对称偏导数及其性质
第二节 偏导数
V k , T V, T P P k
从而
P V
V T
T P
kT V2
k P
V k
kT PV
1
.
2019年12月24日星期二
徐州工程学院数理学院
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警告各位！
偏导数 z 是一个整体记号, 不能拆分. x
不能像一元函数那样将 z , z 看成是
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1997年研究生考题, 选择, 3分
f
(
x,
y)
x2
xy
y2
( x, y) (0,0)在点(0,0)处( C
).
0 ( x, y) (0,0)
A. 连续,偏导数存在;
B. 连续,偏导数不存在; C. 不连续,偏导数存在; D. 不连续,偏导数不存在.
x y
z 与 x , y 的商.
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例7 求 u e x xy2z3 的偏导数 .
解:
u e xxy2z3 (1 y2 ) ;
x
u e xxy2z3 2x y ; y
u e xxy2z3 (3z2 ) . z
函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量), 即
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
如果极限
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0 x x0
偏导数
偏 导 数
一、偏导数
二、偏导数几何意义
及与连续的关系 三、高阶偏导数 四、小结、思考题
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
_______;
2.
z xy z e ( x y ), 则 x
z y
________.
2 2x csc , y y
2x 2x 2 csc y y
e xy ( xy x 2 1)
e ( xy y 1)
xy 2
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 x
的偏导数，记为
zx z f ， ， x0 x x0 x x x y y y y
0 0
2 3
f x 0,1 , f x 1, 0 , f y 0, 2 , f y 2, 0 .
解： f
x y 2 x, f x 0,1 1, f x 1, 0 2;
f x 3 y2 , y
f y 0, 2 12,
f y 2, 0 2
三、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z f x ( x, y ) , x
z f y ( x, y ) y
则称它们是z = f ( x , y ) 若这两个偏导数仍存在偏导数， 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数: 2 2 z z z z f x y ( x, y ) ( ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x
求偏导知识点总结
求偏导知识点总结1. 偏导数的定义偏导数的定义相对于函数的变量而言，是指在其他变量保持不变的情况下，函数对某一变量的变化率。
假设有一个由两个自变量 x 和 y 组成的函数 z=f(x,y)，在某个点（a,b）处的偏导数，表示对于 x 的变化率和对于 y 的变化率。
偏导数通常用∂z/∂x 表示对 x 的偏导数，用∂z/∂y 表示对 y 的偏导数。
2. 偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质，它们可以帮助我们更好地理解和应用偏导数。
（1）如果函数 z=f(x,y) 在某一点处可微分，那么在这一点处偏导数存在。
（2）偏导数的交换律：如果函数 f(x,y) 的偏导数∂z/∂x 和∂z/∂y 都存在且连续，那么∂z/∂x 与∂z/∂y 的交换组合也存在，并且两者相等。
（3）混合偏导数：如果函数 f(x,y) 在某一点处具有偏导数∂z/∂x 和∂z/∂y，那么这两个偏导数的混合偏导数∂^2z/(∂x∂y) 和∂^2z/(∂y∂x) 都存在，并且相等。
3. 偏导数的计算方法计算偏导数的方法和计算常规一元函数的导数有些不同。
对于二元函数 z=f(x,y)，求偏导数∂z/∂x 时，我们将 y 视为常数，对 x 求导；求偏导数∂z/∂y 时，我们将 x 视为常数，对y 求导。
例如，对于函数 z=x^2*y+sin(x)，求∂z/∂x 和∂z/∂y，分别视 y 和 x 为常数，计算出对 x 和对 y 的偏导数。
4. 偏导数的几何意义在二元函数的图像中，偏导数有一些很有趣的几何意义。
对于函数 f(x,y) 在某一点（a,b）处的偏导数∂z/∂x，可以理解为函数在 x 轴方向上的斜率，即函数在沿 x 方向的增加（或减小）时 z 的变化速率。
类似地，对于函数 f(x,y) 在某一点（a,b）处的偏导数∂z/∂y，可以理解为函数在 y 轴方向上的斜率。
在实际应用中，偏导数可以提供很多有用的信息。
