换算(开裂)截面惯性矩
结构设计原理-叶见曙版-课后习题第7-9(附答案)
第七章7-2试简述钢筋混凝土偏心受压构件的破坏形态和破坏类型。
答：破坏形态：（1）受拉破坏—大偏心受压破坏，当偏心距较大时，且受拉钢筋配筋率不高时，偏心受压构件的破坏是受拉钢筋先达到屈服强度，然后受压混凝土压坏，临近破坏时有明显的预兆，裂缝显著开展，构件的承载能力取决于受拉钢筋的强度和数量。
（2）受压破坏—小偏心受压破坏，小偏心受压构件的破坏一般是受压区边缘混凝土的应变达到极限压应变，受压区混凝土被压碎；同一侧的钢筋压应力达到屈服强度，破坏前钢筋的横向变形无明显急剧增长，正截面承载力取决于受压区混凝土的抗压强度和受拉钢筋强度。
破坏类型：1）短柱破坏；2）长柱破坏；3）细长柱破坏7-3由式（7-2）偏心距增大系数与哪些因素有关？由公式212000)/e 140011ζζη⎪⎭⎫⎝⎛+=h l h （可知，偏心距增大系数与构件的计算长度，偏心距，截面的有效高度，截面高度，荷载偏心率对截面曲率的影响系数，构件长细比对截面曲率的影响系数。
7-4钢筋混凝土矩形截面偏心受压构件的截面设计和截面复核中，如何判断是大偏心受压还是小偏心受压？答：截面设计时，当003.0h e ≤η时，按小偏心受压构件设计，003.0h e >η时，按大偏心受压构件设计。
截面复核时，当b ξξ≤时，为大偏心受压，b ξξ>时，为小偏心受压.7-5写出矩形截面偏心受压构件非对称配筋的计算流程图和截面复核的计算流程图注意是流程图7-6解： 查表得：.1,280',5.110====γMPa f f MPa f sd sd cd m kN M M kN N N d d •=⨯=•==⨯=•=6.3260.16.326,8.5420.18.54200γγ偏心距mm N M e 6028.5426.3260===，弯矩作用平面内的长细比51060060000>==h l ，故应考虑偏心距增大系数。
设mm a a s s 40'==，则mm a h h s 5600=-=0.1,15606027.22.07.22.01001=>⨯+=+=ζζ取h e 0.1,105.1600600001.015.101.015.1202=>=⨯-=-=ζζ取h l 所以偏心距增大系数07.11110560/602140011)(140011221200=⨯⨯⨯⨯+=+=ζζηh l h e （1）大小偏心受压的初步判断003.064460207.1h mm e >=⨯=η，故可先按照大偏心受压来进行配筋计算。
同济大学土木工程 第九章 混凝土结构的使用性能—开裂和挠度
第九章混凝土结构的使用性能—开裂和挠度一、概述二、裂缝的类型三、构件的开裂内力四、裂缝宽度的计算理论五、裂缝的控制六、受弯构件的变形与刚度结构构件的可靠性具有足够的承载力和变形能力安全性：适用性：耐久性：在使用荷载下不产生过大的裂缝和变形在一定时期内维持其安全性和适用性的能力极限状态设计理论承载能力极限状态：正常使用极限状态：混凝土结构的使用性能包括裂缝、挠度、振动、疲劳等裂缝控制、变形控制和振动控制混凝土结构的极限荷载下的强度产生裂缝的原因：在混凝土结构中裂缝通常是由拉应力引起的。
因混凝土的极限拉伸应变εt u 随混凝土品种、配合比、添加剂、养护条件、加载速度、截面上的应力梯度等不同会发生变化。
严格地说，只有当混凝土的拉伸应变εt 达到某处混凝土的极限拉应变εt u 时才会出现裂缝。
1. 受力裂缝：拉、弯、剪、扭、粘结等引起的裂缝斜裂缝！！垂直裂缝！目前，只有拉、弯状态下混凝土横向裂缝宽度的计算理论比较成熟钢筋混凝土轴心受拉构件，贯穿整个截面宽度的裂缝为“主裂缝”；用变形钢筋钢筋配筋的构件，在主裂缝之间还出现有位于钢筋附近的短的“次裂缝”，有人称之为“粘结裂缝”。
当钢筋应力接近屈服时，将出现沿钢筋的纵向裂缝。
在梁中，主裂缝首先从受拉区边缘开始向中和轴发展，同样在主裂缝之间可以看到短的次裂缝。
梁高较大的T形梁或工字形梁中，钢筋附近的次裂缝可发展成与主裂缝相交的“枝状裂缝”（图c）。
在厚度较大的单向板或墙中（图d所示为板底面的裂缝）同样会产生这种“枝状裂缝”。
枝状裂缝在梁腹或钢筋间距中间处的裂缝宽度要比钢筋处的裂缝宽度大得多。
承受剪力和扭矩的构件，将出现垂直于主拉应力方向的裂缝。
钢筋混凝土结构在轴压力或压应力作用下也可能产生裂缝，例如梁受压区顶部的水平裂缝、薄腹梁端部连接集中荷载和支座的斜向受压裂缝、螺旋箍筋柱沿箍筋外沿的纵向裂缝、局部承压和预应力筋锚固端的局部裂缝等。
发生受压裂缝时，混凝土的应变值一般都超过了单轴受压峰值应变，临近破坏，使用阶段中应予避免。
裂缝宽度验算及减小裂缝宽度的主要措施
8.2.5 裂缝宽度验算及减小裂缝宽度的主要措施对裂缝宽度的限制，应从保证结构耐久性，钢筋不被锈蚀及过宽的裂缝影响结构外观，引起人们心理上的不安两个因素来考虑。
《混凝土结构设计规范》（GB50010）规定，钢筋混凝土构件在荷载的标准组合下，并考虑长期作用影响的最大裂缝宽度，应符合下式规定：（8-20）式中w max——按荷载的标准组合并考虑长期作用影响计算的构件最大裂缝宽度，按式；w lim——裂缝宽度限值，根据构件所处的环境类别（表8-1）不同，裂缝宽度限值取表8-2中的值。
