系统的稳定性及其判定(罗斯阵列)
信号与系统-罗斯判据
第六章第3讲
见罗斯判据
10
例
3
1Ω 1F 2H
如图所示电路，试求：
U (s) (1) 系统函数 H(s) = 0 US (s)
1Ω
+ uS (t) −
+
+
2Ω
+ −
u1
−
解：用节点法列方程：
Ku1
u0 (t)
−
1 1 1 KU1 =US (1+ + )U1 − 2 1+1/ s + 2s 1+1/ s + 2s U0 KU1 2K(2s2 + s +1) 3 s − Ks = = 2 ( + 2 )U1 =US ∴ H(s) = US US 6s + (5− 2K)s +3 2 2s + s +1
§4 系统的稳定性
系统稳定的充分必要条件 冲激响应必须是绝对可积的，即
∫
∞
0
| h(t) | dt < ∞
要使系统稳定，H(s)的极点必须全部在S 要使系统稳定，H(s)的极点必须全部在S左半平面， 或者是系统的特征方程的根的实部全部为负。 罗斯判据 设线性系统的特征方程为：
D(s) = ansn + an−1sn−1 +L + a1s + a0 = 0 L
1 5
40 − 6 34 = 5 5 25 68 K 6− 34 5
8 6 K
K 0
要使系统属临界稳定时罗斯阵的 s1 0 某一行为0 某一行为0，即 K=204/25。 K=204/25。 辅助多项式：Q(s) = 34 s2 + 204 5 25 s0 K 其导数为： Q′(s) = 68 s ： 5 从罗斯阵可知：系统没有正实部根，有共轭虚根，其根为
系统稳定性分析—劳斯稳定判据
© BIP
例题4：s6 s5 6s4 5s3 9s2 4s 4 0
S6 1
6
S5 1
5
9
4
辅助方程
4
0
S4 1
5
4
S3
0 4
0 10
0 0
S2 2.5
4
0
0 s4 5s2 4 0
0 0 4s3 10s 0 0
S1 3.6
0
0
0
S0 4
0
0
0
某一行全为零，说明存在对称于原点的根，系统不稳定
No.15
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图7 K=15时系统的单位阶跃响应曲线
No.16
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图8 K=20时系统的单位阶跃响应曲线
No.17
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例题2：液位控制系统的稳定性分析。
进水
阀门
进水阀门的 传递函数K3
减速器
+ 电位器
-
连杆
执行电机和 减速器的传
递函数
K2/S(TS+1)
电动机
放大器
控制对象水箱的
系统稳定性分析之 ——劳斯判据
一、系统稳定的重要性
图1“舞动的格蒂”—首座塔科马大桥
No.2
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二、系统稳定性的基本概念和条件
1、定义：如果线性控制系统在初始扰动的作 用下，使被控量产生偏差，当扰动消失后，该 偏差随着时间的推移逐渐减小并趋于零，即系 统趋于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳 定。反之，如果在初始扰动的作用下，系统的 偏差随着时间的推移而发散，系统无法趋于原 来的工作状态，则称系统不稳定。
传递函数K4/S
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义
体系稳固性意义以及稳固性的几种界说一、引言：研讨体系的稳固性之前,我们起重要对体系的概念有初步的熟悉.在数字旌旗灯号处理的理论中,人们把能加工.变换数字旌旗灯号的实体称作体系.因为处理数字旌旗灯号的体系是在指定的时刻或时序对旌旗灯号进行加工运算,所以这种体系被看作是离散时光的,也可以用基于时光的说话.表格.公式.波形等四种办法来描写.从抽象的意义来说,体系和旌旗灯号都可以看作是序列.但是,体系是加工旌旗灯号的机构,这点与旌旗灯号是不合的.人们研讨体系还要设计体系,运用体系加工旌旗灯号.办事人类,体系还须要其它办法进一步描写.描写体系的办法还有符号.单位脉冲响应.差分方程和图形.电路体系的稳固性是电路体系的一个重要问题,稳固是掌握体系提出的根本请求,也包管电路工作的根本前提;不稳固体系不具备调节才能,也不克不及正常工作,稳固性是体系自身性之一,体系是否稳固与鼓励旌旗灯号的情形无关.对于线性体系来说可以用几点散布来断定,也可以用劳斯稳固性判据剖析.对于非线性体系的剖析则比较庞杂,劳斯稳固性判据和奈奎斯特稳固性判据受到必定的局限性.二.稳固性界说：1.是指体系受到扰动感化偏离均衡状况后,当扰动消掉,体系经由自身调节可否以必定的精确度恢复到原均衡状况的机能.若当扰动消掉后,体系能逐渐恢复到本来的均衡状况,则称体系是稳固的,不然称体系为不稳固.稳固性又分为绝对稳固性和相对稳固性.绝对稳固性.假如掌握体系没有受到任何扰动,同时也没有输入旌旗灯号的感化,体系的输出量保持在某一状况上,则掌握体系处于均衡状况.（1）假如线性体系在初始前提的感化下,其输出量最终返回它的均衡状况,那么这种体系是稳固的.（2）假如线性体系的输出量呈现中断不竭的等幅振荡进程,则称其为临界稳固.（临界稳固状况按李雅普洛夫的界说属于稳固的状况,但因为体系参数变更等原因,现实上等幅振荡不克不及保持,体系总会因为某些身分导致不稳固.是以从工程运用的角度来看,临界稳固属于不稳固体系,或称工程意义上的不稳固.）（3）假如体系在初始前提感化下,其输出量无穷制地偏离其均衡状况,这称体系是不稳固的.