医学统计学之方差分析
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医学统计学 -第08章 方差分析
第一节 方差分析的基本思想
看一个例子
例8-1 为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36 只肥胖模型大白鼠随机分为三组，每组12只，分别给 予高脂正常剂量钙(0.5%)、高脂高剂量钙(1.0%)和高 脂高剂量钙(1.5%)三种不同的饲料，喂养9周，测其 喂养前后体重的差值。问三组不同喂养方式下大白鼠 体重改变是否不同？
• 三种喂养方式体重改变的平均值各不相同，这种变异 称为组间变异
•
是组内均值
X
与总均值
i
X
之差的平方和
360
340
组间变异反映了：
320
三种喂养方式的差异（影响）， 300
同时也包含了随机误差。
280
260
240
k ni
220
SS组间
(Xi X )2
200
i1 j
180
X甲
X
X乙
X丙
甲
乙
丙
3、组内变异(SS组内，variation within groups)
0.05
2、根据公式计算SS、MS及F值，列于方差分析表内(计 算过程省略)
变异来源 总变异 组间 组内（误差）
完全随机设计的方差分析表
平方和 SS 自由度
均方MS
47758.32
35
31291.67
2
15645.83
16466.65
33
498.99
F值
31.36
3、确定P值，作出判断
分子自由度=k-1=2，分母自由度=n-k=33，查F 界值表（方差分析用）
表 8-1 三种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值(g)
正常钙(0.5%) 高剂量钙(1.0%) 高剂量钙(1.5%)
医学统计学八种检验方法
医学统计学八种检验方法医学统计学是医学研究中一个重要的分支，它通过对医学数据进行收集、整理和分析，以帮助医学研究者得出准确可靠的结论。
而在医学统计学中，检验方法是评价医学研究数据是否具有统计意义的一种重要工具。
下面将介绍医学统计学中常用的八种检验方法。
1.正态性检验：正态性检验是用来检验数据是否符合正态分布的统计性质。
常见的正态性检验方法有Shapiro-Wilk检验和Kolmogorov-Smirnov检验。
2.两独立样本t检验：该方法用于检验两个不相互依赖的样本均值之间是否存在差异。
适用于连续变量的比较，例如治疗前后的体重变化。
3.配对样本t检验：配对样本t检验适用于对同一组研究对象在不同时间或不同条件下进行比较。
如药物治疗前后患者的血压比较。
4.卡方检验：卡方检验是用来检验分类变量之间是否存在关联性的方法。
适用于分组数据的比较，例如男女性别与健康状况之间的关系。
5.方差分析：方差分析是用来检验多个组之间是否存在显著差异的方法。
适用于分析多个因素对结果的影响，如不同年龄组对某种疾病发生率的影响。
6.生存分析：生存分析用于研究事件发生时间和随时间而变化的危险率。
适用于研究患者生存期、疾病复发时间等，常见的分析方法有Kaplan-Meier曲线和Cox比例风险模型。
7.相关分析：相关分析用于研究两个连续变量之间的关系。
常见的相关分析方法包括皮尔逊相关系数和Spearman等级相关系数。
8.回归分析：回归分析用于研究一个或多个自变量对因变量的影响程度和方向的方法。
适用于分析影响因素较多的情况，如探讨年龄、性别、病情等因素对治疗效果的影响。
以上八种检验方法在医学统计学中被广泛运用，每种方法都有其适用的场景和注意事项。
在进行医学研究时，选择合适的检验方法能够提高研究结果的可靠性，从而为临床实践和医学决策提供准确依据。
因此，熟练掌握这些统计方法是每个医学研究者必备的基本技能。
医学统计学方差分析(ANOVA)
方差分析是为了比较多个总体样本均数是否存在差别。
该方法有RA.Fisher首先提出，后来由GW.Snedecor完善，为了纪念Fisher，故称方差分析为F检验。
组间均方：MS组间=SS组间/ v组间，SS代表离均差平方和，v代表自由度，组间变异包括处理效应和随机误差。
组内均方：MS组内=SS组内/ v组内，组内差异包括随机误差。
F=MS组间/MS组内，F接近1，说明组间差异不大。
方差分析的基本思想，首先将总变异分为组间和组内变异，然后计算两者的F 值。
F值越大，说明组间差异大，处理起作用，反之，则不起作用，是由随机误差导致的。
方差分析应用条件：1）样本独立；2）来自正态总体；3）方差齐性。
方差分析包括完全随机设计（completely random design）的方差分析，又叫单向（one-way）方差分析和随机区组设计（radomized block design）的方差分析又叫双向（two-way）方差分析。
