几何三大变换讲义及答案
初中数学学--几何三大变换含答案
平面直⻆坐标系中，原点 关O 于直线y = − 4 x + 对4 称点O1的坐标是 3
答案
， 96
(
72
)
25
25
解析
图 如 ，
线 对称点 ∵ 原点O关于直
4
y= − x+4
, O1
3
∴ OO1⊥AB
设 线 为 轴于 OO1 与直
的 交 点 4
x
4/9
(1)
答案
标为 ① k = −8； ② 存在，点P 的坐
或 或 或 ； (−4, 2) (−2, 4) (4, −2) (2, −4)
解析
过点 轴于点 ，过点 轴于点 图 ①
作 A AE⊥x
E
作 B BF ⊥x
F，如 1所示．
轴 轴 , , ∵BF ⊥x
AE⊥x
， ∘
∴∠BF O = ∠OEA = 90
2
2
4 【2016年江苏南京玄武区八年级下学期期末考试数学试卷】
如图，在平面直⻆坐标系中，点B是反比例函数y = k 的图象上任意一点，将点B绕原点 顺O 时针方向旋转
到点 ． ∘
90
A
x
(1) 若点A的坐标为(4, ，2) ①求k的值；②在反比例函数y=的图象上是否存在一点P，使得△AOP是等 腰三⻆形且∠AOP是顶⻆，若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (2) 当k = −1，点B在反比例函数y = k 的图象上运动时，判断点A在怎样的图象上运动？并写出表达式．
AC = √(2 + √3)
+
2
1
=
√6
几何三大变换(对应点、新关系)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：平移的思考层次的第二层是什么？问题2：旋转的思考层次的第二层是什么？问题3：轴对称的思考层次的第二层是什么？问题4：拿到一个几何三大变换的题目，若转移边转移角之后不能解决问题应该怎么做？几何三大变换（对应点、新关系）（北师版）一、单选题(共8道，每道11分)1.如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数是90°，则∠B的度数是( )A.70°B.60°C.50°D.40°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质2.如图，在△ABC中，AC=8，BC=6，AB=10，把△ABC沿AB边翻折到△ABC′（在同一个平面内），则CC′的长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题3.如图所示直角三角板ABC，斜边AB=6，∠A=30°，现将其绕点C沿顺时针方向旋转90°至△A′B′C的位置，再沿CB向左平移使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上．则三角板向左平移的距离为( )A.1B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质4.如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN.若CE的长为8cm，则MN的长为( )A.12cmB.12.5cmC.cmD.13.5cm答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题5.如图，矩形纸片ABCD，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是( )cm．A. B.3C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转α角，得到△DEC，CD与AB交于点F，连接AD．当旋转角α的度数为( )时，△ADF是等腰三角形．A.30°或60°B.20°或40°C.25°或50°D.20°或40°或60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质7.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠FEC的度数为( )A.50°B.52.5°C.60°D.54°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题8.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为( )A. B. C. D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质二、填空题(共1道，每道12分)9.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着BC平移得到△A′B′C′，若重叠部分的面积为1cm2，则平移的距离AA′=____cm．答案：1解题思路：试题难度：知识点：平移的性质。
几何变换详解
几何变换详解在三维图形学中，几何变换大致分为三种，平移变换（Translation），缩放变换（Scaling），旋转变换（Rotation）。
以下讨论皆针对DirectX，所以使用左手坐标系。
平移变换将三维空间中的一个点[x, y, z, 1]移动到另外一个点[x', y', z', 1]，三个坐标轴的移动分量分别为dx=Tx, dy=Ty, dz=Tz, 即x' = x + Txy' = y + Tyz' = z + Tz平移变换的矩阵如下。
缩放变换将模型放大或者缩小，本质也是对模型上每个顶点进行放大和缩小（顶点坐标值变大或变小），假设变换前的点是[x, y, z, 1]，变换后的点是[x', y', z', 1]，那么x' = x * Sxy' = y * Syz' = z * Sz缩放变换的矩阵如下。
旋转变换这是三种变换中最复杂的变换，这里只讨论最简单的情况，绕坐标轴旋转，关于绕任意轴旋转，在后续的随笔中介绍。
绕X轴旋转绕X轴旋转时，顶点的x坐标不发生变化，y坐标和z坐标绕X轴旋转θ度，旋转的正方向为顺时针方向（沿着旋转轴负方向向原点看）。
[x, y, z, 1]表示变换前的点，[x', y', z', 1]表示变换后的点。
变换矩阵如下。
关于旋转的正方向，OpenGL与多数图形学书籍规定旋转正方向为逆时针方向（沿着坐标轴负方向向原点看），比如ComputerGraphics C Version，p409。
绕Y轴旋转绕Y轴旋转时，顶点的y坐标不发生变化，x坐标和z坐标绕Y轴旋转θ度。
[x, y, z, 1]表示变换前的点，[x', y', z', 1]表示变换后的点。
变换矩阵如下。
绕Z轴旋转绕Z轴旋转时，顶点的z坐标不发生变化，x坐标和y坐标绕Z轴旋转θ度。
初中数学总复习《几何三大变化—平移》讲义
教师辅导讲义学员姓名：辅导课目：数学年级：九年级学科教师：汪老师授课日期及时段课题初中数学总复习——几何三大变化——平移学习目标教学内容初中数学总复习——几何三大变化——平移轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。
平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。
平移由移动的方向和距离决定。
经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。
在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。
结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换：（1）构造平移图形；（2）点的平移；（3）直线（线段）的平移；（4）曲线的平移；（5）三角形的平移；（6）四边形的平移；（7）圆的平移。
【一、构造平移图形：】例1、（2012江苏泰州10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1 绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．（1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；（2）计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）1、（2012福建泉州9分）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数ky x=与直线的交点A 、B 均 在格点上，根据所给的直角坐标系（点O 是坐标原点），解答下列问题： （1）分别写．出点A 、B 的坐标后，把直线AB 向右平移平移5个单位， 再在向上平移5个单位，画．出平移后的直线A ′B ′. （2）若点C 在函数ky x=的图像上，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形， 请写出点C 的坐标.【二、点的平移：】例1、（2012辽宁鞍山3分）在平面直角坐标系中，将点P （﹣1，4）向右平移2个单位长度后，再向下平移 3个单位长度，得到点P 1，则点P 1的坐标为 ．例2、（2012安徽省4分）如图，A 点在半径为2的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线 ，与⊙O 过A 点的 切线交于点B ，且∠APB=60°，设OP= x ，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图像大致是【 】例3、（2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD 的边长为a ，动点P 从点A 出发， 沿折线A →B →D →C →A 的路径运动，回到点A 时运动停止．设点P 运动的路程长为 长为x ，AP 长为y ，则y 关于x 的函数图象大致是【 】A ．B ．C ．D ．例4、（2012湖北黄石3分）如图所示，已知A 11(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x=图像上的两点，动点 P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【 】A. 1(,0)2B. (1,0)C. 3(,0)2D. 5(,0)2例5、（2012辽宁大连3分）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C－D－E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（－1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为【】A.1B.2C.3D.4例6、（2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。
几何三大变换(作图)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：平移的思考层次分别是什么？问题2：旋转的思考层次分别是什么？问题3：轴对称的思考层次分别是什么？几何三大变换（作图）（北师版）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则此时点A的对应点的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转三要素2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=α，将△ABC绕点C逆时针旋转得到，当点落在直线AB上时，旋转角为（其中），那么之间的数量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转三要素3.在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，.将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD 边上的点处，折痕DE交BC于点E，连接，则四边形的形状准确地说应为( )A.矩形B.菱形C.梯形D.平行四边形答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转三要素4.当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD（矩形纸片要足够长），我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF 交AD于F．则∠AFE=( )A.60°B.67.5°C.72°D.75°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠的性质5.在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB，AC边分别交于点E，点F．若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，则纸片中∠B的度数为( )A.45°B.30°或45°C.30°或22.5°D.30°，22.5°或45°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠的性质。
第7讲 几何三大变换问题及答案
