04第四章 李雅普诺夫稳定性理论汇总
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现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
第四章(稳定性与李雅普诺夫方法)
1、构造Liaponov 函数没有确定的方法，要求一定的技巧，一般 用于非线性系统或时变系统； 2、必须是稳定性判据的标量函数，且有一阶连续偏导； 3、非唯一但不影响结论的正确性； 4、最简单的形式为二次型。
§4.4 Liaponov 方法在系统中的应用
一、线性定常连续系统渐近稳定判据 1、判据 的平衡状态xe =0 大范围渐进稳定充要条件是： 对于任意给定的正定实对称矩阵Q,存在正定的实对称矩阵P，满足 Liaponov方程： T
1、 Liyaponov意义下的稳定
0, ( , t 0 ) 0, s.t. if || x 0 x e || ( , t 0 ) || (t , x 0 , t 0 ) x e || then其解 (t 0 t )
称平衡状态xe为 Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。
V (x) x T Px [ x1
x2
如果 pij =
p ji ，则称P
为实对称阵。例如
1 1 0 P 1 1 0 0 0 1
P为实对称阵，存在正交阵T，使当
V ( x) x Px x T PTx x T
T T T T 1
X T X
___
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2
2
1
2
［例４-３］
判别下列各函数的符号性质．
（１）设 x x1
x2
x3
T
标量函数为
2 V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为有Ｖ（0）＝０，而且对非零x，例如 x 所以Ｖ（x）为半正定（或非负定）的． （２）设
a a 0
设Ｖ（x）为由n维矢量x所定义的标量函数，x∈Ω，且x＝０处，恒有 Ｖ（x）＝０。对所有在域Ω中的任何非零矢量x，如果成立 ①Ｖ（x）＞０，则称Ｖ（x）为正定的．例如，V (x) x 2x V ( x) ( x x ) ②Ｖ（x）≥０，则称Ｖ（x）为半正定（或非负定）的．例如， ③Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为负定的．例如，V (x) (x 2x ) ④Ｖ（x）≤０，则称Ｖ（x）为半负定的．例如，V ( x) ( x x ) ⑤Ｖ（x）＞０或Ｖ（x）＜０，则称Ｖ（x）为不定的．例如， V ( x) x x
04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总
04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总李雅普诺夫稳定性理论是数学中一项重要的稳定性理论，对于研究动力系统的稳定性具有重要的指导意义。
该理论由俄罗斯数学家李雅普诺夫于19世纪末和20世纪初提出，后经实践证明，被广泛应用于不同领域的研究中。
李雅普诺夫稳定性理论的核心思想是通过构造李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是一个满足一定条件的实数函数，它能够度量系统中各个状态的变化情况，并通过数学分析得出系统状态的稳定性。
在李雅普诺夫稳定性理论中，一般使用正定函数来构造李雅普诺夫函数。
对于一个动力系统，假设其状态空间为n维实数向量，系统的演化过程可以表示为一个关于状态变量的微分方程。
为了判断系统在其中一状态的稳定性，需要构造一个函数V(x)，其中x表示状态变量。
如果函数V(x)满足以下两个条件：1.V(x)是正定函数，即对于所有的x，都有V(x)>0，且只有在x=0时，V(x)=0成立。
2.对于系统中任意两个状态x1和x2，如果V(x2)>V(x1)，则在系统演化的过程中，x2的状态比x1更不稳定。
那么，可以推导出系统在状态x=0附近的稳定性。
如果对于所有的状态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是在x=0处的稳定点。
如果只有在x=0附近，存在一个圆盘区域，使得对于所有的状态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是局部稳定的。
通过构造李雅普诺夫函数，可以得出系统的稳定性信息。
对于局部稳定性，可以通过计算雅普诺夫函数的导数来得到更详细的信息。
如果导数小于零，则系统是渐进稳定的；如果导数等于零，则系统是边界稳定的；如果导数大于零，则系统是不稳定的。
李雅普诺夫稳定性理论不仅适用于连续系统，也适用于离散系统。
对于离散系统，李雅普诺夫函数的构造和分析方式与连续系统类似，只是微分方程变为差分方程。
总结起来，李雅普诺夫稳定性理论是一种基于构造李雅普诺夫函数来分析系统稳定性的方法。
通过构造正定函数，可以得出系统的稳定性信息，并通过李雅普诺夫函数的导数来得到更详细的稳定性判断。
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
S ( ) x0
xe
xe
xe
x1
x1
x1
(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性
