中国西部数学邀请赛试题及解析复习课程

合集下载

2017中国西部数学邀请赛试题及解析

2017中国西部数学邀请赛1.设素数p 、正整数n 满足()2211nk p k=+∏.证明：2p n <.1.按照()211nk k=+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论.（1）若存在()1k k n ≤≤，使得()221pk+，则221p n ≤+.于是，2p n ≤<.（2）若对任意的()1k k n ≤≤，()221pk+，由条件，知存在1j k n ≤≠≤，使得()21p j +且()21p k +. 则()22p k j-.于是，|()()p k j k j -+.当|()p k j -，则12p k j n n ≤-≤-<；当|()p k j +，则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<，综上，2p n <.2、已知n 为正整数，使得存在正整数12,,,n x x x 满足：()1212100n n x x x x x x n +++=，求n 的最大可能值.2、n 的最大可能值为9702，显然：由已知等式得1nii xn =≥∑，所以：1100ni i x =≤∏又等号无法成立，则199nii x=≤∏而()()()111111111n nnniiiii i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏则11198nniii i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ⇒+⇒≤⨯=取123970299,1x x x x =====，可使上式等号成立3.如图1，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，设ABD ACD ∆∆、的内心分别为12,I I ，12,AI D AI D ∆∆的外心分别为12O O 、，直线12I O 与21I O 交于点P .证明：PD BC ⊥.3.由1111O A O I O D ==及内心的性质，知1O 为ABD ∆外接圆弧AD 的中点.如图2，延长12,BI DI 交于点1J ，则1J 为ABD ∆中B ∠内的旁心，且1O 为11I J 的中点类似地，延长12,DI CI 交于点2J ，则2J 为ACD ∆ 中C ∠内的旁心，且2O 为22I J 的中点过点D 作DP BC '⊥.只需证明12I O 、21I O 、DP '三线共点对12DI I ∆用角元塞瓦定理，只需证明：212121121221sin sin sin 1sin sin sin P DI DI O O I I P DI O I I DI O '∠∠∠⋅⋅='∠∠∠ 事实上，由2222O J O I =，知212212O I J O I I S S ∆∆=，则212212122121212122122121212122sin sin 2sin sin O I J o I I S DI O O I J I J I O I I S O I I O I I I J I I I O ∆∆∠∠===∠∠⋅⋅同理：121212112sin sin O I I I J DI O I I ∠=∠，又2211sin cos sin cos P DI CDI P DI BDI '∠∠='∠∠所以只需证明：212121cos 1cos I J CDI I J BDI ∠=∠即2112I J I J 、在边BC 上的投影长度相同.如图3，设1212,,I I J J ，在边BC 上的投影分别为1212,,,H H K K则2112H K DK DH =-11()()221()2AB AD BD AD CD AC AB AC BC =+--+-=+-同理：121()2H K AB AC BC =+- 所以：2112H K H K =，命题得证4、给定整数(),2n k n k ≥≥，甲、乙两人在一张每个小方格都是白色的n n ⨯的方格纸上玩游戏：两人轮流选择一个白色小方格将其染为黑色，甲先进行.如果某个人染色后，每个k k ⨯的正方形中都至少有一个黑色小方格，则游戏结束,此人获胜.问谁有必胜策略?4、解将方格纸按从上到下标记行，从左到右标记列.若21n k ≤-，则甲将第k 行第k 列的小方格染为黑色后，每个k k ⨯正方形中至少有一个黑格，因此甲获胜.下面假设2n k ≥，我们证明当n 为奇数时，甲存获胜策略；当n 是偶数时，乙有获胜策略.对于一个已经有若干个方格染为黑色的局面：如果有两个不相交的k k ⨯正方形所含的全是白格，并且方格纸内白格总数为奇数，我们称其为“好局面”；如果有两个不相交的k k ⨯正方形所含的全是白格，并且方格纸内白格总数为偶数，称其为“坏局面”.我们证明当某人面对好局面时，他有获胜策略^假设甲面对好局面，他先取定两个不相交的k k ⨯正方形A 和B ，其中都是白格，由于白格总数为奇数，可选取不在,A B 中的另一个白格，将它染为黑色，此时白格总数为偶数，且,A B 中仍然都是白格，因此变为一个坏局面轮到乙面对坏局面，如果他染色后.仍有两个不相交的k k ⨯正方形中都是白格，此时白格总数是奇数，又回到好局面；如果他染色后，不存在两个不相交的k k ⨯正方形，注意到此时至少有一个全白格的k k ⨯正方形，设1,,m A A 是所有全白格k k ⨯正方形，则它们两两相交，故必包含于某个()()2121k k -⨯-的正方形S ，因此S 的中心方格P 是1,,m A A 的公共格，这样甲将P 染为黑色后，所有k k ⨯正方形中都含有黑格，于是甲获胜.总之，当某人面对好局面时，他可以在自己的下一回合获胜或是仍面对好局面，而游戏必在有限步内结束，因此他有获胜策略.由上述论证亦可知.当某人面对坏局面时，他要么让对方下一回合即可获胜，要么留给对方好局面，因此对方有获胜策略；在2n k ≥时.由于四个角上的k k ⨯正方形互不相交，且一开始都是白格.因此当n 是奇数时，一幵始是好局面，甲有获胜策略；当n 是偶数时.一开始是坏局面，乙有获胜策略.5.已知九个正整数129,,,a a a （允许相同）满足：对任意的19i j k ≤<<≤，均存在与i j k 、、不同的()19l l ≤≤，使得100i j k l a a a a +++=；求满足上述要求的有序九元数组()129,,,a a a 的个数.5.对满足条件的正整数组()129,,,a a a ，将129,,,a a a 从小到大排列为129b b b ≤≤≤.由条件，知分别存在{4,5,,9}l ∈及{1,2,,6}l '∈，使得123789100l l b b b b b b b b '+++=+++=.①注意到，172839,,,l l b b b b b b b b '≥≥≥≥.② 结合式①，知结论②中的不等号均为等号于是，238b b b ===.因此，设()1289,,,,(,,,,)b b b b x y y z =，其中，x y z ≤≤.由条件，知使100l x y z b +++=的l b 的值只能为y ，即2100x y z ++=.③ （1）当25x y z ===时，有()129,,,(25,25,,25)b b b =，此时，得到一组()129,,,a a a .（2）当,x z 中恰有一个为y 时，记另一个为w ，由式③知3100w y +=.该条件也是充分的.此时，y 可以取1,2,,24,26,27,,33这32种不同值，且每个y 值对应一组()129,,,b b b ，进而，对应九组不同的()129,,,a a a ，共有329288⨯=个数组()129,,,a a a .（3）当x y z <<时，由条件，知存在某个{,,}l b x y z ∈，使得3100l y b +=，与式③比较得l y b x z +=+，则必有l b y =.故5025,x y z +==.该条件也是充分的.此时，对1224x =，，，，每个x 值对应一组()129,,,b b b ，进而，对应9872⨯=组不同的()129,,,a a a ，共有24721728⨯=个数组()129,,,a a a .综上，知符合条件的数组个数为128817282017++=.6.如图，在锐角ABC ∆中，点D E 、分别在边AB AC 、上，线段BE 与DC 交于点H M N ，、分别为线段BD CE 、的中点。

