专题14 平行线分线段成比例定理与三角形形的“四心”(解析版)
高考数学三角形中的“四心”
P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
新疆 源头学子小屋
http :// www.xjktyg .com /wxc /
特级教师 王新敞
wxckt @126 .com
例4.（2005全国Ⅰ）点O是ΔABC所在平面上一点， 若 OA OB OB OC OC OA ， 则点O是ΔABC的（ D ） A （A）三个内角的角平分线的交点 O （B）三条边的垂直平分线的交点 C B （C）三条中线的交点 （D）三条高线的交点
则△ABC为（ D ） A．三边均不相等的三角形 C．等腰非等边三角形 B．直角三角形 D．等边三角形
解法一：根据四个选择项的特点，本题可采用验证法来处理. 不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时 排除其他三个选择项，故答案必选 D.
法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法,
是处理本题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些向
AH BC.
垂心
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．
例2．已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:
证：设 OA a, OB b, OC c, 则: BC c b, CA a b, AB b a.
E
故G,G重合.
B
D
C
例1． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心
1 PG ( PA PB PC ) 3
证明:
PG PA AG PB BG PC CG
3PG ( AG BG CG) (PA PB PC )
1 PG ( PA PB PC)（反之亦然（证略）） 3
三角形“四心”问题
三角形“四心”问题一、三角形的“重心”1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成2:1三角形中线向量式：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 2、重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即(x A +x B +x C 3,y A +y B +y C3).3、常见重心向量式：设O 是∆ABC 的重心，P 为平面内任意一点 ①OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ②PO⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ③若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心 ④若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC )，λ∈[0,+∞)，则P 一定经过三角形的重心二、三角形的“垂心”1、垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。
2、常见垂心向量式：O 是∆ABC 的垂心，则有以下结论： 1、OA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2、|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 3、动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC )，λ∈(0,+∞)，则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的垂心4、奔驰定理推论：S ∆BOC :S ∆COA :S ∆AOB =tanA:tanB:tanC ，tanA ∙OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ∙OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 三、三角形的“内心”1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
平行线分线段成比例定理 课件
1．平行线分线段成比例定理有哪些变式？ 【提示】 变式有DABE＝BECF，DABE＝DACF，BECF＝DACF. 2．平行线分线段成比例定理的逆命题是什么？它是正 确的吗？ 【提示】 平行线分线段成比例定理的逆命题是：如果 三条直线截两条直线所得的对应线段成比例，那么这三条直 线平行，这个命题是错误的．
3．怎样理解平行线分线段成比例定理的推论？ 【提示】 (1)这个推论也叫三角形一边平行线的性质定 理．(2)它包括以下三种基本图形(其中 DE 为截线)．
习惯上称前两种为“A 型”，第三种为“X 型”．
(3)此推论的逆命题也正确，即如果一条直线截三角形的 两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直 线平行于三角形的第三边．
1．解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四边形． 2．比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题 应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来 促成比例线段的产生． 3．利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没 有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线， 从而达到转移比例的目的，如本题中，EFPP＝MCNN＝AGMC＝AACB.
如图 1－2－7 所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC， EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EF∥AD.
(1)求OADE＋OBCE的值； (2)求证：A1D＋B1C＝E2F.
【思路探究】 (1)利用比例线段转化所求； (2)证出 EF＝2OE，再利用(1)的结果证明．
【自主解答】 (1)∵OE∥AD，∴AODE＝BAEB. ∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC， ∴OBCE＝AAEB， ∴OADE＋OBCE＝BAEB＋AAEB＝BEA＋BAE＝1.
初高中衔接之三角形射影定理和四心
A、B、E、F四点共圆 故AFB AEB 900
三角形垂心性质2：
锐角三角形垂心在三角形内部 直角三角形垂心在直角顶点 钝角三角形垂心在三角形外部
总结归纳
三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点 三角形的外心的性质：
1、三角形外心到三角形三个顶点距离相等
（1）SABC
1（a 2
b c） r
pr
（2）AD AF p a BD BE p b CE CF p c
特别地，当ABC为直角三角形，B 900,则四边形ODBE 是正方形，故有r BD BE p c
三角形的重心
三角形的重心：三角形三边中线交点
课后思考：
2.角平分线性质定理
1.平行线分线段成比例定理
在三角形中
平行线等分线段定理
推论1
推论2
在梯形中
三角形中位线性质定理
【练习】
1.已知AB、CD为梯形ABCD的底，对角线AC、BD的交点为O，
且AB=8，CD=6，BD=15，求OB、OD的长。
6
D
C
O 15
A
8
B
2.已知在△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm，则 BD=______cm,DC=________cm.
C
CD2=AD•BD①BC2来自BD•AB AC2=AD•AB
②
③
A
D
B
例1 如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D， C AD=2，DB=8，求CD，AC和BC的长。
AD
B
外心、内心、重心、垂心
1.三角形的外心
九年级数学中考典型及竞赛训练专题14 平行线分线段成比例(附答案解析)
九年级数学中考典型及竞赛训练专题14 平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ 的比例式，为此，应首先判断PQ 与AD （或BC ）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（ ）A ．3︰2︰1B ．4︰2︰1C ．5︰4︰3D ．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M 作BC 的平行线，构造基本图形．ABCDEGH MQA BCDEFP【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R，交CD，AD于S，T．求证：PQ•PT＝P R•PS．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ•PT＝P R•PS，需证PQPS＝PRPT，由于PQ，PT，P R，PS在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．（1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF；（2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE＋PF，即要证明PEAB＋PFAB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．AB CDEFP图2AB CDEFP图1QARBCDSP【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ； （2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝13，AN AC ＝13，点P 1，P 2是 边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且P 1，P 2，…，P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N ＋∠MP 2N ＋…＋∠MP 2009N ＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．ABCM NP图1ABC MN1P 2P 图2AMNBC1P 2P 2009P 图3QA BCDEFGM NP能力训练A 级1．设K ＝a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，则K ＝＿＿＿＿． （镇江市中考试题）2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab 的值为（ ） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（ ）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰2A BCD E F 第2题ABCD M N第3题ABCDEFGH第4题A BCEFG第5题ABCDE F第6题QABCP第7题AB CDEF 第8题9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ． 求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ． （1）求证：OE ＝OF ； （2）求OE AD ＋OEBC的值； （3）求证：1AD ＋1BC ＝2EF． （宿迁市中考试题）ABCDE FGO第9题ABCDEG第10题ABCD EFO第11题12．如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上的一点，CE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，MB 与AD 交于点N ．求证：∠AFN ＝∠DME ．（全国初中数学联赛试题）B 级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB ，CD ，它们相距15cm ，分别自两杆上高出地面4m ，6m 的A ，C 处，向两侧地面上的E ，D 和B ，F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为＿＿＿＿m ．（全国初中数学联赛试题）2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）ABCDEF M NP ABCDEF O第2题ABCD EF 第3题QABCD EF 第1题5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（ ） A ．10B ．12C ．16D ．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（ ）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- （山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（ ）A ．2B ．53C ．32D ．1（黄冈市竞赛试题）9．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+． （宁波市竞赛试题）ABCD EFG第7题ABCDE F第8题ABCD E F MNP第9题A BCDE F第5题ABCD EF L KM N第4题AB CDEFM第6题10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．（山东省竞赛试题）11．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足，AD 和BC 交于E ，EF ⊥BD 于F ．我们可以证明：11AB CD +＝1EF 成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB ∥CD ∥EF ，那么， （1）11AB CD+＝1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）ABCDEF第11题SA R BC DMN OPl第10题12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过D点的直线PQ交边AC于点P，交边AB 的延长线于点Q．（1）如图1，当PQ⊥AC时，求证：11AQ AP+；（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）AQ B CDP图1AQB CDP图2AQB CDP图3专题14 平行线分线段成比例例1aba b+ 提示：由AP DQ a PF QF b ==,推得PQ ∥AD 。
专题14 三角形章末重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.4 三角形章末重难点题型【考点1 三角形的边角关系】【方法点拨】解题的关键是了解三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【例1】（2019秋•庐江县期末）已知4条线段的长度分别为2，4，6，8，若三条线段可以组成一个三角形，则这四条线段可以组成三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．【答案】解：首先任意的三个数组合可以是2，4，6或2，4，8或2，6，8或4，6，8．根据三角形的三边关系：其中4+6＞8，能组成三角形．∴只能组成1个．故选：A．【点睛】考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式1-1】（2018秋•当涂县期末）若一个三角形的两边长分别为4和7，则周长可能是（）A．11B．18C．14D．22【分析】根据第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，可求出第三边长的范围，从而得出答案．【答案】解：设第三边的长为x，根据三角形的三边关系，得7﹣4＜x＜7+4，即3＜x＜11．∴14＜周长＜22，∴周长可能为18，故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．【变式1-2】（2019春•临清市期末）a，b，c为三角形的三边长，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【分析】根据三角形的三边关系去绝对值，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而再化简即可．【答案】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，＝a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c，＝0．故选：A．【点睛】本题主要考查了简单的三角形的三边关系的运用，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．【变式1-3】（2019秋•江东区期末）已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（）A．3B．10C．6.5D．3或6.5【分析】因为腰长没有明确，所以分边长3是腰长和底边两种情况讨论．【答案】解：（1）当3是腰长时，底边为16﹣3×2＝10，此时3+3＝6＜10，不能组成三角形；（2）当3是底边时，腰长为×（16﹣3）＝6.5，此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形．所以腰长为6.5．故选：C．【点睛】本题要分情况讨论，注意利用三角形的三边关系判断能否组成三角形，是学生容易出错的题．【考点2 巧用三角形中线求面积】【方法点拨】解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．【例2】（2019秋•长丰县期末）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积是32，则图中阴影部分面积等于（）A．16B．8C．4D．2【分析】首先根据D是BC的中点，可得：S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，再根据E是AD的中点，可得：S＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，所以S△BCE＝S△ABC；然后根据F是CE的中点，求出△BEF的面△BDE积是多少即可．【答案】解：∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，∴S△BCE＝S△ABC＝×32＝16，∵F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE＝×16＝8．答：图中阴影部分面积等于8．故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握．