高二数学教案：几何证明选讲
高中数学几何证明教案
高中数学几何证明教案
主题：证明直角三角形的斜边平方等于其他两边平方和
目标：学生能够掌握直角三角形斜边平方等于其他两边平方和的证明方法
教学步骤：
1. 引入（5分钟）：
- 回顾直角三角形的定义，并提前告知学生今天的目标是证明直角三角形的斜边平方等于其他两边平方和。
2. 示范（10分钟）：
- 给出一个直角三角形ABC，其中∠C为直角，AB为斜边，AC和BC为两条直角边。
- 用勾股定理说明AB² = AC² + BC²。
3. 操作（15分钟）：
- 学生根据示范的步骤，自行证明直角三角形的斜边平方等于其他两边平方和。
- 学生可以尝试不同的方法和角度来完成证明。
4. 讨论（10分钟）：
- 学生彼此讨论自己的证明方法，分享思路和经验。
- 教师对学生证明过程中的错误或不理解之处进行指导和解释。
5. 总结（5分钟）：
- 教师总结学生的证明方法和思路，强调勾股定理的重要性和应用。
6. 作业布置（5分钟）：
- 布置作业：练习题目，巩固直角三角形的斜边平方等于其他两边平方和的证明方法。
评估：
1. 学生能否独立完成直角三角形斜边平方等于其他两边平方和的证明。
2. 学生在讨论环节是否能积极参与，提出自己的想法和见解。
3. 作业完成情况。
中学数学几何证明方法教案
中学数学几何证明方法教案一、引言数学几何证明是中学数学教学中重要的内容之一，它既提高了学生的逻辑思维能力，又培养了他们的创造性思维和问题解决能力。
本教案旨在介绍中学数学几何证明的基本方法和技巧，帮助学生掌握证明过程中的正确思路和操作方法。
二、准备工作1. 知识准备教师要对数学几何证明的基本概念和定理有清晰的理解，并熟悉相关的证明方法和技巧。
同时，要了解学生当前的数学水平和难点，以便有针对性地进行教学。
2. 教具准备黑板、彩色粉笔、教学PPT或投影仪等。
三、教学过程1. 第一节：直角三角形性质的证明1.1 引入介绍直角三角形的定义及性质，激发学生对直角三角形证明的兴趣。
1.2 证明方法一：勾股定理通过引入直角三角形的勾股定理，引导学生从三角形内部关系出发，严谨地证明直角三角形的性质。
1.3 证明方法二：相似三角形通过引入相似三角形的概念和性质，引导学生从三角形的外部关系出发，证明直角三角形的性质。
1.4 拓展应用以一些实际问题为例，让学生掌握将几何证明应用到实际生活中的能力。
2. 第二节：等边三角形性质的证明2.1 引入介绍等边三角形的定义及性质，引发学生对等边三角形证明的思考。
2.2 证明方法一：边长相等通过证明等边三角形的三条边长相等，引导学生从三角形的内部关系出发，严谨地证明等边三角形的性质。
2.3 证明方法二：等腰三角形通过引入等腰三角形的概念和性质，引导学生从三角形的外部关系出发，证明等边三角形的性质。
2.4 拓展应用以一些几何问题为例，让学生运用等边三角形的性质解决实际问题。
3. 第三节：其他三角形性质的证明3.1 引入介绍一些常见的三角形性质，如等腰三角形、全等三角形等，激发学生对三角形性质证明的兴趣。
3.2 证明方法一：等腰三角形的性质通过引入等腰三角形的概念和性质，引导学生运用角平分线、垂直平分线等方法，证明等腰三角形的性质。
3.3 证明方法二：全等三角形的性质通过引入全等三角形的概念和性质，引导学生从各种角度出发，证明全等三角形的性质。
高二数学教案：几何证明选讲 教案
几何证明选讲（共计10课时）授课类型：新授课一【教学内容】1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。
2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
二【教学重点、难点】理解相似三角形的定义与性质定理．2.掌握以下定理的证明：（1）直角三角形射影定理；（2）圆周角定理；（3）圆的切线判定定理与性质定理；（4）相交弦定理；（5）圆内接四边形的性质定理与判定定理（6）切割线定理三【教学过程】第一讲相似三角形的判定及有关性质以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等，其中，基本数学思想是比例及其性质的应用；第1课时. 基础知识:平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________. 推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________。
推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________。
例题选讲：例1已知：线段ＡＢ求作：线段ＡＢ的三等分点作法：1、作射线AC2、在射线AC上顺次截取AD=DE=EF3、连结BF4、过点D、E分别作BF的平行线分别交AB于点L、K点L、K为所求的三等分点作业练习：课本P5 习题1.1第2课时. 基础知识:平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段____________。
例题选讲：例1 如图D在AB上，DE∥BC，DF∥AC，AE=4,EC=2,BC=8. 求BF和CF的长.例2、如图，已知DE//BC，EF//CD，求AD是AB和AF的比例中项。
例3 平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
教学设计几何证明法——教案、学案、教学设计资料文档
教学设计几何证明法——教案、学案、教学设计资料文档一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握几何证明的基本方法，理解几何证明的逻辑结构，能够运用几何证明解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、推理等过程，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对几何证明的兴趣，体会数学的严谨性，培养学生的团队合作意识和解决问题能力。
二、教学内容1. 第一课时：几何证明的基本概念及术语教学重点：了解几何证明的基本概念，如证明、定理、公理等。
2. 第二课时：几何证明的方法与步骤教学重点：掌握几何证明的基本方法，如构造辅助线、相似三角形的应用等。
3. 第三课时：平行线的证明教学重点：学习平行线的证明方法，如同位角相等、内错角相等等。
4. 第四课时：全等三角形的证明教学重点：掌握全等三角形的证明方法，如SSS、SAS、ASA等。
5. 第五课时：三角形的性质及其证明教学重点：了解三角形的基本性质，如三角形的内角和、三角形的两边之和大于第三边等，并学会运用这些性质进行证明。
三、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、推理等过程，发现几何证明的规律。
2. 利用多媒体教学资源，为学生提供丰富的视觉、听觉学习材料，提高学生的学习兴趣。
3. 组织小组合作学习，让学生在讨论、交流中共同解决问题，培养团队合作意识。
4. 注重个体差异，针对不同水平的学生给予适当的指导，使他们在原有基础上得到提高。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对几何证明方法的掌握程度。
3. 单元测试：进行单元测试，了解学生对几何证明知识的掌握情况，为下一步教学提供依据。
五、教学资源1. 多媒体教学课件：包括几何证明的基本概念、方法、实例等内容。
2. 几何证明题库：提供各种类型的几何证明题目，供学生练习使用。
几何证明教案
几何证明教案一、教学目标1. 理解几何证明的定义和意义，明确几何证明的基本要素；2. 学会运用几何证明的方法和技巧，提高解决几何问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维和推理能力，培养学生的分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 几何证明的基本概念和要素；2. 几何证明的方法和技巧；3. 经典几何定理的证明。
三、教学过程第一节：几何证明的基本概念和要素1. 引入几何证明是数学中重要的内容，它能够帮助我们理解几何定理，并且培养我们的思维能力。
今天我们将学习几何证明的基本概念和要素。
2. 几何证明的定义几何证明是通过推理和演绎的方法，从已知条件出发，运用几何定理和几何关系，推导出所要证明的结论的过程。
几何证明需要严谨的推理和逻辑思维，才能确保证明的正确性。
3. 几何证明的要素（1）已知条件：几何证明的起点，是所给出的已知事实或条件，可以是已知长度、角度、线段等几何要素。
（2）待证结论：几何证明的终点，是需要证明的结论，通常是要证明某种几何关系或定理。
（3）证明步骤：推导过程中的每一步操作和推理，需要采用几何定理或几何关系，确保每一步都是可靠的。
4. 案例分析通过一个具体的案例来理解几何证明的概念和要素。
案例：证明等腰三角形的底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC。
待证：∠B=∠C。
证明步骤：（1）画出△ABC的示意图，标明已知条件和待证结论。
（2）由已知条件AB=AC，得到线段AB≌AC。
（3）再由线段等长的性质得到∠ABC≌∠ACB。
（4）根据等角三角形的性质，可得到∠B=∠C。
通过以上步骤，我们完成了等腰三角形底角相等的证明。
第二节：几何证明的方法和技巧1. 直接证明法直接证明法，也称为正向证明法，是指直接从已知条件出发，经过一系列合理的推理和推导，得到待证结论。
这是最常用的证明方法之一。
2. 反证法反证法是指假设待证结论不成立，通过逻辑推理的方法，推导出与已知条件矛盾的结论，从而得出待证结论成立的结论。
高二 数学 选修 几何证明选讲 第一讲 相似三角形判定方法和应用
比例线段常由平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而又必须 转移比例时，常通过添加辅助平行线达到转移比例的目的．
【解析】∵PE∥BC，∠C＝∠A， ∴∠PED＝∠C＝∠A. ∴△PDE∽△PEA. ∴PPAE＝PPDE，即 PE2＝PD·PA. 又 PD＝2，DA＝1，∴PA＝3. ∴PE2＝2×3＝6，故 PE＝ 6.
