桥涵水文

[例]
袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白球和 黑球的概率各是多少？摸出白或黑求的概率是多少？摸出红球 的概率是多少？
20 2 P(白)＝ 20 10 3 10 1 P(黑)＝ 20 10 3 20＋10 P(白或黑)＝ 1 20 10
0 P(红)＝ 0 20 10
令
Φ是离均系数（均值为零，标准 差为1的标准化变量）
则有
该式包含 Cs、P与Φp的关系，由已知的Cs值，查表2-6-1可得
不同P 的 Φp值，然后利用已知的 和Cv值，通过下式即可求出
与各种P相应的xp值，从而可绘出理论频率曲线。
例 已知某站年最大洪峰流量系列的x=825 Cs=1.0，求p=1%的设计值。
江河中的水位和流量值
随机变量
离散型随机变量 二、系列、总体和样本 在数理统计中，把随机变量的全部，亦即包含 整体情况的全部系列，称为总体。 样本
掷骰子
总体的一部分
三、机率和频率
1、机率： 又称概率：表示随机事件在客观上发生的机遇性。 P（A)＝
2、频率： 在若干次实验中A事件出现的次数与总实验数之比 W（A)＝
'
4. 设计洪水频率 见p28表2-3-2,2-3-3
§2－3 经验频率曲线
1. 经验频率计算公式 经验频率曲线由实测资料绘制而成，它是水文频率计算的 基础，具有一定的实用性。 设某水文要素（如年径流量）的实测系列共n项，按由大 到小的次序排列为x1、x2、...、xm、...、xn。经验频率就是在 系列中大于及等于样本xi的出现次数与样本容量之比值，即
(2)概率相乘定理 独立事件：在一系列试验中，先发生的事件，并不影响其 他事件的发生，这类事件称为独立事件； 概率相乘定理：独立的各事件中，某一组事件同时或连续 发生的概率等于各个事件发生的概率之积。 [例]
体育彩票的七星彩摇奖中，6668889出现的概率？
1 P (6)＝ 10
1 P(8)＝ 10
（2）均方差σ 反映系列中各变量值集中或离散的程度 总体 样本
离势（离差或变差）系数（Cv） 总体 样本
甲系列 乙系列
5，10，15 1，10，19
σ= 4.08 σ=7.35
它们的平均值相同，我们可以直接判断出甲系列比乙系 列集中度高。 丙系列 丁系列
5，10，15 995，1000，1005
m F( x) p( x x p ) 100 % n
当m=n时，p=100%，即样本的末项 xn是总体中的最小值，显 然不符合实际,因为随着观测年数的增多,总会出现更小的数值。
这就需要对上式进行修正，有：Weibull数学期望公式
m( x xi ) p( x xi ) 100 % n 1
p
n
这样就产生出了问题，即当m≈n时P（x≥xp)=100%。 也就是说，这个观测站只能有62年的观测记录，系列不能延伸
频率分布曲线或 累积频率曲线， 也叫倒S型曲线
铃型曲线
水文上通常称概率分布曲线为频率曲线 概率分布函数导数负值，称为概率密度函数
dF ( x) f ( x) F ( x) dx
三、数理统计法对水文资料的要求
• 检查资料的可靠性； •检查资料的一致性；
•检查资料的代表性；
•检查资料的随机性；
•检查资料的独立性；
§2－2 水文统计基本概念
• 一、随机事件和随机变量
1.随机事件和随机变量 必然事件 事件 随机事件 不可能事件 *一定条件组合下*
2、随机变量：
随机事件的所有结果或个数 例如：水文站观测到的各个水位和流量值 连续型随机变量
①只有一个众值 在众值处曲线的斜率为0
时，
②曲线的一端或两端以
横轴为渐近线 时，
根据这两点，皮尔逊建立了频率密度曲线微分方程
该方程共包含13条曲线。 P-Ⅲ是其中的第三条，是当b2=0的情形，微分方程为
它的频率密度曲线方程为
其中
也就是：
则累积频率为：
二、 P-Ⅲ曲线的应用
水文计算中，一般需求出指定频率p所对应的随机变量取 值，例如，频率为1%（百年一遇）的设计洪峰流量。
