安徽皖中名校联盟2019届高三10月联考数学理
安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考数学(理)试题(原卷版)
皖中名校联盟2019届高三10月联考数学试题卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.命题“4,0x R x x ∀∈+≥”的否定是（ ） A. 4,0x R x x ∀∈+< B. 4,0x R x x ∀∈+≤ C. 4000,0x R x x ∃∈+≥D. 4000,0x R x x ∃∈+<2.已知2{|430},{|P x x x Q y y =-+<==，则P Q =（ ）A. [0,1)B. [0,2)C. (1,2]D. (1,2)3.由曲线3,y x y == ）A.512B.13 C. 14 D. 12 4.已知向量AB 与AC的夹角为3π，()2,3,,AB AC AM AB AC R λμλμ===+∈，且A M B C ⊥，则λμ=（ ） A.16B. 6C.14D. 45.设函数21()1xxf x e e x -=+-+，则使得(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是（ ） A. (,1)-∞B. (1,)+∞C. 1(,1)3- D. 1(,)(1,)3-∞-+∞U6.“0a ≥”是“函数()(1)f x ax x =+在区间(0,)+∞上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，给出以下结论： ①100a =；②10S 最小；③712S S =；④190S =． 其中一定正确的结论是（ ）A. ①②B. ①③④C. ①③D. ①②④8.函数4lg x x y x=的图象大致是（ ）A.B.C.D.9.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断正确的是（ ） A. 要得到函数()f x的图象只将2y x =的图象向右平移6π个单位B. 函数()f x 的图象关于直线512x π=对称 C. 当,66x ππ⎡∈-⎤⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为D. 函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增10.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21x f x =-，则2(log 9)f =（ ）A. 79-B. 8C. 10-D. 259-11.设函数121,1(),4,1x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若互不相等的实数,,p q r 满足()()(),f p f q f r ==则222p q r ++的取值范围是（ ） A. (8,16)B. (9,17)C. (9,16)D. 1735(,)2212.已知2()f x x ax b =++，集合{|()0}A x f x =≤，集合{|[()]3}B x f f x =≤，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围是（ ）A .[6,2]-B.C. [2,-D. [6,--第П卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13.已知平面向量,a b 满足2,1,223a b a b ==+=，则a b r r与的夹角为___________．14.函数()y f x =的图象和函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =-对称，且函数()(1)3g x f x=--，则函数()y g x =图象必过定点___________。
【新】安徽省皖中名校联盟2019届高三数学10月联考试题文
皖中名校联盟2019届高三10月联考数学试卷（文科）考试说明：1.考查范围：集合与逻辑，函数与基本初等函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列（少量），立体几何，不等式。
2.试卷结构：分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)；试卷分值:150分，考试时间:120分钟。
3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。
考试结束后只交答题卷。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，集合1{|30},{|2}4xA x xB x =-<=>，则=)(BC A U （ ）A ．{|23}x x -≤≤B ．{|23}x x -<<C ．{|2}x x ≤-D ．{|3}x x <2．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3i - C ．3i D ．3- 3．已知54sin -=α，且α是第四象限角，则)4sin(απ-的值为（ ） A ．1025B ．523 C ．1027 D ．524 4．已知命题:p 函数tan()6y x π=-+在定义域上为减函数，命题:q 在ABC ∆中，若30A >，则1sin 2A >，则下列命题为真命题的是（ ） A ．q p ∧⌝)( B ．()()p q ⌝∧⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．q p ∨5．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+,0,1,33y y x y x 则y x z +=2的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知2.05.1=a ，5.1log 2.0=b ，5.12.0=c ，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a c b >>7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3π=A ，2=b ，33=∆ABC S ，则=-+-+CB A cb a sin 2sin sin 2（ ）A ．372 B ．3214 C ．4 D ．426+8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．8 B ．16 C ．24 D ．489．在ABC ∆中，点D 是AC 上一点，且4=，P 为BD 上一点，向量)0,0(>>+=μλμλ，则μλ14+的最小值为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．210．已知函数)cos 1(sin )(x x x g -=，则|)(|x g 在],[ππ-的图像大致为（ ）11．已知直线21y x =+与曲线x y ae x =+相切，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．2e12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<=0,1640,)(23x x x x e x f x，则函数2)(3)]([2)(2--=x f x f x g 的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第П卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．． 13．命题“1,000+>∈∃x eR x x ”的否定是 ；14．已知数列}{n a 满足：111+-=n n a a ，且21=a ，则=2019a _____________； 15．已知向量,a b 满足||=5a ，||6a b -=，||4a b +=，则向量b 在向量a 上的投影为 ；16．函数)(x f y =的图象和函数0(log >=a x y a 且)1≠a 的图象关于直线x y -=对称，且函数3)1()(--=x f x g ，则函数)(x g y =图象必过定点___________。
安徽省2019届高三上学期第二次联考数学(理)试题 Word版含答案
安徽省高三第二次联考数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|40A x x =-<，{}|326B x x =-<<，则A B =（ ）A ．3|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．{}|22x x -<<C ．3|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{}|23x x -<< 2.设命题p ：x Q ∀∈，2x Q ∈，则（ ）A ．p ⌝为真命题B ．p ⌝为x Q ∀∈，2x Q ∉C ．p ⌝为0x Q ∃∉，20x Q ∈D ．p ⌝为0x Q ∃∈， 2x Q ∉ 3.在ABC ∆中，AB AC =，5BAC π∠=，则向量AB 与BC 的夹角为（ ）A ．45πB ．35πC ．25πD ． 5π 4.设点(,)P x y 是图中阴影部分表示的平行四边形区域（含边界）内一点，则2z x y =-的最小值为A ．-1B ．-2 C.-4 D ．-65.将偶函数()sin(3)f x x ϕ=+（0ϕπ<<）的图象向右平移12π个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（） A ．(,0)34k ππ+（k Z ∈） B ．(,0)312k ππ+（k Z ∈） C. (,0)36k ππ+（k Z ∈） D ．7(,0)336k ππ+（k Z ∈）6.已知向量1e ，2e 满足12121||||12e e e e ==⋅=，向量122m te e =+，其中0t >，则“32t >”是“||m t< ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C.充要条件D ．既不充分也不必要条件 7.若函数1()()2x f x a =-的图象经过一、二、四象限，则()f a 的取值范围为A ．(0,1)B ．1(,1)2- C.(1,1)- D ．1(,)2-+∞ 8.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 10sin ac B C =，7a b +=，且cos 2C =，则c =（ ）A ．4B ．5 C.．79.函数3()sin f x x x =在[],ππ-上的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．10.设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C.c a b >> D ．c b a >>11.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若2n n n a S +=，则100a =（ ）A ．10099223-+B ．100100223-+ C.10199223-+ D ．101100223-+ 12.若函数51()ln(1)2(1)f x x ax a x =++-+在(0,1)上为增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．1(,0),24⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦B ．1[1,0),12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.1[1,0)(0,]4- D ．1(,0)[,1]2-∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.将答案填在答题纸卡中的横线上.13.某第三方支付平台的会员每天登陆该平台都能得到积分，第一天得1积分，以后只要连续登陆每天所得积分都比前一天多1分.某会员连续登陆两周，则他两周共得 积分．14.真方形ABCD 中，E 为BC 的中点，(0,0)A ，(2,0)B ，则向量AE 在AC 方向上的投影为 ．15.若(,)612ππθ∈-，且212sin 25θθ+=-，则tan(2)12πθ+= ． 16.如图，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，AC BC =，且4AD BC +=.若BD 与平面ABC 所成角的正切值为12，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC ∆中，已知32sin 4cos 2B B +=，且B 为锐角.（1）求sin B ；（2） 若(4(sin sin )B AC A C=⋅+，且ABC ∆求ABC ∆的周长. 18. 在数列{}n a 中，11a =，()()21412n n n a a n n ++=+，设1n n n b a n +=⋅. （1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）求{}n a 的前n 项和n T .19. 已知4o m <<，函数()sin()3f x mx π=-，且5()()6f x f x π=-. （1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在[],a a -上单调递增，求正数a 的最大值；（3）若tan(2)23πα-=，求2()2(2)6f f παα+-. 20. ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-.（1）试问a ，b ，c 是否可能依次成等差数列？为什么？（2）当cos C 取得最小值时，求c a. 21. 已知函数()(1)ln a f x a x x x=-++. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性与极值点.22.已知函数()1x f x ae x =-+有两个零点1x ，2x .（1）求a 的取值范围；（2）设0x 为()f x 的极小值点，证明：2202x x x +<.安徽省高三第二次联考数学参考答案（理科）一、选择题1-5:CDBDA 6-10:ABBAB 11、12：AD1.C ∵{}|22A x x =-<<，3|32B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，∴3|22A B x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭. 2.D 命题p 为真命题，则p ⌝为假命题，p ⌝为0x Q ∃∈，20x Q ∉.3.B ∵AB AC =，5BAC π∠=，∴25ABC ACB π∠=∠=，则向量AB 与BC 的夹角为35ABC ππ-∠=. 4.D 由图可知，当直线2z x y =-经过点(2,4)时，z 取最小值-6.5.A ∵()sin(3)f x x ϕ=+（0ϕπ<<）为偶函数，∴2πϕ=，∴()cos3f x x =.∴()cos(3)124f x x ππ-=-.令342x k πππ-=+（k Z ∈），得34k x ππ=+（k Z ∈）.6.A 若||m t >2221222(2)||4167te e m t t t t t +++⎛⎫==< ⎪⎝⎭.∵0t >，∴2t >. 7.B 依题意可得(0)1,0,f a a =-⎧⎨-<⎩解得01a <<，1()()2a f a a =-. 设函数1()()2x g x x =-，则()g x 在(0,1)上为减函数，故1()(,1)2f a ∈-.8.B ∵sin 10sin ac B C =.∴10abc c =，即10ab =.∵cos 25C =，∴21cos 2(155C =⨯-=，则5c ===. 9.A ∵()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数，排除B ，D ．∵33515153125()()()76262616f ππ⨯=⨯>⨯=>，∴排除C ，故选A ． 10.B ∵327lg 64log 4log 64lg 27==，525lg 64log 8log 64lg 25==，∴35log 4log 8<. ∵2385<，∴3285<，∴32553log 8log 52<=. 又2443log 3log 9log 82=>=，∴253log 3log 8log 4>>，即a c b >>. 11.A 当1n =时，11122a S a +==，即11a =.当2n ≥时，1112n n n a S ---+=，则1111()222n n n n n n n a a S S -----+-=-=，即1122n n n a a ---=，111224n n n n n a a ----=， 从而21144224443n n n n a a ---=+++=，即4232n n n a +=⋅，则4232n n n a +=⋅. 12.D 依题意可得251'()02(1)(1)f x a x a x =--≥++对(0,1)x ∈恒成立.令1x t +=（12t <<）.即25102at t a-+≤对(1,2)t ∈恒成立. 设251()2g t at t a =-+，(1,2)t ∈. 当0a >时，15(1)021(2)450,g a a g a a ⎧=+-≤⎪⎪⎨⎪=+-≤⎪⎩解得112a ≤≤. 当0a <时，∵1(0)0g a =<，552024a a --=<，∴()0g t <对(1,2)t ∈恒成立. 综上，a 的取值范围为1(,0),12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦. 二、填空题13.105 14.2 15.17 16.37513.105 依题意可得该会员这两周每天所得积分依次成等差数列，故他这两周共得(114)141052+⨯=积分. 14.2设C 在第一象限，则C 的坐标为(2,2)，E 的坐标为()2,1，()2,2AC =，()2,1AE =，故AE 在AC方向上投影为2||2AE AC AC ⋅==15.17 ∵212sin 21cos 2212sin(2)65πθθθθθ+=-+=+-=-，∴3sin(2)65πθ-=-. ∵(,)612ππθ∈-，∴2(,0)62ππθ-∈-，∴4cos(2)65πθ-=，3tan(2)64πθ-=-， ∴31()14tan(2)tan[(2)]126471()4πππθθ+-+=-+==--. 设AD x =（04x <<），则4AB BC x ==-.∵AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，∴AD ⊥平面BAC ，∴BD 与平面ABC 所成角的正切值为12AD AB =，则2A B x =.设四面体ABCD 的体积为()V f x =，则11()(232f x x =⨯⨯==02x <<）. 设4()(2)g x x x =-，3'()(85)g x x x =-， 当805x <<时，'()0g x >；当825x <<时，'()0g x <. 