完全随机设计的方差分析是将受试对象随机化的分配到各个处理组或对照组的方法，未考虑干扰因素的影响，各个组的样本数可以不一样多。
随机区组设计的方差分析将受试对象按照性质相同或相近组成b个区组，每个区组有g个受试对象，分别随机分配到g个处理组，这样各个处理组不仅样本个数相同，生物学特性也比较均衡。
方差分析拒绝H0，接受H1，只说明g个总体均数不全相等，如果想要进一步了解那两个组均数不等，需要进行两两比较或称多重比较，即post-hoc检验。
ANOVA与T test的关系：.。
医学统计学-8-方差分析
第二节 单因素方差分析
单因素方差分析
单因素方差分析：研究的是一个处理因素的 不同水平间效应的差别。
处 理 因 素
水平1 水平2 水平1 水平2 水平c
单因素方差分析
例1、某地用A、B和C三种方案治疗血红蛋 白含量不满10g的婴幼儿贫血患者，A方案 为每公斤体重每天口服2.5％硫酸亚铁1ml， B方案为每公斤体重每天口服2.5％硫酸亚 铁0.5ml，C方案为每公斤体重每天口服3g 鸡肝粉，治疗一月后，记录下每名受试者血 红蛋白的上升克数，资料见下表，问三种治 疗方案对婴幼儿贫血的疗效是否相同？
A、B、C三种方案治疗婴幼儿贫血的疗效观察表
治疗方案 A n=20
血红蛋白增加量（g） 1.8 1.4 0.5 1.2 2.3 2.3 3.7 0.7 2.4 0.5 2.0 1.4 1.5 1.7 2.7 3.0 1.1 3.2 0.9 2.5
B
n=19
0.2
0.0 2.1 -0.7
0.5
1.6 1.9 1.3
q XA XB
MSe 1 1 2 nA nB
ν=νe
一、q检验
例、在前面对某地用A、B和C三种方案治疗 血红蛋白含量不满10g的婴幼儿贫血患者的 例题（完全随机设计方差分析例1）进行了 方差分析，我们得出三组总体不等的结论。 究竟哪些总体均数之间存在着差别，我们需 要在前方差分析基础之上，再对该资料作两 两比较的q检验。
随机因素是无法避免的，而实质性差异是我们 需要得到的。 如何排除随机因素的干扰，利用样本信息对总 体均数间是否存在差异作出推断？
方差分析的基本思想
按照设计类型将总变异分解为处理因素引 起的变异和随机因素造成的变异； 以处理因素变异与随机因素变异之比来构 造检验统计量F。
医学统计学(方差分析)
03
各种变异的表示方法
04
列举存在的变异及意义
各种变异的表示方法
SS总 总 MS总
SS组内 组内 MS组内
SS组间 组间 MS组间
三者之间的关系： SS总= SS组内+ SS组间 总= 组内+ 组间
F=MS组间/MS组内
自由度： 组间=组数-1
组内=N-组数
通过这个公式计算出统计量F，查表求出对应的P值，与进行比较，以确定是否为小概率事件。
01
计算 C=(Σx) 2/N=(3309.5) 2/30=365093 SS总=Σx2-C=372974.87-365093=7881.87
α=0.05
02
SS组内=SS总-SS组间=7881.87-2384.026=5497.84
Ν总=N-1=29, Ν组间=k-1=2, Ν组内=N-k=30-3=27
159.0
111.0
115.0
合计Σxij
1160
921.5
1228
3309.5(Σx)
ni
11
9
10
30(N)
均数
105.45
102.39
122.80
110.32()
糖尿病
IGT
正常人
xij
106.5
Σ
Σxij2
123509.52
144.0
105.2
124.5
117.0
109.5
105.1
110.0
96.0
76.4
109.0
115.2
95.3
103.
95.3
各种变异的表示方法
04
列举存在的变异及意义
各种变异的表示方法
SS总 总 MS总
SS组内 组内 MS组内
SS组间 组间 MS组间
三者之间的关系： SS总= SS组内+ SS组间 总= 组内+ 组间
F=MS组间/MS组内
自由度： 组间=组数-1
组内=N-组数
通过这个公式计算出统计量F，查表求出对应的P值，与进行比较，以确定是否为小概率事件。
01
计算 C=(Σx) 2/N=(3309.5) 2/30=365093 SS总=Σx2-C=372974.87-365093=7881.87
α=0.05
02
SS组内=SS总-SS组间=7881.87-2384.026=5497.84
Ν总=N-1=29, Ν组间=k-1=2, Ν组内=N-k=30-3=27
159.0
111.0
115.0
合计Σxij
1160
921.5
1228
3309.5(Σx)
ni
11
9
10
30(N)
均数
105.45
102.39
122.80
110.32()
糖尿病
IGT
正常人
xij
106.5
Σ
Σxij2
123509.52
144.0
105.2
124.5
117.0
109.5
105.1
110.0
96.0
76.4
109.0
115.2
95.3
103.
