均值-方差分析方法和投资组合有效边界模型。
投资组合优化的数学模型
投资组合优化的数学模型一、引言投资组合优化是金融领域的一个重要问题，其目的是通过合理地分配不同资产的权重，使得投资组合的收益最大化或风险最小化。
在实际投资中，很多投资者都会采用投资组合优化方法进行资产配置，以期达到最优化的投资效果。
本文将对投资组合优化的数学模型进行分析和探讨。
二、投资组合优化模型投资组合优化模型可以分为两类：均值-方差模型和风险价值模型。
下面将分别进行介绍。
1.均值-方差模型均值-方差模型是目前最为广泛使用的投资组合优化模型。
其核心思想是通过计算投资组合的期望收益和风险来优化资产配置。
具体来说，该模型首先计算出每种资产的预期收益率和标准差，然后在给定预期收益率的条件下，通过调整各资产的权重，使得投资组合的方差最小化。
均值-方差模型的数学表达式如下：$$\begin{aligned} \min \frac{1}{2}w^{T}\Sigma w \\ s.t.\:w^{T}r= \mu,\: w^{T}\mathbb{1}=1, \:w_i \geq 0 \end{aligned}$$其中，$w$为资产权重向量，$\Sigma$为资产之间的协方差矩阵，$r$为资产的预期收益率向量，$\mu$为投资组合的预期收益率，$\mathbb{1}$为全1向量。
该模型通过最小化风险的方式，来达到最大化收益的目的。
但是，由于均值-方差模型假设资产收益率服从正态分布，并且只考虑了资产的一阶统计量，忽略资产之间的非线性关系，因此在实际应用中有着一定的局限性。
2.风险价值模型风险价值模型是一种相对新的投资组合优化模型，与均值-方差模型相比，其考虑的是投资组合的非对称风险。
与传统的风险度量方法不同，风险价值模型采用了风险价值（Value-at-Risk，VaR）作为风险度量。
VaR是指在一定置信水平下，某资产或投资组合的最大可能损失，即在置信水平为$\alpha$的条件下，VaR表示的是在未来一段时间里资产或投资组合可能出现的最大损失。
股票投资组合分析——基于均值-方差模型
股票投资组合分析——基于均值-方差模型股票投资组合分析——基于均值-方差模型概述：在金融领域，股票投资是一种常见的投资方式。
投资者希望通过合理配置不同股票的组合来降低投资风险并获得更高的收益。
基于均值-方差模型，本文将对股票投资组合进行分析，以帮助投资者做出更明智的投资决策。
一、均值-方差模型简介均值-方差模型是一种常见的金融模型，用于评估资产组合的预期收益和风险。
该模型基于以下两个假设：1. 假设收益率服从正态分布，即所有的资产收益率都可以用均值和方差来衡量。
2. 假设投资者关注的是资产组合的整体风险和收益，而不是单个资产的风险和收益。
二、构建股票投资组合在构建股票投资组合之前，投资者首先需要选择合适的股票。
选择股票的关键是分析其基本面、行业前景和估值等因素，以确定是否具备投资潜力。
在选择股票后，投资者可以通过确定权重的方式将它们组合在一起。
三、计算投资组合的预期收益率和风险通过均值-方差模型，可以计算投资组合的预期收益率和风险。
预期收益率可以通过计算加权平均值得出，其中权重为各个股票的权重。
预期风险可以通过计算投资组合的方差得出。
四、有效前沿和最优投资组合有效前沿是指在给定风险水平下，能够获得最大预期收益的所有投资组合构成的边界。
在有效前沿上，每个投资组合的预期收益率都是相同的，但风险不同。
最优投资组合则是在风险水平给定的情况下，能够获得最大预期收益的投资组合。
五、资本市场线和风险资产定价模型资本市场线是连接无风险利率和最优投资组合的直线。
它描述了预期收益率与风险之间的关系。
在资本市场线上，每个投资组合的预期收益率都是最大的。
风险资产定价模型则是通过比较资产的预期收益率和风险，判断它们是否被正确定价。
六、买入和卖出策略通过股票投资组合的分析，投资者可以根据自己的风险承受能力和投资目标制定买入和卖出策略。
根据预期收益率和风险，投资者可以决定是否进行调整或平衡投资组合。
七、风险管理和监控风险管理和监控是投资组合管理的重要环节。
均值方差分析方法
（2）各种证券投资组合的预期收益率：
4
R P X iR i 1 % 8 4 % 0 6 % 5 % 0 3 0 9 3 % 7 6 % 7 3 .9 % 4 i 1
Return
.
23
二、资产组合的风险与收益衡量
2、组合资产的风险 ➢（1）两种证券组合的风险测定 ① 协方差：两种证券收益变动相互关系的指标 若以A、B两种证券组合为例，则其协方差为：
.
Return 12
二、资产组合的风险与收益衡量
（一）单项资产的投资风险与期望收益
1、不确定条件下的期望收益（均值）：各种可能结 果的期望值（通常用E(X)表示），即所有可能的收益值 与其发生的概率的乘积。
离散型概率分布的期望值：
n
E(X) P(Xi)Xi i1
其中，Xi为随机事件的值，P(Xi)为随机事件i发生的 概率
.