表8-1 混凝土结构的使用环境类别表8-2 混凝土结构构件的最大裂缝宽度限值w lim (mm)《公路钢筋混凝土和预应力混凝土桥涵设计规范》（JTJ023）规定，钢筋混凝土构件在正常使用极限状态下的裂缝宽度，应按作用短期效应组合并考虑长期效应影响进行验算，且不得超过以下规定的限值：一般环境0.20mm有气态、液态或固态侵蚀物质环境0.10mm这里，一般环境系指寒冷和严寒、无侵蚀物质影响的地面和水下及与土直接接触的环境；有气态、液态或固态侵蚀物质环境系指包括海水、使用除冰盐在内及工业污染的环境。
从影响裂缝宽度的主要因素以及两本规范的裂缝宽度计算公式中我们发现，当设计计算发现裂缝宽度超限，或要求减小裂缝宽度时，选择较细直径的钢筋及变形钢筋是最为经济的措施。
因为同样面积的钢筋，直径小则其周长与面积比就大，这就增大了钢筋与混凝土间的粘结力，采用变形钢筋亦是这个道理。
粘结力大，可使裂缝间距缩短，裂缝即多而密，裂缝间距内钢筋与混凝土之间的变形差就小，裂缝宽度减小。
但是，当采用上述措施仍不能满足要求时，亦可增大钢筋截面面积，从而增大截面的配筋率，减小钢筋的工作应力，减小平均裂缝间距；当然，有时也可采取改变截面形式及尺寸或提高混凝土强度等级等办法。
8.2.6 小结两本规范的裂缝宽度计算公式相差较大（见表8-3）。
从理论基础上看，《混凝土结构设计规范》（GB50010）采用一般裂缝理论，然后通过试验数据统计回归的方法确定其中的系数；《公路钢筋混凝土与预应力混凝土桥涵设计规范》（JTJ023）公式则纯粹是建立在试验统计分析基础上的。
截面惯性矩计算
截面惯性矩截面惯性矩指截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。
截面惯性矩是衡量截面抗弯能力的一个几何参数。
任意截面图形内取微面积dA与其搭配z 轴的距离y的平方的乘积y²dA定义为微面积对z轴的惯性矩，在整个图形范围内的积分则称为此截面对z轴的惯性矩Iz。
截面各微元面积与各微元至截面上某一指定轴线距离二次方乘积的积分。
惯性矩平移公式：这里，Iz是对于z-轴的面积惯性矩、Ix是对于平面质心轴的面积惯性矩、A是面积、d是z-轴与质心轴的垂直距离。
（单位：mm^4）常见截面的惯性矩公式：[1]矩形其中：b—宽；h—高三角形其中：b—底长；h—高圆形其中：d—直径圆环形其中：d—内环直径；D—外环直径2惯性矩编辑惯性矩(I=质量X垂直轴二次）静矩静矩（面积X面内轴一次）把微元面积与各微元至截面上指定轴线距离乘积的积分称为截面的对指定轴的静矩Sx= ydF。
截面惯性矩截面惯性矩（I=面积X面内轴二次）截面各微元面积与各微元至截面某一指定轴线距离二次方乘积的积分Ix= y↑2dF。
截面极惯性矩截面极惯性矩（Ip=面积X垂直轴二次）。
扭转惯性矩极惯性矩截面各微元面积与各微元至垂直于截面的某一指定轴线二次方乘积的积分Ip= P↑2dF。
相互关系截面惯性矩和极惯性矩的关系截面对任意一对互相垂直轴的惯性矩之和，等于截面对该二轴交点的极惯性矩Ip=Iy+Iz。
3截面系数编辑机械零件和构件的一种截面几何参量，旧称截面模量。
它用以计算零件、构件的抗弯强度和抗扭强度（见强度），或者用以计算在给定的弯矩或扭矩条件下截面上的最大应力。
根据材料力学，在承受弯矩Μ的梁截面上和承受扭矩T 的杆截面上,最大的弯曲应力σ和最大的扭转应力τ出现于离弯曲中性轴线和扭转中性点垂直距离最远的面或点上。
σ和τ的数值为-0.032√(C+W)-0.21√(RD↑2) 式中Jxx和J0分别为围绕中性轴线XX和中性点O的截面惯性矩;Jxx/y和J0/y分别为弯曲和扭转的截面模量（见图和附表）。
单元二 受弯构件正截面承载能力计算
单三 受弯构件正截面承载能力计算一．矩形截面单筋：计算公式ƒsd •As=ƒcd •b •xMu= ƒcd •b •ho 2•s α 其中s α=ξ(1-0.5ξ),ξ=1-s α21-=x/ho 使用条件（ξ≤ξb 避免超筋，ρ≥ρmin=max ﹛0.002,0.45sdtdf f ﹜避免少筋） 双筋：计算公式ƒsd •As=ƒcd •b •x+ƒsd ’•As ’Mu= ƒcd •b •ho 2•s α+ ƒsd ’•As ’•(ho-as) 其中s α=ξ(1-0.5ξ) ξ=1-s α21-=x/ho使用条件（ξ≤ξ b 使受拉钢筋受拉屈服 x ≥2as ’使受压钢筋受压屈服）若x<2as ’(受压钢筋不屈服) 则: Mu= ƒsd •As •(ho-as)二.单筋T 形截面第一T 形截面:（x ≤hf ’）计算公式 ƒsd •As=ƒcd •bf ’•x Mu= ƒcd •bf ’•ho 2•s α其中s α=ξ(1-0.5ξ) ξ=1-s α21-=x/ho使用条件（ξ≤ξ b 避免超筋 ρ≥ρmin 避免少筋） 第二T 形截面:（x>hf ’）计算公式 ƒsd •As=ƒcd •b •x+ƒcd •(bf ’-b)•hf ’Mu= ƒcd •b •ho 2•s α+ƒcd •(bf ’-b)•hf '•(ho-hf ’/2)其中s α=ξ(1-0.5ξ) ξ=1-s α21-=x/ho使用条件（ξ≤ξ b 避免超筋 ρ≥ρmin 避免少筋）矩形截面梁配筋设计（As ）已知（b*h ,ƒcd , ƒsd , ƒsd ’, Md , ro ）步骤：设受拉区钢筋层数 即一般取as (一层as=40mm 二层as=70mm 三层as=90mm)求ho (ho=h-as) 求所需Mu=roMd计算roMd 与Mumin=ƒcd •b •ho 2•ξb(1-ξb)并判断其大小若 Mu<ƒcd •b •ho 2•ξb(1-ξb)配单筋 若Mu>ƒcd •b •ho 2•ξb(1-0.5ξb)配双筋一.