相似三角形判定方法和应用
知识要点
直角三角 形的射影
定理
平行线分 线段成比
例定理
相似三 角形
相似三角 形的判定
及性质
应用 解题
等分线 段定理
平行线
分线段 成比例定理源自推论定理 1定理 3
相似三角 形的判定
及性质
定理 2
性质定理 1 高、中线、
角分线、
性质定理 2 周长
性质 定理
推论
性质定理 3 面积
【答案】3∶2
陷阱规避
1. 使用平行线截割定理时要注意对应线段、 对应边对应成比例，对应顺序不能乱．
2. 证明相似或者应用时，一定要注意角度 和边的定义关系．
所以
AC BC
2
AD AB BD AB
AD BD
又 AD∶BD＝9∶4，所以 AC∶BC＝3∶2. 方法二：因为 AD∶BD＝9∶4，所以可设 AD＝9k，BD＝4k，k∈R＋，
又∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D， 由射影定理，得 CD2＝AD·BD，所以 CD＝6k，
由勾股定理，得 AC＝3 13k 和 BC＝2 13k，所以 AC∶BC＝3∶2
【答案】 6
1．相似三角形的判定主要是依据三个判定定理，结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系． 2．注意辅助线的添加，多数作平行线． 3．相似三角形的性质可用来考查与相似三角形相关的元素，如三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外 接圆的直径、内切圆的直径等．
(完整版)几何证明教学设计
(完整版)几何证明教学设计
简介
这份教学设计旨在教授学生几何证明的基本概念和技巧。
通过本课程，学生将研究如何运用几何原理和定理来推导和证明几何命题。
教学目标
- 了解几何证明的定义和重要性
- 掌握几何证明的基本方法和策略
- 能够应用几何原理和定理进行具体的几何证明
- 培养逻辑思维和推理能力
教学内容
第一讲：几何证明的概念和基本要素
- 几何证明的定义和作用
- 几何证明的基本要素：假设、命题、推理和结论
第二讲：几何证明的基本方法
- 直接法证明
- 反证法证明
- 双重否定法证明
第三讲：基本几何原理和定理的应用
- 直线的性质及应用
- 角的性质及应用
- 三角形的性质及应用
第四讲：综合运用几何原理和定理进行证明
- 综合应用直线性质、角性质和三角形性质进行证明
- 实际问题中的几何证明
教学方法
- 授课讲解：通过讲解几何证明的概念、方法和原理，引导学生理解和掌握知识点。
- 练演示：提供一些简单的练题并给予学生指导，帮助他们熟悉和应用所学的几何证明方法。
- 个人作业：布置一些个人作业，让学生独立完成，并进行批改和讲解。
教学评估
- 练题成绩：根据学生的练题成绩评估他们对几何证明的掌握
程度。
- 个人作业评估：评估学生在个人作业中的独立思考能力和准
确性。
- 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问情况。
参考资料
- 《几何证明教程》（作者：XXX）
- 《高中几何教材》（出版社：XXX）
以上是几何证明教学设计的完整版，希望对您有帮助。
几何证明选讲教案(整理)
几何证明选讲教学设计考试要求1、了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理；2、理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；3、掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理． 教材分析这是新课程选修课程的一个新的内容，本专题的内容包括相似三角形的进一步认识、圆的进一步认识．平行线等分线段定理是在“一组平行线”只取三条这种最简单的情况下证明的，证明的方法是借助梯形常用的辅助线把梯形分成平行四边形和三角形，用平行四边形和三角形的知识进行证明．平行截割定理是平行线等分线段定理的一般情形，是研究相似形最重要和最基本的理论，其证明体现了化归的思想，把它应用在三角形上就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础．圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，将圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时，就得到弦切角，圆周角定理和弦切角定理的证明都体现了分类讨论的思想，体现了从特殊到一般的思维过程．相交弦定理、割线定理、切割线定理合称“圆幂定理”，在有关的计算和证明中起着重要的作用． 本讲的内容在初中已经通过观察、实验和操作的方法初步了解，这里不仅是对初中知识的深化，更侧重于逻辑推理与抽象思维．在几何证明的过程中，不仅包含了逻辑演绎的程序，还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程，因此本章是考查推理能力和逻辑思维能力的好资料，在平时的训练中要熟悉基本图形和基本结论，善于归纳总结，提高运用几何方法解决问题的能力．第一讲 平行线等分线段定理和平行截割定理教学目标知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理.过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。
情感态度价值观：基本数学思想是比例及其性质的应用，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
中学数学教案平面几何的证明
中学数学教案平面几何的证明中学数学教案——平面几何的证明一、引言平面几何是数学中的重要分支，它研究平面上的点、线、面及它们之间的关系和性质。
证明在平面几何中具有重要作用，可以帮助学生理解和掌握几何定理的真实性和应用方法。
本教案将详细介绍如何设计一堂中学数学课，重点讲解平面几何的证明。
二、教学目标1. 理解平面几何中的证明概念以及证明的重要性；2. 掌握几何证明的基本方法和步骤；3. 能够运用所学知识，进行平面几何中的证明。
三、教学内容与方法本课程主要包括以下几个部分的内容和相应的教学方法。
1. 导入引导学生回顾前几节课所学的平面几何知识，激发学生的学习兴趣和思维准备。
2. 证明概念的介绍通过引入现实生活中的例子，如建筑设计、地图导航等，向学生解释证明的概念和其在实际应用中的重要性。
3. 基本证明方法的讲解a) 直接证明法：以一道简单的几何题为例，讲解如何通过直接证明法来证明一个几何命题。
b) 反证法：通过一个具体的例子，利用反证法证明一个几何问题，让学生体会其思维过程和效果。
c) 数学归纳法：介绍数学归纳法的基本原理，并结合几何问题的证明，让学生理解数学归纳法在几何证明中的应用。
4. 典型定理证明的演示选择平面几何中的几个重要定理，如等腰三角形定理、相似三角形定理等，通过演示其证明过程，让学生掌握典型定理的证明方法和技巧。
5. 学生自主证明设计一个课堂活动，让学生自由组合已学知识，选择一个几何问题进行证明。
鼓励学生运用多种证明方法，加强对知识的理解和应用。
6. 总结与拓展对本节课的内容进行总结，并引导学生思考其他几何证明方法的可能性，拓展学生的思维。
四、教学手段与资源准备1. 教学手段：教师主讲、学生讨论、小组合作、自主实践等。
2. 教学资源：教科书、黑板、多媒体投影仪等。
五、教学评估与作业布置1. 教学评估：观察学生的课堂表现，包括积极参与讨论、理解程度和解题能力等方面进行评估。
2. 作业布置：要求学生完成一道与课堂所学相关的证明题，并写下自己在证明过程中的思考和体会。
数学几何证明选讲教案
数学几何证明选讲教案数学几何证明选讲教案数学几何证明选讲教案考试要求重难点击命题展望1.了解平行线截割定理.2.会证明并应用直角三角形射影定理.3.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理及性质定理，并会运用它们进行计算与证明.4.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理，并会运用它们进行几何计算与证明.5.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).6.了解下面的定理.定理：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(π与l平行，记β＝0)，则：①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；③β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线.7.会利用丹迪林(Dandelin)双球(如图所示，这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥面均相切，其切点分别为F，E)证明上述定理①的情形：当β＞α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.(图中，上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点C，线段BC与平面π相交于点A)8.会证明以下结果：①在7.中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行.记这个圆所在的平面为π′.②如果平面π与平面π′的交线为m，在6.①中椭圆上任取点A，该丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e(称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率).9.了解定理6.③中的证明，了解当β无限接近α时，平面π的极限结果. 本章重点：相似三角形的判定与性质，与圆有关的若干定理及其运用，并将其运用到立体几何中.本章难点：对平面截圆柱、圆锥所得的曲线为圆、椭圆、双曲线、抛物线的.证明途径与方法，它是解立体几何、平面几何知识的综合运用，应较好地把握.本专题强调利用演绎推理证明结论，通过推理证明进一步发展学生的逻辑推理能力，进一步提高空间想象能力、几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力.第一讲与第二讲是传统内容，高考中主要考查平行线截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力.第三讲内容是新增内容，在新课程高考下，要求很低，只作了解.