95.3
1071医学统计学方差分析基本思想
计量资料多组均数的比较
知识点：方差分析基本思想
实际案例
• 实际案例：有研究者为探讨雌激素在预防骨质疏松症的作 用，用去卵巢雌性SD大鼠建立绝经后骨质疏松症动物模型， 观察卵巢切除后补充17-雌二醇对大鼠骨量的影响。 该研究者将30只10月龄SD雌性大鼠随机分为假手术组、 卵巢切除组和卵巢切除后补充17-雌二醇组，每组10只， 12周后处死大鼠，取其股骨测定重量，结果见表7.1。
和组内（即误差）变异。
组间变异
组内变异
总变异
（1）总变异：30只大鼠股骨重量的大小不同所引 起的总变异程度，这种变异称为总变异（total variation），其大小用全部观察值与总均数间的 离差的平方和，即离均差平方和（sum of squares of deviations from mean，SS）表示，记为SS总。
反之，若各组的总体均数不同，即处理因素有效 应），此时组间均方应明显大于误差均方，即MS 组间> MS误差,F > 1 。
F值要大到何种程度才有统计学意义，可以通过查 F界值表（方差分析用表）确定P值，作出统计推断。
用组内各鼠的股骨重量与该组均数的离差的平方和 表示（也称误差平方和），记为SS组内（误差），计算公式为
∑∑ k ni
SS误差 = SS组内 =
( xij - X i )2 ,
i=1 j=1
ν误 = ν组内 = N - k
• 以单因素方差分析为例：将总变异和自由度分别 进行分解
SS总 SS组间 SS组内
它反映了实验处理因素引起的变异，也包括了随机 误差引起的变异。
其大小用各组均数与总均数的离差的平方和表示， 记为SS组间，计算公式为：
∑k
SS组间 = ni( X i - X )2 ,
知识点：方差分析基本思想
实际案例
• 实际案例：有研究者为探讨雌激素在预防骨质疏松症的作 用，用去卵巢雌性SD大鼠建立绝经后骨质疏松症动物模型， 观察卵巢切除后补充17-雌二醇对大鼠骨量的影响。 该研究者将30只10月龄SD雌性大鼠随机分为假手术组、 卵巢切除组和卵巢切除后补充17-雌二醇组，每组10只， 12周后处死大鼠，取其股骨测定重量，结果见表7.1。
和组内（即误差）变异。
组间变异
组内变异
总变异
（1）总变异：30只大鼠股骨重量的大小不同所引 起的总变异程度，这种变异称为总变异（total variation），其大小用全部观察值与总均数间的 离差的平方和，即离均差平方和（sum of squares of deviations from mean，SS）表示，记为SS总。
反之，若各组的总体均数不同，即处理因素有效 应），此时组间均方应明显大于误差均方，即MS 组间> MS误差,F > 1 。
F值要大到何种程度才有统计学意义，可以通过查 F界值表（方差分析用表）确定P值，作出统计推断。
用组内各鼠的股骨重量与该组均数的离差的平方和 表示（也称误差平方和），记为SS组内（误差），计算公式为
∑∑ k ni
SS误差 = SS组内 =
( xij - X i )2 ,
i=1 j=1
ν误 = ν组内 = N - k
• 以单因素方差分析为例：将总变异和自由度分别 进行分解
SS总 SS组间 SS组内
它反映了实验处理因素引起的变异，也包括了随机 误差引起的变异。
其大小用各组均数与总均数的离差的平方和表示， 记为SS组间，计算公式为：
∑k
SS组间 = ni( X i - X )2 ,
医学统计学方差分析
SS误差 = SS总－ SS处理－ SS区组
处理=k－1,
区组= b－1
(1)F处理= MS处理/ MS误差 (2) F区组= MS区组/ MS误差
误差= 总 － 处理－ 区组
（1） H0: 三种方法治疗后血红蛋白增加量总体均数相等 H1: ……不等或不全相等
（2） H0:各区组血红蛋白增加量总体均数相等 H1: ……不等或不全相等
问题
某医师用Ａ、Ｂ和Ｃ三种方案治疗婴幼儿贫血患 者，治疗一个月后，血红蛋白的增加克数如下表，问三 种治疗方案对婴幼儿贫血的疗效是否相同？
表 ５ .１ 三 种 方 案 治 疗 后 血 红 蛋 白 增 加 量 （ ｇ ／ Ｌ ）
Ａ
Ｂ
Ｃ
24
20
20
36
18
11
25
17
6
14
10
3
26
19
0
34
24
-1
23
4
5
合计
n
7
6
8
21
Σ jΧ
182
108
48
338
Σ jΧ 2
5054
2050
608
7712
X
26
18
6
22.8
第四章 方差分析
Analysis of variance ANOVA
第四章 方差分析
•方差分析的基本思想
•应用与资料要求 • 完全随机设计资料的方差分析 •随机区组设计资料的方差分析 •拉丁方设计资料的方差分析 •交叉设计资料的方差分析 •多个样本均数间的多重比较 •析因设计资料的方差分析 •正交设计资料的方差分析 •多元方差分析 •常用的数据转换方法 •课堂讨论
医学统计学 方差分析
100.66
110.31
4
367.60
5
80.57
97.90
115.76
103.56
4
397.79
6
102.77
81.20
90.30
138.54
4
412.81
ni
6
6
6
6
24( n )
Xi
550.01
537.30
618.19
726.28
2431.78( X )
Xi
91.67
89.55
103.03
2 =32 得： F0.05(2,32) 3.30, F0.01(2,32) 5.34 ，P<0.01。按 =0.05 水准，拒绝 H0 ，
差别有统计学意义，可以认为喂养三种不同饲料的大鼠红细胞数的总体均数不 全相同。