例如，在经济学中，偏导数可以用来描述不同市场因素对价格的影响；在物理学中，偏导数可以用来描述多变量物理量的变化规律；在工程学中，偏导数可以用来解决多变量约束条件下的最优化问题。
函数对称性的总结
函数对称性的总结函数对称性是数学中的一个重要概念，它描述了函数图像在某些操作下的不变性。
函数对称性有多种形式，包括对称轴对称、点对称和周期性等。
这些对称性不仅仅是数学上的概念，它们在自然界和现实生活中也有广泛的应用。
在这篇文章中，我们将对函数对称性进行详细的总结和讨论。
首先，我们来谈谈对称轴对称性。
对称轴对称是指函数图像以某一直线为轴对称，即对于函数图像上的任意一点P，它关于对称轴上的另一点P'是关于对称轴对称的。
对称轴对称性在直角坐标系中通常体现为对称轴为y轴的情况，此时函数图像关于y轴对称。
也有一些例外，比如平方函数y = x^2关于x轴对称，开方函数y = √x关于y轴对称。
对称轴对称性常见于各种二次函数、三次函数等。
其次，点对称性是另一种常见的函数对称性。
点对称是指函数图像关于某个点对称，即对于函数图像上的任意一点P，它关于对称中心O的另一点P'是关于对称中心对称的。
对于点对称性来说，对称中心可以是任意点，不一定是坐标轴上的点。
点对称性常见于正弦函数、余弦函数等周期函数中。
接下来，我们来看一下周期性对称性。
周期性是指函数具有固定的周期，即对于函数中的任意一点P，在以周期为基准的一段距离内，P点和P'点的函数值相同。
周期函数是常见的具有周期性对称性的函数。
例如正弦函数y = sin(x)、余弦函数y = cos(x)、正切函数y = tan(x)等都具有周期性对称性。
除了以上三种常见的函数对称性，还有一些特殊的对称性值得关注。
例如，奇函数和偶函数是两种特殊的对称性形态。
奇函数是指满足f(-x) = -f(x)的函数，即函数图像关于坐标原点对称。
常见的奇函数有正弦函数和奇次多项式。
偶函数是指满足f(-x) = f(x)的函数，即函数图像关于y轴对称。
常见的偶函数有余弦函数和偶次多项式。
奇函数和偶函数的对称性在函数的定义和求解中有很多实际应用。
最后，函数对称性在数学中起着重要的作用。
函数对称性知识点归纳总结
函数对称性知识点归纳总结一、函数的对称性概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将输入值映射到输出值的关系。
它通常表示为f(x)，其中x是输入值，f(x)是输出值。
函数可以用数学公式、图表、图形等方式来表示。
1.2 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数图像保持不变的性质。
这种变换可以是关于坐标轴的对称、关于原点的对称、关于直线或平面的对称等。
函数的对称性可以分为以下几种：- 偶函数：如果对任意的x，有f(x) = f(-x)，那么函数f(x)是关于y轴对称的，称为偶函数。
偶函数的图像在y轴对称。
- 奇函数：如果对任意的x，有f(x) = -f(-x)，那么函数f(x)是关于原点对称的，称为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
- 周期函数：如果存在一个正数T，使得对任意的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)是周期函数。
周期函数的图像在某一段距离上重复。
1.3 示例以函数f(x) = x^2为例，它是一个偶函数。
因为对任意的x，有f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x)，所以函数图像关于y轴对称。
又如函数f(x) = sin(x)，它是一个奇函数。
因为对任意的x，有f(x) = sin(x) = -sin(-x) = -f(-x)，所以函数图像关于原点对称。
二、函数对称性的判定与应用2.1 函数对称性的判定在判断一个函数是否具有对称性时，可以通过以下方法进行判定：- 偶函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = f(-x)即可判断是否为偶函数。
- 奇函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = -f(-x)即可判断是否为奇函数。
- 周期函数：通过周期函数的定义，验证函数f(x)是否满足f(x+T) = f(x)即可判断是否为周期函数。
2.2 函数对称性的应用函数对称性在数学分析、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
以下是函数对称性的一些应用场景：- 在积分计算中，利用函数的对称性可以简化积分的计算。
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
第六章 第2节偏导数
即
x z f( x 0 x ,y 0 ) f( x 0 ,y 0 )
称之为函数z在点 (x0, y0 )处对x的偏增量
如z=果f(xli,xmy0)在xx点z 存(x在0, y，0 )则对称x的此偏极导限数值为函数
lim 类似对y的偏导数
lim y 0
yz y
f(x0,y0y)f(x0,y0)
二、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 多元函数中在某点偏导数存在
偏导数存在 连续.