知识网络16.1 相似三角形的判定及有关性质典例精析题型一相似三角形的判定与性质【例1】如图，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长.【解析】(1)因为DE⊥BC，D是BC的中点，所以EB＝EC，所以∠B＝∠1.又因为AD＝AC，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.因为△ABC∽△FCD，BC＝2CD，所以S△ABCS△FCD＝(BCCD)2＝4，又因为S△FCD＝5，所以S△ABC＝20.因为S△ABC＝12BC?AM，BC＝10，所以20＝12×10×AM，所以AM＝4.又因为DE∥AM，所以DEAM＝BDBM，因为DM＝12DC＝52，BM＝BD＋DM，BD＝12BC＝5，所以DE4＝55＋52，所以DE＝83.【变式训练1】如右图，在△ABC中，AB＝14 cm，ADBD＝59，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12 cm.求△ADE的面积和周长.【解析】由AB＝14 cm，CD＝12 cm，CD⊥AB，得S△ABC＝84 cm2.再由DE∥BC可得△ABC∽△ADE.由S△ADES△ABC＝(ADAB)2可求得S△ADE＝757 c m2.利用勾股定理求出BC，AC，再由相似三角形性质可得△ADE的周长为15 cm.题型二探求几何结论【例2】如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EF∥AD，假设EF做上下平行移动.(1)若AEEB＝12，求证：3EF＝BC＋2AD；(2)若AEEB＝23，试判断EF与BC，AD之间的关系，并说明理由；(3)请你探究一般结论，即若AEEB＝mn，那么你可以得到什么结论？【解析】过点A作AH∥CD分别交EF，BC于点G、H.(1)因为AEEB＝12，所以AEAB＝13，又EG∥BH，所以EGBH＝AEAB＝13，即3EG＝BH，又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，从而EF＝13(BC－HC)＋AD，所以EF＝13BC＋23AD，即3EF＝BC＋2AD.(2)EF与BC，AD的关系式为5EF＝2BC＋3AD，理由和(1)类似.(3)因为AEEB＝mn，所以AEAB＝mm＋n，又EG∥BH，所以EGBH＝AEAB，即EG＝mm＋nBH.EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝mm＋n(BC－AD)＋AD，所以EF＝mm＋nBC＋nm＋nAD，即(m＋n)EF＝mBC＋nAD.【点拨】在相似三角形中，平行辅助线是常作的辅助线之一；探求几何结论可按特殊到一般的思路去获取，但结论证明应从特殊情况得到启迪.【变式训练2】如右图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边上中点，点Q在线段BC上，设BQ＝k，是否存在这样的实数k，使得以Q，C，P为顶点的三角形与△ADP相似？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【解析】设存在满足条件的实数k，则在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得ADQC＝DPCP或ADPC＝DPCQ，由此解得CQ＝1或CQ＝14.从而k＝0或k＝34.题型三解决线的位置或数量关系【例3】(2009江苏)如图，在四边形ABCD中，△ABC △BAD，求证：AB∥CD.【证明】由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，所以A、B、C、D四点共圆，所以∠CAB＝∠CDB.再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，所以∠DBA＝∠CDB，即AB∥CD.【变式训练3】如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB ＝12A1B1，△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为 .【解析】因为AB∥A1B1且AB＝12A1B1，所以△AOB∽△A1OB1因为两三角形外接圆的直径之比等于相似比.所以△A1OB1的外接圆直径为2.总结提高1.相似三角形的判定与性质这一内容是平面几何知识的重要组成部分，是解题的工具，同时它的内容渗透了等价转化、从一般到特殊、分类讨论等重要的数学思想与方法，在学习时应以它们为指导.相似三角形的证法有：定义法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL法.相似三角形的性质主要有对应线的比值相等(边长、高线、中线、周长、内切圆半径等)，对应角相等，面积的比等于相似比的平方.2.“平行出相似”“平行成比例”，故此章中平行辅助线是常作的辅助线之一，遇到困难时应常考虑此类辅助线.。
几何证明教案
几何证明教案一、教学目标通过学习本节课，学生将能够：1. 理解几何证明的概念和意义；2. 掌握常见的几何证明方法；3. 运用所学方法解决几何证明问题。
二、教学重点与难点教学重点：1. 理解几何证明的概念和意义；2. 掌握常见的几何证明方法。
教学难点：1. 运用所学方法解决几何证明问题。
三、教学准备1. 教材：几何课本、几何绘图工具；2. 教具：投影仪、白板、笔、尺子、量角器等；3. 教学多媒体课件。
四、教学过程第一步：引入新知1. 教师通过简单的几何问题引起学生的兴趣，如“如何证明两相邻角互补？”；2. 学生进行小组讨论，了解几何证明的基本概念；3. 教师通过课件展示几何证明的一些实例，激发学生进一步思考。
第二步：探究几何证明方法1. 教师介绍几何证明的常见方法，包括直接证明、间接证明、反证法等；2. 教师以实例的形式演示每种证明方法的步骤和思路；3. 学生跟随教师的示范，自己尝试使用不同的证明方法解决几何问题。
第三步：练习与巩固1. 学生个人或合作完成一些教材中的练习题，巩固所学的几何证明方法；2. 教师通过展示学生的解题过程和答案，让学生相互学习和交流经验。
第四步：拓展应用1. 学生通过更复杂的几何问题进行拓展应用，提升解决问题的能力；2. 教师在学生独立完成后，展示不同的解题方法和思路，拓宽学生的思维。
第五步：课堂总结1. 教师对几何证明的关键点进行总结，强调重要概念和方法；2. 学生针对本节课有什么收获和困惑进行自我评价和提问。
五、作业布置1. 完成课堂练习题；2. 自选一个几何问题，运用所学的方法进行证明，并写出证明过程。
六、板书设计教学目标：1. 理解几何证明的概念和意义；2. 掌握常见的几何证明方法；3. 运用所学方法解决几何证明问题。
教学重点：1. 理解几何证明的概念和意义；2. 掌握常见的几何证明方法。
教学难点：1. 运用所学方法解决几何证明问题。
七、教学反思本节课通过引入新知、探究几何证明方法、练习与巩固、拓展应用等环节，设计了一条由浅入深、循序渐进的教学路径。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-1：几何证明选讲 1.3.2 圆内接四边形的性质与判定》9
圆的内接四边形的性质与判定教学设计一、教材分析《圆内接四边形的性质与判定定理》是人教B版选修4-1几何证明选讲的内容，几何证明是培养学生逻辑推理能力和综合运用数学知识和思想方法解决几何问题的最好载体，几何证明的过程包含着大量的直观想象，探究和发现问题的因素，对培养学生的创新意识和发散思维有很大的帮助；本节课通过对圆内接四边形的性质和判定定理的进一步学习，使学生能灵活运用定理证明四点共圆问题和有关角的问题.二、学情分析本节课的内容是在学生初中对平面几何知识有了一定的了解和进一步学习了圆周角定理的基础上进行的，学生有一定的基础，但是学生对综合运用数学知识和思想方法解决问题的能力比较欠缺，有待于进一步的培养.三、教学目标知识与技能：了解圆内接多边形的概念；理解并掌握圆内接四边形的性质定理和判定定理及推论，能够用性质定理和判定定理解决相关的几何问题.过程与方法：学习并掌握圆内接四边形的性质与判定定理的推导过程，应用性质定理和判定定理解决相关的几何问题，使学生领会“分类讨论”和“反证法”这两种数学思想在几何证明中的作用，培养学生的逆向思维、发散思维和严谨的逻辑思维.情感态度与价值观：培养学生的逆向思维、逻辑推理能力和综合运用数学知识和思想方法解决问题的能力，提高学生学习数学的积极性.四、教学重点与难点重点：掌握圆内接四边形的性质与判定定理的证明过程.难点：综合运用数学知识和思想方法解决圆内接四边形的相关问题.五、教学过程（一）复习回顾问题一：我们前面学过的圆周角定理、推论1、推论2及推论3的内容什么？圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.推论1：直径(或半圆)所对的圆周角是直角.推论2：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论3：等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径.设计意图：通过对圆周角定理相关知识的复习，激发学生的求知欲；对后面利用圆周角定理的知识证明圆内接四边形的性质做好铺垫.（二）新知探究1.基本概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．设计意图：让学生了解圆内接多边形的概念.2.创设研究情境探究一：如右图，四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形A BCD的外接圆．试讨论四边形ABCD具有什么样的性质？并证明你的结论.设计意图：通过图形使学生直观的感受圆内接四边形，并能通过小组讨论来探究圆内接四边形的性质；培养学生解决问题的能力及合作意识.让学生自己上去证明得到的结论，培养学生对数学的兴趣和学好数学的信心.性质定理：圆内接四边形的对角互补；并且任何一个外角都等于它的内对角.（证明过程由学生完成）3.性质定理的应用（典例剖析）思考：圆内接平行四边形、菱形、梯形分别是什么图形？（由学生课后证明）设计意图：通过思考、例1的设置使学生能进一步掌握圆内接四边形的性质定理，并能灵活运用性质定理解决与圆内接四边形性质有关的数学问题.4.圆内接四边形判定定理的探究探究二：我们知道，任意三角形都有外接圆.那么，任意正方形有外接圆吗？为什么？任意矩形是否有外接圆？一般地，任意四边形都有外接圆吗？设计意图：让学生理解正方形、长方形都有外接圆（因为它们的对角线交点到四个顶点的距离相等），而对于一般地四边形是否有外接圆学生比较模糊，这时通过坐标法的思想使学生明白一般地四边形不一定有外接圆，进一步引导学生考虑圆内接四边形性质定理的逆命题.