随机区组设计的两因素方差分析
例9.2 利用随机区组设计研究不同温
度对家兔血糖浓度的影响，某研究者进行 了如下实验：将 24只家兔按窝别配成6个 区组， 每组 4 只， 分别随机分配到温度 15℃、 20℃、 25℃、 30℃的4个处理组 中，测量家兔的血糖浓度值(mmol/L)，结 果如下表9.4所示，分析4种温度下测量家 兔的血糖浓度值是否不同？
23
3742.5521
3
1247.5174 8.2717
1491.2744
5
298.2549 1.9776
2262.2511
15
150.8167
P
<0.01 >0.05
3. 确定 P 值，作出统计推断
根据处理组 F 值的分子的自由度处理 ，分母的自由度 误差 ；区组 F 值的分子的 自由度区组 ，分母的自由度 误差 查 F 界值表(附表 4)，得到处理组和区组的 P 值。 根据表 9.6，按 =0.05 水准，对于不同区组间，不拒绝 H0 ，尚不能认为不同窝 别家兔血糖浓度值不同；对于不同处理组间，拒绝 H0 ，接受 H1 ，差异具有统 计学意义，可以认为 4 种温度下家兔血糖浓度值不全相同，即处理组 4 个总体 均数中至少有 2 个不同。
医学统计学(课件)方差分析
要点二
原理
通过将因变量和协变量之间的关系线 性化，进行线性回归分析，并控制其 他因素的影响。
要点三
应用
医学研究中用于研究疾病与基因型、 环境因素之间的关系，社会科学中用 于研究收入和教育水平的关系等。
多重比较方法
01
定义
多重比较方法是方差分析的一种补充 方法，用于比较多个组之间的差异。
02
原理
通过比较每个组与对照组或其他组之 间的差异，推断各组之间的差异是否 具有统计学显著性。
重复测量方差分析
定义
重复测量方差分析是方差分析的另一种拓展，用于比较多次测量或重复观测的差异。
原理
通过将多次测量视为不同的观察对象，对测量误差进行控制和调整。
应用
医学研究中常用于比较不同治疗方案的效果，以及社会科学中研究时间序列数据的变化等。
协方差分析
要点一
定义
协方差分析是方差分析与其他统计方 法的结合，通过控制一个或多个协变 量对因变量的影响。
偏度检验
检查数据分布的偏斜程度。
峰度检验
检查数据分布的峰态。
正态性检验
通过图形和统计量判断数据是否符合正态分布。
方差齐性检验
• 方差齐性检验：通过Levene's Test或Bartlett's Test检验各组方差是否相等。
主效应检验
将数据按照分组变量进行分组，并 对每个分组变量的平均值进行计算 。
方差分析还可以与其他统计方法结合 使用，例如与回归分析结合可进行协 方差分析和混合线性模型分析等。
02
方差分析基本原理
数学模型
数学模型的假设
假定每个总体均数之间有差异，且每个总体均数与模型中其他变量的关系已知。
医学统计学方差分析
方差分析基于以下假设：观察值之间相互独立；每个组内的观察值服从正态分布；每个组内的观察值具有相同的方差。
定义与原理
方差分析适用于多个组间的均值比较。当数据不符合正态分布或方差不齐时，可以经过适当的转换或采用非参数方法进行比较。
方差分析可以用于实验设计中的多因素分析，例如研究不同药物、剂量、时间等因素对生物指标的影响。
方差分析的数学模型与假设
02
线性模型
方差分析常用于处理一个或多个分组间的均值差异，因此需要构建线性模型来描述数据。线性模型中，每个组的观察值与该组的均值呈线性关系。
随机误差项
在方差分析中，每个观察值被认为是由固定效应（组均值）和随机效应（随机误差项）组成的。随机误差项是随机变量，且独立同分布，服从正态分布。
《医学统计学方差分析》
xx年xx月xx日
CATALOGUE
目录
方差分析概述方差分析的数学模型与假设方差分析的步骤与实例方差分析的优缺点与注意事项方差分析在医学中的应用与案例方差分析的发展趋势与未来展望
方差分析概述
01
方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或更多组数据的均值差异。其原理是通过将数据的总变异分解为组间变异和组内变异，然后比较这两部分的变异是否具有显著性。
要点一
要点二
精度高
方差分析通过将每个观察值与各组均值进行比较，能够更准确地确定组间差异。
适用于多因素分析
方差分析可以同时考虑多个因素对实验结果的影响，适用于多因素的研究设计。
要点三
缺点
对数据正态性和独立性要求较高
方差分析要求数据符合正态分布，且各组观察值独立，否则可能导致分析结果的偏差。
对样本含量要求较高
方差分析对样本含量要求较高，样本含量过小可能导致统计效能较低。
定义与原理
方差分析适用于多个组间的均值比较。当数据不符合正态分布或方差不齐时，可以经过适当的转换或采用非参数方法进行比较。
方差分析可以用于实验设计中的多因素分析，例如研究不同药物、剂量、时间等因素对生物指标的影响。
方差分析的数学模型与假设
02
线性模型
方差分析常用于处理一个或多个分组间的均值差异，因此需要构建线性模型来描述数据。线性模型中，每个组的观察值与该组的均值呈线性关系。
随机误差项
在方差分析中，每个观察值被认为是由固定效应（组均值）和随机效应（随机误差项）组成的。随机误差项是随机变量，且独立同分布，服从正态分布。
《医学统计学方差分析》
xx年xx月xx日
CATALOGUE
目录
方差分析概述方差分析的数学模型与假设方差分析的步骤与实例方差分析的优缺点与注意事项方差分析在医学中的应用与案例方差分析的发展趋势与未来展望
方差分析概述
01
方差分析（ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或更多组数据的均值差异。其原理是通过将数据的总变异分解为组间变异和组内变异，然后比较这两部分的变异是否具有显著性。