现实上,物理体系的输出量只能增大到必定规模,此后或者受到机械制动装配的限制,或者体系遭到破坏,也可以当输出量超出必定命值后,体系变成非线性的,从而使线性微分方程不再实用.是以,绝对稳固性是体系可以或许正常工作的前提.相对稳固性.除了绝对稳固性外,还须要斟酌体系的相对稳固性,即稳固体系的稳固程度.因为物理掌握体系包含一些储能元件,所以当输入量感化于体系时,体系的输出量不克不及立刻追随输入量的变更,而是在体系到达稳态之前,它的瞬态响应经常表示为阻尼振荡进程.在稳态时,假如体系的输出量与输入量不克不及完整吻合,则称体系具有稳态误差.2.一个体系对随意率性有界的输入,其零状况响应也是有界的,则该体系称为有界输入有界输出稳固体系.即设Mt,My为正实常数,假如体系对于所有的鼓励|f（t）<=Mt,其零状况响应为|y（t）|<=My则体系是稳固的.对于不稳固体系来说,不克不及断言其输出幅值为有界.3.线性体系在初始前提为零时,输入幻想单位脉冲函数δ(t),这时体系的输入称为单位脉冲响应.若线性体系的单位脉冲响应函数随时光趋于零,则体系稳固.若趋于无穷,则体系不稳固.若趋于常数或者等幅振荡,这时趋于临界稳固状况.一般反馈体系如图,此时体系的传体系的特点方程为1+G(s)H(s)=0,假如特点根落在[s]复平面的左半部分,体系就是稳固的.证实：体系输入幻想单位脉冲函数δ(t),它的Laplace变换函数等于1,所以体系输出的Laplace变换为,式中,si（i=1,2,...,n）为体系特点方程的根,也就是体系的闭环顶点.设n个特点根彼此不等,并将上式分化成部分分式之和的情势,即,式中,ci（i=1,2,…,n）待定系数,其值可由Laplace变换办法肯定.对上式进行Laplace反变换,得到体系的脉冲响应函数为可以看出,要知足前提,只有当体系的特点根全体具有负实部方能实现.是以,体系稳固的充要前提：体系的特点方程根必须全体具有负实部.反之,若特点根中有一个以上具有正式部时,则体系必为不稳固.或者说体系稳固的充分须要前提为：体系传递函数的顶点全体位于[s]复平面的左半部.如有部分闭环顶点位于虚轴上,而其余顶点全体在[s]平面左半部时,便会消失临界稳固状况.三.稳固性剖析：【本文仅剖析线性时不变(LTI)电路的稳固性.断定一个体系是否稳固可以从时域或复频域两方面进行评论辩论.本文不合错误含受控源电路的稳固性进行剖析】例1：对因果体系,只要断定H(s)的顶点,即A(s)=0的根（称为体系特点根）是否都在左半平面上,即可剖断体系是否稳固,不必知道顶点的确实值.,当输入为单位阶跃函数e(f)时,电路零状况响应的象函数为用留数法解得斟酌到0.0002<<1,取上式的拉普拉斯逆变换减函数,,当t较小时,可疏忽不计,但是当t 较大时,这个正指数项超出其他两项并跟着的增长而不竭增大,则电路不稳固.现实的电路体系不会完满是线性的,如许,很大的旌旗灯号将使装备工作在非线性部分,不但使体系不克不及正常工作,有时还会产生破坏和安全.简略电路剖析：作出运算电路图如图2,其收集函数为令分母其根即为该收集函数的顶点.当电路参数变更时,上式会有四种情势及响应的电路变更：,Pl,2如上式,是两个不相等的负实根,响应的自由分量由两个衰减的指数函数构成,属于过阻尼振荡.②当此时有两个相等的负实根,属于临界阻尼振荡.,是实部为负的两个共轭复根,响应的自由分量是一个衰减的正弦函数,属于欠阻尼振荡.④当Rp=∞时为两个共轭虚数根,响应为等幅振荡.以上前三种情势其收集函数的顶点均在s平面的左半平面,第四种情势其收集函数的顶点在虚轴上,电路均是稳固的.可见四种情势所对应的收集函数的顶点仅与电路的构造及参数有关,而与鼓励无关.由收集函数H(s)的顶点散布可以很便利地得出LTI电路是否稳固的结论.(1)当H(s)的所有顶点全体位于s平面的左半平面,不包含虚轴,则电路是稳固的.(2)当日(s)在s平面的虚轴上有一阶顶点,其余所有顶点全体位于s平面的左半平面,则电路是临界稳固的.(3)当H(s)含有s右半平面的顶点或虚轴上有二阶或二阶以上的顶点时,电路是不稳固的.四.中断因果体系稳固性断定准则—罗斯-霍尔维兹准则：所有的根均在左半平面的多项式称为霍尔维兹多项式.须要前提—简略办法一实系数多项式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于左半开平面的须要前提是：（1）所有系数都必须非0,即不缺项;（2）系数的符号雷同.例1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符号相异,不稳固例2 A(s)=3s3+s2+2 , a1=0,不稳固例3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需进一步断定,非充分前提.（二）罗斯列表将多项式A(s)的系数分列为如下阵列—罗斯阵列第1行 an an-2 an-4 …第2行 an-1 an-3 an-5 …第3行 cn-1 cn-3 cn-5 …它由第1,2行,按下列规矩盘算得到：第4行由2,3行同样办法得到.一向排到第n+1行.罗斯准则指出：若第一列元素具有雷同的符号,则A(s)=0所有的根均在左半开平面.若第一列元素消失符号转变,则符号转变的总次数就是右半平面根的个数.举例：例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2罗斯阵列： 2 12 21 8 08.5 02第1列元素符号转变2次,是以,有2个根位于右半平面.留意：在排罗斯阵列时,可能碰到一些特别情形,如第一列的某个元素为0或某一行元素全为0,这时可断言：该多项式不是霍尔维兹多项式.例2：低通滤波器的稳固性.