弹塑性分析讲义

能承受弯矩Mu
单向铰
注意Mu的方向
载荷极限
极限弯矩对应的外载荷称为极限载荷
l M u Pu 4
Pu 4 M u / l
W z 抗弯截面模量
形状系数
M 弹性应力： Wz
Mu 塑性应力： s W s
bh 2 Wz 6
Ws
bh 2 塑性截面抗弯模量 Ws 4
Ws kWz

塑性材料应力应变关系
column
beam
joint
Joint with short link
钢结构：较好的抗震性能，易于建造，造型优美
Joint 通过塑性变形消耗大部分能量，从而增强 抗震作用。
几种简化弹塑性应力应变关系

s

s


线弹性应力应 变关系

理想弹塑性模型 双线性模型


s

a
P
a
C
A,B,C都可能成为 塑性铰
有三种可能的可 动机构情况
Mu
2 2
Mu Mu

P

第一种：
A, B处出现塑性铰
P
P 2a P a M u 2 M u 2 M u
Mu P5 a
P
P 2a P a M u M u M u 2
进入屈服
max
M M 2 W bh 6
s
2e

max s s

理想弹塑性模型
2 h 1 h h 2 ' 2 M 2( e)b s ( e) sWz ( e )b s b s e 2 2 2 2 4 3
P
h
(+)
Pl 4
s
s



简单构件：杆、扭转轴、梁 更复杂结构的弹塑性行为要借助有限元 等数值分析工具来计算。
§17-2 简单桁架的弹塑性分析
P N1 N 2 2 cos N1 1 2 A 两杆同时进入塑性，
1
B P
2
1 2 s , N1 s A
赠言
子曰：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
《论语· 雍也篇》 孔子说：知道学问不如喜好它，喜好它不如以它为快 乐。 孟子曰：羿之教人射，必志于彀；学者亦必志于彀。 大匠诲人必以规矩，学者也必以规矩。 彀（gou):张满弓弩
《孟子· 告子上》
孟子说：后羿教人射箭，必意向拉满弓。学习者也要 “拉满弓”。大匠人以规矩教诲人，学习者也要守规
塑性铰与机构
P
静定梁 一个塑性铰 可变机构
P
N度超静定梁
N+1个塑性铰
超静定梁极限载荷的确定
P
1度超静定梁
3 Pl 16
2个塑性铰＝极限状 态
C
5 Pl 32
B
A
塑性铰先出现在A 静定梁 C出现塑性铰时，梁 失去承载能力 P
u
Mu
C
P
利用极限定理确定极限载荷
极限定理：在各种可能的机构中，形成机构最 小的载荷，就是结构的极限载荷。 方法： （1）设定梁成为可动机构的所有可能塑性铰情况 （2）利用虚功原理，计算每种可动机构的极限载荷 （3）选取所有极限载荷中最小者，为结构的极限载荷 虚功原理：外力在任何可能位移上所作的虚功恒 等于内力在虚位移导致的虚变形上所作的虚功。
s
，进入屈服阶段，接着还有强化阶段，最后进入局部变
形阶段，然后破坏。
就发生了脆性断裂，可是塑性材料过了
b
认为屈服就破坏，这是弹性设计的概念。按照 弹性设计的构件工作时只允许发生弹性变形。
安全性与经济性的平衡：工程师必须考虑的问题 弹塑性设计：充分利用材料的塑性变形，化有害 为有利。

P
P a M u M u M u

P
Mu 2 2 Mu
Mu
Mu Mu

Mu

Mu
P
第二种：
A, C处出现塑性铰
Mu P4 a
第三种：
B, C处出现塑性铰
Mu P3 a
比较知，三种情况中，最小者为
Mu Pu 3 a
作业：17.5，17.12（e)
第十七章 简单弹塑性问题
概述
简单桁架的弹塑性分析 圆轴的弹塑性扭转
梁的弹塑性弯曲
§17-1 概述
• 到现在为止，研究的材料性能都是考虑弹性阶 段，强度问题为：
max [ ] u
n
极限应力
安全系数
s u b
屈服极限(塑性)
抗拉强度或抗压 强度(脆性)
脆性材料过了
这时，P 2 s A cos Pu ：极限载荷
P Pu
B点向下 无限运动
Pmax
Pu [ P] n
2 N1 cos N 3 P
l1 l3 cos
平衡方程
协调方程 3
P cos2 N1 N 2 1 2 cos3
1
P ：弹性极限载荷
A C
P
B
需要2个塑性铰， 才能成可动机构
只有A,C可能成为 塑性铰
Mu

Mu
Pu
Mu

C

只有一种可能的 可动机构情况
l Pu M u M u M u 根据虚功原理 2 内力虚功 外力虚功 Mu Pu 6 l
例题
A B
P
D a
需要2个塑性铰， 才能成可动机构
§17-4 梁的弹塑性弯曲
P
h
(+)
Pl 4
弹Baidu Nhomakorabea范围
max
M M 2 W bh 6
s
max s

b

理想弹塑性模型
P
h
(+)
Pl 4
b
s
开始屈服
max
M M 2 W bh 6

max s
M e sW

理想弹塑性模型
P
h
(+)
Pl 4
b
本章小结
• • • • • 构件的弹塑性设计 理想弹塑性模型 弹性极限载荷，极限载荷 塑性铰 极限定理

b
整截面屈服
s
h2 2 2 2 M ( e )b s b s e 4 3 2 h e=0 M u b s 4

理想弹塑性模型
Mu 6 1 .5 Me 4
P
塑性铰 的形成
塑性铰（plastic hinge)的力学模型
Mu
Mu
与普通铰相比，塑性铰 是个概念或力学模型
2
P N3 1 2 cos 3
杆3 首先进入塑性，这时
Pe s A(1 2 cos3 )
继续增大载荷，1，2，3 杆全部进入塑性：
1 2 s
Pu 2 N1 cos N 3 s A(1 2 cos )
3
1
P
2
Pu 1 2 cos Pe 1 2 cos 3
k
Ws 6 1.5 Wz 4
[p530]表1对常见的截面给出了形状系数k。
塑性中性轴
梁弯曲时，总轴力为零，
N

A
s dA s dA s ( A A ) 0
A
A A A 2
确定塑性中性轴的位置
有一个对称轴截面的塑性中性轴不一定是 这个对称轴；有两个对称轴截面的塑性中 性轴就是其中一个对称轴。 T形梁的弹性中性轴与塑性中性轴不重合
§17-3 圆轴的弹塑性扭转
扭矩T Te
TR Ip
Te R s Ip
Te
s
R
Ip
扭矩T
s
Tu
s
r
s
T dA 2 2d 2
0 r 2 s
r
d 2 2 s d
r
R
2 Tu s R 3 3

s
6
(4 R 3 r 3 )