数学：存在性问题专项训练(六 九年级训练考试卷)
数学：存在性问题专项训练(一 九年级训练考试卷)
学生做题前请先回答以下问题问题1：相似三角形存在性问题的处理思路是：①从_______入手，分析定点、动点，找固定的边和角，确定三角形的形状；找相等的角当作__________；②分析形成因素，考虑相似三角形的________，比如若有一组角相等，则只需_____________，依据判定确定__________，列出对应的关系式；③画图求解，围绕对应的关系式，根据图形特征，表达相关线段长，用关系式列方程；④结果验证，回归点的__________进行验证；____________，结合图形进行验证．问题2：在“角度的存在性“专题中，有“若，则”这个结论，尝试推导这个结论．问题3：对比相似，全等，角度的存在性处理思路，在整体分析思路上有什么相同点？问题4：对比相似，全等，角度的存在性处理思路，在分析定点，动点之后各自分析的动作有什么不同？问题5：结合前面所学的存在性问题，思考对任意图形的存在性问题如何处理？存在性问题专项训练（一）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )A.6B.7C.8D.92.已知△ABC的三条边长分别为6，8，12，过△ABC任一顶点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A.6条B.7条C.8条D.9条3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=3，BC=4，P是AB边上一点，若△PCD是以点P为直角顶点的直角三角形，则AP的长为( )A.1或6B.3或4C.或1或6D.或3或44.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．P是线段BC上一动点，Q是线段AC上一动点，且始终满足．当△CPQ是直角三角形时，CP的长为( )A.0，2B.C. D.5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处．当为直角三角形时，BE的长为( )A. B.C. D.6.平面直角坐标系中，已知点，点P是反比例函数图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，若以点O，P，Q为顶点的三角形与△OAB 相似，则相应的点P共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在AC边上的点处，折痕交AB于点E，交BC于点F．已知AB=AC=6，BC=8，若以点，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长为( )A. B.4C. D.8.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB的中点．点P在BC边上以3cm/s的速度由点B向点C运动；同时点Q在AC边上以相同的速度由点C向点A运动，其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．当△BPD与△CQP全等时，点P运动的时间为( )A. B.C. D.9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为，矩形PDFE的面积为，运动时间为t秒，则t=( )秒时，．A. B.6C. D.310.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC 边上找到一点Q，使∠BQP=90°，则x的取值范围是( )A. B.C. D.。
数学：存在性问题专项训练(二 九年级训练考试卷)
学生做题前请先回答以下问题问题1：菱形存在性问题通常转化成什么问题来处理？利用的是菱形的哪个判定？问题2：正方形的存在性问题通常转化为什么问题来处理？利用的是正方形的哪个判定？问题3：对比平行四边形存在性，菱形的存在性以及正方形的存在性问题处理思路，总结处理存在性问题的一般方法．存在性问题专项训练（二）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图，已知抛物线经过点A（-2，0）及原点O，点B在抛物线上，点C在抛物线的对称轴上，若以点A，O，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标为( )A. B.C. D.2.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线．点P从点C出发沿y轴负方向运动，点Q从点B出发沿x轴正方向运动，P，Q两点同时出发，速度均为每秒1个单位长度，过点P作x轴的平行线交抛物线于点E．设运动的时间为t（秒），若以P，A，Q，E为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为( )A. B.C. D.3.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上的一点A，抛物线的顶点为E，对称轴与x轴交于点D．N是坐标平面内任一点，M是对称轴上的一点，使得以N，A，E，M为顶点的四边形是菱形，则点N的坐标为( )A.B.C.D.4.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点P．M为线段OA上一动点，过点M作MN⊥PM，交AP于点N．Q为坐标平面内一点，若以A，M，N，Q为顶点的四边形为菱形，则点M的横坐标为( )A.8B.C.6D.5.如图，抛物线交x轴于A，C两点（点A在点C的右侧），交y轴于点B．点D的坐标为（-1，0），若点P是直线AB上的动点，点Q是坐标平面内一点，则当以A，D，P，Q为顶点的四边形是正方形时，点Q的坐标为( )A.（-1，4）或（1，2）B.（-1，4），（1，2）或（5，-2）C.（3，4）或（1，-2）D.（2，2）或（-1，-2）6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(-1，0)，B(4，0)．点M，N在x轴上，且点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m，将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN．E是抛物线对称轴上一点，F是坐标平面内一点，若以D，N，E，F为顶点的四边形是以DN为边的正方形，则m的值为( )A. B.C. D.。
2024年九年级中考数学专题复习训练平行四边形的存在性问题
1.如图,已知抛物线y=x22x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与 y轴交于点C，顶点为P.若以A、
C、P、M为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
2.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.
