湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)
湖南省长郡中学高一数学上学期期末试卷(含解析)
湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）已知全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，则∁U A=（） A ． φ B ． {0，2，4} C ． {1，3} D ． {﹣1，1，3}2．（3分）函数f （x ）=的定义域为（）A ． [1，2）∪（2，+∞）B ． （1，+∞）C ． [1，2）D ． [1，+∞） 3．（3分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（） A ． 圆柱 B ． 圆锥 C ． 四面体 D ． 三棱柱 4．（3分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cos α=（）A ．B ．C ． ﹣D ． ﹣5．（3分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（） A ． f （x ）=B ． f （x ）=x 2+1C ． f （x ）=x 3D ． f （x ）=2﹣x6．（3分）函数y=lg （﹣x 2+2x+8）的增区间为（） A ． （﹣∞，1] B ． [1，+∞） C ． （﹣2，1] D ． [1，4）7．（3分）下列各式中值等于的是（）A ． sin15°cos15°B ．C ． cos2﹣sin2D ．8．（3分）下列向量中，可以作为基底的是（）A ． =（0，0），=（1，﹣2）B ． =（2，﹣3），=（﹣，）C ． =（3，5），=（6，10）D ．=（1，﹣2），=（5，7）9．（3分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）10．（3分）把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于直线x=对称D．f（x）的图象关于点（，0）对称11．（3分）函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b﹣1＜1 B．0＜b﹣1＜a＜1 C．0＜b＜a﹣1＜1 D．0＜a﹣1＜b＜112．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．4πB．C．4πD．13．（3分）已知sinx+cosx=，则x的取值范围是（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B．[+kπ，+kπ]（k∈Z）C．[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z）D．[+2kπ，+2kπ]（k∈Z）14．（3分）现有某种细胞1000个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过（）小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg3=0.4771，lg2=0.3010）A．39 B．40 C．41 D．4315．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x ﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）求值：tan40°+tan20°+tan40°•tan20°=．17．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为．18．（3分）如图，OA为圆C的直径，有向线段OB与圆C交点P，且=．若||=，则•=．19．（3分）已知函数f（x）=+log a（a＞0且a≠1），且f（m）=7（m≠0），则f（﹣m）=．20．（3分）函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin （3x﹣π）+1在上的面积为．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）已知函数f（x）=3sin（2x+）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；（2）若f（）=，α∈（，），求cosα的值．22．（8分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（2，1）．（1）若||=3，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．23．（8分）如图（1），等腰梯形OABC的上、下底边长分别为1、3，底角为∠COA=60°．记该梯形内部位于直线x=t（t＞0）左侧部分的面积为f（t）．试求f（t）的解析式，并在如图（2）给出的坐标系中画出函数y=f（t）的图象．24．（8分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（﹣）•f（+）的单调递增区间．25．（8分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＞0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立的t的取值范围；（2）若f（1）=，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，则∁U A=（）A．φB．{0，2，4} C．{1，3} D．{﹣1，1，3}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：由全集U及A，求出A的补集即可．解答：解：∵全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，∴∁U A={1，3}．故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（3分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2）D． [1，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可．解答：解：由题意解得x∈[1，2）∪（2，+∝）故选A点评：本题是基础题，考查函数定义域的求法，注意分母不为零，偶次方根非负，是解题的关键．3．（3分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱考点：由三视图还原实物图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可．解答：解：圆柱的正视图为矩形，故选：A点评：本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．4．（3分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5．（3分）下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论．解答：解：选项A，，∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．∵f（x）=x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增；适合题意．选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意．选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项D，f（x）=2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．故选A．点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题．6．（3分）函数y=lg（﹣x2+2x+8）的增区间为（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．（﹣2，1] D．[1，4）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令t=﹣x2+2x+8＞0，求得函数的定义域为（﹣2，4），函数y=lgt，本题即求函数t=﹣（x﹣1）2+9在（﹣2，4）上的增区间．再利用二次函数的性质可得结论．解答：解：令t=﹣x2+2x+8＞0，求得﹣2＜x＜4，故函数的定义域为（﹣2，4），函数y=lgt，故本题即求函数t=﹣（x﹣1）2+9在（﹣2，4）上的增区间．再利用二次函数的性质可得函数t 在（﹣2，4）上的增区间为（﹣2，1]，故选：C．点评：本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题．7．（3分）下列各式中值等于的是（）A．sin15°cos15°B．C．cos2﹣sin2D．考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：利用二倍角公式化简所给的各个式子的值，从而得出结论．解答：解：∵sin15°cos15°=sin30°=，故排除A．∵==tan45°=，故B满足条件．∵cos2﹣sin2 =cos=，故排除C．∴=cos=，故排除D，故选：B．点评：本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．8．（3分）下列向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（1，﹣2）B．=（2，﹣3），=（﹣，）C．=（3，5），=（6，10）D．=（1，﹣2），=（5，7）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，判断各个徐昂项中的两个向量是否共线，从而得出结论．解答：解：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，由于向量（1，2）和向量（5，7）不共线，故可以作为基底，而其它选项中的2个向量的坐标对应成比例，故其它选项中的2个向量是共线向量，不能作为基底，故选：D．点评：题主要考查基地的定义，两个向量是否共线的判定方法，属于基础题．9．（3分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．解答：解：∵函数满足 f（2）=＞0，f（3）=1﹣ln3＜0，∴f （2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选B．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．10．（3分）把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于直线x=对称D．f（x）的图象关于点（，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．解答：解：把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）=sin[2（x ﹣）+]=sin（2x﹣）的图象，令x=，可得函数f（x）取得最大值为1，故f（x）的图象关于直线x=对称，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．（3分）函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b﹣1＜1 B．0＜b﹣1＜a＜1 C．0＜b＜a﹣1＜1 D．0＜a﹣1＜b＜1考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数和函数图象平移的方法列出关于a，b的不等关系是解决本题的关键．利用好图形中的标注的（0，﹣1）点．利用复合函数思想进行单调性的判断，进而判断出底数与1的大小关系．解答：解：∵函数f（x）=log a（2x+b﹣1）是增函数，令t=2x+b﹣1，必有t=2x+b﹣1＞0，t=2x+b﹣1为增函数．∴a＞1，∴0＜＜1，∵当x=0时，f（0）=log a b＜0，∴0＜b＜1．又∵f（0）=log a b＞﹣1=log a，∴b＞，∴0＜a﹣1＜b＜1．故选：D．点评：本题考查对数函数的图象性质，考查学生的识图能力．考查学生的数形结合能力和等价转化思想．12．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．4πB．C．4πD．考点：球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入表面积公式，可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，相当于一个长，宽，高分别均为2的正方体的外接球，故外接球的半径R=，故球的体积V==4，故选：A．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．13．（3分）已知sinx+cosx=，则x的取值范围是（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B．[+kπ，+kπ]（k∈Z）C．[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z）D．[+2kπ，+2kπ]（k∈Z）考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得sinx+cosx≥0，即sin（x+）≥0，解三角不等式可得．解答：解：∵sinx+cosx=，∴sinx+cosx≥0，即sin（x+）≥0，∴2kπ≤x+≤2kπ+π，解得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z故选：C点评：本题考查和差角的三角函数公式，属基础题．14．