正弦函数和余弦函数的图像和性质单调性

4
4
4
22
f ( ) sin cos 2 2 0
4
4
42 2
f ( ) f ( ) f (x)非偶函数
4
4
f ( ) f ( ) f (x)非奇函数
4
4
f (x) sin x cos x是非奇非偶函数
(4) f (x) 1 sin x cos x ． 1 sin x cos x
2
3
4
5 6 x
三、例题与练习
例1、 判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
(1) f (x) sin x cos x；
解：(1) f (x)定义域为R，关于原点对称 对任意x R，有f (x) sin( x)cos(x) sin x cos x f (x) f (x) sin x cos x是奇函数
y sin x和y cos x的奇偶性如何？
二、新授知识
（三）奇偶性
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数
定义域关于原点对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
y=cosx (xR) 是偶函数
教学目标：
1、掌握正弦函数 y sin x，x (， )和余弦函数 y cosx，x (， ) 的奇偶性和单调性．
2、会判断正弦型和余弦型的三角函数的奇偶性． 3、会求正弦型和余弦型的三角函数的单调区间．
教学重点与难点：
教学重点：正弦函数与余弦函数的奇偶性和单调性． 教学难点：求给定区间的三角函数的单调区间．
x在区间2k
2
,2k
2
k
Z
从 1增大到1，都是增函数； 0
在区间2k
2
,2k
3
2
k
Z
从1减小到 1，都是减函数．
y 1
O
0x
-1
y sin x
y
y cos x在区间2k ,2k k Z
0
从 1增大到1，都是增函数；
在区间2k ,2k k Z
-1 O
1x
从1减小到 1，都是减函数．
0 y cosx
f (x) sin 3x是奇函数
(2) f (x)定义域为R，关于原点对称
对任意x R，有f (x) sin( x) sin x f (x)
f (x) sin x 是偶函数
(3) f (x) x cos x； (4) f (x) cos x ．
1 sin x (3) f (x)定义域为R，关于原点对称
2
2
所求递减区间为[2k ，2k ]，k Z
2
2
(2) f (x) cos( x )；
2 12
(2)由2k x 2k
2
12
4k
11
x
4k
(k
Z)
由2k x 2k 6
6
2 12 4k 源自文库 x 4k 13 (k Z )
6
6
所求递增区间为[4k 11 ，4k ]，k Z
教学方法：启发、讨论、操作．
教学手段：多媒体辅助教学．
教学过程：
一、复习导入
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
周
y=cosx (xR)
期
T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x 5 6 x
（一）值域和最大(小)值 （二）周期性
注意：不能说三角函数在第几象限是单调函数．
例2、 求下列函数的单调区间．
(1) f (x) sin( x)； (2) f (x) cos( x )；
(3) f (x) 2 3 sin x cos x 2sin 2 x． 2 12
解：(1) f (x) sin x
所求递增区间为[2k ，2k 3 ]，k Z
函数y Asin( x ) B和函数y Acos(x ) B， 的周期为T 2 ．
(其中A、B、、为常数，且A 0， 0)
(1)周期函数：对任意x D，都有f (x T ) f (x)，T 0 (2)奇函数： 对任意x D，都有f (x) f (x) (3)偶函数： 对任意x D，都有f (x) f (x)
（四）单调区间
y sin x的递增区间：[2k ，2k ](k Z )
2
2
y sin x的递减区间：[2k ，2k 3 ](k Z)
2
2
y cos x的递增区间：[2k ，2k ](k Z)
y cos x的递减区间：[2k，2k ](k Z)
判断：正弦函数y=sinx在第一象限内是增函数．
ex1、 判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
(1) f (x) sin 3x； (2) f (x) | sin x |；
(3) f (x) x cos x；
(4) f (x) cos x ． 1 sin x
解：(1) f (x)定义域为R，关于原点对称
对任意x R，有f (x) sin 3(x) sin 3x f (x)
对任意x R，有f (x) (x)cos(x) x cos x f (x)
f (x) x cos x是奇函数
(4) 1 sin x 0 sin x 1
x 2k ，k Z
f
2 (x)定义域为{x
x
2k
，k
Z}
不关于原点对称
2
f (x)是非奇非偶函数
（四）单调区间
y
sin
(2) f (x) sin | x |；
(2) f (x)定义域为R，关于原点对称 对任意x R，有f (x) sin x sin x f (x) f (x) sin x 是偶函数
(3) f (x) sin x cos x；
(3) f (x)定义域为R，关于原点对称
f ( ) sin( ) cos( ) 2 2 2
6
6
所求递减区间为[4k ，4k 13 ]，k Z
6
6
(3)
(3)
f (x) 2
f (x)
3
sin x cos x 2sin 2
(4) 1 sin x cos x 0
2 sin( x ) 1 sin( x ) 2
x
4
2k
5
且x
4
2k
2 ，k Z
4
x 2k
4
且x 2k
4 ，k Z
4
f (x)定义域为{x x 2k 且2 x 2k ，k Z}
不关于原点对称
2
f (x)是非奇非偶函数