线性回归模型y=bxae增加了随机误差项e
一元线性回归模型及其应用
题型二 一元线性回归模型的应用
[探究发现]
(1)残差平方和与R2有怎样的关系？
n
yi－^yi2
i＝1
提示：R2＝1－
，即残差平方和越小，R2 越大．
n
yi－－y 2
i＝1
(2)R2的大小对模型的拟合效果有怎样的影响？
提示：R2越大，说明残差平方和越小，即模型的拟合效果越好．
[学透用活] [典例2] 假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5 组数据如下：
解：(1) x ＝16×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5， y ＝16×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80， ^a＝ y ＋20 x ＝80＋20×8.5＝250， 所以经验回归方程为^y＝－20x＋250. (2)工厂获得的利润 z＝(x－4)y＝－20x2＋330x－1 000， 由二次函数知识可知当 x＝343时，zmax＝361.25(元)． 故该产品的单价应定为 8.25 元．
2．一元线性回归模型参数的最小二乘估计 (1)经验回归方程：
对于一组具有线性相关关系的成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，
n
xi－－x yi－－y
n xiyi－n－x －y
i＝1
i＝1
由最小二乘法得^b＝
＝
，
n
xi－－x 2
n x2i －n－x 2
i＝1
i＝1
^a＝－y －^b－x .
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)在一元线性回归模型中，e 是 bx＋a 预报真实值 y 的随机误差，它是一个
可观测的量．
()
(2)用最小二乘法求出的^b可能是正的，也可能是负的． (3)残差平方和越大，线性回归模型的拟合效果越好． (4)经验回归方程^y＝^bx＋^a必过点(－x ，－y ＝1 076.2.
计量经济学期末考试题库(完整版)及答案
计量经济学题库1、计量经济学是以经济理论为指导，以数据事实为依据，以数学统计为方法、以计算机技术为手段，研究经济关系和经济活动数量规律及其应用，并以建立计量经济模型为核心的一门经济学学科。
2、5、（填空）样本观测值与回归理论值之间的偏差，称为____残差项_______，我们用残差估计线性回归模型中的_______随机误差项____。
3、1620（填空）（1）存在近似多重共线性时，回归系数的标准差趋于__0___, T趋于____无穷___。
（2）方差膨胀因子（VIF）越大，OLS估计值的____方差标准差_________将越大。
（3）存在完全多重共线性时，OLS估计值是______非有效____，它们的方差是______增大_______。
（4）（5）一经济变量之间数量关系研究中常用的分析方法有回归分析、_______相关分析____________、_________________方差分析__等。
其中应用最广泛的是回归分析。
a)高斯—马尔可夫定理是指在总体参数的各种线性无偏估计中，最小二乘估计具有_______最小方差的线性无偏估计量____________的特性。
b)检验样本是否存在多重共线性的常见方法有：_________简单系所分析__________和逐步分析检验法。
处理。
c)计量经济模型的计量经济检验通常包括_______序列相关性___________、多重共线性检验、__________异方差性________。
、单项选择题（每小题1分）1．计量经济学是下列哪门学科的分支学科（C）。
A．统计学B．数学C．经济学D．数理统计学2．计量经济学成为一门独立学科的标志是（B）。
A．1930年世界计量经济学会成立B．1933年《计量经济学》会刊出版C．1969年诺贝尔经济学奖设立D．1926年计量经济学（Economics）一词构造出来3．外生变量和滞后变量统称为（D）。
A．控制变量B．解释变量C．被解释变量D．前定变量4．横截面数据是指（A）。
2024春高中数学第8章成对数据的统计分析8-2一元线性回归模型及其应用8-2-1一元线性回归模型8
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程．
[解]
＝1.2t－1.4，代入t＝x－2
Ƹ
017，z＝y－5，
得－5＝1.2(x－2
ො
017)－1.4，
即＝1.2x－2
ො
416.8．
故y关于x的经验回归方程为＝1.2x－2
ො
416.8．
◆ 类型3 利用经验回归方程进行预测
【例3】 (源自湘教版教材)一个车间为了估计加工某种新型零件所
(√ )
(2)经验回归方程最能代表观测值x，y之间的线性关系，且回归直线
过样本点的中心(，
ҧ )．
ത
(√ )
(3)求经验回归方程前可以不进行相关性检验．
( × )
(4)利用经验回归方程求出的值是准确值．
( × )
①④
2．下列有关经验回归方程＝
ො ＋
叙述正确的是______(填序号)．
位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并
由调查数据得到y对x的经验回归方程：＝0.254x＋0.321．由经验回
ො
归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加
0.254
________万元．
0.254
[由于＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增
ො
①反映与x之间的函数关系；
ො
②反映与x之间的函数关系；
③表示与x之间不确定关系；
ො
④表示最接近与x之间真实关系的一条直线．
①④
[＝
ො ＋
表示
ො
与x之间的函数关系，而不是y与x之间的函数
ො
关系，但它反映的关系最接近y与x之间的真实关系，故①④正确．]
第八章 成对数据的统计分析-8.2一元线性回归模型及其应用-人A版(2019)数学-选择性必修第三册
通过前面的学习我们已经了解到，根据成对样本数据的散 点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、 是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等.