（3分）现有某种细胞1000个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过（）小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg3=0.4771，lg2=0.3010）A．39 B．40 C．41 D．43考点：对数的运算性质．分析：现有细胞1000个，先求出经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，得到细胞总数y 与时间x（小时）之间的函数关系为y=1000×（）x，由1000×（）x＞1010，得x＞，由此能求出经过40小时，细胞总数超过1010个．解答：解：现有细胞1000个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=，2小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=×1000，3小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=×1000，4小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=×1000，可见，细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=1000×（）x，x∈N*由1000×（）x＞1010，得（）x＞107，两边取以10为底的对数，得xlg＞7，∴x＞，∵=≈39.77，∴x＞39.77．即经过40小时，细胞总数超过1010个．故选：B．点评：本题考查对数函数在生产生活中的具体应用，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘数量间的等量关系，合理地建立方程．15．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）求值：tan40°+tan20°+tan40°•tan20°=．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由两角和的正切公式变形可得可得tan40°+tan20°=tan（40°+20°）（1﹣t an40°tan20°），代入要求的式子化简可得．解答：解：由两角和的正切公式可得tan（40°+20°）=，∴tan40°+tan20°+tan40°•tan20°=tan（40°+20°）（1﹣tan40°tan20°）+tan40°•tan20°=（1﹣tan40°tan20°）+tan40°•tan20°=．故答案为：．点评：本题考查两角和与差的正切公式，正确变形是解决问题的关键，属基础题．17．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为3π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，底面的面积是π×12=π，圆柱的高是3，用底面积乘以高做出几何体的体积．解答：解：由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，底面的面积是π×12=π圆柱的高是3，∴几何体的体积是3π故答案为：3π点评：本题考查由三视图还原几何体，并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出几何体的形状和各个部分的长度．18．（3分）如图，OA为圆C的直径，有向线段OB与圆C交点P，且=．若||=，则•=．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：连接AP，可得AP⊥OP，Rt△APO中，AOcos∠AOP=OP，则有•==可求．解答：解：连接AP，则可得，AP⊥OP，∵=，||=，Rt△APO中，AOcos∠AOP=OP=∴•===故答案为：点评：本题主要考查了向量数量积的定义的应用，解题的关键是锐角三角函数定义的灵活应用．19．（3分）已知函数f（x）=+log a（a＞0且a≠1），且f（m）=7（m≠0），则f（﹣m）=﹣5．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣2，得到f（x）=﹣g（﹣x），代入即可得到f（﹣m）的值．解答：解：设g（x）=f（x）﹣2=+log a﹣2=+log a，∴g（﹣x）=+log a=﹣﹣log a=﹣f（x），∴f（x）=﹣g（﹣x），g（x）=f（x）﹣2，∴f（﹣m）=﹣g（m）=﹣f（m）+2=﹣7+2=﹣5，故答案为：﹣5点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，关键是构造函数g（x）=f（x）﹣2，属于中档题．20．（3分）函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin （3x﹣π）+1在上的面积为．考点：正弦函数的图象．专题：新定义．分析：根据三角函数的面积的定义，利用三角函数的关系即可得到所求函数的面积．解答：解：对于函数y=sin3x而言，n=3，∴函数y=sin3x在[0，]上的面积为：，将y=sin3x向右平移得到y=sin（3x﹣π）=sin3（x﹣）的图象，此时y=sin（3x﹣π）在上的面积为，将y=sin（3x﹣π）向上平移一个单位得到y=sin（3x﹣π）+1，此时函数在上上的面积为，故答案为：．点评：本题主要考查曲线面积的求法，根据三角函数面积的定义以及三角函数的图象关系是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）已知函数f（x）=3sin（2x+）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；（2）若f（）=，α∈（，），求cosα的值．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）正弦函数y=Asin（ωx+θ）的周期T=，初相是φ；（2）把f（）=代入函数解析式求得sin（α+）=，然后利用公式sin2α+cos2α=1和α的取值范围得到cos（α+）=﹣，所以cos=cos[（α+）﹣]，利用两角和与差的余弦将其展开，并代入相关数值进行求值即可．解答：解：（1）函数f（x）的最小正周期T==π，初相φ=；（2）由f（）=，得3sin（α+）=，则sin（α+）=，又α∈（，），∴α+∈（，π），∴cos（α+）=﹣因此，cos=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=﹣×+×=﹣．点评：本题考查了正弦函数的图象，熟记公式的解题的关键，难度不大，属于基础题．22．（8分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（2，1）．（1）若||=3，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）因为∥，所以设==（2λ，λ），再由||=3，得到λ．（2）+2与2﹣垂直得到数量积为0，求出，再由数量积公式求出向量的夹角θ．解答：解：（1）因为||=3，且∥，设==（2λ，λ），则==3，解得λ=±3，所以=（6，3）或（﹣6，﹣3）；（2）因为||=，且+2与2﹣垂直，所以（+2）•（2﹣）=0 即2=0，∴2×5﹣2×﹣3=0，解得=…（10分）所以cosθ==﹣1，又θ∈[0，π]，所以θ=π，与的夹角为π．点评：本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答23．（8分）如图（1），等腰梯形OABC的上、下底边长分别为1、3，底角为∠COA=60°．记该梯形内部位于直线x=t（t＞0）左侧部分的面积为f（t）．试求f（t）的解析式，并在如图（2）给出的坐标系中画出函数y=f（t）的图象．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：过C、B分别作OA的垂线，垂足分别为D、E，设直线x=t与x轴的交点为P，讨论P∈OD、DE、EA以及Ax时，求出函数f（t）的解析式，利用分段函数写出f（t）的解析式并画出函数的图象．解答：解：如图所示，过C、B分别作OA的垂线，垂足分别为D、E，设直线x=t与x轴的交点为P，则|OD|=|DE|=|EA|=1，|C D|=|BE|=；所以，①当P∈OD，即t∈（0，1]时，f（t）=•t•t=t2；②当P∈DE，即t∈（1，2]时，f（t）=•[（t﹣1）+t]•=（2t﹣1）；③当P∈EA，即t∈（2，3]时，f（t）=•（1+3）•﹣•（3﹣t）2=（﹣t2+6t﹣5）；④当P∈Ax，即t∈（3，+∞）时，f（t）=•（1+3）•=2；综上，f（t）=；画出函数f（t）的图象如图2所示．点评：本题考查了求分段函数的解析式、画分段函数的图象的应用问题，是基础题目．24．（8分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（﹣）•f（+）的单调递增区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式；（2）求出g（x）的表达式，利用三角函数的单调性即可求出单调递增区间．解答：解：（1）由图象知函数的周期T=2（）=π，即ω==2，则f（x）=Asin（2x+φ），∵0＜φ＜，∴由五点对应法知2×+φ=π，解得φ=，即f（x）=Asin（2x+），∵f（0）=Asin==1，∴A=2，即函数f（x）的解析式f（x）=2sin（2x+）；（2）g（x）=f（﹣）•f（+）=2sin（x﹣+）•2sin（x++）=4sinxsin（x+）=4sinx（sinx+cosx）=2sin2x+2sinxcosx=1﹣cos2x+sin2x=2sin（2x﹣）+1，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即g（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．综合考查三角函数的性质．25．（8分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＞0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立的t的取值范围；（2）若f（1）=，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（0）=0求出k的值，分离参数得到t＞2sinθ+2cosθ=2sin（θ+），根据三角形函数的性质即可求出t范围．（2）由f（1）=，可解得a=2，于是可得f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），通过对m范围的讨论，结合题意h（t）min=﹣1，即可求得m的值解答：解：（1）∵函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，解得k=2，∴f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=a﹣＞0，且a＞0且a≠1，∴a＞1，∴f（x）是定义域为R的奇函数且单调递增，∵f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立，∴sin2θ+cos2θ+1﹣tcosθ＜0，即tcosθ＞sin2θ+cos2θ+1=2sinθcosθ+2cos2θ，∵θ∈（0，），∴cosθ（0，1），则t＞2sinθ+2cosθ=2sin（θ+），又当θ=时，2sin（θ+）的最大值为2，∴t＞2，∴t的取值范围为（2，+∞）；（Ⅱ）由（1）知，f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=，∴a﹣=，解得a=2．故f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则22x+2﹣2x=t2+2，由x∈[1，+∞），得t∈[，+∞），∴g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），当m≥时，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣1，解得m=，或m=（舍去），当m＜时，当t=，h（t）min=﹣3m=1，解得m=（舍去）．综上，m的值是2．点评：本题考查指数函数的综合应用，考查函数的奇偶性与单调性，函数恒成立的问题，突出换元思想与分类讨论思想在最值中的综合应用，属于难题．。
