方差分析解读

根据每一个组合内是一个独立供试动物还是多个独
立供试动物，双向分类资料又可分为组合内无重
复观测值和组合内有重复观测值两种情况
一、组合内无重复观测值的两向分类资料的方差分
析
这种类型的资料结构是每一组合内仅一个独立供试
动物（独立供试单位） 其观测值的数学模型为：
xij i j ij
这一模型的含义是：每一个观测值 xij 包含了总体平
均值 ，同时还受 A 因素第 i 个水平的效应和 B 因素第 j 个水平的效应，同时还具有一定的误 差 ij ： ij
N 0, 2
这一模型相应的数据结构为：
因素
A1
B1
x11
B2
… B j … Bb
x1 j
T
T1.
x1b
A2
对 B 因素来说，有 b 个组（k = b），每一个组有 a 个观测值（n = a） 因此我们可以直接用方差分析表来表示这种分剖的 结果 这里，无效假设有两个：
A：设 H0 : 1 2 ... a vs
B：设 H0 : 1 2 ... b vs
H A : i 不全相等
ab 1
2 ij
SSe df e
x C ab
x
2 ij
C
若 FA显著，应对 A 因素各水平的平均值进行多重比
较，其标准误为： SEA MSe
若 FB显著，应对 B 因素各水平的平均值进行多重比
较，其标准误为： SEB MSe
a
b
下面我们以实例来说明具体分析的过程 试验 4 种药物配伍（因素 A）对鲢鱼腐皮病的治疗 效果，试验在 5 个发病的渔场（因素 B）进行， 每个渔场随机抽取 4 个鱼池，每个鱼池随机使用 其中的一种药物配伍，得如下治愈率，试比较这
22552 C 254251.25 45 2 SST xij C 255133 C 881.75 dfT 4 5 1 19
1 1 2 SS A Ti. C 5502 ... 5712 C 542.55 b 5
1 1 2 SS B T. j C 4352 ... 4542 C 112.5 a 4
：
Ai xi1
xij
xib
Ti. Ta.
：
Aa
xa1
T.1
xaj
T. j
xab
T.b
T
T
上页的数据结构表中，T为求和，不同因素的和的 下标不同
两因素无重复资料的方差分析应从 A 和 B 两个方向 进行，我们可以将这种结构看成是两个单向资料 的重合
即：对 A 因素来说，有 a 个组（k = a），每一组有 b 个观测值（n = b）
方差分析
(续)
第四节 两因素资料的方差分析
两因素资料的方差分析，又称为双向分组资料的方
差分析
很多情况下，我们需要设计两种不同的因素同时作
用于供试动物 或在考虑某一因素对供试动物产生影响的同时，还 需要考虑不同的环境情况 这样，当试验结束后，数据的分析就必须进行两因 素（或称双向分类资料）的方差分析 同时考虑的这两个因素，我们分别称之为因素 A 和 因素 B，他们各有 a 个水平和 b 个水平
H A : j 不全相等
方差分析表
变异来源 df
SS
MS
SS A df A
SSb df b
F
MS A FA MSe MSb FB df e
A因素
B因素
误 差
T
1 2 T i. C a 1 b 1 2 b 1 T .j C a a 1b 1 SST SS A SSB
12 226.70 18.892 19 881.75
对于 A因素，应否定无效假设，即不同的药物配伍 其治疗鲢鱼腐皮病的疗效差异极显著（p<0.01）
B 因素即渔场间应接受无效假设，即场间差异不显 著（p>0.05）
由于药物配伍间差异极显著（p<0.01），因此应对 其作多重比较
4 种药物配伍的治疗效果
药物
配伍
A1
渔
B1
B2
场
B3
B4
B5
76
83
82
89
83
92
79
87
77
84
A2
A3
73
81
77
82
80
79
72
85
80
87
A4
由于数据是百分率，因此应作转换：
p ' sin1 p
转换后的数据见下面这张表（为了分析方便，所有
数据转换后都扩大 100 倍）：
药物 配伍 A1 A2 A3 A4
有时候，因素 A 和因素 B 是同等重要的
有时候，因素 B 是为了从总变异中分剖出环境因素 而特意设置的 在设计时，因素 A 和因素 B 相互交叉，形成 ab 个 组合 即：A 因素的每一个水平包含了 B 因素的所有水平 B 因素的每一个水平也包含了 A 因素的所有水平
即：A 因素的各个水平与 B 因素的各个水平相逢一 次，也只相逢一次 例如：A 因素有 5个 水平，B 因素有 4 个水平，形 成 5×4 = 20 个组合
T. j
2 x ij
鱼
B1
B2
场
B3
B4
B5
Ti.
x
2 ij
xi
si
106 115 102 112
113 123 107 113
115 128 111 109
109 120 101 117
107 116 111 120
sj
xj
得如下一级数据：
药物 配伍
A1 A2 A3
A4
T. j
渔
B1
B2
场
B3
B4
B5
Ti.
x
wk.baidu.com
2 ij
xi
si
3.87 5.32 4.77 4.32
550 602 532 571 435 456 463 447 454 2255
60560 72594 56696 65283 255133
110.0 120.4 106.4 114.2
x
xj
2 ij
sj
设 H0 : 1 2 3 4 vs H A : i 不全相等 设 H0 : 1 2 ... 5 vs H A : j 不全相等
df A a 1 3
df B b 1 4
SSe SST SS A SSB 226.7
dfe 4 15 1 12
将上述数据填入方差分析表中：
方差分析表
变异来源 df 药物间 3
渔场间 误 差 T 4
SS
MS
F
F0.05
F0.01
542.55 180.85 9.57** 3.49 5.95 112.50 28.125 1.49 3.26