管理运筹学动态规划
第07章 动态规划 《运筹学》PPT课件
动态规划
模型分类
离散确定型 离散随机型 连续确定型 连续随机型
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
多阶段决策问题
(Multi-Stage decision process)
决策u1 决策u2
决策uk
32
维护费
8 8 9 9 10 6 6 8 8 10 5 6 8 9 5 5 6 4 54Βιβλιοθήκη 新设备购置费 5050
52 52 55 60
旧设备折价
20 15 10 5 2 30 25 20 15 10 31 26 21 15 33 28 20 35 30
40
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
3)连续生产过程的控制 问题：一般化工生产过程中，
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
不过，实际中尚有许多不包含时间 因素的一类“静态”决策问题，就其本 质而言是一次决策问题，是非动态决策 问题，但是也可以人为地引入阶段的概 念当作多阶段决策问题，应用动态规划 方法加以解决。
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
4）资源分配问题：便属于这类静 态问题。如：某工业部门或公司，拟对 其所属企业进行稀缺资源分配，为此需 要制定出收益最大的资源分配方案。这 种问题原本要求一次确定出对各企业的 资源分配量，它与时间因素无关，不属 动态决策，但是，我们可以人为地规定 一个资源分配的阶段和顺序，从而使其 变成一个多阶段决策问题(后面我们将 详细讨论这个问题)。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
第8章 动态规划《管理运筹学》PPT课件
8.2 动态规划模型建立
下面以投资问题为例介绍动态规划的建模条件。
【例8-2】 某公司现有资金20万元，若投资于三个
8.1 动态规划基础知识
（5）状态转移方程：状态转移方程是确定过程由一
个状态转移到另一个状态的演变过程。动态规划中某一状
态以及该状态下的决策，与下一状态之间具有一定的函数
关系，称这种函数关系的表达式为状态转移方程。如果第
k段的状态为 sk ，该阶段的决策为
的状态就可以用下式来表示：
uk
sk
，则第k+1段
阶段的指标函数，是该阶段最优的指标函数。
8.2 动态规划模型建立
建立动态规划模型，就是在分析实际问题的基础上建 立该问题的动态规划基本方程。成功地应用动态规划方法 的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可 用递推关系式联系起来的若干子问题，或者说正确地建立 具体问题的基本方程，这需要经验与技巧。而正确建立基 本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各 阶段的状态变量具有递推的状态转移关系。
第8章 动态规划
动态规划(DYnamic Programming，缩写为DP)方法 ，是本世纪50年代初期由美国数学家贝尔曼(Richard E ，Bellman)等人提出，后来逐渐发展起来的数学分支， 它是一种解决多阶段决策过程最优化问题的数学规划法 。动态规划的数学模型和求解方法比较灵活，对于连续 的或离散的，线性的或非线性的，确定性的或随机性的 模型，只要能构成多阶段决策过程，便可用动态规划方 法求其最优解。因而在自然科学、社会科学、工程技术 等许多领域具有广泛的用途，甚至一定程度上比线性规 划（LP）、非线性规划（NLP）有成效，特别是对于某 些离散型问题，解析数学无法适用，动态规划方法就成 为非常有用的求解工具。
《管理运筹学》案例演示(动态规划)
x1
[
]
第一季度生产量加库存量要满足本季度需求量， 又不能超过第一到第四季度的总需求： 最高生产量为6个单位：
2 ≤ x1 + s1 ≤11 0 ≤ x1 ≤ 6
f1 ( s1 )
x1
0 1 2
21
Байду номын сангаас
3
21.5
4
22
5
6
f1 ( s1 )
∗ x1
s1
0
20.5 21.5 20.5
5
第四步：最佳生产决策:第一季度生产5单位产品，期末库存量为 3单位；第二季度不生产，期末库存量为零；第三季度生产6单位 产品，期末库存量为4单位；第四季度不安排生产。
8 100 75 53
A B C