结论：平面内，若OA=OB=OC=OD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆. 性质定理的逆命题：如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.已知：四边形ABCD 中，∠B+∠D=180° 求证：A,B,C,D 在同一圆周上（简称四点共圆）.分析：不共线的三点确定一个圆，不妨设经过A 、B 、C 三点可以做一个圆O,如果能由条件得出圆O 过点D ，那么就证明了上述命题..//..,.,1212121DF CE F O E O EF B D O C O CD A B A O O 求证：交于点，与圆于点交与圆的直线经过点交于点与圆交于点与圆的直线经过点两点都经过与圆：如图，圆例DFCE F E F BAD O ADFB EBAD O ABEC AB //.180.180.21∴=∠+∠∴=∠+∠∴∠=∠∴︒︒的内接四边形，是圆四边形又的内接四边形，是圆四边形证明：连接显然，点D 与圆有且只有三种位置关系： (1) 点D 在圆外. (2) 点D 在圆内. (3) 点D 在圆上.设计意图：引导学生将文字语言叙述的命题转化成数学符号语言和图形语言进行证明，通过分析让学生自己证明，使学生理解反证法和穷举法的思想；通过两种不同的证明过程来培养学生严谨的逻辑思维和发散思维.判定定理：如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.（证明过程学生完成） 推论：如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆. 5.判定定理的应用（典例剖析）例2：如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆...180...90,90,...90,.四点共圆、、、即又四点共圆、、、，中，在四边形证明：连接Q P B A QPB A QPC A QFC A QFA A QFA QFC AB CF QPC QFC C P F Q FPC FQC AC FQ BC FP QFPC PQ ∴=∠+∠∠=∠∴∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴⊥∠=∠∴∴=∠=∠∴⊥⊥︒︒︒︒ ....180,.180...有公共的外接圆和即四点共圆、、、，只有一个圆，即圆、、过不共线的三点四点共圆、、、又四点共圆，、、、的两侧在与使，上取点的弧，在圆的外接圆证明：作有公共的外接圆与求证：同侧，在，已知：如右图，ABD ABC D C B A O B E A D B E A AEB ADB ADBACB AEB ACB C B E A AB C E E AB O O ABC ABD ABC D C AB D C ∆∆∴∴︒=∠+∠∴∠=∠︒=∠+∠∴∆∆∆∠=∠∠∠ ..,四点共圆、、、求证：边上的高，的是如图，变式训练：Q P B A AC FQ BC FP AB ABC CF ⊥⊥∆设计意图：进一步培养学生将文字语言叙述的命题转化为数学符号语言和图形语言的能力；巩固圆内接四边形的性质定理和判定定理.6.课堂小结问题二：通过这节课的学习，你获得了什么？设计意图：通过提问培养学生的问题意识，检验这节课学生在知识和思想方法上的掌握情况，以便课后有针对性的进行辅导.知识方面：1、圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补；并且任何一个外角都等于它的内对角.2、四点共圆的条件（1）圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.（2）推论：如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆（3）结论：平面内，若OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点共圆.（4）结论：如果两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆.思想方法：（1）反证法（正难则反）（2）穷举法7.课后反思。
人教版数学高二《几何证明选讲》 精品导学案
1.平移、旋转、反射、位似编写人：刘瑞华审核：高二数学组寄语：认认真真学习，踏踏实实做人.一、学习目标1A 理解平移、旋转、反射、相似与位似的概念。
2B 能通过图形的这些变换感受图形变化的不变性。
3C 能分析出给出的图形是通过哪种变换得到的。
二、学习重难点重点：对平移、旋转、反射、相似与位似的概念的理解难点：相似与位似的区别三、学习过程（A）（一）平移1.概念：如果一个图形沿某个方向平移一定的距离，这样的图形运动称为。
图形的平移过程称为。
2.性质：①平移不改变图形的形状和大小(即平移前后的两个图形全等).②对应线段平行且相等,对应角相等.③经过平移,两个对应点所连的线段平行且相等.3.平移两要点:平移的①方向,②距离（二）旋转：1.概念：如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度,这样的图形运动称为。
这个定点称为，转动的角度称为，图形的旋转过程称为。
2.性质：①旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等).②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角).③经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等.3.旋转三要点:旋转①中心,②方向,③角度（三）反射1.概念：一个图形F绕一条直线l翻转180 得到另外一个图形F'，则F与F'关于l对称，这种图形的变化过程称为，直线l称为。
反射变换也称为轴对称变换。
2.性质：对应线段的长度不变、对应角的大小不变，但图形的位置发生了改变（四）相似与位似1.概念：①，这种图形的变化过程称为相似变换②如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.③，这种图形的变化过程称为位似变换。
位似变换是一种特殊的2.位似图形性质位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等与相似比。
通过位似变换，形状不变，对应角的大小不变，但位置发生变化3.位似的作用——利用位似可以将一个图形放大或缩小。
数学几何证明教案
数学几何证明教案教案：数学几何证明教案引言：数学几何是中学数学学科的重要内容之一，在学生的学习中起到了扎实的基础作用。
然而，数学几何证明作为数学的重要主题，往往给学生带来了很大的困扰。
本教案旨在通过一系列有趣的活动和案例，帮助学生更好地理解和掌握数学几何证明的方法和技巧。
一、引入在开始具体的数学几何证明教学前，我们首先可以通过实际生活中的案例引发学生对几何证明的兴趣。
比如，我们可以讲述城市规划师是如何通过几何证明来设计街道和建筑的。
通过这样的引导，学生可以意识到几何证明在实际应用中的重要性。
二、概念讲解在教学的第二个阶段，我们可以对几何证明的基本概念进行讲解。
首先，我们介绍什么是几何证明，几何证明的目的是什么，以及几何证明的基本要素。
然后，我们可以针对几何证明中常见的定理进行讲解，比如三角形的重心定理、垂直定理等等。
在讲解的过程中，我们可以通过多种方式来帮助学生记忆和理解，比如使用图形、模型等。
三、技巧训练在学习了几何证明的基本概念后，我们可以进行一些具体的技巧训练。
这里，我们可以选择一些较为简单的几何证明题目，通过分析和解答这些题目，让学生掌握几何证明的方法和技巧。
在训练的过程中，我们可以结合课堂互动，让学生积极参与，提高他们的解题能力。
四、实际应用在学习了基本的几何证明方法后，我们可以进一步引导学生将所学知识应用于实际生活中。
比如，我们可以通过解答一些实际问题来帮助学生理解几何证明在实际中的应用，比如如何证明两条街道垂直交叉、如何证明一个房间是等腰三角形等等。
通过这样的实际应用案例，学生不仅可以加深对几何证明的理解，同时也能培养他们的问题解决能力。
五、综合练习在实践了一定的几何证明方法后，我们可以进行一些综合性的练习。
这些练习可以包括一些结合不同的几何定理和思维方式的题目，要求学生综合运用所学知识进行解题。
通过这些练习，学生可以进一步提高他们的逻辑思维和综合运用能力。
总结：通过以上的教学活动和案例，学生能够更好地理解和掌握数学几何证明的方法和技巧。
最新2021-2022年高考数学(理)教学案： 几何证明选讲 Word版含解析
第十六章几何证明选讲考纲展示命题探究考点一平行线截割定理与相似三角形1平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3相似三角形的判定及性质(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比．(2)一般三角形相似的判定定理预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理1两角对应相等，两三角形相似．判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．判定定理3三边对应成比例，两三角形相似．(3)直角三角形相似的判定定理定理①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似．②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(4)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.注意点相似三角形性质的作用(1)可用来证明线段成比例、角相等．(2)可间接证明线段相等．(3)为计算线段的长度及角的大小创造条件．(4)可计算周长、特征线段长等.1．思维辨析(1)如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们相似．()(2)在△ABC 和△A ′B ′C ′中，若有AB A ′B ′＝AC A ′C ′，则△ABC ∽△A ′B ′C ′.( )(3)直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，则有△ABC ∽△ACD ，△ABC ∽△CBD .( )答案 (1)√ (2)× (3)√2．