要点一
要点二
精度高
方差分析通过将每个观察值与各组均值进行比较，能够更准确地确定组间差异。
适用于多因素分析
方差分析可以同时考虑多个因素对实验结果的影响，适用于多因素的研究设计。
要点三
缺点
对数据正态性和独立性要求较高
方差分析要求数据符合正态分布，且各组观察值独立，否则可能导致分析结果的偏差。
对样本含量要求较高
方差分析对样本含量要求较高，样本含量过小可能导致统计效能较低。
医学统计学(方差分析)
评估经济政策的 效果
研究设计：用于 设计实验和研究 方法
数据分析：用于 分析实验数据和 结果
假设检验：用于 检验假设和结论
结果解释：用于 解释实验结果和 结论
PRT FIVE
可以检验多个自变量对因变 量的影响
适用于多个样本均值比较
可以控制其他自变量的影响
可以检验自变量与因变量之 间的关系是否显著
确定研究目的和假设
选择合适的统计方法
收集数据并进行预处 理
对数据进行分组和分 类
计算方差和标准差
进行方差分析并解释 结果
添加标题 添加标题 添加标题 添加标题 添加标题 添加标题
确定研究设计：选择合适的方差分析类型如单因素方差分析、双因素方差分析或多因素方差分析 收集数据：收集实验或调查数据包括自变量和因变量 计算均值和方差：计算每个组的均值和方差以及总体均值和总体方差 计算F值：使用F分布表计算F值用于检验假设 确定P值：计算P值用于判断假设是否成立 得出结论：根据P值和F值得出结论如假设成立或不成立以及各组之间的差异是否显著。
异常值：需要检 查数据中是否存 在异常值如果存 在需要处理或剔 除
样本量：样本量 需要足够大否则 方差分析的结果 可能不准确
样本量：应足够大 以保证统计结果的 可靠性
分组数：应适中过 多或过少都会影响 结果的准确性
样本量与分组数的 关系：应根据研究 目的和实际情况进 行选择
样本量与分组数的 选择原则：应遵循 统计学原理和研究 设计要求
识别异常值：通过统计方法或经验判断识别异常值 处理方法：删除、替换或保留异常值根据实际情况选择合适的处理方法 影响因素：异常值可能受到样本量、测量误差等因素的影响
结果解释：异常值对分析结果的影响需要谨慎对待避免过度解读或忽视其存在
医学统计学：04 方差分析
1.4 f( F)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
F 分布曲线
1 1, 2 5
1 5, 2 5
1 10,2 10
2F
3
4
F 界值表
附表4 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
分母自由度
υ2
1
161 1
4052
18.51 2
98.49
4.21 27
• 随机区组设计又称随机单位组设计、配伍组设计，也叫双因 素方差分析（two--way ANOVA）。是配对设计的扩展。
具体做法：
① 将受试对象按性质（如性别、年龄、病情等） （这些性质是
非处理因素，可能影响试验结果）相同或相近者组成m个单位 组（配伍组），每个单位组中有k个受试对象，分别随机地分 配到k个处理组。
2
7
33.4
18
2
8
38.3
19
2
9
38.4
20
2
10
39.8
21
3
1
32.9
22
3
2
37.9
23
3
3
30.5
24
3
4
31.1
25
3
5
34.7
26
3
6
37.6
27
3
7
40.2
28
3
8
38.1
29
3
9
32.4
30
3
10
35.6
35.51667
(Xij X )2
07t检验--方差分析(医学统计学)
? 0
• 例1(P60例7-1) 以往通过大规模调查已知某地新生 儿出生体重为3.30kg.从该地难产儿中随机抽取35 名新生儿作为研究样本,平均出生体重为3.42kg,标 准差为0.40kg,问该地难产儿出生体重是否与一般 新生儿体重不同?
例题里涉及两个总体：
• 一般新生儿出生体重（已知总体，µ0=3.30kg） • 该地难产儿出生体重（未知总体，µ未知） • 3.42 >3.30既可能是抽样误差所致，或本质上不同
(n1
1)S12
(n2
1)S
2 2
n1 n2 2
若n1=n2时：
S X1X 2
S2 S2 X1 X2
S12
n1
S
2 2
n2
例3 测得14名慢性支气管炎病人与11名健
康人的尿中17酮类固醇（mol/24h）排出量 如下，试比较两组人的尿中17酮类固醇的 排出量有无不同。
• 原始调查数据如下：
t | 1.33 | 0.58 7.91 12
• （3）确定P值，作出推断结论 自由度=n-1=12-1=11，查附表2，t界值表，得
单侧t0.05,11=1.796,t=0.58<t0.05,11=1.796,故P > 0.05。 按α=0.05水准，不拒绝H0, 差异无统计学意义。
• 结论：故尚不能认为该减肥药有减肥效果。
t ' 10.38 6.62 2.0639 6.322 2.162 14 16
v 15.6447 16，
查 t 界 值 表 ， t t0 . 0 5 / 2=(21.61)1 9 。 P > ， 不 拒 绝 H0， 尚 不 能 认 为 两 种 药 的 疗 效 不 等 。
三、t检验与Z检验
• 例1(P60例7-1) 以往通过大规模调查已知某地新生 儿出生体重为3.30kg.从该地难产儿中随机抽取35 名新生儿作为研究样本,平均出生体重为3.42kg,标 准差为0.40kg,问该地难产儿出生体重是否与一般 新生儿体重不同?