故放85AD x ==时，四面体ABCD三、解答题17.解：（1）∵232sin 4cos24(12sin )B B B +==-. ∴1sin 4B =或1sin 2B =-. 在ABC ∆中.∵sin 0B >，所以1sin 4B =. （2）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .∵(4(sin sin )B AC A C =⋅+，∴(4()b b a c =⋅+.∴4a c +=又∵ABC ∆的面积为152，∴111sin 2242ac B ac =⨯=.∴ac =∵B为锐角，∴cos 4B =，由余弦定理得22222cos ()2214b ac ac B a c ac ac =+-=+--⨯=，∴1b =， ∴ABC ∆的周长为518.（1）证明：∵11122(2)11(1)n n n n n n n a b a n n n n b n a a n++++⋅++==⋅++⋅ 22(2)4(1)4(1)(2)n n n n n n ++=⋅=++，11∴数列{}n b 是首项为2，共比为4的等比数列.（2）解：由（1）知，1124n n n n b a n-+=⋅=⋅， 则2121n n n a n -=⋅+. 从而1321123()22341n n n T n +++-=⨯⨯⨯⨯⋅+221nn =+. 19.解：（1）∵5()()6f x f x π=-，∴()f x 的图象关于直线512x π=对称， ∴51232m k ππππ-=+（k Z ∈）， ∴1225m k =+（k Z ∈）， ∵04m <<，∴2m =.故22T ππ==. （2）令222232k x k πππππ-≤-≤+（k Z ∈）， 得51212k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈）， 则,125,120,a a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎪⎩解得012a π<≤，即a 的最大值为12π. （3）22()2(2)sin (2)4sin(2)cos(2)6333f f ππππααααα+-=-+-- 2222tan (2)4tan(2)24212331251tan (2)3ππααπα-+-+⨯===++-. 20.解：（1）∵4sin ()(sin sin )c C b a B A =+-，∴2224sin sin sin C B A =-，假设a ，b ，c 依次成等差数列，则2a c b +=， 则2224()2a c c a ++=，即221532c a ac +=， 又221532c a ac +≠，从而假设不成立，故a ，b ，c 不可能依次成等差数列.（2）∵2224c b a =-，∴2224b a c -=. ∵222cos 2a b c C ab +-=，∴222222534cos 28b a a b a b C ab ab -+-+==.∴2253cos 8a b C ab +=≥=， 当且仅当2253a b =，即3b a =时，取等号.∵222222)3446a b a a c --===，∴c a =. 21.解：（1）当1a =时，1()f x x x =+，则5(2)2f =，21'()1f x x=-， 所以所求切线的斜率为13'(1)144k f ==-=. 故所求的切线方程为53(2)24y x -=-，即3440x y -+=. （2）()y f x =的定义域为(0,)+∞，22221(1)()(1)'()1a a x a x a x a x f x x x x x -+--+-=+-==. ①当0a ≥时，当(0,1)x ∈时，'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >.所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.此时，()f x 的极小值点为1.②当0a <时，令'()0f x =，得x a =-或1x =.（i ）当10a -<<时，01a <-<.当(0,)(1,)x a ∈-+∞时，'()0f x >，当(,1)x a ∈-时，'()0f x <. 所以()f x 在(0,)a -和(1,)+∞上单调递增，在(,1)a -上单调递减. 此时，()f x 的极小值点为1，极大值点为a -.（ii ）当1a =-时，'()0f x ≥对(0,)x ∈+∞恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，()f x 无极值.（iii ）当1a <-时，1a ->，当(0,1)(,)x a ∈-+∞时，'()0f x >；当(1,)x a ∈-时，'()0f x <. 所以()f x 在(0,1)和(,)a -+∞上单调递增，在(1,)a -上单调递减. 此时，()f x 的极小值点为a -，极大值点为1.22.解：（1）（解法一）'()1()xf x ae x R =-∈.①当0a ≤时，'()1x f x ae =-对x R ∈恒成立，则()f x 在R 上单调递减. 所以()f x 在R 上至多有一个零点，与题意不符.②当0a >时，令'()0f x =，得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，'()0f x <；当(ln ,)x a ∈-+∞时，'()0f x >. 所以()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增.所以()f x 有两个不同的零点1122(ln )0(,ln ),()0(ln ,),()0f a s a f s s a f s -<⎧⎪⇔∃∈-∞->⎨⎪∃∈-+∞>⎩，当(ln )0f a -<时，ln 20a +<得210a e <<； 当11s =时，满足1(,ln )s a ∈-∞-且1()0f s ae =>，所以()f x 在(,ln )a -∞-内有一个零点1x ；当222ln()s a =时，满足2(ln ,)s a ∈-+∞且222()2(ln )10f s a a =-+>，所以()f x 在(ln ,)a -+∞内有一个零点2x .综上可知，a 的取值范围为210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （解法二）因为()1x f x ae x =-+有两个零点，所以方程1x x a e -=有两个不同的解. 设函数1()x x h x e -=，则2'()x x h x e -=，当2x <时，'()0h x >；当2x >时，'()0h x <. 所以max 21()(2)h x h e==. 当1x >时，()0h x >；当x →+∞时，()0h x →.当x →-∞时，()h x →-∞.故a 的取值范围为210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）证明：设12x x <，由'()0f x =，得ln x a =-，则0ln x a =-（0a >），1(1,l n )x a ∈-，则21110x x ->->，由题知121122()10()10x x f x ae x f x ae x ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，则121211x x ae x ae x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（*）. 所以121211x x x e x --=-，即12(1)(1)1211x x x e x ----=-， 令1211x t x -=-，(0,1)t ∈，则121(1)x t x -=-， 所以12(1)(1)x x et ---=，得2ln 11t x t -=-，1ln 11t t x t -=-，所以212ln (1)(1)1()1(1)(ln )((1)11111t t t t x x t t t t t t t ---=-=-+=+----- 当(0,1)t ∈0<10>，令()ln g t t = ，(0,1)t ∈，则1'()0g t t ===<恒成立.所以()y g t =在(0,1)上单调递减，则()(1)0g t g >=. 所以12(1)(1)10x x ---<即12(1)(1)1x x --<. 由（*）式得12212(1)(1)1x x a e x x +=--<， 所以122x x e a +-=，即122ln x x a +<-，又0ln a x -=，1202x x x +<-。
安徽省皖中名校联盟2019届高三数学10月联考试题文
皖中名校联盟2019届高三10月联考数学试卷（文科）考试说明：1.考查范围：集合与逻辑，函数与基本初等函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列（少量），立体几何，不等式。
2.试卷结构：分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)；试卷分值:150分，考试时间:120分钟。
3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。
考试结束后只交答题卷。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U R =，集合1{|30},{|2}4xA x xB x =-<=>，则=)(BC A U （ ）A ．{|23}x x -≤≤B ．{|23}x x -<<C ．{|2}x x ≤-D ．{|3}x x <2．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3i - C ．3i D ．3- 3．已知54sin -=α，且α是第四象限角，则)4sin(απ-的值为（ ） A ．1025B ．523 C ．1027 D ．524 4．已知命题:p 函数tan()6y x π=-+在定义域上为减函数，命题:q 在ABC ∆中，若30A > ，则1sin 2A >，则下列命题为真命题的是（ ） A ．q p ∧⌝)( B ．()()p q ⌝∧⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．q p ∨5．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+,0,1,33y y x y x 则y x z +=2的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．已知2.05.1=a ，5.1log 2.0=b ，5.12.0=c ，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a c b >>7．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3π=A ，2=b ，33=∆ABC S ，则=-+-+CB A cb a sin 2sin sin 2（ ）A ．372 B ．3214 C ．4 D ．426+8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．8 B ．16 C ．24 D ．489．在ABC ∆中，点D 是AC 上一点，且4=，P 为BD 上一点，向量)0,0(>>+=μλμλ，则μλ14+的最小值为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．210．已知函数)cos 1(sin )(x x x g -=，则|)(|x g 在],[ππ-的图像大致为（ ）11．已知直线21y x =+与曲线x y ae x =+相切，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．2e12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<=0,1640,)(23x x x x e x f x，则函数2)(3)]([2)(2--=x f x f x g 的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第П卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．． 13．命题“1,000+>∈∃x eR x x ”的否定是 ；14．已知数列}{n a 满足：111+-=n n a a ，且21=a ，则=2019a _____________； 15．已知向量,a b 满足||=5a ，||6a b -= ，||4a b +=，则向量b 在向量a 上的投影为 ；16．函数)(x f y =的图象和函数0(log >=a x y a 且)1≠a 的图象关于直线x y -=对称，且函数3)1()(--=x f x g ，则函数)(x g y =图象必过定点___________。
安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考数学(理)试题 Word版含答案
皖中名校联盟2019届高三10月联考数学试题卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．命题“0||,4≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A ．0||,4<+∈∀x x R xB ．0||,4≤+∈∀x x R xC ．0||,4000≥+∈∃x x R xD ．0||,4000<+∈∃x x R x2．已知}24|{},034|{2x y y Q x x x P -==<+-=，则=Q P （ ）A ．)1,0[B ．)2,0[C ．]2,1(D ．)2,1(3．由曲线x y x y ==,3围成的封闭图形的面积为（ ）A ．125 B ．31C ．41 D ．21 4．已知向量AB 与AC 的夹角为3π，),(,3||,2||R AC AB AM AC AB ∈+===μλμλ，且⊥，则=μλ（ ） A ．61B ．6C ．41 D ．45．设函数11)(2+-+=-x e e x f xx ，则使得)1()2(+>x f x f 成立的x 的取值范围是（ ） A ．)1,(-∞ B ．),1(+∞ C ．)1,31(-D ．),1()31,(+∞--∞6．“0≥a ”是“函数|)1(|)(x ax x f +=在区间),0(+∞上单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知数列}{n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且63132S a a =+，给出以下结论： ①010=a ；②最小10S ；③127S S =；④019=S ． 其中一定正确的结论是（ ） A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④8．函数||||ln 4x x x y =的图象大致是（ ）9．已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且)(x f 的图象关于点)0,12(π-对称，则下列判断正确的是（ ）A ．要得到函数)(x f 的图象，只需将x y 2cos 2=的图象向右平移6π个单位B ．函数)(x f 的图象关于直线π125=x 对称 C ．当]6,6[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为2- D ．函数)(x f 在]3,6[ππ上单调递增 10．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，当10<<x 时，12)(-=x x f ，则=)9(log 2f （ ） A ．97-B ．8C ．10-D ．925-11．设函数,1,41|,12|)(1⎩⎨⎧>-≤-=+x x x x f x 若互不相等的实数r q p ,,满足),()()(r f q f p f ==则r q p 222++的取值范围是（ ）A ．)16,8(B ．)17,9(C ．)16,9(D ．)235,217(12．已知b ax x x f ++=2)(，集合}0)(|{≤=x f x A ，集合}3)]([|{≤=x f f x B ，若∅≠=B A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]2,6[-B ．]6,32[C ．]32,2[-D ．]32,6[--第П卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13．已知平面向量b a ,满足32|2|,1||,2||=+==b a b a，则b a 与的夹角为___________．14．函数)(x f y =的图象和函数0(log >=a x y a 且)1≠a 的图象关于直线x y -=对称，且函数3)1()(--=x f x g ，则函数)(x g y =的图象必过定点___________．15．=︒-︒+︒-︒︒⋅︒)5.7cos 5.7(sin 35.7tan 15tan 15tan 5.7tan 22___________．16．若直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是曲线xe y =的切线，则=b ___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． 17．（本小题满分10分）已知0>m ，命题:p 函数)2(log )(mx x f m -=在]1,0[上单调递减，命题:q 不等式1||>-+m x x 的解集为R ，若q p ∧为假命题，q p ∨为真命题，求m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的公差为2，且1,1,1421---a a a 成等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b (*N n ∈)，n S 是数列}{n b 的前n 项和，求使152<n S 成立的最大正整数n ．19．（本小题满分12分）ABC ∆中，c b a ,,分别是内角C B A ,,所对的边，且满足02cos cos =+-+cb a C B ． （1）求角C 的值；（2）若2=b ，AB 边上的中线3=CD ，求ABC ∆的面积．20．（本小题满分12分）已知函数a xax x f 21)(-+=，当]3,1[∈x 时，)(x f 的最小值为0． （1）求a 的值；（2）若0>a ，不等式02)2(≥⋅-x x k f 在区间]1,1[-上有解，求k 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数x axxx f ln 1)(+-=． （1）若0)(≥x f 对0>∀x 恒成立，求a 的值； （2）求证：2221...3221)1ln(nn n -+++>+（*N n ∈）．22．（本小题满分12分）已知函数2)1()(ax e x x f x --=． （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若函数)(x f 有两个零点分别记为21,x x ． ①求a 的取值范围； ②求证：0)2(21<+'x x f ． 