13
二、资产组合的风险与收益衡量
例1：现有S和U两项资产收益率概率分布情况如下 表所示:
资产的收益状况
资产的收益率
经济状况 概 率
S
U
繁荣 0.2
0.25 0.05
适度增长 0.3
0.20 0.10
缓慢增长 0.3
0.15 0.15
衰退 0.2
0.10 0.20
S、U两资产的期望收益率分别为： 17.5E％(RS)＝0.2X0.25+0.3X0.20+0.3X0.15+0.2X0.10＝ 12.5E％(RU)==0.2X0.05+0. .3X0.10+0.3X0.15+0.2X0.2614＝
E（Rp）= XA E（RA） +XBE（RB）
投资组合管理中的资产配置模型
投资组合管理中的资产配置模型资产配置是投资组合管理中的重要环节，旨在平衡投资者的风险和回报预期。
为了实现这个目标，投资者需要借助资产配置模型，将资金分配到不同的资产类别中。
本文将介绍几种常见的资产配置模型，包括马科维茨均值-方差模型、资本市场线模型和资产组合的最优分配模型。
1. 马科维茨均值-方差模型马科维茨均值-方差模型是资产配置中最经典的模型之一。
它通过考虑不同资产之间的相关性和预期收益率来计算资产的风险和预期收益。
该模型的核心思想是通过分散投资来降低风险，即在多个资产之间进行组合投资。
具体来说，该模型通过计算投资组合的期望收益率和方差，并构建有效边界，找到具有最佳收益风险比的投资组合。
2. 资本市场线模型资本市场线模型是基于资本资产定价模型（CAPM）的资产配置模型。
它认为投资组合的预期收益率应该与投资组合的贝塔值相关，贝塔值反映了投资组合相对于市场的风险敏感度。
该模型通过选择合适的贝塔值来实现投资组合的最优配置。
具体来说，投资者可以通过加权分配市场组合和无风险资产来确定最佳配置比例，以实现期望收益率与风险的平衡。
3. 资产组合的最优分配模型资产组合的最优分配模型是基于现代投资组合理论和均值-方差分析的模型。
它通过将资产配置问题转化为数学规划问题，以找到投资组合的最优分配比例。
具体来说，该模型考虑投资者的风险偏好和预期收益率，通过最小化投资组合的风险和最大化投资组合的预期收益率，找到最佳的资产配置比例。
综上所述，投资组合管理中的资产配置模型对于实现投资目标至关重要。
不同的模型可以根据投资者的需求和风险偏好进行选择和应用。
通过合理的资产配置，投资者可以在获取较高回报的同时有效控制投资风险，最大化投资组合的效益。
然而，投资决策需要基于充分的市场研究和分析，以及对资产配置模型的准确理解和应用。
几类投资组合优化模型及其算法
几类投资组合优化模型及其算法几类投资组合优化模型及其算法投资组合优化模型是金融领域中常用的一种数学模型，它通过对资产进行适当的配置，以期获得最大的收益或最小的风险。
在实际应用中，根据不同的投资目标和约束条件，可以使用不同类型的投资组合优化模型及相应的算法。
一、均值-方差模型及算法均值-方差模型是最经典的投资组合优化模型之一，它基于资产的期望收益和风险(方差或标准差)之间的权衡。
常用的算法有：马科维茨(Markowitz)模型和现代投资组合理论。
马科维茨模型利用资产的历史数据估计收益率和协方差矩阵，通过最小化风险（方差）的方式来寻找最优化的投资组合。
算法流程为：（1）计算资产的期望收益和协方差矩阵；（2）设定目标函数和约束条件，如最大化收益、最小化风险、达到特定风险水平等；（3）通过数学规划方法，如二次规划或线性规划求解最优的权重分配。
现代投资组合理论进一步发展了马科维茨模型，引入了资本市场线和风险资本边界等概念。
它将投资组合的有效边界与资本市场线相结合，可以通过调整风险与收益的平衡点，实现不同风险偏好下的最优组合。
算法流程与马科维茨模型类似，但增加了一些额外的计算步骤。
二、风险平价模型及算法风险平价模型是近年来研究的热点之一，它基于资产之间的风险关系，通过将各资产的风险贡献平均化，来实现风险平衡。
常用的算法有：风险平价模型及最小方差模型。
风险平价模型的核心思想是将整个投资组合中，每个资产的风险贡献度（总风险对该资产的贡献程度）设置为相等，从而实现整体投资组合风险的均衡。
算法流程为：（1）计算各资产的风险贡献度；（2）设定目标函数和约束条件，如最小化风险、满足收益要求等；（3）通过优化算法，如线性规划、非线性规划等，求解最优的权重分配。
最小方差模型在风险平价模型的基础上，进一步最小化整个投资组合的方差。
算法流程与风险平价模型类似，但在目标函数的设定上多了一项方差的计算。
三、条件-Value at Risk模型及算法条件-Value at Risk模型是一种集成了条件-Value at Risk方法的投资组合优化模型，它引入了一定的风险约束条件，如最大损失限制，来保护投资者不承受过大的风险。
投资组合优化模型及策略研究
投资组合优化模型及策略研究在当今复杂多变的金融市场中，投资者们都渴望找到一种能够实现资产增值、降低风险的有效方法。
投资组合优化模型及策略的研究，就成为了帮助投资者实现这一目标的重要工具。
投资组合，简单来说，就是将资金分配到不同的资产类别中，如股票、债券、基金、房地产等。
而投资组合优化，则是通过数学模型和策略，确定在各种资产之间的最优配置比例，以达到在给定风险水平下获得最大收益，或者在给定收益目标下承担最小风险的目的。
一、常见的投资组合优化模型1、均值方差模型这是由马科维茨提出的经典模型。
它基于资产的预期收益率和收益率的方差（风险）来构建投资组合。
投资者需要根据自己对风险的承受能力，在预期收益和风险之间进行权衡。
然而，该模型的缺点也较为明显，例如对输入数据的准确性要求较高，对资产收益率的正态分布假设在实际中不一定成立。
2、资本资产定价模型（CAPM）CAPM 认为，资产的预期收益率取决于其系统性风险（用贝塔系数衡量）。
该模型为资产定价和投资组合的构建提供了一种简单的方法，但它也存在一些局限性，比如假设条件过于理想化，无法完全解释市场中的所有现象。
3、套利定价理论（APT）APT 认为，资产的收益率可以由多个因素来解释，而不仅仅是系统性风险。
这一理论为投资组合的构建提供了更灵活的框架，但在实际应用中确定影响资产收益率的因素较为困难。
二、投资组合优化策略1、积极型策略积极型投资者试图通过对市场的深入研究和预测，选择那些被低估或具有潜在增长机会的资产，以获取超额收益。
然而，这种策略需要投资者具备丰富的专业知识和经验，以及对市场的敏锐洞察力，同时也伴随着较高的交易成本和风险。
2、消极型策略消极型策略通常是指投资者按照市场指数的权重来构建投资组合，以获得市场的平均收益。
这种策略的优点是成本低、操作简单，适合那些没有足够时间和精力进行投资研究的投资者。
3、混合策略混合策略则是结合了积极型和消极型策略的特点，在部分资产上采用积极管理，而在其他资产上采用消极跟踪。
第七章 投资组合理论和均值方差分析
投资组合理论和均值方差分析
我们前面研究过在一个无风险资产和有风 险资产之间的资产配置.下面我们将研究 一般的案例: --两个风险资产,没有无风险资产 ---两个风险资产和一个无风险资产 --多个个风险资产,没有无风险资产 --多个个风险资产和一个无风险资产
同样使用三个框架
第一步:对每一种基本的证券,预测我们 需要的关键数值 ---期望收益(E) ---标准差(S) ---协方差
多个风险资产,一个无风险资产
第一步,需要知道无风险利率 第二步,
按照以前案例中的方法,找到可行的投资组合 当在可行集中增加另一种资产,有效边界扩大;无风险资产也不例外 因为无风险资产是指最小方差资产,将位于有效边界上 因为两基金分离,需要从高风险资产中找到另外一个有效的投资组合, 以产生整个有效边界.