问如何确定三个项目计划的投资额，才能使8千万元的资金投 资后的利润最大。 解： 阶段变量k ( k =1,2, 3 )：每投资一个项目作为一个阶段； 状态变量sk ：可以对第k个项目投资的资金数（即投资 第k个项目前的资金数）； 决策变量xk：第k 个项目的投资， 0≤xk≤sk；
11 10.5 8 8 8 8 5
6 5 0 0 0 0 0
第三步：第二到第四季度的最佳生产决策； 第二到第四季度的最低生产成本：
f2 (s2 ) = m c2( x2 , s2 ) + f3 (s3 ) in
x2
[
]
约束条件： 由于第一季度期初库存s1= 0，而最高生产量x1= 6 ,市场需求量d1=2，所以，第二季度期初的库存量应为： 第二季度生产量加库存量要满足本季度需求量， 又不能超过第二到第四季度的总需求： 最高生产量为6个单位：
该季度生产量不能超过6个单位：
运筹学第六章 动态规划
f
3
(C
2
)
min
((CC22,,DD21
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
6 5
11
min
5
2
min
7
7
最优决策C2 D2
15
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1
22
f1(A)=19
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
管理运筹学07动态规划
连续时间动态规划
定义
连续时间动态规划是指时间连续变化，状态 和决策也连续变化，状态转移和决策可以发 生在任意时刻。
解决思路
通过将时间连续化，将连续的时间动态问题转化为 离散的时间动态问题，然后应用动态规划的方法进 行求解。
应用场景
控制系统优化、金融衍生品定价、物流优化 等。
状态转移
指从一个状态转移到另一个状态的过程，是动态规划的基本要素 之一。
状态转移方程
描述了状态转移的数学表达式，是动态规划算法的核心。
最优化原理
最优化原理
在多阶段决策问题中，如果每个阶段 都按照最优策略进行选择，则整个问 题的最优解一定是最优的。
最优子结构
如果一个问题的最优解可以由其子问 题的最优解推导出来，则称该问题具 有最优子结构。
解决方案
采用启发式搜索策略， 如模拟退火、遗传算法 等，来引导算法跳出局 部最优解。
案例
在旅行商问题中，采用 模拟退火算法结合动态 规划，在局部搜索和全 局搜索之间取得平衡， 得到全局最优解。
06 动态规划案例研究
案例一：生产与存储问题的动态规划解决方案
总结词
该案例研究探讨了如何利用动态规划解决生 产与存储问题，通过合理安排生产和存储策 略，降低总成本。
管理运筹学07动态规划
contents
目录
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的应用 • 动态规划的扩展 • 动态规划的挑战与解决方案 • 动态规划案例研究
01 动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法，从而有效 地解决最优化问题的方法。
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第7章 动态规划
两级决策问题，从城市④到 E 有两条路线，需加以比较，取其中最短的，即
f3 (4)
=
min
⎧d ⎩⎨d
(4, 7) + (4,8) +
f
4
(7)⎫ ⎬
f4 (8) ⎭
表 7-1
i月
1
2
3
4
yi （需求）
2
3
2
4
这也是一个 4 阶段决策问题。 例 3 投资决策问题
某公司现有资金 Q 万元，在今后 5 年内考虑给 A、B、C、D 四个项目投资，这些项目 的投资期限、回报率均不相同，问应如何确定这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有资
金的本利总额最大。 这是一个 5 阶段决策问题。
c(
j)
=
⎧ ⎨⎩a
0 + bj
( j = 0) ( j = 1, 2,3,L , m)
（千元）
其中 a 为生产的固定费用， b 为可变生产费率， m 为生产能力。供应需求所剩余产品应存 入仓库，每月库存 j 单位产品的费用为
E( j) = c * j （千元）
计划开始和计划期末库存量都是 0。试制定 4 个月的生产计划，在满足用户需求的条件下使 总费用最小。
现在我们利用动态规划最优性原理，由最后一段路线开始，向最初阶段递推求解，逐