【变式2-1】（2019秋•宁阳县期末）如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD ＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．【答案】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式2-2】（2019秋•椒江区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE为△ABD中AB边上的中线，△ABC的面积为6，则△ADE的面积是（）A．1B．C．2D．【分析】根据三角形的中线的性质，得△ADE的面积是△ABD的面积的一半，△ABD的面积是△ABC 的面积的一半，由此即可解决问题．【答案】解：∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ABC＝3．∵DE为△ABD中AB边上的中线，∴S△ADE＝S△ABD＝．故选：B．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分．【变式2-3】（2019秋•温州期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（）A．15B．20C．25D．30【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解．【答案】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得∵F是BE的中点，S△CFE＝S△CFB＝5，∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，∵E是AD的中点，∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE∴S△BDE+S△CDE＝10∴S△AEB+S△AEC＝10∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20故选：B．【点睛】本题考查了三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．【考点3 三角形内角和之折叠变换】【方法点拨】解题的关键是掌握折叠的性质．【例3】（2019秋•潮州期末）如图，在△ABC中，∠B＝32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．32°B．45°C．60°D．64°【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠B＝32°，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【答案】解：如图所示：由折叠的性质得：∠D＝∠B＝32°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B＝∠2+64°，∴∠1﹣∠2＝64°．故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3-1】（2020春•岱岳区期中）如图，将△ABC沿MN折叠，使MN∥BC，点A的对应点为点A'，若∠A'＝32°，∠B＝112°，则∠A'NC的度数是（）A．114°B．112°C．110°D．108°【分析】由MN∥BC，可得出∠MNC与∠C互补，由三角形的内角和为180°可求出∠C的度数，从而得出∠MNC的度数，由折叠的性质可知∠A′NM与∠MNC互补，而∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM，套入数据即可得出结论．【答案】解：∵MN∥BC，∴∠MNC+∠C＝180°，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠A′＝32°，∠B＝112°，∴∠C＝36°，∠MNC＝144°．由折叠的性质可知：∠A′NM+∠MNC＝180°，∴∠A′NM＝36°，∴∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM＝144°﹣36°＝108°．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质、折叠的性质以及三角形的内角和为180°，解题的关键是找出∠MNC 与∠A′NM的度数．本题属于基础题，难度不大，根据平行线的性质找出角的关系，结合图形即可得出结论．【变式3-2】（2020春•江阴市期中）如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（）A．27°B．59°C．69°D．79°【分析】先根据折叠的性质得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，则∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，根据三角形内角和定理得∠3+∠C＝106°，在△ABC中，利用三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C＝180°，则20°+2∠3+106°＝180°，可计算出∠3＝27°，即可得出结果．【答案】解如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，∴∠1＝∠2＝∠3，∴∠ABC＝3∠3，在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，即20°+2∠3+106°＝180°，∴∠3＝27°，∴∠ABC＝3∠3＝81°，∠C＝106°﹣27°＝79°，故选：D．【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出∠ABC和∠CBD的倍数关系是解决问题的关键．【变式3-3】（2019春•繁昌县期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）【分析】根据三角形的内角和为180°以及四边形的内角和为360°得到几个角之间的等量关系，整理化简即可得到所求角之间的关系．【答案】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°①；在△ADE中∠A+∠ADE+∠AED＝180°②；在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠ADE+∠AED＝360°③；∴①+②﹣③得2∠A＝∠1+∠2．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，以及翻折变换，解题的关键是求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．【考点4 三角形内角和之角平分线】【例4】（2019秋•顺义区期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，用等式表示∠DAE、∠B、∠C的关系正确的是（）A．2∠DAE＝∠B﹣∠C B．2∠DAE＝∠B+∠CC．∠DAE＝∠B﹣∠C D．3∠DAE＝∠B+∠C【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，即可得到∠DAE、∠B、∠C之间的数量关系．【答案】解：∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C），∵AE是高，∴∠CAE＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝（90°﹣∠C）﹣（180°﹣∠B﹣∠C）＝（∠B﹣∠C），故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．【变式4-1】（2019秋•璧山区期中）如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线，∠BDC＝120°，则∠A的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．75°【分析】根据角平分线的定义得到∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，根据三角形内角和定理和计算即可．【答案】解：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝120°，∴∠A＝60°；故选：C．【点睛】本题考查的是三角形的内角和，掌握三角形的内角和是解题的关键．【变式4-2】（2020•拱墅区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，则∠EAC的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．38°【分析】根据∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF，求出∠BAC，∠BAF即可解决问题．【答案】解：∵∠ABC＝36°，∠C＝44°，∴∠BAC＝180°﹣36°﹣44°＝100°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝18°，∵AE⊥BD，∴∠BF A＝90°，∴∠BAF＝90°﹣18°＝72°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF＝100°﹣72°＝28°，故选：B．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式4-3】（2019春•巴州区期末）如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝β，那么∠A等于（）A．180°﹣B．180°﹣2βC．90°﹣βD．90°﹣【分析】在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠BCD+∠CBD的度数，由角平分线的定理可得出∠CBE+∠BCF的度数，由邻补角互补可求出∠ABC+∠ACB的度数，再在△ABC中利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数．【答案】解：∵∠BCD+∠CBD+∠D＝180°，∠D＝β，∴∠BCD+∠CBD＝180°﹣β．∵BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，∴∠CBE+∠BCF＝2（∠BCD+∠CBD）＝360°﹣2β，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠CBE+180°﹣∠BCF＝360°﹣（∠CBE+∠BCF）＝2β．又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣2β．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、邻补角以及角平分线的性质，利用三角形内角和定理、角平分线的性质及邻补角互补求出∠ABC+∠ACB的度数是解题的关键．【考点5 全等三角形的判定】【方法点拨】全等三角形的判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【例5】（2019秋•九龙坡区校级期末）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．∠B＝∠C C．CD＝BE D．∠ADC＝∠AEB【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【答案】解：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴当添加AE＝AD时，可根据“SAS”判断△ABE≌△ACD；当添加∠B＝∠C时，可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD；当添加∠AEB＝∠ADC时，可根据“AAS”判断△ABE≌△ACD．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式5-1】（2019秋•东阿县期末）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，添加下列条件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB＝BD B．∠E+∠D＝90°C．AC＝AE+CD D．∠EBD＝60°【分析】由于∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，根据直角三角形全等的判定方法对各选项进行判断．【答案】解：∵∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，∴当添加EB＝BD时，则可根据“HL”判定△EAB≌△BCD；当添加AE＝BC，即AC＝AE+CD，则可根据“SAS”判定△EAB≌△BCD；当添加∠ABE＝∠D时，此时∠D+∠E＝90°，∠EBD＝90°，则可根据“SAS”判定△EAB≌△BCD，．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式5-2】（2019秋•正定县期中）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（）A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可【分析】要想买一块和以前一样的玻璃，只要确定一个角及两条边的长度或两角及一边即可，即简单的全等三角形在实际生活中的应用．【答案】解：由图可知，带上1，4相当于有一角及两边的大小，即其形状及两边长确定，所以两块玻璃一样；同理，3，4中有两角夹一边，同样也可得全等三角形；2，4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，又由2确定了底边的方向，进而可得全等．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定，能够联系实际，灵活应用所学知识．【变式5-3】（2019•鄂州）下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】结合已知条件与全等三角形的判定方法进行思考，要综合运用判定方法求解．注意高的位置的讨论．【答案】解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD＝DE，A′D′＝D′E′，∴△ADC≌△EDB，∴BE＝AC，同理：B′E′＝A′C′，∴BE＝B′E′，AE＝A′E′，∴△ABE≌△A′B′E′，∴∠BAE＝∠B′A′E′，∠E＝∠E′，∴∠CAD＝∠C′A′D′，∴∠BAC＝∠B′A′C′，∴△BAC≌△B′A′C′．③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；要根据选项提供的已知条件逐个分析，分析时看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA是不能判得三角形全等的．【考点6 尺规作图】【例6】（2019秋•蜀山区期末）如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：（1）作∠A＝∠1；（2）在∠A的两边分别作AM＝AN＝a；（3）连接MN．【分析】先以A为圆心，a为半径画弧，即可作∠A＝∠1，则AM＝AN＝a；最后连接MN即可．【答案】解：如图所示：【点睛】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图的方法．【变式6-1】（2019春•秦都区期中）如图，已知△ABC中，∠ACB＞∠ABC，用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM＝∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）【分析】根据尺规作图的方法，以AC为一边，在∠ACB的内部作∠ACM＝∠ABC即可；【答案】解：如图所示，射线CM即为所求：【点睛】本题主要考查了基本作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图．【变式6-2】（2019春•平川区期末）已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝2∠α，AB＝2α．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】先作AB＝2a，再作∠A＝∠α，然后作∠B＝2∠α即可．【答案】解：如图，△ABC为所作．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．【变式6-3】（2019秋•包河区期末）已知平面内有∠α，如图（1）．（1）尺规作图：在图（2）∠AOB的内部作∠AOD＝∠α（保留作图痕迹，不需要写作法）；（2）已知（1）中所作的∠AOD＝40°，OE平分∠BOC，∠AOE＝2∠BOE，求∠BOD．【分析】（1）依据基本作图，即可得到∠AOD＝∠α；（2）依据角平分线的定义，即可得到∠AOD的度数，进而得出∠BOD的度数．【答案】解：（1）如图2所示，∠AOD即为所求；（2）∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOE，又∵∠AOE＝2∠BOE，∴∠AOB＝∠BOE，∴∠AOB＝∠AOC＝60°，又∵∠AOD＝40°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝60°﹣40°＝20°．【点睛】本题主要考查了基本作图以及角的计算，掌握作一个角等于已知角是解决问题的关键．【考点7 全等三角形的证明】【例7】（2019秋•东西湖区期中）如图，在△AOB和△DOC中，AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝∠COD，连接AC、BD，求证：△AOC≌△BOD．【分析】根据角的和差得到∠AOC＝∠BOD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【答案】证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC与△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式7-1】（2019秋•大观区校级期中）如图，△ABC的两条高AD、BE相交于点H，且AD＝BD，试说明下列结论成立的理由．（1）∠DBH＝∠DAC；（2）△BDH≌△ADC．【分析】（1）利用，△ABC的两条高AD、BE相交于点H得出，∠ADC＝∠BEC＝90°，再利用三角形内角和定理得出答案；（2）因为AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC，又因为AD＝BD，∠DBH＝∠DAC，故可根据ASA判定两三角形全等．【答案】证明：（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠C＝∠C，∴∠DBH＝∠DAC；（2）∵AD⊥BC∴∠ADB＝∠ADC在△BDH与△ADC中，∴△BDH≌△ADC．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式7-2】（2019春•黄岛区期末）如图，点E在AB上，AC＝AD，∠CAB＝∠DAB，那么△BCE和△BDE 全等吗？