1.如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN的值．类比归纳：在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14CE CD =，则AM BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AM BN的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓展：如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN的值等于__．（用含m n ，的式子表示）2. 2.如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后再展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.图一图二图三（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．当它的“折痕△BEF”的顶点E位于边AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存在，为什么？3.课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0A2），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示．（1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________；（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想设正n边形A0A1A2…A n-1与正n边形A0B1B2…B n-1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…B n-1绕顶点A0逆时针旋转α（n1800<< ）．（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；（4）试猜想在n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．4.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）5.刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，90°，B ∠=306cm °，；A BC ∠==图②中，90D ∠=°，45E ∠=°，4cm DE =.图③是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF △的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将DEF △沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上（移动开始时点D 与点A 重合）．（1）在DEF △沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F C 、两点间的距离逐渐_________．（填“不变”、“变大”或“变小”）（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当DEF △移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F C 、的连线与AB 平行？问题②：当DEF △移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD FC BC 、、的长度为三边长的三角形是直角三角形？问题③：在DEF △的移动过程中，是否存在某个位置，使得15FCD ∠=°？如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．1.如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．图1图2图3。
中考复习几何三大变换
几何综合——三大变换【例1】已知△ABC ，AD ∥BE ，若∠CBE ＝4∠DAC ＝80°，求∠C 的度数。
CDEBA【例2】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，且BD ＝BC ，AC ⊥BD 。
求证：AD ＋BC ＝2CM 。
MDCB A【例3】已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，FG ⊥DE 于点H 。
⑴求证：FG ＝DE 。
⑵求证：FD EG 。
HGFEDC BA【例4】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD ＝CE 。
求证：2DE ≥BC 。
EDCB A【例5】(2007北京)如图，已知△ABC 。
⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E (BC 的中点除外)，连结AD 、AE ，写出使此 图中只存在．．．两对．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB ＋AC ＞AD ＋AE 。
板块二 轴对称变换【例6】把正方形沿着EF 折叠使点B 落在AD 上， B 'C '交CD 于点N ，已知正方形的边长为1，求△DB'N的周长。
NC'FEB'D C BA【例7】（2009山西太原）问题解决：如图1，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D 、重合），压平后得到折痕MN 。
当12CE CD 时，求AMBN的值。
图1N MF ED CBA【例8】⑴(2009浙江温州)如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙O 的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA '恰好与⊙O 相切于点A '(△EF A '与⊙O 除切点外无重叠部分)，延长F A '交CD 边于点G ，则A 'G 的长是________。
G FC⑵将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若AD ＝4，DB ＝5，则BC 的长是________。
中考几何三大变换(含答案17页)
中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解）几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形之间的关系(平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和相互间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用.下面我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究.解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力.1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质。
专题：压轴题。
分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG．解答：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=FD，同理，在Rt△DEF中，EG=FD，∴CG=EG．（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG；在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG；在矩形AENM中，AM=EN，在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG．证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC，在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE∴∠MEF=∠CEB．∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=MC，∴EG=CG．（3）解：（1）中的结论仍然成立．即EG=CG．其他的结论还有：EG⊥CG．点评：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．2．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E 是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。
几何三大变换(补全、构造)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：题目中如何什么特征时考虑旋转结构？问题2：平移变换中会产生什么特殊的四边形？几何三大变换（补全、构造）（北师版）一、单选题(共3道，每道20分)1.如图，凸四边形ABCD满足条件：AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，则AC与BC+CD的数量关系为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：作图—旋转变换2.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=5，BC=9，以A为旋转中心将腰AB 顺时针旋转90°至AE，连接DE，则△ADE的面积为( )A.8B.10C.12D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质与判定3.如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°，，点A，B的坐标分别为（2，0）（8，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=3x-3上时，线段BC扫过的面积为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质二、填空题(共2道，每道20分)4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，如果cm，则四边形ABCD的面积为____cm2.答案：6解题思路：试题难度：一颗星知识点：作图—旋转变换5.如图，在等边三角形ABC中，点O是AC边上，且OA=3,OC=6,点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是____.答案：6解题思路：试题难度：一颗星知识点：全等三角形。
综合复习——几何三大变换(轴对称)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：折叠是__________，变换前后______、______都相等，从而实现条件的转移．折叠前后的图形关于_________________对称．综合复习——几何三大变换（轴对称）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，长方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2）．点D，E 分别在AB，BC边上，BD=BE=1．沿直线将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为( )A.（1，2）B.（2，1）C.（2，2）D.（3，1）答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题2.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点B重合，折痕为EF，AE=4cm，CE=8cm，则折痕EF的长是( )A.4cmB.6cmC.8cmD.12cm答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题3.有一条长方形纸带，按如图方式折叠，纸带重叠部分中的∠α的度数为( )A.60°B.70°C.75°D.80°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题4.如图是一张足够长的长方形纸条ABCD，以点A所在直线为折痕，折叠纸条，使点B落在边AD上，折痕与边BC交于点E；然后将其展平，再以点E所在直线为折痕，使点A落在边BC上，折痕EF交边AD于点F．则∠AFE的大小是( )A.22.5°B.45°C.60°D.67.5°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题5.如图，先把长方形ABCD对折，折痕为MN，展开后再折叠，使点B落在MN上，此时折痕为AE，点B在MN上的对应点为，则=( )A.15°B.30°C.45°D.60°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题6.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点的位置，连接．如果DC=2，那么=( )A. B.2C. D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题7.如图，在图1所示的长方形ABCD中，点E在AD上，且BE=2AE．分别以BE，CE为折痕，将A，D向BC的方向折过去，折叠后的图形如图2所示．若，则∠BCE的度数为( )A.30°B.32.5°C.35°D.37.5°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题8.图1为一张三角形纸片ABC，点P在BC上．将A折至P时，出现折痕BD，点D在AC上，如图2所示．若△ABC的面积为80，△DBC的面积为50，则BP与PC的长度比为( )A.3:2B.5:3C.3:5D.13:8答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题。