2014-2015年湖南省七校联考高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2014-2015学年湖南省七校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡相应的答题栏内）1．（5分）不等式＞1的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（0，1）2．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a8=4，a3+a11=8，则它的前11项之和等于（）A．22B．33C．44D．663．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+b，则“1＜a＜2”是“f（1）＜f（3）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知空间向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），则与向量+方向相反的单位向量的坐标是（）A．（0，1，2）B．（0，﹣1，﹣2）C．D．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1＜0”6．（5分）如图，阴影部分（含边界）所表示的平面区域对应的约束条件是（）A．B．C．D．7．（5分）若数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n a n﹣2=a n﹣1（n≥3），则a2014的值为（）A．2B．C．1D．220148．（5分）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A．4B．C．D．69．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，则下列判断错误的是（）A．DB1⊥平面ACD1B．BC1∥平面ACD1C．BC1⊥DB1D．三棱锥P﹣ACD1的体积与P点位置有关10．（5分）一批物资随17辆货车从甲地以v km/h（100≤v≤120）的速度匀速运达乙地．已知甲、乙两地间相距600km，为保证安全，要求两辆货车的间距不得小于（）2km（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运达乙地最快需要的时间是（）A．4小时B．9.8小时C．10小时D．10.5小时二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填入答题卡相应相应的答题栏内）11．（5分）若“x∈[﹣1，6]或x∈{x|x＜﹣2或x≥9}”是假命题，则x的取值范围是．（最后结果用区间表示）12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2=3c2，则cosC最小值为．13．（5分）若数列{a n}满足：a1=1，且对任意的正整数m，n都有a m+n=a m+a n+2mn，则数列{a n}的通项公式a n=．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是．15．（5分）设点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将答案填入答题卡相应的答题栏内）16．（12分）在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．（Ⅰ）求AB的值．（Ⅱ）求sin2A的值．17．（12分）设命题P：m2﹣4m+3＜0，命题q：方程+=1表示的曲线是双曲线，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n}的第二项，第三项，第四项．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足对任意的自然数n均有++…+=a n成立，求+1 c1+c2+c3+…+c2014的值．19．（12分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M，N分别为AB，SB的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N﹣CM﹣B的余弦值．20．（13分）某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用（称为设备的低劣化值）会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%．（1）设第n年该生产线设备低劣化值为a n，求a n的表达式；（2）若该生产线前n年设备低劣化平均值为A n，当A n达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由．21．（14分）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线经过点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．2014-2015学年湖南省七校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的代号填入答题卡相应的答题栏内）1．（5分）不等式＞1的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（0，1）【解答】解：不等式等价为﹣1=＞0，即x﹣1＞0，解得x＞1，故不等式的解集为（1，+∞），故选：B．2．（5分）已知等差数列{a n}满足a2+a8=4，a3+a11=8，则它的前11项之和等于（）A．22B．33C．44D．66【解答】解：∵等差数列{a n}满足a2+a8=4，a3+a11=8，∴2a5=a2+a8=4，2a7=a3+a11=8，∴a5=2，a7=4，∴2a6=a5+a7=6，解得a6=3，∴数列的前11项之和S11===11a6=33故选：B．3．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+b，则“1＜a＜2”是“f（1）＜f（3）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：函数的对称轴为x=a，若1＜a＜2，则0＜a﹣1＜1，1＜3﹣a＜2，即3到对称轴的距离大于1到对称轴的距离，则f（1）＜f（3）成立，即充分性成立，若a=0，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，满足f（1）＜f（3），但1＜a＜2不成立，即必要性不成立，则“1＜a＜2”是“f（1）＜f（3）”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）已知空间向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），则与向量+方向相反的单位向量的坐标是（）A．（0，1，2）B．（0，﹣1，﹣2）C．D．【解答】解：∵空间向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴+=（0，1，2），|+|=∴与向量+方向相反的单位向量的坐标是﹣（0，1，2）=故选：D．5．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1＜0”【解答】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，因此“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，不正确；C．命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，其逆否命题为真命题，正确；D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确．综上可得：只有C正确．故选：C．6．（5分）如图，阴影部分（含边界）所表示的平面区域对应的约束条件是（）A．B．C．D．【解答】解：由图知，一边界过（0，1），（﹣1，0）两点，故其直线方程为x﹣y+1=0另一边界直线过（0，2），（﹣2，0）两点，故其直线方程为x﹣y+2=0由不等式与区域的对应关系知区域应满足x﹣y+1≤0与x﹣y+2≥0，且x≤0，y ≥0．故区域对应的不等式组为．故选：A．7．（5分）若数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n a n﹣2=a n﹣1（n≥3），则a2014的值为（）A．2B．C．1D．22014【解答】解：数列{a n}满足：a1=1，a2=2，利用a n a n﹣2=a n﹣1（n≥3且n∈N），则：a3=2，a4==1，a5==，a6==，a7==1，a8==2，…1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，…所以：数列的周期为：62014=335×6+4所以：a2014=a4=1故选：C．8．（5分）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A．4B．C．D．6【解答】解：∵|PF1|：|PF2|=4：3，∴可设|PF1|=4k，|PF2|=3k，由题意可知3k+4k=7，∴k=1，∴|PF1|=4，|PF2|=3，∵|F1F2|=5，∴△PF1F2是直角三角形，其面积===6．故选：D．9．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，则下列判断错误的是（）A．DB1⊥平面ACD1B．BC1∥平面ACD1C．BC1⊥DB1D．三棱锥P﹣ACD1的体积与P点位置有关【解答】解：连接BD，则BD⊥AC，∵BB1⊥面ABCD，∴DB1⊥AC，连接A1D，则A1D⊥AD1，∵A1B1⊥面ADD1A1，∴DB1⊥AD1，∴DB1⊥平面ACD1，故A正确；∵BC1∥AD1，BC1⊄面ACD1，AD1⊂ACD1，∴BC 1∥平面ACD1，故B正确；∵DB1⊥平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，∴DB1⊥AD1，∵BC1∥AD1，∴BC1⊥DB1，故C正确；∵BC1∥平面ACD1，P为线段BC1上的动点，∴三棱锥P﹣ACD1的体积为定值，与P点位置无关，故D错误．故选：D．10．（5分）一批物资随17辆货车从甲地以v km/h（100≤v≤120）的速度匀速运达乙地．已知甲、乙两地间相距600km，为保证安全，要求两辆货车的间距不得小于（）2km（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运达乙地最快需要的时间是（）A．4小时B．9.8小时C．10小时D．10.5小时【解答】解：设这批物资全部运到B市用的时间为y小时，因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×（）2千米时，时间最快．则y==+在[100，120]上单调递减，∴v=120千米/小时，时间y min=9.8小时，故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填入答题卡相应相应的答题栏内）11．（5分）若“x∈[﹣1，6]或x∈{x|x＜﹣2或x≥9}”是假命题，则x的取值范围是[﹣2，﹣1）∪（6，9）．（最后结果用区间表示）【解答】解：∵“x∈[﹣1，6]或x∈{x|x＜﹣2或x≥9}”是假命题，∴“x∉[﹣1，6]且x∉{x|x＜﹣2或x≥9}”是真命题，∴x∈[﹣2，﹣1）∪（6，9）．故答案为：[﹣2，﹣1）∪（6，9）．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2=3c2，则cosC最小值为．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得：a2+b2=c2+2abcosC，①又a2+b2=3c2，∴c2=（a2+b2）代入①式有：a2+b2=（a2+b2）+2abcosC，∴cosC=≥=（当且仅当a=b时取“=”）．∴cosC最小值为．故答案为：．13．（5分）若数列{a n}满足：a1=1，且对任意的正整数m，n都有a m+n=a m+a n+2mn，则数列{a n}的通项公式a n=n2．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，且对任意的正整数m，n都有a m+n=a m+a n+2mn，=a1+a n+2n=1+a n+2n，∴令m=1，得a n+1﹣a n=2n+1∴a n+1用叠加法，得：a n=a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）=1+3+5…+（2n﹣1）==n2．故答案为：n2．14．（5分）已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m 的取值范围是﹣4＜m＜2．【解答】解：∵，∴x+2y=（x+2y）=4++≥4+2=8∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2故答案为：﹣4＜m＜2．15．（5分）设点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为．【解答】解：∵点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点∴点P到原点的距离|PO|==c，∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴5a2=c2，∴e=故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将答案填入答题卡相应的答题栏内）16．（12分）在△ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA．（Ⅰ）求AB的值．（Ⅱ）求sin2A的值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，sinC=2sinA，即为AB=2BC=2；（Ⅱ）由余弦定理可得，cosA===，即有sinA==，则有sin2A=2sinAcosA=2×=．17．（12分）设命题P：m2﹣4m+3＜0，命题q：方程+=1表示的曲线是双曲线，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【解答】解：命题P：m2﹣4m+3＜0，解得1＜m＜3．命题q：方程+=1表示的曲线是双曲线，则m（m﹣2）＜0，解得0＜m＜2．∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q必然一真一假．∴或，解得2≤m＜3或0＜m≤1．∴实数m的取值范围为2≤m＜3或0＜m≤1．18．（12分）已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n}的第二项，第三项，第四项．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；成立，求（2）设数列{c n}满足对任意的自然数n均有++…+=a n+1c1+c2+c3+…+c2014的值．【解答】解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，（d＞0）∵a1=1，∴d=2，∴a n=2n﹣1，∵b2=a2=1+2=3，b3=a5=1+8=9，∴，∴b1=1，q=3，∴b n=3n﹣1．（2）∵++…+=a n，+1∴当n=1时，c1=a2×b1=3×1=3，﹣a n=2（n+1）﹣2n=2，当n≥2时，=a n+1∴c n=2b n=2•3n﹣1，∴c1+c2+c3+…+c2014=3+2（3+32+33+ (32013)=3+2×=3+32014﹣3=32014．19．