请说明理由．【分析】根据全等三角形的判定定理，观察图形上的已知条件，已知告诉的条件是一角一边分别对应相等，加上公共边就可证两对三角形全等．【答案】解：△BCE≌△BDE，理由如下：在△ACB与△ADB中，∴△ACB≌△ADB（SAS），∴BC＝BD，∠ABC＝∠ABD，在△BCE与△BDE中，∴△BCE≌△BDE（SAS）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；关键是根据全等三角形的判定定理证明．【变式7-3】（2019秋•北碚区校级期末）如图，点D在△ABC外部，点C在DE边上，BC与AD交于点O，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE．求证：（1）∠B＝∠D；（2）△ABC≌△ADE．【分析】（1）由三角形内角和定理可知∠E＝∠180°﹣∠3﹣∠ACE，∠ACB＝180°﹣∠2﹣∠ACE，再根据∠2＝∠3，∠ACE＝∠ACE，证明△ABC≌△ADE（ASA），即可证明．（2）只要证明△ABC≌△ADE（ASA）即可．【答案】证明：（1）∵∠1＝∠3，∴∠1+∠DAC＝∠3+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∵∠E＝∠180°﹣∠3﹣∠ACE，∠ACB＝180°﹣∠2﹣∠ACE，∵∠2＝∠3，∠ACE＝∠ACE，∴∠ACB＝∠E，在△ABC与△ADE中，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴∠B＝∠D．（2）由（1）可得△ABC≌△ADE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【考点8 全等三角形的应用】【例8】（2019春•开江县期末）如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°直行，当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，他共走了140步．（1）根据题意，画出示意图；（2）如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离，并说明理由．【分析】（1）根据题意所述画出示意图即可．（2）根据AAS可得出△ABC≌△DEC，即求出DE的长度也就得出了AB之间的距离．【答案】解：（1）所画示意图如下：（2）在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（ASA），∴AB＝DE，又∵小刚共走了140步，其中AD走了60步，∴走完DE用了80步，小刚一步大约50厘米，即DE＝80×0.5米＝40米．答：小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米．【点睛】本题考查全等三角形的应用，像此类应用类得题目，一定要仔细审题，根据题意建立数学模型，难度一般不大，细心求解即可．【变式8-1】（2019春•峄城区期末）如图，点C、E分别在直线AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF．小华的想法对吗？为什么？【分析】通过全等三角形得到内错角相等，得到两直线平行，进而得到同旁内角互补．【答案】解：小华的想法对，理由是：∵O是CF的中点，∴CO＝FO（中点的定义）在△COB和△FOE中，∴△COB≌△FOE（SAS）∴BC＝EF（全等三角形对应边相等）∠BCO＝∠F（全等三角形对应角相等）∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）∴∠ACE和∠DEC互补（两直线平行，同旁内角互补），【点睛】本题考查了三角形的全等的判定和性质；做题时用了两直线平行内错角相等，同旁内角互补等知识，要学会综合运用这些知识．【变式8-2】（2019春•槐荫区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．【答案】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，∴DE＝DC+CE＝20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．【变式8-3】（2019秋•临海市期末）如图1，为测量池塘宽度AB，可在池塘外的空地上取任意一点O，连接AO，BO，并分别延长至点C，D，使OC＝OA，OD＝OB，连接CD．（1）求证：AB＝CD；（2）如图2，受地形条件的影响，于是采取以下措施：延长AO至点C，使OC＝OA，过点C作AB的平行线CE，延长BO至点F，连接EF，测得∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，CE＝11m，EF＝10m，请直接写出池塘宽度AB．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答．【答案】证明：（1）在△ABO与△CDO中，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；（2）如图所示：延长OF、CE交于点G，∵∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，∴∠FEG＝40°，∠EFG＝70°，∴∠G＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∴EF＝EG，∵CE＝11m，EF＝10m，∴CG＝CE+EG＝CE+EF＝11+10＝21m，∵CG∥AB，∴∠A＝∠C，在△ABO与△CGO中，∴△ABO≌△CGO（ASA）∴AB＝CG＝21m．【点睛】此题考查全等三角形的应用，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．【考点9 全等三角形中的动点问题】【例9】（2019秋•莱山区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A点出发沿A﹣C路径向终点C运动；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点A运动．点P和Q分别以每秒1cm 和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．则点P运动时间为多少时，△PEC与△QFC全等？【分析】推出CP＝CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6﹣t＝8﹣3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6﹣t＝3t﹣8，Q在AC上，求出即可得出答案．【答案】解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC，∵△PEC≌△QFC，∴斜边CP＝CQ，有2种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP＝6﹣t，CQ＝8﹣3t，∴6﹣t＝8﹣3t，∴t＝1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP＝6﹣t＝3t﹣8，∴t＝3.5；答：点P运动1或3.5时，△PEC与△QFC全等．【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．【变式9-1】（2019秋•娄底期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？【分析】（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，据（1）同理可得当BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC时两三角形全等，求x的解即可．【答案】解：（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，∵△ABC中，AB＝AC，∴在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB＝3tcm，PC＝8﹣3tcm，CQ＝xtcm，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD＝PC，BP＝CQ时，②当BD＝CQ，BP＝PC时，两三角形全等；①当BD＝PC且BP＝CQ时，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD＝CQ，BP＝PC时，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x＝；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP 全等．【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【变式9-2】（2019秋•内乡县期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC+∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ；（2）讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可．【答案】解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，∵AP＝BQ＝2，∴BP＝5，∴BP＝AC，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；∴∠C＝∠BPQ，∵∠C+∠APC＝90°，∴∠APC+∠BPQ＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t解得：x＝，t＝．综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【变式9-3】（2019秋•梁平区期末）如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B 出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．（1）PC＝cm（用含t的代数式表示）．（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用速度公式，用t表示出BP，从而可用t表示出PC；。
（完整版）平行线分线段成比例经典例题与变式练习（含标准答案..
1 / 14平行线分线段成比例知识梳理1. 1. 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCD E EDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。
专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111cab=+.FEDCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111ABCDEF+=.FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论F EDCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】 （2007年北师大附中期末试卷）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EFAFFC FD + 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDCBA(2)F ED CBA【例5】 （2001年河北省中考试卷）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； E AO（2）当11A 34AE C=、时，求AO AD 的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AO AD 的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；（2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
(完整版)平行线分线段成比例经典例题与变式练习(含标准答案)
平行线分线段成比例知识梳理1. 平行线分线段成比例定理2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果 AD AE DE3. 平行的判定定理：如上图，如果有 A A D B A A C E B D C E ，那么DE ∥ BC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图， DE ∥ BC ，且 DB AE ,若AB 5，AC 10，求 AE 的长。
如下图，如果 l 1∥ l 2∥ l 3，则BC ACAB DEAC DFABDE AC 1 2DFEFDFDE ∥ BC ，则A A DB A A EC BD C E例2】如图，已知 AB / /EF //CD ，若 AB a ，CD b ，EF c ，求证：1 1ca【巩固】如图， AB BD ，CD BD ，垂足分别为 B 、 D ，AC 和 BD 相交于点 E ，EFBD ，垂足为 F .证明： A 1B C 1D E 1F .【例3】如图，在梯形 ABCD 中， AB ∥CD ， AB 12，CD 9 ，过对角线交点 O 作EF ∥ CD 交AD ，BC 于E ，F ，求 EF 的长。
AE巩固】如图，找出 S ABDS BEDS BCD 之间的关系，并证明你的结论1 b【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥BC ， AD a ，BC b ，E ，F 分别 是AD ，BC 的中点， AF 交 BE 于 P ， CE 交 DF 于 Q ，求 PQ 的长。
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】（ 2007 年北师大附中期末试卷）1（1）如图（ 1），在 ABC 中， M 是 AC 的中点， E 是 AB 上一点，且 AE 1AB ，4的值为（ ）5A. B.1 C.2 【例5】（ 2001 年河北省中考试卷）如图，在 AC 边上的任意一点， BE 交 AD 于点O . （1）当 AE 1时，求 AO的值；AC 2 AD3 / 14连接 EM 并延长， 交 BC 的延长线于 D ，则 BCCD2）如图（ 2），已知 ABC 中， AE : EB 1:3 ， B D :DC 2:1 ， AD 与CE 相交于 F ，则 EF FC AFFDD.2A2）当AE 1、1时，求AO的值；AC 3 4 AD3）试猜想AE 1时AO的值，并证明你的猜想AC n 1 AD【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，F是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：AF 1；FC 2（2）由（1）知，当E是AD中点时，AF 1 AE成立，若E是AD上任意一点（E与A、D FC 2 ED 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且BE AC ，延长BE 交AC 于 F 。
初中数学三角形的“四心”例题讲解-精品.pdf
初中数学三角形的“四心”例题讲解知识点、重点、难点三角形的外心、内心、重心及垂心（以下简称“四心”）是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容，是初中数学竞赛的热点。
1.外心三角形三条垂直平分线的交点叫三角形的外心，即该三角形外接圆的圆心，△ABC的外心通常用字母O表示。
它具有如下性质：(1)外心到三角形三顶点的距离相等．这个距离就是外接圆的半径；(2)在△ABC中，若∠A是锐角，则∠BOC=2∠A；若∠A是钝角，则∠BOC＝360°－2∠A.2.内心三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即是该三角形内切圆的圆心，△ABC的内心一般用字母I表示．它具有如下性质：(1)内心在△ABC三边距离相等，这个相等的距离是△ABC内切圆的半径；(2)若I是△ABC的内心，则11190,90,90222BIC A CIA B AIB C；(3)若I是△ABC的内心，AI延长线交△ABC外接圆于D，则有DI=DB＝DC，即D为△BCI的外心。
3.重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，它具有如下性质：(1)重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；(2)若G是△ABC的重点，则13GBC GCA GAB ABCS S S S；(3)重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点。
4.垂心三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心“如图”，它具有如下性质：(1)图中有六组四点共圆（如A、F、H、E；A、B、D、E等）及三组（每组四个）相似直角三角形；特别的AH·HD=BH·HE=CH·FH；(2)垂心H关于三边的对称点均在△ABC的外接圆上；(3) H、A、B、C中任一点是另三点连成的三角形的垂心；(4) △ABC的内接三角形（即顶点在△ABC的边上）中，以垂足△DEF的周长最短。
例题精讲例1：如图，在△ABC中，AB=AC，延长CA到P，再延长AB到Q，使AP = BQ，求证：△ABC的外心O与A、P、Q四点共圆。
平行线分线段成比例定理 课件
求证:AF=CF.
分析:关键是条件
其中x 是某条线段.
1
2
= 的应用,通过作平行线,证明
= ,
证明:过点 D 作 DH∥AC,交 BF 于点 H,如图.
∵D 是 BC 的中点,
1
∴
=
= .
2
1
∵
= ,∴
=
.
2
1
又 ∵DH∥AF,∴
+
+
=
.
= (其中b+d+…+n≠0),那么
②合比性质:如果 = , 那么
③等比性质:如果 = = ⋯
++…+
= .
++…+
(5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的
比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的
虑把比例转移,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N,且BC的
中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来证明.
证明:如图,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N.
∵AE=AF,∴AM=AC.
∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.
延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG,CG,
则四边形ABGC为平行四边形.∴AB=GC.
要a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它
们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.平行线的条
数还可以更多.
