北京四中初二下
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3．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
9．如图，分别以直角三角形 的斜边 ，直角边 为边向 外作等边 和等边 ， 为 边的中点， 与 交于点 ， 与 交于点 ， ， ．给出如下结论：① ,②四边形 为菱形，③ ,④ ,其中成立的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．在平面直角坐标第中， 、 、 、 、 …按如图所示的方式放置，其中点 在 轴上，点 、 、 、 、 、 、 …在 轴上，已知正方形 的边长为1， ， …则正方形 的边长是（ ）
6．如图，矩形 中，对角线 ， 交于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．4B． C．3D．5
7．如图，菱形中，对角线 交于点 ， 为 边中点，菱形 的周长为 ，则 的长等于（ ）
A． B．4C．7D．
8．矩形具有而菱形不具有的性质（ ）
A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等
（3） ．
（4） ．
20．如图，等边 边长是2， 、 分别为 、 的中点，延长 到点 ，使 ，连接 和 ．
（1）求证： ．
（2）求 的长．
21．如图，在 中， ， 是 的一个外角．实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中表明相应字母 （保留作图痕迹，不写作法）．
（1）作 的平分线 ．
（2）作线段 的垂直平分线，与 交于点 ，与 边交于点 ，连接 、 ．猜想并证明：判断四边形 的形状并加以证明．
16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离远处竹子 尺远，则原处还有
尺竹子．（请直接写出答案，注：1丈= 尺）．
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．如果 ，那么 的值为．
12．计算 等于．
13．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为．
14．如图，平行四边形 的对角线 与 相交于点 ， ，若 ， ，则 长为．
15．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点 出发，经过3个面爬到 点，如果它运动的距离是最短的，则 的长为．
A．2，2，3B．3，4，5C．5，12，13D．1， ，
【答案】A
【解析】∵ ，
∴以2，2，3为边长的线段不能构成直角三角形．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】考察二次根式的计算化简和计算，根据平方根的定义知 、 、 ，故答案为D．
4．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据最简二次根式的定义知，最简二次根式为 ，故答案为C．
5．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】对角线相等的平等四边形是矩形，A错误；
22．如图1，在正方形 中， 是对角线 上的一点，点 在 的延长线上，且 ， 交 于点 ．
（1）证明： ．
（2）求 得度数．
（3）如图2，把正方形 改为菱形 ，其他条件不变，当 时，连接 ，试探究线段 与线 段 的数量关系，并说明理由．
四、附加题（共20分）
23．如图所示， 的顶点 、 在矩形 的 、 边上，如果矩形 的面积是 ， 的面积是 ， ，那么 ．
2015—2016学年北京西城区北京四中初二下学期期中数学试卷（含附加）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，使二次根式 有意义，即 ，解得 ；故答案为A．
2．下列各组数中，以它们为连长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
2015—2016学年北京西城区北京四中初二下学期期中数学试卷（含附加）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，以它们为连长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．2，2，3B．3，4，5C．5，12，13D．1， ，
17．如图，四边形 ， ， 都是正方形，
（1）如果 ， ，那么图中阴影部分的面积的和为．
（2）如果正方形 ， 的面积分别是 和 ，那么 ．
18．如图，矩形 中， ， ，点 在边 上，点 在边 上，点 、 在对角线 上，若四边形 是菱形，则 的长．
三、解答Leabharlann Baidu（共46分）
19．计算．
（1） ．
（2） ．
24．正方形 的边长为1，点 为边 上任意一点（可与 点或 点重合），分别过 、 、 作射线 的垂线，垂足分别是 、 、 ，则 的最大值为，最小值为．
25．已知 ，那么 的值等于．
26． 和 是两个等腰直角三角形, ， ， ．
（1）将 的顶点 与点 重合，连接 ， ，取线段 的中点 ，连接 ．
如图1，若 ， 分别与 ， 边重合，则线段 与 有怎样的数量关系？请直接写出你的结果计算．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，B错误；
一组对边相等，另一组对边平行的四边形还可能是等腰梯形，D错误．
故选C．
6．如图，矩形 中，对角线 ， 交于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．4B． C．3D．5
【答案】A
【解析】∵四边形 为矩形， ，
∴ ,
∴ ,
∴ ，
∴ 为等边三角形，
（2）如图2，若 在 内部，请你在图2中画出完整图形，判断 与 之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明．
（3）将 绕点 任意转动，写出 的取值范围（用含 式子表示）．
．
（4）是否存在边长最大的 ，使 的三个顶点分别在 的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长 的值；如果不存在，请说明理由．