如图4所示为低通滤波器,放大器是幻想的,为使体系稳固,应知足什么前提?剖析：画出运算电路图,如图5对节点列出KCL（2）又依据放大器部分电路,-j知（3）由(3)代入(2)式,整顿得：则收集函数为由劳思一赫维茨判据,体系稳固的前提是(3一K)>0,即K<3.五.稳固性的意义：稳固性是体系的的一种固有特点,它只取决于体系内部的构造和参数,而和初始前提和外部感化的大小无关.稳固性是掌握体系重要的机能指标之一,是体系正常工作的重要前提.以一些工程实例来举例解释体系稳固性的意义：（1）开关电源体系不稳固现象剖析开关电源中,其焦点是Dc—Dc变换器,Dc—Dc变换电路可以或许促使直流电压实现大规模的升.降,并且实现的效力较高.比较轻易掌握,是以其在工业掌握和电力传输等范畴中运用普遍.可是,DC-DC变换电路也可能消失必定的误差,如谐波振荡误差等,产这些误差将直接影响到电源体系的稳固性.而采纳谐波抵偿电路将有用改良开关电源体系的稳固性.下面重要剖析谐波振荡等引起开关电源体系损掉稳固性的道理和原因.谐波振荡是由峰值电流取样和固定频率同时工作所形成的成果,其产生的道理如下图l所示.当开关电源的输入电压和负载产生变更时,从而会引起开关电源电流产生变更,即产生扰动,在扰动产生后,体系可否趋于稳固的运作,症结在于体系电流是否对扰动若何作出收敛响应.而体系电流收敛的产生一般有两种门路,一是在空占比(D)小于0．5时产生收敛,一是空占比(D)大于0．5时产生收敛.这两种收敛情形下,体系对扰动所表示出的稳固状况是不合的设Io为扰动没有产生时的电感电流初始值,设A i o为电流上升时产生的扰动量,设△it为电流降低时产生的扰动量,设△d 为电感电流占空比产生的扰动量,设m 为电流在上升时所产生的斜率,设眦为电流在降低时所产生的斜率,它们之间的关系式如下：从而可以得出以下式子：跟着周期的增长,所以,在Ill2／m 小于1时,也即D小于0．5时,电流扰动量即电流产生的误差△i 将会慢慢的衰减一向到零,从而使得体系趋于稳固;但是,假如lIlz／mt大于l时,也即D大于0．5时,电流扰动量即电流产生的误差△i 将会变得越来越大,从而致使全部开关电源变得不敷稳固,体系掉去掌握,将轻微影响着开关电源体系的正常工作,~PDC-DC变换电路将不克不及正常工作,损掉其稳固性.(2) 电力体系小旌旗灯号稳固性剖析和掌握研讨的新进展。
第四章 稳定性分析——劳斯判据(4-1)PPT课件
s5 s4 5s3 5s2 2s 1 0
试用劳斯判据判别其稳定性。 解：列出劳斯表
11
例：系统的特征方程为： s3 4s2 10s 50 0 试用劳斯判据判别其稳定性。
解: 列出劳斯表
s3 1 10 s 2 4 50 s1 2.5 0 s 0 50 0
因为劳斯表中第一列元素的符号变化两次，说明 该系统有两个特征方程的根在右半s平面，所以系统 不稳定。
12
2．劳斯判据的两种特殊情况 （1）劳斯表中某一行第一项元素为零，其余项不为零
第二步：建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 例：五阶系统，其特征方程：
a5 s5 a4 s 4 a3s3 a2 s 2 a1s a0 0
9
s5
a5
a3
a1
s4
a4
a2
a0
s3
A1
a4a3 a5a2 a4
A2
a4a1 a5a0 a4
0
s2
B1
A1a2 a4 A2 A1
B2
A1a0 0 A1
彼此不等。干扰为理想脉冲函数：R(s) 1
C(s) B(s) R(s) B(s)
D(s)
D(s)
则
k
ci
r
js j
i1 s pi j1 s ( j j j ) s ( j j j )
k 2r n
k
r
c(t) cie pit e jt ( Aj cos jt B j sin jt)
试用劳斯判据判断系统的稳定性解
这表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。
例如 p , p j, p j
显然，系统是不稳定的。
处理方法：利用全 0 行的上一行各元构造一个辅 助方程，式中均为偶次。以辅助方程的导函数的 系数代替劳斯表中的这个全 0 行，然后继续计算
下去。这些大小相等而关于原点对称的根可以通
原 始 数 据
b1 b2 e2
c2 c3
1 a1 c1 b1 b1
a3 b2
s2 s1 s0
1 a0 b1 a1 a1
1 a0 b2 a1 a1
a2 a3
a4 a5
计 算 数 据
1 a1 c2 b1 b1
东北大学《自动控制原理》课程组
a5 b3
5
（2）劳斯判据
p1,2 j 2 , p3,4 j 2 , p5,6 1 j 2
END
东北大学《自动控制原理》课程组
14
稳定的充分必要条件
系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的 极点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，也 就是所有的闭环特征根 p j 分布在s平面虚轴的左 侧 ，即
Re[ p j ] 0
东北大学《自动控制原理》课程组
3
3.5自动控制系统的代数稳定判据
不需要求“根”，直接利用特征方程的系数 就可以判断系统的稳定性的方法。 劳斯判据是其中的一种。
代数判据
东北大学《自动控制原理》课程组
4
（1）列劳斯表的建立
a0 s 特征方程式：
劳斯表：
n
a1sn1 an1s an 0， a0 0
s a0 s n 1 a1 s n2 s n 3 c1 e1 f1 g1
信号与系统-罗斯判据
• 系统稳定的充分必要条件 – 冲激响应必须是绝对可积的，0即| h(t) | dt 要使系统稳定，H(s)的极点必须全部在S左半平面，或者是系统的特 征方程的根的实部全部为负。