（12分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M，N分别为AB，SB的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N﹣CM﹣B的余弦值．【解答】解法一：几何法证明：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD，BD．∵SA=SC，AB=BC∴AC⊥SD且AC⊥BD，…（2分）又∵SD∩BD=D，SD，BD⊂平面SBD∴AC⊥平面SBD，又∵SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB；（Ⅱ）∵AC⊥平面SBD，AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBD，过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF ⊥CM．∴∠NFE为二面角N﹣CM﹣B的平面角．…（6分）∵平面ABC⊥平面SAC，SD⊥AC∴SD⊥平面ABC．又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD．∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB．在正△ABC中，由平面几何知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2∴cos∠NFE=∴二面角N﹣CM﹣B的余弦值为．…（9分）解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB．∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO．∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO．如图所示建立空间直角坐标系O﹣xyz．…（2分）则A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），S（0，0，2），M（1，，0），N（0，，）．∴=（﹣4，0，0），=（0，2，2），∵•=（﹣4，0，0）•（0，2，2）=0，…（3分）∴AC⊥SB．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（﹣1，0，）．设=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，，即，取z=1，则=（，﹣，1）…（6分）又=（0，0，2）为平面ABC的一个法向量，∴cos＜，＞==．…（8分）∴二面角N﹣CM﹣B的余弦值为．…（9分）20．（13分）某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用（称为设备的低劣化值）会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%．（1）设第n年该生产线设备低劣化值为a n，求a n的表达式；（2）若该生产线前n年设备低劣化平均值为A n，当A n达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由．【解答】解：（1）当n≤7时，数列{a n}是首项为4，公差为2的等差数列，a n=4+2（n﹣1）=2n+2；当n≥8时，数列{a n}是首项为a7，公比为的等比数列，又a7=16，∴a n=16×（）n﹣7∴a n的表达式为a n=；（II）设S n表示数列{a n}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤7时，S n=4n+n（n﹣1）=n2+3n…（8分）当n≥8时，由S7=70，S n=S7+16×=80×（）n﹣7﹣10．A n=，当1≤n≤7时，{A n}为增数列，当n≥8时，∵A n﹣A n=＞0，{A n}也为增数列，+1又∵A7=10＜12，A8=11.25＜12，A9≈12.78＞12，则第9年初需要更新该生产线．21．（14分）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线经过点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．【解答】解：（1）∵椭圆的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，∴，∴，…（2分）又∵椭圆经过点，代入可得b2=1，∴故所求椭圆方程为．…（4分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的垂直平分线通过点，显然直线AB有斜率，当直线AB的斜率为0时，则AB的垂直平分线为y轴，此时x 1=﹣x2，y1=y2∴，∵，∴取得最大值为，…（7分）∴，当且仅当|x1|=1时，S△AOB当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t∴，代入得到（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣2=0…（8分）当△=8（2k2﹣t2+1）＞0，即2k2+1＞t2①方程有两个不同的解又，…（10分）∴，又，化简得到2k2+1=2t②代入①，得到0＜t＜2…（11分）又原点到直线的距离为∴考虑到2k 2+1=2t 且0＜t ＜2化简得到…（13分）∵0＜t ＜2，∴当t=1时，即时，S △AOB 取得最大值．综上，△AOB 面积的最大值为．…（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则yxo[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案
湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学试卷（理科）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、复数2341i i i i++=-（ ） A ．1122i -- B ．1122i -+ C ．1122i - D ．1122i +2、已知:p 26270x x --≤，:q 1x m -≤（0m >），若q 是p 的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4m ≤B ．4m <C ．8m ≥D ．8m > 3、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,x y A ，()22,x y B 两点，如果126x x +=，那么AB 等于（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4 4、甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为（ ） A ．827 B ．6481C ．49D ．89 5、若()()0002lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '等于（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．16、把下面在平面内成立的结论：()1如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交 ()2如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行 ()3如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直 ()4如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行类比地推广到空间，且结论也正确的是（ ）A ．()()12B ．()()23C ．()()24D ．()()34 7、用数学归纳法证明等式()()()3412332n n n +++++⋅⋅⋅++=（n *∈N ）时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（ ）A ．1 B ．12+ C ．123++ D ．1234+++ 8、三棱锥CD A -B 中，C D 2AB =A =A =，D 90∠BA =，C 60∠BA =，则CD AB⋅等于（ ）A ．2-B ．2C ．-D ．9、曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．2ln 2 B ．2ln 2- C ．4ln 2- D ．42ln 2-10、已知斜率为2的直线l 与双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）交于A ，B 两点，若点()2,1P 是线段AB 的中点，则C 的离心率等于（ ）A B C ．2 D ．11、若对于任意的实数x ，有()()()2330123222x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 12、下列选项中，说法正确的是（ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <“的逆命题是真命题B ．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则a b =“的否命题是真命题C ．命题“p q ∨“为真命题，则命题p 和q 均为真命题D ．命题“R x ∃∈，20x x ->”的否定是“R x ∀∈，20x x -≤”13、()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x''+<且()10f -=，则不等式()()0f x g x <的解集为（ ） A ．()()1,01,-+∞ B ．()()1,00,1- C ．()(),11,-∞-+∞ D ．()(),10,1-∞-14、椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12FF ∆P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．111,,1322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15、方程22ay b x c =+中的a ，b ，{}3,2,0,1,2,3c ∈--，且a ，b ，c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 16、平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定 个三角形．17、已知1F ，2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22F F 12A +B =，则AB = ．18、设sin a xdx π=⎰，则二项式6⎛⎝的展开式中的常数项是 ．19、已知函数()y f x =的图象在()()1,1f M 处的切线方程是122y x =+，则()()11f f '+= ．20、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数，则()f n = ．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21、（本小题满分8分）已知命题:p 方程22129x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 双曲线2215y x m -=的离心率e ∈⎝，若命题p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围． 22、（本小题满分8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．()1求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；()2在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．23、（本小题满分8分）如图，在五面体CD AB E 中，F A ⊥平面CD AB ，D//C//F A B E ，D AB ⊥A ，1F C F D 2A =AB =B =E =A ．()1求异面直线F B 与D E 所成的角的大小；()2求二面角CD A --E 的余弦值．24、（本小题满分8分）已知直线1y kx =+和双曲线2231x y -=相交于两点A ，B ． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使得以AB 为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．25、（本小题满分8分）已知函数()()1ln 11xf x ax x-=+++，0x ≥，其中0a >． ()1若1a =，求()f x 的单调区间；()2若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年度第一学期期末考试高二数学试卷（理科）参考答案一、选择题1、C2、C3、B4、A5、C6、B7、D 8、A 9、D 10、A 11、B 12、D13、A 14、D 15、B二、填空题16、11017、818、160-19、320、2-+n n331三、解答题。
湖南省长沙市长郡中学2014_2015学年高三数学上学期第六次月考试卷理(含解析)