皖中名校联盟2019届高三10月联考数学试题卷（理科）参考答案一、选择题二、填空题 13．3π 14．)4,1(- 15．2- 16．0或1三、解答题17．解：命题:p 令mx x u -=2)( )(x u 在]1,0[∈x 上单减 1>∴m又0)(>x u 02)1()(m i n>-==∴m u x u 21<<∴m ………3分命题:q ⎩⎨⎧<≥-=-+m x m mx m x m x x ,,2||1||>-+m x x 的解集为R ∴只需1|)|(min >=-+m m x x ………6分q p ∧ 为假命题，q p ∨为真命题 ∴p 、q 一真一假（1）若p 真q 假，则无解m m m m ∴⎪⎩⎪⎨⎧>≤<<0121 （2）若p 假q 真，则20121≥∴⎪⎩⎪⎨⎧>>≥≤m m m m m 或 综上所述，),2[+∞∈m . ………10分18．解：（1）由题意知，)1)(1()1(4122--=-a a a 即)5)(1()1(1121+-=+a a a 解得31=a故12+=n a n ，*N n ∈………5分 （2）由)321121(21)32)(12(1+-+=++=n n n n b n得n n a a a a S ++++=...321 )321121...71515131(21+-+++-+-=n n )32131(21+-=n )32(3+=n n 由152)32(3<+n n解得6<n故所求的最大正整数n 为5. ………12分 19．解：（1）02cos cos =+-+cba C B由正弦定理得0s i n s i n s i n 2c o s c o s =+-+CB AC B 即0)sin sin 2(cos sin cos =+-⋅+⋅B A C C B 从而0cos sin 2)sin(=⋅-+C A C B 即0cos sin 2sin =⋅-C A A 又ABC ∆中，0sin >A 故21cos =C 得3π=C .………6分（2）由)(21CB CA CD +=得)60cos 222(41322︒⋅⋅⋅++=a a从而2=a 或a=)(4舍-故360sin 2221sin 21=︒⨯⨯⨯=⋅=∆C ab S ABC .………12分 20．解：（1）22211)(xax x a x f -=-=' 31≤≤x 912≤≤∴x①当91≤a 时，0)(≤'x f 恒成立，)(x f 在[]3,1上单减 02313)3()(min =-+==∴a a f x f 31-=∴a②当191<<a 时，)(,0)(,)1,1[x f x f a x <'∈时单减；)(,0)(,]3,1(x f x f ax >'∈时单增02)1()(m i n =-+==∴a a a af x f 0=-∴a a 0=∴a （舍）或1=a （舍）③当1≥a 时，0)(≥'x f 恒成立，)(x f 在]3,1[上单增021)1()(min =-+==∴a a f x f 1=∴a综上所述：131=-=a a 或. ………6分（2）由（1）可知：21)(,1-+==xx x f a 0222122)2(≥⋅--+=⋅-xx x x x k k f ，122)2(2+-1≤x x k 要使不等式在]1,1[-上有解，则只需max 2]122)2[(+-1≤x x k令12122)21(),221(2122+-=+-≤≤=t t t t x x x ，其最大值为1，1≤∴k . (12)分21. 解：（1）22222211)1()(xa x x a ax a x x a x a ax x f -=-=+---='①当0<a 时，0)(>'x f 恒成立，)(x f 在),0(+∞上单增 0)1()(,)1,0(=<∈∴f x f x 时当，不满足题意 ②当0>a 时，单减时)(,0)(,)1,0(x f x f ax <'∈；单增时)(,0)(,),1(x f x f ax >'+∞∈0ln 11)1()(min ≥--==∴a a a f x f令a a a g ln 11)(--=，则22111)(aaa a a g -=-='单增时)(,0)(,)1,0(a g a g a >'∈；单减时)(,0)(,),1(a g a g a <'+∞∈0)1()(=≤∴g a g ∴由0ln 11≥--a a解得1=a . ………6分（2）由（1）：取等号）当且仅当1(11ln =-≥x xx令)(11*∈>+=N n nn x ，则有111ln +>+n n n122->n n 21111ln n n n n n ->+>+∴ 21ln )1ln(nn n n ->-+∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-+>->-∴2221ln )1ln(212ln 3ln 101ln 2ln n n n n 累加得*)(1...3221)1ln(222N n n n n ∈-+++>+，原命题得证. ………12分 22. 解：（1）)2(2)1()(a e x ax e x e x f x x x -=--+='（i ）当0≤a 时，02>-a e x单减时)(,0)(,)0,(x f x f x <'-∞∈；单增时)(,0)(,),0(x f x f x >'+∞∈（ii ）当210<<a 时， 单增时)(,0)(,))2ln(,(x f x f a x >'-∞∈；单减时)(,0)(,)0),2(ln(x f x f a x <'∈单增时)(,0)(,),0(x f x f x >'+∞∈（iii ）当21=a 时，0)(≥'x f 恒成立，)(x f 在R 上单增 （iv ）当21>a 时，单增时)(,0)(,)0,(x f x f x >'-∞∈；单减时)(,0)(,))2ln(,0(x f x f a x <'∈单增时)(,0)(,)),2(ln(x f x f a x >'+∞∈综上所述：0≤a 时，)(x f 在上单调递增上单调递减),0(,)0,(+∞-∞；210<<a 时，)(x f 在),0())2ln(,(,)0),2(ln(+∞-∞和上单调递减a a 上单调递增；21=a 时，)(x f 在R 上单调递增； 21>a 时，)(x f 在)),2(ln()0,(,))2ln(,0(+∞-∞a a 和上单调递减上单调递增.………4分（2）①1)0(-=f（i ）当0=a 时，x e x x f )1()(-=，只有一个零点，舍去（ii ）当0<a 时，单增单减在),0(,)0,()(+∞-∞x f 01)0()(m i n <-==∴f x f 又0)1(>-=a f ，取)2ln(1a b b -<-<且则2)1()(ab e b b f b --=2)1(2ab b a --->)12(22-+-=b b a0)12)(1(2>-+-=b b a )(x f ∴存在两个零点 （iii ）当210<<a 时， )(x f 在),0(+∞上单调递增，0≤x 时，0)(<x f )(x f ∴不可能有两个零点，舍去（iv ）当21=a 时，)(x f 在)(,x f R 上单增不可能有两个零点，舍去 （v ）当21>a 时，)(x f 在上单增）（上单减）（),2(ln ,)2ln,0(+∞a a 0≤x 时，0)(<x f )(x f ∴不可能有两个零点，舍去综上所述：0<a （本题也可用分离参数法）………8分②由①知：0<a ，)(x f 在上单增上单减),0(,)0,(+∞-∞ ∴要证0)2(21<+'x x f11 即证0221<+x x ，即证021<+x x 令)()()(x f x f x g --=，则)()()(x f x f x g -'+'=')2)(()2(a e x a e x x x --+-=-)(x x e e x --= 当0>x 时，单增)(,0)(x g x g >'不妨设210x x >>，则)0()(1g x g >，即0)()(11>--x f x f 又)()(21x f x f = )()(12x f x f ->∴ )(x f 在上单减)0,(-∞ 12x x -<∴ 021<+∴x x ，原命题得证. ………12分。
利用二阶导数妙解一类导数题
利用二阶导数秒杀一类导数题函数极值的第二判定定理：若()f x 在0x x =附近有连续的导函数()f x ''，且0()0f x '=，0()0f x ''≠(1) 若0()0,f x ''<则()f x 在点0x 处取极大值； (2) 若0()0,f x ''>则()f x 在点0x 处取极小值例1 已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A. 11或18 B.11 C.18 D.17或18 解：2()32f x x ax b '=++，()62f x x a ''=+，由函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10。
利用函数极值的第二判定定理可得(1)0(1)10(1)0f f f '=⎧⎪=⎨⎪''≠⎩，即2320110620a b a b a a ++=⎧⎪+++=⎨⎪+≠⎩，所以411a b =⎧⎨=-⎩，(2)816221618f =+-+=故选C例2设函数21()ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（ ） A.(1,0)- B.(1,)-+∞ C.(0,)+∞ D.(,1)(0,)-∞-⋃+∞ 解：1()f x ax b x '=--，21()f x a x''=--，由1x =是()f x 的极大值点，利用函数极值的第二判定定理可得(1)0(1)0f f '=⎧⎨''<⎩，得1a >-故选B例3 (2018北京）设函数()()23132e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，（1）若曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线斜率为0，求a ； （2）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围． 解：(1)略(2)2()[(1)1]x f x ax a x e '=-++，2()[(1)]x f x ax a x a e ''=---，利用函数极值的第二判定定理可得(1)0(1)0f f '=⎧⎨''>⎩，得1a >例4 (1) (2018全国I ）已知函数()e ln 1xf x a x =--．(1)设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； (2)证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．解：(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()xf x ae x '=-，21()xf x ae x''=+，由题意可知 21(2)02f ae '=-=，即212a e = ，又因为2211(2)024f e e ''=⋅+>，利用函数极值的第二判定理可得2x =是函数()f x 的极小值点，所以()f x 的单调减区间为(0,2)，单调增区间为(2,)+∞(3) 当1a e ≥时，()ln 1ln 1x xe f x ae x x e =--≥--，设()ln 1x e g x x e=--，下面只需证明()0g x ≥即可；因为1()x e g x e x '=-，21()x e g x e x''=+ ，由(1)0g '=，(1)20g ''=> 利用函数极值的第二判定定理可得1x =是函数()g x 的极小值点，也是最小值点，所以min ()(1)0g x g ==，所以当0x >时()(1)0g x g ≥=，因此，当1a e≥时，()0f x ≥例5 (安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考)函数x x e x f x -=sin )(． (1)求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (2)求函数在区间]2,2[ππ-的最值． 解：(1)略(2)()(sin cos )1x f x e x x '=+-,()2cos x f x e x ''=,由(0)0f '=，(0)20f ''=>，利用函数极值的第二判定定理可得0x =是()f x 的极小值点，所以()f x 在[,0]2π-的单调递在[0,]2π单调增区间.所以m i n ()(0)0f x f ==，max ()max{(),()}22f x f f ππ=-，又22()()()()2222f f e e ππππππ---=---+ 322225()02e ee ππππππ-=+->->->)2()2(ππ->∴f f 2)2()(2max πππ-==∴e f x f课后练习1. 若函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为__________2. 已知函数21()ln (1)2f x x x ax a x =-+-(a R ∈)在1x =处取得极大值，则实数a 的取值范围为__________3. 设函数2()2(2)23x f x x e ax ax =--++，若1x =是()f x 的极小值点，则实数a 的取值范围是__________4.(2018鄂东南省级示范高中联考)设31()ln 23f x ax x x x =+- (1) 若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值，并求()f x 的单调区间； (2) 若函数34()23y f x x x =-+没有零点，求实数a 的取值范围。
安徽省皖中名校联盟高三数学10月联考试题文
皖中名校联盟2019届高三10月联考数学试卷（文科）考试说明：1.考查范围：集合与逻辑，函数与基本初等函数，导数，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列（少量），立体几何，不等式。
2. 试卷结构：分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）；试卷分值：150分，考试时间:120分钟。
3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。
考试结束后只交答题卷。
第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.11.已知全集U =R,集合A={x|x-3<0},B ={x|2x >-}，则A^（C U B）=（）A. {x | -2 _ x _ 3}B. {x | -2 ：：： x ：：： 3}C. {x|x < -2}D. {x|x ：二3}2.复数z满足z（2 +i）=3-6i （i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A. 3B. -3iC. 3iD. -34 一二........3.已知sina =--,且u是第四象限角，则sin（［—a）的值为（）A 522 । 3^2 0712 n也. 10 5 10 54.已知命题p:函数y = -tan（x+-）在定义域上为减函数，命题q:在AABC中，若6:，.八1 , 人升，+人什，，口A >301则sin AA一，则下列命题为真命题的是（）2A. （「p）z\qB. （「p）八「q）C. p A（_,q）D. p v qx 3y 工3,5.设x,y满足约束条件dx —y之1,则z = 2x + y的最小值为（）y-0,A. 0 B . 1 C . 2 D . 3已知 a=1.50J b = log 0.21.5, c = 0.21.5,则()a b -2c sin A sin B -2sinC6. A. a b c B. b c a C. cab D. a c b7. 在2ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,,b = 2, S^BC则8. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(A. B. 16 9. C. D. 24 48 在AABC 中，点 D 是AC 上一点，且AC =4AD ,P 为BD 上一点,4 1 ……向量AP =，uAB 十NAC (九>0, N >0),则一十一的最小值为(A. 1C. e12.已知函数 f(x) ,3 - 2上/、-、4x -6x +1,x 之0x :: 0 ，则函数 g(x) =2[f(x)]2—3f(x)—2 的零点 个数 D庭十J2C A. 16 B .8D .2.4 10.已知函数g(x) =sin x(1 —cosx),则g(|x|)在［―n，兀］的图像大致为(y =2x +1与曲线值为(=ae +x 相切，其中e 为自然对数的底数，则实数 a 的11.已知直线第n 卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卷相应位置上.13 .命题 “ 5x0 w R,e" >x 0 +1 ” 的否定是 ;114 .已知数列｛a n ｝满足：a n =1 — ... ,且 a i =2,则 a 20i9 =;a n 115 .已知向重 a,b 满足|a|=5 , | a —b |= 6 , |a + b |= 4 ,则向重 b 在向重a 上的投影16 .函数y=f(x)的图象和函数 y = log a x(a > 0且a * 1)的图象关于直线 y=—x 对称,且函数g(x) = f (x -1) -3 ,则函数y = g(x)图象必过定点三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17、(本小题满分10分)2f (x) =sin(x - —)cosx cos18、(本小题满分12分)已知数列｛a n ｝满足：a n 4=2a n —n+1, a 1 =3.(1)设数列｛b n ｝满足：b n =a n -n,求证：数列｛b n ｝是等比数列； (2)求出数列｛a n ｝的通项公式和前n 项和S n .19、(本小题满分12分)A. 2B .3C .4已知函数 (1)求函数 f (x)的最小正周期和单调区间; (2)求函数 f (x)在［0,3］上的值域.已知四棱锥E-AB 的底面为菱形，且,ABC = 60 AB = EC = 2, AE = BE = 2, 。
安徽省合肥一中2019年10月高三阶段性检测考试理科数学试题(5页)