罗斯判据 设线性系统的特征方程为：
D(s) ansn an1sn1 a1s a0 0
1 1F 2H
(1) 系统函数
H (s) U0(s) US (s)
解：用节点法列方程：
1
uS (t)
2 u1
u0 (t) Ku1
(1
1 2
1 11/ s
2s
)U1
1 11/ s
2s
KU1
US
(
3 2
s Ks 2s2 s
1)U1
U
S
H (s) U0 US
KU1 US
2K (2s2 s 1) 6s2 (5 2K )s 3
第六章第3讲
3
根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况：
• 罗斯阵第一列所有系数均不为零，但也 有不全为正数的情况：
– 特征根在右开半平面的数目等于罗斯阵第一 列系数符号改变的次数。s4 2s3 3s2 4s 5 0
罗斯阵–为例：s4线性系统１的特征方３程为： ５
s3
２
４
０
s2
(6-4)/2=1 (10-0)/2=5 0
6 25
s
4 25
6s2 4s 3
1 25
s
7 25
s2 1
1 25
(s
1 3
)
(s
1 3
)2
7 18
1 25
(s
18 7
7 18
1 3
)
K1.18 连续系统稳定性判别
知识点K1.18连续系统稳定性判别主要内容：连续系统的稳定判据基本要求：1.掌握连续系统稳定的充要条件2.连续系统的稳定性判据方法K1.18 连续系统稳定性判别1.连续系统稳定的充分必要条件是|()|h t dt M-∞-∞≤⎰若H (s )的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。
2.连续因果系统稳定的充分必要条件是|()|h t dt M -∞≤⎰系统左半开平面的极点对应的响应为衰减函数，故，若H (s )的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定的3. 稳定系统的 S 域判别方法：)()()(s A s B s H =111)(a s a sa s a s A n n n n +++=-- 若系统稳定，则，，，，，，＞n i a i 2100=(1) 必要条件：(2) 充分必要条件：罗斯阵列：0111a s a sa sa A n n nn n ++++=-- ( R—H 排列 )42--n n na a a 1.531---n n n a a a 2.531---n n n c c c 3. 531---n n n d d d 5.n+1行n+2行第3行及以后各行计算公式：，，514133121111-----------=-=n n n n n n n n n n n n a a a a a c a a a a a c，，51511331311111-------------=-=n n n n n n n n n n n n c c a a c d c c a a c d罗斯——霍尔维茨准则 ( R—H 准则 )：若罗斯阵列的第一列元素 ( 第一行至n+1行 ) 的符号相同 ( 全为 “+”号或全为 “-”号 )，则 H (s ) 的极点全部在左半平面，系统稳定。
例1 25412)(23++++=s s s s s H 判别系统稳定性。
解：罗斯阵列：.3210041，，，，＞，==+i a n i 245141-40141-05.4245.41-5.4045.41-5124512405.4020第一列元素全为正，故系统稳定。
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义
系统稳定性意义以及稳定性的几种定义一、引言：研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。
在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。
由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述.从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。
但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。
人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。
描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形.电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电路工作的基本条件；不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作，稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。
对于线性系统来说可以用几点分布来判断，也可以用劳斯稳定性判据分析。
对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性.二、稳定性定义：1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。
若当扰动消失后,系统能逐渐恢复到原来的平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。
稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性.绝对稳定性。
如果控制系统没有受到任何扰动,同时也没有输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。
（1）如果线性系统在初始条件的作用下,其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种系统是稳定的。
(2）如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程,则称其为临界稳定。
（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态,但由于系统参数变化等原因,实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。
因此从工程应用的角度来看，临界稳定属于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定.）（3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不稳定的。
自动控制原理总结之判断系统稳定性方法
判断系稳定性的方法一、 稳定性判据（时域）1、 赫尔维茨判据系统稳定的充分必要条件：特征方程的各项系数全部为正； 将系统特征方程各项系数排列成如下行列式； 当主行列式及其对角线上的各子行列式均大于零时，即00031425313231211>∆>=∆>=∆>=∆-----------n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a则方程无正根，系统稳定。
赫尔维茨稳定判据之行列式直接由系数排列而成，规律简单明确，使用也比较方便，但是对六阶以上的系统，很少应用。
例；若已知系统的特征方程为0516188234=++++s s s s试判断系统是否稳定。
解：系统特征方程的各项系数均为正数。
根据特征方程，列写系统的赫尔维茨行列式。
5181016800518100168=∆由△得各阶子行列式；8690017281685181016801281811680884321>=∆=∆>==∆>==∆>==∆各阶子行列式都大于零，故系统稳定。
2、 劳思判据（1）劳思判据充要条件：A 、系统特征方程的各项系数均大于零，即a i >0；B 、劳思计算表第一列各项符号皆相同。
满足上述条件则系统稳定，否则系统不稳定，各项符号变化的次数就是不稳定根的数目。
（2）劳思计算表的求法：A 、列写劳思阵列，并将系统特征方程的系数按如下形式排列成列首两行，即：111212432134321275311642w s v s u u s c c c c s b b b b s a a a a s a a a a s n n n n n n n n n n n n----------B 、计算劳思表176131541213211-------------=-=-=n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b系数b i 的计算要一直进行到其余的b i 值都等于零为止。
系统的稳定性常见判据
其中：
a n 1a n 2 a n a n 3 a n 1 a a an an 5 A2 n1 n 4 a n 1 a a an an 7 A3 n 1 n 6 a n 1 A1
B1 B2 B3 A1a n 3 a n 1 A2 A1 A1a n 5 a n 1 A3 A1 A1a n 7 a n 1 A4 A1
1
2
10.6
稳定
不稳定
三、Nyquist 稳定判据
7. 应用举例
例1
P=0
G( s) H ( s) K (T1 s 1)(T2 s 1)
不论K取任何正值，系统总是稳定的 开环为最小相位系统时，只有在三阶或
① 确定P ② 作G(j)H(j)的Nyquist图
③ 运用判据
三、Nyquist 稳定判据
例1
三、Nyquist 稳定判据
例2
G( s ) H ( s ) K (Ta s 1)(Tb s 1) (T12 s 2 2T1 s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)
1 19 30 s4 1 11 0 s 3 1 ( 19) 1 11 30 30 0 （改变符号一次） s2 1 s 1 ( 30) 11 1 30 12 0 0 （改变符号一次） 0 30 s 30 0 0
第一列各元符号改变次数为2，因此 1. 系统不稳定 2. 系统有两个具有正实部的特征根
（开环极点易知，闭环极点难求）
稳定判据
二、Routh （劳斯）稳定判据
——代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）
1. 系统稳定的必要条件
设系统特征方程为： D( s) an s n an1 s n1 a1 s a0 0
罗斯阵列
X
第 10 页
例： 已知三个线性连续系统的系统函数分别为
s +2 H1(s) = 4 3 2 s + 2s + 3s +5 2s +1 H2(s) = 5 s + 3s4 − 2s3 −3s2 + 2s +1 s +1 H3(s) = 3 s + 2s2 + 3s + 2
判断三个系统是否为稳定系统。 判断三个系统是否为稳定系统。
X
A (s) = s + 2s + 3s + 2 3
3 2
1 2
3 2
罗斯阵列为
c2 c0 d2 d0
X
第 12 页
−1 c2 = =2 2 2 2 −1 d2 = =2 2 2 0 2 2