步求出各段各点到终点 E 的最短路线，最后求得 A 点到 E 点的最短路线。 上面我们已经规定了本例的阶段数、状态变量、决策变量，给出了转移方程、指标函数
等。再用 d (sk , uk ) 表示由状态 s k 点出发，采用决策 uk 到达下一阶段 sk+1 点时的两点间距离。 第一步从 k=4 开始，状态变量 s4 可取两种状态⑦、⑧，它们到 E 点的路长分别为 4，3。
运筹学 动态规划
max
3x1 4 x2 5 x3
max 3 x1 max 4 x2 5 x3 5 x2 6 x3 10 4 x1 10 0 x1 max 3 x1 f 2 10 4 x1
10 0 x1 4 4
，则有：
N 1 J x0 max L xk , u k u 0 ,u 1,,u N 1 k 0
* N N 1 max L x0 , u 0 L xk , u k u 0 ,u 1,,u N 1 k 1
（5）
（5）式表明，多阶段决策的最优策略只依赖于系统的初始状态 x 0 。
Байду номын сангаас
多阶段决策问题的最优性原理 多阶段决策问题的最优性原理可表述为： 如果 u * 0, u * 1,, u * N 1 是最优 策略序列，那么它的一部分 u * 1, u * 2,, u * N 1 也是一个最优策略序列。其反 证法的证明是无须赘述的[8,9]。 简单说， “最优策略的子策略必为最优子策略”
4 x2 5 x3
max 4 x2 max 5 x3 6 x3 2 5 x2 2 0 x2 max 4 x2 f 3 2 5 x2
2 0 x2 5 5
max 4 x2 max 5 x3 6 x3 105 x2 10 0 x2 max 4 x2 f 3 10 5 x2
k 1:
f1 10
4 x1 5 x2 6 x3 10
max
3 x1 4 x2 5 x3
Max z 3 x1 4 x2 5 x3 s.t. 3 x1 4 x2 5 x3 10 var iable positive, I
运筹学动态规划
特别注意：动态规划是求解某类问题的一种 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法 （如线性规划是一种算法）。
因而，动态规划没有标准的数学表达式和明 确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体 分析处理．
动态规划
8.1 多阶段决策过程及实例 8.2 动态规划的基本概念和
基本方程 8.3 动态规划的最优性定理 8.4 动态规划与静态规划关系
综述
动态规划是运筹学的一个分支，是解决多 阶段决策过程最优化问题的一种数学方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R.Bellman)等 人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，把多阶段 决策问题变换为一系列互相联系单阶段问题，然 后逐个加以解决。
1
2
3
始点
5
B1
6 3
A
4 B2 4 6
2
5
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
3
C3
3
4 终点
D1 2
D2 3
E
4
D3
2、状态
5
B1
6 3
A 4 B246
25
B3 6
C1
1 2
2
C2 2
C3 3 3
D1 2
D2 3 E 4
D3
各个阶段开始时所处的自然状况和客观条件称为
状态,描述了研究问题过程的状况(称不可控因素).
一些与时间没有关系的静态规划（如线性 规划，非线性规划）问题，只要人为地引进 “时间”因素，也可把它视为多阶段决策问题， 用动态规划方法去处理。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划教案章节一：引言1.1 课程目标：让学生了解动态规划的基本概念和应用领域。
让学生掌握动态规划的基本思想和解决问题的步骤。
1.2 教学内容：动态规划的定义和特点动态规划的应用领域动态规划的基本思想和步骤1.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本概念和特点。
案例分析法：分析动态规划在实际问题中的应用。
教案章节二：动态规划的基本思想2.1 课程目标：让学生理解动态规划的基本思想。
让学生学会将问题转化为动态规划问题。
2.2 教学内容：动态规划的基本思想状态和决策的概念状态转移方程和边界条件2.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本思想。