--我们可以进行同样的程序找到切点组 合,但现在对简单的最小方差已不再感兴 趣 --因此,除了最小化方差,我们也想最 大化期望收益. --因此,我们要最大化预期回报率和差 额(标准差)的比率,这和最大化夏普指 数和CAL的斜率是一样的.(为什么最大 化CAL的斜率?)
--为了找到切点组合,我们增加一点高比率的 股票并减少低比率的股票,直到所有的比率相等. --再次,由于总体方差唯一重要的决定因素是 协方差(在边际上研究股票),我们必须调整组 合中的权重,直到 在所有的股票中 都相等.即:
两个资产的协方差越小,则相互影响越强
当两项资产都是高风险的,投资机会位于 两项资产之间的曲线上,曲线的形状取决 于他们的协方差 如果ρ很小,我们发现两项资产组合的方差 小于他们各自的方差
在有风险资产和无风险资产之间划一条直 线,找到投资机会 第三步 选择最大效用的投资战略 让无差异曲线向下移动,和投资组合相切 的一点就是最优投资组合
第四章 均值方差分析与CAPM
资者，其无差异曲线的斜率越小，因此其最优投资组合越接近B点。
第四章 均值方差分析与资本资产定价模型
博学笃行 经邦济民
最优投资组合的选择
I3
I2 I1
H O N A B
RP
图3.2最优投资组合
第四章 均值方差分析与资本资产定价模型
P
博学笃行 经邦济民
组合选择与风险厌恶
E(r) U’ U’’ U’’’
• 投资效用函数(U)：
U U ( R, )
• 效用函数的形式多样，目前金融理论界使 用比较广泛的是：
U R
• 其中，A表示投资者的风险厌恶系数，其典 型值在2至4之间。
第四章 均值方差分析与资本资产定价模型
1 A 2 2
博学笃行 经邦济民
投资者的投资效用函数
• 在完美市场中，投资者对各种证券的预期 收益率和风险的估计是一致的，但不同投 资者的风险厌恶度不同，他们的投资决策 也不尽相同。
W1 = (.2)2 - (.2)(.15)(.2)
(.15)2 + (.2)2 - 2(.2)(.15)(.2)
W1 = .6733
W2 = (1 - .6733) = .3267
第四章 均值方差分析与资本资产定价模型
博学笃行 经邦济民
最小方差组合[3] :
= .2时的收益与风险
rp = .6733(.10) + .3267(.14) = .1131
第一个式子表示选择组合的比例系数使组合的方差这一目标函数 最小化，同时必须满足下面两个式子的约束条件。 对于每一给定的 R P，可以解出相应的标准差 ，每一对 ( Rp , p ) 构成标准差——预期收益率图（图3.2）的一个坐标点，这些点就连 成图3.1中的曲线。同样可以从数学证明，这条曲线是双曲线，这就 是最小方差曲线。
马柯维茨均值-方差模型
马柯维茨均值-方差模型在丰富的金融投资理论中，组合投资理论占有非常重要的地位，金融产品本质上各种金融工具的组合。
现代投资组合理论试图解释获得最大投资收益与避免过分风险之间的基本权衡关系，也就是说投资者将不同的投资品种按一定的比例组合在一起作为投资对象，以达到在保证预定收益率的前提下把风险降到最小或者在一定风险的前提下使收益率最大。
从历史发展看，投资者很早就认识到了分散地将资金进行投资可以降低投资风险，扩大投资收益。
但是第一个对此问题做出实质性分析的是美国经济学家马柯维茨(Markowitz)以及他所创立的马柯维茨的资产组合理论。
1952年马柯维茨发表了《证券组合选择》，标志着证券组合理论的正式诞生。
马柯维茨根据每一种证券的预期收益率、方差和所有证券间的协方差矩阵，得到证券组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确定最佳投资组合。
马柯维茨的证券组合理论在计算投资组合的收益和方差时十分精确，但是在处理含有较多证券的组合时，计算量很大。
马柯维茨的后继者致力于简化投资组合模型。
在一系列的假设条件下，威廉·夏普(William F. Sharp)等学者推导出了资本资产定价模型，并以此简化了马柯维茨的资产组合模型。
由于夏普简化模型的计算量相对于马柯维茨资产组合模型大大减少，并且有效程度并没有降低，所以得到了广泛应用。
1 模型理论经典马柯维茨均值-方差模型为：21min max ()..1p T p n i i X XE r X R s t x σ=⎧⎪=∑⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∑T 其中，12(,,...,)T n R R R R =；()i i R E r =是第i 种资产的预期收益率；12(,,...,)T n X x x x =是投资组合的权重向量；()ij n n σ⨯=∑是n 种资产间的协方差矩阵；()p p R E r =和2p σ分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。
点睛：马柯维茨模型以预期收益率期望度量收益；以收益率方差度量风险。
投资组合理论马克维茨均值方差模型CAPMppt课件
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6
8.1 资产组合理论
8.1.1资产组合理论的基本假设 8.1.2资产组合的风险与收益 8.1.3资产组合的可行集和有效集 8.1.4最优风险资产组合的决定
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7
8.1.1资产组合理论的基本假设
1.现代证券组合理论（Modern Portfolio Theory）是关 于在收益不确定条件下投资行为的理论，
➢ 1976年，Stephen Ross提出了替代CAPM的套利定 价模型（Arbitrage pricing theory，APT）。
➢ 上述的几个理论均假设市场是有效的。人们对市场
能够地按照定价理论的问题也发生了兴趣，1965年， Eugene Fama在其博士论文中提出了有效市场假说 （Efficient market hypothesis，EMH）