13
10 −1 c0 = =0 2 2 0 −1 d0 = =0 2 0 0 2 0
因为A 系数的罗斯阵列第一列元素全大于零 系数的罗斯阵列第一列元素全大于零， 因为 3(s)系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所 对应的系统为稳定系统。 以根据 准则， 以根据R-H准则，H3(s)对应的系统为稳定系统。 准则 对应的系统为稳定系统
≤ Mf ∫ h(τ ) dτ
−∞ ∞
若 h(t) dt ≤ M, ∫
−∞
∞
∞
则 yf (t) ≤ Mf M 即 f (t)有 ， y 界
, −1 h(t) < 0 , 则 f (−t) = 取 1 , h(t) ≥ 0
界 必要性： 必要性：若∫−∞ h(t) dt无 , 有 (−t)h(t) = h(t) f
单 入 单 出 统 而 输 － 输 系 ， 态 间 述 是 于 状 空 描 则 基 多 入 多 出 统 描 输 － 输 系 的 述
信号与系统 连续时间LTI系统的稳定性
（2）
H (s)
U 2 (s) U1(s)
s2
K (3 K)s
1
显然，系统稳定条件为 K 3
（3）临界稳定时，K 3，这时
所以系统的冲激响应为
H (s)
3 s2 1
h(t) L1 H(s) 3sin(t)u(t)
信号与系统
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信号与系统
1
3
3
1 k
s1 1 1 3 8 k 3 3 1 k 3
s0
1 k
要使系统稳定，有
8 k
0
3
1 k 0
故
8 k 1
信号与系统
【例5-7-7】对于三阶系统，分母多项式为 A(s) a3s3 a2s2 a1s a0 ， 为使系统稳定， a3, a2 , a1, a0 应该满足什么条件？
霍尔维茨（Hurwitz）判断法
设 n 阶连续线性时不变系统的系统函数为
H (s)
B(s) A(s)
bmsm an s n
bm1sm1 L bn1sn1 L
b1s b0 a1s a0
其中，m n ，ai (i 0,1 , 2 , 3，L ，n) 与 bj ( j 0,1,2,3，L ，m) 均为实常数。
第三行以后的系数由递推式计算。
MMMM
s0 n1 0
0L
信号与系统
xn1
1 an1
an an1
an2 ; an3
xn3
1 an1
an an1
an4 L an5
yn1
自动控制原理地的总结之判断系统稳定性方法
幅值趋于0，相角趋于-270°。
N=-1，P=0，Z=P-2N=2
故闭环系统不稳定。
2、对数频率判定系统稳定性
在截止频率之前，在对数幅频曲线L(W)＞0.对应的频率范围对应的相角是否穿越 -180°
在V≠0时，也需要做增补线，从对数相频特性曲线上 处开始，用虚线向上补90°角（补到0°或180°）
例：已知系统的开环传递函数为 试用对数频率稳定判据判别系统闭环的稳定性。
解：
N=(N+)-(N-)=0-0=P/2
例1：已知系统特征方程为
判别系统是否稳定，若不稳定，求不稳定根的数目。
解：根据特征方程可知，其各项系数均为正。
列写劳思计算表并计算得：
当ε →0时， 故第一列有两次变号，系统特征方程有两个正根，系统不稳定。
例2：已知控制系统的特征方程为
试判定系统的稳定性。
解：根据系统的特征方程可知，其各项系数均为正。
（-1，j0）的圈ຫໍສະໝຸດ N，得到闭环传递函数在S平面的极点的个数Z
P通过G(S)可知 N：顺时针为负，逆时针为正
当V≠0时，需要做增补线 W:0
从幅相曲线 位置开始沿逆时针方向画 V×90°的圆弧增补线（理论半径为 ） 计算圈数时要包括所画圆弧的增补线在内。
例：某单位负反馈系统的开环传递函数为
试用奈氏判据判别闭环稳定性。
（b）实轴上 为根轨迹段
（c）渐近线的夹角与坐标：
（d）分离点坐标d：
解得 d1= -0.423
d2= -1.58 （舍去）因为d2不在根轨迹上
（e）与虚轴的交点坐标：
令S=jw 代入到式中得：
解得：
故
根轨迹图如下所示：
三、频率特性
系统的稳定性以及稳定性的几种定义
系统的稳定性以及稳定性的几种定义一、系统研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。
在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。
由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。
从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。
但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。
人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。
描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。
中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。
二、系统的稳定性一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。
即，若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf ，其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。