练习法：通过练习题让学生学会将问题转化为动态规划问题。
教案章节三：动态规划的求解方法3.1 课程目标：让学生掌握动态规划的求解方法。
让学生学会使用动态规划算法解决问题。
3.2 教学内容：动态规划的求解方法：自顶向下和自底向上的方法动态规划算法的实现：表格化和递归化的方法3.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的求解方法。
练习法：通过练习题让学生学会使用动态规划算法解决问题。
教案章节四：动态规划的应用实例4.1 课程目标：让学生了解动态规划在实际问题中的应用。
让学生学会使用动态规划解决实际问题。
4.2 教学内容：动态规划在优化问题中的应用：如最短路径问题、背包问题等动态规划在控制问题中的应用：如控制库存、制定计划等4.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划在实际问题中的应用。
案例分析法：分析实际问题，让学生学会使用动态规划解决实际问题。
教案章节五：总结与展望5.1 课程目标：让学生总结动态规划的基本概念、思想和应用。
让学生展望动态规划在未来的发展。
5.2 教学内容：动态规划的基本概念、思想和应用的总结。
动态规划在未来的发展趋势和挑战。
5.3 教学方法：讲授法：总结动态规划的基本概念、思想和应用。
讨论法：让学生讨论动态规划在未来的发展趋势和挑战。
教案章节六：动态规划的优化6.1 课程目标：让学生了解动态规划的优化方法。
运筹学课程动态规划课件
5 A
3
1 B1 3
6
8 B2 7
6
C1 6 8
3 C2 5
3 C3 3
84 C4
2 D1
2
D2 1 2
3 D3
3
E1 3
5 5 E2 2
6 6
E3
F1 4
G 3 F2
1
2
3 4 运筹学课程动态规划
5
6
7
示例5（生产与存储问题）：
某工厂生产并销售某种产品。已知今后四个月市场需求 预测及每月生产j个单位产品的费用如下：
上一个阶段的决策直接影响下一个阶段的决策
运筹学课程动态规划
8
示例6（航天飞机飞行控制问题）：
由于航天飞机的运动的环境是不断变化的，因 此就要根据航天飞机飞行在不同环境中的情况， 不断地决定航天飞机的飞行方向和速度（状态）， 使之能最省燃料和实现目的（如软着落问题）。
运筹学课程动态规划
9
所谓多阶段决策问题是指一类活动过程，它可以分为若 干个相互联系的阶段，在每个阶段都需要作出决策。这 个决策不仅决定这一阶段的效益，而且决定下一阶段的 初
1 6
C3
D1
10
E
D2
6
运筹学课程动态规划
12
以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完
全相同，但规模较小的子问题，即分别从 Di 、 Ci 、Bi、
A到E的最短路径问题。
第四阶段：两个始点 D 1 和 D 2 ，终点只有一个；
本阶段始点 （状态）
D1 D2
本阶段各终点（决策） E 10 6
cj30j
j0 j1,2,6
月1 2 3
4
需求 2 3 2
运筹学第五章动态规划
和 dk 2 (sk ))；
(4) 允许决策集： D k ( s k ) ( x k , y k ) 0 ≤ y k ≤ s k ; 0 ≤ x k ≤ 1 0 0 0 ( s k y k )
状态转移方程： s k 1 s k x k y k ,s 1 5 0 0k4,3,2,1
其中s 5 表示第四阶段末的状态； (5) 阶段指标： v k ( s k ,x k ,y k ) q k y k p k x k ，k4,3,2,1；
5.1 动态规划的基本概念和模型
5.1.1 动态规划的基本概念
下面结合实例来介绍动态规划的基本概念：
【例5.1】 如图5.1所示，在处有一水库，现需从点铺设一条 管道到点，弧上的数字表示与其相连的两个地点之间所需修建 的渠道长度，请找出一条由到的修建线路，使得所需修建的渠 道长度最短。
2
A4
3
B
7
(1) 按月份分段： k4,3,2,1；
(2) 状态变量： s k 表示第 k 个月月初的库存量；
(3) 决策变量： dk1(sk表) 示第 k 个月已有库存 s的k 情况下，要定
购的商品量， dk2表(sk示) 第 个月k 已有库存 的商品量(为方便，后面将分别依次用 ，
的 来x sk 情 代k y况 替k 下，要d销k1(售sk )
(6) 动态规划基本方程：
fk(s k) (x k,y m k) a D x k(s k)v k(s k,x k,y k) fk 1 (s k 1 )