➢ 1964、1965、1966年林特纳（John Lintner）、布 莱克（Fischer Black）和摩森（Jan Mossin）三人 分别独立提出资本资产定价模型。1962年，Willian Sharpe对资产组合模型进行简化，提出了资本资产 定价模型（Capital asset pricing model，CAPM）
作的理论突破和技术创新工作。
（Harry M. Markowitz）
(1927年8月24日-)
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2
1952年在学术论文《资产选择：有效的多样化》
中，首次应用资产组合报酬的均值和方差这两个数学
概念，从数学上明确地定义了投资者偏好。第一次将
边际分析原理运用于资产组合的分析研究。这一研究
成果主要用来帮助家庭和公司如何合理运用、组合其 资金，以在风险一定时取得最大收益。
第七章投资组合理论和均值方差分析
第七章投资组合理论和均值方差分析投资组合理论和均值方差分析是金融学中重要的概念和方法，可以帮助投资者在资本市场进行有效的投资决策。
本文将介绍投资组合理论和均值方差分析的基本原理和应用。
首先，让我们来了解一下投资组合理论的基本原理。
投资组合理论是由哈里·马科维茨于1952年提出的，是现代金融学的重要基石之一、该理论认为，投资者可以通过将资金分散投资于多个资产，来降低投资风险并提高投资回报。
具体而言，投资者可以通过构建一个多资产的投资组合，将高风险高回报的资产与低风险低回报的资产相结合，以实现在整体上获得较高的回报率和较低的风险水平。
接下来，我们来介绍一下均值方差分析的基本原理和应用。
在均值方差分析中，投资者通过计算投资组合的预期回报率和风险水平，并比较不同投资组合的预期回报率和风险水平，来评估不同投资组合的优劣和风险收益权衡。
具体而言，均值方差分析通过计算资产预期回报率、协方差矩阵和构建投资组合效用函数，来求解最优投资组合，即预期回报率最高、风险最低的投资组合。
均值方差分析的应用主要包括两个方面。
首先，均值方差分析可以帮助投资者选择最佳的资产组合。
通过计算不同资产的预期回报率和风险水平，以及构建投资组合效用函数，投资者可以找到使得预期回报率最高、风险最低的投资组合，从而优化投资组合配置。
其次，均值方差分析可以帮助投资者评估不同投资组合的风险收益权衡。
通过计算不同投资组合的预期回报率和风险水平，并比较不同投资组合的风险收益指标，如夏普比率和信息比率，投资者可以评估不同投资组合的风险收益权衡，从而选择最适合自己的投资策略。
总结起来，投资组合理论和均值方差分析是金融学中重要的概念和方法，可以帮助投资者在资本市场进行有效的投资决策。
通过构建多资产的投资组合，并通过均值方差分析评估不同投资组合的风险收益权衡，投资者可以降低风险并获得更好的回报。
因此，投资组合理论和均值方差分析在实践中具有重要的应用价值。
投资组合分析方法
投资组合分析方法1. 均值方差模型（Mean-Variance Model）：均值方差模型是由Harry Markowitz于20世纪50年代提出的，是一种基于风险和收益的投资组合优化模型。
该模型通过计算投资组合的预期收益率和方差，寻找投资组合最佳的风险收益平衡点。
它的核心思想是通过将不同标的的收益率与协方差考虑在内，寻找一组权重，使得投资组合的风险最小，同时达到期望的收益。
2. 黑-利曼投资组合理论（Black-Litterman Model）：黑-利曼投资组合理论是由Fischer Black和Robert Litterman于20世纪90年代提出的一种投资组合分析方法。
该模型采用贝叶斯推断的方法，将投资者的个人观点与市场均衡进行结合，通过反推隐含的市场收益率，进而评估投资组合的配置权重。
该方法能够充分利用市场信息与投资者个人观点的结合，提高投资组合的配置效果。
3. 市场模型（Market Model）：市场模型是一种基于资本资产定价模型（CAPM）的投资组合分析方法。
该模型通过对波动性的度量，评估投资组合在市场中的系统性风险与回报之间的关系。
市场模型主要利用回归分析方法，通过计算投资组合的贝塔系数，衡量投资组合相对于市场的敏感性。
投资者可以根据市场模型的结果，调整投资组合的权重，以实现风险与收益的平衡。
4. 下侧风险模型（Downside Risk Model）：下侧风险模型是一种相对于标准差（波动性）更加关注投资组合负向波动性的风险分析方法。
该模型通过计算下侧风险指标（如下侧标准差、价值-at-Risk等），对投资组合的下行风险进行度量和评估。
下侧风险模型更加注重投资组合在市场下行时的表现，能够帮助投资者更好地管理投资组合的风险。
除了以上介绍的方法，还有一些其他的投资组合分析方法，如收益风险模型（Return-Risk Model）、马科维茨投资组合优化模型（Markowitz Portfolio Optimization Model）等。
《投资理财》课件——任务7.2：马科维茨模型-无差异曲线与有效边界模型(2课时)
Investments
投资理财
知识回顾
均值方差分析法：由于投资者的效用由资产的收益和风险决定，因此将资
产的数学期望（即均值）和方差作为影响投资者效用的两个变量。
均值
用来衡量期望报酬率，是单个产品期望收益率的加权平均数
R3
R1
R2
A产品的收益率：
A产品的平均收益率
E（ ）
知识回顾
效集相切的切点M处。
δ
构建最优组合
最优产品组合M如何求解？
假设：投资组合中有3种风险资产，其期望收益率分别为
（）=0.13，（）=0.35，（）=0.14
产品的方差与协方差分别为：
2 = 0.20, 2 = 0.15，2 = 0.23，AB = 0.10，A = 0.01， = −0.16
则设投资组合为P（A ， ， ）
该组合的期望为： （）= + +
=0.13 +0.35 + .