初中数学总复习《几何三大变化—旋转》讲义
教师辅导讲义学员姓名：辅导课目：数学年级：九年级学科教师：汪老师授课日期及时段课题初中数学总复习——几何三大变化——旋转学习目标教学内容初中数学总复习——几何三大变化——旋转轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。
旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。
旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。
经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。
特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。
在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。
结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换：（1）中心对称和中心对称图形；（2）构造旋转图形；（3）有关点的旋转；（4）有关直线（线段）的旋转；（5）有关等腰（边）三角形的旋转；（6）有关直角三角形的旋转；（7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转；（8）有关正方形的旋转；（9）有关其它图形的旋转。
【一、中心对称和中心对称图形：】例1、（2012福建宁德4分）下列两个电子数字成中心对称的是【】例2、（2012湖北随州4分）下列图形：①等腰梯形，②菱形，③函数1y=x的图象，④函数y=kx+b(k≠0)的图象，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有【】A．①②B. ①③C. ①②③D. ②③④1、（2012黑龙江大庆3分）下列哪个函数的图象不是中心对称图形【】A.y2x=-B.2yx=C．()2y x2=-D.y2x=2、（2011云南曲靖3分）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称。
初中数学竞赛中考讲义之几何三大变换之旋转
第32讲几何三大变换之旋转旋转的性质【例题讲解】例题1．如图所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若145AOD ∠=︒，则BOC ∠=度．【解答】解：由图145AOD ∠=︒ ，1459055AOC AOD COD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，则905535BOC ∠=︒-︒=度．故答案为：35．例题2．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC ∆绕C 点按逆时针方向旋转α角(090)α︒<<︒得到DEC ∆，设CD 交AB 于F ，连接AD ，当旋转角α度数为，ADF ∆是等腰三角形．旋转中心：O旋转角：∠AOA'=∠BOB'=∠COC'性质：OA=OA'、OB=OB'、OC=OC'旋转中心：B旋转角：∠ABA'=∠CBC'性质：AB=A'B 、CB=C'B 连接AA'、CC'△ABA'∽△CBC'，且均为等腰三角形【解答】解：ABC ∆ 绕C 点按逆时针方向旋转α角(090)α︒<<︒得到DEC ∆，DCA α∴∠=，CD CA =，11(180)9022CDA CAD αα∴∠=∠=︒-=︒-，ADF ∆ 是等腰三角形，30DFA α∠=︒+，①CD CA =，则CDA CAD ∠=∠，当FD FA =，则FDA FAD ∠=∠，这不合题意舍去，②当AF AD =，ADF AFD ∴∠=∠，190302αα∴︒-=︒+，解得40α=︒；③当DF DA =，DFA DAF ∴∠=∠，13090302αα∴︒+=︒--︒，解得20α=︒．故答案为40︒或20︒．【旋转60°】得等边例题3.如图，在直角坐标系中，点A 在y 轴上，△AOE 是等边三角形，点P 为x 轴正半轴上任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针60°得到线段AQ ，连接QE 并延长交x 轴于点F .（1）问∠QFP 角度是否发生变化，若不变，请说明理由；（2）若AO =，OP =x ，请表示出点Q 的坐标（用含x 的代数式表示）【解答】（1）不变（2）【旋转90°】构造全等例题4．如图，在平面直角坐标系中，点(,)A a b 为第一象限内一点，且a b <．连结OA ，并以点A 为旋转中心把OA 逆时针转90︒后得线段BA ．若点A 、B 恰好都在同一反比例函数的图象上，则b a的值等于多少？【解答】解：过A 作AE x ⊥轴，过B 作BD AE ⊥，90OAB ∠=︒ ，90OAE BAD ∴∠+∠=︒，90AOE OAE ∠+∠=︒ ，BAD AOE ∴∠=∠，在AOE ∆和BAD ∆中，90AOE BAD AEO BDA AO BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AOE BAD AAS ∴∆≅∆，AE BD b ∴==，OE AD a ==，DE AE AD b a ∴=-=-，OE BD a b +=+，则(,)B a b b a +-；A 与B 都在反比例图象上，得到()()ab a b b a =+-，整理得：22b a ab -=，即2(10b b a a--=， △145=+=，∴152b a ±=， 点(,)A a b 为第一象限内一点，0a ∴>，0b >，则152b a +=．故答案为152+．【旋转180°】由中心对称得平行四边形例题5．如图所示，抛物线2:(0,0)m y ax b a b =+<>与x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．将抛物线m 绕点B 旋转180︒，得到新的抛物线n ，它的顶点为1C ，与x 轴的另一个交点为1A ．（1）四边形11AC A C 是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；（2）若四边形11AC A C 为矩形，请求出a ，b 应满足的关系式．【解答】解：（1）当1a =-，1b =时，抛物线m 的解析式为：21y x =-+．令0x =，得：1y =．(0,1)C ∴．令0y =，得：1x =±．(1,0)A ∴-，(1,0)B ，C 与1C 关于点B 中心对称，∴抛物线n 的解析式为：22(2)143y x x x =--=-+；四边形11AC A C 是平行四边形．理由：连接AC ，1AC ，11A C ，C 与1C 、A 与1A 都关于点B 中心对称，1AB BA ∴=，1BC BC =，∴四边形11AC A C 是平行四边形．（2）令0x =，得：y b =．(0,)C b ∴．令0y =，得：20ax b +=，∴x =∴(A B ，∴AB BC ===．要使平行四边形11AC A C 是矩形，必须满足AB BC =，∴=，∴24(b b b a a⨯-=-，3ab ∴=-．a ∴，b 应满足关系式3ab =-．例题6．如图1，抛物线23y ax ax b =-+经过(1,0)A -，(3,2)C 两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B ．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，过点(1,1)E -作EF x ⊥轴于点F ，将AEF ∆绕平面内某点旋转180︒后得MNQ ∆（点M ，N ，Q 分别与点A ，E ，F 对应），使点M ，N 在抛物线上，求点M ，N 的坐标．【解答】解：（1） 抛物线23y ax ax b =-+过(1,0)A -、(3,2)C ，03a a b ∴=++，299a a b =-+．解得12a =-，2b =，∴抛物线解析式213222y x x =-++．（2）如图2，由题意知，AEF ∆ 绕平面内某点旋转180︒后得MNQ ∆，∴设绕点I 旋转，联结AI ，NI ，MI ，EI ，AI MI = ，NI EI =，∴四边形AEMN 为平行四边形，//AN EM ∴且AN EM =．(1,1)E - 、(1,0)A -，∴设(,)M m n ，则(2,1)N m n -+M 、N 在抛物线上，213222n m m ∴=-++，2131(2)(2)222n m m +=--+-+，解得3m =，2n =．(3,2)M ∴，(1,3)N ．【旋转过后落点问题】例题7．如图，Rt ABC ∆中，已知90C ∠=︒，48B ∠=︒，点D 在边BC 上，2BD CD =，把Rt ABC ∆绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度后，如果点B 恰好落在初始Rt ABC ∆的边上，那么m =．【解答】解：当旋转后点B 的对应点B '落在AB 边上，如图1，Rt ABC ∆ 绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度得到Rt △A B C '''，DB DB ∴'=，B DB m ∠'=，48DB B B ∴∠'=∠=︒，18084B DB DB B B ∴∠'=︒-∠'-∠=︒，即84m =︒；当点B 的对应点B '落在AB 边上，如图2，Rt ABC ∆ 绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度得到Rt △A B C '''，DB DB ∴'=，B DB m ∠'=，2BD CD = ，2DB CD ∴'=，90C ∠=︒ ，30CB D ∴∠'=︒，60CDB ∴∠'=︒，18060120B DB ∴∠'=︒-︒=︒，即120m =︒，综上所述，m 的值为84︒或120︒．故答案为84︒或120︒．例题8．如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，点O 在AB 上，且6CA CO ==，1cos 3CAB ∠=，若将ACB ∆绕点A 顺时针旋转得到Rt △AC B ''，且C '落在CO 的延长线上，连接BB '交CO 的延长线于点F ，则BF =．【解答】解：过C 作CD AB ⊥于点D ，CA CO = ，AD DO ∴=，在Rt ACB ∆中，16cos 3AC CAB AB AB∠===，318AB AC ∴==，在Rt ADC ∆中：1cos 3AD CAB AC ∠==，123AD AC ∴==，24AO AD ∴==，18414BO AB AO ∴=-=-=，△AC B ''是由ACB ∆旋转得到，AC AC ∴='，AB AB ='，CAC BAB ∠'=∠'，1(180)2ACC CAC ∠'=︒-∠' ，1(180)2ABB BAB ∠'=︒-∠'，ABB ACC ∴∠'=∠'，∴在CAO ∆和BFO ∆中，BFO CAO ∠=∠，CA CO = ，COA CAO ∴∠=∠，又COA BOF ∠=∠ （对顶角相等），BOF BFO ∴∠=∠，14BF BO ∴==．故答案为：14．例题9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26(0)y mx mx n m =++>与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线BC 交y 轴于E ，且ABC ∆与AEC ∆这两个三角形的面积之比为2:3．（1）求点A 的坐标；（2）将ACO ∆绕点C 顺时针旋转一定角度后，点A 与B 重合，此时点O 的对应点O '恰好也在y 轴上，求抛物线的解析式．【解答】解：（1）如图1，抛物线26(0)y mx mx n m =++>∴对称轴3x =-，当:2:3ABC AEC S S ∆∆=时，:2:1ABC AEB S S ∆∆∴=，过点C 作CF x ⊥轴于F ，:2:1CF OE ∴=易知，BFC BOE ∆∆∽，::2:1BF OB CF OE ∴==，1OB ∴=，2BF =，5OA ∴=，(5,0)A ∴-，(1,0)B -；（2）(1,0)B - ，06m m n ∴=-+，5n m ∴=，(3,4)C m ∴--，如图2，作CF AB ⊥于F ，CP OD ⊥于P ，则四边形CFOP 是矩形，4OP CF m ∴==，3CP OF ==，OP O P '=，28OO OP m'∴==由旋转知，5OA BO '==，在Rt BOO '∆中，1OB =，根据勾股定理得，2285126m =-=，64m ∴=263656424y x x ∴=++【旋转+“恰好”问题】例题10．如图，在直角坐标系中，直线4y =+分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，点A 、B 分别在y 轴、x 轴上，且30B ∠=︒，4AB =，将ABO ∆绕原点O 顺时针转动一周，当AB 与直线MN 平行时点A 的坐标．【另外再可思考，当“AB 所在直线与MN 垂直时点A 的坐标”】【解答】解：①4AB = ，30ABO ∠=︒，122OA AB ∴==，903060BAO ∠=︒-︒=︒，120OAD ∴∠=︒，直线MN 的解析式为43y x =-+，30NMO ∴∠=︒，//AB MN ，30ADO NMD ∴∠=∠=︒，30AOC ∴∠=︒，112AC OA ∴==，OC ∴==∴点A 的坐标为，1)；② 图②中的点A 与图①中的点A 关于原点对称，∴点A 的坐标为：(，1)-，故答案为：，1)、(1)-．例题11．在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点(3,0)A ，(0,4)B ，以点A 为旋转中心，把ABO ∆顺时针旋转，得ACD ∆．记旋转角为α．