f5 (s 5 ) 0 k 4 ,3 ,2 ,1
求解（要求板书） 辅图1
辅图2
辅图3
5.2.3 动态规划的顺序解法
【 例 5.3】 图 5.3 所 示 为 一 水 利 网 络 ， A 为 水 库 ， 分B 1 ,别B 2 为,B 3 不;C 同1 ,C 的2 ,供C 3 水;D 目1 ,D 的2地，试找出给各供水目的地供水的 最短路线。
运筹学第八章_动态规划
□状态集合：状态变量 xk 的取值集合称为状态集合，状态集合 实际上是关于状态的约束条件。 □通常用Sk表示状态集合，xkSk。
□第1阶段 S1={A}；
x1
x2
□第2阶段具有3个状
态B1、B2和B3，故
S2={B1, B2, B3}。 □……
x3
x4
x5
16
（3）决策（decision）
x2
B1
C1
C2
C3
□决策集合：第k阶段当状态处于xk时决策变量uk( xk )的取值范 称为决策集合，常用Dk( xk ) 表示。
□例1中，从第2阶段的 状态B1出发，可以选择 下一阶段的C1、C2、 C3。 □即 D2( B1 ) = { C1、 C2、C3 }；
B1
C1
C2
C3
□决策集合实际上是决策的约束条件，uk( xk ) ∈ Dk( xk ) 。
6
□这是一个多阶段决策过程。 □该过程可以分为相互联系的若干阶段，每一阶段都需作出决
策，从而形成全过程的决策。
x1=1000
u1 第1年
x2=0.7u1+ 0.9(x1-u1)
u2 第2年
x3=0.7u2+ 0.9(x2-u2)
u3 第3年
x4=0.7u3+ 0.9(x3-u3)
u4 第4年
x5=0.7u4+ 0.9(x4-u4)
3
提纲
1 动态规划实例 2 动态规划的基本概念 3 动态规划的基本思想与基本原理 4 逆序解法与顺序解法
4
1 动态规划实例
学习目标：
1 明确什么是多阶段的决策问题，特别要注意没有明显 的时段背景的问题如何化归为多阶段的决策问题。
运筹学中的动态规划原理-教案
运筹学中的动态规划原理-教案一、引言1.1动态规划的基本概念1.1.1动态规划的定义：动态规划是一种数学方法，用于求解多阶段决策过程的最优化问题。
1.1.2动态规划的特点：将复杂问题分解为简单的子问题，通过求解子问题来得到原问题的最优解。
1.1.3动态规划的应用：广泛应用于资源分配、生产计划、库存控制等领域。
1.2动态规划的基本原理1.2.1最优性原理：一个最优策略的子策略也是最优的。
1.2.2无后效性：某阶段的状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。
1.2.3子问题的重叠性：动态规划将问题分解为子问题，子问题之间往往存在重叠。
1.3动态规划与静态规划的关系1.3.1静态规划：研究在某一特定时刻的最优决策。
1.3.2动态规划：研究在一系列时刻的最优决策。
1.3.3动态规划与静态规划的区别：动态规划考虑时间因素，将问题分解为多个阶段进行求解。
二、知识点讲解2.1动态规划的基本模型2.1.1阶段：将问题的求解过程划分为若干个相互联系的阶段。
2.1.2状态：描述某个阶段的问题情景。
2.1.3决策：在每个阶段，根据当前状态选择一个行动。
2.1.4状态转移方程：描述一个阶段的状态如何转移到下一个阶段的状态。
2.2动态规划的基本算法2.2.1递归算法：通过递归调用求解子问题。
2.2.2记忆化搜索：在递归算法的基础上，保存已经求解的子问题的结果，避免重复计算。
2.2.3动态规划算法：自底向上求解子问题，将子问题的解存储在表格中。
2.2.4动态规划算法的优化：通过状态压缩、滚动数组等技术，减少动态规划算法的空间复杂度。
2.3动态规划的经典问题2.3.1背包问题：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，求解在给定背包容量下，如何选择物品使得背包中物品的总价值最大。
2.3.2最长递增子序列问题：给定一个整数序列，求解序列的最长递增子序列的长度。
2.3.3最短路径问题：给定一个加权有向图，求解从源点到目标点的最短路径。
管理运筹学第3章：动态规划
B
fn*(Sn)
=
min [dn(sn,xn)+ fn+1*(Sn+1)
]， n=4、3、2、1
xn∈Dn(Sn) f5*(S5) = min [r5(s5,x5)] x5∈D5(S5) 三、求解过程：
用反向嵌套递推法：从最后一个阶段开始，依次对各子过程寻优，直至获得全过程的最优， 形成最优策略，获得最优策略指标值。
4
3.3 DP建模及求解
一、建模条件：