单筋配筋：求s α=Mu /ƒcd •b •ho 2求ξ=1-s α21- 并判断ξ＜＝ξb(若ξ>ξb 应重取as)求x=ξb • ho 求As=ƒcd •b •x/fsd根据As 查表选取As ，计算ρ=As/b •ho 并判断ρ>=ρmin(若ρ<ρmin 需重取As) 计算配筋的最小截面尺寸bmin 并判断bmin<b(若bmin>b 需重取As ，若无合适As 应重取as)二.双筋配筋（As As ’）令ξ＝ξb 求s α=ξb (1-0.5ξb) 求x=ξb • ho若x>2as ’ 求As ’=(Mu-ƒcd •b •ho 2•s α)/ƒsd ’(ho-as ’)求As=( ƒcd •b •x+ƒsd ’•As ’)/ƒsd依据求得As As ’查表选取As As ’ 计算配筋的最小截面尺寸bmin 并判段bmin<b(若bmin>b 需重取As 或as)若x<2as ’不满足双筋配筋条件` 双筋配筋（As ）求s α=[Mu-ƒsd ’•As ’(ho-as ’)]/ƒcd •b •ho 2求ξ=1-s α21- 并判断ξ＜＝ξb(若ξ>ξb 应重取as) 求x=ξ• ho若x>=2as ’ 求As=( ƒcd •b •x+ƒsd ’•As ’)/ ƒsd 若x<2as ’ 求As= Mu/ƒsd • (ho-as ’)依据求得As 查表选取As,计算配筋的最小截面尺寸bmin 并判段bmin<b(若bmin>b 需重取As 或as)矩形截面梁设计复核一.单筋截面复核已知（b*h ,ƒcd , ƒsd , Md , ro ，as , 钢筋配筋As）步骤：由as求ho (ho=h-as) 根据钢筋配筋查表选取As ，计算ρ=As/b•ho 并判断ρ>=ρmin(若ρ<ρmin说明截面尺寸过小)求X=ƒsd•As/ƒcd•b 求ξ=x/ho 并判断ξ＜＝ξb(若ξ>ξb)求sα= ξ(1-0.5ξ)求 Mu= ƒcd•b•ho2•sα比较Mu与roMd,若Mu>roMd则满足二.双筋截面复核已知（b*h ƒcd ƒsd ƒsd’ Md ro as as’钢筋配筋As’As）步骤：由as求ho (ho=h-as)求x=(ƒsd•As- ƒsd’•As’)/ƒcd•b若x<2as’Mu=ƒsd•As•(hor-as)若x>=2as’求ξ=x/ho 并判断ξ＜＝ξ b若ξ＜＝ξb求sα=ξ(1-0.5ξ)求Mu=ƒcd•b•ho2•sα+ƒsd’•As’(ho-as) 比较Mu与roMd,若Mu>roMd则满足若ξ>ξb 令ξ＝ξb求sα=ξb(1-0.5ξb)求Mu=ƒcd•b•ho2•sα+ƒsd’As’•(ho-as)比较Mu与roMd,若Mu>roMd则满足T 形截面梁配筋设计As已知（T 形截面尺寸b*h bf hf ƒcd ƒsd Md ro ）步骤:设受拉区钢筋层数 取as(一层as=50二层as=80三层as=100) 由as 求ho (ho=h-as) 求所需Mu=roMd比较Mu 与ƒcd •b •ho 2•s α+ ƒcd •('b f-b)'h f •(ho-'h f /2)一若Mu<=ƒcd •b •ho 2•s α+ƒcd •('b f-b)•'h f •(ho-'h f/2)为第一种T 形截面 求s α=Mu/ƒcd •b •ho 2求ξ=1-s α21- 并判断ξ＜＝ξb(若ξ>ξb 应重取as)求x=ξb •ho 求As=ƒsd/ƒcd •b •x根据As 查表选取As ，计算ρ=As/b •ho 并判断ρ>=ρmin(若ρ<ρmin 需重取As,若无合适As 应重取as)计算配筋的最小截面尺寸bmin 并判断bmin<b(若bmin>b 需重取As ，若无合适As 应重取as)二若Mu>ƒcd •b •ho 2•s α+ƒcd •('b f-b)•'h f •(ho-'h f/2)为第二种T 形截面 求s α=[Mu-ƒcd •('b f-b)•hf ’•(ho- 'h f /2)]/ƒcd •b •ho 2 求ξ=1-s α21-并判断ξ＜＝ξb(若ξ>ξb 应重取as) 求x=ξ• ho求As=[ƒcd •b •x+ƒcd •('b f-b)•'h f ]/ƒsd根据As 查表选取As ，计算ρ=As/b •ho 并判断ρ>=ρmin(若ρ<ρmin 需重取As,若无合适As 应重取as)计算配筋的最小截面尺寸bmin 并判断bmin<b(若bmin>b 需重取As ，若无合适As 应重取as)T 形截面梁配筋复核已知（T 形截面尺寸b*h 'b f 'h f ƒcd ƒsd Md ro 钢筋配筋As as ） 步骤：由as 求ho(ho=h-as) 计算ƒsd •As 与ƒcd •'b f •'h f 并比较其大小 一若ƒsd •As<=ƒcd •'b f •'h f 为第一种T 形截面求x= ƒsd •As/ƒcd •'b f 求ξ=x/ho 并判断ξ＜＝ξ b 求s α=ξ(1-0.5ξ) 求 Mu= ƒcd •'b f •ho 2•s α 比较Mu 与roMd,若Mu>roMd 则满足 二若ƒsd •As>ƒcd •'b f •'h f 为第二种T 形截面求x=[ƒsd •As-ƒcd •('b f-b)•'h f ]/ƒcd •b 求ξ=x/ho 并判断ξ＜＝ξ b 求s α= ξ(1-0.5ξ) 求Mu= ƒcd •b •ho 2•s α+ƒcd •('b f-b)•'h f •(ho-hf ’/2) 比较Mu 与roMd,若Mu>roMd 则满足单元四 受弯构件斜截面承载力计算混凝土与箍筋的斜截面抗剪承载力Vcs=321ααα*0.45*sv sv k cu f f p bh ρ,03)6.02(10+- （KN ）1α：1α=1.0 进中间支点1α=0.9//2α:钢筋混凝土受弯构件2α=1.0预应力钢筋混凝土2α=1.25//3α=1.1//P=100ρ当ρ>2.5时，取ρ=2.5//sv ρ箍筋配筋率sv ρ=sv A /(v s •b)//sv f 不宜大于280MPa弯起钢筋的斜截面抗剪承载力 :vsb =0.75*∑∙∙∙-s sb sd A f θsin 103 箍筋和弯起钢筋的斜截面抗剪承载力:d V 0γ<=321ααα*0.45*sv sv k cu f f p h b ρ,03)6.02(10+∙-+0.75*∑∙∙∙-s sb sd A f θsin 103 适用条件：（上限d V 0γ<=0.51*0,310h b f k cu ∙∙∙-/下限d V 0γ≤0.5*02310h b f td ∙∙∙∙-α(KN)/箍筋最小配筋率：[R235(Q235) sv ρ≥0.0018 ],[HRB335 sv ρ≥0.0012] ）受弯构件斜截面抗剪配筋设计条件（d V 0γ>0.50*02310h b f td ∙∙∙∙-α(KN)） 一剪力取值规定箍筋设计计算 求箍筋配筋率sv ρ=kcu sv d f f p h b V '202622322212'0)6.02(1045.0)(+**-αααξγ（ξ>=0.6）预先选定箍筋种类与直径即(sv A ) / 求箍筋间距Sv=bA sv sv∙ρ 弯起钢筋设计计算：sbi A =)(sin 1075.0230mm f V ssd sbiθγ∙∙*-斜截面抗剪承载力复核步骤：一1复核钢筋混凝土梁是否满足公式d V 0γ<=0.51*0,310h b f k cu ∙∙∙-(KN)若不符合，应考虑加大截面尺寸或提高混凝土强度等2当钢筋混凝土中配箍筋和弯起钢筋时按公式d V 0γ<= Vcs+ vsb 。
换算截面力学参数求法
8.3.4 JTJ023方法1．换算截面换算截面是指将物理性能与混凝土明显不同的钢筋按力学等效的原则通过弹性模量比值的折换，将钢筋换算为同一混凝土材料而得到的截面。
图8-12所示为在受拉区裂缝出现前后不同的换算截面。
根据换算截面由材料力学方法可以求得其等效截面惯性矩I0和I cr。
图8-12 换算截面2．短期截面刚度将一根带裂缝的受弯构件视为一根不等刚度的构件（图8-13a），裂缝处刚度最小，两裂缝间刚度最大，图8-13b实线表示截面刚度变化规律。
为便于分析，取一个长度为l m的裂缝区段，近似地分解为整体截面区段和开裂截面区段。
根据试验分析，和与开裂弯矩M cr和截面上所受弯矩M s的比值有关，可按下列公式确定：（8-26）（8-27）把图8-13c变刚度构件等效为图8-13d的等刚度构件，采用结构力学方法，按在端部弯矩作用下构件转角相等的原则，可求得等刚度受弯构件的等效刚度B。
图8-13 受弯构件截面刚度等效示意图根据图8-13c所示变截面构件，求出裂缝区段两端截面的相对转角：（8-28）根据图8-13d所示等截面构件，求出裂缝区段两端截面的相对转角：（8-29）令=，可得：（8-30）将式（8-26）、（8-27）代入式（8-30），整理后得：（8-31）式中 B ——开裂构件等效截面的抗弯刚度；B0——全截面的抗弯刚度，B0=0.85E c I0；B cr——开裂截面的抗弯刚度，B cr=E c I cr；M cr——截面开裂弯矩；I0——全截面换算截面惯性矩；I cr——开裂截面换算截面惯性矩。
上式即为JTJ023中所给出的刚度计算公式。
8.3.5 长期荷载作用的影响以上介绍的是钢筋混凝土受弯构件的短期刚度的计算方法，由此计算的挠度为短期荷载作用下的挠度变形。
如前所述，当构件在持续荷载作用下，由于压区混凝土的徐变，钢筋和混凝土间的滑移徐变等因素，其挠度将随时间而不断缓慢增长。
这也可以理解为构件的抗弯刚度随时间而不断降低。
单元六钢筋混凝土受弯构件变形和裂缝宽度计算
单元六钢筋混凝土受弯构件变形和裂缝宽度计算《桥规》（JTG D62——2004）规定；钢筋混凝土构件，在正常使用极限状态下的裂缝宽度，应按作用（或荷载）短期效应组合并考虑长期效应影响进行验算，钢筋混凝土受弯构件，在正常使用极限状态下挠度，可根据给定的构件刚度用结构力学的方法计算。
6-1受弯构件的变形计算1；承受作用的受弯构件，如果变形过大，将会影响结构的正常使用。