思考：是否可以通过建立适当的统计模型来刻画两个变量之 间的相关关系？
课标要求
1.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.2.了解随机 误差、残差、残差图的概念.3.会通过分析残差判断线性回归模型的拟 合效果.4.了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法.
素养要求
1.通过对线性回归的分析，培养数据分析的素养． 2.借助回归模型的建立，培养数学建模、数据分析及数学运 算的素养.
探究点1 一元回归模型
生活经验告诉我们,儿子的身高与父亲的身高相关.一般来说, 父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者 之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高， 得到的数据如表1所示.
均值的理想状态应该为0. 如果随机误差是一个不为0的常数 e，则可以将 e 合并到截距项a
中，否则模型无法确定，即参数没有唯一解. 如果随机误差e=0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模
型来描述.
问题5:请根据以上的分析，你能建立一个数学模型表示儿子身高与父 亲身高的关系吗？
1.一元线性回归模型
由于随机误差表示大量已知和未知的各种影响之和，它们会相互抵
消，为使问题简洁，可以假设随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无
关的定σ 2值 .
即: E(e) 0, D(e) 2.
思考:为什么要假设E(e)=0,而不假设其为某个不为0的常数？ 因为误差是随机的，即取各种正负误差的可能性一样,所以它们
b未知，我们能否通过样本数据估计参数a和b? Y bx a e,
回归分析的基本思想及其初步应用(第1课时)教案及说明
1．1回归分析的基本思想及其初步应用（第1课时）教案教材：人民教育出版社A版必修3授课教师：中卫市第一中学俞清华【教学目标】在《数学③（必修）》之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，最小二乘法求回归直线方程等内容.在人教A版选修1-2第一章第一节“回归分析的基本思想及其初步应用”这一节中进一步介绍回归分析的基本思想及其初步应用.这部分内容《教师用书》共计4课时，第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果；第二课时：从相关系数、相关指数和残差分析角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用. 本节课是第一课时的内容.1、知识与技能目标认识随机误差；2、过程与方法目标（1）会使用函数计算器求回归方程；（2）能正确理解回归方程的预报结果.3、情感、态度、价值观通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.【教学重点】随机误差ｅ的认识【教学难点】随机误差的来源和对预报变量的影响【教学方法】启发式教学法【教学手段】多媒体辅助教学【教学流程】【教学过程设计】．几点注明：1、复习引入时教师做示范——提供5组身高与体重的数据，用Excel展示如何画散点图、用最小二乘法求线性回归方程.随机抽样并列表如下：2、计算机做散点图的步骤如下：（1）进入Excel软件操作界面，在A1,B1分别输入“身高”和“体重”，在A,B 列输入相应的数据.（2）点击“图表向导”图标，进入“图表类型”对话框，选择“标准类型”中的“XY散点图”，单击“下一步”.（3）在“图表向导”中的“图表数据源”对话框中，选择“系列”选项，单击“添加”按钮添加系列1，在“X值”栏中输入身高所在数据区域，在“Y值”栏中输入体重所在数据区域，单击“下一步”.（4）进入“图表向导”中的图表选项对话框，对图表的一些属性进行设置. （5）单击“完成”按钮.注：也可以直接使用我们提供的文件来给学生演示，相对节约课堂时间.3、学生使用函数计算器求回归方程的过程如下：MODE SHIFT CLR =1 13 ， DT 165 49 ，DT17565， DT 165 58 ， DT 157 51 ， DT 170 53 SHIFT CLRSHIFTCLR2==1 (进入回归计算模式)(清除统计存储器)(输入五组数据)所以回归方程为 yˆ0.673x-56.79 (计算参数a) (计算参数b)（学生还会使用更先进的计算器）4、课堂使用的数据如下高二女生前15组数据列表：高二女生中间15组数据列表：高二女生后15组数据列表：课本P2例题1 女大学生8组数据列表：例1.1．1回归分析的基本思想及其初步应用（第1课时）教案说明教材：人民教育出版社A版必修3授课教师：中卫市第一中学俞清华1、设计理念《数学课程标准》明确指出：有效的数学学习活动不能单纯地模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流，可以促进学生自主、全面、可持续的发展，是学生学习数学的重要方式．为使教学真正做到以学生为本，我对教材P2—P3的知识进行了适当地重组和加工，力求给学生提供研究、探讨的时间与空间，让学生充分经历“做数学”的过程，促使学生在自主中求知，在合作中获取，在探究中发展.2、授课内容的数学本质与教学目标定位回归分析，是一种从事物因果关系出发进行预测的方法．操作中，是在掌握大量观察数据的基础上，利用数理统计方法建立因变量与自变量之间的回归关系函数表达式（称回归方程式），预测今后事物发展的趋势．然而，所建立的回归方程与样本点的分布之间还存在有差异，这一差异就是我们本节课学习的主要内容：随机变量．3、学习本课内容的基础以及应用本课内容安排在《数学3（必修）》之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，会利用最小二乘法求回归直线方程等内容.以此为基础，进一步讨论一元线性回归模型，分析产生模型中随机误差项的原因，从而让学生了解线性回归模型与函数模型之间的区别与联系，体会统计思维与确定性思维的区别与联系.通过本节课的学习，为后继课程了解偏差平方和分解思想和相关指数的含义、了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系、了解残差图的作用，体会什么是回归分析、回归分的必要性，都起到铺垫作用．