决策过程本身具有时顺序性或可以转化为具有时序性的决策问题， 均可建立动态规划数学模型求解。
二、典型动态决策问题建模及其求解
1、最短路线问题
例1：求下列图中A到F的最短路线及最短路线值。
B1 3 A 4 B3 5 4 B2
9 5
C1 8 C2
1 5
D
1
4 2 E1 1 F 2 E2 5
5
3
4 6
D
2
6 9 7
5
1 7 C3 4 2
4
D
3
B1 3 4
9 5
C1 8
1 5
D
1
4
2
A 4
5
B2
5 1 B3 7
3
C2
4 6
D
2
6 9 7 5
E1
1 F 24 C3 24E2D
3
1、阶段(stage)n： n = 1、2、3、4、5。 2、状态(state)Sn： S1={A}，S2={B1,B2,B3}，S3={C1,C2,C3}，S4={D1,D2,D3}，S5={E1,E2}。 3、决策(decision)Xn：决策集Dn(Sn)。 D1(S1)={X1(A)}={B1,B2,B3}= S2， D2(S2)={X2(B1),X2(B2),X2(B3)}={C1,C2;C1,C2,C3 ;C2,C3 }={C1,C2,C3}=S3， D3(S3)={X3(C1),X3(C2),X3(C3)}={D1,D2;D1,D2,D3; D1,D2,D3}={D1,D2,D3}=S4， D4(S4)={X4(D1),X4(D2),X4(D3)}={E1,E2;E1,E2;E1,E2}={E1,E2}=S5， D5(S5)={X5(E1),X5(E2)}={F;F}={F}。 4、状态转移方程：Xn = Sn+1 5、指标函数(距离)：dn(sn,xn)。 d2(B3,C2)=1, d3(C2,D3)=6 等。 6、指标递推方程：fn*(Sn) = min [rn(sn,xn)+ fn+1*(Sn+1) ]， n=4、3、2、1
运筹学动态规划的概念
运筹学动态规划的概念运筹学中的动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。
它适用于需要做出一系列决策才能获得最优解的情况。
在这种情况下，每个决策都会对接下来的决策产生影响，因此需要考虑整个过程的影响。
动态规划的实质是将多阶段决策过程拆解成一系列子问题，每个子问题都可以用一个状态来描述。
通过求解每个子问题的最优解，就可以逐步得到整个过程的最优解。
动态规划的基本思想是以最优子结构为基础，避免重复计算已经求解过的子问题的过程。
也就是说，如果我们已经知道了子问题的最优解，那么整个问题的最优解就可以通过这些子问题的最优解推导出来。
通常情况下，动态规划问题需要满足以下几个条件：1.具有最优子结构特征：问题的最优解是由子问题的最优解组合而成的。
2.无后效性：子问题的解一旦确定，就不会被改变。
3.子问题重复性：不同的子问题可能会对应相同的状态。
4.边界性：即为问题的较小的子问题需要单独处理。
通过以上条件，我们就可以将动态规划问题分解为一个个子问题，并求解每个子问题所对应的最优值。
动态规划的基本流程分为三个步骤：1.定义状态：构建状态转移方程需要定义状态，状态通常用一个或多个变量来表示，变量的取值代表状态。
2.写出状态转移方程：根据定义好的状态，写出各个状态之间的转移方程。
3.确定边界条件：对较小的子问题需要单独处理，因此当状态变量为边界值时，需要特殊处理。
动态规划的应用广泛，它可以用于解决大量的问题。
例如，求解最长公共子序列问题、背包问题、最短路问题、字符串编辑距离问题等等。
它在图像处理、自然语言处理、生物信息学等领域中也有广泛的应用，如图像去噪、序列比对、DNA 序列匹配等。
总之，动态规划是运筹学中一种解决多阶段决策问题的重要方法，它通过将问题分解成子问题，并求解每个子问题的最优解，得出整个问题的最优解。
在实际应用中，我们需要根据具体问题特点，定义好状态，写出好的状态转移方程，才能有效地解决问题。
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E3 6
=d5(s5,u5)+ V6, 6
1
2
3
4
5
6
• 过程和它的任意子过程的指标是它所包含的各阶 段的指标的乘积。即
可改写成 Vk, n(sk ,uk ,…, sn+1) = vk(sk ,uk) Vk+1, n(sk+1, uk+1, …, sn+1)
最优值函数： 指标函数的最优值，记为 fk (sk)。表示从第 k 阶段
用动态规划解决多阶段决策问题; 重点掌握动态规划模型结构、逆序算法原理、资源 分
配问题、生产与存储问题. 难点为动态规划中状态变量、基本方程等的确定.