安徽省合肥一中2019年10月高三阶段性检测考试理科数学试题数学（理科）试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知复数112iz i+=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A.15B. 15-C. 15i -D.15i 2.集合{}22|540,|1A x x x B x x ⎧⎫=-+>=<⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A. (,1)(2,)-∞⋃+∞B. (,0)(4,)-∞+∞UC. (2,4)D. (4,)+∞3.下列说法正确的是（ ） A. 若a b >，则22ac bc >B. 若0a b ⋅>r r，则向量a r 与b r 夹角为锐角C. “()1,0x f x ∀>>”的否定是“()001,0x f x ≤∃≤”D. 在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B > 4.已知等比数列{}n a 前n 项和为n S ，且133,9a S ==，则4S =（ ）A. 12B. 15-C. 12或15-D. 12或155.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 （ ）A.B. 16C. 8D. 246.在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AD 上，且,2,2DB DC EA EC FD FA ===，设,AB a AC b ==u u u r u u u r r r ，则向量EF =u u u r（ ）A. 1263a b -r rB. 1233a b -rrC. 1162a b -rrD. 1334a b -rr7.已知257log 2,log 2,0.5a a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b a c <<B. a b c <<C. c b a <<D. c a b <<8.函数2sin ()ln2sin -=+xf x x x的部分图象可能是（ ）A. B.C. D.9.根据全球摩天大楼的统计，至2019年，安徽省合肥市的摩天大楼已经有95座在中国城市中排名第10位，全球排名第15位，目前合肥恒大中心建设中的最高楼，外形设计成了“竹节”的形态，既体现了力量超凡，又象征着向上生长的强烈意志，更预示了未来的繁荣和兴旺.它与传承千年的“微文化”相得益建成后将跻身世界十大摩天大楼之列，若大楼由9节“竹节”组成，最上部分的4节高228米，最下部分3节高204米，且每一节高度变化均匀（即每节高度自上而下成等差数列），则该摩天大楼的总高度为（ ） A. 518米B. 558米C. 588米D. 668米10.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0,2πωφ>>）的部分图像如图所示，则关于函数()f x 下列说法不正确的是（ ）A. ()f x 的图像关于直线12x π=对称B. ()f x 图像关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. ()f x 在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上增函数 D. 将cos y x =的图像向左平移6π个单位长度可以得到()f x 的图像 11.在斜ABC ∆中，设角,,A B C 对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ） A.18B.34C.23D.1612.已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，若()()322f x f x x x =---，且当0x ≥时，()231f x x '<--，则不等式()()21332f x x x f x ++++>的解集为（ ）A. (),0-∞B. ()0,∞+C. 1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最大值为______.的是的14.已知数列{}n a 中，114,32n n a a a +==-（n *∈N ），则数列{}n a 的通项公式n a =______. 15.已知正数x ，y 满足21x y +=2，则161x y ++最小值为______. 16.已知定义在R 上函数()f x 满足()()2f x f x +-=，若函数()3221sin 1x x x xx g x ++++=+与()y f x =有n 个公共点，分别为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，则()1ni i i x y =+=∑______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量()()2,,,2a sinx cosx b cosx cosx ==r r.（1）设()f x a b =⋅rr ，求()f x 在[]0,π上的减区间；（2）若()2,1c =r ，向量a b -r r 与c r 共线，且x 为第二象限角，求a b +r r .18.设函数()23f x x x a =-++-.（1）当0a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若()41f x a≥+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆为正三角形，四边形ABCD 为直角梯形，CD //,AB BC AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，点E ，F 分别为AD ，CP 的中点，22AD AB CD ===.（1）证明：直线EF //平面P AB ；（2）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值. 20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，且当2n ≥时，1120n n n n S S S S --+-=. （1）求数列{}n a 的通项公式；的（2）设21114n n b S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，证明：2311123n b b b ++⋯+<. 21.下面左图是我省某地斜拉式大桥的图片，合肥一中学数学兴趣小组对大桥有关数据进行了测量，并将其简化为右图所示.其中桥塔AB ，CD 与桥面AC 垂直，若50m,50m,75m AB AC CD ===.（1）当45BPD ∠=o 时，试确定点P 在线段AC 上的位置，并写出求解过程； （2）要使得BPD ∠达到最大，试问点P 在线段AC 上何处？请写出求解过程. 22.已知函数()(,)ax bf x e a b R +=∈的图象与直线:1l y x =+相切，()f x '是()f x 的导函数，且(1)e f ¢=. （1）求()f x ；（2）函数()g x 的图象与曲线()()y kf x k R =∈关于y 轴对称，若直线l 与函数()g x 的图象有两个不同的交点()()()()1122,,,A x g x B x g x ，求证：124x x +<-.。
2019届高三数学上学期10月联考试题理
安徽省六安市毛坦厂中学、金安高级中学2019届高三数学上学期10月联考试题理时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本题共12小题，每题5分共60分，在每小题给的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）1.集合A ＝{x |x ≤a }，B ＝{x |x 2－5x <0}，若A ∩B ＝B ，则a 的取值范围是()A ．a ≥5 B.a ≥4 C ．a ＜5 D.a ＜4 2.命题“对任意x R ∈，都有02≥x ”的否定为（）A.对任意x R ∈，都有02<xB.不存在x R ∈，使得02<xC.存在R x ∈0，使得020<xD.存在R x ∈0，使得020≥x3.函数f(x)＝x ecos x(x ∈[－π，π])的图象大致是()4.若θ是第三象限角，则下列选项中能确定为负值的是()A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos2θ5.为了得到函数y ＝sin （62π+x ）的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象() A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度6.已知x tan = 2,则x x cos sin + x 2sin + 1 的值为（）A.56 B. 511 C.34D.357.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)上是增函数．令)72(tan ),72(cos ),75(sinπππf c f b f a ===,则（ ） A ． c b a << B ．a b c << C ．a c b << D ．c a b <<8.已知222111,,,,,c b a c b a 为非零实数，设命题p:212121c c b b a a ==，命题q:关于x 的不等式0022221121>++>++c x b x a c x b x a 与的解集相同,则命题p 是命题q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 9.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为()A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 310.若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (sin B －cos A ，cos B －sin A )在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11. 下列关于函数x e x x x f )2()(2-=的判断：①0)(>x f 的解集是{}20<<x x②)2(-f 是极小值，)2(f 是极大值③)(x f 无最小值也无最大值 ④)(x f 有最大值无最小值，其中正确命题的个数为（）A.4B.3C.2D.1 12.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且0)2(=f ，当0>x 时，有0)()(2<-'x x f x f x 恒成立，则不等式xf (x )>0的解集是（ ）A.）（）（2,00,2 -B. ）（）（+∞-,20,2 C. ）（）（2,02, -∞- D. ）（）（+∞-∞-,22,二、填空题（共4小题，每题5分共20分）13.⎰-11(24x -＋2x sinx)d x ＝________.14.2sin50°－3sin20°cos20°＝________15.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b 的值为____________ . 16.已知函数f(x)=522+-ax x 在（-∞，2]是减函数，且对任意的4|)(-(|]1,1[,2121≤+∈x f x f a x x ）总有，则实数a 的取值范围为______________三、解答题（本大题共6小题，共70分。
2024-2025学年安徽省皖豫名校联盟高三(上)联考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年安徽省皖豫名校联盟高三（上）联考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|y =x +1}，B ={x|14<2x <4}，则A ∩B =( )A. (−1,2)B. [−1,2)C. (−2,−1)D. (−2,−1]2.已知直线l 1：a 2x +y +1=0与直线l 2：x−3ay +7=0，则“a =3”是“l 1⊥l 2”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列四个数中最大的是( )A. lg20B. lg (lg20)C. (lg20)2D. 1lg204.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)之间的关系式为P =P 0e −λt (t ≥0)，其中P 0为初始污染物含量，P 0，λ均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4ℎ过滤掉了80%的污染物.如果废气中污染物的含量不超过0.04P 0时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为( )A. 4ℎB. 6ℎC. 8ℎD. 12ℎ5.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )A. f(x)=(x−1x )cosx B. f(x)=(x +1x )sinx C. f(x)=(x +1x )ln |x|D. f(x)=(x +1x )cosx6.已知函数f(x)={x 2−ax +2a,x <−1,1−ln (x +2),x ≥−1在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,0]B. [0,+∞)C. [−2,+∞)D. [−2,0]7.已知函数f(x)=e x−3−e 3−x +x ，则满足f(2m−2)+f(m +1)>6的m 的取值范围是( )A. (3,+∞)B. (32,+∞)C. (13,+∞)D. (73,+∞)8.定义[x]为不超过x 的最大整数，区间[a,b](或(a,b)，[a,b)，(a,b])的长度记为b−a.若关于x 的不等式k[x]>|2[x]−6|的解集对应区间的长度为2，则实数k 的取值范围为( )A. (0,45]B. (12,45]C. (12,1]D. (45,1]二、多选题：本题共3小题，共18分。
2019届安徽省皖东县中联盟高三上学期期末联考数学(理)试题(解析版)
2019届安徽省皖东县中联盟高三上学期期末联考数学(理)试题、单选题1 .已知集合 A {x|2x 4}, B {x|x2 x},则 AU BB. ( ,0)U(1,2)C. (,0)U(1,4) D. R【详解】A {x|x 2},B {x|x 0或x 1}, AU B R .本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法， 并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力.2 .若i 为虚数单位，则1 B. 1 -i本题选择B 选项.【点睛】 本题主要考查复数的除法运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力- 22C :(x 2) (y 2) 4，则实数a 的值为(据此得到关于实数a 的方程4(2) a 2 1 0 ,,0) 【解析】 首先求得集合A,B,然后求解其并集即可.d 1 .A . 1 -iD i +i【解析】由题意结合复数的运算法则分子分母同时乘以 i,然后整理计算即可求得最终结果. 【详解】由复数的运算法则有:1 2i (1 2i)i 2i2i 23.若直线l ：4xay 1 0平分圆7A.-228B.—7C.-D .丝或115 2【解析】由题意可知直线经过圆心,解方程即可确定实数a的值.【详解】当直线经过圆心时平分圆，所以，圆心C( 2,2)在直线l:4x ay 1 0上,所以4 ( 2) a 2 1 0,解得a本题选择A选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是( )A . 45 B. 47 C. 48 D . 63【答案】A【解析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可^【详解】各数据为：12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63,最中间的数为：45,所以，中位数为45.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力5.已知P：双曲线—L 1的离心率为-;q：关于x的方程x2 ax a 2 0 9 16 4(a R)有两个不相等的实数根，贝U下列为假命题的是( )A • ( p) q B. p q C. p q D . ( P) q【答案】C【解析】由双曲线的方程求解双曲线的离心率可知p为假命题，由判别式为正数可知命题q为真命题，然后考查选项中所给的复合命题的真假即可^【详解】 双曲线中, 3,b 4, 所以，c y/a 2 b 2 5，离心率为e —, p 为假命题;3对于命题 q ：(a)2 224(a 2) a 2 4a 8 (a 2)2 4 0,所以万程2 x ax 0 (aR ）有两个不相等的实数根,q 为真命题,考查所给的命题: A. p q 是真命题，B. p q 是真命题，C. p q 是假命题，D.本题选择C 选项. 【点睛】 本题主要考查双曲线的离心率的计算, 兀一次方程根的个数的判定, 复合命题真假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力 6 .若 sin 3 2 3 .................................................. —,且是第二象限角，则 5 cos2019 23 A.- 5 C.【解析】 求得sin 【详解】 sin cos 【点睛】 由题意结合诱导公式首先求得 4 ___ _____…—,取后由诱导公式求解5 cos cos 3 小，…一 一_-,然后结合同角三角函数基本关系52019竺匕的值即可.2 32cos 3 一，cos 5是第三象限角，所以sin2019 2 cos 10083 . 一 sin 2 本题主要考查诱导公式的应用, 同角三角函数基本关系的应用等知识， 意在考查学生的 转化能力和计算求解能力7.若执行如图所示的程序框图, 则输出 S 的值为（）1007100810091010A . -------- B. -------- C. D.2015201720192021【答案】C【解析】首先确7E流程图的功能为计数S1 11 1 ,13 3 5 5 72017 2019值，然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果【详解】1 111由题意结合流程图可知流程图输出结果为S -L ---------------13 3 5 5 72017 2019 Q——1(n 2)n111n(n2)2n(n 2)2n n 2S -1111L1335 5 7201720191 1 211111L11 335572017201911 211009 2019.本题选择C选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：⑴要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.⑵要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题.(3)按照题目的要求完成解答并验证.8.我国南北朝时期的数学著作〈〈张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是( )【答案】C结合题意可确定两个人所得金相差数额绝对值的最小值 【详解】则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是 —斤.78本题选择C 选项.【点睛】 本题主要考查等差数列及其应用，属于基础题9.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（_ 2B.