连续， 连续，
例如,函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依定义，在(0,0)处:
f(0+ x,0)-f(0,0)
fx (0, 0)
lim
x0
y 0
y
如果函数z f ( x, y)在区域D 内任一点 ( x, y)处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x 、y 的函数，它就称为函数z f ( x, y)对 自变量x 的偏导数，
记作z x
，f x
，z x
或
f
x
(
x,
y).
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y 的偏
第二节 偏导数
一、偏导数的定义 二、偏导数的计算
第六章
一、偏导数的概念
一元函数y=f(x)的导数
偏导数
二元函数z=f(x,y)的导数
视其中一个量为变量，其余量为 常数讨论导数
偏导数定义
设z=f(x,y)在点 (x0, y0)的某邻域有定义，固定 y y0
6_1_3 偏导数 高等数学微积分 考研数学
1
二 者 不
f yx (0,0)
lim
x0
f y (x,
0) x
f y (0, 0)
lim
x0
x x
1
Page
14
等
定理. 若 f x y ( x, y)和 f y x ( x, y)都在点( x0 , y0 )连续, 则 f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
o x0xy0源自y是曲线 斜率.z
x
f (x, x0
y)
在点M0 处的切线
M 0Ty
对
y
轴的
Page 6
注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
例如, 显然
x x0
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 ) x x0
Page 3
同样可定义对 y 的偏导数
f y (x0 , y0 )
lim
y0
f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) y
d dy
f
(x0 , y)
y y0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
fxyz(x, y, z) fyzx(x, y, z) fzxy(x, y, z) fxzy(x, y, z) fyxz(x, y, z) fzyx(x, y, z)
高等数学中轮换对称的应用李远梅
高等数学中轮换对称的应用李远梅发布时间：2023-05-31T05:16:38.502Z 来源：《中国教师》2023年6期作者：李远梅[导读]武警警官学院四川成都 6100001、轮换对称的定义、性质定义1：在区域D内有定义，若，称函数为区域D内是轮换对称式，即自变量与是轮换对称的。
在空间内有定义，若，称变量与是轮换对称的。
若，称三自变量是轮换对称的。
例如：（1）在区域内，自变量与是轮换对称的。
（2）在区域内，自变量与是轮换对称的。
（3）在区域内，与及z三变量是轮换对称的。
（4）在区域内，与两变量是轮换对称的，与z不是轮换对称。
结论：通过举例发现。
要使函数中的任意两个变量之间是轮换对称的，必须满足以下两个要素：（1）函数中相应两个自变量相互交换位置，函数不改变，即（2）函数所对应的定义域必须需满足对称性，针对二维要满足关于对称；针对三维要满足关于平面对称。
性质：轮换对称式的和、差、积、商也是轮换对称式。
2、轮换对称的应用2.1轮换对称在偏导数中的应用例1、求下列函数的偏导数（1）；（2）解（1），由轮换对称性得2.2轮换对称在极值中的应用例2、求函数在适合附加条件下的极大值。
解：由轮换对称，可知极值点必定是的点，又，故极大值2.3轮换对称在重积分的应用例3、计算下列二重积分其中D是由两坐标轴及直线所围成的闭区域。
解：积分区域D是关于对称，则则例4、求三重积分，其中是由球面所围成的闭区域。
解：由轮换对称得，则2.4轮换对称在曲线积分的应用例5、求弧长积分，其中L为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段。
解：由轮换对称可得2.5轮换对称在曲面积分的应用例6、，其中是锥面被所截得的部分。
解：积分区域关于面对称，被积函数是轮换对称式，则。
结论：在高等数学计算过程中充分利用轮换对称，帮助我们简化计算。
但是在计算第二类曲线积分和曲面积分是不能用轮换对称的。
因为积分区域具有方向性，不满足区域对称。
参考文献：[1]同济大学数学系.高等数学（下册）[M].7版.北京：高等教育出版社，2014：68-242[2]西北工业大学高等数学教研室.高等数学专题分类指导[M].上海：同济大学出版社，1999：58-78。
第二节 偏导数
f ( x Δx , y , z) f ( x , y , z)
fx(x
,
y
,
z)
lim
Δx 0
Δx
f ( x , y Δy , z) f ( x , y , z)
fy(x
,
y
,
z)
lim
Δy 0
Δy