动态规划产生于20世纪50年代, 美国数学 家贝尔曼(R. Bellman)等人提出.
动态规划是求解某类问题的一种方法,是考 察问题的一种途径,而不是一种算法.必须对 具体问题进行具体分析,运用动态规划的原理 和方法,划分阶段,建立相应的模型,然后再去 求解.
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优化 的一种数量方法.其特点在于,它可以把一个多 阶段决策问题变换为几个相互联系的同类型单 阶段最优化问题,从而一个一个地去解决.
1. 多阶段决策过程及实例
多阶段决策过程（序贯决策过程）
决策
决策
决策
状态
状态
状态 状态
状态
1
2
…
n
收益
收益
收益
2 多阶段决策问题——举例
55 F1 4
E2 2
G
6 F2 3
D3
3 3
E3 6
4
5
6
4、多阶段决策过程
在每个阶段进行决策 控制过程的发展；
其发展是通过一系列的状态转移来实现的；
系统当前的 状态和决策
系统过去的历 史状态和决策
状态转移方程的一般形式 1
5 B1 3
s2=T1(s1, u1)
s3=sT12=(sAs1,2,u=u11?,=sB2,1u,2)
多阶段决策问题的典型例子
1、 生产决策问题
企业在生产过程中，由于需求是随时间变化的 ，因此企业为了获得全年的最佳生产效益，就要在 整个生产过程中逐月或逐季度地根据库存和需求决 定生产计划。
2、机器负荷分配问题
产品的年产量
某种机器
高负荷 g=g(u1)
投入生产的机 器数量
机器的年完好率为a ，0<a<1
A3
6 8
B2 7
6
C1 6
8 C2 3
5
C3 3 3 8
sk+1=Tk(s1, u1, s2, u2 ,, sk, uk) C4 4
2
D1 E1 3
2
D2
1 2
55 F1 4
E2 2
G
6 F2 3
D3
3 3
E3 6
1
2
3
4
5
6
图示如下：
u1
s1
s2
1
u2 s3
2
sk
uk sk+1 k
能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一类 特殊的多阶段决策过程，即具有无后效性的多阶段 决策过程。
1
5 B1 3
A3
6
8
B2 7
6
C1 6
8
C2 3 5
C3 3 3 8
C4 4
2 D1
2
D2 1 2 3
D3 3
E1 3
5 F1 4
5 E2 2
G
6 E3 6
F2
3
1
2
3
4
5
6
（穷举法48条路线
13 1
5 B1 3
A3
6
18
8 B2 7
16 6
1
2
13
C1 6 10 8
C2 3 95 C3 3
3 8 C4 4
E2 2
G
6 F2 3
D3
3 3
E3 6
1
2
3
4
5
6
多阶段决策过程的数学模型: (具有无后效性, 以和式为例 )
opt
{u1, u2,…,un}
sk+1=Tk(sk, uk)
s.t. skSk
ukDk
k=1,2, …,n
小结:
无后效性
动态规划本质上是多阶段决策过程;
概念:阶段变量 k﹑状态变量 sk﹑决策变量 uk ;
不包含时间因素的静态决策问题（一次决策问题 ）也可以适当地引入阶段的概念，作为多阶段的决 策问题用动态规划方法来解决。
4、最短路问题（引例）：给定一个交通网络图如
前，其中两点之间的数字表示距离（或花费），试求 从A点到G点的最短距离（总费用最小）。
动态规划的基本概念
1. 阶段 2. 状态 3. 决策 4. 策略 5. 状态转移方程 6. 指标函数和最优值函数
量，常用 k 表示。
2、状态、状态变量
每个阶段开始所处的自然状态或客观条件,描述过程的
状况,通常一个阶段有若干个状态.
