概率论和数理统计 正交试验设计
概率论与数理统计8-3
通过比较，选取B1和 C2，于是得到最优工艺条件为 A2 B1C2 现进行方差分析。总偏差平方和的分解公式为 ST = S A + S B + SC + S A×B + S A×C + S B×C + S E , (3.1)
其中计算公式为
ST =
n
∑
i =1
yi
2
1 n − (∑ yi ) 2 n i =1
（5）按原来考虑的因素、水平和交互作用去选择正交表， 若无正好适用的正交表可选，简便且可行的办法是适当修 改原定水平数。 （6）对某因素或某交互作用的影响是否确实存在没有把握 的情况下，选择L 的情况下，选择L表式常为选大表还是小表而犹豫。若条件 许可，应尽量选大表，让影响存在的可能性较大的因素和 交互作用各占适当的列。某因素或某交互作用的影响是否 真的存在，留到方差分析进行显著性检验是再做讨论。这 样既可以减少试验的工作量，又不致于漏掉重要的信息。 4.正交表的表头设计 4.正交表的表头设计 所谓表头设计，就是确定试验所考虑的因素和交互作用，在 正交表中该放在哪一列的问题。一般 （1）有交互作用时，表头设计必须严格地按规定处理。 （2）若试验不考虑交互作用，按规定进行表头设计，只不过 将有交互作用的列先视为空列，待试验结束后再加以判断。
三、正交表
1.各列水平数均相同的正交表 1.各列水平数均相同的正交表 单一水平正交表。 各列水平数均相同的正交表，也称单一水平正交表 单一水平正交表 2.各列水平数均相同的正交表 各列水平数均相同的正交表 各列水平数不相同的正交表，也称混合水平正交表 混合水平正交表。 混合水平正交表 3.选择正交表的基本原则 3.选择正交表的基本原则 一般都是先确定试验的因素、水平和交互作用，后选 择适用的L表。主要因素多安排几个水平，次要因素可少安 排几个水平。 （1）先看水平数。 （2）每一个交互作用在正交表中应占一列或两列。 （3）要看试验精度的要求。 （4）若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限，或人力和 时间都比较紧张，则不宜选试验次数太多的L表.
概率论与数理统计_正交试验设计
第12章 正交试验设计前面介绍了单因素与双因素试验的方差分析，但是在实际问题中遇到的因素往往超过两个，需要考察各个因素对试验结果是否有显著影响。
从理论上讲可以导出多因素的方差分析法，但是一来公式会变得很复杂，二来总试验次数也要明显增多。
例如，考虑7个因素的试验，每个因素有6个水平，若在每一种组合水平上都做一次试验，需要做27993667次试验，这是根本不可能的！ 为了减少试验次数，希望在所有组合水平中挑选一部分出来，在这些组合水平上做试验，即局部地进行试验。
正交试验设计是利用一套现成的规格化的表—正交表，科学地安排试验和分析试验结果的一种数理统计方法，该方法的主要优点是能在很多试验条件中选出代表性强的少数试验方案，同时通过对这少数试验方案的结果进行分析，从中找出最优方案。
正交表1944年起源于美国。
第二次世界大战后在日本开发了使用正交表进行试验设计的技术体系，并在日本全国进行大力普及推广、应用，取得了显著的经济效益。
实践证明，正交设计是促进生产率提高的一种有效手段，目前已经广泛应用于科学研究、产品设计、工艺改革等技术领域以及经营、计划等管理领域。
§12.1 正交试验设计一、正交表正交表记为)(mn r L ，表示至多安排m 个因素，每个因素有r 种水平，共作n 次试验的正交表。
下面就是两个常用的正交表)3(49L ，)2(78L 。
)3(49L )2(78L其中符号含义如下： L —正交表符号；n —试验次数（正交表的行数）； r —水平数；m —因素个数（正交表的列数）。
从上面两个正交表容易看出它们具有如下性质：（1）表中任何一列所含不同的数字出现的次数相同。
如表)3(49L 每一列有三个不同的数字“1”、“2”、“3”，它们各出现3次。
（2）将表中任意两列同一行的两个数字看成有序数对，每种数对出现的次数相同。
如表)3(49L 的有序数对为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个，它们各出现一次。
正交试验设计法
正交试验设计法
5.6 计算分析试验结果
5.6.2.3.2 图示说明
为直观起见，用因素的水平变化为横坐标，指标的算数平均 值为纵坐标，画出水平与指标图，如图1：
从图中可明显看出最佳方案应为:A3B2C2。而正交试验选出 的最佳方案为A3B3C2，即第9号方案，显然，正交试验中的9个方 案中没有A3B2C2这一方案，其是否为最佳方案，需要通过正式试 验来验证。
◆正交表中，任意两列，每1行组成1个数字对，有多少行
就有多少个这样的数字对，这些数字对都是完全有序的
◆各种数字出现的次数必须相同，这是正交表必须满足的
的两个特性。
◆ 其他正交表如：L8(27)、 L12(211)、L18（37）、L32
（49）、L25（56）等都满足这两个特性。
正交试验设计法
节省人力、 A
正交试验设计法
2 产生和发展历史
2.3 推广
二次世界大战后，英国出版了《正交试验应用实例》，介 绍了应用成果。于是正交试验设计法相继传到世界各国。
2.4 发展
1949年以日本人田口玄一博士为首的一批研究人员用正 交表安排试验方案。1952年田口玄一在日本东海电报公司，运 用正交表进行试验取得了全面成功，之后正交试验设计法在日 本的工业生产中得到迅速推广。