构建最优组合
假设：投资组合中有3种风险资产，其期望收益率分别为
（）=0.13，（）=0.35，（）=0.14
产品的方差与协方差分别为：
2 = 0.20, 2 = 0.15，2 = 0.23，AB = 0.10，A = 0.01， = −0.16
则设投资组合为P（A ， ， ）
该组合的方差为：
= + + + + +
差。从G点沿右上方的边界直到最高
点B（具有最大期望收益率），这一
G( ，( ))
边界线GB即是有效边界。
➢ GB以下的任意一点，均无法优于GB
曲线上的点。
基于CAPM模型的零β资产组合与有效集的界定问题
南京理工大学理学院研究生课程研讨课程名称：组合投资学任课教师：赵培标研讨题目：基于CAPM模型的零β资产组合与有效集的界定问题小组名：张春雷成绩：目录绪论 (3)一、Markowitz模型简述 (4)1、Markowitz模型的提出 (4)2、Markowitz模型的假设 (4)3、投资组合有效集 (4)4、Markowitz模型的意义与缺陷 (6)二、CAPM模型简述 (7)1、CAPM模型的改进之处 (7)2、资本市场线 (7)3、证券市场线 (8)4、CAPM模型的不足 (8)三、零β模型 (10)1、不含无风险资产的CAPM模型：零β模型 (10)2、零β资产组合是否有效 (10)3、无风险借贷的其他假设 (11)参考文献 (11)绪论：问题的提出证券及其它风险资产的投资曾经有两个核心问题需要解决：即预期收益与风险。
那么如何测定组合投资的风险与收益和如何平衡这两项指标进行资产分配是市场投资者迫切需要解决的问题。
正是在这样的背景下，在50年代和60年代初，马科维茨理论应运而生。
20世纪60年代，夏普、林特和莫森在Markowitz模型的基础上加以改进，分别于1964、1965和1966年提出了资本资产定价模型（CAPM）。
之后，罗斯在1976年提出了套利定价模型，认为资本资产的收益率是各种因素综合作用的结果，并不仅仅只受证券组合内部风险因素的影响。
套利定价理论用套利概念定义均衡，不需要市场组合的存在性，而且所需的假设比资本资产定价模型(CAPM模型)更少、更合理。
本文主要有两个目的。
首先是对Markowitz、CAPM模型做一个简单的介绍，讨论其优缺点及脉络发展进程。
其次是讨论基于CAPM模型的零β证券组合是否在有效集内。
一、 Markowitz 模型简述1、Markowitz 模型的提出马科维茨之前，投资顾问和基金经理们尽管也会顾及风险因素，但由于不能对风险加以有效的衡量，也就只能将注意力放在投资的收益方面。
均值-方差分析方法和投资组合有效边界模型。
该理论包含两个重要内容:均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。
在发达的证券市场中，马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。
但是，我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。
从狭义的角度来说，投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券,当然，单只证券也可以当作特殊的投资组合。
本文讨论的投资组合限于由股票和无风险资产构成的投资组合。
人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。
投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素.所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。
当然,股票的收益包括分红派息和资本增值两部分。
所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。
我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险. 人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢？这正是投资组合理论研究的中心问题.投资组合理论研究“理性投资者”如何选择优化投资组合.所谓理性投资者，是指这样的投资者：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化,或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。
因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标，收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来，形成一条曲线。
这条曲线上有一个点，其波动率最低,称之为最小方差点（英文缩写是MVP）。
这条曲线在最小方差点以上的部分就是著名的（马考维茨)投资组合有效边界,对应的投资组合称为有效投资组合。
投资组合有效边界一条单调递增的凹曲线. 如果投资范围中不包含无风险资产（无风险资产的波动率为零)，曲线AMB是一条典型的有效边界。
A点对应于投资范围中收益率最高的证券. 如果在投资范围中加入无风险资产，那么投资组合有效边界是曲线AMC。
C点表示无风险资产，线段CM是曲线AMB的切线，M是切点。
M点对应的投资组合被称为“市场组合". 如果市场允许卖空，那么AMB是二次曲线；如果限制卖空，那么AMB是分段二次曲线.在实际应用中，限制卖空的投资组合有效边界要比允许卖空的情形复杂得多,计算量也要大得多。
金融投资组合分析
金融投资组合分析在金融市场中，投资者常常面临众多的投资选择。
为了最大程度地实现投资目标并控制风险，投资组合分析变得尤为重要。
本文将介绍金融投资组合分析的概念、方法和应用。
一、概述金融投资组合分析是指通过对不同资产类别的组合进行定量分析，以确定最优的投资组合配置。
通过投资组合分析，投资者可以在寻求较高收益的同时降低风险，实现资产的有效分散。