如图，在△ABC 中，∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为( )A.154 B ．7C.152D.245答案 C解析 由已知条件∠AED ＝∠B ，∠A 为公共角，所以△ADE ∽△ACB ，则有DE BC ＝AE AB ，从而BC ＝6×108＝152.3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶3，则∠BCD ＝________.答案 π6解析 由射影定理得，CD 2＝AD ·BD ， 又∵BD ∶AD ＝1∶3，令BD ＝x ，AD ＝3x ，∴CD 2＝AD ·BD ＝3x 2，∴CD ＝3x ，在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝33，∴∠BCD＝π6.[考法综述]考查三角形相似，利用平行线等分线段定理，三角形相似的性质，直角三角形射影定理证明两个三角形相似，通常与圆交错考查．命题法1平行线分线段成比例定理典例1如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，则BFFC的值为________．[解析]如图，过点D作DM∥AF交BC于点M.∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM .又点D 是AC 的中点，∴在△CAF 中，CM ＝MF ，∴BF FC ＝BF FM ＋MC＝12.[答案] 12【解题法】 平行线分线段成比例定理的应用以相似三角形为载体，通过三角形相似构建相应线段比，解题时要充分利用中点作辅助线，从而有效利用定理．命题法2 三角形相似的判定与性质典例2 (1)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D .①求证：PC AC ＝PD BD ；②若AC ＝3，求AP ·AD 的值．(2)如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交BD 的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E .①求证：AB 2＝DE ·BC ；②若BD ＝9，AB ＝6，BC ＝9，求切线PC 的长．[解] (1)①证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD .又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD .②因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ，所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝AC AD .所以AP ·AD ＝AC 2＝9.(2)①证明：∵AD ∥BC ，∴AB ＝CD ，∠EDC ＝∠BCD . 又PC 与⊙O 相切，∴∠ECD ＝∠DBC .∴△CDE ∽△BCD .∴DC BC ＝DE DC .∴CD 2＝DE ·BC ，即AB 2＝DE ·BC .②由①知，DE ＝AB 2BC ＝629＝4，∵AD ∥BC ，∴△PDE ∽△PBC ，∴PD PB ＝DE BC ＝49.又∵PB －PD ＝9，∴PD ＝365，PB ＝815.∴PC 2＝PD ·PB ＝365×815＝54252.∴PC ＝545.【解题法】 相似三角形的判定定理的选择(1)已知有一角相等时，可选择判定定理一与判定定理二．(2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理二与判定定理三．(3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定．1.如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·F A；③AE·CE ＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是() A．①② B．③④C．①②③D．①②④答案 D解析由弦切角定理知∠FBD＝∠BAD，∵AD 平分∠BAC ，∠CBD ＝∠CAD ，∴∠BAD ＝∠DBC .∴∠FBD ＝∠CBD ，即BD 平分∠CBF ，∴①正确；由切割线定理知，②正确；由相交弦定理知，AE ·ED ＝BE ·EC ，∴③不正确；∵△ABF ∽△BDF ，∴AB BD ＝AF BF ，∴AF ·BD ＝AB ·BF ，∴④正确．故选D.2．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________.答案 9解析 ∵EB ＝2AE ，∴AB ＝3AE ，又△DFC ∽△EF A ，∴S △CDF S △AEF＝DC 2AE 2＝AB 2AE 2＝9.3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D .求证：△ABD ∽△AEB .证明因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.4．如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF 的面积．解(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.5.如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：(1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF2＝AD·BC.证明(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2.，又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt △BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.考点二圆的初步1圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．3圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1圆的内接四边形的对角互补．性质定理2圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．判定定理的推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．4圆的切线的性质及判定定理性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．5弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．6与圆有关的比例线段相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．注意点圆中的有关定理可以解决的问题类型相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用．圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题.1．思维辨析(1)相同长度的弧所对的圆心角相等．()(2)任何四边形都有外接圆．( )(3)同一段弧所对的圆周角是圆心角的12.( )(4)圆的切线长是割线与圆交点的两条线段长的比例中项．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．如图，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若P A ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于________．答案6解析 设圆的半径为r ，则(3－r )(3＋r )＝1×3，即r 2＝6，解得r＝ 6.3．如图，过点D 作圆的切线切于B 点，作割线交圆于A ，C 两点，其中BD ＝3，AD ＝4，AB ＝2，则BC ＝________.答案 32解析 由切割线定理，得BD 2＝CD ·AD ，得CD ＝94.又∵∠A ＝∠DBC ，∠D ＝∠D ，∴△ABD ∽△BCD ，BD CD ＝AB BC ，解得BC ＝32.[考法综述] 利用圆的切线的性质、切割线定理、相交弦定理确定圆中有关线段之间的关系，解题中一般应用弦切角定理，圆周角定理等确定角之间的关系，结合三角形相似的判定与性质或三角形的其他定理确定边角之间的关系，证明有关线段的等式或者求线段的长．命题法圆中的有关定理及其应用典例如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且P A＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．[解](1)证明：如图所示，连接AB，CE.∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠ADB.又∠BAC＝∠CEP，∴∠ADB＝∠CEP，∴AD∥EC.(2)解法一：∵P A是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴P A2＝PB·PD，即62＝PB·(PB＋9)．∴PB＝3或PB＝－12(舍去)．在⊙O2中由相交弦定理，得P A·PC＝BP·PE，∴PE ＝4.∴DE ＝BD ＋PB ＋PE ＝9＋3＋4＝16.∵AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16＝144.∴AD ＝12.解法二：设BP ＝x ，PE ＝y .∵P A ＝6，PC ＝2，∴由相交弦定理得P A ·PC ＝BP ·PE ，即xy ＝12 ①∵AD ∥EC ，∴DP PE ＝APPC ，∴9＋x y ＝62 ②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－12y ＝－1(舍去)，∴DE ＝9＋x ＋y ＝16.∵AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线，∴AD2＝DB·DE＝9×16＝144，∴AD＝12.【解题法】应用圆中的有关定理的解题思路圆中的有关定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面，在与定理相关的图形不完整时，要借助辅助线补齐相应部分．