2014年中国西部数学奥林匹克邀请赛试题及其解答

= ∠=
∠
DP · DQ。
∠ = ，所以△APD∽△BQC，所以 = = ，所以CP · CQ =
∠
C
D
P
Q
A
O
B
三、设A 、A 、A 、 …是一列集合，满足：对任意正整数j，只有有限个正整数i，使得A ⊆ A 。证明：存在一列正整数a 、a 、a 、 …，使得对任意正整数i、j，a |a ，当且仅当A ⊆ A 。
交流知识共享智慧
文武光华
综上所述，上述定义的数列 a 即满足条件。
四、给定正整数n，设a 、a 、 … 、a 是非负整数序列，若其中连续若干项（可以只有一项）的算术平均值不小于1，则称这些项组成一条“龙”，其中第一项称为“龙头”，最后一项称为“龙尾”。已知a 、a 、 … 、a 中每一项都是“龙头”或“龙尾”，求 ∑ a 的最小值。
综上所述，命题得证。
六、给定整数n ≥ 2，设实数x 、x 、 … 、x 满足：（1）∑ x = 0；（2）|x | ≤ 1。求 min |x − x |的最大值。
解答：（1）当n为偶数时，因为|x − x | ≤ |x | + |x | ≤ 2，故 min |x − x | ≤ 2。另一方面，令x = −1，x = 1（i = 1，2， … ，），则 min |x − x | = 2。故
的最大值为。
七、如图，平面上点 O 是正△ABC 的中心，点 P、Q 满足OQ⃑ = 2PO⃑，证明：|PA| + |PB| + |PC| ≤ |QA| + |QB| + |QC|。
A
PO Q
B
C
证明：如图，取 BC、CA、AB 的中点 D、E、F，则△DEF 与△ABC 关于点 O 以1: −2位似，又 P、Q 关于点 O 以1: −2位似，所以|QA| + |QB| + |QC| = 2|PD| + 2|PE| + 2|PF|。

2014年中国西部数学邀请赛(word版)

2014年中国西部数学邀请赛重庆第一天 2014年8月16日上午8:00—12:001．设,x y 是正实数，求11x y x y y x --+++的最小值．2．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是AB 上两点，P ，Q 分别是OAC △与OBD △的外心．证明：CP CQ DP DQ ⋅=⋅．3．设123,,,A A A ⋅⋅⋅是一列集合，满足：对任意正整数j ，只有有限多个正整数i ，使得i j A A ⊆．证明：存在一列正整数123,,,a a a ⋅⋅⋅，使得对任意正整数i ，j ，|i j a a 当且仅当i j A A ⊆．4．给定正整数n ，设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是非负整数序列，若其中连续若干项（可以只有一项）的算术平均值不小于1，则称这些项组成一条“龙”，其中第一项称为“龙头”，最后一项称为“龙尾”．已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅中每一项都是“龙头”或者“龙尾”，求1ni i a =∑的最小值．第二天 2014年8月17日上午8:00—12:005．给定正整数m ，证明：存在正整数0n ，使得对所有正整数0n n >十进制表示的小数点后第一位数字都相同．6．给定整数2n ≥，设实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅满足：（1）10n i i x==∑；（2）1i x ≤，1,2,,i n =⋅⋅⋅．求111min i i i n x x +--≤≤的最大值．7．平面上，点O 是正三角形ABC 的中心，点P ，Q 满足2OQ PO =．证明：PA PB PC QA QB QC ++++≤．8．给定实数q 满足12q <<，定义数列{}n x 如下：设正整数n 的二进制表示为2012222k k n a a a a =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，{}0,1i a ∈，0,1,,i k =⋅⋅⋅，令2012k n k x a a q a q a q =+++⋅⋅⋅+．证明：对任意正整数n ，存在正整数m 使得1n m n x x x <+≤．。

历届西部数学奥林匹克试题

目录2001年西部数学奥林匹克 (2)2002年西部数学奥林匹克 (4)2003年西部数学奥林匹克 (6)2004年西部数学奥林匹克 (7)2005年西部数学奥林匹克 (8)2006年西部数学奥林匹克 (10)2007年西部数学奥林匹克 (12)2008年西部数学奥林匹克 (14)2009年西部数学奥林匹克 (16)2010年西部数学奥林匹克 (18)2011年西部数学奥林匹克 (21)2012年西部数学奥林匹克 (23)2001年西部数学奥林匹克1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n2.证明：x2001<1001.（李伟固供题）2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时，（1）证明：PP≥2PB；（2）求PQ⋅PQ的值.（罗增儒供题）3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x m−1是一个完全平方数.（潘曾彪供题）4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.（冯志刚供题）5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.（杨文鹏供题）6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与△PCD有相同的内心. （刘康宁供题）7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证明你的结论.（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；（2）P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. （冷岗松供题）2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；（2）a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.1.求所有的整数n，使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+，用d(s)表示n的所有正约数的个数，ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足d(s)+ϕ(s)=s+c，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1，且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘（由m行n列方格构成，m≥3,s≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（PB+PD+ BB）=l的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点，过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证：PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1，|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证：存在正整数k ，使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ，CA 且⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中，BP=BP=1，P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明：10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数，a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值，这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1，在△ABC 中，∠PPB =60°，过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线，与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上，使得∠DPB =90°，PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.（1）求证：BF 是∠PPB 的角平分线；（2）求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数n ，S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ]，其中，[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明：若s ∈S ，则s 2∈S .C6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作⊙O 的割线，与⊙O 交于点D 、E ，OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径，连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数.证明：如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数，那么，存在正整数s (s >k )，使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2)，求|X |的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ，都有|Y ∩P i |≤1.这里，|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ，定义S (P )为A 中所有元素之和.问：T 有多少个非空子集A ，使得S (P )是3的倍数，但不是5的倍数？2. 如图1，⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ，过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ，点P 在⊙O 1的AD 弧上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 2的BD 弧上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ，O 是△ABC 的外心.求证：OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：15a −4a+11+15b −4b+11+15c −4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数p 、q 、r ，使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？O6.求所有的正整数n，使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F，已知△DBB∼△PPB.求证：P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明：存在连续n枚棋子（不计黑白），它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0，a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明：对任意的正整数n，都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1，在△ABC中，AB=AC，其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明：(1)P、F、B、M四点共圆；(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2)，a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n，使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2)，a为正实数，b为非零实数，数列{x n}定义如下：x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明：(1)当b<0且m为偶数时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2；(2)当b<0且m为奇数，或b>0时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1)，满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k}，P={y1,y2,⋯,y k}，B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k)，都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点，直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明：∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明：对任意正整数n，都存在n次多项式f(x)，使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n，满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证：P、A、E、F四点共圆.4.求证：对任意给定的正整数k，总存在无穷多个正整数n，使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时，有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P（异于点B、D），以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q（异于点C、D）.过点A作直线PX、QY的垂线，垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0，且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s )，使得对所有的k ∈{1,2,⋯s }，都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数，p =22m +1为质数.求证： (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . （靳平供题）2. 如图1，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点，分别过点C 、D 作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：E 、C 、M 、D 四点共圆.图1（刘诗雄供题）3. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ，满足对任意的k (1≤s <j ≤s )，都有�P i ∩P j �≠1.（冯志刚供题）4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件：（1） ∑a i +b i n i=1=1; （2） ∑s (a i −b i )n i=1=0; （3） ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证：对任意的k(1≤k≤s)，都有max{a k,b k}≤1010+k2. （李胜宏供题）5.设k为大于1的整数，数列{a n}定义如下：a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k：存在非负整数l、m(l≠m)，及正整数p、q，使得a l+ka p=a m+ka q. （熊斌供题）6.如图2，在△ABC中，∠PBP=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，点D在边AC上，直线DE切⊙B于点E，过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F，AF与DE交于点G，作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2（边红平供题）7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将，则称A不亚于B.试求所有可能的n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.（李秋生供题）8.求所有的整数k，使得存在正整数a和b，满足b+1a+a+1b=k.（陈永高供题）2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足：M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ，使得a |b 或b |a .求|M |的最大值（|M |表示集合M 的元素个数）.3. 给定整数s ≥2.(1) 证明：可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ，使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ，求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值，其中，S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1，AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ，直线EF 于直线l 交于点M .证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ，使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数？请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明：(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a+b+c.7.在△ABC中，PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M是边BC的中点，PH⊥PB于点H，∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b)，使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m，使得对任意大于3的质数p，都有：105|9p2−29p+m.2.证明：在正2s−1边形(s≥3)的顶点中，任意取出s个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。