(b) 渐近稳定性
(c) 不稳定性
4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。
定理4-9 对于线性定常系统
f ( x, t ) x
(4 382)
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x，t)为线性或非线性、定常或 时变的n维函数，其展开式为
i x
f
i
( x1 , x2 ,...,xn , t ); i 1,2,...,n
(4 383)
假定方程的解为x(t；x0，t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻， 则初始条件x0必满足 x(t0 ；x0，t0) = x0 。 1 平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t，满足
t e
i
Hale Waihona Puke i t j i tˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
现代控制第四章
试确定系统平衡状态，以及在平衡状态附近的稳定性。
x1 x2 0 x1 0 解： 1)找xe点 2 x2 a(1 x1 )x2 x1 0 x2 0 则xe 0 0
T
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x1 x2 2) 线性化 x2 x1 ax2 0 1 则 A 1 a
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
4. 不稳定
如果对于某个实数ε 0和任一实数δ 0, 不管δ这个实数多么小，由S(δ)内出发的状态 轨线，至少有一个轨线超过S(ε)，则称这种平 衡状态xe不稳定． 几何意义：（P160,fig.4 3)
练习：
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
2. 渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且当t无限增长时， 轨迹不仅不超出S(ε)，而且最终收敛于xe，则称这 种平衡状态xe渐近稳定． 几何意义：（P160,fig.4 2)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
3. 大范围渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且从状态空间中 所有初始状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称 这种平衡状态xe大范围渐近稳定．
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第四章
稳定性与李氏方法
§4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
一. 平衡状态(xe )
设所研究系统的齐次状态方程为 X(t) f(x, t) 若对所有t,状态x满足X(t) 0，则称该状态x 为平衡状态，记为xe．故有下式成立： f(xe , 0 t)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
lim x xe
t
则称系统的平衡状态xe渐近稳定的。
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
第二种：渐近稳定 x2 S( )
经典 理论 中的 稳定 就是 这里 所说 的渐 近稳 定
S( )
x0 xe x1
x
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
第三种：大范围渐近稳定
定义: 如果系统 x f ( x, t ) 对对整个状态空间中的任意初 始状态x0的每一个解，当t→，都收敛到xe，称系统的平 衡状态xe大范围渐近稳定。
RCx1 x1 0
电容器储存的电场能为
x1 (t ) x1 (0)e
2t
t RC
1 1 2 1 2 2 v( x ) CU c Cx1 Cx1 (0)e RC 0 2 2 2
v( x )
2 v( x ) 0 RC
4.3 李雅普诺夫第二法
3 几个稳定判据
4.2 李雅普诺夫第一法
4.2 李雅普诺夫第一法
绪论
本章结构 • 第4章 稳定性与李雅普诺夫方法
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
4.3 李雅普诺夫第二法
f ( xe , t ) 0
由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
（1）平衡状态
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
（1）平衡状态
对于非线性系统，方程f ( xe,t) = 0的解可能有多个，即 可能有多个平衡状态。如
第四章稳定性与李雅普诺夫方法
第四章稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中的两个重要概念。
稳定性是控制系统分析中的基本问题之一，它描述了系统在受到干扰后能否回到平衡状态的能力。
