第3章多元正态分布

多元统计分析
iid
定义3.2 设p 维随机向量 u(u1,u2, ,up),u1,u2, ,up~N(0,1)
则 u 的密度函数为
f(u)i p1(2)12exp1 2ui2 (2)p2exp12ip1ui2
(2)p2exp12uu, u i ,i 1 ,2 , ,p
u的均值和协方差矩阵分别为
(3)
xx14~N314,1444
41 11
1433.
x3
3 34 31 33
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4．设 x1, x2 , , xn 相互独立，且 xi ~ N p (i , i ), i 1, 2,
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x1
1
11 12 13 14
x
x2 x3 x4
，
2 3 4
，
21
31 41
22 32 42
23 33 43
24
34 44
则
( 1 )x i~ N (i,ii) , i 1 ,2 ,3 ,4 ;
(2) xx1 4~N21 2, 1 41 1 1 44 4;
解 ax~N (a,a a)
例 3.2.3 设 x (x1, x2 ) ~ N2 (, ) ，这里
1 2
,
1122
12 22
.
试写出x1–x2的分布。
解 x 1 x 2 ~ N (1 2 ,1 2 2 2 212 )
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第3章多元正态分布
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第三章 多元正态分布
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第一节 多元正态分布的定义
一、一元正态分布回顾
一个游戏：高尔顿钉板游戏 考察某一学科考试成绩的分布 考察人类身高的分布情况
思考：以上分布具有什么样的特点？
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=0 , =1 的正态分布称为标准正态分布，记作 x ~ N (0 ,1 )
密度函数记为
(x)
1
x2
e2
2
x
3、标准正态分布与一般正态分布之间的关系
记 u ~ N (0 ,1 )，则 x=+ u ~ N ( , 2 )
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二、多元正态分布的定义
更一般的，设p 维随机向量 u ~ Np (0, I ) ， A p q 为常数矩
阵，则 x A u 的分布称为 p 元正态分布，记作
x~ Np(,)
其中 AA. 若 rank(A) = p ，则 1 存在，此时x的分布
称为非退化的p元正态分布；若 rank(A) < p ，则 1 不存在， 此时x的分布称为退化的p元正态分布，不存在概率密度.
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第二节 多元正态分布的性质
1. 设x是一个p 维随机向量，则x服从多元正态分布，当且
仅当它的任何线性组合 a’x( a 为p 维常数向量 )均服 从
一元正态分布。
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例3.1.1(二元正态分布) 设 x(x1,x2)，~N 这2(里, )
1 2
,
1122 1222.
试写出x的概率密度的表达式，并观察其图像。
解 x的概率密度为
f(x ) (2) 22 12e x p 1 2 (x ) 1 (x )
212 1 1 2 e x p 2 ( 1 1 2 ) x 1 11 2 2 x 1 11 x 2 22 x 2 22 2 ,
x1,x2.
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E ( u ) ( E ( u 1 ) ,E ( u 2 ) ,,E ( u p ) ) 0
V ( u ) d i a g ( V ( u 1 ) , V ( u 2 ) ,, V ( u p ) ) I
u的分布称为均值为0，协方差矩阵为I 的p 元正态分布，记作
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u ~ Np(0, I)
3．设 x ~ N p (, ) ，则 x 的任何子向量也服从（多元）正态分布，
其均值为 的相应子向量，协方差矩阵为 的相应子矩阵。
注意：性质3说明了多元正态分布的任何边际分布仍为多 元正态分布，但反之不成立。
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例 3.2.4 设 x ~ N4 (, ) ，这里
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设p 维随机向量 u ~ Np (0, I ) ，下面考虑 u 的一个非退化
变换 x A u 的分布，这里 A p p 0
x 的均值和协方差矩阵分别为
E (x )A E (u)
V (x ) A V (u )A A A
x 的密度函数为
f(x)(2)p2exp 1 2uu J(u x)
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(2) p2e x p 1 2 [A 1 (x )][A 1 (x )] 1 2
(2)p2 12ex p 1 2(x) 1(x) ,（3.1.5）
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x的分布称为非退化的p 元正态分布，记作 x~ Np(,)
1、一元正态分布的定义
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定义3.1 若r.v. x 的密度函数为
f(x) 1 e(x2 2)2
2
x
亦称高斯
其中,为常数，0
(Gauss)分布
则称 x 服从参数为 , 2 的正态分布，记作 x ~ N ( , 2 )
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2、标准正态分布
2．设 x ~ N p (, ), y Cx b ，其中 C 为 r p 常数矩阵，b 为 r 维 常数向量，则 y ~ Nr (C b,CC)
3/17/2019Hale Waihona Puke Baidu
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多元统计分析
例 3.2.2 设 x ~ N p (, ) ，a 为 p 维常数向量,写出 ax 的分布．