—3【答案】A【详解】且D 是正方体所在棱的中点，所以该几何体的体积u 斤78B.［斤39L 78- 1 D .一斤11【解析】由题意将原问题转化为等差数列的问题，列方程组可得S ,d778设首项为a i,公差为d ,则根据题意可得3a i 3d 4 a 30d4，解得a 1l ，d778【解析】首先由三视图还原所给的几何体为三棱锥,然后结合体积公式求解其体积即可据三视图分析知，该几何体是如图所示的棱长为的正方体被平面解得的三棱锥⑴求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及 直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.C.首先由均值不等式和不等式的性质比较自变量的大小可得11.已知过抛物线C:x 2 2py （p 0）的焦点F 作斜率为寸3的直线交抛物线于 A B33 J3，则抛物线C 的方程是（ ）【点睛】10.已知函数f(x)a 0, b0, 2,2a b 丁 ,q ,r f （ab ）,则下列关系式中正确的【解析】 22【详解】因为a 0,b0 :22a b ab 2222abm a2a bab，然后结合函数区间（0,）上单调递增比较p,q,r 的大小即可.又因为函数f （x ）2a 2 2b 2 4a 2b 2 2ab4b 2x 2e x 在区间（0,）上单调递增,所以 f(ab) < f本题主要考查函数的单调性,两点，分别过点 A B 作x 轴的垂线，垂足分别为A, B i ,若四边形AA 1B 1B 的面积是22,2a b设A(x〔, y i), Bg, y2)，则x1 X22、3p, x〔x23所以y i 所以x2y2x i \(x i x2)2(x i x2)(y i y2) x2所以抛物线C的方程为4x1x24 2 23p 4p4.3x i23p53p5p3 i03、一30-^y-【答案】B B. x2 迥y C. x2 4y52D • x23.6 T y【解析】由题意，联立直线方程与抛物线方程可得 22、3 2x ------ px p0 ,结合韦达定理有x1 x22.3-3- p,伞22______________ , 1 , 、—p .则四边形的面积为一（y i y2） x2 X ,据此得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程【详解】据题意，得直线AB的方程为y技x卫由3 2 、3x 3本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线方程的求解，韦达定理的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力3 _ _x 3x t, x 022|X1|七0有且只有3个零点，则实数t的取值范围是A. ( 2,0]B.(0,2)C. (2,4) D . ( 2,4)【点睛】【答案】C【解析】由题意可得t3x 3x, x 0-,，由题意可知函数y t的图象与函数2 x 112 ，'， x 03x 3x, x 0八. 的图象有且只有三个交点，据此确定实数2 x 12 I \ x 0t的取值范围即可【详解】x3 3x, x 0 x3 3x, x 0』，作出函数y 八、的图象，据题设分2 x 1 2x12 1', x 0 2 11, x 0析可知，函数y t的图象与函数yx3 3x, x 0_i " 的图象有且只有三个交点，则实2 x 12 1 ', x 0数t的取值范围是（2,4）.12 .已知函数f (x)( )本题主要考查分段函数的零点问题， 等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【答案】_!54【解析】由题意利用向量夹角公式首先求得向量夹角的余弦值cosa, V -V-a然后结合同角三角函数基本关系求解其正弦值即可 ^【详解】r v 2a b 16，1 . v v 15 —,sin a, b4 4 -同角三角函数基本关系及其应用等知识， 意在考查学生x 14x y 2 0,则4x 8y 1的最小值是 2x y 2 0【答案】431【解析】首先圆出可行域，由几何意义可知当z 取得最小值时，直线系方程y — x k2的截距最大, 即目标函数在点 C 处取得最小值，求得点 C 的坐标，代入目标函数求解其最小值即可 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，11 z 目标函数z 4x 8y 1即y 1x 1 -28 8’1 .v vr v 13.已知a 2, b3, a b一，-r . v .一一、，，•4,则向量a 与夹角的正弦值为r V 2 「2r v v 2a ba2a b b 13v vr v3vv a ba b cosa,bv-2同b【点睛】本题主要考查平面向量的夹角， 的转化能力和计算求解能力 .、填空题由几何怠乂可知当z取碍取小值时，直线系万程y - x k的截距最大，则目标函数在点C处取得最小值,联立直线方程：，可得点C的坐标为：1,6 ,4x y 2 0据此可知目标函数的最小值为： 4 1 8 6 1 43.故答案为-43.【点睛】求线性目标函数z= ax+ by（ab乒0的最值，当b>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当bv 0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.615 . 1 x 2 的展开式中的常数项为 .x【答案】76【解析】由题意首先写出展开式的通项公式C：C；x a x b y c n x y,然后结合所给的式子求解其常数项即可.【详解】x y xy n x y二项式（a b c）n展开式的通项公式为C n C"x a b y c y,1所以 1 x 2 的展开式中的常数项为：x12326 C 1C 1 11 24 C 2C2 1 2 22 C3 132 C 6C 5 — ( X) 2C 6C 4 —( X) 2 C 6 —( x)XXX64 480 360 2076.【点睛】(1) 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成： 第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和r 的隐含条件，即n, r 均为非负整数，且 n 洋，如常数项指数为零、有理项指数为整数等 )；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.(2) 求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 16 .在锐角 ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 所对的边， ABC 的面积S 2 ,且满足acosB b 1 cosA ，贝U c a b c b a 的取值范围是 .【答案】8、2 8,8【解析】 在锐角△ ABC 中，a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边，满足acosB=b(1+cosA),sinAcosB=sinB+sinBcosA,sin(A- B)=sinB, . .A-B=B ，即 A=2B< 方,..BE (0, -),/. A+B=3B> —B> —6Q — C —S -absinC22C8 2sin — 2sin cos2 2242 ab ----------sinC2222,2a c (a b) cab 2ab8 .. 一2abcosC 2ab --------- (1 cosC)4 2.2 1 tan C2c a b c b a (8J2 18)，故选 A三、解答题17 .已知公比为4的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S 4 85.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求数列｛( n 1)a n ｝的前n 项和T n.【答案】(1) a n 4n I , n N* ； (2) T n【解析】(1)设公比为q,运用等比数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到所求 通项公式;n 1(2)求得(n 1)a n (n 1) 4,由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公 式，化简可得所求和. 【详解】(1)设公比q 为4的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S 4 85 ,则 a n 4n 1 , n N * ； n 1 (2) (n 1)a n (n 1) 4,前 n 项和 T n 0 1 4 2 42 3 43 (n 1) 4n 1 , 4T n 0 1 42 2 43 3 44(n 1) 4n ,两式相减可得3T n 4 42 43 4n1 (n 1)4n4(1 4n 1)(n 1) 4n ,【点睛】力，属于中档题.18 .已知在 ABC 中，角A, B , C 的对边分别为a ，b , c,bsin BtanC bcosB asin AtanC acosA .(1) 求证：A B ;3 一(2) 若 C J 3 , cosC —,求 ABC 的周长.4I 4化简可得T n 4 (3n 4) 4n4 (3n 4) 4n9可得a 1(1 4)85，解得a 〔1 41,本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用、数列的错位相减法， 考查化简运算能【答案】(1)证明见解析；(2) 2姻73【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求sin(A B) 0,可得A B k (k Z),结合范围A, B (0,)，即可得证A B •(2)由(1)可得a b ,进而根据余弦定理可求a b J6 ,即可求解ABC的周长.【详解】(1)Q bsin BtanC bcosB asin AtanC acosA ,bsin Bsin C asin AsinC------------ bcosB ----------------- acosA,cosC cosCbsin BsinC bcosBcosC asinAsinC acosAcosC ,acos(A C) bcos(B C),又QA B C ,acosB bcosA , sin AcosB sin BcosA ,sin(A B) 0 , A B k (k Z),又QA, B (0, ), A B .(2)Q由(1)可知A B ,可得a b,3又Q c 3 , cosC —, 43a2 a2(、、3)2 2a2 3—- ~~2~，42a a 2aa2 b2 6,可得a b 76,••• ABC的周长a b c 246后【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意三角函数求值时，要先写出角的范围.19 .微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友内也有大量好友参与了微信运动”，他随机选取了其中的40人(男、女各20人)，记录了他们某一天的走路步数，(1)已知某人一天的走路步数超过 8000步被系统评定为 积极型”，否则为 懈怠型根据题意完成下面的 2X2列联表，并据此判断能否有 95%以上的把握认为 评定类型(2)若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过 5000步的有X 人，超过10000步的有丫人，设E= |X - Y|,求E 的分布列及数学期望.2n ad bc ..-------------------------- ,n = a+b+c+d. a b c d a c b d【答案】(1)列联表见解析，没有 95%以上的把握认为 评定类型”与 性别”有关；(2)5分布列见解析，E ( &—附：K 28【解析】(1)根据题设数据完成列联表，代入公式计算即得解；(2) E 可能的取值为0, 1, 2,根据独立和互斥事件的概率公式求解对应的概率得到分 布列，计算期望，即得解.【详解】(1)根据题表中的数据完成 2 X2列表如下：没有95%以上的把握认为 评定类型”与 性别”有关.1(2)由题意得小王的微信好友中任选一人，其每日走路频数不超过5000步的概率为-，8………，1超过10000步的概率为-4E 的分布列为:X = Y= 0 或 X= Y= 1 时，A 0, (E= 0)§ 5 C 2 8 8 1 1 29一 一—,8 4 64X = 1, Y= 0 或 X = 0, Y= 1 时，E= 1, (E= 1)C 11 5 C2 ——8 8k 1 5 30C2 —— 4 8 64 X = 2, Y= 0 或 X = 0, Y= 2 时，E= 2, (E= 2)(1)2 (1)2 485 64P P P 2 o n ad bc 240 14 12 6 8 4029 30E ( E) 0——1—— 64 64【点睛】考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于20 .如图，矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面,EP 启 BP 2,AD AE 1, AE EP,AE //BP,G,F 分别是 BP,BC 的中点.(1) 求证：平面AFG//平面PCE ; (2) 求二面角D BE A 的正切值.【答案】(1)见解析；(2)匹3【解析】(1)由几何关系可知四边形 AEPG 是平行四边形，贝U AG//EP .由线面平 行的判定定理可得 AG//平面PCE •由中位线的性质可知 FG//PC ，则FG//面PCE 利用面面平行的判定定理即可证得平面 AFG//平面PCE .(2)以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，计算可得平面 BDE 的一个法向量n J3,2,J3 .而平面ABE 的一个法向量为 估 0,0,1 .据此可得 cosm, n 乂30 ,然后结合同角三角函数基本关系求解二面角D BE A 的正切值即10可. 【详解】(1)因为G 是BP 的中点，BP 2,所以PG - BP 1 .2又因为 AE 1, AE//BP ，所以 AE//PG ，且 AE PG , 所以四边形 AEPG 是平行四边形，所以 AG//EP . 又因为AG 平面PCE, EP 平面PCE ，所以AG//平面PCE .2 -A 5 64 8本题考查了统计和概率综合,2因为G 、F 分别是BP 、BC 的中点，所以FG//PC . 又因为PC 平面PCE,FG 平面PCE,所以FG//面PCEG, AG 平面AFG, FG 平面AFG ，所以平面 AFG//平面PCE.(2)以A 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则易知平面ABE 的一个法向量为的转化能力和计算求解能力10)的离心率为一，短轴长为2 J3 .又因为AG FGE 1,0,0 ,D 0,0,1 ,B1,73,0 , uuiv所以EDuuv 1,0,1 ,EB2,J3,0 .设平面BDE的一个法向量为x, y, z ,则uui vvuuvn EB2x J3y 0得 y 2, z73,所以cosm^v,35 10又因为二面角D BE A 的平面角为锐角，所以二面角 D BE A 的正切值本题主要考查面面平行的判定定理,空间向量处理面面角的方法等知识， 意在考查学生<70 ；3DflE【点睛】(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 的左焦点为F l,过点F l 的直线l 与椭圆C 交于D, E 两点，则在X 轴上是否存在一个定点 M 使得直线MD, ME 的斜率互为相反数？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，也请说明理由.22【答案】(1)工七1 ； (2)见解析4 32b 2、一3 c 1.................... ... 一 …【解析】(1)据题意，得 一 一，求解方程组确定a,b 的值即可求得椭圆方程;a 222, 2cab(2)据题设知点F 1 1,0，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y k x 1 .与足题意，则k ME k MD 0 ,结合韦达定理求解实数 m 的值即可；然后讨论斜率不存在的情况即可确定定点 M 存在.【详解】2b 2 .3(1)据题意，得 C -a 222,2cab22解碍a 4,b3,y 2,y 1椭圆方程联立，结合韦达定理有x , x 22.. 2——2 X<X 2 ---------------------- 2 ------- -- 假设存在点 M满4k 3 4k 3(2)据题设知点F 11,0 ， 当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y k x 1 .y k x 1由 x 2 * 4y 2 ，得— — 14k 2_ 2 2 -8k x 4k 12设 E x 〔，y 〔 ,D X2N2，则x 2尧，为x 2 4k 34k 2 12 4k 2 3设M m,0，贝U直线MD,ME的斜率分别满足k MD L^X MEx2 m x1 m又因为直线MD, ME的斜率互为相反数,所以k ME 1k Y I Y2x2Y1X I Y2m Y1 Y2MDx1 m x2m x1 m x2m所以m Y I Y20,所以x2k x1 1x1k x2 1m k x11k x210 ,所以2kx1x2k x1 x2m k x1x22k0,0,所以24k212 :2k 2-------- k8k23k 24k28k232k m 4 0对任意k R恒成立，则4,当直线l的斜率k不存在时, 4, 则点M 4,0满足直线MD , ME的斜率互为相反数.综上，在x轴上存在一个定点M4,0 ,使得直线MD,ME的斜率互为相反数.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意(1)注意观察应用题设中的每一个条件, 明确确定直线、椭圆的条件;(2)强化有关直线与椭圆联立得出一儿次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22 .定义：若函数f (x)的导函数f (x)是奇函数(f (x) f (x) 0 ),则称函数f (x)1 _是双奇函数”.函数f(x) x(x a) — (x R).x........ (1)(2)假设g(x) f (x) 2 1lnx. 2(i)在(1)的条件下，讨论函数g(x)的单调性;(ii)若 a R，讨论函数g(x)的极值点.(1) 0; (2) (i)见解析；(ii)见解析【解析】(1)由题意结合奴奇函数”的定义可知2 x任意x R且x 0成立, 据此计算实数a的值即可;导函数的符号讨论函数的单调性即可;a J/ 4据此结合函数的单调性讨论函数的极值即可,4【详解】(1)因为f x x x又因为函数f x x x212a —，x1 a2x所以f x 2x a —. x是双奇函数”，2所以2 x a 32x a—0对任意x R且x 0成立,所以2a0 ,解得a 0.故函数g x 在区间1 .............. .. ,、-, 上单调递增，在区间20《上单调递减.