李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
稳定性是控制系统设计中最基本的要求之一、一个稳定的系统能够在受到干扰后迅速恢复到平衡状态，而不会发生不可控制的震荡或不稳定的行为。
稳定性可以分为两种类型：渐近稳定性和有界稳定性。
渐近稳定性要求系统的状态能够收敛到一个稳定的平衡点，而有界稳定性要求系统的状态能够保持在一个有限范围内。
李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。
李雅普诺夫函数是一个标量函数，它满足以下条件：1)对于任意非零的向量，李雅普诺夫函数的导数都是负的或零；2)当且仅当系统达到稳定时，李雅普诺夫函数的导数为零。
通过构造李雅普诺夫函数并分析其导数的符号，可以判断系统的稳定性。
在实际应用中，人们通常使用李雅普诺夫直接法、李雅普诺夫间接法和李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理等方法来进行稳定性分析。
其中，李雅普诺夫直接法是最常用的方法之一，它通过选择一个合适的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。
如果可以找到一个李雅普诺夫函数，使得该函数的导数对于所有非零的初始条件都是负的，则系统是渐近稳定的。
李雅普诺夫间接法是通过构造一个李雅普诺夫方程来判断系统的稳定性。
李雅普诺夫方程是一个微分方程，其中包含系统的状态向量和一个非负标量函数，满足一定的条件。
如果可以找到一个满足李雅普诺夫方程的解，并且该解是有界的，则系统是有界稳定的。
李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理是李雅普诺夫方法的重要理论基础。
该定理表明，如果系统的李雅普诺夫函数存在并且连续可导，并且李雅普诺夫函数的导数满足一定的条件，则系统是渐近稳定的。
这个定理为李雅普诺夫方法的应用提供了重要的理论依据。
总之，稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中基础且重要的概念。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
李雅普诺夫第二法稳定性判据
① 若 V( x ) 为半负定，那么平衡状态xe为李雅普诺夫 意义下稳定。稳定判据
② 若 V( x )为负定，或者虽然V( x ) 为半负定，但对任
意初始状态 x(t0)0 来说，除去x=0外，对 x0 ，V( x )
不恒为零。原点平衡状态为渐近稳定。如果有 x 时，V(x) 则系统是大范围渐近稳定。
2）对一个给定的系统，V(x)是可以找到的，通常是 非唯一的，但不影响结论的一致性。
3）V(x)的最简单形式是二次型函数，但不一定都是 简单的二次型。
对李雅普诺夫函数的讨论
4）如果V(x)的二次型可以表示成标准二次型，V(x) 就表示从原点到到x点的距离。V(x)的导数表征了系 统相对原点的速度。
渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，而且当t无限增长时，轨
线不仅不超出 s( ) ，而且最终收敛于xe，则称平衡
状态xe是渐近稳定的。
大范围渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，并且从状态空间中所有初 始状态出发的轨线都是具有渐近稳定性，则称平衡状 态xe是大范围渐近稳定的。
不稳定
如果对于某个实数 0和任一实数 0，不管 这个实数多么小，由 s( ) 内出发的状态轨线， 至少有一个轨线越过 ，s(则)称平衡状态xe不 稳定。
2）若
0
i
0
i为偶数 i为奇数
则P（或V(x)）为负定的。
3）若 i00,,ii1n,2,n1则P（或V(x)）为半正定的。
0 i为偶数
4）若
i
0
i为奇数
则P（或V(x)）为半负定的。
0 i=n
李雅普诺夫第二法稳定性判据
设系统的状态方程为
x f (x)
第四章李雅普诺夫稳定性理论
对概念的几点说明：
(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线 性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。
第二节 李雅普诺夫间接法
思想：李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 或者说系统极点来判断系统稳定性。
一、线性定常系统的稳定性
线性定常系统的稳定性判别定理：
(1)李氏稳定 A的约当标准形J中，实部为0的特征 值所对应的约当块的维数是一维的，其余特征值均 有负实部。 (2)渐近稳定 A的特征值均具有负实部。
，其中P为实对
称方阵，它的元素可以是定常的，可以是时变的，但
V(x)并不一定都是简单的二次型。
(4) V(x)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的 稳定情况，但丝毫不能提供邻域外运动的任何信息。
(5) 由于V(x)构造需要技巧，因此Lyapunov第二法主要用 于那些使用别的方法无效或难以判断其稳定性的问题，如 高阶非线性系统或时变系统。
A奇异：
b. 非线性系统 例：
令
2. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的 邻域内不存在别的平衡状态。
说明： (1) 系统不一定都存在平衡点； (2) 但系统也可能有多个平衡点； (3) 平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当
的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）； (4) 稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对
(3)不稳定 A的特征值中至少有一个有正实部。
说明：
(1)劳斯判据依然适用。 (2)状态稳定(内部的稳定)与BIBO稳定(输出稳定性)。
解释： 例1：
李氏稳定 不稳定 李氏稳定
李氏稳定 不稳定
例2：
求A的特征值： 得A特征值：
不稳定
二、非线性系统的稳定性 非线性系统的稳定性一般是局部的。用间接法判
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法汇总
2019/1/3
8
对于该式所描述的线性定常系统，其为渐近稳定的充分必要条 件是矩阵A的所有特征值均具有负实部，即：
Re{i ( A)} 0, i 1,2, n
其中n为系统的维数。 当矩阵A给定后，则一旦导出其特征多项式：
( s) det( sI A) s n an 1s n 1 a1s a0
2019/1/3
7
二、部稳定性
Ax Bu x y Cx Du x(0) x 0
如果外输入u(t)0，初始状态x0为任意，且由x0引起的零输入响 应(t;0, x0,0)满足关系式：
t
lim (t ;0, x 0 ,0) 0
则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。
2019/1/3 3
本章重点讨论李雅普诺夫第二法。
它的特点是不求解系统方程，而是通过一个叫李雅普诺夫函数的 标量函数来直接判定系统的稳定性。
因此，它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。 李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于 对系统瞬态响应的质量进行评价以及求解参数最优化问题。 此外，在现代控制理论的许多方面，例如最优系统设计、最优 估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论 都有广泛的应用。
设所研究的齐次状态方程为：
f ( x, t ) x
f为与x同维的向量函数，是x的各元素x1,x2,,xn和时间t的函数。
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运动、状态轨线
设方程式在给定初始条件(t0,x0)下，有唯一解：
x (t ; x 0 , t 0 ) x 0 (t 0 ; x 0 , t 0 ) 表示x在初始时刻t0的状态。
第四章 李雅普诺夫稳定性 分析和应用汇总
3、大范围渐近稳定 xe是渐近稳定，且其渐近 稳定范围是整个状态空 间。 －－线性只要渐近稳定 （只有一个xe）一定是整个状态 空间的渐近稳定。 －－非线性系统， xe不只一个
4、不稳定 若当 x0 xe 时，总存在一个初态 x0，使 x0 xe ， (t t0 ), 称平衡状态xe是不稳定的。
Ax, x (t )x 0 如线性定常： x
二、平衡状态： f (x, t )中对所有t，必存在一些状态点 系统x x e，使 f (x e , t ) 0，该类状态点 x x e 称为系统的平衡状态。 意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将 xx 0 维持平衡，不再随时间变化，即 x
三、范数：－－衡量（度量）状态空间距离的大小 向量x的长度称为向量x的范数：
x x 1 x 2 x n , 向量x与x e的距离为： x x e ( x 1 x e1 ) 2 ( x n x en ) 2 与x x e限定在某一范围时，记 作 x x e ， 0
则称系统的平衡状态 xe是稳定的，或称 xe在李氏意义下稳定
几何意义：从 S ( ) 发出的轨迹， 在t t 0的任何时刻 总不会超出 S ( )
2、渐近稳定（经典理论 稳定性定义） xe在李氏意义下稳定，且 当t 时，x xe , lim x xe 0
t
几何意义： 从S (）发出的任意一个解， 当t 时，最终收敛于 xe。 实际上渐近稳定。 区别：工程上常常要求 渐近稳定。
3、现代控制理论判稳方法：
[俄]李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用 方法，适用于各种系统。 李氏第一法：先求解系统微分方程，根据解 的性质判稳－－间接法 李氏第二法：直接判稳。思路：构造一个李 氏函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对 任何复杂系统都适用。
现代控制理论_稳定性与李雅普诺夫方法汇总
状态稳定性
两个推论：
线性定常系统如果是状态稳定的，则系统一定 是输出稳定的 。
线性定常系统如果是输出稳定的，则系统未 必是状态稳定的。
参见例4.1
4.3 李雅普诺夫第二法 无需求解微分方程，直接判断系统稳定性。