三角形四心定理以及相关证明
三角形四心定理以及相关证明一、引言三角形是几何学中最基本的概念之一，它有着丰富的性质和定理。
本文将重点介绍三角形四心定理，这是关于三角形内部的四个特殊点的定理。
我们将详细讨论这个定理以及相关的证明。
二、什么是三角形四心定理三角形四心定理是指在一个三角形内部存在四个特殊的点，它们被称为三角形的四个心，包括三角形的重心、内心、外心和垂心。
这四个点具有重要的性质和几何意义，它们与三角形的边、角和内部点的关系密切相关。
2.1 重心三角形的重心是三角形内部所有中线的交点，其中中线是连接三角形的顶点和对边中点的线段。
重心被称为三角形的质心，它的坐标可以通过三角形顶点坐标的平均值得到。
2.2 内心三角形的内心是三角形内切圆的圆心，内切圆是与三角形的三条边都相切的圆。
内心到三角形的三条边的距离相等，这个距离被称为内心到三角形边的角平分线的距离。
内心的坐标可以通过求解三角形的边长和角的函数表达式得到。
2.3 外心三角形的外心是可以通过三角形的任意两个顶点的垂直平分线的交点得到。
外心到三角形的三个顶点的距离相等，这个距离被称为外心到三角形顶点的距离。
外心的坐标可以通过求解三角形的边长和角的函数表达式得到。
2.4 垂心三角形的垂心是通过三角形的三个顶点和对边的垂直线的交点得到。
垂心到三角形的三边的距离有特殊性质，它们满足垂心到三边距离之和最小。
垂心的坐标可以通过求解三角形的边长和角的函数表达式得到。
三、三角形四心定理的证明三角形四心定理的证明可以通过利用几何性质和数学推导来完成。
下面我们将分别给出重心、内心、外心和垂心的证明过程。
3.1 重心的证明给定一个三角形ABC，我们可以通过连接三角形的三个顶点和对边中点得到三条中线AD、BE和CF。
我们需要证明这三条中线交于一点G，即三角形的重心。
证明过程如下： 1. 由于D是BC的中点，所以AD平行于BC。
2. 同理，BE平行于AC，CF平行于AB。
3. 根据平行线的性质，得到三角形AGF和三角形ABC相似。
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题(解析版)--高一数学微专题
平面向量痛点问题之三角形“四心”问题【题型归纳目录】题型一：重心定理题型二：内心定理题型三：外心定理题型四：垂心定理【知识点梳理】一、四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．二、三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．【方法技巧与总结】(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC所在的直线上.AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA⋅PB =0 ⇔P 为△ABC 的内心.(2)外心：PA =PB =PC⇔P 为△ABC 的外心.(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA⇔P 为△ABC 的垂心.(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心.【典型例题】题型一：重心定理1(2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点(点N 与点C 不重合)，设AM =xAB ,AN =yAC ，则1x +1y的值为()A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】设MG =λMN ，则AG =AM +MG =AM +λMN =AM +λAN -AM=1-λ AM +λAN =x 1-λ AB +yλAC，又因为G 是△ABC 的重心，故AG =13AB +13AC，所以有x 1-λ =13yλ=13⇒1x +1y =31-λ +3λ=3.故选：A2(2024·全国·高一随堂练习)已知△ABC 中，点G 为△ABC 所在平面内一点，则“AB +AC -3AG=0”是“点G 为△ABC 重心”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】依题意AB +AC -3AG =AG +GB +AG +GC -3AG =GA +GB +GC =0，则G 是△ABC 重心，即充分性成立；若G 是△ABC 重心时，GA +GB +GC =0，可得GA +GB +GC =AG +GB +AG +GC -3AG =AB +AC -3AG =0所以AB +AC -3AG =0 ，必要性成立，故选：C .3(2024·全国·高一专题练习)已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足OP =OA+λAB AB sin B +AC AC sin C λ≥0 ，则P 点轨迹一定通过三角形ABC 的()A.内心 B.外心C.垂心D.重心【答案】D【解析】记E 为BC 的中点，连接AE ，作AD ⊥BC ，如图，则AB sin B =AC sin C =AD ，AB +AC =12AE ，因为OP =OA +λAB AB sin B +ACAC sin C，所以AP =OP -OA =λAB AB sin B +ACACsin C=λ|AD |(AB +AC )=λ2|AD |AE，所以点P 在三角形的中线AE 上，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.故选：D .题型二：内心定理1(2024·全国·高一专题练习)在△ABC 中，cos ∠BAC =13，若O 为内心，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为．【答案】3-32【解析】延长AO 交BC 于D ，设BC 与圆O 相切于点E ，AC 与圆O 相切于点F ，则OE =OF ，则OE ≤OD ，设AD =λAO =λxAB +λyAC ，因为B 、C 、D 三点共线，所以λx +λy =1，即x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE OA=11+OF OA =11+sin A 2，因为cos A =1-2sin 2A 2=13，0<A <π,0<A 2<π2，所以sin A 2=33，所以x +y ≤11+33=3-32．故答案是：3-322(2024·江苏南通·高一如皋市第一中学期末)已知点P 为△ABC 的内心，∠BAC =23π,AB =1,AC =2，若AP =λAB +μAC，则λ+μ=．【答案】9-372【解析】在△ABC ，由余弦定理得BC =AC 2+AB 2-2AC ⋅AB cos ∠BAC =7,设O ,Q ,N 分别是边AB ,BC ,AC 上的切点，设AN =AO =x ，则NC =QC =2-x ,BO =BQ =1-x ，所以BC =BQ +QC =1-x +2-x =7⇒x =3-72，由AP =λAB +μAC 得，AP ⋅AB =λAB +μAC ⋅AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ⇒AO =λ-μ，①同理由AP ⋅AC =λAB +μAC ⋅AC⇒2AN =-λ+4μ,②联立①②以及AN =AO =x 即可解得：λ+μ=3x =3×3-72=9-372，故答案为：9-3723(2024·广西柳州·高一统考期末)设O 为△ABC 的内心，AB =AC =5，BC =8，AO =mAB +nBCm ,n ∈R ，则m +n =【答案】56【解析】取BC 中点D ，连接AD ，作OE ⊥AB ，垂足分别为E ，∵AB =AC ，∴AD 为∠BAC 的角平分线，∴O ∈AD ；又AB =5，BD =12BC =4，∴sin ∠BAD =45，则tan ∠BAD =43；∵△ABC 周长L =5+5+8=18，面积S =12BC ⋅AD =12×8×52-42=12，∴△ABC 内切圆半径r =OE =2S L =2418=43，∴AE =rtan ∠BAD=1，又OA =12+r 2=53，∴AO =59AD ，∵AD =AB +BD =AB +12BC ，∴AO =59AD =59AB +518BC ，∴m =59，n =518，∴m +n =59+518=56.故答案为：56.题型三：外心定理1(2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习)已知点O 是△ABC 的外心，AB =4，AC =2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM ⋅AO=．【答案】5【解析】如图所示，取AB 的中点E ，连接OE ，因为O 为△ABC 的外心，则OE ⊥AB ，所以AB ⋅AO =|AB ||AO |cos <AB ,AO >=|AB |×12|AB |=12×42=8，同理：AC ⋅AO =12|AC |2=12×22=2，所以AM ⋅AO =12(AB +AC )⋅AO =12AB ⋅AO +12AC ⋅AO =12×8+12×2=5.故答案为：5.2(2024·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期末)已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +OB 2+λCA CA cos A +CBCB cos B ，λ∈R ，则P 的轨迹一定经过△ABC 的．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写)【答案】外心【解析】如图所示：D 为AB 中点，连接CD ，CA CA cos A +CB CB cos B⋅BA =CA ⋅BA CA cos A +CB ⋅BACB cos B=BA -BA =0，OP -OA +OB 2=OP -OD =DP ，故DP ⋅BA =λCA CA cos A +CB CBcos B ⋅BA =0，即DP ⊥BA ，故P 的轨迹一定经过△ABC 的外心.故答案为：外心3(2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习)已知△ABC 中，∠A =60°，AB =6，AC =4，O 为△ABC 的外心，若AO =λAB +μAC，则λ+μ的值为()A.1 B.2C.1118D.12【答案】C【解析】由题意可知，O 为△ABC 的外心，设外接圆半径为r ，在圆O 中，过O 作OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，则D ，E 分别为AB ，AC 的中点，因为AO =λAB +μAC ，两边乘以AB ，即AO ⋅AB =λAB 2+μAC ⋅AB ，AO ,AB 的夹角为∠OAD ，而cos ∠OAD =AD AO=62r =3r ，则r ×6×3r =36λ+μ×4×6×12，得6λ+2μ=3①，同理AO =λAB +μAC 两边乘AC ，即AO ⋅AC =λAB ⋅AC +μAC 2，cos ∠OAC =2r，则r ×4×2r =λ×6×4×12+16μ，得3λ+4μ=2②，①②联立解得λ=49，μ=16，所以λ+μ=49+16=1118．故选：C ．题型四：垂心定理1(2024·江苏泰州·高一统考期末)已知△ABC 的垂心为点D ，面积为15，且∠ABC =45°，则BD ⋅BC=；若BD =12BA +13BC ，则BD=.【答案】 3025【解析】如图，AH 是△ABC 的BC 边上的高，则AH ⋅BC =0；设AD =λAH ，因为∠ABC =45°，面积为15，所以12BABC sin45°=15，即BA BC =302；BD ⋅BC =BA +AD ⋅BC =BA +λAH ⋅BC =BA ⋅BC +λAH ⋅BC =BA BCcos45°=30.由第一空可知BD ⋅BC =30，所以BD ⋅BC =12BA+13BC ⋅BC =12BA ⋅BC +13BC 2=30；所以BC 2=45，由BA BC =302可得BA =210，即BA 2=40；因为BD =12BA +13BC ，所以BD 2=14BA 2+19BC 2+13BA ⋅BC =14BA 2+19BC2+10=10+5+10=25；故答案为：30 25.2(2024·湖北黄冈·高一校联考期末)若O 为△ABC 的垂心，2OA +3OB +5OC =0 ，则S△AOB S △AOC=，cos ∠BOC =．【答案】 53-217/-1721【解析】因为2OA +3OB +5OC =0，所以2OA +OC =-3OB +OC ，设M 为AC 的中点，N 为BC 的中点，则OA +OC =2OM ，OB +OC =2ON，所以2OM =-3ON ，所以MN 为△ABC 的中位线，且OM ON=32，所以O 为CD 的中点，所以S △AOC =S △AOD ，又OM AD =12，ON DB =12，所以AD DB =32，所以S △AOD S △BOD =32，所以S △AOB S △AOC=53，同理可得S △BOC S △AOC=23，所以S △AOB S △ABC =12，S △AOC S △ABC =310，又O 为△ABC 的垂心，OD =OC ，设OD =x ，OB =y ，则OC =x ，OE =3y7，所以cos ∠BOD =x y =cos ∠COE =3y7x ，即x 2=37y 2，所以x 2y 2=37，则x y =217所以cos ∠BOD =217，所以cos ∠BOC =cos π-∠BOD =-217，故答案为：53；-2173(2024·山西·高一校联考阶段练习)已知H 为△ABC 的垂心(三角形的三条高线的交点)，若AH=13AB+25AC ，则sin ∠BAC =.【答案】63/136【解析】因为AH =13AB +25AC，所以BH =BA +AH =-23AB+25AC ，同理CH =CA +AH =13AB -35AC ，由H 为△ABC 的垂心，得BH ⋅AC =0，即-23AB+ 25AC ⋅AC =0，可知25AC 2=23ACAB cos ∠BAC ，即cos ∠BAC =3AC5AB ，同理有CH ⋅AB =0，即13AB - 35AC ⋅AB =0，可知13AB 2=35ACAB cos ∠BAC ，即cos ∠BAC =5AB 9AC，所以cos 2∠BAC =13，sin 2∠BAC =1-cos 2∠BAC =1-13=23，又∠BAC ∈0,π ，所以sin ∠BAC =63．故答案为：63.【过关测试】一、单选题1(2024·全国·高一专题练习)在直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的重心、外心、垂心、内心分别为G 1，G 2，G 3，G 4，若AG i =λi AB +μi AC(其中i =1,2,3,4)，当λi +μi 取最大值时，i =()A.1 B.2C.3D.4【答案】B【解析】直角三角形ABC 中，A =90°，D 为BC 中点，△ABC 的重心为G 1，如图所示，AG 1 =23AD =23×12AB +AC =13AB+13AC ，则λ1=μ1=13，λ1+μ1=23；直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的外心为G 2，则G 2为BC 中点，如图所示，AG 2 =12AB +AC ，则λ2=μ2=12，λ2+μ2=1；直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的垂心为G 3，则G 3与A 点重合，AG 3 =0，则λ3=μ3=0，λ3+μ3=0；直角三角形ABC 中，A =90°，△ABC 的内心为G 4，则点G 4是三角形内角平分线交点，直角三角形ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，设内切圆半径为r ，则S △ABC =12bc =12a +b +c r ，得r =bca +b +c，AG 4 =bc a +b +c ⋅AB AB +bc a +b +c ⋅AC AC =bc a +b +c ⋅AB c +bc a +b +c ⋅ACb =b a +b +cAB +ca +b +cAC ，λ=b a +b +c ,μ=c a +b +c ，λ+μ=b a +b +c +c a +b +c =b +ca +b +c <1.