(ii) g x 】lnx2(x 0 且x当a 0时,2x ax郭x,g x 2x 12x4x2 2ax 12x(2) (i)由题意结合(1)的结论可知g x 1lnx, 2 c 1 12 x x由函数的解析式可知当a 0时, ax 1lnx,g x 4x1 2 * 2ax 12xax 0时，gax 1Inx, x21 . clnx,0a,,据此分段讨论函数的极值的情况由(1)1xx a l1lnx x x a1lnxx x a220,则g x 2 x 1 . ―-lnx ,所以2(x 0,且x a).求解知，ag x f增，函数g x 在区间a,上不存在极值点;x x i ,时，g一2, 2 1 4x 2 ax 1a 一 ---------------------2x 2x———-,不存在极大值点.4令g x 0,则 x 1■a 24a 招 3 4 （舍去）.44分析知，当 x 0,x 1 时， g x 0;当 x x 〔， 时,g x 0,所以g x 在0,x 〔上单调递减，在 x ， 上单调递增，g x 的极小值点不存在极大值点.所以 a a 2 4 x ---------------- 4 0时，g a 时，gx i a .a 2 44 ,x 2o1序 ax -lnx, 21 . c ax —lnx,0 24x 22x2ax 1 x a,x 0,得x 0,所以g x 在a,上单调递共 a .a 2 4 行 ---------------4，即—20 ,则当x a,x i 时，g 0；当所以g x 在 a,x上单调递减,x i ,上单调递增，所以函数 x 在区间0,得 0,即24x 2 2ax 1a 0 时，g x 0, a 上不存在极值点;、.20,记 4a 16(a 0).0,所以g x 在0, a 上单调递减，函数g x0,即a2时，则由g x0,得a,上存在一个极小值点xa 时, g x 2xa a 4 a .a 4X 3 ----------------------------- X ------------------------------------ ,0 X 3 X 4a -44分析知，当 x 0,X 3 时，g x 0；当 x X 3* 时，g x 0；当 x X 4, a时，g x 0,所以g x 在0,x 3上单调递减，在 x 3,x 4上单调递增，在 x 4, a 上单调递减,值点..............a W 时，函数g x 无极值点;2【点睛】 导数是研究函数的单调性、极值 （最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： （1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. ⑶利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优 化问题.（4）考查数所以当a2时，函数g x 存在两个极值点.a 2时，函数g x 存在两个极值点，且极小值点a极大4寸2时，函数g x 的极小值点x2无极大值点.形结合思想的应用.2 ,2a b------- ，即r < q < p .2【点睛】均值不等式比较代数式的大小等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力2 221 .已知椭圆C :% 土 1(a a2 b22 2所以椭圆C的标准方程为—匕4 3。
2019届安徽省皖中名校联盟高三10月联考数学(文)试题(解析版)
2019届安徽省皖中名校联盟高三10月联考数学（文）试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】,所以,故选.2.复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】由题意可得：，据此可知，复数z的虚部为.本题选择D选项.【点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．3.已知，且是第四象限角，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求得的值，然后结合两角和差正余弦公式求解的值即可.【详解】由同角三角函数基本关系可得：，结合两角差的正弦公式可得：.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，两角差的正弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知命题函数在定义域上为减函数，命题在中，若，则，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先确定命题p,q的真假，然后逐一考查所给的选项的真假即可.【详解】函数在定义域上不是单调函数，命题p为假命题；在中，当时，满足，但是不满足，命题q为假命题；据此逐一考查所给命题的真假：A.为假命题；B.为真命题；C.为假命题；D.为假命题；本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，复合命题真假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.设满足约束条件则的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】首先绘制不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义求解其最值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最小值，目标函数的最小值为：.本题选择C选项.【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...学|科|网...6.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合指数函数的性质和对数函数的性质比较a,b,c 的大小即可.【详解】由指数函数的性质可知：，，由对数函数的性质可知，据此可得：.本题选择D 选项.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．7.在中，内角的对边分别为，，，，则（ ）A.B.C. 4D.【答案】B 【解析】 【分析】首先求得外接圆半径，然后结合合分比的性质求解的值即可.【详解】由三角形面积公式可得：，即，解得：，结合余弦定理可得：，则由正弦定理有：，结合合分比定理可得： .本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 8B. 16C. 24D. 48【答案】B【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构，然后结合利用体积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】如图所示，在棱长为4的正方体中，题中的三视图对应的几何体为四棱锥，四棱锥的底面积，该几何体的体积.本题选择B选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9.在中，点是上一点，且，为上一点，向量，则的最小值为（）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】由题意结合三点共线的性质首先得到的关系，然后结合均值不等式的结论求解的最小值即可.【详解】由题意可知：，其中B,P,D三点共线，由三点共线的充分必要条件可得：，则：，当且仅当时等号成立，即的最小值为16.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.已知函数，则在的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数的单调性确定函数的图象即可.【详解】由于函数为偶函数，故其图像关于轴对称，选项AB错误；且：，，据此可知：，选项D错误；本题选择C选项.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．11.已知直线与曲线相切，其中为自然对数的底数，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用导数研究函数的切线性质即可.【详解】由函数的解析式可得：，设切点坐标为，由题意可得：，解得：，据此可得实数的值为1.本题选择A选项.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.12.已知函数，则函数的零点个数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得满足题意的的值，然后结合函数的图象确定函数零点的个数即可.【详解】由可得：或，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在处有极小值，绘制函数的图象如图所示，观察可得，函数的零点个数为3.本题选择B选项.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第П卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13.命题“”的否定是__________；【答案】【解析】因为命题“”的否定是“”所以命题“”的否定是14.已知数列满足：，且，则_____________；【答案】 【解析】 【分析】由题意首先确定数列为周期数列，然后求解的值即可.【详解】由可得：，结合有：，，，则数列是周期为3的数列，则.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．15.已知向量满足，，，则向量在向量上的投影为_________；【答案】 【解析】同理设向量，的夹角为 则向量在向量上的投影为即答案为-1.16.函数的图象和函数且的图象关于直线对称，且函数，则函数图象必过定点___________。
精品解析：安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考数学(理)试题(解析版)
皖中名校联盟2019届高三10月联考数学试题卷（理科）命题学校：六安一中命题人：陈辰卫根柱柏世松考试说明：1.考查范围：集合与逻辑，函数与基本初等函数，导数与定积分，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列（少量）。
2.试卷结构：分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)；试卷分值:150分，考试时间:120分钟3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。
考试结束后只交答题卷。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.命题“4,0x R x x ∀∈+≥”的否定是（）A.4,0x R x x ∀∈+< B.4,0x R x x ∀∈+≤C.4000,0x R x x ∃∈+≥ D.4000,0x R x x ∃∈+<【答案】D 【解析】【分析】利用全称命题的否定的规则写出其否定即可.【详解】命题的否定为：0x R ∃∈，4000x x +<，故选D.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.2.已知2{|430},{|P x x x Q y y =-+<==，则P Q = （）A.[0,1)B.[0,2)C.(1,2]D.(1,2)【答案】D 【解析】【分析】计算两个集合后可以得到它们的交集.【详解】()1,3P =，[)0,2Q =，故()1,2P Q ⋂=，选D.【点睛】一般地，在考虑集合的交、并、补时，要认清集合中元素的含义，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.3.由曲线3,y x y ==）A.512 B.13C.14D.12【答案】A 【解析】【分析】先计算出两个图像的交点分别为()()0,01,1,，再利用定积分算两个图形围成的面积.【详解】封闭图形的面积为)1331412000215||3412x dx x x =-=⎰.选A .【点睛】本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.4.已知向量AB 与AC的夹角为3π，()2,3,,AB AC AM AB AC R λμλμ===+∈ ，且AM BC ⊥ ，则λμ=（）A.16B.6C.14D.4【答案】B 【解析】【分析】利用0AM BC =得到,λμ的关系后可得6λμ=.【详解】由题设有0AM BC =，故()()·0AB AC AC AB λμ+-= ，整理得：()4930λμλμ-++-=即6λμ=，6λμ=，选B.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用a =；（2）计算角，·cos ,a b a b a b= .特别地，两个非零向量,a b 垂直的充要条件是0a b =.5.设函数21()1xxf x e e x -=+-+，则使得(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是（）A.(,1)-∞ B.(1,)+∞ C.1(,1)3- D.1(,(1,)3-∞-+∞U 【答案】D 【解析】【分析】()f x 为R 上的偶函数，利用导数可判断出()f x 在[)0,+∞上为增函数，从而得到21x x >+，两边平方后解一元二次不等式可得x 的取值范围.【详解】()211xx f x ee x --=+-+，所以()()f x f x -=，()f x 为R 上的偶函数，又()()222'1x xxf x e e x-=-++，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在[)0,+∞上为增函数.因()()()()22,11f x fx f x f x =+=+，由()()21f x f x >+得到21x x >+，故23210x x -->，13x <-或1x >，选D.【点睛】已知函数值的大小，考虑自变量的大小关系时，应该考虑函数的单调性，该性质可以通过导数或基本初等函数的单调性得到，注意利用函数的奇偶性讨论一侧的单调性即可.6.“0a ≥”是“函数()(1)f x ax x =+在区间(0,)+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先考虑当0a ≥时，()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增是成立的.再考虑()()1f x ax x =+在()0,∞+上的单调性，需要分0a =，0a <，0a >三种情形讨论，两者结合可判断两个命题之间的关系.【详解】若0a ≥，则当0x >时，()2f x ax x =+，当0a =时，()f x x =在()0,∞+上单调递增；当0a >时，对称轴102x a=-<，故()2f x ax x =+在()0,∞+上单调递增.所以“0a ≥”是“()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增”的充分条件.若()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增，当0a =时，()f x x =在()0,∞+上单调递增，符合；当0a >时，对称轴102x a=-<，故()2f x ax x =+在()0,∞+上单调递增，符合；当0a <时，()221,01,ax x x af x ax x x a ⎧+<<-⎪⎪=⎨⎪--≥-⎪⎩，当112x a a -<<-时，()f x 为减函数，舍去.故“0a ≥”是“()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增”的必要条件所以“0a ≥”是“()()1f x ax x =+在()0,∞+上单调递增”的充分必要条件.选C .【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.7.已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，给出以下结论：①100a =；②10S 最小；③712S S =；④190S =．其中一定正确的结论是（）A.①② B.①③④C.①③D.①②④【答案】B 【解析】【分析】先由13623a a S +=得到100a =，再利用等差数列性质得到712S S =，190S =，故正确的结论为①③④.【详解】设等差数列的公差为d ，则111236615a a d a d ++=+，故190a d +=即100a =.①正确.若10,0a d ><，则910S S =且它们为n S 的最大值，②错误.127891*********S S a a a a a a -=++++==，故712S S =，③正确.1910190S a ==，故④正确，综上选B .【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=-；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.8.函数4lg x x y x=的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】函数y=4lg x x x是偶函数，排除B．当x=10时，y=1000，对应点在x 轴上方，排除A，当x ＞0时，y=x 3lgx，y′=3x 2lgx +x 2lge ，可知x=1e是函数的一个极值点，排除C．故选：D．9.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列判断正确的是（）A.要得到函数()f x 的图象只将2y x =的图象向右平移6π个单位B.函数()f x 的图象关于直线512x π=对称C.当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为D.函数()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】A 【解析】【分析】利用题设中的图像特征求出函数的解析式后可判断出A 是正确的.【详解】因为()f x 的最大值为A =，又图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，故22T π=即2ω=，所以()()2f x x φ=+，令12x π=-，则6k πφπ-+=即,6k k Z πφπ=+∈，因2πφ<，故6πφ=，()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.222266y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+==++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故向右平移6π个单位后可以得到()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确；5501266f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数图像的对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，故B 错；当66x ππ-≤≤时，2662x πππ-≤+≤，故()min 12f x =-，故C 错；当63x ππ≤≤时，52266x πππ≤+≤，()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，故D 错.