高中数学 第3章 概率 3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 3.3.2 均匀随机数的产生练习 新人教A版必修3.doc

课时分层训练

‖层级一‖|学业水平达标|

1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向游戏盘上投掷一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )

解析：选A 四个选项中小明中奖的概率分别为38，14，13，1

3，故应选A 中的游戏盘．

2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率为( )

A.13 B ．23 C.14

D ．34

解析：选 A 记M ＝“射线OC 使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”．如图所示，作射线OD ，OE 使∠AOD ＝30°，∠AOE ＝60°.

当OC 在∠DOE 内时，使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90，所以P (M )＝

30

90＝13

. 3．(2019·银川期末)已知集合M ＝{x |－2≤x ≤6}，N ＝{x |0≤2－x ≤1}，在集合M 中任取一个元素x ，则x ∈M ∩N 的概率是( )

A.19 B ．18 C.14

D ．38

解析：选B 因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}, 所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18

.

4．如图所示的是我国发行的一枚2019猪年生肖邮票——“肥猪旺福”，其规格为42 mm×46 mm.为估算邮票中肥猪图案的面积，现向邮票中随机投掷21粒芝麻，经统计恰有12粒芝麻落在肥猪图案内，则可

估计肥猪图案的面积大致为( )

A ．1 104 cm 2

B ．11.04 cm 2

C ．8.28 cm 2

D ．12 cm 2

解析：选B 由题意，可估计肥猪图案面积大约是：

S ＝1221

×42×46＝11.04(cm 2)，故选B.

5．(2019·济南模拟)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD

AB

＝( )

A.1

2 B ．14 C.32

D ．

74

解析：选D 如图，由题意，知当点P 在CD 边上靠近点D 的四等分点时，EB ＝AB (当点P 超过点E 向点D 运动时，PB ＞AB )．设AB ＝x ，过点E 作

EF ⊥AB 于点F ，则BF ＝3

4x ，在Rt △BFE 中，EF 2＝BE 2－FB 2＝AB 2－FB 2＝716

x 2，

即EF ＝

74x ，所以AD AB ＝74

. 6.一个圆及其内接正三角形如图所示，某人随机地向该圆内扎针，则针扎到阴影区域的概率为________．

解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径 R ，则R ＝3

3

a ，所以正三角形的面积为

34a 2，圆的面积S ＝πR 2＝1

3

πa 2.由几何概型的概率计算公式，得针扎到阴影区域的概率P ＝34a 2

13

πa 2＝33

4π.

答案：334π

7.如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．

解析：设事件M 为“此动点在三棱锥A －A 1BD 内”则

P (M )＝

V 三棱锥A －A 1BD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1

＝

V 三棱锥A 1－ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1

＝

1

3

AA 1·S △ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1

＝

13AA 1·1

2S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD ＝1

6

.

答案：16

8．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到；若物品不掉在河里，则能找到．已知该物品能被找到的概率为24

25

，则河宽为________m.

解析：物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为2425，即掉到河里的概率为125，则河流的宽度占总距离的125，所以河宽x ＝500×125＝

20(m)．

答案：20

9．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？

(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．

解：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；

(2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝1

15

；

(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝3

5

.

10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中“黄心”的概率为多少？

解：因为射中靶面内任一点都是等可能的， 所以基本事件总数为无限个．

此问题属于几何概型，事件对应的测度为面积， 总的基本事件为整个箭靶的面积， 它的面积为π⎝

⎛⎭

⎪⎫12222 cm 2.

记事件A ＝{射中“黄心”}，它的测度为“黄心”的面积，它的面积为π⎝

⎛⎭

⎪⎫12.22 cm 2，