ABO ∠为β．（Ⅰ）如图①，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当旋转后满足//BC x 轴时，求α与β之间的数量关系：（Ⅲ）当旋转后满足AOD β∠=时，求直线CD 的解析式（直接写出结果即可）．【解答】解：（1） 点(3,0)A ，(0,4)B ，得3OA =，4OB =，∴在Rt AOB ∆中，由勾股定理，得225AB OA OB =+=，根据题意，有3DA OA ==．如图①，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则//MD OB ，ADM ABO ∴∆∆∽．有AD AM DM AB AO BO==，得39355AD AM AO AB ==⨯= ，65OM ∴=，∴125MD =，∴点D 的坐标为6(5，12)5．（2）如图②，由已知，得CAB α∠=，AC AB =，ABC ACB ∴∠=∠，∴在ABC ∆中，1802ABC α∴=︒-∠，//BC x 轴，得90OBC ∠=︒，9090ABC ABO β∴∠=︒-∠=︒-，2αβ∴=；（3）若顺时针旋转，如图，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点C 作CF OA ⊥于F ，AOD ABO β∠=∠= ，3tan 4DE AOD OE ∴∠==，设3DE x =，4OE x =，则43AE x =-，在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =+，2299(43)x x ∴=+-，2425x ∴=，96(25D ∴，72)25，∴直线AD 的解析式为：247277y x =-， 直线CD 与直线AD 垂直，且过点D ，∴设724y x b =-+，把96(25D ，72)25代入得，72796252425b =-⨯+，解得4b =，互相垂直的两条直线的斜率的积等于1-，∴直线CD 的解析式为7424y x =-+．同理可得直线CD的另一个解析式为7424y x=-．【巩固练习】1．如图，在等边ABC ∆中，D 是边AC 上一点，连接BD ．将BCD ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到BAE ∆，连接ED ．若10BC =，9BD =，则AED ∆的周长是．2.如图一段抛物线：(3)(03)y x x x =--，记为1C ，它与x 轴交于点O 和1A ；将1C 绕1A 旋转180︒得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180︒得到3C ，交x 轴于3A ，如此进行下去，直至得到10C ，若点(28,)P m 在第10段抛物线10C 上，则m 的值为.3．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，2AC =，ABC ∆绕点C 顺时针旋转得△11A B C ，当1A 落在AB 边上时，连接1B B ，取1BB 的中点D ，连接1A D ，则1A D 的长度是．4．如图，AOB ∆中，90AOB ∠=︒，3AO =，6BO =，AOB ∆绕点O 逆时针旋转到△A OB ''处，此时线段A B ''与BO 的交点E 为BO 的中点，求线段B E '的值．5．如图，在直角坐标系中，直线14:83l y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，将直线1l 绕着点A 顺时针旋转45︒得到2l ．求2l 的函数表达式．6．如图，四边形ABCO 是平行四边形，2OA =，6AB =，点C 在x 轴的负半轴上，将ABCO 绕点A 逆时针旋转得到ADEF ，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上，若点D 在反比例函数(0)k y x x =<的图象上，则k 的值为．7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(8,0)-，直线BC 经过点(8,6)B -，(0,6)C ，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转a 度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．在四边形OABC 旋转过程中，若使12BP BQ =？则点P 的坐标为．8．如图，在BDE ∆中，90BDE ∠=︒，BD =，点D 的坐标为(5,0)，15BDO ∠=︒，将BDE∆旋转到ABC ∆的位置，点C 在BD 上，则旋转中心的坐标为．9．已知正方形ABCD 的边长为5，E 在BC 边上运动，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90︒得EF ，问CE =时，A 、C 、F 在一条直线上．10．如图，一次函数1(0)2y x m m =-+>的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 在线段OA 上，点C 的横坐标为n ，点D 在线段AB 上，且2AD BD =，将ACD ∆绕点D 旋转180︒后得到△11A C D ．（1）若点1C 恰好落在y 轴上，试求n m的值；（2）当4n =时，若△11A C D 被y 轴分得两部分图形的面积比为3:5，求该一次函数的解析式．11．在ABC ∆中，5AB AC ==，3cos 5ABC ∠=，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转，得到△11A B C ．（1）如图①，当点1B 在线段BA 延长线上时．①求证：11//BB CA ；②求△1AB C 的面积；（2）如图②，点E 是BC 边的中点，点F 为线段AB 上的动点，在ABC 绕点C 顺时针旋转过程中，点F 的对应点是1F ，求线段1EF 长度的最大值与最小值的差．12．如图（1），在ABC=，动点P在线段AC上以5/cm s的速度从=，3BC cmAB cmC∆中，90∠=︒，5点A运动到点C，过点P作PD AB'，设点P的⊥于点D，将APD∆绕PD的中点旋转180︒得到△A DP 运动时间为()x s．（1）当点A'落在边BC上时，求x的值；（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A BC'是以A B'为腰的等腰三角形；（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5/cm s的速度从点B运动到点C，过点Q 作QE AB⊥于点E，将BQE'，连结A B''，当直线A B''与ABC∆绕QE的中点旋转180︒得到△B EQ∆的一边垂直时，求线段A B''的长．13．如图，(0,2)A ，(1,0)B ，点C 为线段AB 的中点，将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90︒得到线段BD ，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点D ．（1）若该抛物线经过原点O ，且13a =-，求该抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点(,)P m n 在抛物线上，且POB ∠锐角，满足90POB BCD ∠+∠<︒，求m 的取值范围．14．如图1，抛物线210y ax ax c =-+经过ABC ∆的三个顶点，已知//BC x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上35OA BC =，且AC BC =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将AOC ∆沿x 轴对折得到1AOC ∆，再将1AOC ∆绕平面内某点旋转180︒后得△112(A O C A ，O ，1C 分别与点1A ，1O ，2C 对应）使点1A 、2C 在抛物线_P 上，求点1A 、2C 的坐标；15．点P为图①中抛物线22m>上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90︒=-+为常数，0)y x mx m m2(后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．（1）若点Q的坐标为(-，求该抛物线的函数关系式；（2）如图②，若原抛物线恰好也经过A点，点Q在第一象限内，是否存在这样的点P使得AGQ∆是以AG 为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1.【解答】解：ABC ∆ 是等边三角形，10AC AB BC ∴===，BAE ∆ 由BCD ∆逆时针旋旋转60︒得出，AE CD ∴=，BD BE =，60EBD ∠=︒，10AE AD AD CD AC ∴+=+==，60EBD ∠=︒ ，BE BD =，BDE ∴∆是等边三角形，9DE BD ∴==，AED ∴∆的周长19AE AD DE AC BD =++=+=．故答案为：19．2.【解答】解：令0y =，则(3)0x x --=，解得10x =，23x =，1(3,0)A ∴，由图可知，抛物线10C 在x 轴下方，相当于抛物线1C 向右平移3927⨯=个单位，再沿x 轴翻折得到，∴抛物线10C 的解析式为(27)(273)(27)(30)y x x x x =---=--，(28,)P m 在第10段抛物线10C 上，(2827)(2830)2m ∴=--=-．3.【解答】解：90ACB ∠=︒ ，30ABC ∠=︒，2AC =，9060A ABC ∴∠=︒-∠=︒，4AB =，BC =，1CA CA = ，1ACA ∴∆是等边三角形，112AA AC BA ===，1160BCB ACA ∴∠=∠=︒，1CB CB = ，1BCB ∴∆是等边三角形，1BB ∴=，12BA =，1190A BB ∠=︒，1BD DB ∴==，1A D ∴==，．4.【解答】解：90AOB ∠=︒ ，3AO =，6BO =，AB ∴==AOB ∆ 绕顶点O 逆时针旋转到△A OB ''处，3AO A O ∴='=，A B AB ''==，点E 为BO 的中点，116322OE BO ∴==⨯=，OE A O ∴='，过点O 作OF A B ⊥''于F ，1362A OB S OF ''=⨯=⨯⨯ ，解得655OF =，在Rt EOF ∆中，5EF ==，OE A O =' ，OF A B ⊥''，22A E EF ∴'==（等腰三角形三线合一），B E A B A E ∴'=''-'=5.【解答】解： 直线483y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，(0,8)A ∴、(6,0)B -，如图2，过点B 做BC AB ⊥交直线2l 于点C ，过点C 作CD x ⊥轴，在BDC ∆和AOB ∆中，CBD BAO CDB AOB BC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDC AOB AAS ∴∆≅∆，6CD BO ∴==，8BD AO ==，6814OD OB BD ∴=+=+=，C ∴点坐标为(14,6)-，设2l 的解析式为y kx b =+，将A ，C 点坐标代入，得1468k b b -+=⎧⎨=⎩，解得178k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，2l ∴的函数表达式为187y x =+；6.【解答】解：如图所示：过点D 作DM x ⊥轴于点M ，由题意可得：BAO OAF ∠=∠，AO AF =，//AB OC ，则BAO AOF AFO OAF ∠=∠=∠=∠，故60AOF DOM ∠=︒=∠，624OD AD OA AB OA =-=-=-= ，2MO ∴=，MD =，(2,D ∴--，2(k ∴=-⨯-=．故答案为：．7.【解答】解：存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =．理由如下：过点Q 画QH OA ⊥'于H ，连接OQ ，则QH OC OC ='=，12POQ S PQ OC ∆= ，12POQ S OP QH ∆= ，PQ OP ∴=．设BP x =，12BP BQ =，2BQ x ∴=，如图4，当点P 在点B 左侧时，3OP PQ BQ BP x ==+=，在Rt PCO ∆中，222(8)6(3)x x ++=，解得13612x =+，23612x =-，（不符实际，舍去）．3692PC BC BP ∴=+=+，1(92P ∴--，6)，如图5，当点P 在点B 右侧时，OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-．在Rt PCO ∆中，222(8)6x x -+=，解得254x =，257844PC BC BP ∴=-=-=，27(4P ∴-，6)，综上可知，存在点136(92P --，6)，27(4P -，6)使12BP BQ =．8.【解答】解：如图，AB 与BD 的垂直平分线的交点即为旋转中心P ，连接PD ，过P 作PF x ⊥轴于F ．点C 在BD 上，∴点P 到AB 、BD 的距离相等，都是12BD ，即12⨯=45PDB ∴∠=︒，4PD ==，15BDO ∠=︒ ，451560PDO ∴∠=︒+︒=︒，30DPF ∴∠=︒，114222DF PD ∴==⨯=， 点D 的坐标是(5,0)，523OF OD DF ∴=-=-=，由勾股定理得，PF ===∴旋转中心的坐标为(3，．故答案为：(3，．9.【解答】解：过F 作FN BC ⊥，交BC 延长线于N 点，连接AC ，90DCE ENF ∠=∠=︒ ，90DEC NEF ∠+∠=︒，90NEF EFN ∠+∠=︒，DEC EFN ∴∠=∠，Rt FNE Rt ECD ∴∆∆∽，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90︒得EF ，:2:1DE EF ∴=，:::2:1CE FN DE EF DC NE ∴===，2CE NF ∴=，1522NE CD ==．