在本节课的教学中，学生使用了函数计算器，教师则利用电脑Excel表格完成对数据的整理，需要学生有一定的动手能力．4、学习本课内容时容易了解与容易误解的地方由于学生对必修3中的线性回归知识已经熟悉，会抽取样本、会画散点图、会利用最小二乘法求出线性回归方程，所以本节课学生容易了解：（1）从散点图看出，样本点呈条状分布，体重与身高具有线性相关关系，因此可以用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系．（2）可以发现样本点并不完全落在回归方程上，有随机误差存在.（3）容易理解由一条回归方程预测到的身高172cm的女生体重不是都一样，它只是一个平均值．在学习过程中，相对不易理解的地方有：（1）对于随机误差的来源，学生是能够从样本的个体差异上来理解的，但是对于由用线性回归模型近似真实模型所引起的误差，学生理解还是有一定困难的.（2）随机误差对预报变量的影响，学生从感性上很好理解，当然是随机误差越小越好.但是从理性上认识，怎样从数据上刻画出随机误差是否变小了呢？学生还有困难.5、本节课的教法特点以及预期效果分析5.1 改造创新教师通过分析教材和学生认知规律，创造性地使用教材，做到既重视教材，更重视学生.具体说来有以下改造：（1）创设生活情景.利用学生的“体检经验”设置问题，既没有脱离课本例题1的相关内容，又能激发学生对数学的亲切感，引发学生看个究竟的冲动，兴趣盎然地投入学习.（2）充分体现随机观念.课本上仅仅希望利用8组数据就要学生体会到统计的思想和后继课程中回归分析的必要性，实在是为难学生了．在本课教学设计学生操作时强调“增多数据，加强比较”. 帮助学生体会“不同事件（如课本例1女大学生和高二女生）”，则统计结果不同、“同一事件（如都是高二女生），采样不同结果也不同”的基本事实.（3）教师的作用. 在这节课里，教师在学生操作结束后，利用更多数据的操作，形成一个与学生结果的对比，这一操作与展示为学生创造了新的思维增长点，引领学生进入更深层领悟.5.2 问题性本课教学以问题引导学习活动，通过恰时恰点地提出问题，提好问题，给学生提问的示范，使他们领悟发现和提出问题的艺术，引导他们更加主动和有兴趣地学，逐步培养学生的问题意识，孕育创新精神.例如，在“结果的分析”中的问题4、“预测出的体重值都不同，那么它还有参考价值吗？”目的是让学生充分认识随机误差e的来源和对预报变量的影响，而这一问题的提出，立刻吸引学生细细体会随机观念，同时激发出学生的好奇心，提升深入探求的欲望．5.3 合作、探究的学习方式本节课的合作学习体现在两个方面：除了体现在每个小组内部成员之间，还体现在整堂课的教学结构上．小组成员内部提倡“不同的人作不同的事”，面对不同分组，学生可以自主选择的不同工作，动手带动动脑，遇到小的问题，通过探讨和帮助，能做到“学生的问题由学生自己解决”，促进对某一问题更清晰的认识，还能感受到团结合作的好处与必要.同时，每个小组的劳动成果共同构成课堂教学需要的多条回归方程，组与组之间的合作推动整节课的比较与区分得以实现.5.4教学手段本课积极将数学课程与信息技术进行整合，采用多种技术手段，特点主要体现如下：（1）以PPT 为操作平台，界面活泼，操作简单，能有效支持多种其它技术；（2）教师用Excel图表展示，直观形象，节约时间，帮助学生顺利完成学习内容；（3）学生使用函数计算器动手操作，求出回归方程．本课预期：（1）学生可以很好地复习使用函数计算器求回归方程，虽然在要求学生自己操作前教师有一个示例，但是还是会有一少部分人不会使用，所以在教学前要有一定的思想准备，和必要措施.（2）在分析各个组的预测结果为什么有差异时，由于个体经验不同，对问题的挖掘深度产生不同，这时教师的启发引导可能会十分必要，不能完全由学生漫无目的的“讨论”，使学生活动流于形式.（3）“结果分析”前，由学生展示操作成果，这些结果已经够用来说明问题，教师不要急于参与.在“结果分析”的第4个问题中引入教师利用电脑求出的由45 组数据得到的回归方程，让学生再一次通过比较得到新的思考点——怎样知道自己模拟的回归方程身高变化对体重变化影响有多大呢？这样会使学生自然而然渴望进一步了解相关回归分析的知识，为后继课程做好伏笔.对于体现本节课承上启下的作用，可能更好一些.6 教学反思通过本节课的教学实践，我再次体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”，在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，课堂上的真正主人应该是学生．一堂好课，师生一定会有共同的、积极的情感体验．本节课的教学中，知识点均是学生通过探索“发现”的，学生充分经历了探索与发现的过程．教学中没有以练习为主，而是定位在知识形成过程的探索，注重数学的思想性，如统计思想、随机观念、函数思想、数形结合的思想方法等，引导学生体验数学中的理性精神，加强数学形式下的思考和推理。
数学建模——回归分析
体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。
解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：
由于解释变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）为354，而随机误差的效应为 128.361，所以解析变量的效应为
354-128.361=225.639 这个值称为回归平方和。
解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和） =解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是
R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的 线性相关性越强）。
如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值 来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。
总的来说：
相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。
在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。
虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它 所描述的关于X为自变量，Y为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的 回归含义是相同的。