2014-2015学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第六次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i是虚数单位，则复数的虚部是（）A． B． C． D．2．已知集合A={x|y=log2x}，B={y|y=（）x，x＜0}，则A∩C R B=（）A． {x|0＜x＜1} B．{x|x≥1} C．∅ D．{y|y≤1}3．已知双曲线（a＞0）的右焦点与抛物线y2=8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．4．给出30个数：1，2，4，7，11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（）A．i≤30？；p=p+i﹣1 B．i≤31？；p=p+i+1C．i≤31？；p=p+i D．i≤30？；p=p+i5．设实数x，y满足约束条件则z=5x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B． 3 C． 5 D． 116．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为（）A． 6 B． 9 C． 12 D． 187．已知命题p：∃x0∈R，e x﹣mx=0，q：∀x∈R，x2+mx+1≥0，若p∨（¬q）为假命题，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（2，+∞） B． [0，2] C． R D．∅8．已知实数m，n，若m≥0，n≥0，且m+n=1，则+的最小值为（）A． B． C． D．9．若，则的值为（）A．﹣1 B． 0 C． 2 D．﹣210．数列{a n}（n≥2014，n∈N）满足：a i+a i+1+…+a i+2012＜0，其中i=1，2，…，n﹣2012，a j+a j+1+…+a j+2013＞0，其中j=1，2，…，n﹣2013，则满足条件的数列{a n}的项数n的最大值为（）A． 4025 B． 4026 C． 22013 D． 22014二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，满分10分。
长郡中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试题答案
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湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末考试物理答案
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综合以上各式 代入数据得*2 ' 17 # 8 9 %分 安培力所做的功 2 安 2!. % % / 12! + ! + #: #分 解析 设电场强度大小为 #! " * ! " +分 " 由题意有 + %分 # ,2 3
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&损 2 % ' 2 %+ + +5 %分 解析 由机械能守恒 " ) ! $分 ( )棒进入水平部分的瞬间 ( )的速率为* 定律有
" % + -2 + * 得 *2 槡 % %分 - , , % 此时感应电动势 #2. / *2. /槡 + 6 + #5 %分 % -2 ,
# + ! + # % 2 2 %分 ,2 + 6 + #, 0 " 方向由( ) %分 " 解析 灯泡正常发光 由 "2 " $ ! " +分 & % 得电路中电流%2 2 ", &
"分 灯泡电阻 02& 2 + ! $ "分 % 切割磁感线产生感应电动势 #2. / * "分
湖南省长沙市长郡中学高一数学上学期期末试卷(含解析)
湖南省长沙市长郡中学2014 -2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，则?U A=（）A．φB．{0，2，4} C．{1，3} D．{﹣1，1，3} 2．（3分）函数f（x）=的定义域为（）A．B．D．A．=（0，0），=（1，﹣2）B．=（2，﹣3），=（﹣，）C．=（3，5），=（6，10）D．=（1，﹣2），=（5，7）9．（3分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）10．（3分）把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于直线x=对称D．f（x）的图象关于点（，0）对称11．（3分）函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b﹣1＜1 B．0＜b﹣1＜a＜1 C．0＜b＜a﹣1＜1 D．0＜a﹣1＜b＜1 12．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．4πB．C．4πD．13．（3分）已知sinx+cosx=，则x的取值范围是（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）14．（3分）现有某种细胞1000个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过（）小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg3=0.4771，lg2=0.3010）A．39 B．40 C．41 D．4315．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥０时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若?x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）求值：tan40°+tan20°＋tan40°?tan20°=．17．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为．18．（3分）如图，OA为圆C的直径，有向线段OB与圆C交点P，且=．若||=，则?=．19．（3分）已知函数f（x）=+log a（a＞0且a≠1），且f（m）=7（m≠0），则f （﹣m）=．20．（3分）函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin（3x﹣π）+1在上的面积为．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）已知函数f（x）=3sin（2x+）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；（2）若f（）=，α∈（，），求cosα的值．22．（8分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（2，1）．（1）若||=3，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．23．（8分）如图（1），等腰梯形OABC的上、下底边长分别为1、3，底角为∠COA=60°．记该梯形内部位于直线x=t（t＞0）左侧部分的面积为f（t）．试求f（t）的解析式，并在如图（2）给出的坐标系中画出函数y=f（t）的图象．24．（8分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（﹣）?f（+）的单调递增区间．25．（8分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＞0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立的t的取值范围；（2）若f（1）=，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），且g（x）在1．（3分）已知全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，则?U A=（）A．φB．{0，2，4} C．{1，3} D．{﹣1，1，3}考点：补集及其运算．专题：集合．分析：由全集U及A，求出A的补集即可．解答：解：∵全集U={﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，2，4}，∴?U A={1，3}．故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（3分）函数f（x）=的定义域为（）A．B．D．，故选：C．点评：本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题．7．（3分）下列各式中值等于的是（）A．sin15°cos15°B．C．cos2﹣sin2D．考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：利用二倍角公式化简所给的各个式子的值，从而得出结论．解答：解：∵sin15°cos15°＝sin30°＝，故排除A．∵==tan45°＝，故B满足条件．∵cos2﹣sin 2 =cos=，故排除C．∴=cos=，故排除D，故选：B．点评：本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．8．（3分）下列向量中，可以作为基底的是（）A．=（0，0），=（1，﹣2）B．=（2，﹣3），=（﹣，）C．=（3，5），=（6，10）D．=（1，﹣2），=（5，7）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，判断各个徐昂项中的两个向量是否共线，从而得出结论．解答：解：平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，由于向量（1，2）和向量（5，7）不共线，故可以作为基底，而其它选项中的2个向量的坐标对应成比例，故其它选项中的2个向量是共线向量，不能作为基底，故选：D．点评：题主要考查基地的定义，两个向量是否共线的判定方法，属于基础题．9．（3分）函数的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得f（2）?f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．解答：解：∵函数满足 f（2）=＞0，f（3）=1﹣ln3＜0，∴ｆ（2）?f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选B．点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．10．（3分）把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于y轴对称B．f（x）的图象关于原点对称C．f（x）的图象关于直线x=对称D．f（x）的图象关于点（，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．解答：解：把函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位得到函数f（x）=sin=sin（2x ﹣）的图象，令x=，可得函数f（x）取得最大值为1，故f（x）的图象关于直线x=对称，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11．（3分）函数f（x）=log a（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）A．0＜a﹣1＜b﹣1＜1 B．0＜b﹣1＜a＜1 C．0＜b＜a﹣1＜1 D．0＜a﹣1＜b＜1考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数和函数图象平移的方法列出关于a，b的不等关系是解决本题的关键．利用好图形中的标注的（0，﹣1）点．利用复合函数思想进行单调性的判断，进而判断出底数与1的大小关系．解答：解：∵函数f（x）=log a（2x+b﹣1）是增函数，令t=2x+b﹣1，必有t=2x+b﹣1＞0，t=2x+b﹣1为增函数．∴a＞1，∴0＜＜1，∵当x=0时，f（0）=log a b＜0，∴0＜b＜1．又∵f（0）=log a b＞﹣1=log a，∴b＞，∴0＜a﹣1＜b＜1．故选：D．点评：本题考查对数函数的图象性质，考查学生的识图能力．考查学生的数形结合能力和等价转化思想．12．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A．4πB．C．4πD．考点：球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入表面积公式，可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，相当于一个长，宽，高分别均为2的正方体的外接球，故外接球的半径R=，故球的体积V==4，故选：A．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．13．（3分）已知sinx+cosx=，则x的取值范围是（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由题意可得sinx+cosx≥0，即sin（x+）≥0，解三角不等式可得．解答：解：∵sinx+cosx=，∴sinx+cosx≥0，即sin（x+）≥0，∴2kπ≤x+≤2kπ+π，解得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z故选：C点评：本题考查和差角的三角函数公式，属基础题．14．（3分）现有某种细胞1000个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过（）小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg3=0.4771，lg2=0.3010）A．39 B．40 C．41 D．43考点：对数的运算性质．分析：现有细胞1000个，先求出经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，得到细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为y=1000×（）x，由1000×（）x＞1010，得x＞，由此能求出经过40小时，细胞总数超过1010个．