f ( x , y , z Δz) f ( x , y , z)
fz(x
,
y
,
z)
lim
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法
先代后求 先求后代 利用定义
逐次求导法
(与求导顺序无关时， 应选择方便的求导顺序)
第九章 第二节
24
f
(
x,
y)
x2
xy
y
2
( x , y) (0 , 0)
0 ( x , y) (0 , 0)
依定义知在 (0 , 0) 处，fx (0 , 0) f y (0 , 0) 0
但函数在该点处并不连续，
所以偏导数存在 连续
第九章 第二节
13
例5 理想气体的状态方程 pV = RT (R 为常数) ，
y( y2 x2 ) ( x2 y2 )2
当 ( x , y) (0 , 0) 时，
f (0 Δx , 0) f (0 , 0)
fx
(0
,
0)
lim
Δx0
Δx
0
第九章 第二节
11
fx(x
,
y)
y(
y2
x2
)
偏导数的性质
偏导数的性质偏导数是数学中重要的概念之一。
偏导数指的是在多元函数中，某个变量保持不变，而其他变量发生改变时，函数的导数。
偏导数广泛应用于物理学、经济学、数学和其他学科中。
本文将探讨偏导数的性质。
一、一阶偏导数的对称性一阶偏导数的对称性是指，如果一个函数在某一点的两个变量的导数存在，那么这两个导数互相等价。
具体来说，如果$f(x,y)$在$(x_0, y_0)$处两个变量的导数均存在，那么$f_x(x_0,y_0)=f_y(y_0,x_0)$。
这也就是说，我们可以通过交换函数中的变量来得到相同的结果。
为了证明这个性质，我们可以使用泰勒定理，设$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处二阶可导，则：$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(y_0,x_0)(y-y_0)+O(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})^2$$因此，我们可以看到$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(y_0,x_0)$的系数是相等的。
因此，一阶偏导数具有对称性。
二、二阶偏导数的连续性如果一个函数在某一点的二阶偏导数都存在，那么这两个偏导数的交叠区域内的二阶偏导数也都存在，且它们是相等的。
也就是说，如果$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处存在二阶连续偏导数，则$f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$。
为了证明这个性质，我们可以考虑在一个交叉的小正方形中，对$f(x,y)$进行泰勒展开：$$f(x+h, y+k) = f(x,y) + \frac{\partial f}{\partial x} h +\frac{\partial f}{\partial y} k + \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\frac{h^2}{2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \frac{k^2}{2} +\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} hk+ O(h^3) + O(k^3)$$这个泰勒展开中，$h$和$k$表示$x$和$y$的偏移量。
高数第二节：偏导数
fx (x, y)
y( x2 y2 ) 2x xy (x2 y2)2
y( y2 x2) ( x2 y2 )2 ,
由对称性得
fy(x, y)
x(x2 y2) ( x2 y2 )2 ,
xy
例5
设
f
( x,
y)
x
2
y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
考虑二元函数 z = f ( x , y ) 若将 y 固定（看作常量），则它成为一个关于 x 的 一元函数，可将其对 x 求导。
这个关于 x 的一元函数对 x 的导数，称为二元函数 z = f (x , y ) 关于 x 的偏导数
同理，可定义 z = f ( x , y ) 关于 y 的偏导数。
u beax sin by; y
2u x 2
a 2e ax
cos
by,
2u y2
b2eax
cos
by,
2u abeax sin by, 2u abeax sin by.
xy
yx
2u 2u xy yx
问题： 混合偏导数一定相等吗？
x3y
例
8
设
f
(
x,
y)
x2
y2
0
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
证
z yx y1,
x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
y x ln x y y
ln x
x y x y 2z.
