湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)

湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（3分）复数=（）

A．B．C．D．

2．（3分）已知p：x2﹣6x﹣27≤0，q：|x﹣1|≤m（m＞0），若q是p的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是（）

A．m≤4 B．m＜4 C．m≥8 D．m＞8

3．（3分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）

A．10 B．9C．8D．6

4．（3分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为（）

A．B．C．D．

5．（3分）若=1，则f′（x0）等于（）

A．2B．﹣2 C．D．

6．（3分）把下面在平面内成立的结论：

（1）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交

（2）如果两条直线同时与第三条直线平行，则这两条直线平行

（3）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它与另一条垂直

（4）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行

类比地推广到空间，且结论也正确的是（）

A．（1）（2）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（3）（4）

7．（3分）用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）=时，

第一步验证n=1时，左边应取的项是（）

A．1B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4

8．（3分）三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，∠CAD=60°，则=（）

A．﹣2 B．2C．D．

9．（3分）曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为（）

A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2

10．（3分）已知斜率为2的直线l双曲线交A、B两点，若点P（2，1）是AB的中点，则C的离心率等于（）

A．B．C．2D．

11．（3分）若对于任意实数x，有x3=a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+a3（x﹣2）3，则a2的值为（）

A．3B．6C．9D．12

12．（3分）下列选项中，说法正确的是（）

A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题

B．设是向量，命题“若，则||=||”的否命题是真命题

C．命题“p∪q”为真命题，则命题p和q均为真命题

D．命题∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”．

13．（3分）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）

A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

14．（3分）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好

有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．

15．（3分）方程ay=b2x2+c中的a，b，c∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）

A．60条B．62条C．71条D．80条

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）

16．（3分）平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定个三角形．

17．（3分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．

18．（3分）设的展开式中的常数项等于．

19．（3分）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=．

20．（3分）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n幅图的蜂巢总数．则f（4）=；f（n）=．

三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

21．（8分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线=1的离心率e∈（）．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

22．（8分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．

（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．

（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

23．（8分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M

为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD=1．

（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；

（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．

24．（8分）已知直线y=kx+1和双曲线3x2﹣y2=1相交于两点A，B．

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过原点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

25．（8分）已知函数，其中a＞0．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

湖南省长沙市长郡中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析