解答：解：现有细胞1000个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=，2小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=×1000，3小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=×1000，4小时后，细胞总数为×1000+×1000×2=×1000，可见，细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=1000×（）x，x∈N*由1000×（）x＞1010，得（）x＞107，两边取以10为底的对数，得xlg＞7，∴x＞，∵=≈39.77，∴x＞39.77．即经过40小时，细胞总数超过1010个．故选：B．点评：本题考查对数函数在生产生活中的具体应用，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘数量间的等量关系，合理地建立方程．15．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥０时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若?x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：把x≥０时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥０时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤ａ2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对?x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上．16．（3分）求值：tan40°+tan20°＋tan40°?tan20°＝．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：由两角和的正切公式变形可得可得tan40°+tan20°=tan（40°+20°）（1﹣tan40°tan20°），代入要求的式子化简可得．解答：解：由两角和的正切公式可得tan（40°+20°）=，∴tan40°+tan20°＋tan40°?tan20°=tan（40°+20°）（1﹣tan40°tan20°）+tan40°?tan20°=（1﹣tan40°tan20°）+tan40°?tan20°=．故答案为：．点评：本题考查两角和与差的正切公式，正确变形是解决问题的关键，属基础题．17．（3分）如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为3π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，底面的面积是π×１2=π，圆柱的高是3，用底面积乘以高做出几何体的体积．解答：解：由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，底面的面积是π×１2=π圆柱的高是3，∴几何体的体积是3π故答案为：3π点评：本题考查由三视图还原几何体，并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出几何体的形状和各个部分的长度．18．（3分）如图，OA为圆C的直径，有向线段OB与圆C交点P，且=．若||=，则?=．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：连接AP，可得AP⊥OP，Rt△APO中，AOcos∠AOP=OP，则有?==可求．解答：解：连接AP，则可得，AP⊥OP，∵=，||=，Rt△APO中，AOcos∠AOP=OP=∴?===故答案为：点评：本题主要考查了向量数量积的定义的应用，解题的关键是锐角三角函数定义的灵活应用．19．（3分）已知函数f（x）=+log a（a＞0且a≠1），且f（m）=7（m≠0），则f （﹣m）=﹣5．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣2，得到f（x）=﹣g（﹣x），代入即可得到f（﹣m）的值．解答：解：设g（x）=f（x）﹣2=+log a﹣2=+log a，∴g（﹣x）=+log a=﹣﹣log a=﹣f（x），∴f（x）=﹣g（﹣x），g（x）=f（x）﹣2，∴f（﹣m）=﹣g（m）=﹣f（m）+2=﹣7+2=﹣5，故答案为：﹣ 5点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，关键是构造函数g（x）=f（x）﹣2，属于中档题．20．（3分）函数y=f（x）的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在上的面积，已知函数y=sinnx在上的面积为，则函数y=sin（3x﹣π）+1在上的面积为．考点：正弦函数的图象．专题：新定义．分析：根据三角函数的面积的定义，利用三角函数的关系即可得到所求函数的面积．解答：解：对于函数y=sin3x而言，n=3，∴函数y=sin3x在上的面积为：，将y=sin3x向右平移得到y=sin（3x﹣π）=sin3（x﹣）的图象，此时y=sin（3x﹣π）在上的面积为，将y=sin（3x﹣π）向上平移一个单位得到y=sin（3x﹣π）+1，此时函数在上上的面积为，故答案为：．点评：本题主要考查曲线面积的求法，根据三角函数面积的定义以及三角函数的图象关系是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．21．（8分）已知函数f（x）=3sin（2x+）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和初相；（2）若f（）=，α∈（，），求cosα的值．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）正弦函数y=Asin（ωx+θ）的周期T=，初相是φ；（2）把f（）=代入函数解析式求得sin（α+）=，然后利用公式sin2α+cos2α=1和α的取值范围得到cos（α+）=﹣，所以cos=cos，利用两角和与差的余弦将其展开，并代入相关数值进行求值即可．解答：解：（1）函数f（x）的最小正周期T==π，初相φ=；（2）由f（）=，得3sin（α+）=，则sin（α+）=，又α∈（，），∴α+∈（，π），∴cos（α+）=﹣因此，cos=cos=cos（α+）cos+sin（α+）sin=﹣×+×=﹣．点评：本题考查了正弦函数的图象，熟记公式的解题的关键，难度不大，属于基础题．22．（8分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（2，1）．（1）若||=3，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）因为∥，所以设==（2λ，λ），再由||=3，得到λ．（2）+2与2﹣垂直得到数量积为0，求出，再由数量积公式求出向量的夹角θ．解答：解：（1）因为||=3，且∥，设==（2λ，λ），则==3，解得λ=±3，所以=（6，3）或（﹣6，﹣3）；（2）因为||=，且+2与2﹣垂直，所以（+2）?（2﹣）=0 即2=0，∴2×5﹣2×﹣3=0，解得=…（10分）所以cosθ==﹣1，又θ∈，所以θ=π，与的夹角为π．点评：本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答23．（8分）如图（1），等腰梯形OABC的上、下底边长分别为1、3，底角为∠COA=60°．记该梯形内部位于直线x=t（t＞0）左侧部分的面积为f（t）．试求f（t）的解析式，并在如图（2）给出的坐标系中画出函数y=f（t）的图象．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：过C、B分别作OA的垂线，垂足分别为D、E，设直线x=t与x轴的交点为P，讨论P∈OD、DE、EA以及Ax时，求出函数f（t）的解析式，利用分段函数写出f（t）的解析式并画出函数的图象．解答：解：如图所示，过C、B分别作OA的垂线，垂足分别为D、E，设直线x=t与x轴的交点为P，则|OD|=|DE|=|EA|=1，|CD|=|BE|=；所以，①当P∈OD，即t∈（0，1]时，f（t）=?t?t=t2；②当P∈DE，即t∈（1，2]时，f（t）=??=（2t﹣1）；③当P∈EA，即t∈（2，3]时，f（t）=?（1+3）？﹣?（3﹣t）2=（﹣t2+6t﹣5）；④当P∈Ax，即t∈（3，+∞）时，f（t）=?（1+3）？=2；综上，f（t）=；画出函数f（t）的图象如图2所示．点评：本题考查了求分段函数的解析式、画分段函数的图象的应用问题，是基础题目．24．（8分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（﹣）?f（+）的单调递增区间．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据三角函数的图象求出A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式；（2）求出g（x）的表达式，利用三角函数的单调性即可求出单调递增区间．解答：解：（1）由图象知函数的周期T=2（）=π，即ω==2，则f（x）=Asin（2x+φ），∵0＜φ＜，∴由五点对应法知2×+φ=π，解得φ=，即f（x）=Asin（2x+），∵f（0）=Asin==1，∴A=2，即函数f（x）的解析式f（x）=2sin（2x+）；（2）g（x）=f（﹣）?f（+）=2sin（x﹣+）?2sin（x++）=4sinxsin（x+）=4sinx（sinx+cosx）=2sin2x+2sinxcosx=1﹣cos2x+sin2x=2sin（2x﹣）+1，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤ｋπ+，k∈Z，即g（x）的单调递增区间为，k∈Z．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．综合考查三角函数的性质．25．（8分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）若f（1）＞0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立的t的取值范围；（2）若f（1）=，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（0）=0求出k的值，分离参数得到t＞2sinθ+2cosθ=2sin（θ+），根据三角形函数的性质即可求出t范围．（2）由f（1）=，可解得a=2，于是可得f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），通过对m范围的讨论，结合题意h（t）min=﹣1，即可求得m的值解答：解：（1）∵函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，解得k=2，∴f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=a﹣＞0，且a＞0且a≠1，∴a＞1，∴f（x）是定义域为R的奇函数且单调递增，∵f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立，∴sin2θ+cos2θ+1﹣tcosθ＜0，即tcosθ＞sin2θ+cos2θ+1=2sinθcosθ+2cos2θ，∵θ∈（0，），∴cosθ（0，1），则t＞2sinθ+2cosθ=2sin（θ+），又当θ=时，2sin（θ+）的最大值为2，∴t＞2，∴ｔ的取值范围为（2，+∞）；（Ⅱ）由（1）知，f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=，∴a﹣=，解得a=2．故f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则22x+2﹣2x=t2+2，由x∈[1，+∞），得t∈[，+∞），∴g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），当m≥时，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣1，解得m=，或m=（舍去），当m＜时，当t=，h（t）min=﹣3m=1，解得m=（舍去）．综上，m的值是2．点评：本题考查指数函数的综合应用，考查函数的奇偶性与单调性，函数恒成立的问题，突出换元思想与分类讨论思想在最值中的综合应用，属于难题．。
2014-2015第一学期高二期末考试理科数学试题
2015学年度第一学期高二年级期末教学质量检测理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在答题卷上。