表2 L9(34)表
行
项目
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
3
1
3
3
3
4
2
1
2
3
列
5
2
2
3
1
6
2
3
1
8.正交试验设计
K Y3 Y5 Y7
C 3
=>因素C在1,2,3水平上试验值的平均数分别为
1 C k K1 , 3
C 1
1 C k K2 , 3
C 2
1 C k K3 3
C 3
化工产品转化率的试验值
试验号
1 2
A
1 1 1 2 2 2 3
B
1 2
C
1 2
转化率
31
3
4
3
1 2
3
2
54 38 53 49
Y1 a1 b1 c1 1 Y2 a1 b2 c2 2 Y3 a1 b3 c3 3 Y4 a2 b1 c2 4 Y5 a2 b2 c3 5 Y a b c 2 3 1 6 6 Y7 a3 b1 c3 7 Y8 a3 b2 c1 8 Y9 a1 b3 c2 9
C 1 2 C 2 2 C 3 2
可以证明：QT QA QB QC QE
QA ——因素A引起的离差平方和 QB ——因素B引起的离差平方和 QC ——因素C引起的离差平方和 QE ——误差平方和
定理 (1)
2 （2）当 H01 , H02 , H03 成立时，
QE
~ 2 2
试验值
Y1 Y2 Y3 Y4
4
5 6 7 8 9
A2 B2C3 A2 B3C1 A3 B1C3
Y5 Y6
Y7
A3 B2C1 A3 B3C2
Y8 Y9
假定因素A,B,C没有交互作用。 设因素A在水平 A1 , A2 , A3 上的效应分别为 a1 , a2 , a3 因素B在水平 B1 , B2 , B3 上的效应分别为 b1 , b2 , b3 因素C在水平 C1 , C2 , C3 上的效应分别为 c1 , c2 , c3
正交试验设计精品文档66页
（1） 900 （1） 10 （1） 70
160
（1） 900 （2） 11 （2） 80
215
（1） 900 （3） 12 （3） 90
180
（2）1100 （1） 10 （2） 80
168
（2）1100 （2） 11 （3） 90
236
（2）1100 （3） 12 （1） 70
190
（3）1300 （1） 10 （3） 90
二、无交互作用的正交设计与数据分析
试验设计一般有四个步骤： 1. 试验设计 2. 进行试验获得试验结果 3. 数据分析 4. 验证试验
例1 磁鼓电机是彩色录像机磁鼓组件的关 键部件之一，按质量要求其输出力矩应大于 210g.cm。某生产厂过去这项指标的合格率较 低，从而希望通过试验找出好的条件，以提高 磁鼓电机的输出力矩。
157
（3）1300 （2） 11 （1） 70
பைடு நூலகம்
205
（3）1300 （3） 12 （2） 80
140
9个试验点的分布
3 5
C3
2
C2
4
1
C1 A1
A2
7 9
6
8
B3
B2
A3 B1
（二）做试验，并记录试验结果
在进行试验时，要注意几点： 1. 除了所考察的因子外的其它条件，尽可
能保持相同 2. 试验次序最好要随机化 3. 必要时可以设置区组因子
譬如：考察两个因子，先固定A在A1，发 现B3好，再固定B3，发现A1好，但是实际上好 的条件是A2B2。
B1
B2
B3
A1 50 56 62
A2 56 70 60
A3 54 60 58
数理统计第八章 正交实验设计
即对于在 A1下的四次试验和 A下的四次试验来说， 2 虽然其它条件（ B 、 C、 D）在变动，但这种变动是 A2之间差异反映了A的两 “平等的”，所以 A 和 1 个水平的不同，由于
表 头 设计 列号 试验 1 2 3 4
A
B
C
D
试验 结果
1 1 1 1 1 2 2 2 2 366 358 91.5
5
因此多因子试验问题的突出矛盾是： (1)所有可能搭配的试验次数与实际可行的试验次数之 间的矛盾。 (2)实际所作少数试验与要求全面掌握内在规律之间的 矛盾。 为了解决第一类矛盾，要求必须合理地设计和安排试 验，以便通过尽可能少的试验次数，就可抓住主要矛 盾。 为解决第二类矛盾，要求我们对试验结果作科学的分 析，透过现象看本质，认识内在的规律，为解决问题 提供可靠的依据。
7 8
§8.2 正交表
正交表是试验设计中合理安排试验，并对数据 进行统计分析的主要工具。 正交表用符号 L p (n ) 表示。 “ L ”代表正交表， “ p ”表示表中的行数，即要作的试验次数， “ m ”表示表中有m列，即最多允许安排的因 子 个数， “ n ”表示水平数。
m
L4 ( 23 )
B2
D1
D2
500毫米汞柱 600毫米汞柱
2
我们通常称影响试验指标的因素为因子， 用大写字母A，B，C，…表示； 可能处于的状态称为水平，用该字母加上足标 表示。 例如，A1 ，A2 …表示因子A的第一，第二，… 水平等。 我们把实验中需要考虑多个因子，而每个因子 又有多个水平有待考查的试验问题称为多因子 试验问题。 例8.1.1就是四个两水平的因子试验问题。
3
我们希望通过试验解决的问题是： （1）找出各因子对指标的影响规律，哪个因子是主 要的，哪个是次要的？哪些因子除了各自的单独作 用外，它们之间还产生综合效果？这种综合效果有 多大？对指标的影响，综合效果是主要的，还是因 子的单独作用是主要的？