2001-2012中国西部数学奥林匹克CWMO试题与解答

24
中等数学
从而
,
1 2
PA·PB sin
∠A PB = 1 ,
即 PA·PB
= sin
2 ∠A PB
≥2.
等号仅当 ∠A PB = 90°时成立. 这表明点 P 在以 AB 为
直径的圆上 ,该圆应与 CD 有公共点.
于是
,
PA·PB
取最小值时
,应有
BC
≤AB 2
,即
AB ≥2 BC.
(2) 设 △A PB 的内切圆半径为 r ,则
b<
a
≤
4 3
b.
(冷岗松)
参考答案
第一天
1. 用数学归纳法证明 : 对任意 n ∈N, 均有
xn
≤n 2
.
①
当 n = 1 时 ,由条件知 ①成立.
设
n
=
k
时
①成立
,即
xk
≤k 2
.当
n
=
k
+1
时
,有
xk +1
=
xk
+
x2k k2
≤k 2
+
1 k2
k2 2
=
k 2
+
1 4
<
k
+ 2
PA·PB 的值随着长方形ABCD及点 P 的变化而变化 ,
当 PA·PB 取最小值时 ,
(1) 证明 : AB ≥2 BC ;
(2) 求 AQ·BQ 的值.
(罗增儒)
3. 设 n 、m 是具有不同奇偶性的正整数 ,且 n >
m. 求所有的整数
x

中国西部数学奥林匹克试题及答案(广西南宁,11月10日、11日)

2007年中国西部数学奥林匹克（广西南宁，11月10日）第一天 11月10日上午8：00－12：00每题15分一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ⊆≠∅，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？二、如图，⊙1O 与⊙2O 相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ，B ，点P 在⊙1O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙2O 的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD MN ⊥的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证： 22211115411541154114a ab bc c ++≤-+-+-+．四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007p OA q OB r OC ⋅+⋅+⋅<u u u r u u u r u u u r ． 2007西部数学奥林匹克广西南宁第二天 11月11日上午8：00－12：00每题15分五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x L y ,，满足七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心．八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,,n L ．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,,n L . 证明：存在连续n 个棋子（不计黑白），它们的标号所成的集合为{}1,2,,n L ．2007西部数学奥林匹克解答一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ⊆≠∅，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？解对于空集∅，定义()0S ∅=.令012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于A T ⊆，令001122,,A A T A A T A A T ===I I I ，则01212()()()()(mod3)S A S A S A S A A A =++≡-，因此，3()S A 当且仅当12(mod3)A A ≡.有以下几种情况：从而满足3()S A 的非空子集A 的个数为20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++-＝87. 若3()S A ，5()S A ，则15()S A .由于()36S T =，故满足3()S A ，5()S A 的()S A 的可能值为15，30.而15＝8＋7＝8＋6＋1＝8＋5＋2＝8＋4＋3＝8＋4＋2＋1＝7＋6＋2＝7＋5＋3＝7＋5＋2＋1＝7＋4＋3＋1＝6＋5＋4＝6＋5＋3+1＝6＋4＋3＋2＝5＋4＋3＋2＋1，36－30＝6＝5＋1＝4＋2＝3＋2＋1. 故满足3()S A ，5()S A ，A ≠∅的A 的个数为17.所以，所求的A 的个数为87－17＝70.二、如图，⊙1O 与⊙2O 相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ，B ，点P在⊙1O 的弧AD 上，PD 与线段AC的延长线交于点M ，点Q 在⊙2O 的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD MN ⊥的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆．证设三角形ABC 的外接圆O 的半径为R ，从N 到圆O 的切线为NX ，则2222R NB NC R NX NO +⋅=+=， ①同理 22R MA MC MO +⋅=. ②因为A ，C ，D ，P 四点共圆，所以MP MD MA MC ⋅=⋅， ③因为Q ，D ，C ，B 四点共圆，所以NQ ND NB NC ⋅=⋅， ④由①，②，③，④得)(22DP MD DQ ND MD ND ⋅-⋅+-=,所以， OD MN ⊥⇔2222MD ND MO NO -=-⇔P ,Q ,M ,N 四点共圆.三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证：22211115411541154114a ab bc c ++≤-+-+-+．证若a ，b ，c 都小于95，则可以证明 211(3)541124a a a ≤--+．（*）事实上，（*）⇔ 2(3)(5411)24a a a --+≥同理，对b ，c 也有类似的不等式，相加便得1111(3)(3)(3)2424244a b c ≤-+-+-=．若a ，b ，c 中有一个不小于95，不妨设95a ≥，则9945()1120555≥⋅⋅-+=，故 211541120a a ≤-+．由于 2222454115()4()111110555b b -+≥-⋅+=->，所以211541110b b <-+，同理，211541110c c <-+，所以 222111541154115411a a b b c c ++-+-+-+11112010104<++=．因此，总有 22211115411541154114a ab bc c ++≤-+-+-+，当且仅当1a b c ===时等号成立．四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得12007p OA q OB r OC ⋅+⋅+⋅<u u u r u u u r u u u r ．证法一先证一个引理：设α，β都是正实数，N 是任意一个大于max{βα1,1}的整数，则存在正整数12,p p 和q ,使得21q N ≤≤,且同时成立.引理的证明：考虑平面21N +个点组成的集合T ={({i α}，{i β})|i =0,1,…,2N },这里[x ]表示不超过实数x 的最大整数,{x }=x -[x ].现在将正方形点集{(x ,y )|0≤x ,y <1}沿平行于坐标轴的直线分割为2N 个小正方形(这里的每个正方形都不含右边和上边的两条边)，则T 中必有两点落在同一个小正方形内，即存在0≤j <i ≤N 2,使得|{i α}-{j α}|<N 1，|{i β}-{j β}|<N1.令q =i -j ,p 1=[i α]-[j α],p 2=[i β]-[j β],则1211,q p q p N Nαβ-<-<．如果p 1≤0,那么N 1>|q α|≥α,与N 的选择矛盾，故p 1为正整数.同理p 2也是正整数.引理获证.回到原题，由条件知存在正实数α，β使得=++βα，利用引理的结论知对任意大于max{βα1,1}的正整数N ,存在正整数p 1,p 2和q ,使得同时成立，于是，由=++q q q βα可得≤|)(||)(|21q p q p βα-+-<N 1(||||OB OA +). 取N 充分大即可知命题成立.证法二由条件可知存在正实数β,γ使得=++γβ,于是对任意正整数k ,都有=++k k k γβ,记m (k )=[k β],n (k )=[k γ],这里[x ]表示不超过实数x 的最大整数,{x }=x －[x ].利用β,γ都是正实数可知m (kT )与n (kT )都是关于正整数k 的严格递增数列，这里T 是某个大于max{γβ1,1}的正整数.因此， ≤||}{||}{kT kT γβ+≤||||+.这表明有无穷多个向量kT n kT m kT )()(++的终点落在一个以O 为圆心，||||+为半径的圆内，因此，其中必有两个向量的终点之间的距离小于20071，也就是说，这两个向量的差的模长小于20071.即存在正整数k 1<k 2,使得 |(T k n T k m T k )()(222++)－(T k n T k m T k )()(111++)|<20071. 于是，令p =(k 2－k 1)T ,q =m (k 2T )－m (k 1T ),r = n (k 2T )－n (k 1T ),结合T 与m (kT ),n (kT )的单调性可知p ,q ,r 都是正整数. 命题获证.五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？解不存在这样的三角形，证明如下：不妨设∠A ≤∠B ≤∠C ,则∠C =2∠A ,且a =2007.过C 作∠ACB 的内角平分线CD ,则∠BCD =∠A , 结合∠B =∠B .可知△CDB ∽△ACB 。