例题里涉及两个总体：
• 一般新生儿出生体重（已知总体，µ0=3.30kg） • 该地难产儿出生体重（未知总体，µ未知） • 3.42 >3.30既可能是抽样误差所致，或本质上不同
(n1
1)S12
(n2
1)S
2 2
n1 n2 2
若n1=n2时：
S X1X 2
S2 S2 X1 X2
S12
n1
S
2 2
n2
例3 测得14名慢性支气管炎病人与11名健
康人的尿中17酮类固醇（mol/24h）排出量 如下，试比较两组人的尿中17酮类固醇的 排出量有无不同。
• 原始调查数据如下：
t | 1.33 | 0.58 7.91 12
• （3）确定P值，作出推断结论 自由度=n-1=12-1=11，查附表2，t界值表，得
单侧t0.05,11=1.796,t=0.58<t0.05,11=1.796,故P > 0.05。 按α=0.05水准，不拒绝H0, 差异无统计学意义。
• 结论：故尚不能认为该减肥药有减肥效果。
t ' 10.38 6.62 2.0639 6.322 2.162 14 16
v 15.6447 16，
查 t 界 值 表 ， t t0 . 0 5 / 2=(21.61)1 9 。 P > ， 不 拒 绝 H0， 尚 不 能 认 为 两 种 药 的 疗 效 不 等 。
三、t检验与Z检验
医学统计学方差分析
医学统计学方差分析方差分析是一种统计学方法，用于比较三个或三个以上的组之间的平均值是否存在显著差异。
在医学研究中，方差分析常用于比较不同治疗方法或不同个体群体之间的差异，以确定是否存在统计学上的显著差异。
方差分析的基本原理是比较组间离散程度与组内离散程度的比值，即组间均方与组内均方的比值。
组间方差表示不同组之间的差异性，组内方差表示同一组内个体之间的变异程度。
如果组间离散程度显著大于组内离散程度，即组间均方大于组内均方，就可以得出组间存在显著差异的结论。
在医学研究中，方差分析可以应用于很多不同的情况。
举例来说，我们可以使用方差分析来比较不同药物对同一疾病的治疗效果，或者比较不同药物剂量对同一疾病的治疗效果。
我们还可以使用方差分析比较不同年龄组、性别组或不同地区患者之间的其中一种疾病发病率。
方差分析的核心是比较组间差异与组内差异。
组间差异可以通过计算组间均方来得到。
组间均方的计算公式为组间平方和除以组间自由度。
组间平方和是每个组内数据与该组均值之差的平方的总和。
组间自由度等于组数减1、组内差异可以通过计算组内均方来得到。
组内均方的计算公式为组内平方和除以组内自由度。
组内平方和是每个组内数据与该组均值之差的平方的总和。
组内自由度等于总体样本量减去组数。
计算得到组间均方和组内均方之后，即可计算F值。
F值等于组间均方除以组内均方。
F值的计算结果可以与F分布的临界值进行比较，以判断组间均方是否显著大于组内均方。
如果F值大于F分布的临界值，就可以得出组间存在显著差异的结论。
除了F值，方差分析还可以计算一些其他的统计量。
例如，可以计算每个组的均值和标准差，以了解不同组之间的差异程度。
还可以计算方差分析表，其中包含了组间平方和、组间自由度、组间均方、组内平方和、总平方和、总自由度、组内自由度和组内均方等统计量。
需要注意的是，在进行方差分析之前，需要检验数据的正态性和方差齐性。
正态性检验可通过绘制正态概率图、Shapiro-Wilk检验或Kolmogorov-Smirnov检验进行。
实习课六-方差分析
SStotal ( xij x ) 2； vtotal n 1
2、组内变异：同一水平处理组内，各个观察值并不完全相等， 该变异称为组内变异或误差变异，主要由个体差异和随机测量误 差造成，统称随机误差；
SSerror ( xij xi ) 2 ;
verror =n k
x1n1
n1 x1
x2n2
n2
x2
……
xknk
nk
xk
n ni
x
10
中 国 医 学 科 学 院
．基 础 医 学 研 究 所
五、问题？
为什么不用t检验？
—两个组之间的比较当然可以！
但是，同批数据多次反复使用t检验显然会使犯α错误的概率增大。
统计学上的显著性差异从来就不是绝对的，而是概率，α=0.05，表示实际无差异，而 检验得到有差异结果的概率。
F值多大算和1差别大呢？和其他假设检验一样，我们可以：
查表：查自由度为ν1 ν2的F界值表 或更省事的办法直接看软件计算的结果
7
中 国 医 学 科 学 院
．基 础 医 学 研 究 所
三、方差分析的基本思想
根据变异的来源，将全部观察值总的离均差平方和及自由度 分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变 异可由某些特定因素的作用加以解释。 通过比较不同来源变异的方差（也叫均方MS），借助F分布做 出统计推断，从而判断某因素对观察指标有无影响
2 xj
0.9677
0.2032
9.6148
0.4296
38.7813
0.5133
42.5230
0.4600
( x ) 91.8868
(S )
医学统计学方差分析
拒绝H0 ，接受H1 ，即不同处理的总体均数 不同或不全相同（有待多重比较进一步分 析）。
21
表2
变异来源 组间 组内 总变异 SS
例1 的方差分析表
DF MS F值 14.32 P值 <0.05
119.8314 2 59.916 112.9712 27 4.184 232.8026 29
按＝0.05水准，拒绝H0，接受H1，认为三组 的差别具有统计学意义，不同时期切痂对大鼠 肝脏的ATP含量有影响。
