高二数学教案：几何证明选讲

高二数学教案：几何证明选讲

〔共计10课时〕

授课类型：新授课

一【教学内容】

1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。

2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。

3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

二【教学重点、难点】

明白得相似三角形的定义与性质定理．

2.把握以下定理的证明：〔1〕直角三角形射影定理；〔2〕圆周角定理；〔3〕圆的切线判定定理与性质定理；〔4〕相交弦定理；〔5〕圆内接四边形的性质定理与判定定理〔6〕切割线定理

三【教学过程】

第一讲相似三角形的判定及有关性质

以〝平行线分线段成比例定理〞为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等，其中，差不多数学思想是比例及其性质的应用；

第1课时. 基础知识:

平行线等分线段定理:假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.

推论1: 通过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________。

推论2: 通过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________。

例题选讲：

例1：线段ＡＢ

求作：线段ＡＢ的三等分点

作法：1、作射线AC

2、在射线AC上顺次截取AD=DE=EF

3、连结BF

4、过点D、E分不作BF的平行线分不交AB于点L、K

点L、K为所求的三等分点

作业练习：课本P5 习题1.1

第2课时. 基础知识:

平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边〔或两边的延长线〕所得的对应线段____________。例题选讲：

例1 如图D在AB上，DE∥BC，DF∥AC，AE=4,EC=2,BC=8. 求BF和CF的长.

例2、如图，DE//BC ，EF//CD ，求AD 是AB 和AF 的比例中项。

例3 平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

作业练习：课本P9-10 习题1.2

第3、4课时. ［复习提咨询］

1．什么叫相似三角形？什么叫相似比？

定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比K ，叫做相似比〔或相似系数〕． ［讲解新课］

我们明白，用相似三角形的定义能够判定两个三角形相似，但涉及的条件较多，需要有 三对对应角相等，三条对应边的比也都相等，明显用起来专门不方便．那么从本节课开始我们来研究能不能用较少的几个条件就能判定三角形相似呢？ 基础知识:

预备定理：平行三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似.

判定定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

简单讲成：两角对应相等，两三角形相似．

判定定理2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，同时夹角相等，那么这两个三角形相似．

简单讲成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

判定定理3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

能够简单讲成：三边对应成比例,两三角形相似。 例题选讲：

例2 圆内接△ ABC 的角平分线CD 延长线交圆于一点E 。 求证： 例4 ： D 、E 、F 分不是△ABC 三边的中点, 求证： ΔDEF ∽ △ABC

基础知识:

定理 〔1〕有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似

(2)假如两个直角三角形两条直角边对应成比例那么这两个三角形相似

直角三角形相似的判定定理：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于_______；

A B

D

E C F

CB DB

EC EB

相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

例6 如图，锐角△ABC ，BC=24cm,BC 边上的高AD=12cm.要把它加工成正方形，如图，求那

个正方形的边长。

作业练习：课本P19-20 习题1.3

第5课时.

. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项； 两直角边分不是它们在斜边上_______与_________的比例中项。 作业练习：课本P22 习题1.4

第二讲 直线与圆的位置关系 (共5课时)

以〝圆周角定理〞和〝圆的切线概念〞为起点，采纳从专门到一样的思想方法，得出圆内接四边形的性质和判定定理的猜想及其证明，圆的切线的性质和判定的有关定理 基础知识:

1.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。 圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______。 推论2：半圆〔或直径〕所对的圆周角是_______；90o 的圆周角所对的弦是________。 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。

2.圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角_______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_________。 假如一个四边形的对角互补，那么那个四边形的四个顶点__________；

假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么那个四边形的四个顶点_________。

3.切线的性质定理：圆的切线垂直于通过切点的__________。

推论：通过圆心且垂直于切线的直线必通过________；通过切点且垂直于切线的直线必通过______。

切线的判定定理：通过半径的外端同时垂直于这条半径的直线是圆的__________。

4.相交弦定理：圆内两条相交弦，________________________________的积相等。 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，________________________________的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是________________________________的比例中项。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_____;圆心和这点的连线平分_______的夹角。 、例题选讲：

C D Q

M