概率论和数理统计 正交试验设计
§6.3
正交试验设计
正交试验设计:处理多因素、多水平试验的一种有效的方法．它利用 一种规格化的数表——正交表，从全面试验中挑选出部分有代表性 的点进行试验，这些有代表性的点具备“均匀分散、齐整可比”的 特点，不仅使试验次数大大减少，还便于进行进一步的统计分析． 在试验中,根据试验目的而确定的衡量试验结果的特征量称为指标. 如：产品的质量参数（如重量、尺寸、速度、温度、寿命等）， 也可以是成本、效率等， 按其性质来分可分为定性指标和定量指标两类．通常我们研究的 是定量指标. 影响试验指标的试验条件(要素或原因)称为因素(或因子)，因素 在试验中所处的各种状态称为因素的水平． 在试验中可以人为地加以调节和控制的因素称为可控因素．由于 自然、技术和设备等条件的限制，暂时还不能为人们控制和调节 的因素（如气温、降雨量等）称为不可控因素．
6.3.2 正交表 正交表是一种专门用于安排多因素多水平试验的特殊表格．
正交表用符号
Ln ( r m )
其中字母L表示正交表，其它3个字母表示3个正整数 . n 表示试验的次数，也是正交表的行数；
m 表示试验最多可安排的因素的个数，也是正交表的列数； r 表示各因素的水平数.
正交表 L8 (27 )
4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
4
5 6 7 8
1 2 2 2 2 1 1
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2
正交表具有如下基本特点： （1）表中任一列中，不同数字出现的次数相同．如在表L8(27) 中，数字1,2在每列中均出现4次. （2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同．如 表L8(27)中任意两列，数字1,2间的搭配是均衡的. 凡满足上述两个性质的表都称为正交表 . 常用的正交表，2水平的有 L4 (23 )，L8 (27 )，L12 (211 )，L16 (215 ) 3水平的有 L9 (3 )，L27 (3 ) 3水平以上的有
正交试验设计
全面试验，其试验方案如表6-4所示。
图6-2
表6-4
正交设计就是从选优区全面试验点（水平组合）中挑选 出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。图6-2
L 中标有试验号的九个“(·)”，就是利用正交表9 (34 ) 从27个试
验点中挑选出来的9个试验点。即：
(1)A1B1C1 (5)A2B2C3 (9)A3B3C2 上述选择 ，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素 (2)A2B1C2 (6)A3B2C1 (3)A3B1C3 (7)A1B3C3 (4)A1B2C2 (8)A2B3C1
极差分析法－R法
Rj 因素主次
2. 判断
优水平 优组合
6.3.2 方差分析法
极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少便于推 广普及。但这种方法不能将试验中由于试验条件改变引起 的数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来，也就是 说，不能区分因素各水平间对应的试验结果的差异究竟是 由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，无 法估计试验误差的大小。
6.2.2 正交试验方案：
试验目的与要求
试验指标 正交试验设计
的基本程序包括 试验方案设计及 试验结果分析两 部分。 表头设计 列试验方案 试验结果分析 因素、水平确定 选择合适正交表 选因素、定水平
（1） 明确试验目的，确定试验指标
试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解决 什么问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡量，即 需要确定出试验指标。
L8 (27 )中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出现两次； 例如 L9 (34 )中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3),
试验设计
沸石粒径的选取：50目，100目，150目，200目 pH的水平：3，4，5，6，7 其他因素固定：沸石用量1g；反应时间60min
铬离子的去除率（％）
100 80 60 40 20 0 0 1 2 3 4 溶液的pH 5 6
★
50目 100目 150目 200目
7
8
三、正交试验设计
对于单因素或双因素试验，因其因素少 ， 试验的设计 、实施与分析都比较简单 。但 在实际工作中 ，常常需要同时考察 3个或3 个以上的试验因素 ，若进行全面试验 ，则 试验的规模将很大 ，往往因试验条件的限制 而难于实施 。
第二点合格率低 第三点 690 697 702
第四点 第三点合格率低
690 695 697
× ×
709 第二点
第四点为第三点的对称点， 其对称中心点为699.5 ，第 四点 = 690 + 709 – 702 = 697 第五点为第四点的对称点， 其对称中心点为696 ，第五 点 = 690 + 702 - 697 = 695