B（75） E（81） A（81） D（87） E（73） B（74） F（68） C（69）
C（64） F（72） D（77） A（82）
35
3. 假设检验 例3
变异来源 药液( B ) 家兔( R ) 部位( C ) 误差( E ) 总( T)
方差分析表
df
5 5 5
SS
657.336 251.663 65.337
脏三磷酸腺苷(ATP)的影响，将30只雄 性大鼠随机分为3组，每组10只：A组 为烫伤组，B组为烫伤后24h（休克期） 切痂组，C组为烫伤后96h（非休克期） 切痂组。全部动物统一在烫伤后168h 处死并测量其肝脏的ATP含量，结果见 下表。试问三组的ATP总体均数是否有 差别？
3
表1 大鼠烫伤后肝脏ATP 的测量结果（m g ）
A
X1
●●●●●●
B
X
●●●●●●
X2
●●●●●●
X3
●●●●●●
X4
●●●●●●
X5
13
组间变异＜组内变异
B X A
● ● ● ● ● ●
X1
● ● ● ● ● ●
X2
● ● ● ● ● ●
21
表2
变异来源 组间 组内 总变异 SS
例1 的方差分析表
DF MS F值 14.32 P值 <0.05
119.8314 2 59.916 112.9712 27 4.184 232.8026 29
按＝0.05水准，拒绝H0，接受H1，认为三组 的差别具有统计学意义，不同时期切痂对大鼠 肝脏的ATP含量有影响。
B（75） E（81） A（81） D（87） E（73） B（74） F（68） C（69）
C（64） F（72） D（77） A（82）
35
3. 假设检验 例3
变异来源 药液( B ) 家兔( R ) 部位( C ) 误差( E ) 总( T)
方差分析表
df
5 5 5
SS
657.336 251.663 65.337
脏三磷酸腺苷(ATP)的影响，将30只雄 性大鼠随机分为3组，每组10只：A组 为烫伤组，B组为烫伤后24h（休克期） 切痂组，C组为烫伤后96h（非休克期） 切痂组。全部动物统一在烫伤后168h 处死并测量其肝脏的ATP含量，结果见 下表。试问三组的ATP总体均数是否有 差别？
3
表1 大鼠烫伤后肝脏ATP 的测量结果（m g ）
A
X1
●●●●●●
B
X
●●●●●●
X2
●●●●●●
X3
●●●●●●
X4
●●●●●●
X5
13
组间变异＜组内变异
B X A
● ● ● ● ● ●
X1
● ● ● ● ● ●
X2
● ● ● ● ● ●
医学统计学方差分析
i1 j1
X甲 X乙
X ij X丙
甲
乙
丙
基本思想：总变异的分解
SS总=SS组间+SS组内 自由度的分解
总组间组内
第一节 完全随机设计的方差分析
基本思想：各变异的平均变异，即均方
组间均方：
MS组间
SS组间
组间
组内（误差）均方：MS组内
SS组内
组内
第一节 完全随机设计的方差分析
基本思想：统计量F值
变异分解
110
总变异（SS总）
100
全部测量值大小不同 90
，这种变异称为总变异 80
，以各测量值Xij与总均
数间的差异度量。
70 60
50
40
k ni
SS总
(XijX)2
30
i1 j1
X
甲
乙
丙
组间变异（SS组间） • 组内均值 与总均值 之差的平方和
110
k
SS组间 ni(Xi X)2
100 90
F处理
MS处理 MS误差
F处理>Fα（k-1,(k-1)(m-1)），P<α，认为比较组总体均值不 全相同
F处理<Fα（k-1,(k-1)(m-1)），P>α，尚不能认为比较组总体 均值不同
第二节 随机区组设计的方差分析
基本思想：统计量F值
F区组
MS区组 MS误差
F区组>Fα（m-1,(k-1)(m-1)），P<α，认为各区组总体均值不 全相同
Sidak t检验 Bonferroni t 检验
第三节 多个样本均数的两两比较
SNK (Student－Newman－Keuls) 法的检验统计量 为q ，故又称为q检验
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MS组间
SS组间
组间
MS组内
SS组内
组内
二、F 值与F分布
如果各组样本的总体均数相等（H0： 1 2 … k ），
即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用，，则组
间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的大小。组间 均方与组内均方的比值称为 F 统计量
F MS组间 MS组内
5
单向方差分析
One-way analysis of variance
第一节 方差分析的基本思想
将所有测量值间的总变异按照其变异的 来源分解为多个部份，然后进行比较，评价 由某种因素所引起的变异是否具有统计学意 义。
6
一、离均差平方和的分解
组间变异 组内变异
总变异
7
对于实例（完全随机设计） 资料，共有三种不同的变异
下面用离均差平方和(sum of squares of
deviations from mean，SS)反映变异的大小
8
1. 总变异: 所有测量值之间总
的变异程度，计算公式
a ni
SS总 Yij Y
2
a
Y ni 2 ij
C
i1 j1
i1 j1
N
Yij2 C＝(N1)S2
i, j
总 N 1
a ni
480 20.0
j Yij2
2233.0 4790.0 2162.0 1431.0
10616.0
四种解毒药的解毒效果是否相同？