45ACB ∠=︒ ，∴当45NCF ∠=︒时，A 、C 、F 在一条直线上．则CNF ∆是等腰直角三角形，CN NF ∴=，2CE CN ∴=，22553323CE NE ∴==⨯=．53CE ∴=时，A 、C 、F 在一条直线上．故答案为：53．10.【解答】解：（1）由题意，得(0,)B m ，(2,0)A m ，如图，过点D 作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，交直线11A C 于点F ，易知：23DE m =，2(3D m ，2)3m ，14(3C m n -，4)3m ，∴403m n -=，∴43n m =；（2）由（1）得，当3m >时，点1C 在y 轴右侧；当23m <<时，点1C 在y 轴左侧．①当3m >时，设11A C 与y 轴交于点P ，连接1C B ，由△11A C D 被y 轴分得两部分图形的面积比为3:5，S ∴△1:BA P S △13:1BC P =，11:3A P C P ∴=，∴，185m ∴=，11825y x ∴=-+；②当23m <<时，同理可得：11827y x =-+；综上所述，11827y x =-+或11825y x =-+．11.【解答】解：（1）①证明：AB AC = ，1B C BC =，1AB C B ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，1AB C ACB ∠=∠ （旋转角相等），111B CA AB C ∴∠=∠，11//BB CA ∴；②过A 作AF BC ⊥于F ，过C 作CE AB ⊥于E ，如图①：AB AC = ，AF BC ⊥，BF CF ∴=，3cos 5ABC ∠=，5AB =，3BF ∴=，6BC ∴=，16B C BC ∴==，1318655BE B E ∴==⨯=，1365BB ∴=，424655CE =⨯=，13611555AB ∴=-=，∴△1AB C 的面积为：1112413225525⨯⨯=；（2）如图2，过C 作CF AB ⊥于F ，以C 为圆心CF 为半径画圆交BC 于1F ，1EF 有最小值，此时在Rt BFC ∆中，245CF =，1245CF ∴=，1EF ∴的最小值为249355-=；如图，以C 为圆心BC 为半径画圆交BC 的延长线于1F ，1EF 有最大值；此时11369EF EC CF =+=+=，∴线段1EF 的最大值与最小值的差为936955-=．12.【解答】解：（1）如图1， 在ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB cm =，3BC cm =，4AC cm ∴=，当点A '落在边BC 上时，由题意得，四边形APA D '为平行四边形，PD AB ⊥ ，90ADP C ∴∠=∠=︒，APD ABC ∴∆∆∽，5AP x = ，4A P AD x ∴'==，45PC x =-，A PD ADP ∠'=∠ ，//A P AB ∴'，∴△A PC ABC '∆∽，∴PC A P AC AB '=，即45445x x -=，解得：2041x =，∴当点A '落在边BC 上时，2041x =；（2）当A B BC '=时，222(58)(3)3x x -+=，解得：4012373x ±=．45x ，∴4073x -=；当A B A C '='时，58x =．（3）Ⅰ、当A B AB ''⊥时，如图6，DH PA AD '∴==，HE B Q EB ='=，2224235AB AD EB x x =+=⨯+⨯= ，514x ∴=，514A B QE PD x ∴''=-==；Ⅱ、当A B BC ''⊥时，如图7，5B E x ∴'=，57DE x =-，53cos 575x B x ∴==-，1546x ∴=，2523A B B D A D ∴''='-'=；Ⅲ、当A B AC ''⊥时，如图8，由（1）有，2041x =，12sin 41A B PA A ∴''='=；当A B AB ''⊥时，514x =，514A B ''=；当A B BC ''⊥时，1546x =，2546A B ''=；当A B AC ''⊥时，2053x =，2553A B ''=．13.【解答】解：（1）过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ．90ABD ∠=︒ ，90DBF ABO ∴∠+∠=︒．又90OAB ABO ∠+∠=︒ ，DBF OAB ∴∠=∠．由旋转的性质可知AB BD =．在AOB ∆和BFD ∆中DBF OAB AOB BFD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AOB BFD ∴∆≅∆．1DF OB ∴==，2AO BF ==．(3,1)D ∴．把点D 和点O 的坐标代入213y x bx c =-++得：1300b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：43b =，0c =．∴抛物线的解析式为21433y x x =-+．（2）如图2所示：点(0,2)A ，(1,0)B ，C 为线段AB 的中点，1(2C ∴，1)．C 、D 两点的纵坐标为1，//CD x ∴轴．BCD ABD ∴∠=∠．∴当POB BAO ∠=∠时，恰好90POB BCD ∠+∠=︒．设点P 的坐标为214(,)33m m m -+．当点P 在x 轴上且POB BAO ∠=∠时，则1tan tan 2POB BAO ∠=∠=，即2141332m m m -+=，解得：52m =或0m =（舍去）．当点P 位于x 轴的下方，点P '处时，且POB BAO ∠=∠时，则1tan tan 2POB BAO ∠=∠=，即2141332m m m -=，解得：112m =或0m =（舍去）．POB ∠ 为锐角，4m ∴≠．由图形可知：当点P 在抛物线上P 与P '之间移动时，90POB BCD ∠+∠<︒．m ∴的取值范围是：51122m <<且4m ≠．14.【解答】解：（1）35OA BC = ，AC BC =∴设3OA k =，5(0)AC BC k k ==>4OC k∴= 当0x =时，210y ax ax c c=-+=(0,)C c ∴，即4OC c k==4c k ∴=3(4c A ∴-，50)(4c B ，)c 抛物线经过点A 、B ∴2233()10()04455(1044c c a a c c c a a c c ⎧---+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得：1128a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为：2158126y x x =-++（2）如图1，1AOC ∆旋转后得到△112A O C 的位置如图所示116O A OA ∴==，128O C OC ==，11//O A x 轴，12O C x ⊥轴设2C 坐标为215(,8)126t t t -++，则2115(6,)126A t t t +-+221515(6)(6)8126126t t t t ∴-++++=-+解得：10t =1A ∴坐标为(16,0)，2C 坐标为(10,8)．15.【解答】解：（1） 对于222y x mx m =-+，当0y =时，x m =，OG m ∴=，点Q 为点P 绕顶点G 逆时针旋转90︒后的对应点，P m ∴，2)m +，把P m +，2)m +代入222y x mx m =-+中，得222)2)m m m m m +=-+，4m ∴=，∴该抛物线的函数关系式为；2816y x x =-+；（2）存在，点Q 在第一象限内，AQ GQ =，如图2中，由题意可知OA OG =，∴m =，1m ∴=，∴点(0,1)A ，点A 的对应点(2,1)C ，(1,0)G ，∴直线CG 解析式为1y x =-，线段CG 的中垂线MN 解析式为2y x =-+，由2221y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩解得15232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或15232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 点P 在第一象限，∴点P坐标1(2+，32-．。
初中数学竞赛中考讲义之几何三大变换之翻折
第30讲几何三大变换之翻折翻折的性质（轴对称的性质）如图，将△ABC 沿着DE 翻折，使得点A 落在BC 的点F 处结论有：①ADE FDE ∆≅∆（即AD =DF ，AE =EF ，∠A =∠DFE ，∠ADE =∠FDE ，∠AED =∠FED ）②DE 垂直平分AF函数的对称变换①一次函数y kx b=+关于x 轴对称后的解析式：y kx b=--关于y 轴对称后的解析式：y kx b=-+②二次函数2y ax bx c=++关于x 轴对称后的解析式：2y ax bx c=---关于y 轴对称后的解析式：2y ax bx c=-+【例题讲解】例题1.如图，ABC ∆中，AB AC =，54BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将C ∠沿(EF E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则OEC ∠的度数是______解：如图，连接OB 、OC ，54BAC ∠=︒ ，AO 为BAC ∠的平分线，11542722BAO BAC ∴∠=∠=⨯︒=︒，又AB AC = ，11(180)(18054)6322ABC BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，DO 是AB 的垂直平分线，OA OB ∴=，27ABO BAO ∴∠=∠=︒，632736OBC ABC ABO ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，AO 为BAC ∠的平分线，AB AC =，()AOB AOC SAS ∴∆≅∆，OB OC ∴=，∴点O 在BC 的垂直平分线上，又DO 是AB 的垂直平分线，∴点O 是ABC ∆的外心，36OCB OBC ∴∠=∠=︒，将C ∠沿(EF E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，OE CE ∴=，36COE OCB ∴∠=∠=︒，在OCE ∆中，1801803636108OEC COE OCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：B ．例题2.如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为与边AD 、BC 交于点F 、H ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G .（1）尺规作图作出折痕FH ；（2）求折痕FH 的长；（3）求△EBG 的周长；（4）若将题目中的“点E 为AB 中点”改为“点E 为AB 上任意一点”，其它条件不变，则△EBG 的周长是否发生变化，若不变，请求出该值，若发生变化，请说明理由.例题3、如图，矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，P 为AD 上一点，将ABP ∆沿BP 翻折至EBP ∆，PE 与CD 相交于点O ，且OE OD =，则AP 的长为．解： 四边形ABCD 是矩形，90D A C ∴∠=∠=∠=︒，6AD BC ==，8CD AB ==，由折叠的性质可知ABP EBP ∆≅∆，EP AP ∴=，90E A ∠=∠=︒，8BE AB ==，在ODP ∆和OEG ∆中，DOP EOG OD OE D E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ODP OEG ASA ∴∆≅∆，OP OG ∴=，PD GE =，DG EP ∴=，设AP EP x ==，则6PD GE x ==-，DG x =，8CG x ∴=-，8(6)2BG x x =--=+，根据勾股定理得：222BC CG BG +=，即2226(8)(2)x x +-=+，解得： 4.8x =，4.8AP ∴=，故答案为：4.8．例题4.如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB =，10AD =，点E 是CD 中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A 与点E 重合，如图2，折痕为MN ，连接ME 、NE ；第二次折叠纸片使点N 与点E 重合，如图3，点B 落到B '处，折痕为HG ，连接HE ，则tan EHG ∠=________．解：如图2中，作NF CD ⊥于F ．设DM x =，则10AM EM x ==-，DE EC = ，AB CD ==，12DE CD ∴==在RT DEM ∆中，222DM DE EM += ，222(10)x x ∴+=-，解得 2.6x =，2.6DM ∴=，7.4AM EM ==，90DEM NEF ∠+∠=︒ ，90NEF ENF ∠+∠=︒，DEM ENF ∴∠=∠，90D EFN ∠=∠=︒ ，DME FEN ∴∆∆∽，∴DE EM FN EN =，∴7.4EN=，EN ∴=AN EN ∴==tanAN AMN AM ∴∠==如图3中，ME EN ⊥ ，HG EN ⊥，//EM GH ∴，NME NHG ∴∠=∠，NME AMN ∠=∠ ，EHG NHG ∠=∠，AMN EHG ∴∠=∠，tan tanEHG AMN ∴∠=∠=方法二，tan tan EN BC EHG EMN EM DE ∠=∠==．