2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．非零实数b a ,,若b a >，则下列不等式正确的是 A 22b a > B ||||c b c a > Cb a a b > D ba ab 2211> 4．在ABC ∆中，角B A ,的对边分别为b a ,，若A b a sin 23=，则B 等于 A30 B60 C30或150 D60或120 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 6．.数列1，211+，3211++，43211+++，…，n+++ 211的前2015项的和A20152014 B 20154028 C 20152016 D 201640307．已知椭圆2215x y m +=的离心率e =，则m 的值为 A ．3 BCD ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为 A． BCD ．9．若数列}{n a 是等比数列，21a =，其前n 项和为n S ，则3S 的取值范围是A ]1,(-∞B ),1()0,(+∞-∞C ),3[+∞D ),3[]1,(+∞--∞10．如图，21F F 、是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，O 为坐标原点，P 是椭圆上的一点，且满足||2||21OP F F =，若21125F PF F PF ∠=∠，则椭圆的离心率为A 32B 63C 22二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分11．双曲线的一个焦点是)2 , 0(2F ，离心率2=e ，则双曲线的标准方程是 ．12．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x ，则y x z +=2的最大值为 .13．已知数列}{n a 满足11-+=n n a a )1(>n ，其中5a ,8a ,10a 三项构成等比数列，则这个A 1C8题图等比数列的公比为 .14．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则|AB |＝______.15. 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个 数）：设,i j a （i 、j ∈*N ）是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如4,2a ＝8．若,i j a ＝2008，则i 、j 的值分别为________ ，__________三、解答题:本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）复数=（）A．B．C．D．2．（3分）已知p：x2﹣6x﹣27≤0，q：|x﹣1|≤m（m＞0），若q是p的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．m≤4 B．m＜4 C．m≥8 D．m＞83．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．10 B．9C．8D．64．（3分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）若=1，则f′（x0）等于（）A．2B．﹣2 C．D．6．（3分）把下面在平面内成立的结论：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行类比地推广到空间，且结论也正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）7．（3分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A．1B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+48．（3分）三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（）A．﹣2 B．2C．D．9．（3分）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln210．（3分）已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．2D．11．（3分）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3B．6C．9D．1212．（3分）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．设是向量，命题“若，则||=||”的否命题是真命题C．命题“p∪q”为真命题，则命题p和q均为真命题D．命题∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”．13．（3分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）14．（3分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．15．（3分）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）16．（3分）平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定个三角形．17．（3分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．18．（3分）设的展开式中的常数项等于．19．（3分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．20．（3分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=；f（n）=．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．（8分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．22．（8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．23．（8分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD=1．（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．24．（8分）已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A，B．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．25．（8分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）复数=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．解答：解：复数====故选C点评：题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题．2．（3分）已知p：x2﹣6x﹣27≤0，q：|x﹣1|≤m（m＞0），若q是p的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．m≤4 B．m＜4 C．m≥8 D．m＞8考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质求出p，q对应的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可得到结论．解答：解：由x2﹣6x﹣27≤0，得﹣3≤x≤9，即p：﹣3≤x≤9，由|x﹣1|≤m（m＞0），得1﹣m≤x≤1+m，即q：1﹣m≤x≤1+m，若q是p的必要而不充分条件，则，即，解得m≥8，即实数m的取值范围是m≥8，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．3．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．10 B．9C．8D．6考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．解答：解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故选C．点评：本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．4．（3分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）A．B．C．D．考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：以甲3胜1败而结束比赛，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，即可得出结论．解答：解：甲以3：1的比分获胜，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜，因此所求概率为：P==．故选：A．点评：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，属于基础题．5．（3分）若=1，则f′（x0）等于（）A．2B．﹣2 C．D．考点：极限及其运算；变化的快慢与变化率．专题：计算题．分析：先将进行化简变形，转化成导数的定义式，即可解得．解答：解：根据导数的定义可得，=故选C点评：本题主要考查了导数的定义的简单应用，以及极限及其运算，属于基础题．6．（3分）把下面在平面内成立的结论：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行类比地推广到空间，且结论也正确的是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：对4个命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，与另一条不一定相交，也可能异面，在长方体中找．（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，根据平行公理，则这两条直线平行；（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直，符合异面直线所成角的定义；（4）垂直于同一条直线的两条直线还可能相交或异面，比如墙角上的三条垂直的直线．故选B．点评：本题考查了线面的平行和垂直定理，借助于具体的事物有助于理解，还能培养立体感．7．（3分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，第一步验证n=1时，左边应取的项是（）A．1B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4考点：数学归纳法．专题：阅读型．分析：由等式，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．解答：解：在等式中，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4故选D．点评：本题考查的知识点是数学归纳法的步骤，在数学归纳法中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析等式两边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．解此类问题时，注意n的取值范围．8．（3分）三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（）A．﹣2 B．2C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果．解答：解：===0﹣2×=﹣2故选A．点评：本题考查平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是把未知量转化为已知量，用侧棱做基底表示未知向量．9．（3分）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：作出函数的图象，可得围成的封闭图形为曲边三角形ABC，它的面积可化作梯形ABEF的面积与曲边梯形BCEF面积的差，由此结合定积分计算公式和梯形面积公式，不难得到本题的答案．解答：解：令x=4，代入直线y=x﹣1得A（4，3），同理得C（4，）由=x﹣1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x﹣1交于点B（2，1）∴S ABC=S梯形ABEF﹣S BCEF而S BCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4∴封闭图形ABC的面积S ABC=S梯形ABEF﹣S BCEF=4﹣2ln2故选D点评：本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．10．（3分）已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）A．B．C．2D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则﹣=1，①；﹣=1，②，①﹣②得=，∵点P（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵直线l的斜率为2，∴=2，∴a2=b2，c2=2a2，∴e=．故选A．点评：本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．11．（3分）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）A．3B．6C．9D．12考点：二项式定理的应用．分析：由等式右边可以看出是按照x﹣2的升幂排列，故可将x写为2+x﹣2，利用二项式定理的通项公式可求出a2的值．解答：解：x3=（2+x﹣2）3，故a2=C322=6故选B点评：本题考查二项式定理及通项公式的运用，观察等式右侧的特点，将x3=（2+x﹣2）3是解题的关键．12．（3分）下列选项中，说法正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．设是向量，命题“若，则||=||”的否命题是真命题C．命题“p∪q”为真命题，则命题p和q均为真命题D．命题∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：要否定一个命题只要举出反例即可：对于A、B、C可举出反例；D根据全称命题p：“∃x0∈M，p（x0）”的否定￢p为：“∀x∈M，￢p（x）”即可判断出正确与否．解答：解：A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，对于逆命题，取m=0时不成立；B．设是向量，命题“若，则||=||”的否命题是“若，则||≠||”是假命题，若向量、的起点相同，其终点在同一个圆周上，则必有||≠||，故其逆命题是假命题；C．只要p、q中有一个为真命题，则pVq即为真命题．由此可知：C为假命题；D．根据：全称命题p：“∃x0∈M，p（x0）”的否定￢p为：“∀x∈M，￢p（x）”可知：D正确．综上可知：正确答案为：D．