1.3 组合-王后雄学案

张喜林制

1.3 组 合

教材知识检索

考点知识清单

1．-般地， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，从排列与组合的定义可知，排列与取出元素的顺序 关，而组合与取出元素的顺序 关． 2． 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号 表示．

3．若,,+∈N n m 且,n m ≤则==m

m n m n

A A C 或=m

n C （用阶乘表示）

． =m n C .4

=+-1.5m n m n C C

要点核心解读

1．组合的定义

一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个组合．比如从红球、黄球、白球中选出两个小球，就是从这3个元素中，取出2个元素的所有组合的问题，其中红球、黄球、白球就是元素，红球和黄球、红球和白球、黄球和白球是不同的组合，而红球和黄球、黄球和红球是同一种选法．

说明：(1)如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，都是相同的组合，组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关.(2)当两个组合中的元素不完全相同（即使只有一个元素不同），就是不同的组合，例如从a 、b 、c 三个不同的元素中取出两个元素的所有组合有3个．ba 、ab 是相同的组合，而ab 、ac 是不 同的组合．(3)组合与排列问题的共同点：都要“从n 个不同元素中，任取m （m≤n）个不同元素”；不同点：前者是“不管顺序并 成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”．(4)根据定义区分排列问题、组合问题．

根据排列与组合的定义，前者是从n 个不同元素中选取玎(m≤n)个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后名只要从n 个不同元素中选取m 个不同的元素并成一组即可，所以区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则 是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．

例如在数的运算当中，加、乘运算是组合问题，减、除运算是排列问题，比赛为“双循环”（甲一乙、乙一甲，甲、乙两队各一主场一客场）是排列问题，“单循环”是组合问题等． 2．组合数的定义

从n,个不同元素中取出m(m≤n,)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C ：表示．

“组合”与“组合数”是两个不同的概念，一个组合是指“从n 个不同的元素中取出m(m≤n)个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数”，它是一个数，

例如在前面的例子中，从3个不同元素a ，b ，c 中取出2个元素的组合为ab ，ac ，bc ，其中每一种都

叫做一个组合，而数字 就是组合数．求组合数的问题也可以从集合的角度进行解释．例如从3个不同元素a ，b ，c 中任取2个的组合数问题，就是求集合A={ ab ，ac ，bc}的元素个数问题，即card(A)=3．由于不考虑字母的排列顺序，ab 与ba 是同一元素，我们看到，当从集合的角度来认识组合时，由于集合中元素是互不相同的，各种组合之间的互异性显现得更加明显． 3．组合数的公式及推导

一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.m

n A 可以按以下两步来考虑： 第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数;m n C 第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数.m m A 根据分步计数原理，得到.m m m n m n A C A ⋅=

因此

这里,,+∈N m n 且,n m ≤这个公式叫做组合数公式， 因为,)!(!m n n A m

n -=

所以组合数公式还可表示为：=

m

n C ⋅-)!

(!!m n m n 说明：(1)组合数公式推导的思路是依据分步计数原理，遵循从特殊到一般的原则，将求从n 个不同

元素中取出m 个元素的排列数分成先“求组合数”，后求“全排列数”两步来完成，这样就清楚地揭示出组合与排列的对应关系，从而利用这种对应关系和已知排列数公式得到组合数公式． 同时也要注意到组合数公式推导的思路，在解一些应用题时常常用到．

(2)与排列数一样有两个公式，组合数的另一个公式=

m

n C ,)!

(!!

m n m n -当m 、n 数值较大时，借助科

学计算器，利用此公式进行计算较为方便，或当含有字母的组合数公式要进行变形论证时，利用此公式也较方便．

4．组合数的两个性质

(1)性质l 及其证明，性质1：m

n n

m n C C -= 证法一：因为,)!

(!!

m n m n C m

n -=

,)!

(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=

-所以m

n n

m n C C -= 证法二：由组合的定义直接得出．

因为从n 个不同的元素中取出m 个元素后，剩下n —m 个元素，因此从n 个不同元素中取出m 个元素的方法，与从n 个不同元素中取出n-m 个元素的方法是一一对应的，也就是说从n 个不同的元素中取出m 个元素的每一个组合，都对应着从n 个不同元素中取出n-m 个元素的一个组合，反过来也一样，即从n 个

不同元素中取出m 个元素的组合数m n C 等于从n 个不同的元素中取出H -m 个元素的组合数,m

n n C -也就是 =m n C m

n n

C - (2)性质2及其证明，性质2：1

1-++=m n

m n m n C C C