不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用 于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。
回归分析：研究一个随机变量Y对另一个(X)或一组(X1， X2，…，Xk)变量的相依关系的统计分析方法
回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数 间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。运用十分广泛， 回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和 多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分 为线性回归分析和非线性回归分析。如果在回归分析中，只 包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线 近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归 分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之 间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
计量经济学_一元线性回归_随机误差项
计量经济学_⼀元线性回归_随机误差项之前证明了整个回归⽅程,或者说梯度下降法的表达式, 现在来看看计量经济学⾥的回归表达式
y=ax+b, 出于对关系的不确定, 在计量经济学⾥,式⼦多了⼀个u作为随机⼲扰项
⼲扰项 u 我们认为是不可观测的值
我⾃⼰的理解是这样_不是很严谨的粗糙理解:
y=ax+b+u,我们改写成 y-u=ax+b, 发现u,y相对于x有同样的地位,
也就是说,我们可以假设, y=ax+b+u, u=a1x+b1,
此时a1,b1是未知的,且⽆法求取的,因为⼲扰项 u 我们认为是不可观测的值,可以认为是⽆规律的
即y=ax+b+u=(a+a1)x+(b+b1),
a1会影响x对y的边际效应/斜率,a+a1, b1会影响截距项
a1,b1⼜⽆法观测所以, 那就不能只通过调整截距项来实现回归,
如果能通过调整截距项来实现, 必然, a1,b1=0; 即E(u)=0
教材的理解是这样:
这⾥就是说的y和e有等价地位, 回归如果成⽴,那么E(e|x)=0
由于x为样本,实际值,可观测值,可以视为已知常数,则⼜有E(e)=0;
另外,百度百科⾥的解释也很好,
这⾥有详细的证明解释
教材引⽤
国外的教材真的平易近⼈....。
线性回归模型y=bxae增加了随机误差项e
n
i
x y i y
i
x
i1
x
, α y βx .
2
这正是我们所要推导的 公式.
下面我们通过案例 , 进一步学习回归分析的 基本思想及其应用 .
二、举例
例1 从某大学中随机选取 8名女大学生 , 其身高和体 重数据如表3 1所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/ cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 / kg 48 57 50 54 64 61 43 59
3.1 回归分析的基本思想及 其初步应用
一、复习
1、变量之间的两种关系
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间 的函数关系是 y = x2 确定性关系 问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 有一个确定性的关系？ 例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得
y=bx+a+e，
E(e)=0,D(e)=
2.
(4)
思考: 产生随机误差项e的原因是什么？
随机误差e的来源(可以推广到一般）：
1、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 2、忽略了其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能还包括遗传 基因、饮食习惯、生长环境等因素； 3、身高 y 的观测误差。 以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。
（2）R
2
2
和r的关系
R 等于r的平方
（3）R 2取值越大残差平方和越小, 也就是R 2 越 接近于 1, 表示回归的效果越好(因为R 越接近于1, 表示解释变 量和预报变量的线性相关性越强) .
2 n 2
回归分析在实际问题中的应用
回归分析在实际问题中的应用作者：常诗璇来源：《中学生数理化·学研版》2015年第10期《普通高中数学课程标准（实验）》要求学生通过数学学习体会数学与自然及人类社会的联系，进而了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心，并初步学会采用数学思维方式对现实社会进行观察与理解，认识数学知识与实际的联系，能够解决日常生活中和其他学科学习中的问题.同时获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识、数学思想方法和应用技能，发展勇于探索、勇于创新的科学精神.但在实际生活中学生普遍表现出采用数学知识解决实际问题比较困难，为了克服这一难点，需要培养高中生掌握在实际问题中构建数学模型，通过自身从实际问题到数学模型全过程的经历，来有效地掌握数学理论与实际应用程序，进而从根本上提高学生的数学应用能力.一、相关关系与回归分析知识点1.相关关系与回归分析的概念相关关系是指自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系.由于相关关系是一种不确定性关系，生活中有许多情况都涉及相关关系，如产品的成本与生产数量，商品的销售额与广告费等.回归分析是对两个变量间相关关系进行处理的一种统计方法.当两个变量之间的关系属于线性相关关系时，就称这样的回归分析为线性回归分析.通过借助回归分析思想，选择合适的模型来对变量间的相关性关系进行拟合，对数据进行收集整理分析，可用于解决相应的实际问题.2.