2023年中国西部数学奥林匹克试题解答

2023年中国西部数学奥林匹克试题解答全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：2023年中国西部数学奥林匹克是全国中学生瞩目的盛事，吸引了数百所学校的优秀学子参加。

今年的数学竞赛题目设计精妙，考察了学生的数学思维能力和解题技巧。

下面将为大家详细解答一些关键题目。

一、选择题1. 已知一元二次方程x^2-5x+6=0的两个根为a和b，则ab的值为多少？解析：根据韦达定理，a+b=5且ab=6，所以ab=6。

2. 若a\%b=c，且a=12,b=3，则c的值为多少？解析：a\%b=12\%3=0，所以c=0。

3. 设f(x)=x^2+2x+1，g(x)=x^2-2x+1，则f(x)g(x)的展开结果为什么？4. 若等差数列\{a_n\}的前三项依次为9，12，15，则a_n的通项公式是什么？解析：根据等差数列的性质，设公差为d，则a_1=9，a_2=12，a_3=15，解得d=3，所以a_n=6+3(n-1)。

5. 若a，b，c是一个等比数列，且a^2=3bc，求a的值。

解析：根据等比数列的性质，设公比为r，则a=br，c=br^2，代入a^2=3bc得到r=\sqrt3，所以a=b\sqrt3。

二、填空题1. 若x=3时，方程2x-4y=5的解为y=\_\_\_。

解析：代入x=3，得y=\frac{2(3)-5}{4}=1。

2. 若\log_a(\frac{5}{2})=2，求a的值。

解析：根据对数的定义，\log_a(\frac{5}{2})=2等价于a^2=\frac{5}{2}，解得a=\sqrt{\frac{5}{2}}。

3. 若\sin\theta=\frac{3}{5}，则\cos\theta=\_\_\_。

解析：根据三角函数的互余关系，\sin^2\theta+\cos^2\theta=1，代入\sin\theta=\frac{3}{5}得到\cos\theta=\frac{4}{5}。