一、受弯构件在试用阶段按短期效应组合的挠度计算1；结构力学中的挠度计算公式前提；对于普通的匀质弹性梁在承受不同作用时的变形（挠度）计算，可用《结构力学》中的相应公式计算。
1；在均布荷载作用下，简支梁的最大挠度为f=5ML²／48EI或f=5qL⁴／384EI当集中荷载作用简支梁跨中时梁的最大挠度为f=1ML²／12EI 或f=PL³／48EI有公式得，不论作用的形式和大小如何，梁的挠度f总是与EI 值成反比。
EI值愈大，绕度f就愈小；反之。
EI值反映了梁的抵抗弯曲变形的能力，故EI又称为受弯构件的抗弯刚度。
2，钢筋混凝土受弯构件的挠度计算公式《1》混凝土是一种非匀质的弹塑形体，受力后除了弹性变形外还会产生塑性变形。
《2》钢筋混凝土受弯构件在承受作用时会产生裂缝，其受拉区成为非连续体，这就决定了钢筋混凝土受弯构件的变形（挠度）计算中涉及的抗弯刚度不能直接采用匀质弹性梁的抗弯刚度EI，钢筋混凝土受弯构件的抗弯刚度通常用B表示B=EIfs=5qL⁴／384B和fs=PL³／48B《桥规》（JTG D62——2004）规定；对于钢筋混凝土受弯构件的刚度按下式计算B=Bο／（M cr／M s）²＋（1-（M cr／M s）²）×Bο／B crM cr=γ×f tk×Wογ=2Sο／Wο式中；B——开裂构件等效截面的抗弯刚度；Bο——全截面的抗弯刚度，Bο=0.95E c IοB cr——开裂截面的抗弯刚度，B cr=E c I crM s——按作用（或荷载）短期效应组合计算的弯矩值M cr——开裂弯矩γ——构件受拉区混凝土塑性影响系数Sο——全截面换算截面中心轴以上（或一下）部分面积对中心轴的面积矩；Wο——换算截面抗裂边缘的弹性抵抗矩Iο——全截面换算截面惯性矩；I cr——开裂截面换算截面惯性矩F tk——混凝土轴心抗拉强度标准值。
常用截面惯性矩与截面系数的计算
常用截面惯性矩与截面系数的计算截面的惯性矩是描述截面抗弯刚度大小的一个物理量，常用于结构力学和工程设计中。
截面系数是截面抗弯性能的一个重要参数，它表示截面抵抗外力作用下的变形能力。
下面将介绍一些常用的截面惯性矩和截面系数的计算方法。
1.矩形截面：矩形截面的惯性矩可以通过以下公式计算：I=(b*h^3)/12其中，I表示矩形截面的惯性矩，b表示矩形截面的宽度，h表示矩形截面的高度。
矩形截面的截面系数可以通过以下公式计算：W=(b*h^2)/6其中，W表示矩形截面的截面系数。
2.圆形截面：圆形截面的惯性矩可以通过以下公式计算：I=π*r^4/4其中，I表示圆形截面的惯性矩，r表示圆形截面的半径。
圆形截面的截面系数可以通过以下公式计算：W=π*r^3/3其中，W表示圆形截面的截面系数。
3.正三角形截面：正三角形截面的惯性矩可以通过以下公式计算：I=b*h^3/36其中，I表示正三角形截面的惯性矩，b表示正三角形截面的底边长度，h表示正三角形截面的高度。
正三角形截面的截面系数可以通过以下公式计算：W=b*h^2/24其中，W表示正三角形截面的截面系数。
4.T形截面：T形截面的惯性矩可以通过以下公式计算：I=(b1*h1^3+b2*h2^3)/12其中，I表示T形截面的惯性矩，b1和b2分别表示T形截面的上下翼缘的宽度，h1和h2分别表示T形截面的上下翼缘的高度。
T形截面的截面系数可以通过以下公式计算：W=(b1*h1^2+b2*h2^2)/6其中，W表示T形截面的截面系数。
需要注意的是，上述给出的公式仅适用于一些常见的截面形状，并且仅考虑了截面的几何特性。
在实际的工程设计中，还需要考虑材料的弹性模量等参数，并基于这些参数进行更精确的计算。
此外，还有一些其他复杂截面的惯性矩和截面系数的计算公式，如梯形截面、圆环截面等。
对于这些复杂截面的计算，可以借助数值方法或计算机辅助设计软件进行求解。
总之，截面的惯性矩和截面系数是结构力学和工程设计中常用的参数，通过计算这些参数可以评估截面的抗弯刚度和抗剪性能，为工程结构的设计提供依据。
结构设计原理课程设计 (1)
一、设计题目：钢筋混凝土简支T形梁桥一片主梁设计。
二、设计资料1、某公路钢筋混凝土简支梁桥主梁结构尺寸。
标准跨径：20.00m；计算跨径：19.50m；主梁全长：19.96m；梁的截面尺寸如下图(单位 mm)：梁高1500。
2、计算内力（1）使用阶段的内力 T形梁截面尺寸跨中截面计算弯矩（标准值）结构重力弯矩：M1/2恒=820.82+46=866.82 KN.m汽车荷载弯矩：M1/2汽=549.29+46=595.29 KN.m人群荷载弯矩：M1/2人=78.04 KN.m1/4跨截面弯矩：（设计值）Md.1/4=1867.00 KN.m；（已考虑荷载安全系数）支点截面弯矩Md0=0 KN.m,支点截面计算剪力（标准值）结构重力剪力：V恒=162+46=208 KN;汽车荷载剪力：V汽=129+46=175 KN;人群荷载剪力：V人=18 KN;跨中截面计算剪力（设计值）V j1/2=76.50KN；（已考虑荷载安全系数）主梁使用阶段处于一般大气条件的环境中。
结构安全等级为二级。
汽车冲击系数1+μ=1.192.(2)施工阶段的内力简支梁在吊装时，其吊点设在距梁端a=400mm处，而梁自重在跨中截面的弯矩标准值结构重力剪力：Mk.1/2=585.90KN.m,在吊点的剪力标准值结构重力剪力：V0=110.75KN.m。