回归分析原理（1）线性回归.线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和随机误差项e共同确定.统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量.因变量与自变量之间的线性相关关系的强弱用相关系数r来衡量.当r=1时，x与y为完全线性相关，它们之间存在确定的函数关系；当0r0.05时，表明回归直线有意义.r=∑ni=1xi-xyi-y∑ni=1xi-x2∑ni=1yi-y2在散点图中，所有点应该落在同一条直线上，但是观测到的数据却往往落在直线附近.这表明预报变量值受解析变量和随机误差的影响.数据点和它在回归直线上相应位置的差异随机误差的效应，称为ei=yi-yi（残差）.解析变量和随机误差的总效应（总偏差平方和）=解析变量的效应（回归平方和）+随机误差的效应（残差平方和）.我们可以用相关指数R2来进行回归效果的描述.在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率，在数值上R2=r2.进行回归分析时，首先要画出散点图以确定两个变量之间具有的相关关系，然后利用最小二乘法对回归系数进行求解，进而获得线性回归方程，最后结合方程进行回归分析.（2）非线性回归.当因变量与自变量之间并非为线性相关关系，则不能直接用线性回归方程建立因变量与变量之间的关系，则可通过变换方法将其转换为线性回归模型，如指数函数y=aebx，令z=lny；对数函数：y=a+blnx，两边取自然对数得：lny=lna+bx；再设y′=lny，x′=x，则原方程变成y′=lna+bx′，再根据一次线性回归模型的方法得出lna和b处理方法：设y′=y，x′=lnx则原方程变成y′=a+bx′，再根据一次线性回归模型的方法得出a和b.二、房价问题的提出与基本假设1.房价问题近年来，我国房价呈现出持续高涨的情势，而房价的高低也影响着诸多方面的利益，如因房价上涨导致居民生活成本的增加，居民买房难的问题越发凸显，同时房价上涨也对居民的生活质量造成了影响，进而增加了社会的不稳定性.为此，对房价进行预测，一方面能够为消费决策与投资决策提供参考依据，另一方面也能够为相关部门针对房价提出相应的管理与调控对策.2.基本假设（1）假设：讨论房价受各个相关因素影响前，各自变量之间的相关系数为0.（2）假设：排除消费者心理因素的影响.（3）假设：排除炒房行为等非正常需求而导致的房价上涨因素.（4）假设：排除因房地产市场秩序不规范而造成的房价变化情况.三、各个因素影响房价的单独分析1.房价受供需差的影响分析以某地2001年～2013年的房价与供需差数据为例，进行房价与供需差之间相关关系分析.具体房价与供需差数据散点图见图1.图1房价与供需差散点图图2转换后z与x的散点图根据散点图分布（图1），以及我们已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=aebx的周围（其中a，b是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.上式两边取对数，得lny=bx+lna，再令z=lny，则z=bx+lna.获得z与x之间的关系为：x5800701065007885805579558123825385848354800082008285z7.637.637.667.687.727.667.9 17.967.998.198.208.238.34观察z与x的散点图（图2），发现变换后的样本点并不在一条直线附近，因此无法用线性回归方程进行拟合，这表明房价与供需差之间无线性相关关系，房价并不会因供需差的上升而线性增长.2.房价受人均GDP的影响分析以某地2007年～2014年房价与人均GDP数据为例，分析房价是否受人均GDP的影响.图3房价与人均GDP散点图图4转换后z与x的散点图根据散点图分布（图3），以及我们已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条对数函数曲线y=a+blnx周围，两边求对数，得lny=lna+bx，令z=lny，则z与x之间的关系为：x86229398105421233614063161651952423648z6.957.027.207.357.447.437.477.52观察z与x的散点图（图4），发现变换后的样本点落在一条直线附近，因此可采用线性回归方程进行拟合，计算获得的回归方程为z=4E-05x+6.7934，R2=0.7325；n-2=6，查表得临界值r>r0.05=0.707，表示该线性回归方程具有意义.经转换，非线性回归方程为y=-6056.6+795.37lnx.3.房价受地价影响分析以某地2006年～2012年前三季度的房价与地价为例，分析房价是否受地价的影响.图5房价与地价散点图及一元线性回归曲线根据散点图分布（图5），可以发现样本点分布在某一条直线上，采用一次多项式y=a+bx 作为数学模型的回归方程，利用最小二乘法对回归系数进行求解，进而获得线性回归方程为y=0.5525x+46.369，R2=0.8297；n-2=19，查表得临界值r0.05=0.433，r0.01=0.549，结果表示该线性回归方程具有意义，拟合度较高，即表示房价因地价的上涨呈线性增长.通过上述各影响因素的分析可以发现，地价是影响房价的一个最主要的因素，拟合度最高.因此，利用数学模型来解答实际问题，通常要做好三个方面的工作，（1）根据实际问题的特点来进行核实数学模型的构建；（2）根据获得的模型进行数学演算；（3）结合实际问题对其进行深层次的讨论、评价及解释，并最终回到实际问题中做出最终的判断.作者单位：湖北省武昌实验中学。
一元线性回归模型及其应用高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
=
∑ =8.2 +8.4 +8.6 +8.8 =289.2,
2
2
2
2
=
＾
所以 =
＾
.-×.×
.-×.
所以 =-22x+270.
＾
=-22, =83+22×8.5=270,
(2)估计在以后的销售中,销量与单价服从回归直线,若该产品的成本为
2
=
=
∑ (ti-)(yi-)≈2.89,
=
.
所以 r≈.××.≈0.99.
因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,所以 y 与 t 的相关程度非常大,从而可以
用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系.