二、投资组合理论1. 均值-方差分析均值-方差分析是最经典的投资组合理论，它以期望收益和风险的均值和方差为基础，通过构建有效边界来确定投资组合的最优配置。
在进行均值-方差分析时，需要考虑不同资产之间的协方差和相关性，以避免过度集中投资。
2. 马科维茨均值-方差模型马科维茨均值-方差模型建立在均值-方差分析的基础上，通过引入无风险资产和资产超额收益率的协方差矩阵，进一步优化投资组合的配置。
该模型旨在通过最小化风险来实现给定目标收益水平下的最优投资组合。
三、组合评估指标1. 夏普比率夏普比率是用于衡量投资组合风险调整后的超额收益的指标。
它通过计算投资组合的预期超额收益与标准差的比率来评估其绩效。
较高的夏普比率意味着单位风险下获得更大的超额收益，表示投资组合的表现较为优秀。
2. 收益风险比收益风险比是用于衡量投资组合预期收益和风险之间的关系。
它通过计算投资组合的预期收益与标准差的比率来评估其绩效。
较高的收益风险比意味着单位风险下获得更高的预期收益，表示投资组合的回报较为可观。
四、实证分析为了验证投资组合分析的有效性，我们对某一时间段内的股票市场进行实证分析。
通过采集相关资产的历史收益率数据和协方差矩阵，我们构建了投资组合的有效边界，并计算了每个投资组合的夏普比率和收益风险比。
实证分析结果显示，在给定风险水平下，我们可以找到具有较高夏普比率和收益风险比的投资组合，以实现较好的绩效。
五、投资组合优化策略在金融投资组合分析中，除了均值-方差分析和马科维茨模型外，还可以采用其他的投资组合优化策略，如最小方差模型、最大收益模型、风险平价模型等。
《金融工程原理-无套利均衡分析报告》笔记01
《金融工程原理－无套利均衡分析》笔记宋逢明第一章无套利均衡分析方法本章重点介绍以下内容：MM命题与无套利均衡分析方法金融产品：包括金融商品〔也称为金融工具或有价证券等，如股票、债券、期货、期权、以与互换等〕，也包括金融服务〔如结算、清算、发行、承销等〕。
金融研究的一项核心内容：对金融市场中某项“头寸〞进展估值和定价。
无套利分析方法〔50年代后期，莫迪格里安尼(F. Modigliani)和米勒(M. Miller) 在研究企业资本结构和企业价值关系时提出的。
分析的根本方法是将这项头寸与市场中其他金融资产头寸组合起来，构建一个在市场均衡时不能产生无风险利润的投资组合，由此测算出该项头寸在市场均衡时的价值即均衡价格。
当市场处于非均衡状态时，价格偏离了由供求关系所决定的价值，此时就出现了套利机会。
当市场出现套利机会时，所有的市场参与者均会抓住机会套取无风险利润，套利机会很快就会消失，市场重新恢复均衡状态。
市场效率越高，重建均衡的速度就越快。
简单地说，当市场处于非均衡状态时，就会出现无风险套利机会；而当市场处于均衡状态时，无风险套利机会消失。
金融工程的核心技术之一：组合分解技术组合分解技术实质上就是用一组金融工具来“复制〞另一组金融工具的技术，也就是无套利均衡分析方法的具体化。
资本结构与资产负债表融资方式在公司投资于一种资产之前，必须首先获得资金，即融资。
这意味着公司必须筹集资金来支付投资。
资产负债表的右边表示公司的融资方式。
公司一般通过发行债券、借款或发行股票来筹集资金，分为负债和和股东权益。
债务证券是公司向债权人借款的债务合同。
权益证券〔如普通股和优先股〕，是股东对公司剩余现金流量的非合同式索取权。
公司公开出售的股票和债券可以在金融市场上出售。
公司的融资是在金融市场上完成的。
按期限的长短可以将负债划分为：短期负债和长期负债短期负债的期限不过一年，一年内必须偿还贷款和债务。
长期负债的期限为一年以上，一年内不必偿还贷款的债务。
均值-方差模型理论及其在我国股票市场的应用
均值-方差模型理论及其在我国股票市场的应用均值-方差模型理论及其在我国股票市场的应用一、引言均值-方差模型是现代投资组合理论的重要组成部分，它通过衡量资产的预期收益率和风险水平，帮助投资者做出合理的资产配置决策。
本文将对均值-方差模型的理论基础及其在我国股票市场的应用进行探讨。
二、均值-方差模型的理论基础1.1 均值-方差模型的基本原理均值-方差模型是由美国经济学家马科维茨于1952年提出的一种金融投资组合选择方法。
其基本原理是通过计算资产的预期收益率和风险，以追求投资组合风险最小的预期收益率。
1.2 组合的风险与收益关系均值-方差模型假设资产的收益率服从正态分布，并通过方差衡量风险。
通过构建不同权重的资产组合，可以寻找到预期收益率最高，且方差最小的组合。
1.3 投资组合的有效边界均值-方差模型还引入了有效边界的概念。
有效边界是指在给定预期收益率水平下，最小化投资组合方差的全部可能投资组合的集合。
通过有效边界，投资者可以在风险和收益之间找到合适的平衡点。
三、均值-方差模型在我国股票市场的应用2.1 资产预期收益率的计算在我国股票市场，资产预期收益率可以通过对历史数据进行分析和对市场发展趋势的预测来确定。
常用的方法包括股票收益率的历史平均值、市盈率、市净率等指标计算。
2.2 风险的度量均值-方差模型中，风险通过资产的方差来度量。
在我国股票市场，常用的风险度量方法有股票收益率的历史标准差、波动率等。
2.3 投资组合优化利用均值-方差模型，投资者可以计算不同权重下投资组合的预期收益和风险水平，并找到有效边界上的最优投资组合。
通过优化投资组合，投资者可以实现风险最小化与收益最大化的目标。
2.4 风险偏好和投资组合选择投资者的风险偏好对投资组合的选择有着重要影响。
根据投资者的风险承受能力和投资目标，可以选择不同风险水平下的投资组合，以达到最佳配置效果。
2.5 动态调整与重平衡在实际投资过程中，市场波动和投资者风险偏好的变化可能导致投资组合的变动。
投资组合优化模型及算法分析
投资组合优化模型及算法分析投资组合优化是投资者在面对多种投资选择时，通过合理配置资金，以达到最大化收益或最小化风险的目标。
在过去的几十年中，投资组合优化模型和算法得到了广泛的研究和应用。
本文将对投资组合优化模型及其相关算法进行分析。
一、投资组合优化模型1.1 均值-方差模型均值-方差模型是投资组合优化中最经典的模型之一。
该模型基于投资者对资产收益率的期望值和方差的假设，通过最小化方差来寻找最优投资组合。