λ2+μ2=1最大，所以当λi +μi 取最大值时，i =2.故选：B .2(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习)若O 是△ABC 所在平面上一定点，H ，N ，Q 在△ABC 所在平面内，动点P 满足OP =OA +λAB AB +ACAC，λ∈0,+∞ ，则直线AP 一定经过△ABC 的心，点H 满足HA = HB = HC ，则H 是△ABC 的心，点N 满足NA +NB +NC=0，则N 是△ABC 的心，点Q 满足QA ·QB =QB ·QC =QC ·QA ，则Q 是△ABC 的心，下列选项正确的是()A.外心，内心，重心，垂心B.内心，外心，重心，垂心C.内心，外心，垂心，重心D.外心，重心，垂心，内心【答案】B【解析】OP =OA +λAB AB +AC AC ，变形得到AP =λAB AB +ACAC，其中AB AB ,ACAC 分别代表AB ,AC 方向上的单位向量，故AB AB +ACAC所在直线一定为∠BAC 的平分线，故直线AP 一定经过△ABC 的内心，HA = HB = HC，即点H 到△ABC 三个顶点相等，故点H 是△ABC 的外心，因为NA +NB +NC =0 ，所以NA +NB =-NC ，如图，取AB 的中点D ，连接ND ，则NA +NB =2ND ，所以NC =-2ND ，故C ,N ,D 三点共线，且CN =2ND ，所以N 是△ABC 的重心，由QA ·QB =QB ·QC 可得QA ·QB -QB ·QC =QA -QC ·QB =CA ·QB=0，故CA ⊥QB ，同理可得CB ⊥QA ,BA ⊥QC ，故Q 为△ABC 三条高的交点，Q 为△ABC 的垂心.故选：B 二、多选题3(2024·河南郑州·高一校联考期末)点O 为△ABC 所在平面内一点，则()A.若OA +OB +OC =0 ，则点O 为△ABC 的重心B.若OA ⋅AC AC -AB AB =OB ⋅BC BC -BABA=0，则点O 为△ABC 的垂心C.若OA +OB ⋅AB =OB +OC ⋅BC=0．则点O 为△ABC 的垂心D.在△ABC 中，设AC 2 -AB 2 =2AO ⋅BC，那么动点O 的轨迹必通过△ABC 的外心【答案】AD【解析】A ．由于OA =-OB +OC =-2OD ，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC )，故O 为△ABC 的重心；选项A 正确.B ．向量AC AC ，ABAB，分别表示在边AC 和AB 上取单位向量AC 和AB ，它们的差是向量B C，当OA ⋅AC AC-AB AB =0，即OA ⊥B C 时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB ⋅BC BC -BABA =0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；选项B 错误.C ．OA +OB 是以OA ，OB 为边的平行四边形的一条对角线的长，而AB 是该平行四边形的另一条对角线的长，OA +OB ⋅AB =0表示这个平行四边形是菱形，即OA =OB ，同理有OB =OC，故O 为△ABC 的外心．选项C 错误.对于D ，设M 是BC 的中点，AC 2-AB 2=AC +AB ⋅AC -AB =2AO ⋅BC =2AM ⋅BC，即AO -AM ⋅BC =MO ⋅BC =0，所以MO ⊥BC ，所以动点O 在线段BC 的中垂线上，故动点O 的轨迹必通过△ABC 的外心.选项D 正确.故选：AD .4(2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若AM =12AB +12AC ，则点M 是边BC 的中点B.若AM =2AB -AC ，则点M 是边BC 的三等分点C.若AM =-BM -CM ，则点M 是边△ABC 的重心D.若AM =xAB +yAC ，且x +y =13，则△MBC 的面积是△ABC 面积的23【答案】ACD【解析】对于A 中，根据向量的平行四边形法则，若AM =12AB +12AC =12(AB +AC)，则点M 是边BC 的中点，所以A 正确；对于B 中，由AM =2AB -AC ，则AM -AB =AB -AC ，即BM =CB，则B 为CM 的中点，所以B 错误；对于C 中，如图所示，由AM =-BM -CM ，可得AM +BM +CM =0，取BC 的中点D ，可得MA =-2MD，则点M 为△ABC 的重心，所以C 正确；对于D 中，由AM =xAB +yAC ，且x +y =13，所以3AM =3xAB +3yAC且3x +3y =1，设AN =3AM ，可得AN =3xAB +3yAC ，且3x +3y =1，所以N ,B ,C 三点共线，因为AN =3AM ，所以M 为AN 的一个三等分点(靠近A )，如图所示，所以S △MBC =23S △ABC ，即则△MBC 的面积是△ABC 面积的23，所以D 正确.故选：ACD .5(2024·山东枣庄·高一校考阶段练习)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O 、G 、H 分别是△ABC 的外心、重心、垂心，且M 为BC 的中点，则()A.OH =OA +OB +OCB.S △ABG =S △BCG =S △ACGC.AH =3OMD.AB +AC =4OM +2HM【答案】ABD【解析】A . ∵OG =12GH ,∴OG =13OH ,∵G 为重心，所以GA +GB +GC =0,所以OA -OG +OB -OG +OC -OG =0 ,所以OG =13(OA +OB +OC ),∴13OH=13(OA +OB +OC ),所以OH =OA +OB +OC ，所以该选项正确.B .S △BCG =12×BC ×h 1,S △ABC =12×BC ×h 2，由于G 是重心，所以h 1=13h 2，所以S △BCG =13S △ABC ，同理S △ABG =13S △ABC ,S △ACG =13S △ABC ,所以S △ABG =S △BCG =S △ACG ，所以该选项正确.C .AH =AG +GH =2GM +2OG =2(OG +GM )=2OM,所以该选项错误.D .OH =3OG ,∴MG =23MO +13MH ,∴GM =23OM +13HM ,所以AB +AC =2AM =6GM =623OM +13HM =4OM +2HM ,所以该选项正确.故选：ABD6(2024·安徽池州·高一统考期末)已知△ABC 的重心为O ，边AB ,BC ,CA 的中点分别为D ,E ,F ，则下列说法正确的是()A.OA +OB =2ODB.若△ABC 为正三角形，则OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA=0C.若AO ⋅AB -AC=0，则OA ⊥BC D.OD +OE +OF =0【答案】ACD【解析】对于A ，因为D 为△OAB 中AB 的中点，所以OA +OB =2OD ，所以A 正确；对于B ，因为△ABC 为正三角形，所以OA ⋅OB =OA 2cos120°=-12OA 2，所以OA ⋅OB +OB ⋅OC +OC ⋅OA =-32OA2，所以B 不正确；对于C ，因为AO ⋅AB -AC =AO ⋅CB=0，所以OA ⊥BC ，所以C 正确；对于D ，因为O 为△ABC 的重心，D ,E ,F 分别为边AB ,BC ,CA 的中点，所以CO =2OD ，即2OD +OC =0 ，所以OD +OE +OF =12OA +OB +12OB +OC +12OA+OC=OA +OB +OC =2OD +OC =0 ，所以D 正确.故选：ACD .7(2024·广东广州·高一校考期末)下列命题正确的是()A.若A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上，且AB =CD ，则AB =CDB.在△ABC 中，若O 点满足OA +OB +OC =0，则O 点是△ABC 的重心C.若a =(1,1)，把a 右平移2个单位，得到的向量的坐标为(3,1)D.在△ABC 中，若CP =λCA |CA |+CB|CB |，则P 点的轨迹经过△ABC 的内心【答案】BD【解析】对于A ，依题意如图，但AB ≠CD，故选项A 错误；对于B ，设BC 的中点为D ，由于OA +OB +OC =0 ，即OA =-(OB +OC )，所以OA =-2OD ，所以O 点是△ABC 的重心，故选项B 正确；对于C ，向量平移后不改变方向和模，为相等向量，故选项C 错误；对于D ，根据向量加法的几何意义知，以CA |CA |和CB|CB |为邻边的平行四边形为菱形，点P 在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，故P 点的轨迹经过△ABC 的内心，故选项D 正确.故选：BD8(2024·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习)点O 在△ABC 所在的平面内，则下列结论正确的是()A.若OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA ，则点O 为△ABC 的垂心B.若OA +OB +OC =0 ，则点O 为△ABC 的外心C.若2OA +OB +3OC =0，则S △AOB :S △BOC :S △AOC =3:2:1D.若AO ⋅AB AB =AO ⋅AC AC 且CO ⋅CA CA =CO ⋅CB CB ，则点O 是△ABC 的内心【答案】ACD【解析】对A ：如图所示，OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA，则(OA -OC )⋅OB =CA ⋅OB =0，(OB -OC )⋅OA =CB ⋅OA =0，(OB -OA )⋅OC =AB ⋅OC =0，∴OB ⊥CA ,OA ⊥CB ,OC ⊥AB ，∴O 为△ABC 的垂心，A 正确；对B ：如图，取AB 的中点D ，连接OD ，由OA +OB +OC =0 ，则OA +OB =2OD =-OC ，∴O ，D ，C 三点共线，又CD 是△ABC 的中线，且|OC |=2|OD |，∴O 为△ABC 的重心，B 错误；对C ：如图：D ，E 分别是AC ，BC 的中点，由2OA +OB +3OC =0 ，∴2(OA +OC )+(OB +OC )=0 ，∴4OD +2OE =0 ，∴OE =-2OD ，∴OD =13DE =16AB ，OE =23DE =13AB ，则S △AOC =16S △ABC ，S △BOC =13S △ABC ，S △AOB =12S △ABC ，则S △AOB :S △BOC :S △AOC =3:2:1，C 正确；对D ：如图，∵AO ⋅AB |AB |=AO ⋅AC|AC |，∴|AO ||AB |cos ∠BAO |AB |=|AO ||AC |cos ∠CAO |AC|，∴cos ∠BAO =cos ∠CAO ，∴∠BAO =∠CAO ，即AO 为∠BAC 的平分线，同理由CO ⋅CA |CA |=CO ⋅CB|CB|得∠ACO =∠BCO ，即CO 为∠ACB 的平分线，∴O 为△ABC 的内心，D 正确．故选：ACD 三、填空题9(2024·甘肃武威·高一校联考期末)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若O 为△ABC 的重心，OB ⊥OC ,3b =4c ，则cos A =.【答案】56【解析】连接AO ，延长AO 交BC 于D ，由题意得D 为BC 的中点，OB ⊥OC ，所以OD =BD =CD =12a ，AD =32a .因为∠ADB +∠ADC =π，所以cos ∠ADB +cos ∠ADC =94a 2+14a 2-c 22×32a ×12a +94a 2+14a 2-b 22×32a ×12a =0，得b 2+c 2=5a 2.故cos A =b 2+c 2-a 22bc=b 2+c 2-15b 2-15c 22bc=25b c +c b=25×34+43 =56.故答案为:56.10(2024·全国·高一专题练习)点O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上△ABC 的三个顶点，∠B 、∠C 分别是边AC 、AB 的对角，以下命题正确的是(把你认为正确的序号全部写上)．①动点P 满足OP =OA +PB +PC，则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；②动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC|AC |(λ>0)，则△ABC 的内心一定在满足条件的P 点集合中；③动点P 满足OP =OA +λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C(λ>0)，则△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中；④动点P 满足OP =OA+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，则△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中；⑤动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，则△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合中．【答案】①②③④⑤【解析】对于①，因为动点P 满足OP =OA +PB +PC，∴AP =PB +PC ，则点P 是△ABC 的重心，故①正确；对于②，因为动点P 满足OP =OA+λAB |AB |+AC |AC |(λ>0)，∴AP =λAB |AB |+AC |AC |(λ>0)，又AB |AB |+AC |AC |在∠BAC 的平分线上，∴AP与∠BAC 的平分线所在向量共线，所以△ABC 的内心在满足条件的P 点集合中，②正确；对于③，动点P 满足OP =OA +λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C(λ>0)，∴AP =λAB |AB |sin B +AC|AC|sin C，(λ>0)，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则|AB |sin B =|AC|sin C =AD ，AP =λAD(AB +AC )，向量AB +AC 与BC 边的中线共线，因此△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中，③正确；对于④，动点P 满足OP =OA +λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，∴AP =λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，∴AP ⋅BC =λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C⋅BC =λ(|BC |-|BC |)=0，∴AP ⊥BC ，所以△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；对于⑤，动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C(λ>0)，设OB +OC2=OE，则EP =λAB |AB |cos B +AC|AC|cos C，由④知AB |AB |cos B +AC|AC|cos C⋅BC =0，∴EP ⋅BC=0，∴EP ⊥BC ，∴P 点的轨迹为过E 的BC 的垂线，即BC 的中垂线；所以△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．