均分法
对采用新钢种的某零件进行磨削加工，砂轮转速范围为 420转/分~720转/分，拟经过试验找出能使光洁度最佳的 砂轮转速值。 N = 30 转/分
b-a 720 - 420 n = ———— + 1 = —————— +1 = 11 N 30
试验转速：
420，450，480，510，540，570，600，630，660，690，720
××
702
第三点
第五点 第四点
0.618法（例）
重复上面的步骤,最佳点被限制在越来越小 的范围内，即存优范围越来越小。
上面的过程可以总结如下:
数理统计：正交试验设计
１ １ １ １ ２ ２ 列 ２ １ ２ ３ １ ２ ３ １ ２ ３ ２ ３ 号 ４ １ ２ ３ ３ １
4
６
７ ８
２
２ ２
１
２ ２
２
１ １
２
１ ２
１
２ １
２
２ １
１
１ ２
６
７ ８
２
３ ３
３
１ ２
１
３ １
２
２ ３
９
３
３
２
１
２．正交表的特点
（１）表的各列地位平等，各列之间可以互换；
（２）表的各行地位平等，各行之间可以互换； （３）表中每列的不同数码的个数相同，水平记 号可以互换； （以上三种变换称为初等变换，经过变换所得的 表称为原表的同构表。） （４）表的任意两列的各水平所构成的有序数对 是一个带有相同重复数的完全数对。由此表明了表 的正交性。
计算结果如下表：
因 素 水平
Ａ
１８０ ２１０ ２４６ ６０
Ｂ
２１０ ２２５ ２０１ ７０
Ｃ
１９５ ２３７
K1 K2 K3 K1 K2 K3 R
２０４
６５
７０
８２ ２２
７５
６７ ８
７９
６８ １４
先计算每个因素的各个水平的试验结果之和, 如因素Ａ的第一水平（1,2,3号试验）的结果之和 为51＋71＋58＝180，第三水平（7,8,9号试验） 为77＋85＋84＝246，又如因素Ｂ的第二个水平 （2,5,8号试验）为71＋69＋85＝225，因素Ｃ的 第三水平（3,5,7号试验）为58＋69＋77＝204。 其次计算每个因素的各个水平的平均试验结果， 即将每水平下的结果之和除以该水平的重复试验 的次数，如因素Ａ的第一水平的平均试验结果为 180／3＝60, 等等。如果设定的指标越高越好的 话，则平均结果高的水平就是相对比较好的水平。 最后计算每个因素的极差Ｒ， Ｒ＝最大的平均结果－最小的平均结果。
正交试验设计方法(详细步骤
正交试验设计方法(详细步骤正交试验设计方法是一种经典的实验设计方法，可以高效地确定对多个因素影响的最佳组合。
它通过将因素分为若干水平，并使用正交设计表确定各个因素水平之间的配对，从而减少试验次数，提高试验效率。
下面将详细介绍正交试验设计方法的步骤。
1.确定试验目的和因素：首先需要明确试验的目的，即我们要研究的问题是什么。
然后确定影响结果的各个因素。
通常情况下，正交试验设计方法适用于多因素多水平的情况。
2.确定因素水平和个数：确定每个因素的水平，并确定每个因素的水平数。
水平数的选择应该充分考虑试验的复杂性和实际可行性。
一般来说，水平数应该是2的幂次方。
3.构建正交表：根据因素的水平数，选择对应的正交表。
正交表是一种数学表格，用于确定不同因素水平之间的配对。
目前，有很多不同类型的正交表可供选择，如拉丁方正交表、天堂树正交表等。
4.设计试验方案：根据正交表的设计原则，将每个因素的各个水平按照正交表进行配对，形成完整的试验方案。
每个配对称为一个处理组合，每组处理组合对应一个试验。
5.进行实验：按照设计的试验方案进行实验。
在进行实验时，需要尽量避免实验误差的干扰，采取适当的控制措施。
6.收集数据：进行实验后，需要及时收集数据。
数据采集要准确、全面，保证实验结果的可靠性。
7.数据分析：对收集到的数据进行统计分析。
可以使用方差分析方法进行分析，通过比较不同因素水平对结果的影响程度，确定最佳组合。
8.结果解释和应用：根据数据分析结果，解释各个因素对结果的影响程度，确定最佳组合。
根据结果进行决策，并将最佳组合应用于实际生产或研究中。
需要注意的是，正交试验设计方法虽然可以高效地确定最佳组合，但仍然具有一定的局限性。
试验结果的可靠性和适用性取决于试验设计的合理性和实施的严格性。
因此，在进行正交试验设计时，需要充分考虑实际情况，合理选择因素和水平，并严格控制试验过程，以确保结果的准确性和可靠性。
正交试验设计法简介
正交试验设计法简介一、概述正交试验设计法，又称为正交实验设计、正交表设计或正交测试设计，是一种高效、系统的试验设计方法。
该方法源于数学中的正交性概念，通过正交表来安排多因素试验，使得每个因素的每个水平都能在其他因素的所有水平中均衡出现，从而能够有效地分析多个因素对试验结果的影响。
正交试验设计法最初由日本统计学家田口玄一博士于20世纪50年代提出，并在工程领域得到了广泛应用。
正交试验设计法的主要优点包括试验次数少、数据分析简便、试验效果高等。
通过正交表的设计，可以大大减少试验次数，提高试验效率同时，正交表的规范化和系统性使得试验数据的分析变得简单明了，便于找出影响试验结果的主要因素和最优组合。
正交试验设计法广泛应用于工业、农业、医学、军事等领域。
在工业生产中，正交试验设计法可用于优化产品设计、改进生产工艺、提高产品质量等在农业研究中，可用于优化作物种植方案、提高作物产量等在医学研究中，可用于药物筛选、临床治疗方案优化等。