原结论成立．
例 3 设 z arcsin x ，求 z ， z .
03 第三节 偏导数
第三节 偏导数分布图示★ 偏导数的定义 ★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 有关偏导数的几点说明 ★ 例5 ★ 偏导数的几何意义 ★ 偏导数的经济意义 ★科布-道格拉斯生产函数 ★ 例6 ★ 高阶偏导数★ 例7 ★ 例8 ★ 例9★ 例10 ★ 例11★ 混合偏导数相等的条件 ★例12 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题6-3内容要点一、偏导数的定义及其计算法定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时, 相应地函数有增量),,(),(0000y x f y x x f -∆+如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数, 记为).,(,,00000000y x f z xf xz x y y x x xy y x x y y x x 或======∂∂∂∂例如，有),(00y x f x xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000.类似地，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数为yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记为).,(,,00000000y x f z yfy z y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时, 只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之.二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：（1）对一元函数而言，导数dxdy可看作函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商. 但偏导数的记号xu∂∂是一个整体. （2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求.（3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.例如，二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x yx xyy x f 在点)0,0(的偏导数为,00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆xx f x f f x x x .00lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆=∆-∆+=→∆→∆y yf y f f x y y 但从上节例5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.三、偏导数的几何意义设曲面的方程为),(y x f z =，)),(,,(00000y x f y x M 是该曲面上一点，过点0M 作平面0y y =，截此曲面得一条曲线，其方程为⎩⎨⎧==00),(y y y x f z 则偏导数),(00y x f x 表示上述曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴正向的斜率（图6-3-1）. 同理，偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴正向的斜率.四、偏导数的经济意义设某产品的需求量),,(y p Q Q = 其中p 为该产品的价格, y 为消费者收入. 记需求量Q 对于价格p 、消费者收入y 的偏改变量分别为),,(),(y p Q y p p Q Q p -∆+=∆和 ).,(),(y p Q y y p Q Q y -∆+=∆易见，pQ p ∆∆表示Q 对价格p 由p 变到p p ∆+的平均变化率. 而pQ p Qp p ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格为p 、消费者收入为y 时, Q 对于p 的变化率. 称Qpp Q pp Q Q E p p p ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对价格p 的偏弹性. 同理，yQ y ∆∆表示Q 对收入y 由y 变到y y ∆+的平均变化率. 而yQ y Qy y ∆∆=∂∂→∆0lim 表示当价格p 、消费者收入为y 时, Q 对于y 的变化率. 称 Qyy Q yy Q Q E y y y ⋅∂∂-=∆∆=→∆//lim为需求Q 对收入y 的偏弹性.五、科布-道格拉斯生产函数在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数100,),(1<<>=-a c ycx y x p aa且，其中p 是由x 个人力单位和y 个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生产工具和其它用品的成本）。
偏导数
z f , , z x或 f x ( x, y). x x
同理可以定义函数z =f (x,y)对自变量 y 的偏导数，
z f , , z y 或 f y ( x , y ). 记作 y y
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z ) 在 ( x , y, z ) 处
z , x x x0 y y
0
f , zx x x x0 y y
0
x x0 y y0
或
f x ( x0 , y0 ).
同理可定义函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对
y 的偏导数,为
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim y 0 y
设 z x y ( x 0, x 1) ，求证:
x z 1 z 2z . y x ln x y
x z z ，求 ， . 练习3 设 z arcsin 2 2 x y x y
练习1 求z x 2 sin 2 y的偏导数.
解
z 2 x sin 2 y , x
7.2
偏导数
7.2.1 偏导数的定义及其计算法
7.2.2 偏导数的几何意义 7.2.3 高阶偏导数
7.2.1 偏导数的定义及其计算法
定义7.6 设函数z = f (x, y)在点(x0, y0)
的某一邻域内有定义, 当 y 固定在y0, 而
x 在 x0 处有增量x时, 相应地函数有增 量处有增量
x y x y 2z .