3、材料主筋用HRB335级钢筋fsd=280 N/m㎡；fsk=335 N/m㎡。
箍筋用R235等级钢筋fsd=195N/m㎡；fsk=235N/m㎡;ES=2.1×510N/2mm。
采用焊接平面钢筋骨架混凝土为C30fcd=13.8N/m㎡;fck=20.1N/m㎡; ftd=1.39N/m㎡;ftk=2.01N/m㎡;Ec=3.00×10N/m㎡.三、设计要求1、进行T形梁正截面设计计算；2、进行T形梁斜截面设计计算；3、进行T形梁的变形及裂缝宽度验算；4、计算书要程序分明，文字流畅，书写工整，引出资料来源；5、图面整洁、紧凑，符合工程制图要求。
空心板设计计算
《课程设计报告》系别：建筑科学与工程学院土木工程指导教师：樊华老师专业班级：土交1002班学生姓名：戴美荣(101502203)（课程设计时间：2012年12 月24 日——2010年12 月28 日）钢筋混凝土基本构件设计理论课程设计任务书一、目的要求在学习《桥梁工程》之前，必须掌握《混凝土基本构件设计理论》，它是一门专业基础课，而且是进行桥梁设计时不可缺少的工具，必须能熟练进行钢筋混凝土构件的设计与计算。
为了达到这一要求，特安排钢筋混凝土基本构件的课程设计，目的在于使同学能正确运用《混凝土基本构件设计理论》中的理论知识，通过系统地解决桥梁结构中钢筋混凝土空心板梁的设计计算，进一步牢固掌握钢筋混凝土受弯构件设计方法，以便为以后普通钢筋混凝土桥梁设计打下可靠的基础。
二、设计题目钢筋混凝土简支空心板桥空心板设计。
三、设计资料环境条件：I类环境条件结构安全等级：二级。
1.某公路钢筋混凝土简支空心板桥空心板设计结构尺寸。
标准跨径：13.00m；计算跨径：12.640m；空心板全长：12.96m；2.计算内力（1）使用阶段的内力（表中汽车荷载内力已计入汽车冲击系数）（2）施工阶段的内力简支空心板在吊装时，其吊点设在距梁端a=500mm处，13m空心板自重在=190.42k N·m，吊点的剪力标准值V0=71.98kN。
跨中截面的弯矩标准值M k，1/23.材料主筋用HRB335级钢筋f sd＝280N/mm2；f sk＝335N/mm2；E s＝2.0×105N/mm2。
箍筋用R235级钢筋f sd＝195N/mm2；f sk＝235N/mm2；E s＝2.1×105N/mm2。
混凝土强度等级为C30f cd＝13.8N/mm2；f ck＝20.1N/mm2；f td＝1.39N/mm2；f tk＝2.01N/mm2；E c＝3.00×104N/mm2。
四、设计内容1、进行荷载组合，确定计算弯矩，计算剪力2、采用承载能力极限状态计算正截面纵向主钢筋数量3、进行斜截面抗剪承载力计算4、全梁承载力校核5、短暂状况下应力计算6、进行正常使用极限状态的变形及裂缝宽度验算；7、绘制钢筋配筋图8、工程数量表的绘制五、提交成果和设计要求1、设计计算说明书（手写稿和打印稿并提供电子版，打印稿采用A4纸，采用统一打印封面左侧装订。
裂缝宽度验算及减小裂缝宽度的主要措施
8.2.5 裂缝宽度验算及减小裂缝宽度的主要措施对裂缝宽度的限制，应从保证结构耐久性，钢筋不被锈蚀及过宽的裂缝影响结构外观，引起人们心理上的不安两个因素来考虑。
《混凝土结构设计标准》〔GB50010〕规定，钢筋混凝土构件在荷载的标准组合下，并考虑长期作用影响的最大裂缝宽度，应符合下式规定：〔8-20〕式中w max——按荷载的标准组合并考虑长期作用影响计算的构件最大裂缝宽度，按式；w lim——裂缝宽度限值，根据构件所处的环境类别〔表8-1〕不同，裂缝宽度限值取表8-2中的值。
表8-1 混凝土结构的使用环境类别环境类别说明一室内正常环境；无侵蚀性介质、无高温高湿影响、不与土壤直接接触的环境a室内潮湿环境、露天环境及与无侵蚀性的水或土壤直接接触的环境二b严寒和寒冷地区的露天环境及与无侵蚀性的水或土壤直接接触的环境三使用除冰盐的环境、严寒及寒冷地区冬季的水位变动环境、滨海室外环境四海水环境〔海水潮汐区、浪溅区、海面大气区、海水水下区〕五受人为或自然的侵蚀性物质影响的环境表8-2 混凝土结构构件的最大裂缝宽度限值w lim (mm)环境类别最大裂缝宽度限值一二《公路钢筋混凝土和预应力混凝土桥涵设计标准》〔JTJ023〕规定，钢筋混凝土构件在正常使用极限状态下的裂缝宽度，应按作用短期效应组合并考虑长期效应影响进行验算，且不得超过以下规定的限值：这里，一般环境系指寒冷和严寒、无侵蚀物质影响的地面和水下及与土直接接触的环境；有气态、液态或固态侵蚀物质环境系指包括海水、使用除冰盐在内及工业污染的环境。
从影响裂缝宽度的主要因素以及两本标准的裂缝宽度计算公式中我们发现，当设计计算发现裂缝宽度超限，或要求减小裂缝宽度时，选择较细直径的钢筋及变形钢筋是最为经济的措施。
因为同样面积的钢筋，直径小则其周长与面积比就大，这就增大了钢筋与混凝土间的粘结力，采用变形钢筋亦是这个道理。
粘结力大，可使裂缝间距缩短，裂缝即多而密，裂缝间距内钢筋与混凝土之间的变形差就小，裂缝宽度减小。
增大截面法
增大截面法加固设计1、初步假设增加的截面 根据上述的计算，初步分析原结构的不足处，可先假设在T设一层与梁肋同宽，厚度为100mm 的C35混凝土。