处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用相似三角形．(2)利用圆的有关定理．(3)利用平行线分线段成比例定理及推论．(4)利用面积关系．1．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE分别经过点M ，N .若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，则线段NE 的长为( )A.83 B ．3 C.103 D.52 答案 A解析 由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ，则2×4＝2AM 2，AM ＝2.因为M 、N 是弦AB 的三等分点，所以AM ＝NB ，AN ＝MB ，又CN ·NE＝AN ·NB ，即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________.答案 8解析 由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是P A ＝CP ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝152.因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ，故PD P A ＝PC PO ，即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.3.如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC的延长线交于点P，若P A＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________.答案 2解析由切割线定理得P A2＝PC·PD，得PD＝P A2PC ＝623＝12，∴CD＝PD－PC＝12－3＝9，即CE＋ED＝9，∵CE∶ED＝2∶1，∴CE＝6，ED＝3.由相交弦定理得AE·EB＝CE·ED，即9EB＝6×3，得EB＝2.4．如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________.答案 3解析 ∵四边形BCFE 是圆内接四边形，∴∠C ＋∠BEF ＝180°，∴∠C ＝∠AEF ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AE AC ＝EF BC ＝12，∴EF ＝3.5．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．解(1)证明：连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.可得x＝3，所以∠ACB＝60°.6．如图所示，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.证明(1)如图所示．因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME ＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN ＝FM·FO.7．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．解 (1)证明：因为DE 为⊙O 的直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°，又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED .又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD ＝3，又BC ＝2，从而AB ＝3 2.所以AC＝AB2－BC2＝4，所以AD＝3.由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AB2＝6，AD故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，∴∠D＝∠CBE，又BC＝EC，∴∠CBE＝∠E，∴∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC，知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.∴AD∥BC，∴∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E，由(1)知，∠D＝∠E，∴△ADE为等边三角形．9.如图，P是⊙O外一点，P A是切线，A为切点，割线PBC与⊙O 相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.证明(1)连接AB，AC，由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD＋∠P AB，∠DCA＝∠P AB，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ︵＝EC ︵.因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得P A 2＝PB ·PC .因为P A ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB ，由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2.10．如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明(1)∵PD＝PG，∴∠PDG＝∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又∠PGD＝∠EGA，∴∠DBA ＝∠EGA.∴∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PF A.由AF⊥EP，得∠PF A＝90°，∴∠BDA＝90°，故AB是直径．(2)连接BC，DC.∵AB是直径，∴∠BDA＝∠ACB＝90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD.∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB＝∠CBA.又∠DCB＝∠DAB.∴∠DCB＝∠CBA，∴DC∥AB.∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角．∴ED为直径，由(1)得ED＝AB.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E在CA上，且AE＝2CE，AD，BE交于F，求AF FD.[错解][错因分析]错误得出三角形相似，比例关系混乱．[正解]取BE的中点G，连接DG在△BCE中，∵D，G是BC、BE的中点，∴DG∥EC，且DG＝12EC，又∵AE＝2CE，且DG＝12EC，∴△DFG∽△AFE，∴AFFD ＝EFFG＝AEDG＝AE12EC＝4.[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：90分钟基础组1.[2021·枣强中学期末]如图，等边三角形DEF内接于△ABC，且DE∥BC，已知AH⊥BC于点H，BC＝4，AH＝3，则△DEF的边长为________．答案 43解析 设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ，∴x 4＝3－32x 3＝2－x2，解得x ＝43.2．[2021·衡水二中仿真]如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，AD ＝5，DB ＝3，FC ＝2，则BF ＝________.答案 103解析 由平行线的性质可得BF FC ＝AE EC ＝AD BD ＝53，所以BF ＝53FC ＝103.3.[2021·枣强中学期中]如图所示，圆的内接三角形ABC 的角平分线BD 与AC 交于点D ，与圆交于点E ，连接AE ，已知ED ＝3，BD ＝6，则线段AE 的长为________．答案 3 3解析 易知∠CBE ＝∠CAE ＝∠ABE ，又∠E ＝∠E ，所以△EAD ∽△EBA ，所以AE EB ＝EDAE ，所以AE 2＝EB ·ED ＝27，所以AE ＝3 3.4．[2021·冀州中学猜题]如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.答案 6解析因为PE∥BC，所以∠C＝∠PED，所以∠A＝∠PED，又∠P 是公共角，所以△PED∽△P AE.则PD PE ＝PEP A，即PE2＝P A·PD.由PD＝2DA＝2，可得PE2＝6.∴PE＝ 6.5．[2021·武邑中学仿真]如图，过圆O外一点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D，若∠AEB＝40°，则∠PCE＝________.答案70°解析由PE为切线可得∠PEB＝∠P AE，由PC为角平分线可得∠EPC＝∠APC.由△P AE的内角和为180°，得2(∠APC＋∠BAE)＋40°＝180°，所以∠APC＋∠BAE＝70°，故∠PCE＝∠APC＋∠BAE＝70°.6．[2021·衡水中学模拟]如图，已知四边形PQRS是圆内接四边形，∠PSR＝90°，过点Q作PR，PS的垂线，垂足分别为H，K，HK 与QS交于点T，QK交PR于点M.求证：(1)QM HM ＝MP MK ； (2)QT ＝TS .证明 (1)因为∠QHP ＝∠QKP ，所以Q ，H ，K ，P 都在以QP 为直径的圆上，即Q ，H ，K ，P 四点共圆，由相交弦定理得QM ·MK ＝HM ·MP ，所以QM HM ＝MP MK .(2)因为Q ，H ，K ，P 四点共圆，所以∠HKS ＝∠HQP .因为∠PSR＝90°，所以PR 为圆的直径，所以∠PQR ＝90°，∠QRH ＝∠HQP .而∠QSP ＝∠QRH ，综上可得∠QSP ＝∠HKS ，所以TS ＝TK .又∠SKQ ＝90°，所以∠SQK ＝∠TKQ ，所以QT ＝TK ，所以QT ＝TS .7．[2021·冀州中学期中]如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过D点作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明(1)因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AB＝DC，∠ABC ＝∠DCB，又BC＝BC，所以△ABC≌△DCB.(2)因为AD∥BC，DE∥AC，所以∠EDA＝∠ACB.又由△ABC≌△DCB 知∠ACB＝∠DBC，所以∠EDA＝∠DBC.由AD∥BC得∠EAD＝∠ABC，＝又∠ABC＝∠DCB，所以∠EAD＝∠DCB.所以△AED∽△CDB，所以DEBDAE，所以DE·DC＝AE·BD.DC8．[2021·衡水中学仿真]由⊙O外一点P引⊙O的切线P A，PB，过P引割线PCD交⊙O于点C，D，OP与AB交于点E.求证：∠CEO＋∠CDO＝180°.证明如图，连接AO，则AO⊥P A，又AE⊥OP，则P A2＝PE·PO.因为P A2＝PC·PD，所以PE·PO＝PC·PD，从而C，D，O，E四点共。