历届西部数学奥林匹克试题

目录2001年西部数学奥林匹克 (2)2002年西部数学奥林匹克 (4)2003年西部数学奥林匹克 (6)2004年西部数学奥林匹克 (7)2005年西部数学奥林匹克 (8)2006年西部数学奥林匹克 (10)2007年西部数学奥林匹克 (12)2008年西部数学奥林匹克 (14)2009年西部数学奥林匹克 (16)2010年西部数学奥林匹克 (18)2011年西部数学奥林匹克 (21)2012年西部数学奥林匹克 (23)2001年西部数学奥林匹克1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n2.证明：x2001<1001.（李伟固供题）2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB的内切圆与边AB的切点.乘积PP⋅PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP⋅PP取最小值时，（1）证明：PP≥2PB；（2）求PQ⋅PQ的值.（罗增儒供题）3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n−1x2m−1是一个完全平方数.（潘曾彪供题）4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值.（冯志刚供题）5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数.（杨文鹏供题）6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与△PCD有相同的内心. （刘康宁供题）7.求所有的实数x∈�0,π2�，使得(2−sss2x)sss�x+π4�=1，并证明你的结论.（李胜宏供题）8.我们称P1,P2,⋯,P n为集合A的一个n分划，如果（1）P1∪P2∪⋯∪P n=P；（2）P i∩P j≠Φ,1≤s<j≤s.求最小正整数m，使得对P={1,2,⋯,m}的任意一个14分划P1,P2,⋯,P14，一定存在某个集合P i(1≤s≤14)，在P i中有两个元素a、b满足b<a≤43b. （冷岗松供题）2002年西部数学奥林匹克1.求所有的正整数n，使得s4−4s3+22s2−36s+18是一个完全平方数.2.设O为锐角△ABC的外心，P为△AOB内部一点，P在△ABC的三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：以FE、FD为邻边的平行四边形位于△ABC内.3.考虑复平面上的正方形，它的4个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程x4+px3+qx2+rx+s=0的4个根.求这种正方形面积的最小值.4.设n为正整数，集合P1,P2,⋯,P n+1是集合{1,2,⋯,s}的n+1个非空子集.证明：存在{1,2,⋯,s+1}的两个不交的非空子集{s1,s2,⋯,s k}和{j1,j2,⋯,j m}，使得P i1∪P i2∪⋯∪P i k=P j1∪P j2∪⋯∪P j m.5.在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是边AB上的动点，O1、O2分别是△AED、△BEC的外心.求证：O1O2的长为一定值.6.设s(s≥2)是给定的正整数，求所有整数组(a1,a2,⋯,a n)满足条件：（1）a1+a2+⋯+a n≥s2；（2）a12+a22++a n2≤s3+1.7.设α、β为方程x2−x−1=0的两个根，令a n=αn−βnα−β,s=1,2,⋯.（1）证明：对任意正整数n，有a n+2=a n+1+a n；（2）求所有正整数a、b，a<b，满足对任意正整数n，有b整除a n−2sa n.8.设S=(a1,a2,⋯,a n)是一个由0，1组成的满足下述条件的最长的数列：数列S中任意两个连续5项不同，即对任意1≤s<j≤s−4，a i,a i+1,a i+2,a i+3,a i+4与a j,a j+1,a j+2,a j+3,a j+4不相同.证明：数列S 最前面的4项与最后面的4项相同.1. 将1,2,3,4,5,6,7,8分别放在正方体的八个顶点上，使得每一个面上的任意三个数之和均不小于10.求每一个面上四个数之和的最小值.2. 设2n 个实数a 1,a 2,⋯,a 2n 满足条件∑(a i+1−a i )2=12n−1i=1.求(a n+1+a n+2+⋯+a 2n )−(a 1+a 2+⋯+a n )的最大值.3. 设n 为给定的正整数.求最小的正整数u n ，满足：对每一个正整数d ，任意u n 个连续的正奇数中能被d 整除的数的个数不少于奇数1,3,5,⋯,2s −1中能被d 整除的数的个数.4. 证明：若凸四边形ABCD 内任意一点P 到边AB 、BC 、CD 、DA 的距离之和为定值，则ABCD 是平行四边形.5. 已知数列{a n }满足：a 0=0，a n+1=ka n +�(k 2−1)a n 2+1,s =0,1,2,⋯,其中k 为给定的正整数.证明：数列{a n }的每一项都是整数，且2k |a 2n ,s =0,1,2,⋯. 6. 凸四边形ABCD 有内切圆，该内切圆切边AB 、BC 、CD 、DA 的切点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，连结A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1，点E 、F 、G 、H 分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1的中点.证明：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A 、B 、C 、D 四点共圆.7. 设非负实数x 1、x 2、x 3、x 4、x 5满足∑11+x i =15i=1.求证：∑x i4+x i 25i=1≤1. 8. 1650个学生排成22行、75列.已知其中任意两列处于同一行的两个人中，性别相同的学生都不超过11对.证明：男生的人数不超过928.1.求所有的整数n，使得s4+6s3+11s2+3s+31是完全平方数.2.四边形ABCD为一凸四边形，I1、I2分别为△ABC、△DBC的内心，过点I1、I2的直线分别交AB、DC于点E、F，分别延长AB、DC，它们相交于点P，且PE=PF.求证：A、B、C、D四点共圆.3.求所有的实数k，使得不等式a3+b3+c3+d3+1≥k(a+b+c+d)对任意a、b、c、d∈[−1,+∞)都成立.4.设s∈N+，用d(s)表示n的所有正约数的个数，ϕ(s)表示1,2,⋯,s 中与n互质的数的个数.求所有的非负整数c，使得存在正整数n，满足d(s)+ϕ(s)=s+c，且对这样的每一个c，求出所有满足上式的正整数n.5.设数列{a n}满足a1=a2=1，且a n+2=1a n+1+a n,s=1,2,⋯.求a2004.6.将m×s棋盘（由m行n列方格构成，m≥3,s≥3）的所有小方格都染上红蓝两色之一.如果2个相邻（有公共变）的小方格异色，则称这2个小方格为1个“标准对”.设期盼中“标准对”的个数为S.试问：S是奇数还是偶数有哪些方格的颜色确定？什么情况下S为奇数？什么情况下S为偶数？说明理由.7.已知锐角△ABC的三边长不全相等，周长为l，P是其内部一动点，点P在边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F.求证：2（PB+PD+ BB）=l的充分必要条件是：点P在△ABC的内心与外心的连线上.8.求证：对任意正实数a、b、c，都有1<a√a2+b2+b√b2+c2+c√c2+a2≤3√22.1. 已知α2005+β2005可表示成以α+β、αβ为变元的二元多项式.求这个多项式的系数之和.2. 如图1，过圆外一点P 作圆的两条切线P A 、PB ，A 、B 为切点，再过点P 作圆的一条割线分别与圆交于C 、D 两点，过切点B 作P A 的平行线分别交直线AC 、AD 于E 、F .求证：PB =PB .图13. 设S ={1,2,⋯,2005}.若S 中任意n 个两两互质的数组成的集合中都至少有一个质数，试求n 的最小值.4. 已知实数x 1,x 2,⋯,x n (s >2)满足|∑x i n i=1|>1，|x i |≤1(s =1,2,⋯,s ).求证：存在正整数k ，使得�∑x i k i=1−∑x i n i=k+1�≤1 5. 如图2，⊙O 1、⊙O 2交于A 、B 两点.过点O 1的直线DC 交⊙O 1于点D 且切⊙O 2于点C ，CA 且⊙O 1于点A ，⊙O 1的弦AE 与直线DC 垂直.过点A 作AF 垂直于DE ，F 为垂足.求证：BD 平分线段AF .图2P6.在等腰Rt△ABC中，BP=BP=1，P是△ABC边界上任意一点.求PP⋅PP⋅PB的最大值.7.设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明：10(a3+b3+c3)−9(a5+b5+c5)≥1.8.设n个新生汇总，任意3个人中有2个人互相认识，任意4个人中有2个人互不任何.试求n的最大值.2006年西部数学奥林匹克1. 设s (s ≥2)是给定的正整数，a 1,a 2,⋯,a n ∈(0,1).求∑�a i (1−a i+1)6n i=1的最大值，这里a n+1=a 1. 2. 求满足下述条件的最小正实数k ：对任意不小于k 的4个互不相同的实数a 、b 、c 、d ，都存在a 、b 、c 、d 的一个排列p 、q 、r 、s ，使得方程(x 2+px +q )(x 2+rx +s )=0有4个互不相同的实数根. 3. 如图1，在△ABC 中，∠PPB =60°，过点P 作△PBC 的外接圆⊙O 的切线，与CA 的延长线交于点A .点D 、E 分别在线段PA 和⊙O 上，使得∠DPB =90°，PD =PE .连结BE 与PC 相交于点F .已知AF 、BP 、CD 三线共点.（1）求证：BF 是∠PPB 的角平分线；（2）求tas ∠PBP 的值.图14. 设正整数a 不是完全平方数.求证：对每一个正整数n ，S n =�√a�+�√a�2+⋯+�√a�n的值都是无理数.这里{x }=x −[x ]，其中，[x ]表示不超过x 的最大整数.5. 设S =�s�s −1,s ,s +1都可以表示为两个正整数的平方和�.证明：若s ∈S ，则s 2∈S .C6. 如图2，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 延长线上的一点，过点C 作⊙O 的割线，与⊙O 交于点D 、E ，OF 是△BOD 的外接圆⊙O 1的直径，连结CF 并延长交⊙O 1于点G .求证：O 、A 、E 、G 四点共圆.图27. 设k 是一个不小于3的正整数，θ是一个实数.证明：如果cms (k −1)θ和cms kθ都是有理数，那么，存在正整数s (s >k )，使得cms (s −1)θ和cms sθ都是有理数. 