【精品学习】九年级数学下册第3章圆3.8圆内接正多边形导学案

3.8圆内接正多边形
预习案
一、预习目标及范围：
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．
预习范围：P99-100 二、预习要点
1.正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做 ． 如果一个正多边形有n(n ≥3)条边，就叫 边形．
等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
2.圆内接正多边形的概念：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做 。

这个圆叫做该正多边形的 .
3.把一个圆n 等分（3≥n ），依次连接各分点，我们就可以作出一个 .
4.如图，五边形ABCDE 是圆O 的内接正五边形，圆心O 叫做这个正五边形的 ；
OA 是这个正五边形的 ；AOB ∠是这个正五边形的 ；BC OM ⊥，垂足为M ，OM 是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中也有同样的定义.
三、预习检测
分别求出半径为R 的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积. 探究案 一、合作探究 活动内容1： 探究1：正多边形
正多边形：
___________，_____________的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
【想一想】
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
求证：正五边形的对角线相等
怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？
怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？
怎样找圆的内接正n边形？怎样找圆的外切正n边形？
【定理】把圆分成n（n≥3）等份：
依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以
相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.
一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？
【类比联想】正三角形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？
正方形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？
那么，正n边形呢？
探究2：正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.若n为偶数，则其为中心对称图形.
活动2：探究归纳
【定理】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:外接圆的半径
正多边形的中心角:正多边形的每一边所对的圆心角.
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.
以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系?
以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆。

活动内容2：典例精析
【例1】把圆分成5等份，求证：
⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.
证明:(1）∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA，
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∵BCE=CDA=3AB，
∴∠1=∠2，
同理∠2=∠3=∠4=∠5，
又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，
∴五边形AB CDE是⊙O的内接正五边形.
（2）连接OA，OB，OC，则
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.
∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C为切点的⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
又∵AB=BC，
∴AB=BC，
∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.
∴∠P=∠Q,PQ=2PA.
同理∠Q=∠R=∠S=∠T ， QR=RS=ST=TP=2PA ，
∵五边形PQRST 的各边都与⊙O 相切，
∴五边形PQRST 是⊙O 的外切正五边形. 【例2】有一个亭子,它的地基是半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m 2).
【解析】如图，正六边形ABCDEF 的中心角为60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长
在Rt △OPC 中,OC=4,PC=2.利用勾股定理,可得边心距m .r ） 亭子地基的面积
211
2441.6(m ).22
S lr =
=⨯⨯ 二、随堂检测
1.下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八边形；④正2n （n 为自然数）边形；⑤任意的平行四边形.是轴对称图形的有__________,是中心对称图形的有_________,既是中心对称图形，又是轴对称图形的有_________.
2.两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长比为_____，面积比为_____，外接圆周长比是______，中心角度数比是______.
3.正方形ABCD 的外接圆圆心O 叫做正方形ABCD 的______．
4.正方形ABCD 的内切圆⊙O 的半径OE 叫做正方形ABCD 的 ________．
5.若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是____度， 半径是___，边心距是 ，它的每一个内角是____．
6.正n 边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
7.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转 度,才能与原来的图形位置重合.
参考答案
预习检测：
【解析】作等边△ABC 的BC 边上的高AD,垂足为D 连接OB ，则OB=R ， 在Rt △OBD 中,∠OBD=30°, 边心距OD=
1.2
R 在Rt △ABD 中,∠BAD=30°,
1322
AD OA OD R R R =+=+
=， ∴
∴S △ABC
2
3
R 2.24
∙=
连接OB ，OC 作OE ⊥BC ，垂足为E ，∠OEB=90°， ∠OBE=∠BOE=45°， Rt △OBE 为等腰直角三角形，
222,BE OE OB += 222,OE OB =
2
2
.2
OB OE =
,22
OE R =
=边心距
22,2
BC BE R ==⨯
=边长 (
)
2
222.ABCD S AB BC R ==
=正方形
随堂检测
1. ①②③④；③④⑤；③④
2. 3:4；9:16；3:4；1:1
3. 中心
4. 边心距
5.
2
；1 6. 中心 7. 72。