故答案为例5.如图，已知ABCD 的三个顶点(,0)A n 、(,0)B m 、(0D ，2)(0)n m n >>，作ABCD 关于直线AD 的对称图形11AB C D（1）若3m =，试求四边形11CC B B 面积S 的最大值；（2）若点1B 恰好落在y 轴上，试求n m 的值．解：（1）如图1，ABCD 与四边形11AB C D 关于直线AD 对称，∴四边形11AB C D 是平行四边形，1CC EF ⊥，1BB EF ⊥，11////BC AD B C ∴，11//CC BB ，∴四边形BCEF 、11B C EF 是平行四边形，1111BCEF BCDA B C DA B C EF S S S S ∴=== ，112BCC B BCDA S S ∴= ．(,0)A n 、(,0)B m 、(0,2)D n 、3m =，3AB m n n ∴=-=-，2OD n =，()()223932232(22BCDA S AB OD n n n n n ∴=⋅=-⋅=--=--+ ，211324(92BCC B BCDA S S n ∴==--+ ．40-< ，∴当32n =时，11BCC B S 最大值为9；（2）当点1B 恰好落在y 轴上，如图2，1DF BB ⊥ ，1DB OB ⊥，1190B DF DB F ∴∠+∠=︒，1190B BO OB B ∠+∠=︒，11B DF OBB ∴∠=∠．190DOA BOB ∠=∠=︒ ，AOD ∴∆∽△1B OB ，∴1OB OA OD OB =，∴12OB n n m=，12m OB ∴=．由轴对称的性质可得1AB AB m n ==-．在1Rt AOB ∆中，222(()2m n m n +=-，整理得2380m mn -=．0m > ，380m n ∴-=，∴38n m =．例题6.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在y 轴和x 轴的正半轴上，D 为边AB 的中点，一抛物线22(0)y x mx m m =-++>经过点A 、D（1）求点A 、D 的坐标（用含m 的式子表示）；（2）把OAD ∆沿直线OD 折叠后点A 落在点A '处，连接OA '并延长与线段BC 的延长线交于点E ，①若抛物线经过点E ，求抛物线的解析式；②若抛物线与线段CE 相交，直接写出抛物线的顶点P 到达最高位置时的坐标：解：（1）当0x =时，y m =，(0,)A m ∴，当y m =时，0x =或2m(2,)D m m ∴；（2）①如图，设A D '与x 轴交于点Q ，过点A '作A N x '⊥轴于点N ．把OAD ∆沿直线OD 折叠后点A 落在点A '处，OAD ∴∆≅△OA D '，OA OA m ='=，2AD A D m ='=，90OAD OA D ∠=∠'=︒，ADO A DO ∠=∠'， 矩形OABC 中，//AD OC ，ADO DOQ ∴∠=∠，A DO DOQ ∴∠'=∠，DQ OQ ∴=．设DQ OQ x ==，则2A Q m x '=-，在Rt △OA Q '中，222OA A Q OQ '+'= ，222(2)m m x x ∴+-=，解得54x m =， 1122OA Q S OQ A N OA A Q '='='' ，334554m m A N m m ∴'==，45ON m ∴==，A ∴'点坐标为4(5m ，3)5m -，易求直线OA '的解析式为34y x =-，当4x m =时，3434y m m =-⨯=-，E ∴点坐标为(4,3)m m -．代入22(0)y x mx m m =-++>得0m =（舍)，12m =，∴抛物线的解析式为：212y x x =-++．②当4x m =时，2222(4)248x mx m m m m m m m -++=-++=-+ ，即抛物线l 与直线CE 的交点为2(4,8)m m m -+，抛物线l 与线段CE 相交，2380m m m ∴--+，0m > ，3810m ∴--+解得：1182m ，2222()y x mx m x m m m =-++=--++ ，∴当x m =时，y 有最大值2m m +，又2211()24m m m +=+- ，∴当1182m 时，2m m +随m 的增大而增大，∴当12m =时，顶点P 到达最高位置，22113(224m m +=+=，∴抛物线顶点P 到达最高位置时的坐标为1(2，3)4．【巩固练习】1、如图，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 上一点，沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 点处，若3AB =，5BC =，则tan EFC ∠的值为________.2.如图，先将一平行四边形纸片ABCD 沿AE ，EF 折叠，使点E ，B '，C '在同一直线上，再将折叠的纸片沿EG 折叠，使AE 落在EF 上，则AEG ∠=度．3、点E、F 分别在一张长方形纸条ABCD 的边AD 、BC 上，将这张纸条沿着直线EF 对折后如图，BF 与DE 交于点G ，长方形纸条的宽AB=2cm ，那么这张纸条对折后的重叠部分的面积的GEF S ∆最小值为_____________。
几何三大变换(旋转)(人教版)(含答案)
几何三大变换（旋转）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，将△ABC绕顶点A逆时针旋转一角度，使点D落在BC边上，得到△ADE，此时恰好AB∥DE，若∠E=35°，则∠DAC的度数为( )A.15°B.20°C.25°D.30°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．在同一平面内，将△ABC绕点C逆时针旋转70°与△EDC 重合，恰好使点D在AB上，则∠E=( )A.20°B.25°C.30°D.35°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，A=30°，BC=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n 度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和DF的长分别为( )A.30，2B.60，2C.60，1D.30，1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形4.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AEF≌△AED；②∠AED=45°；③BE+DC=DE，其中正确的是( )A.①B.②C.②③D.①③答案：A解题思路：1．思路分析本题主要考查旋转的性质，解决此类问题需要清楚：①旋转是全等变换，旋转前后对应边、对应角相等；②几何问题处理注意读题标注，多条件进行整合．2．解题过程试题难度：三颗星知识点：旋转的性质5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′度数是( )A.10°B.15°C.20°D.30°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质6.如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到，△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则等于( )A.30°B.35°C.40°D.45°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转角7.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC＝90°，AD=CD，DP⊥AB于点P．若四边形ABCD的面积是16，则DP的长为( )A.2B.4C.6D.8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质8.如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后得到，若为BC的中点，则=( )A.1:2B.1:C.1:D.1:3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转会出现等腰三角形9.如图，凸四边形ABCD满足条件：AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，则AC与BC+CD的数量关系为( )A. B.C. D.不确定答案：C解题思路：1.思路分析本题主要考查在特殊条件下如何使用旋转思想解决问题．解决此类问题需要清楚：①旋转是全等变换，旋转前后对应边、对应角相等；②满足旋转三要素的情形下(如有等边、等腰直角)，可以考虑旋转思想．本题中有AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，可考虑将△ACD顺时针旋转，使得AD与AB重合，此时可证为等边三角形，进而可知AC=BC+CD.2.解题过程试题难度：三颗星知识点：旋转思想(辨识特征旋转图形)10.如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AC=9，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP将线段OP绕O逆时针旋转90°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP 的长等于( )A.2B.C.5D.7答案：C解题思路：1．思路分析本题主要考查旋转的性质，以及借助特殊的角度表达线段长求解等．解决此类问题需要注意：②读题标注，根据题意画图．本题需画出示意图，便于理解题意．②梳理条件，挖掘特征，合理转化．本题中根据旋转的特征，可借助线段相等找全等三角形，表达线段长．③借助旋转、全等性质建等式求解．通过全等的性质，借助特殊角度表达线段长求解．2．解题过程试题难度：三颗星知识点：构造弦图第11页共11页。
九年级数学第8讲.第二轮复习之几何三大变换.尖子班.解析版
`【例1】 如图所示，ABC △是等边三角形，111A B C △的边11A B 、11B C 、11C A 交ABC △各边分别于2C 、3C 、2A 、3A 、2B 、3B ．已知232323A C C B B A ==，且222232323C C B B A A +=，求证：1111A B AC ⊥．C 3A 3B 3B 2A 2C 2C 1A 1B 1CBA【解析】 要证1111A B AC ⊥，只需证明11190B AC ∠=︒，而已知222232323C C B B A A +=，但23C C 、23B B 、23A A 并不是一个三角形的三条边，不妨设法平移线段23C C 、23B B 、23A A 成为一个三角形．如图所示，过2A 作32C C 的平行线交过2C 所作的32C A 的平行线于点O ，可知223A OC C 是平行四边形．典题精练8第二轮复习之 几何三大变换题型一：平移故232A O C C =，22332OC A C B C ==． 又因为2360OC B C ∠=∠=︒，所以32OB C △是等边三角形． 从而3260OB C B ∠=︒=∠，故332OB A B ∥，且32332OB C B A B ==． 因此323OB B A 是平行四边形， 则332OA B B ∥，且332OA B B =．因为222232323C C B B A A +=，则2222323OA OA A A +=，由勾股定理的逆定理可得2390A OA ∠=︒．由于332OA B B ∥，即311OA A C ∥；232A O C C ∥，即211A O B A ∥， 故11190C A B ∠=︒，即1111A B AC ⊥．【例2】 在ABC △中，45A =︒∠，7AB =，42AC =，点D 、E 、F 分别为BC 、AB 、AC 上的动点，求DEF △的最小周长．FEDCBA【解析】 当点D 固定时，分别作点D 关于AB 、AC 的对称线段D '、D ''，应用上面典题精练题型二：轴对称C 3A 3B 3B 2A 2C 2OC 1A 1B 1CBA结论可得DE EF DF D E EF FD D D ''''''++=++≥，D''D'FEDC A285442543NMAC∵45A =︒∠，∴AD D '''△是等腰直角三角形，2D D '''=， 故2DE EF DF ++，当AD 最小时，即AD 为ABC △的高，且D '、E 、F 、D ''四点共线，DEF △2AD ．求高AD 如图所示．282（此三角形即为著名的垂足三角形）【例3】 如图，已知60ABD ACD ∠=∠=︒，且1902ADB BDC ∠=︒-∠．求证：ABC△是等腰三 角形．【解析】 延长BD 到E ，使得DE CD =，连接AE ．∵1902ADB BDC ∠=︒-∠，∴2180ADB BDC ∠+∠=︒， 即180ADC ADB ∠+∠=︒． ∵180ADE ADB ∠+∠=︒， ∴ADC ADE ∠=∠，∵CD DE AD AD ==，，∴()SAS ADC ADE △≌△，∴60ACD E ∠=∠=︒，AC AE =， ∵60ABD ACD ∠=∠=︒，∴ABD E ∠=∠，∴AB AE =，∴AB AC =，∴ABC △是等腰三角形．ED BABA【例4】 在平面直角坐标系xOy 中，直线 6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求∠BAO 的度数； （2）如图1，P 为线段AB 上一点，在AP 上方以AP 为斜边作等腰直角三角形APD ．点 Q 在AD 上，连结PQ ，过作射线PF ⊥PQ 交x 轴于点F ，作PG ⊥x 轴于点G ． 求证：PF ＝PQ ； （3）如图2，E 为线段AB 上一点，在AE 上方以AE 为斜边作等腰直角三角形AED ．若 P 为线段EB 的中点，连接PD 、PO ，猜想线段PD 、PO 有怎样的关系？并说明理由．