8. 给定正整数s (s ≥2)，求|X |的最小值，使得对集合X 的任意n 个二元子集P 1,P 2,⋯,P n ，都存在集合X 的一个子集Y ，满足：(1)|Y |=s ;(2) 对s =1,2,⋯,s ，都有|Y ∩P i |≤1.这里，|P |表示有限集合A 的元素个数.A2007年西部数学奥林匹克1. 已知T ={1,2,⋯,8}.对于P ⊆T ,P ≠Φ，定义S (P )为A 中所有元素之和.问：T 有多少个非空子集A ，使得S (P )是3的倍数，但不是5的倍数？2. 如图1，⊙O 1、⊙O 2交于点C 、D ，过D 的一条直线分别与⊙O 1、⊙O 2交于点A 、B ，点P 在⊙O 1的AD 弧上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙O 2的BD 弧上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ，O 是△ABC 的外心.求证：OD ⊥MN 的充要条件为P 、Q 、M 、N 四点共圆.图13. 设实数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：15a 2−4a+11+15b 2−4b+11+15c 2−4c+11≤14. 4. 设O 是△ABC 内部一点.证明：存在正整数p 、q 、r ，使得|pOP +qOP +rOB |<12007.5. 是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？O6.求所有的正整数n，使得存在非零整数x1,x2,⋯,x n,y,满足�x1+x2+⋯+x n=0,x12+x22+⋯+x n2=sy2.7.设P是锐角△ABC内一点，AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 交于点D、E、F，已知△DBB∼△PPB.求证：P是△ABC的重心. 8.将n枚白子与n枚黑子任意地放在一个圆周上.从某枚白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,⋯,s.在从某枚黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,⋯,s.证明：存在连续n枚棋子（不计黑白），它们的标号组成的集合为{1,2,⋯,s}.2008年西部数学奥林匹克1.实数数列{a n}满足a0≠0,1,a1=1−a0，a n+1=1−a n(1−a n)(s=1,2,⋯).证明：对任意的正整数n，都有a0a1⋯a n�1a0+1a1+⋯+1a n�=1.2.如图1，在△ABC中，AB=AC，其内切圆⊙I分别切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点.设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交BC于点M、N.证明：(1)P、F、B、M四点共圆；(2)EE EE=BB BB.图13.设整数m(m≥2)，a1,a2,⋯,a m都是正整数.证明：存在无穷多个正整数n，使得数a1×1n+a2×2n+⋯+a m×m n都是合数.4.设整数m(m≥2)，a为正实数，b为非零实数，数列{x n}定义如下：x1=b,x n+1=ax n m+b(s=1,2,⋯).证明：(1)当b<0且m为偶数时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≥−2；(2)当b<0且m为奇数，或b>0时，数列{x n}有界的充要条件是ab m−1≤(m−1)m−1m m.5.在一直线上相邻的距离都等于1的四个点上各有一只青蛙，允许任意一只青蛙以其余三只青蛙中的某一只为中心跳到其对称点上.证明：无论跳动多少次后，四只青蛙所在的点中相邻两点之间的距离不能都等于2008.6.设x、y、z∈(0,1)，满足�1−x yz+�1−y zx+�1−z xy=2.求xyz的最大值.7.设n为给定的正整数.求最大的正整数k，使得存在三个由非负整数组成的k元集P={x1,x2,⋯,x k}，P={y1,y2,⋯,y k}，B= {z1,z2,⋯,z k}满足对任意的j(1≤j≤k)，都有x j+y j+z j=s.8.设P为正n边形P1P2⋯P n内的任意一点，直线P i P(s=1,2,⋯s)交正n边形P1P2⋯P n的边界于另一点P i.证明：∑PP i n i=1≥∑PP i n i=1.2009年西部数学奥林匹克1.设M是一个由实数集R去掉有限个元素后得到的集合.证明：对任意正整数n，都存在n次多项式f(x)，使得f(x)的所有系数及n个实根都属于M.2.给定整数s≥3.求最小的正整数k，使得存在一个k元集合A和n 个两两不同的实数x1,x2,⋯,x n，满足x1+x2,x2+x3,⋯,x n−1+x n,x n+x1均属于A.3.设H为锐角△ABC的垂心，D为边BC的中点.过点H的直线分别交边AB、AC于点F、E，使得AE=AF，射线DH与△ABC的外接圆交于点P.求证：P、A、E、F四点共圆.4.求证：对任意给定的正整数k，总存在无穷多个正整数n，使得2n+3n−1,2n+3n−2,⋯,2n+3n−k均为合数.5.设数列{x n}满足x1∈{5,7}及当k≥1时，有x k+1∈{5x k,7x k}.试确定x2009的末两位数字的所有可能值.6.如图1，设D是锐角△ABC的边BC上一点，以线段BD为直径的圆分别交直线AB、AD于点X、P（异于点B、D），以线段CD为直径的元分别交直线AC、AD于点Y、Q（异于点C、D）.过点A作直线PX、QY的垂线，垂足分别为M、N.求证△PMN∼△PPB的充分必要条件是直线AD过△ABC的外心.图17. 有s (s >12)个人参加某次数学邀请赛，试卷由十五道填空题组成，每答对一题得1分，不答或答错得0分.分析每一种可能的得分情况发现：只要其中任意12个人得分之和不少于36分，则这n 个人中至少有3个人答对了至少三道同样的题.求n 的最小可能值.8. 实数a 1,a 2,⋯,a n (s ≥3)满足a 1+a 2+⋯+a n =0，且2a k ≤a k−1+a k+1(k =2,3,⋯,s −1).求最小的λ(s )，使得对所有的k ∈{1,2,⋯s }，都有|a k |≤λ(s )⋅max {|a 1|,|a n |}.B2010年西部数学奥林匹克1. 设m 、k 为给定的非负整数，p =22m +1为质数.求证： (1) 22m+1p k ≡1(mmd p k+1);(2) 满足同余方程2n ≡1(mmdp k+1) 的最小正整数n 为2m+1p k . （靳平供题）2. 如图1，已知AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆周上异于点A 、B 且在AB 同侧的两点，分别过点C 、D 作圆的切线，它们交于点E ，线段AD 与BC 的交点为F ，直线EF 与AB 交于点M .求证：E 、C 、M 、D 四点共圆.图1（刘诗雄供题）3. 求所有的正整数n ，使得集合{1,2,⋯,s }有n 个两两不同的三元子集P 1,P 2,⋯,P n ，满足对任意的k (1≤s <j ≤s )，都有�P i ∩P j �≠1.（冯志刚供题）4. 设非负实数a 1,a 2,⋯,a n 与b 1,b 2,⋯,b n 满足以下条件：（1） ∑a i +b i n i=1=1; （2） ∑s (a i −b i )n i=1=0; （3） ∑s 2(a i +b i )n i=1=10.求证：对任意的k(1≤k≤s)，都有max{a k,b k}≤1010+k2. （李胜宏供题）5.设k为大于1的整数，数列{a n}定义如下：a0=0,a1=1,a n+1=ka n+a n−1(s=1,2,⋯).求所以满足如下条件的k：存在非负整数l、m(l≠m)，及正整数p、q，使得a l+ka p=a m+ka q. （熊斌供题）6.如图2，在△ABC中，∠PBP=90°，以B为圆心、BC为半径作圆，点D在边AC上，直线DE切⊙B于点E，过点C垂直于AB的直线于直线BE交于点F，AF与DE交于点G，作AH∥BG于DE交于点H.求证GE=GH.图2（边红平供题）7.有s(s≥3)名选手参加乒乓球比赛，每两名选手之间恰比赛一场且没有平局.若选手A的手下败将不都是B的手下败将，则称A不亚于B.试求所有可能的n，使得存在一种比赛结果，其中每一名选手都不亚于其他任何一名选手.（李秋生供题）8.求所有的整数k，使得存在正整数a和b，满足b+1a+a+1b=k.（陈永高供题）2011年西部数学奥林匹克1. 已知0<x 、y <1.求xy (1−x−y )(x+y )(1−x )(1−y )的最大值.2. 设集合满足：M ⊆{1,2,⋯,2011}在M 的任意三个元素中都可以找到两个元素a 、b ，使得a |b 或b |a .求|M |的最大值（|M |表示集合M 的元素个数）.3. 给定整数s ≥2.(1) 证明：可以将集合{1,2,⋯,s }的左右子集适当地排列为P 1,P 2,⋯,P 2n ，使得P i 与P i+1(s =1,2,,2n ,且P 2n +1=P 1)的元素个数恰相差1.(2) 对于满足(1)中条件的子集P 1,P 2,⋯,P 2n ，求∑(−1)i S (P i )2n i=1的所以可能值，其中，S (P i )=∑x x∈A i ,S (∅)=0. 4. 如图1，AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 交于点E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 切于点G 、H .过点O 的直线l 分别于AB 、CD 交于点P 、Q ，使得EP =EQ ，直线EF 于直线l 交于点M .证明：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.图15. 是否存在奇数s (s ≥3)及n 个互不相同的质数p 1,p 2,⋯,p n ，使得p i +p i+1(s =1,2,⋯,s ,p n+1=p 1)都是完全平方数？请证明你的结论.6.设a、b、c>0.证明：(a−b)2(c+a)(c+b)+(b−c)2(a+b)(a+c)+(c−a)2(b+c)(b+a)≥(a−b)2a2+b2+c2.7.在△ABC中，PP>PB内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F，M是边BC的中点，PH⊥PB于点H，∠PPB的平分线AI分别与直线DE、DF交于点K、L.证明：M、L、H、K四点共圆. 8.求所有的整数对(a,b)，使得对任意的正整数n都有s|(a n+b n+1).2012年西部数学奥林匹克1.求最小的正整数m，使得对任意大于3的质数p，都有：105|9p2−29p+m.2.证明：在正2s−1边形(s≥3)的顶点中，任意取出s个点，其中必有3个点，以它们为顶点的三角形为等腰三角形。