A． B．
C． D．
4．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
9．如图，分别以直角三角形 的斜边 ，直角边 为边向 外作等边 和等边 ， 为 边的中点， 与 交于点 ， 与 交于点 ， ， ．给出如下结论：① ,②四边形 为菱形，③ ,④ ,其中成立的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．在平面直角坐标第中， 、 、 、 、 …按如图所示的方式放置，其中点 在 轴上，点 、 、 、 、 、 、 …在 轴上，已知正方形 的边长为1， ， …则正方形 的边长是（ ）
6．如图，矩形 中，对角线 ， 交于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．4B． C．3D．5
7．如图，菱形中，对角线 交于点 ， 为 边中点，菱形 的周长为 ，则 的长等于（ ）
A． B．4C．7D．
8．矩形具有而菱形不具有的性质（ ）
A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等
（3） ．
（4） ．
20．如图，等边 边长是2， 、 分别为 、 的中点，延长 到点 ，使 ，连接 和 ．
（1）求证： ．
（2）求 的长．
21．如图，在 中， ， 是 的一个外角．实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中表明相应字母 （保留作图痕迹，不写作法）．
（1）作 的平分线 ．
（2）作线段 的垂直平分线，与 交于点 ，与 边交于点 ，连接 、 ．猜想并证明：判断四边形 的形状并加以证明．
16．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离远处竹子 尺远，则原处还有
尺竹子．（请直接写出答案，注：1丈= 尺）．
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．如果 ，那么 的值为．
12．计算 等于．
13．若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为．
14．如图，平行四边形 的对角线 与 相交于点 ， ，若 ， ，则 长为．
15．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点 出发，经过3个面爬到 点，如果它运动的距离是最短的，则 的长为．
A．2，2，3B．3，4，5C．5，12，13D．1， ，
【答案】A
【解析】∵ ，
∴以2，2，3为边长的线段不能构成直角三角形．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】考察二次根式的计算化简和计算，根据平方根的定义知 、 、 ，故答案为D．
4．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据最简二次根式的定义知，最简二次根式为 ，故答案为C．
5．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】对角线相等的平等四边形是矩形，A错误；
22．如图1，在正方形 中， 是对角线 上的一点，点 在 的延长线上，且 ， 交 于点 ．
（1）证明： ．
（2）求 得度数．
（3）如图2，把正方形 改为菱形 ，其他条件不变，当 时，连接 ，试探究线段 与线 段 的数量关系，并说明理由．
四、附加题（共20分）
23．如图所示， 的顶点 、 在矩形 的 、 边上，如果矩形 的面积是 ， 的面积是 ， ，那么 ．
2015—2016学年北京西城区北京四中初二下学期期中数学试卷（含附加）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，使二次根式 有意义，即 ，解得 ；故答案为A．
2．下列各组数中，以它们为连长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
2015—2016学年北京西城区北京四中初二下学期期中数学试卷（含附加）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．若代数式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，以它们为连长的线段不能构成直角三角形的是（ ）
A．2，2，3B．3，4，5C．5，12，13D．1， ，
17．如图，四边形 ， ， 都是正方形，
（1）如果 ， ，那么图中阴影部分的面积的和为．
（2）如果正方形 ， 的面积分别是 和 ，那么 ．
18．如图，矩形 中， ， ，点 在边 上，点 在边 上，点 、 在对角线 上，若四边形 是菱形，则 的长．
三、解答Leabharlann Baidu（共46分）
19．计算．
（1） ．
（2） ．
24．正方形 的边长为1，点 为边 上任意一点（可与 点或 点重合），分别过 、 、 作射线 的垂线，垂足分别是 、 、 ，则 的最大值为，最小值为．
25．已知 ，那么 的值等于．
26． 和 是两个等腰直角三角形, ， ， ．
（1）将 的顶点 与点 重合，连接 ， ，取线段 的中点 ，连接 ．
如图1，若 ， 分别与 ， 边重合，则线段 与 有怎样的数量关系？请直接写出你的结果计算．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，B错误；
一组对边相等，另一组对边平行的四边形还可能是等腰梯形，D错误．
故选C．
6．如图，矩形 中，对角线 ， 交于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A．4B． C．3D．5
【答案】A
【解析】∵四边形 为矩形， ，
∴ ,
∴ ,
∴ ，
∴ 为等边三角形，
（2）如图2，若 在 内部，请你在图2中画出完整图形，判断 与 之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明．
（3）将 绕点 任意转动，写出 的取值范围（用含 式子表示）．
．
（4）是否存在边长最大的 ，使 的三个顶点分别在 的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长 的值；如果不存在，请说明理由．