原结论成立．
x z z ，求 ， . 练习3 设 z arcsin 2 2 x y x y
解
偏导数的定义及其计算法
= x cos(xy) − 2 cos(xy) ⋅[− sin(xy)]⋅ x
= x cos(xy) + 2x cos(xy) ⋅sin(xy)
∂z
∴
∂x
|x=0
y= π
= [ y cos(xy)
2
+ 2 y cos(xy) ⋅sin(xy)] |x=0
y=π 2
=π +0=π
2
2
∂z ∂y
|x=0
(1)
同样，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为
lim f (x0, y0 + Δy) − f (x0, y0 )
Δy →0
Δy
记作 即
∂z ∂y
|x= x0
y=y0
,
∂f ∂y
|x= x0
y= y0
,
z y|x= x0
y= y0
或
f y (x0,y0 )
f y (x0, y0 )
∂V ∂T ∂p
证: ∵ ∵ ∵
p = RT V
V = RT p
T = pV R
∴ ∂p = − RT
∂V V 2
∴ ∂V = R
∂T p
∴ ∂T = V
∂p R
∴
∂p ⋅ ∂V ⋅ ∂T = − RT ⋅ R ⋅ V ∂V ∂T ∂p V 2 p R
= − RT pV
= −1
例6 求下列各函数在指定点的偏导数：
保证当P(x,y)以任意方式趋近P0(x0 ,y0)时，f(x,y)都趋 近于f (x0 ,y0).
反例 ： 例6 (1)
偏导数的几何意义 复习一元函数导数
z = f (x, y)
多元函数的偏导数教案
多元函数的偏导数教案一、引言多元函数是数学中重要的概念之一，它在各个领域的应用十分广泛。
而其中的偏导数是多元函数研究中的重要工具之一。
本教案将系统地介绍多元函数的偏导数的定义、性质和计算方法，以帮助学生全面理解和掌握该内容。
二、偏导数的定义对于多元函数，我们常常需要了解某一个变量变化对函数值造成的影响，而偏导数正是用来描述这种影响程度的工具。
设多元函数f(x₁,x₂,...,xₙ)在点(x₀₁,x₀₂,...,x₀ₙ)的某一领域内有定义，则对于每一个自变量xᵢ(i=1,2,...,n)，都可以定义其偏导数。
记作∂f/∂xᵢ或∂ᵢf。
三、偏导数的性质1. 可微性：如果多元函数在某一点处的偏导数存在，则该函数在该点可微。
2. 连续性：如果多元函数在某一点处的偏导数连续，则该函数在该点连续。
3. 混合偏导数的对称性：对于具有一阶和二阶连续偏导数的函数，其混合偏导数的次序可以交换，即∂ᵢ∂ₙf=∂ₙ∂ᵢf。
四、计算方法1. 对于简单的多元函数，可以直接对各个自变量求偏导数，例如f(x,y)=x²+y³，则∂f/∂x=2x，∂f/∂y=3y²。
2. 对于复合函数，根据链式法则求偏导数。
设z=f(u,v), u=g(x,y),v=h(x,y)，则根据链式法则，有∂z/∂x=∂f/∂u*∂u/∂x+∂f/∂v*∂v/∂x。
3. 对于隐函数，可以利用全微分的方式求偏导数。
设方程F(x,y,z)=0确定了z作为x和y的函数z=f(x,y)，则根据全微分的定义，有dz=∂f/∂x*dx+∂f/∂y*dy。
五、应用举例1. 高度函数的偏导数：假设一个水池在某一时刻的水位高度可以用函数h(x,y)表示，其中x和y分别表示水平坐标和垂直坐标。
现在需要求在某一时刻，水位高度在某一点处上升最快的方向。
根据偏导数的定义，可以通过计算∂h/∂x和∂h/∂y并比较它们的大小来求得。
2. 温度分布的梯度：假设一个封闭空间的温度分布可以用函数T(x,y,z)表示，其中x、y和z分别表示空间的三个坐标轴方向。
偏导数概念及其计算
计算多元函数的偏导数
计算多元函数$f(x, y, z)$在点$(a, b, c)$处的 偏导数，即求$frac{partial f}{partial x}(a, b, c)$、$frac{partial f}{partial y}(a, b, c)$和 $frac{partial f}{partial z}(a, b, c)$，可以通 过求导法则和链式法则进行计算。
曲面的法线向量
法线向量是垂直于曲 面切平面的向量。
法线向量在几何上表 示曲面在该点的切线 方向。
通过偏导数计算切平 面，进而得到法线向 量。
05
偏导数的计算Байду номын сангаас例
