尖子生培优讲座洛必达法则

x (0,1)
时，
h(x)
0
，可得 1 1 x2
h(x)
0
；当
x (1, ) 时，
h(x)
0
，可
得
1 1 x2
h(x)
0
，从而当
x
0且
x
1时，
f
(x)
( ln x x 1
k) x
0 ，即
f
(x)
ln x x 1
k x
；
（ii）当 0 k 1时，由于当 x (1, 1 ) 时， (k 1)(x2 1) 2x 0，故 h '(x) 0 ，而 1 k
1
lim
x1
2x ln x 1 x2
1
lim
x1
2ln x 2x
2
0
，
即当 x 1时， g(x) 0 ，即当 x 0 ，且 x 1时， g(x) 0 .
1) ln x 2(1 (1 x2 )2
wenku.baidu.com
x2)
=
2(x2 1) (1 x2 )2
(ln
x
1 x2
x2
) 1
，
记 h(x)
ln
x
1 x2
x2 1
，则
h
'(
x)
1 x
4x + (1+x2 )2
=
(1 x2 )2 x(1+x2 )2
0，
从而 h(x) 在 (0, ) 上单调递增，且 h(1) 0 ，因此当 x (0,1) 时，h(x) 0 ，当 x (1, )
1. 新课标高考命题趋势
近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化， 坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学 作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知 识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜 能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接 轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.
2.分类讨论和假设反证
当 x 0 ，且 x 1时， f (x) ln x k ，即 ln x 1 ln x k ， x 1 x x 1 x x 1 x
也即 k
x ln x x 1
1 x
x ln x x 1
2x ln x 1 x2
1，记
g(x)
2x ln x 1 x2
1，
x
0 ，且
x
1
则
g
'( x)
2( x 2
时，h(x) 0 ；当 x (0,1) 时，g '(x) 0 ，当 x (1, ) 时，g '(x) 0 ，所以 g(x) 在 (0,1)
上单调递减，在 (1, ) 上单调递增.
3.运用洛必达和导数解2011年新课标理
由洛必达法则有
lim
x1
g(x)
lim(
x1
2x ln x 1 x2
1)
（Ⅰ）求 a 、 b 的值； （ Ⅱ）如果当 x 0 ，且 x 1时， f (x) ln x k ， 求 k 的取值范围.
x 1 x （Ⅰ）略解得 a 1， b 1.
（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法
由（Ⅰ）知 f (x) ln x 1 ，所以 f (x) ( ln x k ) 1 (2ln x (k 1)(x2 1)) .
2.2011新课标理的常规解法
注：分三种情况讨论：① k 0 ；② 0 k 1；③ k 1 不易想到. 尤其是② 0 k 1时，许多考生都停留在此层面，举反例 x (1, 1 )
1 k
更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段 公认的难点，即便通过训练也很难提升.
3.运用洛必达和导数解2011年新课标理
的方法不能解决这部分问题的原因是出现了 0 ” 0
型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题， 解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.
洛必达法则及其解法的原理
1.洛必达法则
洛必达法则：设函数 f (x) 、 g(x) 满足：
（1） lim f (x) lim g(x) 0 ；
xa
xa
（2）在U o(a) 内，f (x) 和 g(x) 都存在，且 g(x) 0 ；
许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问 题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的 题型.这类题目容易让学生想到用分离参数的方 法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在 高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决， 高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论 和假设反证的方法.
3.洛必达法则
虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方 法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂， 学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数
h(1)
0
，故当
x
(1, 1 1 k
)
时，
h(x)
0
，可得
1 1 x2
h(x)
0
，与题设矛盾.
（ iii ） 当 k 1 时 ， h '(x) 0 ， 而 h(1) 0 ， 故 当 x (1, ) 时 ， h(x ) 0， 可 得
1 1 x2
h(x )
0，与题设矛盾.综上可得， k 的取值范围为 (，0] .
2011新课标理
已 知 函 数 f (x) a ln x b ， 曲 线 y f (x) 在 点 x 1 x
(1, f (1)) 处的切线方程为 x 2 y 3 0 .
（Ⅰ）求 a 、 b 的值； （ Ⅱ）如果当 x 0 ，且 x 1时， f (x) ln x k ，
x 1 x 求 k 的取值范围.
（3） lim f (x) A （ A 可为实数，也可以是 ）. xa g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A . xa g(x) xa g(x)
2.2011新课标理的常规解法
已知函数 f (x) a ln x b ，曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x 2 y 3 0 . x 1 x
2019届高三尖子生培优讲座
导数压轴题常见技巧与方法
主讲人：闵定义 2018年10月14日
方向一：洛必达法则处理恒成立问题 方向二：极值点偏移的常见思路 方向三：对数平均不等式秒杀导数题 方向四：不等式放缩处理证明问题
方向一：洛必达法则处理恒成立问题
2010新课标理
设函数 f (x) = ex 1 x ax2 . （Ⅰ）若 a 0 ，求 f (x) 的单调区间; （Ⅱ）若当 x≥0 时 f (x) ≥0，求 a 的取值范围.
x 1 x
x 1 x 1 x2
x
考虑函数 h(x)
2 ln
x
(k
1)( x 2 x
1)
(x
0) ，则 h '(x)
(k
1)(x2 1) x2
2x
.
2.2011新课标理的常规解法
(i)当 k
0 时，由 h '(x)
k(x2
1) (x x2
1)2
知，当
x
1时， h '(x)
0 .因为
h(1)
0
，
所以当