故答案为：①②③④⑤．11(2024·辽宁·高一校联考期末)某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点).如图，已知锐角△ABC外接圆的半径为2，且三条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=3，则sin∠PAC=；若AC:AB:BC=6:5: 4，则PA+PB+PC的值为.【答案】74234/5.75【解析】设外接圆半径为R，则R=2，由正弦定理，可知ABsin∠ACB=3sin∠ACB=2R=4，即sin∠ACB=34，由于∠ACB是锐角，故cos∠ACB=74，又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即AP⊥BC,故∠PAC=π2-∠ACB，所以sin∠PAC=cos∠ACB=7 4；设∠CAB=θ,∠CBA=α,∠ACB=β，则∠PAC=π2-β,∠PBA=π2-θ,∠PAB=π2-α，由于AC:AB:BC=6:5:4，不妨假设AC=6,AB=5,BC=4，由余弦定理知cosθ=62+52-422×6×5=34,cosα=42+52-622×4×5=18,cosβ=42+62-522×4×6=916，设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于∠ECB+∠EBC=π2,∠PCD+∠CPD=π2,故∠EBC=∠CPD ,则得∠APC=π-∠CPD=π-∠EBC=π-∠ABC，所以PCsinπ2-β=PAsinπ2-θ=ACsin∠APC=ACsin∠ABC=2R=4，同理可得PBsinπ2-α=ABsin∠APB=ABsin∠ACB=2R=4，所以PA+PB+PC=4cosθ+cosα+cosβ=434+18+916=234,故答案为：74；23412(2024·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末)已知P 为△ABC 所在平面内一点，有下列结论：①若P 为△ABC 的内心，则存在实数λ使AP =λAB |AB |+AC|AC |；②若PA +PB +PC =0 ，则P 为△ABC 的外心；③若PA =PB =PC ，则P 为△ABC 的内心；④若AP =13AB +23AC ，则△ABC 与△ABP 的面积比为2:3．其中正确的结论是．(写出所有正确结论的序号)【答案】①【解析】设AB 中点D ，对于①若P 为△ABC 的内心，所以P 在∠BAC 的角平分线上，因为AB |AB |为AB 方向上的单位向量，AC|AC |为AC 方向上的单位向量，令AE =AB |AB |+AC|AC |，所以AE 在∠BAC 的角平分线上，即AE 与AP共线，所以存在实数λ使AP =λAE ，即AP =λAB |AB |+AC|AC |，故①正确；对于②，若PA +PB +PC =0，则2PD +PC =0 ，所以P 在中线CD 上且CP =2PD ，即P 为三角形重心，故②错误；对于③，PA =PB =PC，所以P 为△ABC 的外心，故③错误；若AP =13AB +23AC ，则13(AB -AP )+23(AC -AP )=0 ，即PB +2PC =0 ，所以P 为BC 上靠近C 的三等分点，所以BP =2PC ，故△ABC 与△ABP 的面积比为3:2，故④错误．故答案为：①13(2024·广西河池·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，已知AB =5，AC =3，A =2π3，I 为△ABC 的内心，CI 的延长线交AB 于点D ，则△ABC 的外接圆的面积为，CD =.【答案】 49π3/493π；372/327.【解析】由余弦定理得BC 2=25+9-2×5×3×-12=49，∴BC =7.设三角形的外接圆的半径为R , 所以732=2R ，∴R =733,所以△ABC 的外接圆的面积为π×7332=493π.由余弦定理得cos ∠ACB =49+9-252×7×3=1114=1-2sin 2∠ACD ,所以sin ∠ACD =2114，cos ∠ACD =5714.所以sin ∠ADC =sin (∠A +∠ACD )=32×5714-12×2114=217.由正弦定理得3217=CD 32,∴CD =327.故答案为：49π3；372.14(2024·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +ACAC cos C ，λ∈0,+∞ ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的(填序号)．①内心 ②垂心 ③ 重心 ④外心【答案】④【解析】设BC 的中点为D ，∵OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +AC AC cos C，∴OP =OD +λAB AB cos B +ACAC cos C ，即DP =λAB AB cos B +ACAC cos C，两端同时点乘BC ，∵DP ⋅BC =λAB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCAC cos C =λAB ⋅BC cos π-B AB cos B +AC ⋅BC cos C ACcos C=λ-BC +BC=0，所以DP ⊥BC ，所以点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过△ABC 的外心故答案为：④.15(2024·高一课时练习)已知O 为△ABC 的内心，∠BAC =π3，且满足AO =xAB +yAC ，则x +y 的最大值为．【答案】23【解析】如图，延长AO 交BC 于D ，设BC ,AC 分别与圆切于点E ,F ，则OE =OF ，OE ≤OD ，设AD =λAO ，则AD =λxAB +λyAC ，因为B ,D ,C 三点共线，所以λx +λy =1，x +y =1λ=AO AD =AO AO +OD ≤AO AO +OE =11+OE AO =11+OF AO =11+sin A 2=11+sin π6=23，当且仅当D ,E 重合时等号成立．所以x +y 的最大值为23．故答案为：23．16(2024·高一课时练习)已知A ，B ，C 是平面内不共线的三点，O 为ΔABC 所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足OP =132-2λ OD +1+2λ OCλ∈R ，则点P 的轨迹一定过△ABC 的(填“内心”“外心”“垂心”或“重心”).【答案】重心【解析】根据已知条件判断P ,C ,D 三点共线，结合重心的定义，判断出P 的轨迹过三角形ABC 的重心.∵点P 满足OP =132-2λ OD +1+2λ OC λ∈R ，且132-2λ +131+2λ =1，∴P ，C ，D 三点共线.又D 是AB 的中点，∴CD 是边AB 上的中线，∴点P 的轨迹一定过ΔABC 的重心.故答案为：重心17(2024·高一课时练习)已知点O 是ΔABC 的内心，若AO =37AB +17AC，则cos ∠BAC =.【答案】16【解析】因为-OA =37OB -OA +17OC-OA ，即OC =-3OA +OB ，取AB 中点D ，连接OD ，则OA +OB =2OD ，故OC =-6OD，故点C ,O ,D 共线，又∠ACO =∠BCO ，故AC =BC ，且CD ⊥AB ，所以cos ∠BAC =DA CA=OD OC =16.故答案为：16.18(2024·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考阶段练习)已知点O 是△ABC 的外心，AB =6，BC =8，B =2π3，若BO =xBA +yBC ，则3x +4y =．【答案】7【解析】如图，∵AB =6，BC =8，B =2π3，且BO =xBA +yBC ，∴BO ⋅BA =|BO |⋅|BA |⋅cos ∠ABO =12|BA |2=18，BO ⋅BC =|BO ||BC |⋅cos ∠CBO =12|BC |2=32，BA ⋅BC =6×8×-12 =-24，∴BO ⋅BA =xBA 2+yBA ⋅BC BO ⋅BC =xBA ⋅BC +yBC2 ，∴18=36x -24y 32=-24x +64y ，整理得，6x -4y =38y -3x =4 ，∴(6x -4y )+(8y -3x )=3x +4y =7．故答案为：719(2024·湖北武汉·高一期末)△ABC 中，AB =2，BC =26，AC =4，点O 为△ABC 的外心，若AO =mAB +nAC ，则实数m =．【答案】45/0.8【解析】由BC =AC -AB 可得BC 2=AC -AB 2=AC 2+AB 2-2AB ⋅AC =4+16-2AB ⋅AC =24，所以，AB ⋅AC =-2，同理可得BA ⋅BC =6，CA ⋅CB =18，故AB AC cos A <0即cos A <0，而A ∈0,π ，故A 为钝角.如下图所示：取线段AC 的中点E ，连接OE ，由垂径定理可得OE ⊥AC ，则AO ⋅AC =AE +EO ⋅AC =AE ⋅AC +EO ⋅AC =12AC 2，同理可得AO ⋅AB =12AB 2，因为AO =mAB +nAC ，则AO ⋅AC =mAB +nAC ⋅AC =mAB ⋅AC +nAC 2=-2m +16n =12AC 2=8；AO ⋅AB =mAB +AC ⋅AB =mAB 2+nAB ⋅AC =12AB 2，即4m -2n =2，故m =45故答案为：45.20(2024·湖北·高一校联考阶段练习)在△ABC 中，已知AB =2,AC =5,∠BAC =60°，P 是△ABC 的外心，则∠APB 的余弦值为.【答案】1319【解析】BC 2=AB 2+AC 2-2AB ⋅AC cos60°=4+25-10=19，故BC =19，设△ABC 的外接圆半径为R ，则R =BC 2sin60°=573，△APB 中，cos ∠APB =R 2+R 2-42R 2=1-2R 2=1319.故答案为：1319.21(2024·四川达州·高一达州中学校考阶段练习)设O 为△ABC 的外心a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若b =3，c =5，则OA ⋅BC =．【答案】8【解析】如图所示，因为O 为△ABC 的外心，取AB 中点E ，则OE ⊥AB ，则AO ⋅AB =OA AB cos ∠OAB =AB OA cos ∠OAC =AB ⋅12AB =12c 2=252，同理AO ⋅AC =12b 2=92，所以OA ⋅BC =OA ⋅AC -AB =-AO ⋅AC -AB =-AO ⋅AC +AO ⋅AB =-92+252=8．故答案为：822(2024·广东汕头·高一金山中学校考期末)已知O 为△ABC 的外心，若AO ⋅BC =4BO ⋅AC ，则cos A 最小值.【答案】34【解析】∵O 为△ABC 的外心，若AO ⋅BC =4BO ⋅AC ，∴AO ⋅AC -AB =4BO ⋅BC -BA ,∴AO ⋅AC -AO ⋅AB =4BO ⋅BC -4BO ⋅BA ，∴12AC 2-12AB 2=4×12BC 2-4×12BA 2,即b 2-c 2=4a 2-4c 2，即b 2+3c 2=4a 2，∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-b 2+3c 242bc=3b 2+c 28bc ≥23bc 8bc=34,当且仅当3b =c 时取等号，∴cos A 的最小值为34.故答案为:34.23(2024·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末)某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O 是△ABC 内的一点，且存在x ,y ,z ∈R ，使得xOA +yOB +zOC =0 ，则S △AOB :S △AOC :S △COB =z :y :x ．请以此结论回答：已知在△ABC 中，∠A =π4，∠B =π3，O 是△ABC 的外心，且AO =λAB +μAC λ,μ∈R ，则λ+μ=．【答案】33/133【解析】如图，因为O 是△ABC 的外心，所以∠BOC =2∠BAC =π2,∠AOC =2∠ABC =2π3,∠BOA =2∠BCA =5π6，由结论可得S △BOC ⋅OA +S △AOC ⋅OB +S △BOA ⋅OC =0 ，即12R 2sin ∠BOC ⋅OA +12R 2sin ∠AOC ⋅OB +12R 2sin ∠BOA ⋅OC =0 ，可得sin π2⋅OA +sin 2π3⋅OB +sin 5π6⋅OC =0 ，即OA +32OB +12OC =0 .因为AO =λAB +μAC =λ(OB -OA )+μ(OC -OA )，所以(1-λ-μ)OA +λOB +μOC =0 ，所以λ1-λ-μ=32μ1-λ-μ=12 ，即λ+μ1-λ-μ=3+12，即1-(λ+μ)λ+μ=3-1，解得λ+μ=33.故答案为：33.24(2024·辽宁大连·高一育明高中校考期末)已知点P 在△ABC 所在的平面内，则下列各结论正确的有①若P 为△ABC 的垂心，AB ⋅AC =2，则AP ⋅AB =2②若△ABC 为边长为2的正三角形，则PA ⋅PB +PC 的最小值为-1③若△ABC 为锐角三角形且外心为P ，AP =xAB +yAC 且x +2y =1，则AB =BC④若AP =1AB cos B +12 AB +1AC cos C +12AC ，则动点P 的轨迹经过△ABC 的外心【答案】①③④【解析】对于①，若P 为△ABC 的垂心，则AB ⋅PC =0，又AB ⋅AC =2，所以AP ⋅AB =AB ⋅AC +PC =AB ⋅AC +AB ⋅PC =2+0=2，①正确；对于②，取CB 的中点O ，连接OA ，以O 为坐标原点，BC ，OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，则B -1,0 ,C 1,0 ,A 0,3 ，设P m ,n ，则PA ⋅PB +PC =-m ,3-n ⋅-2m ,-2n =2m 2+2n 2-23n =2m 2+2n -32 2-32，故当m =0,n =32时，PA ⋅PB +PC =2m 2+2n -32 2-32取得最小值，最小值为-32，②错误；对于③，有题意得AP =xAB +yAC =1-2y AB +yAC ，则AP -AB =y -2AB +AC ，即BP =y BA +BC ，如图，设D 为AC 的中点，则BA +BC =2BD ，故BP =2yBD ，故B ,P ,D 三点共线，因为P 是△ABC 的外心，所以BD 垂直平分AC ，所以AB =BC ，③正确；对于④，AP =AB AB cos B +AC AC cos C +12AB +AC ，AP ⋅BC =AB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BC AC cos C +12AB +AC ⋅BC=AB ⋅BC cos π-B AB cos B +AC ⋅BC cos C AC cos C +12AB +AC ⋅BC =-BC +BC +12AB +AC ⋅BC =12AB +AC ⋅BC ，所以2AP ⋅BC =AB +AC ⋅BC ，如图，设E 是BC 的中点，则AB +AC =2AE ，故2AP ⋅BC =2AE ⋅BC ，即AP -AE ⋅BC =EP ⋅BC =0，故则动点P 的轨迹经过△ABC 的外心，④正确.