(2)建立y关于t的经验回归方程(系数精确到 0.01),预测2023年该国生活垃
4.5万元/件,为使科研所获利最大,该产品定价约为多少万元?(精确到千元)
＾ ∑ - ＾
=
(附: =
∑ -
=
＾
, =- )
解:(2)令利润为 Z 万元,
所以 Z=(x-4.5)(-22x+270)=-22x2+369x-1 215.
当 x= ≈8.4 时,利润最大.
(4)在上面的基础上通过相应的变换,即可得非线性经验回归方程.
即时训练2-1:噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题,
为了解声音强度D(单位:dB)与声音能量I(单位:W·cm - 2 )之间的关系,
将测量得到的声音强度D和声音能量I的数据作了初步处理,得到如图所示的
散点图.
-11
探究点二
线性回归模型的基本原理
线性回归模型的基本原理线性回归是机器学习中最基础也最经典的算法之一。
它通过建立一个线性模型来描述自变量和因变量之间的关系，并通过最小化预测值与实际观测值之间的差异来确定最优模型参数。
本文将介绍线性回归模型的基本原理及其应用。
一、线性回归的定义和模型表达式在讨论线性回归模型的原理之前，我们先来定义一下线性回归模型。
给定一个包含m个观测样本的数据集，每个样本包含n个自变量和一个因变量，我们的目标是找到一个线性方程，用来最好地拟合这些数据。
假设自变量用x表示，因变量用y表示，线性回归模型可以表示为： y = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βn*xn + ε其中，y是因变量（待预测值），x1, x2, …, xn是自变量（特征值），β0, β1, β2, …, βn是模型参数，ε是随机误差项。
在上述方程中，β0代表截距(intercept)，β1, β2, …, βn 分别代表各个自变量的回归系数(coefficient)。
通过对自变量与因变量之间的关系进行建模，我们可以预测任何一个新的自变量对应的因变量。
二、损失函数和最小二乘法在求解线性回归模型的参数时，需要确定一种衡量预测值与真实观测值差异的方法。
常用的方法是使用损失函数（Loss Function）来度量预测值与真实观测值之间的差异。
在线性回归中，最常见且被广泛采用的损失函数是均方误差（Mean Squared Error，简称MSE）。
MSE定义为预测值与真实观测值之差的平方和的均值。
损失函数MSE可以表示为： MSE其中，m表示样本数量，yi表示第i个样本的真实观测值，是基于线性回归模型得出的预测值。
最小二乘法是求解线性回归参数的常用方法。
其核心思想是通过最小化损失函数MSE来寻找最优参数。
为了求解最小二乘法问题，我们需要对损失函数MSE关于未知参数β0, β1, β2, …, βn进行求导，并令导数等于零。
然后通过求解这组方程可以得到唯一解。
《计量经济学(第二版)》习题解答(第1-3章)
《计量经济学（第二版）》习题解答第一章1.1 计量经济学的研究任务是什么？计量经济模型研究的经济关系有哪两个基本特征？ 答：（1）利用计量经济模型定量分析经济变量之间的随机因果关系。
（2）随机关系、因果关系。
1.2 试述计量经济学与经济学和统计学的关系。
答：（1）计量经济学与经济学：经济学为计量经济研究提供理论依据，计量经济学是对经济理论的具体应用，同时可以实证和发展经济理论。
（2）统计数据是建立和评价计量经济模型的事实依据，计量经济研究是对统计数据资源的深层开发和利用。
1.3 试分别举出三个时间序列数据和横截面数据。
1.4 试解释单方程模型和联立方程模型的概念，并举例说明两者之间的联系与区别。
1.5 试结合一个具体经济问题说明计量经济研究的步骤。
1.6 计量经济模型主要有哪些用途？试举例说明。
1.7 下列设定的计量经济模型是否合理，为什么？（1）ε++=∑=31i iiGDP b a GDPε++=3bGDP a GDP其中，GDP i （i =1，2，3）是第i 产业的国内生产总值。
答：第1个方程是一个统计定义方程，不是随机方程；第2个方程是一个相关关系，而不是因果关系，因为不能用分量来解释总量的变化。
（2）ε++=21bS a S其中，S 1、S 2分别为农村居民和城镇居民年末储蓄存款余额。
答：是一个相关关系，而不是因果关系。
（3）ε+++=t t t L b I b a Y 21其中，Y 、I 、L 分别是建筑业产值、建筑业固定资产投资和职工人数。
答：解释变量I 不合理，根据生产函数要求，资本变量应该是总资本，而固定资产投资只能反映当年的新增资本。
（4）ε++=t t bP a Y其中，Y 、P 分别是居民耐用消费品支出和耐用消费品物价指数。
答：模型设定中缺失了对居民耐用消费品支出有重要影响的其他解释变量。
按照所设定的模型，实际上假定这些其他变量的影响是一个常量，居民耐用消费品支出主要取决于耐用消费品价格的变化；所以，模型的经济意义不合理，估计参数时可能会夸大价格因素的影响。
一元线性回归模型(习题与解答)
资料来源：总统经济报告，1997，CPI 指数见表 B-60，第 380 页；S&P 指数见表 B-93，第 406 页。
$x +μ $ +β ⑶ yt = α t t $x +μ $+β $t = α ⑷ y t t $x $+β ⑸ yt = α t $x $+β $t = α ⑹ y t $x +μ $+β $t ⑺ yt = α t $x +μ $+β $t $t = α ⑻ y t t = 1,2, L , n t = 1,2, L , n t = 1,2, L , n t = 1,2, L , n t = 1,2, L , n t = 1,2, L , n
（二）基本证明与问答类题型
2
2-4．对于一元线性回归模型，试证明： （1） E ( y i ) = α + β xi （2） D( y i ) = σ
2
（3） Cov( y i , y j ) = 0
i≠ j