高中数学选修4-1《几何证明选讲》全套教案(55页)(经典)
A1 A2
m=（m、n 为自源自数），那么怎样证明B1 B2
m
=
？并使学生试证，
A2 A3 n
B2 B3 n
并概括为：
三条平行线 l1// l2 // l3 在直线 k1 、 k2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1B2 、 B2 B3 ，那么
A1 A2 = B1B2 。 A2 A3 B2 B3
最后，使学生类比着平行线等分线段定理的叙述，试述此定理，在此过程中介绍“对应 线段”的使用，并以正反之例予以明确。
（三）应用举例
例 1（1）已知：如图 5， l1// l2 // l3 ，AB=3，DF=2，EF=4，求 BC。 （2）已知：如图 6， l1// l2 // l3 ，AB=3，BC=5，DB=4.5，求 BF。
三条平行线 l1// l2 // l3 在直线 k1 、 k2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1B2 、 B2 B3 ，如果
A1 A2
2
= ，那么
B1 B2
2
= ，即
A1 A2
= B1B2
。
A2 A3 3
B2 B3 3
A2 A3 B2 B3
继而使学生仿照前面的证明，证明这个情况。
进一步提出：
（3）已知：如图 7， l1// l2 // l3 ，AB=3，BC=5，DF=10，求 DE。 （4）已知：如图 8， l1// l2 // l3 ，AB=a，BC=b，DF=c，求 EF。
其中（1）由学生口答、教师追问理由；（2）~（4）则在学生充分思考的基础上，使其 口答。
例 2．已知线段 PQ，PQ 上求一点 D，使 PD：DQ=4：1。 先使学生讨论，而后使他们答出求法，其中既肯定“量法”，又指明“量法”的不足， 最后使他们实践。 （四）小结 1．本节课在平行线等分线段定理的基础上，学习了平行线分线段成比例定理，平行线 等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，“证明”平行线分线段成比例定理是 通过转化为平行线等分线段定理来解决的。 2．使用平行线分线段成比例定理时，一要看清平行线组；二要找准平行线组截得的对 应线段，否则就会产生错误。 （五）布置作业 补充（1）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PD：PQ=4：1； （2）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PQ：DQ=4：1
欧几里得-人教B版选修4-1几何证明选讲教案
欧几里得-人教B版选修4-1 几何证明选讲教案一、教学目标1.掌握欧几里得几何的基本概念和基本原理；2.掌握几何证明的基本思路和方法；3.培养学生的几何直觉和证明能力；4.提高学生的逻辑思维能力和数学素养。
二、教学重点1.欧几里得几何的基本概念和基本原理；2.几何证明的基本思路和方法；3.学生的几何直觉和证明能力。
三、教学难点1.学生对欧几里得几何的严谨性和抽象性的理解；2.学生对几何证明的思路和方法的掌握；3.学生对几何证明的实践能力和数学素养的提高。
四、教学方法1.讲授法；2.示范法；3.探究法；4.合作学习法。
五、教学内容和进度安排第一课时教学内容：1.欧几里得几何的基本概念和基本原理；2.直线、线段、角的定义和性质；3.同位角、对顶角等基本角的概念和性质。
#### 教学进度安排：4.讲授欧几里得几何的基本概念和基本原理30分钟；5.示范直线、线段、角的定义和性质20分钟；6.探究同位角、对顶角等基本角的概念和性质30分钟；7.合作学习掌握欧几里得几何基本概念和基本原理30分钟。
第二课时教学内容：1.图形的分类和性质；2.等式的性质和运用；3.几何定理的创新运用。
#### 教学进度安排：4.讲授图形的分类和性质30分钟；5.示范等式的性质和运用20分钟；6.探究几何定理的创新运用30分钟；7.合作学习熟练掌握几何定理的创新运用30分钟。
第三课时教学内容：1.相似三角形的定义和性质；2.对数函数的性质和运用；3.几何证明的方法和技巧。
#### 教学进度安排：4.讲授相似三角形的定义和性质30分钟；5.示范对数函数的性质和运用20分钟；6.探究几何证明的方法和技巧30分钟；7.合作学习掌握几何证明的方法和技巧30分钟。
第四课时教学内容：1.平行四边形和梯形的性质；2.变参函数的性质和运用；3.模拟竞赛证明的练习。
#### 教学进度安排：4.讲授平行四边形和梯形的性质30分钟；5.示范变参函数的性质和运用20分钟；6.探究模拟竞赛证明的练习30分钟；7.合作学习练习模拟竞赛证明30分钟。
高中数学证明几何关系教案
高中数学证明几何关系教案
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握几何关系的证明方法，提高证明能力和逻辑推理能力。
教学重点：几何关系的证明方法
教学难点：复杂几何关系的证明
教学内容及教学步骤：
一、复习和引入（5分钟）
1. 复习上节课所学内容，回顾几何图形的性质和特征；
2. 引入本节课的主题，介绍几何关系的证明方法。
二、讲解及示范（15分钟）
1. 介绍几何关系的证明方法：归纳法、反证法、割线定理等；
2. 通过具体例题，示范如何运用不同的证明方法解决几何关系问题。
三、练习及讲解（20分钟）
1. 给学生分发练习题，让学生个别或小组完成；
2. 教师在旁边进行指导和讲解，解答学生遇到的问题。
四、总结和拓展（5分钟）
1. 对本节课学习的内容进行总结，强调几何关系的证明方法；
2. 提出拓展性问题，鼓励学生积极思考和探究。
五、课堂作业（5分钟）
布置课堂作业，让学生巩固所学内容并发挥创造力。
教学反思：本节课主要围绕几何关系的证明方法展开，通过引导学生思考和实际操作，让学生掌握几何关系证明的基本技巧，提高其逻辑推理能力。
课后应及时总结学情，根据学生的实际情况调整教学方法，帮助学生更好地理解和掌握所学内容。
高中数学教案平面几何证明
高中数学教案平面几何证明高中数学教案：平面几何证明一、平面几何概述平面几何是数学的一个重要分支，研究平面上的几何图形和几何关系。
证明作为数学推理的重要手段，在平面几何中也扮演着重要的角色。
通过证明，我们可以验证一些几何性质，深入理解几何图形的本质。
二、平面几何证明的基本思路1. 了解问题：首先我们要充分理解问题，明确要证明的几何性质或关系是什么。
2. 分析几何图形：通过观察几何图形的特点，找出一些与问题相关的性质。
3. 假设和条件：根据问题的要求，建立一些假设和条件，以便进行推理和证明。
4. 推理过程：运用几何公理、定义、性质等进行推理，给出中间推导的过程。
5. 结论得出：最终根据推理过程得出结论，证明所要证明的几何性质。
三、平面几何证明的常见方法在平面几何证明中，有很多常见的方法和技巧可以帮助我们进行推理和证明。
下面介绍其中一些常见的方法：1. 归谬法：通过采用反证法的思想，假设所要证明的命题不成立，通过推理得出一个矛盾的结论，从而推翻假设，证明命题成立。
2. 构造法：通过巧妙地构造几何图形，引出一些已知性质，从而推导出所要证明的结论。
3. 直接证明法：通过运用几何定理或定义，逐步推导出所要证明的结论。
4. 分类讨论法：根据几何图形的不同情况，分别讨论，得出相应的结论。
5. 反证法：假设所要证明的命题不成立，通过推理得出一个矛盾的结论，推翻假设，证明命题成立。
四、平面几何证明的实例1. 证明等腰三角形的两底角相等：思路：假设△ABC是一个等腰三角形，即AB = AC。
我们需要证明∠B = ∠C。
步骤：（1）连接CA、CB；（2）由假设可知，AB = AC，同时由△ABC为等腰三角形可得，∠ACB = ∠ABC；（3）根据三角形内角和定理，∠ACB + ∠ABC + ∠BAC = 180°；（4）结合（2）和（3）可以得出∠B + ∠C + ∠BAC = 180°，即∠B + ∠C = 180° - ∠BAC；（5）由于三角形的内角和为180°，可知∠B + ∠C = 180° - ∠BAC，即∠B = ∠C。
高中数学教案几何形的证明方法
高中数学教案几何形的证明方法高中数学教案：几何形的证明方法一、引言在高中数学学习中，几何形的证明方法是非常重要的一部分。
通过证明，我们能够深入理解几何形的性质和关系，培养逻辑思维和推理能力。
本教案将详细介绍几何形的证明方法，帮助学生更好地掌握相关知识。
二、点的位置关系的证明方法1. 直线的证明方法：a) 共线证明：根据点共线的定义，通过构造等于左边或右边的线段来证明。
b) 平行证明：利用平行线的性质，如同位角相等、内错角相等等进行证明。
2. 角的证明方法：a) 相等角证明：通过构造等于某个角的角度来证明。
b) 相似角证明：利用相似三角形中对应角相等的性质来证明。
3. 线段的证明方法：a) 线段相等证明：根据线段相等的性质，通过构造等于某个线段的线段来证明。
b) 线段比较证明：利用知识点，如比较大小的定理等进行证明。
三、三角形的证明方法1. 三角形的全等与相似证明方法：a) 全等证明：通过构造其他三角形的边和角相等来证明三角形全等。
b) 相似证明：利用相似三角形的定义和性质，如等角对应、比例关系等进行证明。
2. 三角形性质的证明方法：a) 三角形内角和：根据三角形内角和的定理和等腰三角形性质进行证明。
b) 三角形外角和：通过外角和的性质进行证明，如外角等于两个不相邻内角之和。
四、四边形的证明方法1. 平行四边形的证明方法：a) 对边平行证明：利用平行四边形的定义和性质进行证明，如对角线互相垂直、对角线等分等。