三、连续（时间）系统与离散(时间)系统连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。
系统的激励和响应均为连续信号。
离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。
系统的激励和响应均为离散信号。
四、因果系统因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。
也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。
即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。
判定方法对于连续时间系统：t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。
第五章 控制系统的稳定性分析(含习题答案)
f1 g1
劳斯阵列
注意：如果劳斯阵列第一列元素的符号不全 相同，则该列元素符号变化的次数，就是特 征方程所含实部为正的根的数目。
劳斯判据使用说明： （ 1）用一个正数去乘或除劳斯阵的某一整行，不会改变稳定性的结论。
4 3 2 例5-1 设控制系统的特征方程式为：D s s 8s 17 s 16s 5 0
Bl e
l 1
sin l t l Dr t r e r t sin r t r
r 0
n4 1
n2重实根
s pk
n3对不同的共轭复数根 s l jl
结论：控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的根全部具 有负实部。
5. 2 系统稳定的充要条件
s3, 4 2 j
系统特征方程具有两对共轭虚根，系统处于临界稳定。（不稳定，对应的 暂态分量为等幅振荡。)
劳斯判据使用说明：
例 5-3 ： 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为：G s 试应用劳斯判据判断预使系统稳定的K的取值范围。 解：根据题意，可得系统的闭环传递函数为：
K s s 2 s 1 s 2
大范围稳定：系统稳定与否，与初始偏差的大小无关。 小偏差稳定：初始偏差不超过一定范围的情况下，系统是稳定的。
5. 2 系统稳定的充要条件
一、系统稳定条件分析
系统扰动输入到输出之间的传递函数：
Xo s G2 s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm M s N s 1 G1 s G2 s H s a0 s n a1s n 1 an 1s an D s
C s D s
闭环传递函数的特征方程：D(s)=0，特征方程的根即系统传递函数的极点。
系统的稳定性及其判定(罗斯阵列)
6-6 系统的稳定性及其判定所有工程实际系统的工作都应该具有稳定性，所以对系统稳定性的研究十分重要。
本节将介绍系统稳定性的意义及其判定方法。
、系统稳定性的意义若系统对有界激励f(t) 产生的零状态响应也是有界的，即当时，若有(式中和均为有界的正实常数) ，则称系统为稳定系统或系统具有稳定性研究不同问题时，“稳定”的定义不尽相同。
这里的定义是“有界输入、有界输出”意义下的稳定。
，否则即为不稳定系统或系统具有不稳定性。
可以证明，系统具有稳定性的必要与充分条件，在时域中是系统的单位冲激响应h(t) 绝对可积，即< ∞( 6-36)证明设激励f(t) 为有界，即式中，为有界的正实常数。
又因有故有-37)由此式看出，若满足则一定有(6 <∞毕即也一定有界。
式中为有界的正实常数。
由式(6-36) 还可看出，系统具有稳定性的必要条件是(6-38)式(6-36) 和式(6-38) 都说明了系统的稳定性描述的是系统本身的特性，它只取决于系统的结构与参数，与系统的激励和初始状态均无关。
若系统为因果系统，则式(6-36) 和式(6-38) 可写为∞6-39)(6-40)二、系统稳定性的判定判断系统是否稳定，可以在时域中进行，也可以在s 域中进行。
在时域中就是按式(6- 36)和式(6-38) 判断，已如上所述。
下面研究如何从s 域中判断。
1. 从H(s) 的极点［即D(s)=0 的根］分布来判定若系统函数H(s) 的所有极点均位于s 平面的左半开平面，则系统是稳定的。
若H(s) 在j ω轴上有单阶极点分布，而其余的极点都位于s 平面的左半开平面，则系统是临界稳定的。
若H(s) 的极点中至少有一个极点位于s 平面的右半开平面，则系统就是不稳定的；若在j ω轴上有重阶极点分布，则系统也是不稳定的。
2. 用罗斯准则判定用上述方法判定系统的稳定与否，必须先要求出H(s) 的极点值。
但当H(s) 分母多项式D(s)的幂次较高时，此时要具体求得H(s) 的极点就困难了。
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6-6系统的稳定性及其判定
所有工程实际系统的工作都应该具有稳定性，所以对系统稳定性的研究十分重要。
本节将介绍系统稳定性的意义及其判定方法。
一、系统稳定性的意义
若系统对有界激励f(t)产生的零状态响应也是有界的，即当时，若有(式中和均为有界的正实常数)，则称系统为稳定系统或系统具有稳定性研究不同问题时，“稳定”的定义不尽相同。
这里的定义是“有界输入、有界输出”意义下的稳定。
，否则即为不稳定系统或系统具有不稳定性。
可以证明，系统具有稳定性的必要与充分条件，在时域中是系统的单位冲激响应h(t)绝对可积，即
＜∞（6-36)
证明设激励f(t)为有界，即
式中，为有界的正实常数。
又因有
故有
(6 -37)
由此式看出，若满足
＜∞
则一定有证毕