正交试验设计法还可用于系统可靠性分析、多目标决策等领域。
正交试验设计法是一种高效、实用的试验设计方法，对于多因素、多水平的试验问题具有重要的应用价值。
通过正交表的设计和分析，可以系统地研究多个因素对试验结果的影响，找出最优方案，提高试验效率和效果。
1. 正交试验设计法的定义正交试验设计法是一种研究多因素多水平的科学实验设计方法。
它基于Galois理论，从大量的实验点中挑选出适量的、有代表性的点进行试验，这些点具有“均匀分散，齐整可比”的特点。
这种方法的主要工具是正交表，通过合理安排实验，可以在最少的试验次数下达到与大量全面试验等效的结果。
正交试验设计法具有高效率、快速和经济的特点，被广泛应用于各个领域，如生物学、软件测试等。
2. 正交试验设计法的起源与发展正交试验设计法的起源可以追溯到古希腊时期。
当时，为了满足国王检阅臣民时的要求，即每个方队中每行有一个民族代表，每列也要有一个民族的代表，数学家们设计了一种方阵，被称为拉丁方。
正交试验设计(内容详尽)
示。
存在期望值时：
n
S 2 ( xi )2 i 1
不存在期望值时：
n
S 2 ( xi x)2 i 1
自由度指的是关系式中独立数据的个数，通常用 f 表示。
例如，在计算偏差平方和的过程中，若表达式中使用
的是期望值 ，则 f n；若表达式中使用的是平均值 x ，
n
则因为存在约束条件 ( xi x) 0 而使独立数据的个数少 i 1
其他：
★ 标示因素
★ 区组因素
★ 信号因素
★ 误差因素
正交试验设计
⑷ 因素的水平 试验中因素变化的状态和条件称为因素的水平或位数，
简称水平。水平用数字（1，2，3…）表示。 试验中设计过程中水平的选取原则是：
◆ 宜选用三水平，以有利于实验结果的分析； ◆ 水平通常取等间隔，特殊情况下取对数间隔； ◆ 水平应该具体。水平应该是可控的，其变化对试验指 标有影响。
◆ 确定出各因素对试验指标的影响规律，得知哪些因素的 影响是主要的、哪些因素的影响是次要的、哪些因素之间 存在相互影响； ◆ 选出各因素的一个水平组合来确定最佳生产条件。
正交试验设计的基础是正交表。
7.1.3 基本概念
■ 过程或系统
人、机器、实验条件等资源的组合。
正交试验设计
可控因素
x1 x2
xp
通常用 表示，即
存在期望值时：
V
1 n
n i 1
( xi
)2
不存在期望值时：
V
1 n1
n i 1
( xi
x)2
正交试验设计
7.2.2 样本及其分布
■ 总体、个体与样本 总体（population）：被研究对象的全体。 个体（individual）：组成总体的每个单元。
正交试验设计(内容详尽)
用于探索最佳的药物剂量、治疗方案等。
农业科学研究
用于研究不同肥料、农药、种植方式等对农 作物产量的影响。
化学工业
用于研究不同反应条件对化学反应的影响， 提高产物的收率和质量。
正交试验设计的原则
1 2
均衡分布原则
确保每个因素每个水平的试验条件都有机会出现， 避免结果的片面性。
整齐可比原则
保证试验结果的可比性，以便进行数理统计分析。
案例二：化学反应中的正交试验设计
在化学反应中，正交试验设计用于研究不同反应条件 对产物收率和纯度的影响。
例如，在合成某种药物中间体的过程中，通过正交试 验设计来探究温度、压力、催化剂种类和浓度对产物
收率和纯度的影响。
通过优化反应条件，可以提高产物的收率和纯度，降 低生产成本并提高生产效率。
案例三：生物医学研究中的正交试验设计
安排试验计划
总结词：计划性
详细描述：根据正交表，安排详细的 试验计划。这一步骤包括确定试验的 各个水平、组合方式以及试验的顺序 等。合理的试验计划有助于提高试验 的效率和准确性。
实验结果分析
总结词：分析性
VS
详细描述：在完成试验后，对试验结 果进行统计分析。这一步骤包括数据 的整理、处理、分析和解释等。通过 结果分析，可以得出关于试验因素对 试验结果影响的结论，并据此优化试 验方案或进行进一步的研究。
正交试验设计案例分
05
析
案例一：材料科学中的正交试验设计
材料科学中，正交试验设计常用于研究不同材 料成分和工艺参数对材料性能的影响。
例如，在钢铁冶炼过程中，通过正交试验设计 来探究不同温度、压力、时间和合金元素对钢 材强度、韧性和耐腐蚀性的影响。
通过对试验结果的分析，可以确定最佳的工艺 参数组合，从而提高产品质量和降低生产成本。
(完整版)正交实验设计
正交实验设计当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。
因此就出现了分式析因设计(fractional factorial designs)，但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较困难的。
正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。
是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。
日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。
例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。
若按L9(3)3正交表按排实验，只需作9次，按L18(3)7正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。