计算一元函数的偏导数
计算一元函数$f(x)$在$x=a$处的偏 导数，即求$f'(a)$，可以通过求导法 则和链式法则进行计算。
例如，对于函数$f(x) = x^3 + 2x^2 + x$，在$x=1$处的偏导数为$f'(1) = 3 times 1^2 + 2 times 1 + 1 = 6$。
Hessian矩阵是对称矩阵，其行列式值表示函数在某一点的 凹凸性。
要点二
详细描述
Hessian矩阵是一个对称矩阵，即其转置矩阵与原矩阵相 等。Hessian矩阵的行列式值可以用来判断函数在某一点 的凹凸性，如果行列式值为正，则函数在这一点处为凸函 数；如果行列式值为负，则函数在这一点处为凹函数。此 外，Hessian矩阵还可以用来计算函数的极值点和鞍点。
详细描述
对于指数函数f(x, y) = e^(x*y)，其偏导数可以通过链式法则和指数法则进行计算。具 体地，f'_x = e^(x*y) * y，f'_y = e^(x*y) * x。
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［ ］ 林． 学 分 析 问 题 研 究 与 评 注 ． 京 ： 学 出 版 ３ 汪 数 北 科
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社 ，９ ５ １９ ．
［ ］ 东 师 范 大 学 数 学 系， 学 分析 ． 京 ： 民教 育 出 ４ 华 数 北 人
数 学 学 习与 研 究 ２ １ ００ ３
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令 ０有 ， （） ０ ＝∑ ｈ－ 。ｂｐ（ ＝ ， ． ｋ （， ，ｍ １ ￣ ａ ｉ ）
２ … ， ） 将 上 述 结 果 代 人 （ ） 展 开 式 中得 到 二 元 函 数 ， ｎ ， １ 的 ｆ ， ） Ｍ（ ， ） 泰勒 公 式 ： （ Ｙ在 ｎｂ 的
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［ ］ 永 平 ． 称 偏 导 数． 京 农 业 高 等 专 科 学 校 学 ５ 徐 对 南
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其 中 Ｐ表 示 （ ２一ｉ个 孤 与 ｉ ａ ） 个 ｙ全 排 列 的 倒 数 和
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［ ］ 福 临 ， 阳光 中． 学分 析． 旦 大 学 ，９ ３ １金 欧 数 复 １８ ． ［ ］ 波 ， 玉斌 ． 称 导 数及 其 相 关理 论． 海 大 学 学 ２ 梁 王 对 渤
对 称 偏 导 数 称 为 二 元 鬲 数 ｎ阶 对 称 偏 导 数 ， 记作
定 理 ４ （ 元 函数 的 泰勒 公 式 ） 函 数 ＝ （ Ｙ 在 点 二 若 ／ ， ） Ｍ（ ， ） ｎ ｂ 的邻 域 Ｇ存 在 ｎ阶对 称 偏 导 数 ， ＶＤ（ 则 “±ｈ ｂ ） ，±
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二 元 函 数 拉 格 朗 日定 理
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证 明 设 （ ）＝ （ ｔ ｌ ｎ＋ｈ ， ｋ ） ０ ≤ １ ， 已 知 条 厂 ｔ ｂ＋ ｔ （ ≤ｔ ） 由 件， 函数 妒 在 区 问 ［ ， ］ 在 一１阶连 续 的 对 称 导 “ ， （） ０１存 数 ∑ 并 且 存 在 ｎ阶 对 称 导 数 ， 由定 理 可 知 ， 用 泰 勒 公 式 ， 将 Ⅲ 应 可 ∑
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证明
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一
定 义 ３ 若 二 元 函 数 ＝ （ ｙ 的 两 个 一 阶 对 称 偏 导 数 ＿ ， ） 厂
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