故答案为：①③④25(2024·全国·高一专题练习)(1)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC )，λ∈(0,+∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的(填“内心”“外心”“重心”或“垂心” )．(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP =OA +λAB |AB |+AC |AC |，λ∈(0,+∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的．(填“内心”“外心”“重心”或“垂心” )【答案】 重心内心【解析】空1：由已知，AP =λ(AB +AC )，根据平行四边形法则，设△ABC 中BC 边的中点为D ，知AB +AC =2AD ，∴AP =2λAD ，∴AP ⎳AD ，则A ，P ，D 三点共线，∴点P 的轨迹必过△ABC 的重心；空2：由已知，AP =λAB |AB |+AC |AC |，而AB |AB |表示与AB 同向的单位向量，AC |AC |表示与AC 同向的单位向量，∴AP 在∠BAC 的角平分线上，∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．故答案为：重心；内心．四、解答题26(2024·全国·高一专题练习)已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，AP =pPB ，AQ =qQC .(1)求GA +GB +GC ；(2)求证：1p +1q=1.(3)求S 1S 2的取值范围.【解析】(1)延长AG 交BC 于D ，则D 为BC 中点，∴GB +GC =2GD ，∵G 是重心，∴GA =-2GD ，∴GA +GB +GC =-2GD +2GD =0 ；(2)设AB =a ,AC =b ，∵AP =pPB ，∴AP =p 1+p a ，∴a =1+p p AP ∵AQ =qQC ，∴AQ =q 1+q b ，∴b =1+q q AQ ∵AG =23AD =23⋅12(AB +AC )=13a +b =13⋅1+p p AP +13⋅1+q qAQ 且P ,G ,Q 三点共线，∴13⋅1+p p +13⋅1+q q =1，∴1p +1 +1q+1 =3即1p +1q =1；(3)由(2)AP =p 1+p AB ，AQ =q 1+q AC ，∴S 1S2=12AP ⋅AQ ⋅sin ∠BAC 12AB ⋅AC ⋅sin ∠BAC =AP ⋅AQ AB ⋅AC =p 1+p ⋅q 1+q ，∵1 p +1q=1，q=pp-1，可知p>1，∴S1S2=p1+p⋅q1+q=p1+p⋅p2p-1=p22p2+p-1=1-1p2+1p+2=1-1p-122+94，∵p>1，∴0<1p<1，则当1p=12时，S1S2取得最小值49，当1p=1时，S1S2取得最大值12，∵1 p ≠1，则S1S2的取值范围为49,12.。
三角形的“四心讲解”-初升高数学衔接(含解析)
三角形的“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”讲解【知识衔接】————初中知识回顾————1、重心：三角形的三条中线交点．2、外心：是三角形三边中垂线的交点．3、内心：是三角形的三内角平分线的交点．4、垂心：是三角形三条高的交点．————高中知识链接————1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部．2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．学-科网3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内．4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外．【经典题型】初中经典题型例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．三边BC、CA、AB的中点，已知：D、E、F分别为ABC求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1．证明：连结DE，设AD、BE交于点G，D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12DE AB ， GDE ∆∴∽GAB ∆，且相似比为1：2，GE BG GD AG 2,2==∴．设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F则G 与'G 重合， ∴AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1．例2：已知ABC ∆的三边长分别为,,BC a AC b AB c ，I 为ABC ∆的内心，且I 在ABC ∆的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF ． 证明：作ABC ∆的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，例3：已知：O 为ABC ∆的重心和内心，求证：ABC ∆为等边三角形．证明：如图，连AO 并延长交BC 于D ，O 为三角形的内心，故AD 平分BAC ∠， DC BD AC AB =∴(角平分线性质定理) O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC ． 1=∴AC AB ，即AB AC ．同理可得，A B =BC ．ABC ∆∴为等边三角形．例4：已知：ABC ∆中，，于于E AC BE D BC AD ⊥⊥,AD 与BE 交于H 点．求证：AB CH ⊥．高中经典题型1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为 ，重心到垂心的距离为 ．【答案】6.5，3142、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径r ＝ ．【答案】23、在△ABC 中，∠A 是钝角，O 是垂心，AO ＝BC ，则cos(∠OBC+∠OCB)= ．【答案】22- 4、设G 为△ABC 的重心，且AG ＝6，BG ＝8，CG ＝10，则△ABC 的面积为 ．【答案】725、若︒<<︒900α，那么以αsin 、αcos 、ααcot tan ⋅为三边的△ABC 的内切圆，外接圆的半径之和为 ．A 、)cos (sin 21αα+B 、)cot (tan 21αα+ C 、ααcos sin 2D 、ααcos sin 1⋅ 【答案】A 【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是( )A ． 三条中线的交点B ． 三条高线交点C ． 三个内角平分线交点D ． 三边垂直平分线交点【答案】C【解析】试题解析：如图，∵OG ⊥AB ，OF ⊥AC ，OG =OF ，∴O 在∠A 的平分线上，同理O 在∠B 的平分线上，O 在∠C 的平分线上，即O 是三条角平分线的交点，故选C ．2．已知等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，G 是△ABC 的重心，那么AG=_____．【答案】【解析】分析：如图延长AG 交BC 于H ．利用等腰三角形的三线合一，可知AH 是高，利用勾股定理求出AH ，根据重心的性质AG =AH 计算即可．详解：如图延长AG 交BC 于H ．∵G是重心，∴BH=CH=3．∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=．故答案为：．3．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC ＝6，那么线段GE的长为______．【答案】2【解析】分析：由点G是△ABC重心，BC=6，易得CD=3，AG：AD=2：3，又由GE∥BC，可证得△AEG∽△ACD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得线段GE的长．详解：∵点G是△ABC重心，BC=6，∴CD=BC=3，AG：AD=2：3，∵GE∥BC，∴△AEG∽△ADC，∴GE：CD=AG：AD=2：3，∴GE=2．故答案为：2．点睛：本题考查了三角形重心的定义和性质、相似三角形的判定和性质．利用三角形重心的性质得出AG：AD=2：3是解题的关键．4．已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是________．【答案】4【解析】分析：根据三角形重心的性质进行求解．详解：如图，D是BC边的中点，∵G是△ABC的重心，∴AG=2GD=8，即GD=4，故点G与边BC中点之间的距离是4．故答案为4．5．如图，等腰直角ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为42，则线段AG的长为_______．45【解析】∵F为AB中点，E为BC中点，∴中线AE、CF的交点G为ACB的重心，∴:2:1CG GF=，∵42AB=ACB，∴1222AF AB==1233GF CF==，CF AB⊥于F，∴Rt AGF中，22845 89AG AF GF=+=+=点睛：本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中心的概念和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．6．．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8．故答案为：8．点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解．7．阅读下面材料：如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高．小明的作法如下：(1)连接AD，BE，它们相交于点P；(2)连接CP并延长，交AB于点F．所以，线段AD ，BE ，CF 就是所求的△ABC 的三条高．请回答，小明的作图依据是________．【答案】半圆(或直径)所对的圆周角是直角，三角形三条高线相交于一点．【解析】∵AB 是直角，∴∠AEB ＝90°，∠ADB =90°，∴AD ,BE 是△ABC 的高．∵三角形三条高线相较于一点，∴CF 是△ABC 的高8．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于D ，如果3cm AC =，那么AE DE +等于_________cm ．【答案】3【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE DE =，从而得出AE DE AE CE +=+3cm AC ==．故填3． 9．ABC ∆中，点O 是ABC ∆内一点且到ABC ∆三边的距离相等， 40A ∠=︒，则BOC ∠=_________．【答案】110°【解析】试题解析：如图，∵O 到三角形三边距离相等，∴O 是内心，∴AO ，BO ，CO 都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=12∠ABC ，∠BCO=∠ACO=12∠AC B ， ∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°-70°=110°．10．两个城镇A B 、与一条公路CD ，一条河流CE 的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A B 、的距离必须相等，到CD 和CE 的距离也必须相等，且在DCE ∠的内部，请画出该山庄的位置P ．(不要求写作法，保留作图痕迹．)【答案】作图见解析．试题解析：如下图，作线段AB 的中垂线与DCE ∠的平分线交于点P ,点P 即为所求．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1、在锐角△ABC 中，内角为A 、B 、C 三边为a 、b 、c ，则内心到三边的距离之比为 ，重心到三边的距离为 ，外心到三边的距离之比为 ，垂心到三边的距离之比为 ．2、如图，锐角△ABC 的垂心为H ，三条高的垂足分别为D 、E 、F ，则H 是△DEF 的 ．3、如图，D 是△ABC 的边BC 上任一点，点E 、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心连结EF 交AD 于G 点，DG ：GA ＝ ．4、设△ABC 的重心为G ，GA ＝32，22=GB ，2=GC ，则ABC S ∆＝ ．5、若H 为△ABC 的重心，AH ＝BC ，则∠BAC 的度数是( )A 、45°B 、30°C 、30°或150°D 、45°或135°6、已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AB ＝10，AC ＝9，DE ＝12，求平行四边形ABCD 的面积． B 组参考答案1、1：1：1；c b a 1:1:1； C B A cos :cos :cos ； C B A cos 1:cos 1:cos 1 2、内心3、21 4、265、D6、分析：设AC 交DE 于G ，可推出G 为△ABD 的重心，∠EGA ＝90°，故可求出EGA S ∆及S □ABCD 。
专题14相似三角形判定定理的证明(2个知识点6种题型1种中考考法)解析版-初中数学北师大版9年级上册
【答案】△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，证明见解析. 【分析】根据相似三角形的判定定理可以直接写出图中有 3 对相似三角形；可以利用相似三角形的判定定 理两组角对应相等的两个三角形相似来证明△AMF∽△BGM． 【详解】图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM． 以下证明△AMF∽△BGM． ∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知），∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠ BMG，∠A＝∠B，∴△AMF∽△BGM． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．解答此题，要找出对应角相等来证明三角形相似． 【变式】（2022 秋·九年级课时练习）如图，在 △ABC 和 △ADE 中，∠BAD=∠CAE, ∠ABC=∠ADE. （1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）； （2）请证明你写出的两对相似三角形.