4.如图,抛物线y= 54x 2+bx+c 与y 轴交于点A(0，1),过点A 的直线与抛物线交于另一点B （3，5
2），过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点P 是x 轴正半轴上的一动点，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛 物线于点N ，设OP 的长度为m.连接CM 、BN,当m 为何值时,四边形BCMN 为平行四边形?
9.如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0,3),顶点D的坐标为(1,4).
(1)求抛物线的解析式.
(2)在y轴上找一点E,使得△EAC为等腰三角形,请直接写出点E的坐标
(3)点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形?若存在，请求出点P、Q 的坐标;若不存在，请说明理由.。
中考专题：存在性问题专项训练
中考专题：存在性问题专项训练1、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转1200至OB的位置。
（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。
-+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=a x2+b x+c经过A、2、如图，已知：直线y=xB、C（1,0）三点。
（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（-1,0），在直线y=x-+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求点E的坐标；如果不存在，请说明理由。
3、 如图，在平面直角坐标系x Oy 中，一次函数m x y +=45 (m 为常数)的图象与x 轴交于点A （-3,0），与y 轴交于点C ，以直线x =1为对称轴的抛物线y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 为常数，且a ≠0)经过A 、C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B 。
（1） 求m 的值及抛物线的函数表达式。
（2） 设E 是y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线AC 的平行线交x 轴于点F 。
是否存在这样的点E ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由。
4、 如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象经过原点O ，交x 轴于点A ，其顶点B 的坐标为（3，-3）。
（1） 求抛物线的函数解析式及点A 的坐标。
（2） 求抛物线上求点P ，使S △POA =2S △AOB ；（3） 在抛物线上是否存在点Q ，使△AQO 与△AOB 相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。
5、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（0,4）、B（1,0）、C（5,0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M。
中考数学函数图象中的存在性问题30题必练
函数圄象申的存在性问题30题本专题的制作目的是提高学生在图象中的存在性问题这一部分的解题能力。
分了四个模块：①函数与三角形综合：存在等腰三角形（5题）；②函数与三角形综合：存在直角三角形（5题）；③函数与三角形综合：存在性之全等与相似（10题）；④函数与四边形综合：存在性之平行四边形（10题）；共30题。
先仔细研究方法总结、易错总结，再进行巩固练习。
重要的不是题目的数量，而是题目的质量把所有题目都做“过’一遍不是你最大的收获最大的收获应该是当做过无数题目后回过头，发现过去的岁月不是为了走过一次次坑而是为了填上无数个洞模块－函数与三角形综合：存在等腰三角形�1.(1）数形结合，注意使用等腰三角形的性质与判定．(2）函数问题离不开方程，注意方程与方程组的使用．(3）找动点使之与已知两点构成等腰三角形的方法：问题｜ 作圄｜求点坐标等｜｜ ｜”万能法”民他扣、去腰｜/ B I ,,--'r<-----\ 抬别表示出点A,B ,P lt 乍等腰三角形底三I A/ 1 tAili1阳坐标，再表示出线段阳的高，用勾股角｜11鸟飞－－－－�：：川、马·�B I B P I A P 的长度，战相似建立等量形｜己知点A,B 和直｜嘀圆一垂”阳快系l，在l上求点P ,t:,.PA B 为等腰三形2.在平面内使构成等腰三角形的三个点中3动点个数大于或等于两个．解决问题的万法：让三个点轮流做顶角顶点，进行分类讨论．3.在具体题目中高时不仅要找出符合题意的点，还要计算出此点的坐标，计算点坐标的方法可以参考以下几种：1.全等或相似（找相等线段或成比例线段）; 2.勾股定理；3.锐角三角函数；4.面积法；5.方程或方程组．四军事E＠如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3,1），点B的坐标为（6，日，点C 的坐标为(0，日，某二次函数的图像经过A、B、C 三点．( 1 ）求这个二次函数的解中斤式．( 2）假如点Q在该二次函数图像的对称轴上，＿§今ACQ是等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．\Y \Y。
二次函数综合题存在性问题分类训练(9种类型)(学生版)--2023-2024学年九年级数学上册重难点
二次函数综合题存在性问题分类训练(9种类型)【类型一存在性之等腰三角形】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．2如图，已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A-1,0，B2,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若F为抛物线上一点，连接BC，是否存在以BC为底的等腰△BCF？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过B-3,0两点，与x轴的另一个交点为A．,C0,3(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，求出点E的坐标；(3)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．4如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过B(-3，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为A．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线y=mx+n经过B，C两点，则m=；n=；(3)在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；(4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【类型二存在性之直角三角形】5如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x-2的图象分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，E是线段OA的中点．