且在纵向配备3根级钢筋（22mm 603=s A mm 452=s a ）混凝土的自重取263m /k 26N 增加截面的混凝土和钢筋所产生的恒载集度： m /k 04.1)2.02.0(261N q =⨯⨯=17332.12+=G d M M173328.332.1+⨯=m 9.1772∙=kN 短期效应组合值为： 10340.12+=G S M M28.1067103428.330.1=+⨯=m ∙kN 长期效应组合值为:2.8280.121+=G M M48.8612.82828.330.1=+⨯=m ∙kN 支点处剪力的基本组合值为： 8.5582.12+=G d V VkN 8.5688.55832.82.1=+⨯=1、对加固后的原截面进行抗弯承载力的验算:由上面的计算，可求出原结构截面受压边缘混凝土在1d M 作用下的压应变：410019.3-⨯=增大截面后，结构的整体高度mm 12002=h 则截面的新有效高度为：mm 1.10149.185120020=-=-=s a h h 且其合力作用点至截面受压区边缘的距离为：mm 11554512002202=-=-=s a h h 需求出新增刚进的拉应变：先假设'f h x >可求得混凝土受压区的高度:22112')'(s s s sd f f cd s cd A A f h b b f x b f σ+=-+ 将上面算出的数据带入其中： 110)2001520(2.92002.9⨯-⨯+⨯⨯x则可得出：532100.2/280100707.6⨯>⨯=-s ε 可知，此时新增的钢筋在混凝土破坏时已经屈服了。
故，跨中的截面抗弯承载能力：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=)2'(')'()2(0202f f f cd u h h h b b xh x b f M⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯-+-⨯⨯⨯=)21101.1014(110)2001520()25.3101.1014(5.3102002.9m k 17330.1m k 9.18900∙⨯=>∙=N M N d γ由此可得出，加固后的截面符合要求 2、对加固后的斜截面进行承载力验算首先对截面尺寸进行验算，由以往的计算，可知支点出的剪力最大，则支点处钢筋重心到梁底的距离：603160845603)2/8.3535(1608+⨯++⨯=s amm 51=则可知在支点出正截面的有效高度： mm 11495112000=-=h 继而：1149200201051.01051.030,3⨯⨯⨯⨯=⨯--bh f k cukN M N d 8.568k 9.58500=>=γ 故截面尺寸满足需求。
截面惯性矩计算公式汇总
T型梁结构设计原理课程设计
一 、课程设计的要求①熟练掌握书本上的知识②掌握一般的结构构件设计的计算原理和方法，能够综合运所学知识，分析解决课程设计中出现的问题，设计结果科学合理。
③学生在设计过程中必须具有求实创新的精神，查阅参考书和设计资料，不拘泥于教材。
④设计期间学生必须严格遵守纪律，设计过程中认真严谨、勤学好问、努力创新、互帮互学，完成课程设计任务。
二、课程设计的内容1、正截面设计1）内力组合计算：弯矩组合设计值计算公式：001112()mnd GiGik Q Q k c Qj Qjk i j M M M S γγγγψγ===++∑∑剪力组合设计值计算公式：001112()mnd Gi GikQ Q k c Qj Qjk i j V VV V γγγγψγ===++∑∑跨中截面：,/2,/211,/2,/2121.2812.29 1.4707.740.8 1.441.812012.411m nd l Gi Gik l Q Q k l c Qj Qjk l i j M M M M kN m γγψγ===++=⨯+⨯+⨯⨯=⋅∑∑,/2,/211,/2,/2121.2*0 1.4*71.830.8*1.4*2.14102.959mnd l Gi Gik l Q Q k l c Qj Qjk l i j V V V V γγψγ===++=++=∑∑L/4截面：,/4,/411,/4,/4121.2*609.26 1.4*530.790.8*1.4*41.811521.045m nd l Gi Gik l Q Q k l c Qj Qjk l i j M M M M kN mγγψγ===++=++=⋅∑∑支点处界面：,,11,,121.2*0 1.4*00.8*1.4*00m nd o Gi Gik o Q Q k o c Qj Qjk oi j M M M M γγψγ===++=++=∑∑,/2,/211,/2,/2121.2*0 1.4*71.830.8*1.4*2.14102.959m nd l Gi Gik l Q Q k l c Qj Qjk l i j V V V V γγψγ===++=++=∑∑2）截面尺寸设计对于该T 形截面：取梁肋宽b=200mm ，翼缘悬臂端厚度取100mm ，最大厚度为140mm ，预制梁翼板宽度为1580mm ，相邻两主梁的平均间距为1600mm 。