描述过程状态的变 量称为状态变量， 它可用一个数、一 组数或一向量来描 述, 常用 sk 表示第 k 阶段的状态.
1 C1 6
5 B1 3
A3
6 8
B2 7
8 C2 3
5
C3 3 3
6
8
C4 4
uk,Vk+1, n 的函数。
2
D1 E1 3
2
D2
1 2
55 F1 4
E2 2
G
6 F2 3
D3
3 3
E3 6
1
234Fra bibliotek56
常见的指标函数的形式是：
• 过程和它的任一子过程的指标是它所包含的各阶
段的指标和。即
无后效性 的结果
其中V(sj, uj ) 表示第 j 阶段的阶段指标。这时上
式可写成
1 2
55 F1 4
E2 2
G
6 F2 3
D3
3 3
E3 6
1
2
3
4
5
6
§1 动态规划的研究对象和引例
动态系统：
包含随时间变化的因素和变量的系统。 动态决策问题：
系统所处的状态和时刻是进行决策的重要因素. 找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略.
状态
决策 状态
1
决策
状态 状态
2
决策 n
阶段
全过程的最优
12 3
7
2 D1
2 6 D2 1
2 3 D3 3 8
7
E1 3
5 5
F1 4
5 E2 2
G
6 E3 6
F2 3 3
9
4
5
6
51
5 B1 3
A3
6
8
B2 7
36
1
2
6
C1 6 88 C2 3 10 5 C3 3
3 8 C4 4
9 3
11 2
D1
13 2 D2 1
2 3 D3 3
13
13
E1 3 17
55 F1 E2 2
4
G
F1 G，f6(F1)=4 F2 G，f6(F2)=3
6 F2 3
D3
3 3
E3
6
k=5，出发点有 E1, E2, E3
C4 4
u5(E1)=F1
E1F1G
u5(E2)=F2
E2F2G
u5(E3)=F2 E3F2G
1 C1 6
Vk, n(sk ,uk ,…, sn+1) = vk(sk ,uk)+ Vk+1, n
5 B1 3
A3
6 8
B2 7
8 C2 3
5
C3 3 3
V5, 6= V5, 6 (s5, u5, V6, 6 )
6
8
C4 4
2
D1 E1 3
2
D2
1 2
55 F1 4
E2 2
G
6 F2 3
D3
3 3
的状态 sk 到第 n 阶段的终止状态的采取最优策略所得 到的指标函数值。即
全过程的最优值函数记为 f1 (s1)
f6 (s6)=？
f6 (F1)=4 f6 (F2)=3
f5 (E1)=？
1 C1 6
5 B1 3
A3
6 8
B2 7
8 C2 3
5
C3 3 3
6
8
C4 4
2
D1 E1 3
2
D2
1 2
55 F1 4
sk+1=Tk(sk, uk)
6、策略
按顺序排列的决策组成的集合。 由过程的第k 终止状态为止的过程，称为问题的 后部子过程（k 子过程）。
由每段的决策按顺序排列组成的决策函数序列称为
k 子过程策略。简称
1 C1 6
子策略，记为pk,n(sk)，5 B1 3
即，
A3
6 8
Pk,n(sk)={uk(sk),uk+1(sk+1), ,un(sn)}
5、无后效性或马尔可夫性
如果某阶段状态给定后，则在这个阶段以后过程的 发展不受这个阶段以前各阶段状态的影响；过程的过 去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展。
构造动态规划模型时，要充分注意状态变量是否满 足无后效性的要求；
状态转移方程？
状态具有无后效性的多阶段决策过程的状态转移 方程如下：
s2=T1(s1, u1) s3=T2(s2, u2)