(1)求抛物线的解析式；(2)点F是抛物线上的动点，当∠OEF=∠BAE时，求点F的横坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使得△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．(4)抛物线上(AB下方)是否存在点M，使得∠ABM=∠ABO？若存在，求出点M到y轴的距离，若不存在，请说明理由．6如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，与y轴交于点C0,3，与x轴交于点A和点B．(1)求抛物线的解析式和点A、B的坐标；(2)设点P为抛物线的对称轴直线x=2上的一个动点，求使△PBC为直角三角形的点P的坐标．7如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx-3与直线l:y=x+1交于A，B两点，点A的坐标为-1，0．(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；(2)已知抛物线与x轴有2个交点，右侧交点为C，点P为线段AB上任意一点(不含端点)，若△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标．8如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为1,0．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点P，使|PB-PC|最大，求出点P的坐标；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【类型三存在性之等腰直角三角形】9如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=4，OC=8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．(3)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．10如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-23x2+43x+2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．(1)求直线BC的解析式；(2)过点A作AD∥BC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，△BCD的面积为S2，当S1-S2的值最大时，求P点的坐标和S1-S2的最大值；(3)如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为A′C′(线段A'C'始终在直线l左侧)，是否存在以A′，C′，G为顶点的等腰直角△A′C′G？若存在，请写出满足要求的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．11如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=4，OC=8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．(3)D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．12如图，在平面直角坐标系中，将一等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，其中A的坐标为(0,2)，直角顶点C的坐标为(-1,0)，点B在抛物线y=ax2+ax-2上．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，连结BD、CD，求△DBC的面积；(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【类型四存在性之平行四边形】13在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0)，(3,0)和0,3．(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当AN+MN有最大值时，求出抛物线上点M的坐标；(3)若点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0))的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点，在(2)的条件下求得的点M，是否能与A，P，Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．14如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A的坐标为(1,0)．(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标；(2)在直线BC的下方的抛物线上存在一点M，使得△BCM的面积最大，请求出点M的坐标(3)点F是抛物线上的动点，点D是抛物线顶点坐标，作EF∥AD交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．15如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c(b、c为常数)的顶点坐标为32,-258，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连接AD，作直线BD．(1)求b、c的值；(2)求点A、B的坐标；(3)求证：∠ADO=∠DBO；(4)点P在抛物线y=-12x2+bx+c上，点Q在直线BD上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标．16如图，抛物线y=ax2+2ax+c与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是第三象限抛物线上的动点，连接AC，当△ACD的面积为3时，求出此时点D的坐标；(3)将抛物线y=ax2+2ax+c向右平移2个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点M，N在原抛物线的对称轴上，H为平移后的抛物线上一点，当以A、M、H、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点H的坐标．【类型五存在性之菱形】17如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A-1,0．,B3,0,C0,3(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；(3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．18综合与探究：如图，已知抛物线y=-38x2+94x+6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．直线BC与抛物线的对称轴交于点E．将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线AC 交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．