该模型的优点是简单易懂，但也存在一些问题，如对收益率的假设过于简化，无法处理非正态分布的情况。
1.2 均值-半方差模型均值-半方差模型是对均值-方差模型的改进。
该模型将方差替换为半方差，即只考虑收益率小于预期收益率的风险。
相比于均值-方差模型，均值-半方差模型更加关注投资组合的下行风险，更适用于风险厌恶型投资者。
1.3 风险平价模型风险平价模型是基于风险平价原则构建的投资组合优化模型。
该模型将不同资产的风险权重设置为相等，以实现风险的均衡分配。
风险平价模型适用于投资者对不同资产风险敏感度相同的情况，但对于风险敏感度不同的情况，该模型可能无法提供最优解。
二、投资组合优化算法2.1 最优化算法最优化算法是投资组合优化中常用的算法之一。
最优化算法通过数学优化方法，如线性规划、二次规划等，寻找最优投资组合。
这些算法能够在较短的时间内找到最优解，但对于大规模的投资组合问题，计算复杂度较高。
2.2 蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟是一种基于随机抽样的方法，通过生成大量样本来近似计算投资组合的风险和收益。
该方法能够处理非线性和非正态分布的情况，并且可以考虑到不同资产之间的相关性。
但蒙特卡洛模拟也存在一些问题，如计算时间较长和结果的随机性。
2.3 遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化的优化算法。
该算法通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，逐步优化投资组合。
遗传算法能够处理非线性和非凸优化问题，并且对于大规模投资组合问题具有较好的适应性。
均值方差分析与CAPM课件
案例三：均值方差分析与CAPM的结合应用
总结词
结合均值方差分析和CAPM模型，为投资 者提供投资建议。
VS
详细描述
根据历史数据和CAPM模型预测，分析该 股票的期望收益率和风险水平。如果该股 票的期望收益率高于市场平均水平且风险 水平可接受，则可以将其纳入投资组合。
THANK YOU
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均值方差分析与CAPM课件
目
CONTENCT
录
• 均值方差分析 • CAPM模型 • 均值方差分析与CAPM的联系 • CAPM模型的拓展 • 案例分析
01
均值方差分析
定义与概念
定义
均值方差分析是一种投资组合优化方法，通过最小化投资组合的 风险（方差）来达到最大化收益的目标，同时满足特定的收益率 和风险约束条件。
CAPM（资本资产定价模型）是用来评估资产的期 望收益与无风险利率之间的差额，以反映资产的系 统性风险。
两者都涉及到资产的风险和回报，是投资组合管理 中的重要概念。
两者之间的区别
均值方差分析侧重于通过分散投资来降低非系统性风险，以实现 资产组合的优化。
CAPM关注的是资产的系统性风险与期望收益之间的关系，通过 加权平均收益率来计算资产的期望收益。
原理二
投资者只投资于有效边界上的证券组合。
原理三
投资者根据资本资产定价模型进行资产配置。
CAPM模型的应用
设计投资策略和资产配置 方案。
确定无风险利率和风险溢 价。
评估资产的预期回报率。
应用一
应用二
应用三
03
均值方差分析与CAPM的联系
两者之间的联系
均值为资产的预期回报率，衡量资产的风险调整后 收益。
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该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。
在发达的证券市场中，马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。
但是，我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。
从狭义的角度来说，投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券，当然，单只证券也可以当作特殊的投资组合。
本文讨论的投资组合限于由股票和无风险资产构成的投资组合。
人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。
投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素。
所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。
当然，股票的收益包括分红派息和资本增值两部分。
所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。
我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。
人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢？这正是投资组合理论研究的中心问题。
投资组合理论研究“理性投资者”如何选择优化投资组合。
所谓理性投资者，是指这样的投资者：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。
因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标，收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来，形成一条曲线。
这条曲线上有一个点，其波动率最低，称之为最小方差点（英文缩写是MVP）。
这条曲线在最小方差点以上的部分就是著名的（马考维茨）投资组合有效边界，对应的投资组合称为有效投资组合。
投资组合有
效边界一条单调递增的凹曲线。
如果投资范围中不包含无风险资产（无风险资产的波动率为零），曲线AMB是一条典型的有效边界。
A点对应于投资范围中收益率最高的证券。