2-5．参数估计量的无偏性和有效性的含义是什么？从参数估计量的无偏性和有效性证明过 程说明， 为什么说满足基本假设的计量经济学模型的普通最小二乘参数估计量才具有无偏性 和有效性？ 2-6．对于过原点回归模型 Yi =
3
或债券的收益率；rm 表示有价证券的收益率（用市场指数表示，如标准普尔 500 指数） ；t 表示时间。在投资分析中，β1 被称为债券的安全系数β，是用来度量市场的风险程度的， 即市场的发展对公司的财产有何影响。依据 1956~1976 年间 240 个月的数据，Fogler 和 Ganpathy 得到 IBM 股票的回归方程；市场指数是在芝加哥大学建立的市场有价证券指数：
1.上节学习了回归分析的基本方法.线性回归模型y=bx+a+e不(共22张PPT)
一般地，对于两个分类变量X和Y。X有两类取值：
即类 x1和x（2 如吸烟与不吸烟）；Y也有两类取值：
即类 y1和 y（2 如患病与不患病）。于是得到下列样 本频数的2×2列联表为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
第十二页，共二十二页。
要推断(tuīduàn)“X和Y有关系”，可按下面的步骤进行：
0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828
第十三页，共二十二页。
反证法原理 与假设检验原理 (yuánlǐ)
(yuánlǐ)
反证法原理： 在 假设检验原理：在
一个已知假设下， 一个已知假设(jiǎshè)
推出一个 如果(rúguǒ)
下，如果一个与
矛盾，就证明了 该假设矛盾的小概
这个假设不成立。 率事件发生，就
推断这个假设不
成立。
第十四页，共二十二页。
例1.在某医院,因为(yīn wèi)患心脏病而住院的665名男性病人
中,有214人秃顶;而另外772名不是因为患心脏病而住 院的男性病人中有175秃顶.分别利用图形和独立性检
验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系?你所得的结论
再见
(zàijiàn)
第二十一页，共二十二页。
内容(nèiróng)总结
独立性检验的基本思想。在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是。所谓“分类变量”， 就是指个体所属的类别不同，也。称为属性变量或定型变量。否有关系，例如吸烟是否与患肺癌有关 系。为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下(rúxià)结果（单 位：人）。列联表2×2。本频数的2×2列联表为：。“两个分类变量有关系”的方法称为这两个分类 变。反证法原理与假设检验原理。而另外772名不是因为患心脏病而住。再见
线性回归分析的基本原理
线性回归分析的基本原理线性回归分析是一种常用的统计分析方法，用于研究两个变量之间的线性关系。
它通过拟合一条直线来描述两个变量之间的关系，并利用这条直线进行预测和推断。
本文将介绍线性回归分析的基本原理，包括模型假设、参数估计、模型评估等内容。
一、模型假设线性回归分析的基本假设是：自变量和因变量之间存在线性关系，并且误差项服从正态分布。
具体来说，线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示模型的参数，ε表示误差项。
线性回归模型假设误差项ε服从均值为0、方差为σ^2的正态分布。
二、参数估计线性回归模型的参数估计通常使用最小二乘法。
最小二乘法的基本思想是通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来估计模型的参数。
具体来说，最小二乘法的目标是最小化残差平方和：min Σ(Yi - (β0 + β1Xi))^2通过对残差平方和进行求导，可以得到参数的估计值：β1 = Σ(Xi - X̄)(Yi - Ȳ) / Σ(Xi - X̄)^2β0 = Ȳ - β1X̄其中，Xi和Yi分别表示观测值的自变量和因变量，X̄和Ȳ分别表示自变量和因变量的均值。
三、模型评估线性回归模型的拟合程度可以通过多个指标进行评估，包括决定系数（R^2）、标准误差（SE）和F统计量等。
决定系数（R^2）表示模型解释的方差比例，其取值范围为0到1。
R^2越接近1，说明模型对观测值的解释能力越强。
标准误差（SE）表示模型预测值与观测值之间的平均差异。
SE越小，说明模型的预测精度越高。
F统计量用于检验模型的整体显著性。
F统计量的计算公式为：F = (SSR / k) / (SSE / (n - k - 1))其中，SSR表示回归平方和，SSE表示残差平方和，k表示模型的自由度，n表示观测值的个数。
F统计量的值越大，说明模型的整体显著性越高。
除了上述指标外，还可以使用残差分析、假设检验等方法对模型进行评估。
线性回归-误差项分析
线性回归-误差项分析
线性回归-误差项分析
当我们⽤线性回归模型去做回归问题时，会接触到误差项这个概念
对于⼀个线性回归模型
y(i)=θTxiy^{(i)}=\theta^Tx^{i}y(i)=θT xi
其实往往不能准确预测数据的真实值，这是很正常的，各种各样的因素会使真实值很难符合线性分布，但对于有些数据分布总体会符合线性分布，但不能完全接近，这是很合理的。
对于那些很接近线性分布的数据，可以训练模型去尽量的拟合数据。
对于每⼀个样本其实会有这样⼀个公式：
y(i)=θTxi+ε(i)y^{(i)}=\theta^Tx^{i}+\varepsilon^{(i)}y(i)=θT xi+ε(i)
其中ε(i)\varepsilon^{(i)}ε(i)就叫做误差项，如果这个误差项分布符合均值为0的正太分布，那么我们就可以认为我们得到的模型是正常的，也就是说得到了⼀个线性回归合理的模型。
但要做到这⼀步，跟数据的真实分布是有很⼤关系的。
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从图3.1 1 中可以看出 , 样本点呈条状分布 ,身 高和体 重有比 较好的 线性相关关系 ,因此可 以用线 性回归方程 刻 画它们之间的关系 .