b) 对角线比例证明：通过构造线段比值等于已知线段比值来证明。
2. 矩形、菱形和正方形的证明方法：a) 矩形证明：通过证明对边平行且相等来证明。
b) 菱形证明：利用菱形的定义和性质进行证明，如对角线相互垂直，对角线等长等。
c) 正方形证明：通过证明矩形和菱形的性质来推导证明。
五、圆的证明方法1. 圆的性质证明：a) 圆心角证明：通过证明双缺角相等来证明圆心角。
b) 弧长证明：利用弧长和圆心角的关系进行证明。
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高二数学教案：几何证明选讲〔共计10课时〕授课类型：新授课一【教学内容】1．复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。
2．证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
3．证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
二【教学重点、难点】明白得相似三角形的定义与性质定理．2.把握以下定理的证明：〔1〕直角三角形射影定理；〔2〕圆周角定理；〔3〕圆的切线判定定理与性质定理；〔4〕相交弦定理；〔5〕圆内接四边形的性质定理与判定定理〔6〕切割线定理三【教学过程】第一讲相似三角形的判定及有关性质以〝平行线分线段成比例定理〞为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等，其中，差不多数学思想是比例及其性质的应用；第1课时. 基础知识:平行线等分线段定理:假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 通过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________。
推论2: 通过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________。
例题选讲：例1：线段ＡＢ求作：线段ＡＢ的三等分点作法：1、作射线AC2、在射线AC上顺次截取AD=DE=EF3、连结BF4、过点D、E分不作BF的平行线分不交AB于点L、K点L、K为所求的三等分点作业练习：课本P5 习题1.1第2课时. 基础知识:平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边〔或两边的延长线〕所得的对应线段____________。
例题选讲：例1 如图D在AB上，DE∥BC，DF∥AC，AE=4,EC=2,BC=8. 求BF和CF的长.例2、如图，DE//BC ，EF//CD ，求AD 是AB 和AF 的比例中项。
例3 平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
作业练习：课本P9-10 习题1.2第3、4课时. ［复习提咨询］1．什么叫相似三角形？什么叫相似比？定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比K ，叫做相似比〔或相似系数〕． ［讲解新课］我们明白，用相似三角形的定义能够判定两个三角形相似，但涉及的条件较多，需要有 三对对应角相等，三条对应边的比也都相等，明显用起来专门不方便．那么从本节课开始我们来研究能不能用较少的几个条件就能判定三角形相似呢？ 基础知识:预备定理：平行三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似.判定定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简单讲成：两角对应相等，两三角形相似．判定定理2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，同时夹角相等，那么这两个三角形相似．简单讲成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
能够简单讲成：三边对应成比例,两三角形相似。
例题选讲：例2 圆内接△ ABC 的角平分线CD 延长线交圆于一点E 。
求证： 例4 ： D 、E 、F 分不是△ABC 三边的中点, 求证： ΔDEF ∽ △ABC基础知识:定理 〔1〕有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似(2)假如两个直角三角形两条直角边对应成比例那么这两个三角形相似直角三角形相似的判定定理：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于_______；A BDE C FCB DBEC EB相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；例6 如图，锐角△ABC ，BC=24cm,BC 边上的高AD=12cm.要把它加工成正方形，如图，求那个正方形的边长。
作业练习：课本P19-20 习题1.3第5课时.. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项； 两直角边分不是它们在斜边上_______与_________的比例中项。
作业练习：课本P22 习题1.4第二讲 直线与圆的位置关系 (共5课时)以〝圆周角定理〞和〝圆的切线概念〞为起点，采纳从专门到一样的思想方法，得出圆内接四边形的性质和判定定理的猜想及其证明，圆的切线的性质和判定的有关定理 基础知识:1.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______。
推论2：半圆〔或直径〕所对的圆周角是_______；90o 的圆周角所对的弦是________。
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。
2.圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆的内接四边形的对角_______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_________。
假如一个四边形的对角互补，那么那个四边形的四个顶点__________；假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么那个四边形的四个顶点_________。
3.切线的性质定理：圆的切线垂直于通过切点的__________。
推论：通过圆心且垂直于切线的直线必通过________；通过切点且垂直于切线的直线必通过______。
切线的判定定理：通过半径的外端同时垂直于这条半径的直线是圆的__________。
4.相交弦定理：圆内两条相交弦，________________________________的积相等。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，________________________________的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是________________________________的比例中项。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_____;圆心和这点的连线平分_______的夹角。
、例题选讲：C D QM例1 ：如图,AD是△ABC的高，AE是ABC的外接圆直径。
求证：AB .AC=AE .AD例2 如图，AB与CD相交于一点P。
求证：AD的度数与BC的度数和的一半等于∠APD的度数.作业练习：课本P26 习题2.1例1：如图⊙O1与⊙O2都通过A、B两点，通过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与⊙O2 交于点D。
通过点B的直线EF与⊙O1 交于点E，与⊙O2 交于点F。
求证：CE∥DF例2：如图,CF是△ABC的AB边上的高EE,BCPF⊥ACFQ⊥求证：A,B,P ,Q 四点共圆.作业练习：课本P30 习题2.2例1 ： 如图，AB 是⊙O 的直径,⊙O 过BC 的中点D ，DE ⊥AC ，求证：DE 是⊙O 的切线。
例2 ： 如图，AB 是⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线垂直，垂足为D 。
求证:AC 平分作业练习：课本P32 习题2.3例 1 ：如图， AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线CE 和⊙O 切于点C ，AD ⊥CE ，垂足为D 。
试讲明AC 平分∠BAD 。
作业练习：课本P34 习题2.4BCA QPFAA例 1 ：如图圆内两条相交弦AB,CD 相交于圆内一点P ，PA=PB=4, PDPC 41=求CD 的长。
例 2 如图E 是圆内两条相交弦AB,CD 的交点，EF//CB,交AD 的延长线与F,FG 切圆于G 。
求证：〔1〕ΔDEF ∽ △EFA ; (2)EF=FG例 4 如图AB 是⊙O 的直径，过A ，B 引两条弦AD 和BE ，相交点C.求证：2ABBE BC AD AC =⋅+⋅作业练习：课本P40 习题2.5四. 【小结】几何证明选讲有助于培养学生的逻辑推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程序，它还包含着大量的观看、探究、发觉的制造性过程。
本专题从复习相似图形的性质入手，证明一些反映圆与直线关系的重要定理，提高学生运用综合几何方法解决咨询题的能力。
五、【布置作业】 1如下图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，4,8CD BD ==，那么圆O 的半径等于 ．2.如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 的直径，假设PA=4，PC=5，CD=3，那么∠CBD= 。
E BC DF OBAC D PF AB C DEOGACOBPD1题图3. 如下图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，4,8CD BD ==，那么圆O 的半径等于 ．4. 如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 的直径，假设PA=4，PC=5，CD=3，那么∠CBD= 。
A CO B PD 3题图。