《结构设计原理》_第三版第9章_钢筋混凝土受弯构件应力、裂缝和变形计算
若 x h f,表 明 为 第 一 类 T 形 截 面 ， 可 按 宽 度 为 b f的 矩 形 截 面 计 算 若 x h f,表 明 为 第 二 类 T 形 截 面 ， 重 新 计 算 x
9.3 应力计算
求Icr (公式不一样） 求截面应力（方法同上） 应力计算结果：当施工阶段应力验算不满足时，应该 调整施工方法，或者补充、调整某些钢筋。
Ⅰ类和Ⅱ类环境：0.2mm Ⅲ类和Ⅳ类环境：0.15mm
9.4 裂缝宽度计算——裂缝控制目的
1、保证使用功能的要求 结构构件的变形较大时，会严重影响甚至丧失它的使用功 能。如桥梁上部结构过大的挠曲变形使桥面形成凹凸的波 浪形，影响车辆行驶，严重时将导致桥面结构的破坏。 2、满足观瞻和使用者的心理要求 构件的变形过大，还引起使用者明显的不安全感。 3、避免对其他结构构件的不利影响 构件的变形过大，会影响到与它连接的其他勾结也发生过 大变形，有时甚至会改变荷载的传递路线、大小和性质。
9 钢筋砼受弯构件的应力、裂缝和变形计算
裂缝与钢筋的腐蚀
结构构件 的可靠性
9.1 概述
安全性 适用性 耐久性
具有足够的承载力和变形 能力
在使用荷载下不产生过大 的裂缝和变形
在一定时期内维持其安全 性和适用性的能力
本章的主要内容
9.1 概述
一、两种极限状态的区别 l 承载能力极限状态计算： 讨论构件在各种不同受力状态下的承载力计算，
9.1 概述——正常使用阶段的特点
3、荷载效应及抗力的取值不同 正常使用极限状态： 汽车荷载应可不计冲击系数，作用（或荷载）效应应 取用短期效应和长期效应的一种或几种组合。 短期效应组合就是永久作用（结构自重）标准值与可 变作用频遇值效应的组合；长期效应组合则为永久作用标 准值与可变作用准永久值效应的组合
（完整版）惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式
（完整版）惯性矩的计算⽅法及常⽤截⾯惯性矩计算公式惯性矩的计算⽅法及常⽤截⾯惯性矩计算公式截⾯图形的⼏何性质⼀.重点及难点：(⼀).截⾯静矩和形⼼1.静矩的定义式如图1所⽰任意有限平⾯图形，取其单元如⾯积dA ，定义它对任意轴的⼀次矩为它对该轴的静矩，即ydA dSx xdAdS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ??==A Ay ydA Sx xdA S （I-1） 2.形⼼与静矩关系图I-1 设平⾯图形形⼼C 的坐标为C C z y , 则 0 AS y x = ， A S x y = （I-2）推论1 如果y 轴通过形⼼（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形⼼（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成⽴。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形⼼；如果y 轴为图形对称轴，则图形形⼼必在此轴上。
3.组合图形的静矩和形⼼设截⾯图形由⼏个⾯积分别为n A A A A ??321,,的简单图形组成，且⼀直各族图形的形⼼坐标分别为??332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为∑∑∑∑========n i n i ii xi x n i ii n i yi y y A S S x A S 1111S （I-3）截⾯图形的形⼼坐标为∑∑===n i i n i i iAx A x 11， ∑∑===n i in i i i A y A y 11 （I-4） 4.静矩的特征(1) 界⾯图形的静矩是对某⼀坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。
(2) 静矩有的单位为3m 。
(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形⼼轴的静矩必定为零，反之，若图形对某⼀轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形⼼。
(4) 若已知图形的形⼼坐标。
则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形⼼坐标。
换算(开裂)截面惯性矩
混凝土受压区对中和轴的惯性矩
与钢筋对中和轴的惯性矩
之和
注意计算过程中要把钢筋面积折算成等效的混凝土面积即
钢筋的折算面积A=As*Es/Ec
混凝土开裂惯性矩等于混凝土开裂惯性矩等于混凝土开裂惯性矩等于混凝土受压区对中和轴的惯性矩混凝土受压区对中和轴的惯性矩混凝土受压区对中和轴的惯性矩与钢筋对Байду номын сангаас和轴的惯性矩与钢筋对中和轴的惯性矩与钢筋对中和轴的惯性矩之和之和之和注意计算过程中要把钢筋面积折算成等效的混凝土面积即注意计算过程中要把钢筋面积折算成等效的混凝土面积即注意计算过程中要把钢筋面积折算成等效的混凝土面积即钢筋的折算面积钢筋的折算面积钢筋的折算面积aasesec?aasesec?aasesec