故选D．点评：掌握四种命题间的关系、或命题的真假关系、全称命题与特称命题的否定关系是解题的关键．13．（3分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）考点：导数的乘法与除法法则；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：构造函数h（x）=f（x）g（x），由已知得到当x＜0时，h′（x）＜0，所以函数y=h （x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得到函数y=h（x）为R上的奇函数，得到函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，画出函数h（x）的草图，结合图象得到不等式的解集．解答：解：设h（x）=f（x）g（x），因为当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，所以当x＜0时，h′（x）＜0，所以函数y=h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以函数y=h（x）为R上的奇函数，所以函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，因为f（﹣1）=0，所以函数y=h（x）的大致图象如下：所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）故选A．点评：本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于基础题．14．（3分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分等腰三角形△F1F2P以F1F2为底和以F1F2为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．解答：解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，在△F1F2P1中，F1F2+PF1＞PF2，即2c+2c＞2a﹣2c，由此得知3c＞a．所以离心率e＞．当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P 这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6个不同点P使得△F1F2P为等腰三角形，求椭圆离心率e的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．15．（3分）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A．60条B．62条C．71条D．80条考点：排列、组合及简单计数问题．专题：综合题；压轴题．分析：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况，利用列举法可解．解答：解：方程变形得，若表示抛物线，则a≠0，b≠0，所以分b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况：（1）当b=﹣3时，a=﹣2，c=0，1，2，3或a=1，c=﹣2，0，2，3或a=2，c=﹣2，0，1，3或a=3，c=﹣2，0，1，2；（2）当b=3时，a=﹣2，c=0，1，2，﹣3或a=1，c=﹣2，0，2，﹣3或a=2，c=﹣2，0，1，﹣3或a=﹣3，c=﹣2，0，1，2；以上两种情况下有9条重复，故共有16+7=23条；（3）同理当b=﹣2或b=2时，共有16+7=23条；（4）当b=1时，a=﹣3，c=﹣2，0，2，3或a=﹣2，c=﹣3，0，2，3或a=2，c=﹣3，﹣2，0，3或a=3，c=﹣3，﹣2，0，2；共有16条．综上，共有23+23+16=62种故选B．点评：此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的9条抛物线．列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法．要能熟练运用二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）16．（3分）平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定110个三角形．考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：先把10个点看作不共线的，此时能确定的最多三角形数求出来，再减去共线5点所确定的三角形数即可解答：解：先把10个点看作不共线的，此时能确定的最多三角形数求出来，再减去共线5点所确定的三角形数，故有﹣=110个三角形．故答案为：110．点评：本题考查排列组合的基本问题，属于基础题．17．（3分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．解答：解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：8点评：本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．18．（3分）设的展开式中的常数项等于﹣160．考点：二项式定理的应用；定积分．专题：计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解答：解：∵=﹣（cosπ﹣cos0）=2，则=的展开式的通项公式为T r+1=••=•26﹣r•x3﹣r．令3﹣r=0，解得r=3，故展开式中的常数项等于﹣160，故答案为﹣160．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．19．（3分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=3．考点：导数的运算．分析：先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加即可．解答：解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：3点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．20．（3分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=37；f（n）=3n2﹣3n+1．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：根据图象的规律可得相邻两项的差的规律可分析得出f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式．解答：解：由于f（2）﹣f（1）=7﹣1=6，f（3）﹣f（2）=19﹣7=2×6，f（4）﹣f（3）=37﹣19=3×6，f（5）﹣f（4）=61﹣37=4×6，…因此，当n≥2时，有f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1），所以f（n）=++…++f（1）=6+1=3n2﹣3n+1．又f（1）=1=3×12﹣3×1+1，所以f（n）=3n2﹣3n+1．当n=4时，f（4）=3×42﹣3×4+1=37．故答案为：37；3n2﹣3n+1．点评：本题主要考查了数列的问题、归纳推理．属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．（8分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．考点：椭圆的简单性质；复合命题的真假；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由p真与q真分别求得m的范围，利用复合命题的真假判断即可求得符合题意的实数m的取值范围．解答：解：p真，则有9﹣m＞2m＞0，即0＜m＜3…2分q真，则有m＞0，且e2=1+=1+∈（，2），即＜m＜5…4分若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q一真一假．①若p真、q假，则0＜m＜3，且m≥5或m≤，即0＜m≤；…6分②若p假、q真，则m≥3或m≤0，且＜m＜5，即3≤m＜5…8分故实数m的取值范围为0＜m≤或3≤m＜5…10分点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，考查复合命题的真假判断，考查集合的交补运算，属于中档题．22．（8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）从7张卡片中取出4张的所有可能结果数有，然后求出取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（I）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件A，则P（A）==所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为（II）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）==P（X=4）==X的分布列为EX==x 1 2 3 4P点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．23．（8分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD=1．（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题；转化思想．分析：（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；（2）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可解答：解：（1）由题设知，BF∥CE，所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点，连接EP，PC．因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．而PC，AD都在平面ABCD内，故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a，则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=a，故∠CED=60°．所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°．（2）取CD的中点Q，连接PQ，EQ由PC=PD，CE=DE∴PQ⊥CD，EQ⊥CD∴∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，由ED=CD=a，在等边△ECD中EQ= a在等腰Rt△CPD中，PQ= a在Rt△EPQ中，cos∠EQP=．故二面角A﹣CD﹣E的余弦值为．点评：本小题考查线线垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．24．（8分）已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A，B．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）联立直线y=kx+1与双曲线3x2﹣y2=1可得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k2≠0，解得即为k的范围；（2）假设存在，则设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得x1+x2=，x1x2=，从而可求得+1=0，继而可解得k的值．检验成立．解答：解：（1）由，得（3﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，由△＞0，且3﹣k2≠0，得﹣＜k＜，且k≠±；（2）假设存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，又x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1，∴k2x1x2+k（x1+x2）+1+x1x2=0，即++1+=0，∴+1=0，解得k=±1．经检验，k=±1满足题目条件，则存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点．点评：本题考查双曲线的标准方程和性质，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．25．（8分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求导函数，可得，由于分母恒正，故由分子的正负，确定函数的单调区间；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的讨论，分别可求得f（x）的最小值，根据f（x）的最小值为1，可确定a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）求导函数，可得，∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0．①当a≥2时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．②当0＜a＜2时，由f'（x）＞0解得，由f'（x）＜0解得x＜，∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为．（Ⅱ）当a≥2，由（Ⅰ）①知，f（x）的最小值为f（0）=1；当0＜a＜2时，由（Ⅰ）②知，f（x）在处取得最小值＜f（0）=1，综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，合理分类是关键．。