m 100% n
1 洪水频率分析 T＝ p
枯水频率分析
1 T= 1 p
重现期的意义：破坏重现期 ；指从很长时期内的平均情况， 以无限长的时期而论才是正确的；可能在任意年份出现。
选样方法： 1.年最大值法——每年只选一个最大值组 成系列，此法独立性好。 洪峰 n年：Q1、Q2……Qm……Qn T=1/P 年
以上两条曲线表明，同样一组数据或水文系列在不同形式的坐 标纸上、其表现形式的显著差异，因此，今后要统一用海森几 率格纸，它可以将曲线的两个端部“拉直”，最大限度地“消除” 了人为影响。
§2－4 统计参数
随机变量的统计参数有均值、均方差、变差系数、偏态系数等。 （1）均值
模比系数
其他有中值
，众值
点据点绘于坐标纸上
⑤穿过点群分布中心，目估连成一条光滑曲线，即经验频
率曲线
⑥若资料足够则可在此曲线上求的所需设计频率的流量。
某桥位处测得40年最高水位资料如表,绘制经验频率曲线。
水位
经验频率曲线
累积频率
求小频率的流量，需延长曲线，但 曲率过大，人为因素影响也大
经验频率曲线的延长和局限性：
普通坐标纸误差大 采用海森机率格纸
第2章 水文统计的基本原理
§2－1 河川水文现象的特性与分析方法
§2－2
§2－3
水文统计基本概念
经验累积频率曲线
§2－4
§2－5
理论频率曲线
现行频率分析方法
§2－6 * 抽样误差 §2－7 * 相关分析
§2－1 河川水文现象的特性与分析方法
河川各种水文要素，如水位、流速、流量、降雨量等统称 为河川水文现象。 一、河川水文现象的特性： 周期性 地区性 随机性（偶然性） 二、河川水文现象的分析方法： 成因分析法 地区归纳法 数理统计法（水文统计法）
（P1,xP1)，(P2,xP2)，(P3,xP3)
解得：
S是Cs的函数，称偏度系数。计算时，可由计算的S值， 查S—Cs关系表，求Cs。再查Cs—Φ值表，得 Φ1(P1,Cs)， Φ2(P2,Cs)， Φ3(P3,Cs)。
m 100% n
m 100% n
m - A事件出现的次数 n – 实验的总次数 或随机变化的总体
根据事件出现的可能性是能够预先估计出来，可分为事先概 率和事后概率： 事先概率：对于有限总体，试验之前某随机事件出现的 可能性可以预先估计出来，如 1) 投硬币出现正面和反面的机率； 2) 投掷骰子出现某一个点子的概率 事后概率：随机事件出现的可能性不能在试验之前预先 估计出来，必须通过大量的重复试验（即无限总体）之 后才能估计出它出现的可能性。如： 1) 河流决堤的机率； 2) 河流出现大型污染事件的机率。
查表得Ф=-1.22，代入
R90%=650×(1-0.25×1.22) =650×0.695=541.8mm
§2－6 现行频率分析方法
适线法：由实测系列得到统计参数，根据理论频率曲线 公式算出设计流量得到的曲线与经验频率点绘相结合选 配合适理论频率曲线的方法。也就是要选择出一条与经 验频率曲线配合程度最高的理论频率曲线。
概率运算定律
• (1)概率相加定理 • 互斥事件：在一次试验中，只有一个事件发生，其余事件 均不能发生，这类事件称为互斥事件； • 概率相加定理：互斥的各事件中，至少有一个发生的概率 等于各个事件发生的概率总和。
[例]
袋中有手感完全相同的20个白球和10个黑球，问：摸出白或黑 求的概率是多少？ 20 2
包括试错适线法和三点适线法 另外，还有一种方法—耿贝尔频率曲线
一、试错适线法：
采用假定的Cs值，适当调整均 值和Cv值，使理论频率曲线与 经验点据很好的符合
•例题：某水文站有1945～1965年共21年实测最大流量资料， •见表，试用试错适线法求合适的理论频率曲线及设计流量 •Q1％Q2％
解： 1、计算系列流量的经验频率Pi、Ki、Ki2 见表 2、点绘经验频率曲线Pi－Ki
Q1% k1% Q 3.00 1500 4500m3 / s Q2% k2% Q 2.64 1500 3960m3 / s
二、三点试线法