2019年第19届中国西部数学邀请赛

2
∠HAN = ∠CAN − ∠CAH = ∠CAN − (90◦ − ∠BAC), 那么由条件 ∠BAM = ∠CAN 可以得到 ∠AKH = ∠NAH, 即 △AKH ∼ △NAH, 于是 AH2 = HN · HK. 所以
AO2 + HN2 − ON2 − AH2 = AO2 + HN2 − O′N2 − HN · HK = R2 + HN2 − (R − HN)2 − HN · (2R − HN) = 0
那么一定有一个区间
m n+1
,
m+1 n+1
中没有任何 {S k}. 记 S 0 = 0, 那么对任意
k
=
1, 2, . . . , n,
若
S k−1
<
t+
m n+1
<
t+
m+1 n+1
≤
Sk
(t
是整数)
的话,
我们定义
εk = 1, 否则 εk = 0.
义tSSn+−kk++我m1≤1mn,+们接<+nSn11−+kt有m下1+≤+1来ε中<1Skk+我+t.+11+n若们,=m+1n那0m说+.1,∑么所明所(kit=以这以1∑是ε我ki同么i=整1们−样定ε数iS一有义=)k,样∈的t这∑−有时n−εki+1=m+k11,由1,∑满ε所nn于iki−+=+足m1以11−归ε要,Si纳∑那k求+−ki假=1么+1.1S∈设ε分k首+i 我1n两−=+先m∈1们种,t.nεn有n−−情+1+由mm11−况,∑.于nnx−.+ki若1=m11若x显εk.S+i t然1k故=−<≤掉由t1,t1+在+而归, mnn那集由纳+m++111知么定合<≤ 对于任意 k, 我们都有

