人教新课标版数学高一-人教数学(必修一)-2分数指数幂

2. 1.1第二课时分数指数幂教案

【教学目标】

1.通过与初中所学知识进行类比，理解分数指数幂的概念进而学习指数幂的性质.

2.掌握分数指数幂和根式的互化，掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽

象类比的能力

3.能熟练地运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学

正确的计算能力.

【教学重难点】

教学重点：

（1）分数指数幂概念的理解.

（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质.

（3）运用有理数指数幂性质进行化简求值.

教学难点：

（1）分数指数幂概念的理解

（2）有理数指数幂性质的灵活应用.

【教学过程】

1、导入新课

同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题—分数指数幂

2、新知探究

提出问题

（1）整数指数幂的运算性质是什么？

（2）观察以下式子，并总结出规律：0

a>

10

25

a a

===；

8

42

a a

===；

12

34

a a

===；

10

52

a a

===.

（3）利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？

*(0,,,x m n N >∈且n>1)

(4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？（5）你能推广到一般情形吗？

活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比（2）的规律表示，借鉴（2）（3），我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他同学鼓励提示.

讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：

规定：正数的正分数指数幂的意义是*0,,,1)n

m

a a m n N n =>∈>.

提出问题

（1） 负整数指数幂的意义是怎么规定的？ （2） 你能得出负分数指数幂的意义吗？

（3） 你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义？ （4） 综合上述，如何规定分数指数幂的意义？

（5） 分数指数幂的意义中，为什么规定0a >，去掉这个规定会产生什么样的后果？ （6） 既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质

是否也适用于有理数指数幂呢？

活动：学生回顾初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明0a >的必要性，教师及时作出评价.

讨论结果：有了人为的规定后指数的概念就从整数推广到了有理数.有理数指数幂的运算性质如下：

对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质： ①

(0,,)

r s r s a a a a r s Q +•=>∈②

)(0,,)

(r s rs a a r s Q a =>∈③

()(0,0,)r r r a b a b a b r Q •=>>∈

3、应用示例

例1 求值：

213

324

16 (1)8;(2)25;(3)()

81

--

点评：本题主要考察幂值运算，要按规定来解.要转化为指数运算而不是转化为根式. 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.

320)

a a a>

点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算.对结果不强求统一用什么形式但不能不伦不类.

变式训练

求值：（1

）；（2

4、拓展提升

已知

11

223,

a a

+=探究下列各式的值的求法.

（1）

33

22

122

11

22

;(2);(3)

a a

a a a a

a a

-

--

-

-

++

-

点评:：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值

5、课堂小结

（1）分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义

是

*

0,,,1)

n

m

a a m n N n

=>∈>，正数的负分数指数幂的意义

是

*

1

0,,,1),

n

m

n

m

a a m n N n

a

-

==>∈>零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义.

（2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.

（3）有理数指数幂的运算性质：

①(0,,)

r s r s

a a

a a r s Q

+

•=>∈②)(0,,)

(r s rs a a r s Q

a=>∈