从经验频率曲线上选择三点， 并据以选定理论频率曲线上 三个参数的方法
若取三点在同一曲线上，则应符合联立方程： x xP1 xP2 xP3 P1 P2 P3
（1）均值
对频率曲线的影响
（2）Cv对频率曲线的影响
Cv
（3）Cs对频率曲线的影响
一般有经验关系：
cs (2 ~ 4)cv
设计暴雨时：
设计最大流量 时： 时： 年降水量不足地区 年径流量不足地区
§2－5 理论频率曲线
－、频率曲线的数学模型
英国生物学家K.Pearson在统计了大量随机现象后，发现 概率密度曲线均为类似于玲型的曲线，这样的曲线有两个 特点：
平均值10 平均值1000
σ丙=4.08 σ丁=4.08
因为它们的平均值不等，我们不易判断出二者的集中程度。 但Cv丙=0.48 ， Cv丁=0.0048，后者明显比前者小，说明 后者的集中度高。
（3）偏态系数（Cs） 反映系列在均值两边的对称程度。
总体
样本
三个参数对频率曲线的影响
*请同学们自己考虑三个参数对玲型即频率密度曲线的影响？
3、求理论频率曲线的两个参数 均值Q＝1500m3/s、Cv=0.51
4、假定Cs＝2Cv,根据公式 计算相应的Q值，绘制理论频率曲线
经适线得出Cv＝0.6，Cs＝2.5Cv比较适合，可以采用 计算设计流量：
根据Q 1500m3 / s, cv 0.6, cs 2.5cv , 得
这也是计算经验频率（累积频率）的通用公式 2. 经验频率曲线 以经验累积频率为横坐标，某水文特征值（流量或水位值） 为纵坐标绘出的曲线 3.经验频率曲线的绘制与延长
①将洪峰流量或水位不论年序从大到小排列并编号 ②确定资料的总项数n及m值 ③用数学期望公式计算各实测值的经验频率 ④以实测值x为纵坐标，累积频率P为横坐标，将各实测值
概率的基本性质：
0 P( A) 1
1) P(A)=1，A属于必然事件； 2) P(A)=0，A属于不可能事件； 3) 0<P(A)<1，A属于随机事件；
频率与概率的关系
• • • •
lim W ( A) P( A)
n
频率是经验值，概率是理论值； 可以通过实测样本的频率分析来推论事件总体概率特性； 样本容量越大，结果越准确； 对于水文现象，只能采用有限的多年实测水文资料组成样 本系列，推求频率作为概率的近似值。
20 10 3 10 1 P(黑)＝ 20 10 3
P(白)＝

2 1 P(白或黑)＝P(白) P(黑)＝ ＋ 1 3 3
[例]
某测站有40年的实测枯水位记录，各种水位出现的频率如表3.2所示，试确定 水位H≥2.02.7)＝W (2.7) W (3.5) W (4.0) 70% P( H 2.0)＝W (2.0) W (2.7) 22.5% 70% 92.5%
2.超大值法——当观测年份较少，
从每年的最大值中抽取排在最前面
的3~~5个洪水流量组成一个系列。 次
此法的独立性较差。系列容量
S=(3~~5)n。
3、随机变量的频率分布
随机变量的取值与其概率的对应关系,称为随机变量的概率分布. 对于水文变量（连续型随机变量）,研究大于等于某一取值xi的 m 概率，即F(x)或F(x≥xi) F( x) p( x x ) 100 %
3
1 P (9)＝ 10
3
1 7 P(6668889) [ P(6)] [ P(8)] P(9)＝( ) 10
四、累积频率与重现期
1、累积频率 P： 即等量和超量值的累积频数m与总观测次数n之比 P（x≥xi)=
2、重现期 T： 即等于和大于某频率的洪水平均多少年可能遇到一 次，简称几年一遇。
，Cv=0.4，
解：由Cs=1.0，查附表2-6-1，得p=1%的 Фp=3.02，则 =825×(0.4×3.02+1)=1822
例：某站年径流深系列符合pⅢ型分布,已知该系列的R=650mm, σ=162.5mm，Cs =2Cv，试结合下表计算设计保证率p=90%的 设计年径流深。
解：Cv=σ/R=162.5/650=0.25， ∴Cs=2Cv=0.5