2018中国西部数学邀请赛

５．如图２，在锐
角 △ ＡＢＣ中，ＡＢ＜
ＡＣ，０为其外心，Ｍ为
边ＢＣ的中点．过、
０、Ｍ三点的圆与ＡＢ
的延长线交于点Ｄ，图源自２与线段ＡＣ交于点．
证明：ＤＭ＝ＥＣ．
（何忆捷供题）
６．设整数凡＞１２，正实数０１≥口２≥… ≥ ．
．
２０１９年第１期
２０１８
． —— 一
∑ ｉｘ的最小值．
（石泽晖供题）
２．设整数 ≥２，正实数，２，… ，满足】２… ＝１．证明：
…
．＋】＜，
其中，｛｝表示正实数的小数部分．（王广廷供题）
３．设集合Ｍ＝｛ｌ，２，… ，１０｝，为Ｍ的某些二元子集构成的集合，满足对中任意两个不同的元素｛Ⅱ，ｂ｝、｛，Ｙ｝，均有
于是，∑ ＝ｏ．
（２）若存在。、ｉ２（１≤ｉ。＜ｉ２≤ｒｌ，），使得Ｘｉ＜ｌ，不妨设ｉ１＝ｎ—ｌ，ｉ２＝凡．
Ｉ
由引理得
∑ ＝∑ ＋一｝＋｝
＜∑ ＋（＋１）
＝ ∑ ｝＋一。｝＋１
＜
＋１：
，
① ＋②得
ｎ＋ｌ
＋
＝
．
南数学归纳法，即证一般结论．２．先证明一个引理．引理对任意的两个正实数、ＪＢ，若０ｊ＜ｌ，贝０｛｝＋｛卢｝＜１＋０；．证明由（１一｛Ｏ／｝）（１一｛｝）＞０
ｌ１十（０＋）（口ｙ＋６）．求的元素个数的最大值．

2013年中国西部数学邀请赛(word版)

甘肃兰州第一天 8月17日上午8:00-12:00每题15分1．是否存在整数,,a b c ，使得2222,2,2a bc ab c abc +++都是完全平方数？2．设整数2n ≥，且实数[]12,,,0,1n x x x ∈，求证：1113nk l k k l n k n kx x kx ≤<≤=-≤∑∑． 3．在ABC ∆中，点2B 是AC 边上旁切圆圆心1B 关于AC 中点的对称点，点2C 是AB 边上旁切圆圆心1C 关于AB 中点的对称点，BC 边上旁切圆切BC 边于点D ．求证：22AD B C ⊥．（AC 边上旁切圆指与BA BC 、的延长线及线段AC 均相切的圆．） 4．把(2)n n ≥枚硬币排成一行．如果存在正面朝上的硬币，那么可以从中选取一枚，将以这枚硬币开头的从左到右连续奇数枚硬币（可以是一枚）同时翻面，（翻面是指将正面朝上的硬币翻成正面朝下，将正面朝下的硬币翻成正面朝上），这称为一次操作，当所有硬币正面朝下时，停止操作．若开始时全部硬币正面朝上，试问：是否存在一种方案，使得可以进行12[]3n +次操作？（其中[]x 表示不大于x 的最大整数．）甘肃兰州第二天 8月17日上午8:00-12:00每题15分5．若非空集合{}1,2,3,,A n ⊆满足min x AA x ∈≤，则称A 为n 级好集合．记n a 为n 级好集合的个数（其中A 表示集合A 的元素个数，min x A x ∈表示集合A 的最小元素）．求证：对一切正整数n ，都有211n n n a a a ++=++．6．如图，,PA PB 为圆O 的切线，点C 在劣弧AB 上（不含点,A B ）．过点C 作PC 的垂线l ，与AOC ∠的平分线交于点D ，与BOC ∠的平分线交于点E ．求证：CD CE =．7．将一个正n 边形的n 条边按顺时针方向依次标上1,2,,n ．求所有的整数4n ≥，使得可以用3n -条在内部不交的对角线将这个n 边形分成2n -个三角形区域，并且在这3n -条对角线上各标上一个整数，满足每个三角形的三边所标之数的和都相等．8．求所有的正整数a ，使得对任意正整数5n ≥，都有2(2)|()n n a n a n --．。

2014中国西部数学邀请赛解答

860 yanzongz 2014年中国西部数学邀请赛1张云华：证2014年中国西部数学邀请赛第1题2.(MrRTI)WLOG arc be larger than so if and then .We have since they are both isosceles, we get. From similar reasoning, we get . Hence, andthen multiply to get so .But, angle chase gives :Thus, and so, .Done.2.(DVDthe1st)Let be the midpoints of . Then, hence . Thus and also by anglechasing we can get . Thus we conclude that since,, which is equivalent to .2.(BSJL)Suppose then there are two cases.Case 1: We have by using Law of Sines on, respectively.And now, using Law of Cosines on then we getFinally, the problem becomeswhich is not hard!Case 2: It's similar to case 1~((I just too lazy to type平面几何问题1数学竞赛俱乐部2014年中国西部数学奥林匹克几何题张云华：解2014中国西部数学邀请赛试题第4题2014中国西部数学邀请赛试题及其解答张云华：证2014中国西部数学邀请赛试题第5题2014中国西部数学邀请赛试题(第二天)及其解答6.(MathUniverse)First case: is even. Obviously . If we define it follows that and for . Therefore, if n is even,.Second case: is odd, withWe will prove that .Assume, on the contrary, that there exist numbers satisfying condition and. WLOG, we can assume that . Then, from assumption we know that and .Now, assumption implies: and for .Finally, from the above implication, we have:Contradiction! Therefore,However, numbers: for and for satisfy condition and, so:.张云华：证2014中国西部数学邀请赛试题第6题2014中国西部数学邀请赛试题(第二天)及其解答2014年西部数学奥林匹克几何题27.3.。

第六届中国西部数学奥林匹克试题及解答

1
⎧β 2 + dβ + a = 0, b−a 其次，若（1）与（2）有公共实根 β ，则 ⎨ 2 两式相减，得 β = >0， d −c ⎩ β + cβ + b = 0,
这时， β 2 + dβ + a > 0 ，矛盾.所以，（1）与（2）没有公共实根，从而 k = 4 符合要求. 综上，问题的答案为 k = 4 . 三. （熊斌供题）如图，在△PBC 中， ∠PBC = 60° ，过点 P 作△PBC 的外接圆ω的切线，与 CB 的延长线交于点 A. 点 D 和 E 分别在线段 PA 和圆ω上，使得 ∠DBE = 90° ， PD＝PE. 连接 BE，与 PC 相交于点 F. 已知 AF，BP，CD 三线共点． (1) 求证：BF 是 ∠PBC 的角平分线； (2) 求 tan ∠PCB 的值．解（1）当 BF 平分 ∠PBC 时，由于 ∠DBE = 90° ，所以，BD 平分 ∠PBA ，于是
另一方面，设 a, b, c, d 是不小于 4 的 4 个不同实数，不妨设 4 ≤ a < b < c < d ，考察方程
x 2 + dx + a = 0,
（1）（2）
和
x 2 + cx + b = 0 .
首先， d 2 − 4a > 4(d − a) > 0, c 2 − 4b > 4(c − b) > 0 ，故（1）、（2）都有两个不同实根.
= 2
4 6 6 2
≤ 23 ⋅
2
= 23
所以
1 ( a i + 1 − a i +1 + 2 ) 6 1 ⋅ ( a i − a i + 1 + 3 ), 6