∴△ABC∽△A′B′C′．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明，作出辅助线，证明△ADE≌△A′B′C′，是解题的关键．
【例 3】（2022 秋·九年级课时练习）已知：在△ABC 和△A′B′C′中，
AB AB
BC BC
AC AC
9三角形四心问题课件-江苏省宝应县氾水高级中学2021年初高中衔接数学
对旁心不作要求，理解即可！
课堂检测
3、关于三角形的“四心”的补充说明
(1)等腰三角形底边上三线(角平分线、中线、高线)合一，
因而在等腰三角形 ABC 中，三角形的内心 I、重心 G、
垂心 H 必然在一条直线上；
(2)正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心(内心、
重心、垂心、外心)合一，该点称为正三角形的中心。
且相似比为 1：2， AG 2GD, BG 2GE .
设 AD、CF 交于点 G ' ，同理可得，
AG ' 2G ' D，CG ' 2G ' F 则 G 与 G ' 重合，
AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成 2 :1
数学应用
例 2、求证：三角形的三条高交于一点。
已知： ABC 中， AD
BE
边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部；
③内心： 三角形的三条内角平分线的交点(内切圆圆
心)，它到三边的距离相等，内心一定在三角
形内部；
知识梳理
2、三角形的“四心”
④垂心：三角形三条高的交点，垂心和三角形的三个顶点，
三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的
垂心在三角形内部，直角三角形的垂心为直角顶
心，若 = , = ,则OG＝
(6)如图，AB=BC，CD=DE，若∆ABF的面积为18，则∆BCE
的面积为______
课堂检测
AB AC
2、如图，在△ABC中，已知
，
AD AE
AD AE
求证：
。
DB EC
课堂检测
3、如图，在∆中， D, E 为边 AB，AC 上的点，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题14 平行线分线段成比例定理及三角形的“四心”一、知识点精讲（一）平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l ，直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图，123////l l l ，有AB DE BC EF =.当然，也可以得出AB DE AC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.二、典例精析【典例1】．如图， 123////l l l ，且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF .【答案】见解析【解析】1232////,,3AB DE l l l BC EF \==Q 28312,.235235DE DF EF DF ====++ 【典例2】在ABC V 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DE AB AC BC == 【答案】见解析【解析】证明（1） //,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠QADE ∴V ∽ABC V ，.AD AE DE AB AC BC∴== 证明（2）如图过A 作直线//l BC ，////,l DE BC Q AD AE AB AC∴=. 过E 作//EF AB 交AB 于D ，得BDEF Y ，因而.DE BF =//,.AE BF DE EF AB AC BC BC∴==Q .AD AE DE AB AC BC ∴== 从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.【典例3】已知ABC V ，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上.【答案】见解析【解析】假设能找到，如图3.1-4，设EC 交BD 于F ，则F 为EC 的中点，作//EG AC 交BD 于G .//,EG AC EF FC =Q ，∴EGF CDF ≅V V ，且EG DC =， 1//,2EG AD BEG BAD ∴V :V ，且1,2BE EG BA AD == E ∴为AB 的中点.可见，当E 为AB 的中点时，EC 的中点在BD 上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.【典例4】在ABC V 中，AD 为BAC Ð的平分线，求证：AB BD AC DC=. 【答案】见解析【解析】证明： 过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ，//,.BA BD AD CE AE DC\=Q Q AD 平分,,BAC BADDAC 衆?? 由//AD CE 知,,BAD E DAC ACE ?行=?,,E ACE AEAC \??即AB BD AC DC \=. 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.【典例5】如图3.1-12,在直角三角形ABC 中，BAC Ð为直角，AD BC D ^于.求证：（1）2AB BD BC =?，（2）2AC CD CB =?；（3）2AD BD CD =?【答案】见解析【解析】证明 （1）在Rt BAC V 与Rt BDA V 中，B B ??，BAC \V ∽BDA V ，2,.BA BC AB BD BC BD BA\==?即 同理可证得2AC CD CB =?.（2）在Rt ABD V 与Rt CAD V 中，90o C CAD BAD ?-??，Rt ABD \V ∽Rt CAD V ，2,.AD DC AD BD DC BD AD\==?即 我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.（二）三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图，在三角形ABC V 中，有三条边,,AB BC CA ，三个角,,A B C 行?，三个顶点,,A B C ，在三角形中，角平分线、中线、高是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.【典例6】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.【答案】见解析【解析】已知：D 、E 、F 分别为ABC V 三边BC 、CA 、AB 的中点，求证：AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.证明：如图连结DE ，设AD 、BE 交于点G ，Q D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12DE AB =， GDE \V ∽GAB V ，且相似比为1：2，2,2AG GD BG GE \==.设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F ==则G 与'G 重合，\ AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.【典例7】已知ABC V 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为ABC V 的内心，且I 在ABC V 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c a AE AF +-==. 【答案】见解析【解析】证明 作ABC V 的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点， ,AE AF Q 为圆的从同一点作的两条切线，AE AF \=，同理，BD =BF ，CD =CE .22b c a AF BF AE CE BD CDAF AE AF AE\+-=+++--=+== 即2b c a AE AF +-==.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.【典例8】求证：三角形的三条高交于一点.【答案】见解析【解析】已知 ABC V 中，,AD BC D BE AC E ^^于于，AD 与BE 交于H 点. 求证 CH AB ^.证明 以CH 为直径作圆，,,90,o AD BC BE AC HDC HEC ^^\??QD E \、在以CH 为直径的圆上，FCB DEH \??.同理，E 、D 在以AB 为直径的圆上，可得BED BAD ??.BCH BAD \??，又ABD V 与CBF V 有公共角B Ð，90o CFBADB \??，即CH AB ^.过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.C O等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC 中，三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.三、对点精练1. 在ABC V 中，3,2.AB AC BC ===求（1）ABC V 的面积ABC S V 及AC 边上的高BE ；（2）ABC V 的内切圆的半径r ；（3）ABC V 的外接圆的半径R.【答案】见解析【解析】（1）如图，作AD BC ⊥于D .,AB AC D =∴Q 为BC 的中点， 2222,12222 2.2ABC AD AB BD S ∴=-=∴=⨯⨯=V 又1,2ABC S AC BE =⋅V 解得423BE =. （2）如图，I 为内心，则I 到三边的距离均为r ，连,,IA IB IC ， ABC IAB IBC IAC S S S S =++V V V V ，即11122222AB r BC r CA r =⋅+⋅+⋅，解得22r =. （3）ABC QV 是等腰三角形，∴外心O 在AD 上，连BO ，则Rt OBD V 中，,OD AD R =-222,OB BD OD =+222(22)1,R R ∴=-+解得92.R = 【说明】在直角三角形ABC 中，A Ð为直角，垂心为直角顶点A ， 外心O 为斜边BC 的中点，内心I 在三角形的内部，且内切圆的半径为2b c a +-（其中,,a b c 分别为三角形的三边BC ,CA ,AB 的长），为什么？（该直角三角形的三边长满足勾股定理：222AC AB BC +=.）2. 如图，在ABC V 中，AB =AC ，P 为BC 上任意一点.求证：22AP AB PB PC =-?.【答案】见解析【解析】证明：过A 作AD BC ^于D .在Rt ABD V 中，222AD AB BD =-.在Rt APD V 中，222AP AD DP =-.22222()().AP AB BD DP AB BD DP BD DP \=-+=-+-,,AB AC AD BC BD DC =^\=Q .BD DP CD DP PC \-=-=.22AP AB PB PC \=-?.3. 已知等边三角形ABC 和点P ，设点P 到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为123,,h h h ，三角形ABC 的高为h ，“若点P 在一边BC 上（如图a ），此时30h =，可得结论：123h h h h ++=.”请直接应用以上信息解决下列问题：当（1）点P 在ABC V 内（如图b ），（2）点在ABC V 外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，123,,h h h 与h 之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.【答案】见解析【解析】（1）当点P 在ABC V 内时，法一 如图，过P 作''B C 分别交,,AB AM AC 于',','B M C ，由题设知'AM PD PE =+，而'AM AM PF =-，故PD PE PF AM ++=，即123h h h h ++=.法二 如图，ABC PAB PAC PBC S S S S =++V V V V Q ， 11112222BC AM AB PD AC PE BC PF \????， 又AB BC AC ==，AM PD PE PF \=++，即123h h h h ++=.（2）当点P 在ABC V 外如图位置时，123h h h h ++=不成立，猜想：123h h h h +-=.注意：当点P 在ABC V 外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如123h h h h -+=，123h h h h --=等.在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法.。