()(⎰

+∞∞

-=

dy y x f x f X .),()(⎰

+∞∞

-=dx y x f y f Y

条件分布函数为,)()

,()|(|⎰

∞

-=

x

Y Y X du y f y u f y x F ,)(),()|(|⎰∞-=y X

X Y dv x f v x f x y F

条件概率密度为,)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =

.)

()

,()|(|x f y x f x y f X X Y = 对于离散情形，设联合分布律为ij j i p y Y x X P ===},{ 边缘概率密度为.1

}{i j ij

i p p

x X P ==

=∑∞

=，j i ij j p p y Y P .1

}{===∑∞

=

条件概率密度为.

}|{i ij i j p p x X y Y P ===，j

ij j i p p y Y x X P .}|{=

==

6、二维随机变量函数的分布

设二维随机变量),(Y X 概率密度为),(y x f ，分布函数为),(y x F (i) Z=X+Y, 则Z 的概率密度为

⎰

+∞

∞

-=

-=dy y y z f z f Z ),()(⎰

+∞

∞

--dx x z x f ),( 当Y X ,相互独立时，⎰

+∞

∞

-=

-=

dy y f y z f z f Y X Z )()()(⎰

+∞

∞

--dx x z f x f Y X )()(

(ii) M=max{X,Y}与N=min{X,Y}

当Y X ,相互独立时，)()()(z F z F z F Y X M =，))(1))((1(1)(z F z F z F Y X N ---= 7、数学期望

(i) 求法：连续随机变量X 概率密度为)(x f ，则⎰

+∞

∞

-=

dx x xf X E )()(；若)(X g Y =, 则

⎰+∞

∞

-=dx x f x g Y E )()()(.

离散随机变量分布律为k k p x x P ==}{，则∑∞

==

1

)(k k k

p x

X E ;若)(X g Y =, 则

k k k p x g X E )()(1

∑∞

==.

若有二维的随机变量),(Y X ,其联合概率密度为),(y x f ，若),(Y X g Y =, 则

⎰

⎰

+∞∞-+∞

∞

-=dydx y x f y x g Y E ),(),()(.

(ii) 性质：)()()(),()(,)(Y E X E Y X E X CE CX E C C E +=+==

)()()()(22112211n n n n X E k X E k X E k X k X k X k E +++=+++