概率论公式总结
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第一章
P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)
特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式
概率的乘法公式
全概率公式：从原因计算结果
Bayes 公式：从结果找原因
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
泊松分布——X~P(λ)
)
()()|(B P AB P B A P =
)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n
k k k B A P B P A P 1)
|()()(∑==
n
k k
k
i i k B A P B P B A P B P A B P 1
)
|()()
|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)
1,0(!
)(==
=-k e k k X P k
，λλ∑≤==≤=x
k k X P x X P x F )
()()(
概率密度函数
怎样计算概
率
均匀分布X~U(a,b)
指数分布X~Exp ()
对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系：
二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法
联合密度函数 联合分布函数
1)(=⎰
+∞
∞
-dx x f )
(b X a P ≤≤⎰=≤≤b
a
dx x f b X a P )()(⎰∞-=≤=x
dt t f x X P x F )()()(⎰
∞
-=≤=x
dt t f x X P x F )()()()
,(y x f )
,(y x F 0
),(≥y x f 1
),(=⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-dxdy y x f )(1)(b x a a
b x f ≤≤-=
联合密度与边缘密度
离散型随机变量的独立性
连续型随机变量的独立性
第三章 数学期望
离散型随机变量，数学期望定义
连续型随机变量，数学期望定义
● E(a)=a ，其中a 为常数
● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量
随机变量g(X)的数学期望
常用公式
⎰+∞∞
-=dy y x f x f X ),()(⎰+∞
∞
-=dx
y x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞
-∞
=⋅=
k k
k
P x
X E )(⎰+∞
∞
-⋅=dx
x f x X E )()(∑=k
k
k p x g X g E )())((∑∑=i
j
ij
i p x X E )(∑∑=i
j
ij
j i p y x XY E )(
方差 定义式
常用计算式 常用公式
当X 、Y 相互独立时： 方差的性质
D(a)=0，其中a 为常数
D(a+bX)= abD(X)，其中a 、b 为常数 当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数
协方差的性质
独立与相关
独立必定不相关、相关必定不独立、不相关不一定独立 dxdy
y x xf X E ⎰⎰=),()()
()()(Y E X E Y X E +=+dxdy
y x xyf XY E ⎰⎰=),()()
()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰
+∞
∞
-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2
[]
2
2)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)
()(),(Y D X D Y X Cov XY
=
ρ[][]{})
()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(2
2X D X E X E X X Cov =-=)
,(),(Y X abCov bY aX Cov =
第四章 正态分布
标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式
)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤
)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥
)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤
1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P 一般正态分布的概率计算
一般正态分布的概率计算公式
)
,(~2σμN X 2
22)(21
)(σμσ
π--
=
x e x f 2
)(,)(σμ==X D X E )
(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σ
μ
σμ-=
⇔(
)()(σ
μ
-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σ
μ
-Φ-=>=≥a a X P a X P )
(
)(
)(σ
μ
σ
μ
-Φ--Φ=≤≤a b b X a P