y
70 65 60 55 50 45 40 150 155 160 165 170 175
x
180
图3.1 1
根据探究中的公式 1和2,可以得到 ˆ 0.849. ˆ 85.712, b a ˆ 0.849x ˆ 85.712. 于是得到回归方程 y 所以, 对身高为172cm的女大学生 ,由回归方程可以 预报其体重为 y 0.849 172 85.712 60.316kg .
2 i1 2 2
n
y i y ny βx α
i1
n
xi x yi y n 2 2 ny βx α xi x β i1 n 2 i1 x x i i1
x1 , y1 , x2 , y2 , , xn , yn ,
我们知道其回归方程的截距和斜率的最小 二乘估计公式分别为 :
ˆx ˆ y b a
1
ˆ b
x
i1 n
n
i
x y i y
i
x
i1
x
,
2
2
n 1 n 其中x x i , y yi .x, y 称为样本点的 n i1 i1 公式吗? 中心.你能推导出这两个计算
i1 n
n
i
x y i y
i
x
i1
x
, α y βx .
2
这正是我们所要推导的 公式.
下面我们通过案例 , 进一步学习回归分析的 基本思想及其应用 .
二、举例
例1 从某大学中随机选取 8名女大学生 , 其身高和体 重数据如表3 1所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/ cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 / kg 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的 身高预报她的体重的回 归方程, 并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重 . y 70 解 由于问题中要求根 65 据身高预报体重 ,因此选 60 55 取身高为自变量 x , 真实 50 45 x 体重为因变量 y .作散点 40 150 155 160 165 170 175 180 图 (图3.1 1) :
y βx αny nβx ny βx 0,
所以 Qα, β y i βx i y βx ny βx α
2 i1 n 2
β
2
x
i1
n
i
x 2β x i x y i y
2、求回归直线方程的步骤：
1 n 1 n (1)求 x xi , y yi n i 1 n i 1
(2)求 xi 2 , xi yi .
i 1 i 1 n n
（3）代入公式
b
^
( x x)( y y) x y nx y
i 1 i i
n
n
( x x)
n
2
x i x y i y n 2 i1 y i y . n 2 i1 x x i
n i1
2
在上式中,后两项和 α,β无关,而前两项为非负 数,因此要使 Q取最小值 ,当且仅当前两项的值 均为0,即有
β
x
2
i1
i1
注意到 yi βxi y βx y βx α
i1
n
y βx α yi βxi y βx
i1
n
n n y βx α yi β xi ny βx i1 i1
2 in
ˆ 分别是使 ˆ 和斜率 b 从已经学过的知识知道 , 截距a Qα,β yi βxi α 取最小值时 α,β的值.
2 n i1
由于Qα,β yi βxi y βx y βx α
n
2
y βx α y βx α
i 1 ^ i
n
2
i 1 n
i
i
x
i 1
2 i
nx
2
,
a y b x,......(1)
^
^ （4）写出直线方程为y=bx+a, 即为所求的回归直线方程。
对于具有线性相关关系的变量 x 和 y， 其回归直线方程为^ y ＝2x－1，当 x＝0.5 时，其估计值为__. 0
对于一组具有线性相关关系的数据
2 n 2
yi βxi y βx 2yi βxi y βx
2 i1
n
i1
yi βxi y βx 2 yi βxi y βx
n
y βx α ny βx α ,
3.1 回归分析的基本思想及 其初步应用
一、复习
1、变量之间的两种关系
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间 的函数关系是 y = x2 确定性关系 问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 有一个确定性的关系？ 例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得
回归直线过样本点的中 心.
设y = x+
n 2 n i 1 i 1
+ e
2
设 ( yi yi ) yi xi =Q( , ).
ˆ 分别是使 ˆ 和斜率 b 从已经学过的知识知道 , 截距a Qα,β yi βxi α 取最小值时 α,β的值.
到如下所示的一组数据：
施化肥量x 水稻产量y
15
20
25 365
30
35
40
45
330 345
405 445
450 455
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定 随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。 注 1）：相关关系是一种不确定性关系； 2）： 对具有相关关系的两个变量进行统计 分析的方法叫回归分析。