(1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC，BC的解析式；(2)当△CDB是以BC为斜边的直角三角形时，求出n的值；(3)直线BC上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19如图，直线y =mx +n m ≠0 ．与抛物线y =-x 2+bx +c 交于A -1,0 ，B 2,3 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点C 在抛物线上，且△ABC 的面积为3，求点C 的坐标；(3)若点P 在抛物线上，PQ ⊥OA 交直线AB 于点Q ，点M 在坐标平面内，当以B ,P ,Q ,M 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M 的坐标．20如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-32x2+32x+3与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．(1)求直线BC的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交BC于点D，过点P作x轴的平行线交BC于点E，求PE+3PD的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，在(2)中PE+3PD取得最大值的条件下，将抛物线y=-32x2+32x+3沿着射线CB方向平移得到新抛物线y ，且新抛物线y 经过线段BC的中点F，新抛物线y 与y轴交于点M，点N为新抛物线y 对称轴上一点，点Q为坐标平面内一点，若以点P，Q，M，N为顶点的四边形是以PN为边的菱形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．【类型六存在性之矩形】21如图①，抛物线y=ax2+x+c a≠0与x轴交于A(-2,0)，B(6,0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)如图②．过点P作PF⊥CE，垂足为点F，当CF=EF时，请求出m的值；(3)如图③，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O 恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．22已知抛物线y =ax 2+bx -4a ≠0 交x 轴于点A 4,0 和点B -2,0 ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线AC 下方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，当PD +PE 取最大值时，求点P 的坐标及PD +PE 最大值．(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点且AC 为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M 、N 的坐标，不存在，请说明理由．23综合与探究如图，抛物线y=ax2-3x+c a≠0与x轴交于A(4，0)，C两点，交y轴于点B(0，-4)，点P为y轴右侧抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当P在AB下方时，求△ABP面积的最大值；(3)当∠ABP=15°时，△BOP的面积为；(4)点M为抛物线对称轴上的一点，点N为平面内一点，是否存点M、点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；如不存在，请说明理由．24如图，直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2-83x+c(a≠0)经过A，C两点，交x轴的正半轴于点B，连接BC．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC=45°时，求点P的坐标；(3)已知点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA运动，同时点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿OC，CA运动．当点M，N运动到某一时刻时，在坐标平面内是否存在点D，使得以A，M，N，D为顶点的四边形是矩形?若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【类型七存在性之正方形】25如图，抛物线y=-14x2+bx+c的对称轴与x轴交于点A1,0，与y轴交于点B0,3，C为该抛物线图象上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，当点C在第一象限，且∠BAC=90°，求ACAB的值；(3)点D在抛物线上(点D在点C的左侧，不与点B重合)，点P在坐标平面内，问是否存在正方形ACPD？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A-2,0，B4,0两点，与y轴交于点C，直线y=23x-4与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点N，连接MC，MD．(1)求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标．(2)当CM=EN时，求点M的横坐标．(3)G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形MDEG是正方形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．27如图，已知直线y=-x+4与抛物线y=ax2+bx交于点A4,0两点，点P为抛物线上和B-1,5一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AB于Q，PN⊥AB于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线AB下方时，求线段PN的最大值；(3)是否存在点P使得△ABP是直角三角形，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；(4)坐标轴上是否存在点M，使得以点P，N，Q，M为顶点的四边形是正方形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由28如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A和点B4，0，与y轴交于点C0，4，点E在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．【类型八存在性之相似三角形】29如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，经过点x+2交抛物线于点D，点D与点A的横坐标互为相反数，P是抛物线上一动点，连接A的直线y=-12AC．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P在第一象限内的抛物线上，当∠PBA=2∠BAD时，求直线BP的表达式；(3)点Q在y轴上，若△DQP∽△COA，请直接写出点P的坐标．