综上，选A .【点睛】已知()sin y A x ωφ=+的图像，求其解析式时可遵循“两看一算”，“两看”指从图像上看出振幅和周期，“一算”指利用最高点或最低点的坐标计算φ.而()sin y A x ωφ=+性质的讨论，则需要利用复合函数的讨论方法把性质归结为sin y x =的相应的性质来处理（把x ωφ+看成一个整体）.10.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，当01x <<时，()21xf x =-，则2(log 9)f =（）A.79-B.8C.10-D.259-【答案】A 【解析】【分析】先利用()()2f x f x +=-得到()()2f x f x +=-，从而得到图像的对称轴为1x =，再次利用()()2f x f x +=-把函数值的计算归结为29log 4f ⎛⎫⎪⎝⎭，最后利用对称轴为1x =把函数值的计算归结为216log 9216log 219f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【详解】()()()2f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图像的对称轴为1x =，()229log 9log 4f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因291log 24<<，故2229916log 2log log 449f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中2160log 19<<，所以216log 92167log 2199f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故()27log 99f =-.选A .【点睛】一般地，如果奇函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，则()f x 的周期为2a 且()f x 图像有对称轴2ax =.不在给定范围上的自变量的函数值的计算，应根据给定的关系式（必要时利用周期性和对称性转化）把要求的值转化到给定的区间上的自变量的函数值.11.设函数121,1(),4,1x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若互不相等的实数,,p q r 满足()()(),f p f q f r ==则222p q r ++的取值范围是（）A.(8,16)B.(9,17)C.(9,16)D.1735(,)22【答案】B 【解析】【分析】设p q r <<，画出函数的图像，由图像可得()3,4r ∈且112121p q ++-=-，故221p q +=，所以()222129,17p q r r ++=+∈.【详解】不妨设p q r <<，()f x的图像如图所示，令()()()f p f q f r m ===，则1121214p q r m ++-=-=-=，故112121p q ++-=-或112121p q ++-=-+且01m <<，所以p q =（舎）或11222p q +++=即221p q +=且34r <<，故()222129,17pqrr++=+∈，故选B.【点睛】本题考察方程的解（()f x m =有三个不同的解）.这类问题可以根据函数()f x 的图像与动直线y m =的关系得到不同交点的横坐标的关系式或范围，进而简化目标代数式并求其范围.12.已知2()f x x ax b =++，集合{|()0}A x f x =≤，集合{|[()]3}B x f f x =≤，若A B =≠∅，则实数a 的取值范围是（）A.[6,2]-B.C.[2,-D.[6,--【答案】B 【解析】【分析】可设{}01|A x x x x =≤≤，()t f x =，则204a b t -≤≤，再根据A B =可得2,04a b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为()3f t ≤的解集的子集且0t =为方程()3f t =的解，从而得到,a b 满足的条件后解不等式可得a 的取值范围.【详解】因为A φ≠，故设{}01|A x x x x =≤≤，此时()204a b f x -≤≤，令()t f x =，则()3f t ≤的解00t t ≤≤，其中2004a t b ≤-≤故0,0t t t ==为23t at b ++=的两个根，故030t a b =-⎧⎨-=⎩，所以2304a a -≤-≤，解得6a ≤≤，故选B.【点睛】本题以集合为载体考查一元二次不等式的解.解题时应令()t f x =把高次不等式转化为一元二次不等式()3f t ≤，注意利用A B φ=≠得到()3f t ≤的解集包含了2,04a b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦且0t =为方程()3f t =的解.第П卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13.已知平面向量,a b 满足2,1,2a b a b ==+= ，则a b rr 与的夹角为___________．【答案】3π【解析】【分析】对2a b += 1a b = ，故可得两向量夹角的大小．【详解】由2a b += 224·412a a b b ++= ，所以1a b = ，所以21cos ,1a b ⨯⨯=，故1cos ,2a b = ，因[],0,a b π∈ ，故,3a b π=r r ．填3π．【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用a =；（2）计算角，·cos ,a b a b a b= .特别地，两个非零向量,a b垂直的充要条件是0a b =.14.函数()y f x =的图象和函数log (0a y x a =>且1)a ≠的图象关于直线y x =-对称，且函数()(1)3g x f x =--，则函数()y g x =图象必过定点___________。
安徽省皖中名校联盟2019届高三数学10月联考试题理
皖中名校联盟2019届高三10月联考数学试题卷（理科）考试说明：1.考查范围：集合与逻辑，函数与基本初等函数，导数与定积分，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列（少量）。
2.试卷结构：分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)；试卷分值:150分，考试时间:120分钟。
3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。
考试结束后只交答题卷。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．命题“0||,4≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ） A ．0||,4<+∈∀x x R xB ．0||,4≤+∈∀x x R xC ．0||,4000≥+∈∃x x R xD ．0||,4000<+∈∃x x R x2．已知}24|{},034|{2x y y Q x x x P -==<+-=，则=Q P （ ）A ．)1,0[B ．)2,0[C ．]2,1(D ．)2,1(3．由曲线x y x y ==,3围成的封闭图形的面积为（ ）A ．125B ．31C ．41 D ．21 4．已知向量AB 与AC 的夹角为3π，),(,3||,2||R ∈+===μλμλ，且⊥，则=μλ（ ） A ．61B ．6C ．41 D ．45．设函数11)(2+-+=-x e e x f xx ，则使得)1()2(+>x f x f 成立的x 的取值范围是（ ） A ．)1,(-∞B ．),1(+∞C ．)1,31(-D ．),1()31,(+∞--∞6．“0≥a ”是“函数|)1(|)(x ax x f +=在区间),0(+∞上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知数列}{n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且63132S a a =+，给出以下结论：①010=a ；②最小10S ；③127S S =；④019=S ． 其中一定正确的结论是（ ） A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④8．函数||||ln 4x x x y =的图象大致是（ ）9．已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且)(x f 的图象关于点)0,12(π-对称，则下列判断正确的是（ ）A ．要得到函数)(x f 的图象，只需将x y 2cos 2=的图象向右平移6π个单位B ．函数)(x f 的图象关于直线π125=x 对称 C ．当]6,6[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为2- D ．函数)(x f 在]3,6[ππ上单调递增 10．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，当10<<x 时，12)(-=xx f ，则=)9(log 2f （ ） A ．97-B ．8C ．10-D ．925-11．设函数,1,41|,12|)(1⎩⎨⎧>-≤-=+x x x x f x 若互不相等的实数r q p ,,满足),()()(r f q f p f ==则r q p 222++的取值范围是（ ）A ．)16,8(B ．)17,9(C ．)16,9(D ．)235,217(12．已知b ax x x f ++=2)(，集合}0)(|{≤=x f x A ，集合}3)]([|{≤=x f f x B ，若∅≠=B A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]2,6[-B ．]6,32[C ．]32,2[-D ．]32,6[--第П卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13．已知平面向量b a ,满足32|2|,1||,2||=+==b a b a ，则b a 与的夹角为___________．14．函数)(x f y =的图象和函数0(log >=a x y a 且)1≠a 的图象关于直线x y -=对称，且函数3)1()(--=x f x g ，则函数)(x g y =的图象必过定点___________． 15．=︒-︒+︒-︒︒⋅︒)5.7cos 5.7(sin 35.7tan 15tan 15tan 5.7tan 22___________．16．若直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是曲线x e y =的切线，则=b ___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． 17．（本小题满分10分）已知0>m ，命题:p 函数)2(log )(mx x f m -=在]1,0[上单调递减，命题:q 不等式1||>-+m x x 的解集为R ，若q p ∧为假命题，q p ∨为真命题，求m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的公差为2，且1,1,1421---a a a 成等比数列．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b (*N n ∈)，n S 是数列}{n b 的前n 项和，求使152<n S 成立的最大正整数n ．19．（本小题满分12分）ABC ∆中，c b a ,,分别是内角C B A ,,所对的边，且满足02cos cos =+-+cb a C B ． （1）求角C 的值；（2）若2=b ，AB 边上的中线3=CD ，求ABC ∆的面积．20．（本小题满分12分）已知函数a xax x f 21)(-+=，当]3,1[∈x 时，)(x f 的最小值为0． （1）求a 的值；（2）若0>a ，不等式02)2(≥⋅-xxk f 在区间]1,1[-上有解，求k 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数x axxx f ln 1)(+-=． （1）若0)(≥x f 对0>∀x 恒成立，求a 的值； （2）求证：2221...3221)1ln(nn n -+++>+（*N n ∈）．22．（本小题满分12分）已知函数2)1()(ax e x x f x--=． （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若函数)(x f 有两个零点分别记为21,x x ． ①求a 的取值范围； ②求证：0)2(21<+'x x f ．皖中名校联盟2019届高三10月联考 数学试题卷（理科）参考答案一、选择题二、填空题 13．3π 14．)4,1(- 15．2-16．0或1三、解答题17．解：命题:p 令mx x u -=2)( )(x u 在]1,0[∈x 上单减 1>∴m又0)(>x u 02)1()(min >-==∴m u x u 21<<∴m ………3分 命题:q ⎩⎨⎧<≥-=-+mx m mx m x m x x ,,2||1||>-+m x x 的解集为R ∴只需1|)|(min >=-+m m x x ………6分q p ∧ 为假命题，q p ∨为真命题 ∴p 、q 一真一假（1）若p 真q 假，则无解m m m m ∴⎪⎩⎪⎨⎧>≤<<0121 （2）若p 假q 真，则20121≥∴⎪⎩⎪⎨⎧>>≥≤m m m m m 或 综上所述，),2[+∞∈m . ………10分18．解：（1）由题意知，)1)(1()1(4122--=-a a a 即)5)(1()1(1121+-=+a a a 解得31=a故12+=n a n ，*N n ∈………5分（2）由)321121(21)32)(12(1+-+=++=n n n n b n得n n a a a a S ++++=...321 )321121...71515131(21+-+++-+-=n n )32131(21+-=n )32(3+=n n 由152)32(3<+n n解得6<n故所求的最大正整数n 为5. ………12分 19．解：（1）02cos cos =+-+cba C B由正弦定理得0sin sin sin 2cos cos =+-+CB AC B 即0)sin sin 2(cos sin cos =+-⋅+⋅B A C C B 从而0cos sin 2)sin(=⋅-+C A C B 即0cos sin 2sin =⋅-C A A 又ABC ∆中，0sin >A 故21cos =C 得3π=C .………6分（2）由)(21CB CA CD +=得)60cos 222(41322︒⋅⋅⋅++=a a从而2=a 或a=)(4舍-故360sin 2221sin 21=︒⨯⨯⨯=⋅=∆C ab S ABC .………12分 20．解：（1）22211)(xax x a x f -=-=' 31≤≤x 912≤≤∴x①当91≤a 时，0)(≤'x f 恒成立，)(x f 在[]3,1上单减 02313)3()(min =-+==∴a a f x f 31-=∴a②当191<<a 时，)(,0)(,)1,1[x f x f a x <'∈时单减；)(,0)(,]3,1(x f x f ax >'∈时单增 02)1()(min =-+==∴a a a af x f 0=-∴a a 0=∴a （舍）或1=a （舍）③当1≥a 时，0)(≥'x f 恒成立，)(x f 在]3,1[上单增021)1()(min =-+==∴a a f x f 1=∴a综上所述：131=-=a a 或. ………6分（2）由（1）可知：21)(,1-+==xx x f a 0222122)2(≥⋅--+=⋅-xx xx x k k f ，122)2(2+-1≤x x k 要使不等式在]1,1[-上有解，则只需max 2]122)2[(+-1≤x x k令12122)21(),221(2122+-=+-≤≤=t t t t x x x ，其最大值为1，1≤∴k . (12)分21. 解：（1）22222211)1()(xa x x a ax a x x a x a ax x f -=-=+---='①当0<a 时，0)(>'x f 恒成立，)(x f 在),0(+∞上单增 0)1()(,)1,0(=<∈∴f x f x 时当，不满足题意②当0>a 时，单减时)(,0)(,)1,0(x f x f a x <'∈；单增时)(,0)(,),1(x f x f ax >'+∞∈ 0ln 11)1()(min ≥--==∴a aaf x f 令a a ag ln 11)(--=，则22111)(aaa a a g -=-='单增时)(,0)(,)1,0(a g a g a >'∈；单减时)(,0)(,),1(a g a g a <'+∞∈0)1()(=≤∴g a g ∴由0ln 11≥--a a解得1=a . ………6分 （2）由（1）：取等号）当且仅当1(11ln =-≥x xx令)(11*∈>+=N n nn x ，则有111ln +>+n n n122->n n 21111ln n n n n n ->+>+∴ 21ln )1ln(nn n n ->-+∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-+>->-∴2221ln )1ln(212ln 3ln 101ln 2ln n n n n 累加得*)(1...3221)1ln(222N n nn n ∈-+++>+，原命题得证. ………12分 22. 解：（1）)2(2)1()(a e x ax e x e x f x x x -=--+='（i ）当0≤a 时，02>-a e x单减时)(,0)(,)0,(x f x f x <'-∞∈；单增时)(,0)(,),0(x f x f x >'+∞∈（ii ）当210<<a 时， 单增时)(,0)(,))2ln(,(x f x f a x >'-∞∈；单减时)(,0)(,)0),2(ln(x f x f a x <'∈单增时)(,0)(,),0(x f x f x >'+∞∈（iii ）当21=a 时，0)(≥'x f 恒成立，)(x f 在R 上单增 （iv ）当21>a 时，单增时)(,0)(,)0,(x f x f x >'-∞∈；单减时)(,0)(,))2ln(,0(x f x f a x <'∈单增时)(,0)(,)),2(ln(x f x f a x >'+∞∈综上所述：0≤a 时，)(x f 在上单调递增上单调递减),0(,)0,(+∞-∞； 210<<a 时，)(x f 在),0())2ln(,(,)0),2(ln(+∞-∞和上单调递减a a 上单调递增；21=a 时，)(x f 在R 上单调递增； 21>a 时，)(x f 在)),2(ln()0,(,))2ln(,0(+∞-∞a a 和上单调递减上单调递增.………4分（2）①1)0(-=f（i ）当0=a 时，x e x x f )1()(-=，只有一个零点，舍去（ii ）当0<a 时，单增单减在),0(,)0,()(+∞-∞x f 01)0()(min <-==∴f x f 又0)1(>-=a f ，取)2ln(1ab b -<-<且 则2)1()(ab e b b f b --=2)1(2ab b a --->)12(22-+-=b b a0)12)(1(2>-+-=b b a)(x f ∴存在两个零点 （iii ）当210<<a 时， )(x f 在),0(+∞上单调递增，0≤x 时，0)(<x f )(x f ∴不可能有两个零点，舍去（iv ）当21=a 时，)(x f 在)(,x f R 上单增不可能有两个零点，舍去 （v ）当21>a 时，)(x f 在上单增）（上单减）（),2(ln ,)2ln,0(+∞a a 0≤x 时，0)(<x f )(x f ∴不可能有两个零点，舍去综上所述：0<a （本题也可用分离参数法）………8分②由①知：0<a ，)(x f 在上单增上单减),0(,)0,(+∞-∞ ∴要证0)2(21<+'x x f 即证0221<+x x ，即证021<+x x 令)()()(x f x f x g --=，则)()()(x f x f x g -'+'=')2)(()2(a e x a e x x x --+-=-)(x x e e x --=当0>x 时，单增)(,0)(x g x g >'不妨设210x x >>，则)0()(1g x g >，即0)()(11>--x f x f 又)()(21x f x f = )()(12x f x f ->∴)(x f 在上单减)0,(-∞ 12x x -<∴ 021<+∴x x，原命题得证. ………12分。