系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的运动过 程中，若能量随时间衰减以致最终消失，则系统迟早 会达到平衡状态，即系统渐近稳定。 反之，系统则不稳定。若能量在运动过程中不增不减， 则称为李雅普诺夫意义下的稳定。
mx kx
选
x
x1
x2
x
x
0 xe 0
状态方程
x1
x2
x2
k m
x1
系统能量 正定
能量不变 恒等于0
V
(x)
1 2
kx12
1 2
mx22
V (x) kx1x1 mx2x2 0
李雅普诺夫意义下的稳定
定理4
时变系统 x f (x,定t)常, t 系 t统0 ：
x f (x), t 0
+
S
R
C
uc
E
解：选择电容电压uc为状态变量x1
RCx1 x1 0
t
x1(t) x1(0)e RC
V (x)
1 2
CU
2 c
1 2
Cx12
1 2
Cx12
(0)e
2t RC
0
V(x) 2 V (x) 0 RC
渐近稳定！
4.3.1 预备知识 1、标量函数的符号性质
在零平衡状态 xe 0的邻域内
仅有数学方程，没有物理意义的系统
虚构一个与时间有关的能量函数（李雅普诺夫
函数）V (x,t) ——标量函数。 求出能量随时间变化率 V(x,t)。
两个推论：
线性定常系统如果是状态稳定的，则系统一定 是输出稳定的 。
线性定常系统如果是输出稳定的，则系统未 必是状态稳定的。
参见例4.1
4.3 李雅普诺夫第二法 无需求解微分方程，直接判断系统稳定性。
系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的运动过 程中，若能量随时间衰减以致最终消失，则系统迟早 会达到平衡状态，即系统渐近稳定。 反之，系统则不稳定。若能量在运动过程中不增不减， 则称为李雅普诺夫意义下的稳定。
mx kx
选
x
x1
x2
x
x
0 xe 0
状态方程
x1
x2
x2
k m
x1
系统能量 正定
能量不变 恒等于0
V
(x)
1 2
kx12
1 2
mx22
V (x) kx1x1 mx2x2 0
李雅普诺夫意义下的稳定
定理4
时变系统 x f (x,定t)常, t 系 t统0 ：
x f (x), t 0
+
S
R
C
uc
E
解：选择电容电压uc为状态变量x1
RCx1 x1 0
t
x1(t) x1(0)e RC
V (x)
1 2
CU
2 c
1 2
Cx12
1 2
Cx12
(0)e
2t RC
0
V(x) 2 V (x) 0 RC
渐近稳定！
4.3.1 预备知识 1、标量函数的符号性质
在零平衡状态 xe 0的邻域内
仅有数学方程，没有物理意义的系统
虚构一个与时间有关的能量函数（李雅普诺夫
函数）V (x,t) ——标量函数。 求出能量随时间变化率 V(x,t)。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x (t; x0 , t0 )
(4-2)
中
x0 (t0 ; x0 , t0 ) ---表示x在初始时刻t0时的状态； t---是从开始观察的时间变量。
式（4-2）实际上描述了系统式（4-1）在n维状态空间中从初始条件 t0 , x0
出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨迹。
xe 的邻域。因此，若有x ∈s（ε）， 0
x xe ( x1 x1e ) ( x2 x2e ) ( xn xne )
2 2 2
1 2
同理，若方程式（4-1）的解位于球域s（ε）内，便有
(t; x0 , t0 ) xe
t t0
（4-7）
xe
称 xe 稳定。如果x（t）不仅有界而且有 lim x(t ) 0，收敛于原点，则称 xe 渐进
稳定。如果x（t）为无界，则称
xe 不稳定。在经典控制理论中，只有渐进稳
t
定的系统才称做稳定系统。只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐进稳定的系 统则称临界稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
（2）由系统的传递函数
s 1 0 1 s 1 1 1 W s c sI A B 1 0 0 s 1 1 ( s 1)( s 1) s 1
可见传递函数的极点s＝－1位于s的左半平面，故系统输出稳定。这是因为具 有正实部的特征值 2 ＝+1被系统的零点s＝+1对消了，所以在系统的输入输 出特性中没被表现出来。由此可见，只有当系统的传递函数W（s）不出现零、 极点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W（s）的极点相同，此 时系统的状态稳定性才与其输出稳定性相一致。
第四章李氏稳定性
0 1 x x 1 1
A=[0 1;-1 -1]; Q=[1 0;0 1]; P=lyap(A’,Q) end 运行结果为： P=
1.5000 0.5000
3/ 2 1/ 2 P 1/ 2 1
0.5000
1.0000
二.线性定常离散系统李雅普诺夫稳定性分析
由 T P P Q 得：
p12 1 0 0 1 p22
p12 0 0.5 p11 0.5 1 p p22 12
52 40 由此解出 p11 p12 27 27 P 40 100 p11 0, p22 0 p12 p22 27 27 从而系统在原点的平衡状态是渐近稳定的.