30如图，已知抛物线过三点O0,0，弧AB过线段OA的中点C，若点E为弧AB，B2,23，A8,0所在圆的圆心．(1)求该抛物线的解析式．(2)求圆心点E的坐标，并判断点E是否在这条抛物线上．(3)若弧BC的中点为P，是否在x轴上存在点M，使得△APB与△AMP相似？若存在，请求出点M的坐标，若不存在说明理由．31如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，直接写出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；32如图，抛物线y=12x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A-4,0，C0,-2．(1)求抛物线和直线AC的函数解析式；(2)若点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求四边形CDAF的最大面积；(3)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OAC相似，请直接写出点P的坐标．【类型九存在性之角度问题】33如图，抛物线y=ax2+bx+2经过A-1,0为抛物线上、B4,0两点，与y轴交于点C，点D x,y 第一象限内的一个动点．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)当△BCD的面积为4时，求点D的坐标；(3)该抛物线上是否存在点D，使得∠DCB=2∠ABC，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．34如图，抛物线y=ax2+bx-1a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D3,0，过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当BQPQ=57时．求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．35如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx a>0经过点A(-1,3)和x轴正半轴上的点B，AO=OB．(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结OM，求∠AOM的度数；(3)联结AM、BM、AB，若在坐标轴上存在一点P，使∠OAP=∠ABM，求点P的坐标．36如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)与x轴交于A1,0两点，，B3,0与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为0,-1，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．(1)求该抛物线的解析式．(2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t>0)，在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？(3)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
初中数学 存在性问题 专题强化练习
存在性问题 专题强化练习1、（ 山东日照，24，10分）如图，抛物线y=ax 2+bx （a 0）与双曲线y =xk相交于点A ，B . 已知点B 的坐标为（-2，-2），点A 在第一象限内，且tan∠AOx =4. 过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．（1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．2、( 广东河源，22，本题满分9分) 如图11，已知抛物线243y x x=-+与x 轴交于两点A 、B ，其顶点为C ．(1)对于任意实数m ，点M （m ，-2）是否在该抛物线上?请说明理由； (2)求证:△ABC 是等腰直角三角形；(3)已知点D 在x 轴上，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．OAndByndXpynYouy图１１3、（ 甘肃兰州，27，12分）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD>AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AE=10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长；（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2=AC·AP？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．4、（ 遵义，27，14分）已知抛物线)0(32≠++=a bx ax y 经过A (3，0), B (4，1)两点，且与y轴交于点C 。
（1）求抛物线)0(32≠++=a bx ax y 的函数关系式及点C 的坐标；（2）如图（1）,连接AB ，在题（1）中的抛物线上是否存在点P ，使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合）经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OE F 的面积取得最小值时，求点E 的坐标。
数学：存在性问题专项训练(五 九年级训练考试卷)
学生做题前请先回答以下问题
问题1：菱形存在性问题通常转化成什么问题来处理？利用的是菱形的哪个判定？
问题2：对比平行四边形存在性，菱形的存在性以及正方形的存在性问题处理思路，总结处理存在性问题的一般方法．
存在性问题专项训练（五）
一、单选题(共4道，每道25分)
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=9cm．点P从点A出发，沿AB方向以cm/s 的速度向终点B运动；同时点Q从点B出发，沿BC方向以1cm/s的速度向终点C运动．将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点．设点Q运动的时间为t秒，当四边形为菱形时，t的值为( )
A. B.
C. D.
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴交于A，B两点，点P在射线AB上，点Q在坐标平面内，若以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为( )
A.，或
B.，或
C.，，或
D.，，或
3.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上的一点A，抛物线的顶点为E，对称轴与x轴交于点D．N是坐标平面内任一点，M是对称轴上的一点，使得以N，A，E，M为顶点的四边形是菱形，则点N的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．若M是抛物线对称轴上一点，N是坐标平面内一点，则使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
学生做题后建议通过以下问题总结反思