2019届高三数学备考冲刺：问题08_形形色色的切线问题_含解析
问题08 形形色色的切线问题一、考情分析用导数研究曲线的切线问题是导数的重要应用之一,也是高考考查的热点,考查的形式不一,可以是客观题也可以是解答题,内容涉及到曲线切线的倾斜角与斜率,曲线切线方程的确定,两曲线的公切线问题及满足条件的切线条数问题.. 二、经验分享(1) 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率k ,即k ＝f ′(x 0)．(2)已知切点A (x 0,f (x 0))求斜率k ,即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．【小试牛刀】【2018届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】已知函数．（Ⅰ）若()f x 在2x =处取极值,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a >时,若()f x 有唯一的零点0x ,求证： 0 1.x > 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()0x >,令,则由,可得x =()g x ∴在⎛ ⎝上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.又,故当时, ()0g x <；又,故()g x 在()1,+∞上有唯一零点,设为1x ,从而可知()f x 在()10,x 上单调递减,在()1,x +∞上单调递增, 因为()f x 有唯一零点0x , 故10x x =且01x > (三)两曲线的公切线【例3】若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和都相切,则a 等于( )A.1-或2564-B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7 【分析】本题两条曲线上的切点均不知道,且曲线含有参数,所以考虑先从常系数的曲线3y x =入手求出切线方程,再考虑在利用切线与曲线求出a 的值.【答案】A【点评】（1）涉及到多个函数公切线的问题时,这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手,将切线求出来,再考虑切线与其他函数的关系（2）在利用切线与求a 的过程中,由于曲线为抛物线,所以并没有利用导数的手段处理,而是使用解析几何的方法,切线即联立方程后的0∆=来求解,减少了运算量.通过例7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面,求有关导数的问题时可以用到解析的思想,而有些在解析中涉及到切线问题时,若曲线可写成函数的形式,那么也可以用导数来进行处理,（尤其是抛物线） 【小试牛刀】【2019届安徽省皖中名校联盟10月联考】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则___________．【答案】0或1(四) 曲线条数的确定 【例4】已知函数,若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围【分析】由于并不知道3条切线中是否存在以P 为切点的切线,所以考虑先设切点()00,x y ,切线斜率为k ,则满足,所以切线方程为,即,代入()1,P t 化简可得：,所以若存在3条切线,则等价于方程有三个解,即y t =与有三个不同交点,数形结合即可解决【解析】设切点坐标()00,x y ,切线斜率为k ,则有：∴ 切线方程为：因为切线过()1,P t ,所以将()1,P t 代入直线方程可得：所以问题等价于方程,令即直线y t =与有三个不同交点令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在单调递减,在()0,1单调递增所以若有三个交点,则()3,1t ∈--所以当()3,1t ∈--时,过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切.【点评】曲线切线条数的确定通常转化为切点个数的确定,设出切点()(),P t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,可把问题转化为关于t 的方程的实根个数问题.【小试牛刀】【2019届齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学2019届高三第一次联考】已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.5．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知函数()f x 是偶函数,当0x >时, ,则曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】B6．【2018届河南省天一大联考】已知()f x 是定义在R 上的单调函数,满足,则()f x 在()()0,0f 处的切线方程为（ ）A. 1y x =+B. 1y x =-C. 1y x =-+D. 1y x =-- 【答案】A【解析】由题意可得()xf x e -为一固定的数,设,则有()1f a =.由可得,当x a =时,有,解得0a =.∴()xf x e =,∴()xf x e '=.∴,又.∴曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程为y 1x -=,即1y x =+.选A. 7．【2018届河南省南阳高中三年级期中】已知12,P P 为曲线:ln C y x =（0x >且1x ≠）上的两点,分别过12,P P 作曲线C 的切线交y 轴于,M N 两点,若,则MN =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B8．【2018届广东省阳春高三上学期第三次月考】设点P 为函数与图象的公共点,以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切,则实数b 的最大值为（ ）A. 3423eB. 3432e C. 2343e D. 2334e【答案】D【解析】设()y f x =与在公共点()00,P x y 处的切线相同, ,由题意,即,由得0x a =或03x a =-（舍去）,即有,令,则,于是当,即130t e <<时, ()'0h t >；当,即13t e >时, ()'0h t <,故()h t 在130,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数,在13,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数,于是()h t 在()0,+∞的最大值为,故b 的最大值为2334e ,故选D. 9．【2018届湖北省宜昌高三月考】过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )A. 3条B. 2条C. 1条D. 0条 【来源】数学（理）试题 【答案】A10．【2018届四川宜宾市高三（上）测试】设函数与有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b 的最大值为 A.21e B. 212e C. 213e D. 214e【答案】A【解析】由题意,可得,由(1)得,解得0x a =或013x a =- (舍去),代入(2)得,,构造,则()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,即()b h x -=的最小值为,所以b 的最大值为21e ,故选A. 11．【2018届内蒙古巴彦淖尔市高三月考】已知函数的图像为曲线C ,若曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线,则实数m 的取值范围是 （ ） A. 2m > B. 2m ≤ C. 12m >- D. 12m ≤-【答案】A【解析】∵曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线,成立,故选A16.已知函数（,a b R ∈）,()2g x x =.（1）若1a =,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直,求b 的值；（2）若2b =,试探究函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究a 值的个数；,若不存在,请说明理由.（2）假设函数()f x 与()g x 的图象在其公共点()00,x y 处存在公切线,∵2b =,∴,∴, ()'2g x x =,由得,即,∴,故02a x =. ∵函数()f x 的定义域为()0,+∞,当0a ≤时,,∴函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当1t =时, ln 0t =,,由函数图象的性质可得ln y t =和212t y =-的图象有且只有两个公共点（且均符合）,∴方程有且只有两个根.综上,当0a ≤时,函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当0a >时,函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的的值有且仅有两个.。
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皖中名校联盟2019届高三10月联考
数学(理科)
、选择题:
1.命题“x R,|x|・X 4 _0”的否定是(
4
A . 一x 三 R,| x | x :: 0
4
B. ~x R, |x | x < 0
__ 4
C . x 0
R,|X 0 | x 0 _0
—
4 D. X 0
R, | x 0 | x 0
:: 0
2.已知 P ={x|x 2 _4x 3 ：： C}, Q ={y | y 」4_2x }，则 P Q =(
3.由曲线y=x ',y = j x 围成的圭寸闭图形的面积为(
且AM —BC ，则廿
1 C G 1
) D .
6•“ a 一0 ”是“函数f (x) =| (ax 1)x|在区间(0,七)上单调递增”的(
D.既不充分也不必要条件
7•已知数列｛a n ｝为等差数列，其前n 项和为S n ，且2a 1 3a 3 = S 6，给出以下结论:
①a 0 =0 :②Sw 最小：③3 = S 2 :④S 9 = o.
其中一定正确的结论是(
A .①②
B .①③④ C.①③ D .①②④
A . [0,1)
B . [0,2) C. (1,2] D. (1,2)
5
A.—
12 1
B.-
3 C.
1
D.-
2
4•已知向量AB 与AC 的夹角为 —,| AB| = 2,|AC| = 3, AM 3
=■ AB 」AC(' / - R),
1
A.-
6
B .
1
C.-
4
D . 4
5•设函数f (X)
x -x
e e
x 2 1
，则使得 f (2x) ■ f (x 1)成立的x 的取值范围是
A .充分不必要条件
B.必要不充分条件
C .充分必要条件
)
25 7 D
A
9
9
D
)
17 35 C. -10
B . 8
2 2
f (x) = 2 -1，则 f (lo
g 2 9)=(
)
则2p 2q 2r 的取值范围是( )
2
12 •已知 f(x) =x ax b ，集合 A 二｛x| f (x) ^0｝，集合 B 二｛x| f[ f (x)]乞 3｝，若
、填空题:
14.函数y = f(x)的图象和函数y=log a X (a 0且a=1)的图象关于直线 y 「-x 对称,
9•已知函数f(x)=Asin( )(A ・0「.0,|「|
)的最大值为 2，其图象相邻两
2
条对称轴之间的距离为 I 且f (x)的图象关于点(
,0)对称，则下列判断正确的是
2 12
A. 要得到函数f(x)的图象，只需将y —一 2cos2x 的图象向右平移 …个单位
6
5
B. 函数f (x)的图象关于直线x
对称
J ［
f —
C .当X •［一孑$］时，函数f (x )的最小值为-'、2
D .函数f (x)在［—,］上单调递增
6 3
10 .已知定义在R 上的奇函数f (x)满足
f (x 2) - - f(x)，当 0 ：：： x ：： 1
A . (8,16)
B . (9,17) C. (9,16) A 二B = •_，则实数a 的取值范围是(
C. [-2,2.3] D . [-6,-2 3]
13•已知平面向量a,b 满足|a|=2,|b|=1,|a 2b 卜2.3，则a 与b 的夹角为 且函数g(x) = f (x -1) -3，则函数y = g(x)的图象必过定点
x 4 ln | x |
&函数y
的图象大致是(
11 .设函数f (x) = £ | 2
-11 x <1
|
|,
一，若互不相等的实数 p,q,r 满足f(p)= f (q)= f(r),
—x,x >1
A . [-6,2]
B . [2、-
3,6]
15. tan7.5 tan15 ‘(sin27.5 -cos27.5 )= tan 15°— ta n7.5°
16 .若直线y二kx・b是曲线y=l nx・2的切线，也是曲线y = e x的切线，则
三、解答题：
17.已知m .0,命题p:函数f (x) = log m(2 - mx)在［0,1］上单调递减，命题q :不等式
x • | x「m | • 1的解集为R，若p q为假命题，p q为真命题，求m的取值范围.
18•已知等差数列｛a n｝的公差为2,且& -1,a2 -1,a4 -1成等比数列.
(1)求数列｛a n｝的通项公式；
1 * 2
(2)设b n(n N ), S n是数列｛b n｝的前n项和，求使S n成立的最大正整
a n a^1 15
数n .
cos R 2a b
19. ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，且满足^0^ -0 .
cosC c
(1)求角C的值；(2)若b=2 , AB边上的中线CD ，求ABC的面积.
1
20•已知函数f(x)=ax 2a，当x・［1,3］时，f (x)的最小值为0.( 1 )求a的值(2)
x
若a 0，不等式f(2x)-k 2x _0在区间［—1,1］上有解，求k的取值范围.
1 — x
21.已知函数f (x) ln x . ( 1)若f (x) _ 0对一x - 0恒成立，求a 的值;
ax
1 2 n —1 *
(2)求证：ln(n 1) 2 2 … 2 ( n N).
2 3 n
22.(本小题满分12分)
已知函数f (x)二(x「1)e x-ax2.
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若函数f (x)有两个零点分别记为x1,x2.
①求a的取值范围；
②求
ft"。
证：
皖中名校联盟2019届高三10月联考
数学试题卷（理科）参考答案
、选择题
13.
14. (1,-4) 15. - 2 16. 0 或 1
3
三、解答题
17.解：命题 p :令 u(x)二 2 -mx u(x)在 x [0,1]上单减
.m 1
又 u(x) 0
. u(x)m i 匸 u(1) = 2 - m 0
1 ：： m ：：
2 ..
3 分
入心
2x —m, x^m
命题 q : x + |x_m|=*
m, x < m
x |^m| 1的解集为R .只需
(x |x - m|)min 二m 1 ................ 6分
■■ p q 为假命题，p q 为真命题
• p 、q 一真一假
1 ：：： m ■ 2
(1 )若p 真q 假，贝【J m — 1
. m 无解 (2 )若p 假q 真，则
m 0
m 乞1或m _ 2 m 1 m _ 2
m 0
综上所述，m ・[2,
........ 10分
2
18•解:(1)由题意知, @ T)=(耳-1)@4-1)
2
即◎ 1) =(a^ -1)(a 1 5)
解得a^i = 3
故 a * =2 n 1, n N ................ 5 分
得 S n = ai a 2 a 3 ... - a .
』(1丄1丄…」
「丄)=
2 3 5 5 7 2n12n 3 2 3 2n 3 3(2 n 3)
解得n ：：： 6
故所求的最大正整数 n 为5. ...... 12分 19.解:
(1) •
cosB 「
2a
化。
cosC c
由正弦定理得
COB -2s i nA s i rB
co C si C
即 cosB sinC cosC (「2sin A sinB)=0
从而 sin( B C) - 2sin A cosC 二 0
即 sin A -2si nA cosC 二 0 又 ABC 中，si nA 0 故 cosC -
2
兀
得C ..... .... 6分
3
1
(2)由 CD
(CA CB)得
2
1 2 2
3
(2 a 2 2a cos60 )
从而a = 2或a=-4(舍)
A
A
故 S ABC =1 ab sin C 二一 2 2 sin 6° = . 3 ............... ........ 12 分
2 2
(2 )由 b n
"(2n 1)( 2n 3)
[Ji 「2 n 1 3)
n
3(2n 3)
2 < 一
15。