因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。
1．正交表正交表是一整套规则的设计表格，用。
L为正交表的代号，n为试验的次数，t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。
例如L9(34)，(表11)，它表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。
一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表，如L8(4×24) (表12)，此表的5列中，有1列为4水平，4列为2水平。
根据正交表的数据结构看出，正交表是一个n行c列的表，其中第j列由数码1，2，… S j组成，这些数码均各出现N/S次，例如表11中，第二列的数码个数为3，S=3 ，即由1、2、3组成，各数码均出现次。
正交表具有以下两项性质：(1)每一列中，不同的数字出现的次数相等。
例如在两水平正交表中，任何一列都有数码“1”与“2”，且任何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出现数均相等。
正交实验的设计方案
正交实验的设计方案正交实验是一种用于确定影响因素对实验结果影响的统计方法。
它可以帮助研究人员以少量实验设计来获取全面可靠的数据，从而进行合理的判断和决策。
正交实验的设计方案是一项关键工作，本文将讨论如何进行正交实验的设计方案，并提供一个实际案例。
一、正交实验的基本原理正交实验基于统计学的原理，通过一系列的实验来确定各个因素对结果的影响程度，并找出最优的组合方式。
正交实验中，要考虑的因素被称为水平或处理水平，这些水平可以是定性的（如颜色、形状等），也可以是定量的（如温度、压力等）。
关键是选择合适的水平组合，以获得准确、全面的数据。
二、正交实验的设计方法1. 确定因素和水平：首先确定需要考虑的因素及其对应的水平。
根据实际情况和研究目的，选择合适的因素和水平，保证实验结果的可靠性和可解释性。
2. 构建正交表：利用正交表是进行正交实验设计的核心步骤。
正交表将各个水平组合按照一定的规律排列，确保每个水平在实验中均匀分布，并减少误差的影响。
常用的正交表包括拉丁方、矩形方和正交平方等。
3. 进行实验：根据正交表的设计，进行实验。
确保实验过程的准确性和可重复性，记录实验数据。
4. 分析实验数据：通过统计学方法对实验数据进行分析，评估各个因素对结果的影响程度。
常用的分析方法包括方差分析、回归分析和卡方检验等。
5. 优化方案选择：根据实验结果，确定最优的因素组合和水平选择。
同时，可以进一步优化实验方案，提高研究效果和实验效率。
三、实际案例以某电子产品的设计为例，我们需要确定屏幕亮度、音量大小和屏幕分辨率对用户体验的影响程度。
我们选择了三个水平来表示这三个因素，分别是：低、中、高。
通过正交实验的设计方案，我们利用正交表构建了以下实验方案：因素1：屏幕亮度（低、中、高）因素2：音量大小（低、中、高）因素3：屏幕分辨率（低、中、高）在表中，每一行代表一个实验条件，我们总共需要进行9次实验。
实验数据如下：实验结果屏幕亮度音量大小屏幕分辨率实验1 低低低实验2 低中中实验3 低高高实验4 中低中实验5 中中高实验6 中高低实验7 高低高实验8 高中低实验9 高高中通过对实验数据的统计分析，我们可以得出每个因素对用户体验的影响程度。
正交试验
1.正交试验设计法（简称正交法）是统计数学的重要分支。
它是以概率论数理统计、专业技术知识和实践经验为基础,充分利用标准化的正交表来安排试验方案，并对试验结果进行计算分析，最终达到减少试验次数，缩短试验周期，迅速找到优化方案的一种科学计算方法。
2..特点--选取有代表性的试验点参与试验，这些试验点均衡分散、整齐可比。
因此，有可能从众多的处理组合中选出最优的处理组合。
3.优点--是一种多、快、好、省的设计方法。
通常比全面试验节省人力、物力１／２至３／４以上。
4.缺点-- 通常用数学的方法选出的最优处理组合没有出现在参试的处理组合中，给现场示范造成一定的困难，故要进一步做一个参试最优处理组合和用数学的方法选出的最优处理组合作对比试验，作现场示范。
5.正交试验设计应用领域非常广泛，其实可以把它看成是析因设计，因为析因设计是因素水平数的完全组合，而正交设计则利用已经设计好的正交表来做部分组合试验。
6.根据你所需要分析的结果（如除分析各因素的作用外，还要分析哪些因素间的交互作用，根据这些作用再选择正交表），然后用方差分析的办法来得到结论。
7.析因设计的结果可以得到最优组合，而正交设计只能说得到较优组合。
另外，正交设计的关键在于正交表的表头设计（应根据每个表的交互作用表来安排，不同的人就同一个表的表头设计是可以不同的）。
同时还可根据需要来看看是否要重复试验等等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6.3.2 正交表 正交表是一种专门用于安排多因素多水平试验的特殊表格．
正交表用符号
Ln ( r m )
其中字母L表示正交表，其它3个字母表示3个正整数 . n 表示试验的次数，也是正交表的行数；
m 表示试验最多可安排的因素的个数，也是正交表的列数； r 表示各因素的水平数.