【解析】（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．∴A （－6，0），B （0，6）． ∴OA =OB ． ∴BAO ABO ∠=∠在△AOB 中，90AOB ∠=︒． ∴45BAO ABO ∠=∠=︒． （2）在等腰直角三角形APD 中，90PDA ∠=︒，DA =DP ，145APD ∠=∠=︒．∴DP ⊥AD 于D ．图1 图2题型三：旋转2xBQPD134由（1）可得45BAO ∠=︒． ∴1BAO ∠=∠． 又∵PG ⊥x 轴于G ， ∴PG = PD ．∴90AGP PGF D ∠=∠=∠=︒． ∴445BAO ∠=∠=︒． ∴490APD DPG ∠+∠=∠=︒． 即390GPQ ∠+∠=︒． 又∵PQ ⊥PF ， ∴290GPQ ∠+∠=︒． ∴23∠=∠．在△PGF 和△PDQ 中，,,23,PGF D PG PD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△PGF ≌△PDQ (ASA)． ∴PF =PQ ．（3）答：OP ⊥DP ，OP ＝DP ．证明：延长DP 至H ，使得PH =PD ． ∵P 为BE 的中点， ∴PB =PE ．在△PBH 和△PED 中，y,12,,PB PE PH PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PBH ≌△PED （SAS ）． ∴BH =ED ． ∴34∠=∠． ∴BH ∥ED ．在等腰直角三角形ADE 中， AD =ED ，45DAE DEA ∠=∠=︒． ∴AD =BH ，90DAE BAO DAO ∠+∠=∠=︒. ∴DE ∥x 轴，BH ∥x 轴， BH ⊥y 轴． ∴90DAO HBO ∠=∠=︒． 由（1）可得 OA =OB ． 在△DAO 和△HBO 中，,,,AD BH DAO HBO OA OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAO ≌△HBO （SAS ）． ∴OD =OH ，∠5=∠6． ∵590AOB DOB ∠=∠+∠=︒, ∴690DOH DOB ∠=∠+∠=︒. ∴在等腰直角三角形△DOH 中， ∵DP =HP ， ∴OP ⊥DP ，12745DOH ∠=∠=︒.∴7ODP ∠=∠．∴OP =PD ．【例5】 某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： ●操作发现：在等腰ABC △中，AB AC =，分别以AB 和AC 为斜边，向ABC △的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF AB ⊥于点F ，EG AC ⊥于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是 （填序号即可）．①12AF AG AB ==；②MD ME =；③整个图形是轴对称图形；④DAB DM B ∠=∠．●数学思考：在任意ABC △中，分别以AB 和AC 为斜边，向ABC △的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则MD 与ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●类比探究：在任意ABC △中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向ABC △的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断MED △的形状． 答： ．(2017江西)图3EMC D BACM BEAD图2图1GF EM CBDA【解析】●操作发现：①②③④ ●数学思考：答：MD ME =，MD ME ⊥， 先证MD ME =；如图2，分别取AB 、AC 的中点F 、G ， 连接DF ，MF ，MG ，EG ，∵M 是BC 的中点，GFH DAEBMC∴MF AC ∥，12MF AC =． ∴MF EG =， 同理可证DF MG =， ∵MF AC ∥，180MFA BAC ∠+∠=︒同理可得180MGA BAG ∠+∠=︒， ∴MFA MGA ∠=∠， 又∵EG AC ⊥， ∴90EGA ∠=︒． 同理可得90DFA ∠=︒，∴MFA DFA MGA EGA ∠+∠=∠+∠，即DFM MGE ∠=∠，又MF EG =，DF MG =， ∴DFM MGE △≌△（SAS ）， ∴MD ME =， 再证MD ME ⊥： 证法一：∵MG AB ∥， ∴180MFA FMG ∠+∠=︒，即180MFA FMD DME EMG ∠+∠+∠+∠=︒． 又∵DFM MGE △≌△， ∴EMG MDF ∠=∠，∴180MFA FMD DME MDF ∠+∠+∠+∠=︒， 其中90MFA FMD MDF ∠+∠+∠=︒∴90DME ∠=︒． 即MD ME ⊥；证法二：如图2，MD 与AB 交于点H ， ∵AB MG ∥， ∴DHA DMG ∠=∠，又∵DHA FDM DFH ∠=∠+∠， 即90DHA FDM ∠=∠+︒． ∵DMG DME GME ∠=∠+∠， 又∵DFM MGE △≌△， ∴FDM GME ∠=∠， ∴90DME ∠=︒， 即MD ME ⊥； ●类比探究答：等腰直角三角形．（评分说明：仅答等腰三角形或仅答直角三角形的不得分）【例6】 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB 于点E ．（1）如图1，连接EC ，求证：△EBC 是等边三角形； （2）点M 是线段CD 上的一点（不与点C ，D 重合），以BM 为一边，在BM 的下方作∠BMG =60°，MG 交DE 延长线于点G ．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD ，DG 与AD 之间的数量关系； （3）如图3,点N 是线段AD 上的一点，以BN 为一边，在BN 的下方作∠BNG =60°，NG 交DE 延长线于点G ．试探究ND ，DG 与AD 数量之间的关系，并说明理由．【解析】（1）证明：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，∴60ABC ∠=︒, BC =12AB ．∵BD 平分∠ABC ， ∴130DBA A ∠=∠=∠=︒.∴DA =DB ． ∵DE ⊥AB 于点E ． ∴AE =BE =12AB ． ∴BC =BE .∴△BCE 是等边三角形.（2）结论：AD = DG ＋DM ． （3）结论：AD = DG －DN ．理由如下：图1 图2ADGCBME 图2C1DB图1延长BD 至H ，使得DH ＝DN . 由（1）得DA =DB ，30A ∠=︒． ∵DE ⊥AB 于点E ． ∴2360∠=∠=︒． ∴4560∠=∠=︒． ∴△NDH 是等边三角形． ∴NH =ND ，660H ∠=∠=︒． ∴2H ∠=∠．∵60BNG ∠=︒,∴767BNG ∠+∠=∠+∠. 即DNG HNB ∠=∠. 在△DNG 和△HNB 中，,,2,DN HN DNG HNB H ⎧=⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△DNG ≌△HNB （ASA ）． ∴DG =HB .∵HB =HD ＋DB =ND ＋AD , ∴DG = ND ＋AD . ∴AD = DG －ND .训练1.如图，在ABC △中，90C ∠=︒，点M 在BC 上，且BM AC =，N 在AC 上，思维拓展训练(选讲)图312 3 4 5 6 7ADGBN E H且AN MC =，AM 与BN 相交于P ．求证：45BPM ∠=︒．PN MCBA【分析】 由45°角想到等腰直角三角形，所以平移BN 使其过点A 或点M ，或者平移AM 使其过点B 或点N ，将离散的线段集中在特殊三角形中，就能解决问题．【解析】 方法一：如图1，分别过A 、B 作BN 、AC 的平行线相交于点D ，连结DM ，可得到弦图模型的全等ACM MBD △≌△、平行四边形ADBN 以及等腰直角三角形AMD ，从而可证45BPM ∠=︒方法二：如图2，分别过点B 、点A 作平行线，可得ADN CAM △≌△、平行四边形AMBD 、等腰直角三角形DBN ． 方法三四：如图3，4，分别过M 、N 点作平行线．图4图3图2图1D DDD ABC NMPAB CNMPABCN MP P MNCBA训练2. 如图所示，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD ⊥，求证：(1) AD BC AB CD +≥+； (2) AD BC AB CD ⋅≥⋅.D C BAC'D'DCB A【解析】(1) 以AC 为对称轴将ADC ∆翻折到'AD C ∆的位置，则由AC BD ⊥可知'D 在BD 上，且'AD AD =，'CD CD =.将DC 平移到'BC 的位置，则由AB CD ∥可知'C 在AB 的延长线上， 且''C B CD CD ==，'CC BD ∥，因此''BC CD 是一个等腰梯形， 所以''BC D C =，于是'''''AD BC AD D C AC AB BC AB CD +=+≥=+=+. (2) 由(1)可得22()()AD BC AB CD +≥+，即222222AD BC AD BC AB CD AB CD ++⋅≥++⋅， 而由AC BD ⊥及勾股定理可得2222AD BC AB CD +=+， 故AD BC AB CD ⋅≥⋅.训练3. ⑴ 如图，P 是等边ABC △内一点，若3PA =，4PB =，5PC =，求APB∠的度数．⑵ 如图，P 是等边ABC △外一点，若3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠的度数．⑶ 如图所示，P 是等边ABC △内部一点，3PC =，4PA =，5PB =，求ABC △的边长．PCBA543ABCPPCBA【解析】 只要学过勾股定理的同学，看到3，4，5 都会想到直角三角形．我们用旋转变换把三条边集中到同一个三角形中．345P 'A BCPMPCBA⑴ 如图，过点B 作60P BP '∠=︒，BP BP '=，连接PP '，AP '．（等于将BPC △沿点B 逆时针旋转60︒）．∵60P BP '∠=︒，4BP BP '==，4P P '=∴，60P PB '∠=︒．∴222AP P P AP ''+=，90APP '∠=︒∴，150APB P PB APP ''∠=∠+∠=︒∴ ⑵ 以PA 为边向四边形PACB 的外面作正AMP △，则MAB PAC ∠=∠，MAB PAC △≌△，∴4PB =，5BM =，3MP =，∴90BPM ∠=︒，906030APB ∠=︒-︒=︒．⑶ 将APC △绕点A 逆时针旋转60︒，得到AQB △．连接PQ ，则AQB APC ∠=∠，60PAQ ∠=︒，4AQ AP ==，3QB PC ==，故APQ △是等边三角形， 从而60AQP ∠=︒，4PQ AP ==． 在PQB △中，4PQ =，3QB =，5PB =，故90PQB ∠=︒，150APC AQB AQP PQB ∠=∠=∠+∠=︒． 过点C 作CD AP ⊥，交AP 的延长线于点D ， 则30CPD ∠=︒，1322CD PC ==， 22332PD PC CD =- 因此，在Rt ACD △中，222233(43)()2512322AC AD CD =++++． DQP题型一 平移变换 巩固练习【练习1】 ⑴ 如图，三角形ABC 的底边BC 长3厘米，BC 边上的高是2厘米，将该三角形以每秒3厘米的速度沿高的方向向上平行移动2秒，这时， 该三角形扫过的面积（阴影部分）．⑵ 如图，线段AB 沿着四个方向①②③④都平移a 个单位长度，线 段AB 扫过的面积最大的是 ．（填序号） 【解析】 ⑴ 三角形ABC 扫过面积相当于矩形''BCC B 的面积，当然也可直接计算为18平方厘米． ⑵ ③．题型二 轴对称变换 巩固练习【练习2】 如图所示，已知Rt ABC △中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，D ，E ，F分别是三 边AB ，BC ，CA 上的点，则DE EF FD ++的最小值为（ ）FEDCBAA ．125 B ．245C ．5D ．6 【解析】 如图所示，DE EF FD ++的最小值为F F '''，且当F F AC ''''⊥时，F F '''去最小值，故选B ．复习巩固②④①C'B'CBAF"F'C'A'FEDCB A题型三 旋转变换 巩固练习【练习3】 D 、E 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的两点，满足135DAE ∠=︒；求证： 222CD BE DE +=．EDCBA【解析】 将ACD △绕点A 逆时针旋转90︒得到'ABD △，证明ADE △与'AD E △全等即可．EDCB AD'第十八种品格：坚持坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
八级数学同步拔高班第五讲几何三大变换讲义