即也一定有界。
式中为有界的正实常数。
由式(6-36)还可看出，系统具有稳定性的必要条件是
(6-38)
式(6-36)和式(6-38)都说明了系统的稳定性描述的是系统本身的特性，它只取决于系统的结构与参数，与系统的激励和初始状态均无关。
若系统为因果系统，则式(6-36)和式(6-38)可写为
＜∞( 6-39)
(6-40)
二、系统稳定性的判定
判断系统是否稳定，可以在时域中进行，也可以在s域中进行。
在时域中就是按式(6-36)和式(6-38)判断，已如上所述。
下面研究如何从s域中判断。
1.从H(s)的极点［即D(s)=0的根］分布来判定
若系统函数H(s)的所有极点均位于s平面的左半开平面，则系统是稳定的。
若H(s)在jω轴上有单阶极点分布，而其余的极点都位于s平面的左半开平面，则系统是临界稳定的。
若H(s)的极点中至少有一个极点位于s平面的右半开平面，则系统就是不稳定的；若在jω轴上有重阶极点分布，则系统也是不稳定的。
2.用罗斯准则判定
用上述方法判定系统的稳定与否，必须先要求出H(s)的极点值。
但当H(s)分母多项式D(s)的幂次较高时，此时要具体求得H(s)的极点就困难了。
所以必须寻求另外的方法。
其实，在判定系统的稳定性时，并不要求知道H(s)极点的具体数值，而是只需要知道H(s)极点的分布区域就可以了。
利用罗斯准则即可解决此问题。
罗斯判定准则的内容如下：
多项式D(s)的各项系数均为大于零的实常数；多项式中无缺项(即s的幂从n到0，一项也不缺)。
这是系统为稳定的必要条件。
若多项式D(s)各项的系数均为正实常数，则对于二阶系统肯定是稳定的；但若系统的阶数n＞2时，系统是否稳定，还须排出如下的罗斯阵列。
设
则罗斯阵列的排列规则如下(共有n+1行)：
阵列中第1、第2行各元素的意义不言而喻，第3行及以后各行的元素按以下各式计算：
如法炮制地依次排列下去，共有(n+1)行，最后一行中将只留有一个不等于零的数字。
若所排出的数字阵列中第一列的(n+1)个数字全部是正号，则H(s)的极点即全部位于s 平面的左半开平面，系统就是稳定的；若第一列(n+1)个数字的符号不完全相同，则符号改变的次数即等于在s平面右半开平面上出现的H(s)极点的个数，因而系统就是不稳定的。
在排列罗斯阵列时，有时会出现如下的两种特殊情况：
(1)阵列的第一列中出现数字为零的元素。
此时可用一个无穷小量ε(认为ε是正或负均可)来代替该零元素，这不影响所得结论的正确性。
(2)阵列的某一行元素全部为零。
当D(s)=0的根中出现有共轭虚根时，就会出现此种情况。
此时可利用前一行的数字构成一个辅助的s多项式P(s)，然后将P(s)对s求导一次，再用该导数的系数组成新的一行，来代替全为零元素的行即可；而辅助多项式P(s)=0的根就是H(s)极点的一部分。
例6-22已知H(s)的分母D(s)=s4+2s3+3s2+2s+1。
试判断系统的稳定性。
解：因D(s)中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：
可见阵列中的第一列数字符号无变化，故该H(s)所描述的系统是稳定的，即H(s)的极点全部位于s平面的左半开平面上。
例6-23已知。
试判断系统的稳定性。
解：因中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：
可见阵列中的第一列数字符号有两次变化，即从+2变为-2，又从-2变为+21。
故H(s)的极点中有两个极点位于s平面的右半开平面上，故该系统是不稳定的。
例6-24已知。
试判断系统是否稳定。
解：因D(s)=s5+2s4+2s3+4s2+11s+10中的系数均为大于零的实常数且无缺项，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：
由于第3行的第一个元素为0，从而使第4行的第一个元素成为(-∞)，使阵列无法继续排列下去。
对于此种情况，可用一个任意小的正数来代替第3行的第一个元素0，然后照上述方法继续排列下去。
在计算过程中可忽略含有,的项。
最后将发现，阵列第一列数字符号改变的次数将与ε无关。
按此种处理方法，继续完成上面的阵列：
可见阵列中第一列数字的符号有两次变化，即从变为,又从变为6。
故H(s)的极点中有两个极点位于s平面的右半开平面上，故系统是不稳定的。
例6-25已知。
试判断系统的稳定性。
解：因中无缺项且各项系数均为大于零的实常数，满足系统为稳定的必要条件，故进一步排出罗斯阵列如下：
可见第4行全为零元素。
处理此种情况的方法之一是：以前一行的元素值构建一个s的多项式P(s)，即
将式(6-41)对s求一阶导数，即
现以此一阶导数的系数组成原阵列中全零行(行)的元素，然后再按原方法继续排列下去。
即
可见阵列中的第一列数字符号没有变化，故H(s)在s平面的右半开平面上无极点，因而系统肯定不是不稳定的。
但到底是稳定的还是临界稳定的，则还须进行下面的分析工作。
令
解之得两个纯虚数的极点：。
这说明系统是临界稳定的。
实际上，若将D(s)分解因式，即为
可见H(s)共有4个极点：,位于轴上；，位于s平面的左半开平面。
故该系统是临界稳定的。
例6-26图6-38所示系统。
试分析反馈系数K对系统稳定性的影响。
图6-38
解：
解之得
欲使此系统稳定的必要条件是中的各项系数均为大于零的实常数，故应有K＞-1。
但此条件并不是充分条件，还应进一步排出罗斯阵列如下：
可见，欲使该系统稳定，则必须有10K＞0,即K＞0。
若取K=0，则阵列中第三行的元素即全为0，此时系统即变为临界稳定(等幅振荡)，其振荡频率可由辅助方程
求得为,即振荡角频率为=rad／s。