4
一 个 因 素 （ f a c t o r ）： 解 毒 药 四 个 水 平 （ l e v e l ）（ a = 4 个 处 理 组 ）： A 、 Ｂ 、
Ｃ 、 空 白 对 照 D， i=1,2,3,4 分 别 代 表 A、 B、 C、 D 每 水 平 有 ni=６ 只 大 白 鼠 ， 分 别 表 示 为 j=1,2,…,6 应 变 量 用 Yij 表 示 ， 即 第 i 组 第 j 号 大 白 鼠 的 血
SS总 = SS组间 + SS组内，
且 ν总 =ν组间 +ν组内
组内变异 SS 组内：
随机误差
组间变异 SS 组间：处理因素 + 随机误差
One-Factor ANOVA Partitions of Total Variation
Total Variation SST
= Variation Due to Treatment SSB
1. 总变异（Total variation）：全部测量值Yij与
总均数 Y 20.0 间的差异
2. 组间变异（ between group variation ）：各
组的均数 Y i 与总均数 Y 间的差异
3. 组内变异（within group variation )：每组的
每个测量值Yij与该组均数 Y i 的差异
+
Commonly referred to as:
Sum of Squares Among, or
Sum of Squares Between, or
Sum of Squares Model, or
Among Groups Variation
Variation Due to Random Sampling SSW
个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，
这种变异称为组内变异，也称SS误差。 用各组内各测量值Yij与其所在组的均数差值的
平方和来表示，反映随机误差的影响。计算公式为
SS组内
a
ni
(Yij
Yi ) 2
i 1 j 1
a
(ni
1)
S
2 i
i 1
组内 Na
三种“变异”之间的关系
离均差平方和分解：
方差分析
Analysis of Variance （ANOVA )
4/9/2020
1
ANOVA 由英国统 计学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher，
以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F
test）。用于推断多 个总体均数有无差异
2
基本概念
因素也称为处理因素（factor）（名义分类变量），每一处 理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”）。
组号 i
胆 硷 脂 酶 含 量 (Yij)
ni
j Yij
1 23 12 18 16 28 14
6
111
Yi
18.5
2 28 31 23 24 28 34
6
168 28.0
3 14 24 17 19 16 22
6
112 18.7
4
8 12 21 19 14 15
6
8 14.8
9
合计 73 79 79 78 86 85 24
Commonly referred to as: Sum of Squares Within, or Sum of Squares Error, or Within Groups Variation
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外， 还与其 自由度 有关，由于各部分自由度不相等， 因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将 各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值 称为均方差，简称 均方 (mean square ，MS)。组 间均方和组内均方的计算公式为 :
一个因素（水平间独立）
——单向方差分析
两个因素（水平间独立或相关）——双向方差分析
一个个体多个测量值——重复测量资料的方差分析
ANOVA与回归分析相结合——协方差分析
目的：用这类资料的样本信息来推断各处理组间多个总体均
数的差别有无统计学意义。
3
不 同 解 毒 药 对 应 的 大 白 鼠 血 中 胆 硷 脂 酶 含 量 (μ /ml)
中 胆 硷 脂 酶 含 量 (μ /ml) 按 完 全 随 机 化 设 计 方 法 将 Ｎ ＝ 24 只 动 物 随 机 等
分成４个组 （ 将 动 物 编 成 1~24 号 ， 用 计 算 器 （ 机 ） 对 每
一个动物产生一个随机数，然后按随机数从小到 大的顺序排序，前面 6 个动物分为第一组，紧接着的 6 个 动 物 分 成 第 二 组 ， …）
1
组间 ， 2 组内
F 值接近于 l，就没有理由拒绝 H0；反之，F 值越大，拒绝 H0 的理由越充分。数理统计的理论证明，当 H0 成立时，F 统计量服从 F 分布。
(Yij
)2
N
(Yij )2
校正系数： C i1 j1
i,j
N
N
2．组间变异：各组均数与总均数的
离均差平方和，计算公式为
a
a
ni
(
Y)2 ij
SS组间 ni(Yi Y)2Leabharlann i1i1j1
ni
C
组间 a 1
SS组间反映了各组均数 Y i 的变异程度
组间变异＝①随机误差+②处理因素效应
3．组内变异：在同一处理组内，虽然每