专题14 平行线分线段成比例定理与三角形形的“四心”(解析版)

专题14 平行线分线段成比例定理及三角形的“四心”

一、知识点精讲

（一）平行线分线段成比例定理

在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.

在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l ，直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3

A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

如图，123////l l l ，有AB DE BC EF =.当然，也可以得出AB DE AC DF

=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.

二、典例精析

【典例1】．如图， 123////l l l ，且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF .

【答案】见解析

【解析】1232////,,3AB DE l l l BC EF \==Q 28312,.235235

DE DF EF DF ====++ 【典例2】在ABC V 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，

求证：AD AE DE AB AC BC == 【答案】见解析

【解析】

证明（1） //,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠Q

ADE ∴V ∽ABC V ，.AD AE DE AB AC BC

∴

== 证明（2）

如图过A 作直线//l BC ，////,l DE BC Q AD AE AB AC

∴=. 过E 作//EF AB 交AB 于D ，得BDEF Y ，因而.DE BF =

//,.AE BF DE EF AB AC BC BC

∴==Q .AD AE DE AB AC BC ∴== 从上例可以得出如下结论：

平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

【典例3】已知ABC V ，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上.

【答案】见解析

【解析】

假设能找到，如图3.1-4，设EC 交BD 于F ，则F 为EC 的中点，作//EG AC 交BD 于G .

//,EG AC EF FC =Q ，

∴EGF CDF ≅V V ，且EG DC =， 1//,2EG AD BEG BAD ∴V :V ，且1,2BE EG BA AD == E ∴为AB 的中点.

可见，当E 为AB 的中点时，EC 的中点在BD 上.

我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.

【典例4】在ABC V 中，AD 为BAC Ð的平分线，求证：

AB BD AC DC

=. 【答案】见解析

【解析】证明： 过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ，

//,.BA BD AD CE AE DC

\=Q Q AD 平分,,BAC BAD

DAC 衆?? 由//AD CE 知,,BAD E DAC ACE ?行=?

,,E ACE AE

AC \??即

AB BD AC DC \=. 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.

【典例5】如图3.1-12,在直角三角形ABC 中，BAC Ð为直角，AD BC D ^于.

求证：（1）2AB BD BC =?，

（2）2AC CD CB =?；

（3）2AD BD CD =?

【答案】见解析

【解析】

证明 （1）在Rt BAC V 与Rt BDA V 中，B B ??，

BAC \V ∽BDA V ，2,.BA BC AB BD BC BD BA

\==?即 同理可证得2AC CD CB =?.

（2）在Rt ABD V 与Rt CAD V 中，90o C CAD BAD ?-??，

Rt ABD \V ∽Rt CAD V ，2,.AD DC AD BD DC BD AD

\==?即 我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.

（二）三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

如图，在三角形ABC V 中，有三条边,,AB BC CA ，三个角,,A B C 行

?，三个顶点,,A B C ，在三角形中，角平分线、中线、高是三角形中的三种重要线段.

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.

【典例6】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比

为2：1.

【答案】见解析

【解析】

已知：D 、E 、F 分别为ABC V 三边BC 、CA 、AB 的中点，

求证：AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.

证明：如图

连结DE ，设AD 、BE 交于点G ，

Q D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12

DE AB =， GDE \V ∽GAB V ，且相似比为1：2，

2,2AG GD BG GE \==.

设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F ==

则G 与'G 重合，

\ AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.