第四章 李雅普诺夫稳定性分析
4.1 李氏稳定性理论的简介
4.2 预备知识
4.3 李雅普诺夫稳定性定义
4.4 李雅普诺夫第一方法
4.5 李雅普诺夫第二方法
4.6 线性定常系统的李雅普诺夫分析
小节：
李雅普诺夫第二法主要定理
设系统状态方程为
X f ( X , t ) Xe = 0为平衡状态 若存在 V ( X , t ) 当 X X e 时满足
现代控制理论
[扩展题]
（上海交大 2003 25分）
单级倒立摆系统如图所示，控制目标为通过外力u(t)使摆直立向上（即 θ(t)=0）。假设小车质量 M ＝0.5 Kg,匀质摆杆质量m = 0.2 Kg, 摆杆转动轴 心到杆质心的长度2l= 0.6m, x(t)为小车水平位移，θ为摆杆的角位移，忽略摆 及小车的 摩擦系数，g=9.8m/s2.该系统非线性模型为
设
V ( x ) X T PX 0
04.稳定性与李雅普诺夫
如果pij=pji，则称P为实对称阵。
二次型函数的标准型
对于二次型函数，V ( x) xT Px 若P为实对称阵，则必 存在正交矩阵T，通过变换 x Tx ，使之化成
V ( x) x T Px (Tx )T PTx x TT T PTx x T (T T PT ) x
P T T PT
W ( s) csI A b
1
的极点全部位于 s 的右半平面。
提问：有没有可能出现状态不稳定而输出稳定的情况？ 有没有可能出现输出不稳定而状态稳定的情况？
非线性系统
f ( x) x
xe为平衡状态，f(x,t)为与x同维的矢量函数，且对x 具有连续的偏导数。 将非线性矢量函数f(x,t)在xe邻域内展开为泰勒级数 f x ( x xe ) R( x) x 其中R(x)为级数展开式中的髙阶导数项。 若令 x x xe
1 x1 x1 x2 x 2 x2 x1 x2 x 第一步：令 x 1 0, x 2 0
求得系统的平衡状态 x1e (0,0) 第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
T
, x1e (1,1)T
1 0 0 1
f A x
判别方法
适用范围
稳定性的几个定义
李雅普诺夫意义下的稳定 渐进稳定 大范围渐进稳定 不稳定
李雅普诺夫意义下的稳定性
如果系统对于任意选定的实数 ε > 0，都存在另一个实数 δ(ε,t0)，使得， 当|| x0 - xe || ≤δ(ε, t0) 时，从任意 x0 出发的解都满足 || Φ (t; x0, t0) || ≤ ε，t0≤t≤∞ 则称平衡状态 xe 为李雅普诺夫意义下稳定。 如果 δ 与 ε 无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。
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系统不一定都存在平衡点； 但系统也可能有多个平衡点； 平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当 的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）；
(4)
稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对 多平衡点问题需针对各状态讨论。
二、李雅普诺夫意义下的稳定性 f ( x, t )平衡状态xe的H邻域为 定义4-2：系统x x xe H , H 0, 为2范数(欧几里德范数 )
1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性 定理采用了状态向量来描述，适用于单变量， 线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。
应用：自适应，最优控制，非线性控制等。
主要内容：
李氏第一法（间接法）：根据线性系统特征值 或极点来判别稳定性。若是非线性系统，需先 线性化。 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构 造Lyapunov标量函数。
A非奇异： Axe 0 xe 0
解唯一,平衡 点只有一个
xe A奇异： Axe 0 有无穷多个
b. 非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有一个或多个 xe x
例：
1 x1 x 2 x1 x2 x x
3 2
令
1 0 x
Xe
说明：
(1) 若系统渐近稳定，则对于x’=Ax而言，A特征值 应均有负实部。
x(t ) e x0 e A B( )u( )d
At 0 t
(2) 若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个 状态空间中只有一个平衡点。
(3) 除非S ( )对应于整个状态平面 , 否则这些定义只能应用 于平衡状态的邻域。
即 x xe
x1 xe1 x2 xe2
2
2
xn xen
2
