洛伦兹变换的详细推导演示教学

第三节 洛伦兹变换式教学内容：1. 洛伦兹变换式的推导；2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。

基本要求：1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。

三、洛伦兹坐标变换的推导()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-'+'=22211c v c x v t t z z y y c v t v x x据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。

1. 时空坐标间的变换关系作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。

对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。

在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，x '=-v t '，即x '+v t '=0。

因此x =x '+v t '。

在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。

同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。

2. 由光速不变原理可求出常数k设光信号在S 系和S '系的原点重合的瞬时从重合点沿x 轴前进，那么在任一瞬时t （或t '），光信号到达点在S 系和S '系中的坐标分别是：x =c t , x '=c t '，则：t t c x x '='2()()()()t v t c vt ct k t v x vt x k '+'-='+'-=22()222v c t t k -'=由由此此得得到到()22211c v v c c k -=-=。

这样，就得到()21c v vt x x --='，()21c v t v x x -'+'=。

由上面二式，消去x '得到()221c v c vx t t --='；若消去x 得到()221c v c x v t t -'+'=，综合以上结果，就得到 洛仑兹变换， 或 洛仑兹反变换()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--='='='--='22211c v c vx t t z z y y c v vt x x ()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-'+'='='=-+'=22211c v c x v t t z z y y c v vt x x可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。

3. 讨论（1）可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。

故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象，故它有一定的适用范围。

（2）当|v /c |<<1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情形。

故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形—低速极限。

四、相对论速度变换公式洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。

设物体在S 、S '系中的的速度分别为()z yxu uu ,,，()z y x u u u ''',,，根据洛仑兹变换式可得：()()()()()222111c v dtv u c v dt v dt dx c v vdtdx x d x --=--=--='()()()2222111c v c vu dt c v c vdx dt t d x --=--='因此：()()()()222111c v c vu dt c v dt v u t d x d x x ----=''，即：21c vu vu u x x x --='因y '=y , z '=z ，有d y '=d y , d z '=d z 则()()2211c v c vu dt dyt d y d x --=''，即()2211c vu c v u u x y y --='。

同理：()2211c vu c v u u x z z --='因此得相对论的速度变换公式：21c vu vu u x x x --='、()2211c vu c v u u x y y --='、()2211c vu c v u u x z z --='其逆变换为：21c u v v u u x x x '++'=、()2211c u v c v u u x y y '+-'=、()2211c u v c v u u x z z '+-'=。

讨论（1）当速度u 、v 远小于光速c 时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式vu u x x -='。

（2）利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c 。

证明：设S '系中观察者测得沿x ' 方向传播的一光信号的光速为c ，在S 系中的观察者测得该光信号的速度为：c c vc v c u x =++=21，即光信号在S 系和S '系中都相同。

第四节 狭义相对论的时空观一、 一、 同时的相对性1. 概念狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。

即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。

例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。

如图设S '系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯P 。

当灯发出闪光时：S '系的观察者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此同时到达A 、B 两端；S 系（地面上）的观察者认为，A 与光相向运动（v 、c 反向），B 与光同向运动，所以光先到达A 再到达B ，不同时到达。

结论：同时性与参考系有关—这就是同时的相对性。

假设两个事件P 1和P 2，在S 系和S '系中测得其时空坐标为：()()()()2222111122221111t z y x t z y x S t z y x t z y x S '''''''''，，，，，，，：，，，，，，，：由洛伦兹变换得：()()222222211111c v c x v t t c v c vx t t --='--='，在S 系和S '系中测得的时间间隔为()12t t '-'和（t 2-t 1），它们之间的关系为：()()()221212121c v c x x v t t t t ----='-'可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。

2. 讨论（1）在S 系中同时发生：t 2=t 1，但在不同地点发生，12x x ≠，则有：()()2221121c v c x x v t t --='-'这就是同时的相对性。

（2）在S 系中同时发生：t 2=t 1，而且在相同地点发生，12x x =，则有：()()()1222121212101t t c v c v x x t t t t t '='=----='-'='∆，()()()12212121201x x c v t t v x x x x '='=----='-'，即在S 系中同时同地点发生的两个事件，在S ’系中也同时同地点发生。

（3）事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后假设在S 系中，t 时刻在x 处的质点经过t ∆时间后到达x x ∆+处，则由：()221cv c v x t t --='得到()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆=--∆=-∆-∆='∆t x u c v c v u t c v c v x t t 1112222因为v ≯c ，u ≯c ，所以Δt '与Δt 同号。

即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。

（4）上述情况是相对的。

同理在S ’系中不同地点同时发生的两个事件，在S系看来同样也是不同时的。

（5）当c v 〈〈时，t t ∆≈'∆，回到牛顿力学。

二、长度收缩（洛伦兹收缩）假设一刚性棒A B 静止于S ’系中12x x l '-'='，在S 系中同时()t t t ==21测量得12x x l -=。

由洛伦兹坐标变换式：()()2222211111c v vt x x c v vt x x --='--='，得：()()()()212212121211c v x x c v t t v x x x x --=----='-'即()21c v l l -'=1. 固有长度观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用l 0表示。

即()201c v l l -=2. 洛伦兹收缩（长度缩短）观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的()21c v -倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。

讨论：（1）长度缩短效应具有相对性。

若在S 系中有一静止物体，那么在S '系中观察者将同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短，同理有()21c v l l -='即看人家运动着的尺子变短了。

（2）当v <<c 时，有l l '≈三、时间膨胀（时间延缓）由洛伦兹变换得()()()221212121c v c x x v t t t t -'-'+'-'=-，事件P 1、P 2在S 系中的时间间隔为12t t t -=∆，事件P 1、P 2在S ’系中的时间间隔为12t t t '-'='∆。