正交表 L8 (27 )
安排试验:就是按照正交表中所列的水平号的组合安排实施试 验．
注：在实际应用中，为了减少试验中由于先后掌握不匀所带来的 干扰以及外界条件所引起的系统误差，试验可以不按照表上的试 验序号顺序进行，而是任意打乱顺序，随机地安排先后次序. 例6.9 在例6.8中，不考虑交互作用，试利用正交表为之安排试验.
4 13
L16 (45 )，L25 (56 )
一般正交表 Ln (r m )
n m(r 1) 1
注：在多因素试验中，如果需要考虑因素间的交互作用，还应当 在正交表中安置交互作用列，每两个因素的交互作用需要安置在 恰当的位置上，为此，每一个正交表都配有自己的交互作用表， 以明确交互作用列的相应位置．
解 由于各因素的水平都是3，故考虑型Ln(3m)表；又共有三个因素 A、B、C，共需3个列，故选用正交表L9(34).所以表头设计方案为 列号 因素 1 A 2 B 3 C 4
这样，依据L9(34). ，试验方案可安排如表6-18所示.
因素 试验号
反应温度A 1（60℃） 1（60℃） 1（60℃） 2（70℃） 2（70℃） 2（70℃） 3（80℃） 3（80℃） 3（80℃）
正交试验设计
§6.3
正交试验设计
正交试验设计:处理多因素、多水平试验的一种有效的方法．它利用 一种规格化的数表——正交表，从全面试验中挑选出部分有代表性 的点进行试验，这些有代表性的点具备“均匀分散、齐整可比”的 特点，不仅使试验次数大大减少，还便于进行进一步的统计分析． 在试验中,根据试验目的而确定的衡量试验结果的特征量称为指标. 如：产品的质量参数（如重量、尺寸、速度、温度、寿命等）， 也可以是成本、效率等， 按其性质来分可分为定性指标和定量指标两类．通常我们研究的 是定量指标. 影响试验指标的试验条件(要素或原因)称为因素(或因子)，因素 在试验中所处的各种状态称为因素的水平． 在试验中可以人为地加以调节和控制的因素称为可控因素．由于 自然、技术和设备等条件的限制，暂时还不能为人们控制和调节 的因素（如气温、降雨量等）称为不可控因素．
k1 38 37 76 151, k2 51 50 82 183, k3 44 55 86 185
ki的大小大致反映了该列所对应因素的第i水平对试验指标的“贡献” 大小．再用R表示各列中最大的ki减去最小的ki得到的差，称之为极 差，它反映了该列因素的水平变化对试验结果的影响大小，R越大， 说明这一因素对试验结果的影响越大.
6.3.3 正交试验设计的基本方法 1）使用正交表安排试验
选表: (1) 根据因素的水平数，确定正交表的类型（用几水平的 表）；(2)再根据因素（含交互作用）数，决定选用多大的表．
注：一般来说，要选用其列数大于或等于因素个数，而试验次 数又较少的正交表． 在例6.8中，因诸因素的水平数都是3，所以要选用Ln(3m)型表， 这时，有L9(34)和L27(313)可以备选； 又因共有3个因素，所以若不考虑交互作用，可选用L9(34) ；若考 虑所有因素间的交互作用，则应选用L27(313) 表头设计: 指的是将因素分别安排在所选的正交表的适当 的列号上方．其基本原则是同一列上至多只安排一个因素． 当不考虑交互作用时，诸因素可以随机被安排在任一列上的；但 若考虑某两个因素的交互作用时，安排好这两个因素后，必须紧 接着按照相应的交互作用表安排好它们的交互作用列.
由于BC重要，此时不能分别单独考虑因素B与C的情况，而应把 它们的不同水平组合的试验结果进行比较，看哪一组合最好．B与 C的不同水平共有四个组合，如在第一组合B1C1下，共对应第１号 和第５号试验两个试验结果，分别是1.5和2.0，它们的平均值为1.75； 同理，可得到其它三个组合试验结果的平均值分别为：B1C2：2.5， B2C1 :2.25，B2C2:1.75．比较可知，组合最佳B1C2． 综上分析，我们得到最佳工艺条件应为 A2B1C2
注：表6-21中交互作用所在列的水平数虽然对试验方案不产生任 何影响，但对试验结果的分析却尤为重要，这一点在下面的方差 分析中也很明显.