问题1：第4题中谁是定点，谁是动点？
问题2：结合第4题具体分析如何将菱形存在性转化为等腰三角形的存在性，如何确定分类标准．。
九年级数学考点大串讲(人教版)：二次函数综合(6种存在性问题专练)(原卷版)
难关必刷01二次函数综合（6种存在性问题专练）【模型梳理】一、等腰三角形存在性根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意．1、知识内容：在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；（2）两点间距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2）2、解题思路：（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．二、直角三角形存在性在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。
以函数为背景的直角三角形存在性问题1、知识内容：在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。
另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直角三角形．2、解题思路：（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；（2）计算出相应的边长等信息；（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．三、平行四边形的存在性问题1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类;2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定)3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解常见设问:已知A、B，求另外两点C、D与A、B两点构成平行四边形分类讨论:当AB为边时，找AB平行且等于的CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标;当AB为对角线时，AB的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解.4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可四、菱形的存在性问题(常为含60°角的菱形)通常有两大类:1.已知三个定点探究菱形时，分别以三个定点中的任意两个定点确定线段为要探究的菱形的对角线画出所有菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形;2已知两个定点去探究菱形时，以两个定点连线所成的线段作为要探究菱形的对角线或边长画出符合题意的菱形，结合题干要求找出满足条件的菱形:3.计算:建立类似平行四边形的存在性问题来解五、矩形的存在性问题等价于直角三角形的存在性问题（其特点往往是2定点2动点），通过构造一线三等角模型或勾股定理，可以求出其中一个顶点的坐标，再根据对称性求出另一个顶点的坐标。
2024年九年级中考数学专题复习训练+++二次函数与面积的存在性问题
课程基本信息教师陈老师/邹老师学科数学年级九年级学期秋季课题面积的存在性问题学生信息姓名学校班级学号知识点讲解在二次函数求面积的最大值时，我们学过“铅锤法”；这里就不细讲铅锤法了。
这里主要研究面积固定时，怎么快速求解出点的坐标？在这里讲的是一种平行线的方法。
实战基地①如图,矩形ABCD的顶点C在y轴右侧沿抛物物线y=x2-6x+10滑动，在滑动过程中CD∥x轴，CD=1，AB在CD的下方.当点 D在y轴上时，AB落在x轴上.当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成的两部分的面积比为1:4时,求点C的坐标.②如图,在梯形ABCD中,AD//BC，E、F 分别为 AB、DC的中点，AB=4，∠B=60°.(1)求点E到BC 边的距离.(2)点P为线段EF上的一个动点，过P作P M⊥BC，垂足为M，过点M作MN平行AB交线段AD于点N，连接PN.探究:当点 P在线段EF上运动时，△PMN的面积是否发生变化?若不变，请求出△PMN的面积;若变化,请说明理由.③如图所示,已知扇形AOB 的半径为2,圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,求四边形ODCE的面积的最大值。
④如图所示，二次函数y=(x+m)2+k的图象与x轴交于A、B两点，顶点M的坐标为(1，-4).(1)求A、B两点的坐标.(2)设直线AM与y轴交于点C，求△BCM 的面积.(3)在抛物线上是否还存在点P，使得S△PMB =S△BCM?如果存在，求出点P的坐标如果不存在，请说明理由.⑥如图,抛物线y=x2-6x+5与x轴交于A、Bi两点，与y轴交于点C，设在直线BC下方的抛物线=15,试求出点Q的坐标.上有一点Q，若S△BCQ⑦如图1若一次函数y=-3x-3的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B的坐标为(3，0)，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A、B、C 三点.(1)求二次函数的表达式.(2)如图1过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上(y轴左侧),若BC恰好平分∠DBE,求直线BE的表达式.(3)如图2,若点P在抛物线上(点P在y轴右侧)，连接AP交BC手点F，连接 BP,S△BFP =mS△BAF.①当m=0.5时,求点P的坐标;②求m 的最大值.⑧如图，抛物线y=mx2+(m2+3)x-(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C,已知B(3，0).(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式.(2)P为抛物线上一点，若S△PBC =S△ABC,请直接接写出点P的坐标.(3)Q为抛物线上一点，∠ACQ=45°，求点Q 的坐标.。
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存在性问题专项训练（六）
一、单选题(共3道，每道40分)
1.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点P．M为线段OA上一动点，过点M作MN⊥PM，交AP于点N．Q为坐标平面内一点，若以A，M，N，Q为顶点的四边形为菱形，则点M的横坐标为( )
A.8
B.
C.6
D.
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），
B（0，2），抛物线经过点C，与y轴相交于点D．
（1）抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
3.（上接第2题）（2）如图，作出直线CD，若点E在y轴上，且位于点D的上方，P为直线CD上一点，Q为抛物线上一点，则使得以D，E，P，Q为顶点的四边形是菱形的点Q的坐标为( )
A. B.
C. D.
学生做题后建议通过以下问题总结反思
问题1：第3题中谁是定点，谁是动点？
问题2：结合第3题具体分析如何确定分类标准．
问题3：由上一套两定两动的灵性存在性问题结合第3题分析，将菱形存在性转化为等腰三角形的存在性之后，什么情形考虑“两圆一线”？什么情形考虑夹角？。