类似地, 定义球域S ( ), S ( ). 在H邻域内 , 对任意0 H , 均有：
(1) 如果对应于每一个 S ( ), 存在一个S ( ), 使得当t 时, 始于S ( )的轨迹不脱离 S ( ),则平衡状态xe 0称为在 Lyapunov 意义下是稳定的。对于 , 有 ( , t0 )即与 , t0 有关。如果与t0无关, 则此平衡状态称为一致 稳定的 平衡状态 — —又称一致李氏稳定。
几何意义：
当t t0时, 系统受扰动, 平衡状态受破坏 , 产生对应初始状态 x0 , 当t t0后, 运动状态x(t )会发生变化。 若无论多么小球域 S ( ),总存在一个球域 S ( ),当 x0 S ( )时, x(t )轨线不会超出S ( ),则平衡点xe为 Lyapunov 意义下稳定。
0
2 0 x
0 xe3 1
0 xe2 1
xe 1 0
xe1 , xe2 , xe3 在状态空间中是孤立的 , 称其为孤立平衡点
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的 邻域内不存在别的平衡状态。 说明：
(1) (2) (3)
第一节
李雅普诺夫稳定性定义
一、稳定性基本概念
1. 自治系统：输入为0的系统 2. 初态：
=Ax+Bu(u=0) x
=f(x,t)的解为 x(t; x0 , t0 ) x
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3. 平衡状态：
e f ( xe , t ) 0 xe 系统的平衡状态 x n Ax xR a. 线性系统 x
实际上，工程中的李 氏稳定是临界不稳定
S ( ) S ( )
Xe
B 无摩擦，
等幅振荡
A
定义4-3(渐近稳定)：
若系统不仅是Laypunov 意义下的稳定 , 且有 lim x(t ) xe
t
则称xe是渐近稳定的。若 ( , t0 ) ( )与t0无关, 则称 一致渐近稳定。
第四章
动态系统的稳定性分析
1 稳定性基本概念
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
3 李雅普诺夫第一法
4 李雅普诺夫第二法
5 线性定常系统渐近稳定性判别法
教学要求：
1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳定 性概念 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析方法
重点内容：
• 李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 • 线性定常系统非线性系统稳定性定理与判别 • 李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别
(4) 对于图(d),轨迹离开S ( ),说明平衡状态不稳定 , 却不说明 轨迹趋于无穷远处。轨 迹还可能趋于S ( )处的某一极限环。 (线性定常系统不稳定 , 则不稳定平衡点附近出 发的轨迹将 趋于无穷远; 但对非线性系统 , 这一结论不成立 )
(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线 性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。
研究的目的和意义：稳定性是自动控制系统正 常工作的必要条件，是一个重要特征。
要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态 被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来 的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状 态方程解的收敛性，而与输入作用u无关。 经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈 魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一、二阶非线 性系统)
第二节
李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 , ,, 1 2 n 或者说系统极点来判断系统稳定性。 对非线性系统，首先要在平衡点附近线性化，得 到一近似的线性化方程，然后再进行判断。
几何意义 S ( ) S ( )
Xe
物理意义
球受外力离开 平衡点,存在摩 擦力时,小球最 终静止在A点。
A
定义4-4(大范围渐近稳定)：
若对任意x0都有 lim x(t ) xe , 则称xe是大范围渐近稳定。
t
又称全局稳定。
S ( )
S ( )
Xe
必要条件：只 有一个平衡点。
定义4-5(不稳定)： 对任意给定实数 0, 不论多么小, 至少有一个x0 ,当 x0 xe , 则有 x(t ) xe , 则称xe不稳定。