第五讲 几何三大变换（讲义）一、 知识点睛1. _____、_____、_____统称为几何三大变换．几何三大变换都是__________，只改变图形的_____，不改变图形的_____和_____．旋转三要素：__________、__________、__________．2. 平移会出现__________，旋转会出现__________．3. 最短路线之奶站问题：特征：居民区_______、街道_______、奶站_______； 方法：作______，折线转直线； 本质：____________________________． 二、精讲精练1. 如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12第1题图 第2题图2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，将△ABC 沿CB方向平移得到△DEF ，若平移距离为2，则四边形ABED 的面积等于_____．3. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC =5，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A ′B ′C ′的位置，若平移的距离为2，则图中的阴影部分的面积为（ ） A ．4.5 B ．8 C ．9D ．10A DB EC F ADC F B EB AC B′C′A ′4. 如图，已知△ABC 的面积为3，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EF A ．（1）求四边形BCEF 的面积；（2）若AB =AC ，试判断AF 与BE 的位置关系，并说明理由．5. 如图，AB =CD ，AB 与CD 相交于点O ，且∠AOC =60°，则AC +BD 与AB 的大小关系是（ ） A ．AC +BD ＞AB B ．AC +BD =AB C ．AC +BD ≥ABD ．无法确定第5题图 第6题图6. 如图，在4×4的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点DFEB C A DBOCAN 1M 1P 1C BD APMN7. 如图，△ABC 中，∠CAB =70°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置，使得CC ′∥AB ，则∠BAB ′=______．第7题图A'ABCB'第8题图C'B ACB'8. 如图，三角板ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =6．三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点A ′落在AB 边的起始位置上时即停止转动，则B 点转过的路径长为 ．9. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90o ，∠A =30°，若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动的翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为__________（结果用含π的式子表示）．BC Al10. （1）在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，在BC 边上有两点M ，N ，满足∠MAN ＝45°，则BM ，MN ，NC 能组成怎样的三角形？NMACB（2）在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，在CB 的延长线上找一点M ， 在BC 上找一点N ， 满足 ∠MAN ＝45°，上问结论还成立吗？说明理由．11. 将两块全等的含30°的三角尺如图1摆放在一起，它们的较短直角边长为3．(1)将△ECD 沿直线l 向左平移到如图2的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′长为多少？(2)将△ECD 绕点C 逆时针旋转到如图3的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点C 旋转的度数为多少？(3)将△ECD 沿直线AC 翻折到如图4的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证：AF =FD ′．图4图3图2图1Fl AEC B DD 'A EB C E 'D 'lDD 'E 'C 'lECD A B lBDC EAB CAM N12. 如图1，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥(注意，天桥必须与街道垂直)．请按下面要求作图：(1)桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短，在图1中完成； (2)桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等，在图2中完成．甲乙图2图1乙甲13. 如图，A ，B 是直线l 同侧的两点，定长线段PQ 在l 上平行移动，问PQ 移动到什么位置时，能使AP+PQ+QB 的值最小？14. 如图，∠AOB =60°，点P 在∠AOB 的角平分线上，OP =10cm ，点E ，F 分别是∠AOB 两边OA ，OB 上的动点，当△PEF 的周长最小时，点P 到EF 的距离是（ ）A ．10cmB ．5cmC ．103cmD ．53cmlQPBABAOFE P15. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =120°，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ．当△AMN 周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ）A ．130°B ．120°C ．110°D ．100°16. 在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝4，在AC 上找一点M ，在AB 上找一点N ，使得BM ＋MN ＋NC 值最小，并求出最小值．三、回顾与思考______________________________________________________ ______________________________________________________D CB A MNMCBAN。
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几何三大变换（讲义）
一、知识点睛
1.________、________、____________统称为几何三大变换．几
何三大变换都是_______________，只改变图形的________，不改变图形的_________________．
2.三大变换思考层次
三
大
变
换
基本要素基本性质延伸性质应用
平移平移方向
平移距离
1．对应点所连的线
段平行且相等
2．对应线段平行且
相等
3．对应角相等
平移出现
__________
天桥问题、
平行四边形
存在性等
旋转旋转中心
旋转方向
旋转角度
1．对应点到旋转中
心的距离相等
2．对应点与旋转中
心的连线所成的角
等于旋转角
3．对应线段、角相
等，对应线段的夹
角等于旋转角
4．对应点所连线段
的垂直平分线都经
过旋转中心
旋转出现
__________
旋转结构
（等腰）等
轴
对称对称轴
1．对应线段、对应
角相等
2．对应点所连线段
被对称轴垂直平分
3．对称轴上的点到
对应点的距离相等
4．对称轴两侧的几
何图形全等
折叠出现
__________
折叠问题、
最值问题等
二、精讲精练
1. 如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到
△DEF ，则四边形ABFD 的周长为（ ） A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
F
C
E
D
B
A
B 1
A 1
y
x B
A O
第1题图 第2题图
2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 的坐标分别
为(1，0)，(0，2)，将线段AB 平移至A 1B 1，若点A 1，B 1的坐标分别为(2，a )，(b ，3)，则a b +=___________．
3. 如图，在44⨯的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角
度得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是（ ） A ．点A
B ．点B
C ．点C
D ．点D
D C B A
N 1
M 1
P 1N M
P
4. 如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90°，
∠A =30°．若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，则当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路径长为________________．（结果保留π）
C
B
A
l …
5. 如图，菱形OABC 的顶点O 在
坐标原点，顶点A 在x 轴正半轴上，且∠B =120°，OA =2．将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至菱形OA ′B ′C ′的位置，
则点B ′的坐标为___________．
6. 如图1，把正方形ACFG 和Rt △ABC 重叠在一起，已知AC =2，
∠BAC =60°．将Rt △ABC 绕直角顶点C 按顺时针方向旋转，使斜边AB 恰好经过正方形ACFG 的顶点F ，得到△A ′B ′C ．若AB 分别与A ′C ，A ′B ′相交于点D ，E ，如图2所示，则△ABC 与△A ′B ′C 重叠部分（图中阴影部分）的面积为_________．
B
C G F
A
图1 图2
7. 如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且OA =3，OB =4，OC =5．将
线段OB 绕点B 逆时针旋转60°得到线段O ′B ，则下列结论：①△A O′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转60°得到； ②∠AOB =150°；③633AOBO'S =+四边形； ④93
64
AOB AOC S S +=+
△△． 其中正确的是____________．（填写序号）
B'
E
D
A'
B
G
F
C
A
C'
B'
A'C
B
A
O
y
x
O'
O
C
A
8. 如图，在矩形ABCD 中，AD AB ，将矩形ABCD 折叠，使
点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积之比为1:4，则MN
BM
的值为（ ） A ．2
B ．4
C ．25
D ．26
N M E D
C
B
A
9. 如图，在矩形纸片ABCD 中，已知AB =5cm ，BC =10cm ，点
E ，P 分别在边CD ，AD 上，且CE =2cm ，PA =6cm ，过点P 作P
F ⊥AD ，交BC 于点F ．将纸片折叠，使点P 与点E 重合，折痕交PF 于点Q ，则线段PQ 的长为_____________．
Q
F
E P D
C B
A
10. 如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，P 为AB 边的中点．将
纸片折叠，使点C 落在直线DP 上，若折痕经过点D ，且交BC 于点E ，则∠DEC =____________．
C'
P E D
C
B
A
11. 如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，将纸片折叠，点A ，
D 分别落在点A ′，D ′处，且A ′D ′经过点B ，EF 为折痕．当 D ′F ⊥CD 时，CF
DF
的值为（ ） A ．
31
2
- B ．
36
C ．
231
6
-
D ．
31
8
+ E F
D'
A'
C
B
D
A
12. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3．D 是
BC 边上一动点（不与点B ，C 重合），过点D 作DE ⊥BC ，交AB 于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处．当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为________．
D
E
F
C
B
A
A
B
C
13. 阅读下面的材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ．若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC ，BD ，AD +BC 的长度为三边长的三角形的面积．
C O
D B
A
图1 图2
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积．他发现 AD ∥BC ，因为平移可以产生平行四边形，利用平行四边形对边相等就可转移边，所以考虑通过平移来解决这个问题．他的方法是过点D 作AC 的平行线，交BC 的延长线于点E ，得到的△BDE 即是以AC ，BD ，AD +BC 的长度为三边长的三角形（如图2）．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，△ABC 的三条中线分别为AD ，BE ，CF ．
F
E
D
C
B
A
图3
（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的一个三角形；
（2）若△ABC 的面积为1，则以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的三角形的面积为_____________．
三、回顾与思考
E
O
D
C B
A
【参考答案】
知识点睛
1．平移、旋转、轴对称．全等变换，位置，形状和大小．2．平行四边形，等腰三角形，等腰三角形．
精讲精练
1．C
2．2
3．B
4．(43)
+π
5．(2，2
-)
6．
53 6
2 -
7．①②④8．D
9．25
cm 6
10．75°11．A 12．1或2
13．（1）作图略；（2）3
4
．。