3）正交试验结果的方差分析 直观分析法优点：简单易懂，应用方便. 通常，应用这种简便的 方法，生产实际中的一般问题能得到处理. 直观分析法缺点：不能估计试验过程中以及试验结果测定中所存 在的误差的大小，因而不能区分某因素个水平所对应的试验结果 间的差异究竟是真正由因素水平不同所引起的，还是由试验误差 所引起的，因此不能知道分析的精度. 解决方案：可以采用方差分析的方法进行深入的统计分析，具体 就是通过对试验结果的总离差平方和的分解与分析，检验各因素、 各交互作用对试验指标的影响是否显著．
列 列
1
2
3
4
5
6
7
1
2 3 4 5 6 7
(1)
3
(2)
2
1 (3)
5
6 7 (4)
4
7 6 1 (5)
7
4 5 2 3 (6)
6
5 4 3 2 1 (7)
第(2)、(5)两列的交互作用可查此表，先在对角线上查出列号(2) 及(5)，然后从(2)向右横看与从(5)向上竖看交叉处是数字“7”， 就是说，第(2)、(5)两列的交互作用列为第7列.
2
B
3
AB
4
C
5
6
7
AC BC
故按照这一设计，至少需要做8次试验，试验方案如表6-20所示
因素 试验号 1 促进剂总 量 A 1（1.5） 炭、墨品 种 B 1 （甲） 硫磺粉量 C 1 (2.5) 试验结 果（%）
2
3 4 5 6 7 8
1（1.5）
1（1.5） 1（1.5） 2（2.5） 2（2.5） 2（2.5） 2（2.5）
反应时间B 1（2.5h） 2（3.0h） 3（3.5h） 1（2.5h） 2（3.0h） 3（3.5h） 1（2.5h） 2（3.0h） 3（3.5h）
原料配比C 1 (1.1 :1) 2 (1.15:1) 3 (1.2 :1) 2 (1.15:1) 3 (1.2 :1) 1 (1.1 :1) 3 (1.2 :1) 1 (1.1 :1) 2 (1.15:1)
水平 因素 A:反应温度(0C) B:反映时间(h) C:原料配比 1 60 2.5 1.1﹕1 2 70 3.0 1.15﹕1 3 80 3.5 1.2﹕1
试验:三个因素，每个因素均有三个水平. 如果采取全面试验法，总共就至少要做27次试验．而采用正交 试验设计法，如果不考虑交互作用则最少只需要做9次试验.
注: (1)在正交试验中所考察的因素都是指可控因素，通常用 大写英文字母A、B、C表示．
(2)在试验中,考虑几个状态，就称该因素为几水平因素.
例6.8 为提高某化工产品的转化率，选取了三个有关因素做试验： 反应温度，反应时间，两种原料的配比．根据以往的经验，对每 个因素分别取了三个不同的水平，如表所示．问：应如何安排试 验？
列号 试验号 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2
4 正交表 L9 (3 )
列号 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 2 2 2 3 3 3
2 1 2 3 1 2 3 1 2 3
3 1 2 3 2 3 1 3 1 2
1
2 2 1 1 2 2
（甲）
（乙） （乙） （甲） （甲） （乙） （乙）
2
1 2 1 2 1 2
(2.0)
(2.5) (2.0) (2.5) (2.0) (2.5) (2.0)
Hale Waihona Puke 例6.11 如果按例6.10所给方案实施试验，所得试验结果（弯曲次数 yi）按试验号顺序对应依次为(单位：万次)：1.5 2.0 2.0 1.5 2.0 3.0 2.5 2.0 ；试用极差分析法对该结果做出分析，并确定最佳工艺条件
4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
4
5 6 7 8
1 2 2 2 2 1 1
2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2
正交表具有如下基本特点： （1）表中任一列中，不同数字出现的次数相同．如在表L8(27) 中，数字1,2在每列中均出现4次. （2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同．如 表L8(27)中任意两列，数字1,2间的搭配是均衡的. 凡满足上述两个性质的表都称为正交表 . 常用的正交表，2水平的有 L4 (23 )，L8 (27 )，L12 (211 )，L16 (215 ) 3水平的有 L9 (3 )，L27 (3 ) 3水平以上的有
2 (2.0) 1 (2.5) 2 (2.0) 8 8.5 -0.5
2
1 2 1 8.5 8 0.5
1
2 2 1 7 9 -2.5
2.0
3.0 2.5 2.0 yi=16.5
可见因素A与交互作用BC的极差|k1- k2|明显最大，说明它们对试 验指标的影响最为显著；由于因素A的k2大于k1，故应选第2水平 A2 ．
试验指标为橡胶的抗弯曲次数（越多越好），要求考虑三因素 间的交互作用，问至少需要做多少次试验，并安排好试验方案.
解 由于各因素的水平都是2，故考虑型表Ln(2m)；又共有三个 因素，加3个交互作用共６个因子需要至少6列，故选用正交表 L8(27). 参照相应的交互作用表，表头设计方案为