如果在投资范围中加入无风险资产，那么投资组合有效边界是曲线AMC。
C点表示无风险资产，线段CM是曲线AMB的切线，M是切点。
M点对应的投资组合被称为“市场组合”。
如果市场允许卖空，那么AMB 是二次曲线；如果限制卖空，那么AMB是分段二次曲线。
在实际应用中，限制卖空的投资组合有效边界要比允许卖空的情形复杂得多，计算量也要大得多。
在波动率－收益率二维平面上，任意一个投资组合要么落在有效边界上，要么处于有效边界之下。
因此，有效边界包含了全部（帕雷托）最优投资组合，理性投资者只需在有效边界上选择投资组合。
[编辑本段]现代投资理论的产生与发展
现代投资组合理论主要由投资组合理论、资本资产定价模型、APT模型、有效市场理论以及行为金融理论等部分组成。
它们的发展极大地改变了过去主要依赖基本分析的传统投资管理实践，使现代投资管理日益朝着系统化、科学化、组合化的方向发展。
1952年3月，美国经济学哈里·马考威茨发表了《证券组合选择》的论文，作为现代证券组合管理理论的开端。
马克威茨对风险和收益进行了量化，建立的是均值方差模型，提出了确定最佳资产组合的基本模型。
由于这一方法要求计算所有资产的协方差矩阵，严重制约了其在实践中的应用。
1963年，威廉·夏普提出了可以对协方差矩阵加以
简化估计的单因素模型，极大地推动了投资组合理论的实际应用。
20世纪60年代，夏普、林特和莫森分别于1964、1965和1966年提出了资本资产定价模型（CAPM）。
该模型不仅提供了评价收益一风险相互转换特征的可运作框架，也为投资组合分析、基金绩效评价提供了重要的理论基础。
1976年，针对CAPM模型所存在的不可检验性的缺陷，罗斯提出了一种替代性的资本资产定价模型，即APT模型。
该模型直接导致了多指数投资组合分析方法在投资实践上的广泛应用。
[编辑本段]投资组合理论
（portfolio theory) 投资组合理论风险管理的数量分析。
投资组合理论被定义为最佳风险管理的定量分析。
无论分析的单位是家庭、公司，还是其他经济组织，为了找到最优的行动方案，需要在减少风险的成本与收益之间进行权衡，对这些内容阐述并估计的过程，即投资组合理论的应用。
对家庭而言，消费和风险偏好是已知的。
偏好会随着时间而改变，但这些变化的机制和原因并非投资组合理论阐述的内容。
投资组合理论阐述了如何在金融工具中进行选择，以使其特定的偏好最大化。
通常，最佳选择包括对获取较高预期回报和承担较大风险之间权衡的评估。
[编辑本段]投资组合理论的应用
投资组合理论为有效投资组合的构建和投资组合的分析提供了重要的思想基础和一整套分析体系，其对现代投资管理实践的影响主要表现在以下4个方面：1．马考威茨首次对风险和收益这两个
投资管理中的基础性概念进行了准确的定义，从此，同时考虑风险和收益就作为描述合理投资目标缺一不可的两个要件(参数)。
在马考威茨之前，投资顾问和基金经理尽管也会顾及风险因素，但由于不能对风险加以有效的衡量，也就只能将注意力放在投资的收益方面。
马考威茨用投资回报的期望值(均值)表示投资收益(率)，用方差(或标准差)表示收益的风险，解决了对资产的风险衡量问题，并认为典型的投资者是风险回避者，他们在追求高预期收益的同时会尽量回避风险。
据此马考威茨提供了以均值一方差分析为基础的最大化效用的一整套组合投资理论。
2．投资组合理论关于分散投资的合理性的阐述为基金管理业的存在提供了重要的理论依据。
在马考威茨之前，尽管人们很早就对分散投资能够降低风险有一定的认识，但从未在理论上形成系统化的认识。
投资组合的方差公式说明投资组合的方差并不是组合中各个证券方差的简单线性组合，而是在很大程度上取决于证券之间的相关关系。
单个证券本身的收益和标准差指标对投资者可能并不具有吸引力，但如果它与投资组合中的证券相关性小甚至是负相关，它就会被纳入组合。
当组合中的证券数量较多时，投资组合的方差的大小在很大程度上更多地取决于证券之间的协方差，单个证券的方差则会居于次要地位。
因此投资组合的方差公式对分散投资的合理性不但提供了理论上的解释，而且提供了有效分散投资的实际指引。
3．马考威茨提出的“有效投资组合”的概念，使基金经理从过去一直关注于对单个证券的分析转向了对构建有效投资组合的重视。
自50年代初，马考威茨发表其
著名的论文以来，投资管理已从过去专注于选股转为对分散投资和组合中资产之间的相互关系上来。
事实上投资组合理论已将投资管理的概念扩展为组合管理。
从而也就使投资管理的实践发生了革命性的变化。
4．马考威茨的投资组合理论已被广泛应用到了投资组合中各主要资产类型的最优配置的活动中，并被实践证明是行之有效的。
[编辑本段]投资组合理论在应用上的问题
马考威茨的投资组合理论不但为分散投资提供了理论依据，而且也为如何进行有效的分散投资提供了分析框架。
但在实际运用中，马考威茨模型也存在着一定的局限性和困难：1．马考威茨模型所需要的基本输入包括证券的期望收益率、方差和两两证券之间的协方差。
当证券的数量较多时，基本输入所要求的估计量非常大，从而也就使得马考威茨的运用受到很大限制。
因此，马考威茨模型目前主要被用在资产配置的最优决策上。
2．数据误差带来的解的不可靠性。
马考威茨模型需要将证券的期望收益率、期望的标准差和证券之间的期望相关系数作为已知数据作为基本输入。
如果这些数据没有估计误差，马考威茨模型就能够保证得到有效的证券组合。
但由于期望数据是未知的，需要进行统计估计，因此这些数据就不会没有误差。
这种由于统计估计而带来的数据输入方面的不准确性会使一些资产类别的投资比例过高而使另一些资产类别的投资比例过低。
3．解的不稳定性。
马考威茨模型的另一个应用问题是输人数据的微小改变会导致资产权重的很大变化。
解的不稳定性限制了马考威茨模型在实际制定资产配置政策方面的应用。
如果基于季度对输人数据进
行重新估计，用马考威茨模型就会得到新的资产权重的解，新的资产权重与上一季度的权重差异可能很大。
这意味着必须对资产组合进行较大的调整，而频繁的调整会使人们对马考威茨模型产生不信任感。
4．重新配置的高成本。
资产比例的调整会造成不必要的交易成本的上升。
资产比例的调整会带来很多不利的影响，因此正确的政策可能是维持现状而不是最优化。