初中数学竞赛第十九讲三角形的四心(含解答)

第十九讲三角形的四心

【趣题引路】

你知道欧拉线吗?欧拉线是欧拉发现的.欧拉(1707-1783),瑞士数学家,•变分法的奠基人,复变函数论的先驱者,理论流体力学的创始人,受学于贝努利家族.著作浩如烟海.几乎每一个数学分支都可见到他的名字.如多面体的欧拉定理,•空间解析几何的欧拉变换公式,四方方程的欧拉解法,数论中的欧拉函数,•微分方程中的欧拉方程,等等.他在数论和微分方程等方面有重大成就,•在天文学和物理学等方面也有很大贡献,对航海和弹道研究起了一定作用 .

初等几何中的欧拉线.欧拉线定理的内容是:三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍,且三角形的外心、重心、垂心共线.你会证明这个定理吗?

证明 (1)连BO交圆于E,则BE是直径,

如图1,BO=OE,做OD⊥BC•于点D,•则BD=DC.

∴OD//1

2

EC.∵BE是直径.

∴CE⊥BC,EA⊥AB.∴CE∥AH.AE∥CH,AHCE是平行四边形.

∴AH//EC,∴AH=2OD;

（1）（2） (2)△ABC中,AE为高,H为垂心,O为外心如图2.

OD⊥BC于点D,连AD交HO于G′.

∵AH//2OD,∴△AHG′∽△DOG′.

∴AG′=2G′D.

又∵AD是中线,

∴G′与△ABC重心重合.

∴三角形的外心,重心,•垂心三点共线.

即H、G′、O共线.

【知识延伸】

三角形的四心,指的是外心、内心、重心、垂心.•由于三角形的四心处在特殊的位置上,因而它们具有独特的性质.这些是解与四心相关问题的基础.

外心是三角形外接圆的圆心,它是三角形各边中垂线的交点.若O 为锐角△ABC•的外心,则有(1):∠BOC=2∠BAC,或∠BOC=360°-2∠A;(2)OA=OB=OC.

内心是三角形三条内角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心.如I 是△ABC•的内心.则有:

(1)∠BIC=90°+

1

2

∠A; (2)内切圆半径与半周长的积为三角形面积; (3)•内心I 到△ABC 的三边距离相等;

(4)若延长AI 交△ABC 的外接圆于点E,则EI=EB=EC.

(5)•在Rt △ABC 中,斜边为c,内切圆半径为r,两直角边分别为a 、b,则r=1

2

(a+b+c). 重心是三角形三条中线的交点,设G 是△ABC 的重心,则有: (1)重心G•分每条中线为2:1; (2)S △BCG =S △CAG =S △ABC ;

(3)若AD 是△ABC 的BC 边上的中线,•则有AD 2=

1

2

(AB 2+AC 2- BC 2).这就是中线长公式.(称斯台沃特定理).

垂心是三角形三条高所在直线的交点,•常利用它构造相似三角形及判定四点共圆. 例1 已知G 、L 、H 分别是△ABC 的重心,内心,垂心,且AB>AC,则关系式: 甲: S △AGB > S △AGC ;乙: S △ALB > S △ALC ; 丙: S △ABC = S △AHC + S △BHC + S △AHC . 其中正确的有( )

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

解析 如图3,若G 为△ABC 的重心.由重心的性质知, S △AGB = S △AGC .

(3) (4) 如图4 ,若L 为△ABC 的内心,设三角形内切圆半径为r, 则S △ALC =

12AB ·r. S △ALC =1

2

AC ·r.

∵AB>AC,∴S △ALB > S △ALC .

当△ABC 为钝角三角形时,若H 为△ABC 的垂心,显然S △ABC ≠S △AHC + S △BHC+ S △BHA . 故选B. 点评

利用重心、内心、垂心的性质,用排除法排除了甲和丙不成立,最后确定乙成立. 例2 如图,在Rt △ABC 中,∠A=90°,BC=a,CA=b,AB=c,I 为其内心,则tan 2B +tan 2

C 的值为( ). A.

2a a b c ++ B.a

a b c ++

C.22a a b c

++ D.以上答案均不对 解析 连BI,AI,CI,过I 分别作三边的垂线ID,IE,IF,垂足分别为点D 、E 、F,•

设△ABC 的内切圆I 的半径为r,则ID=IE=IF=r.

在Rt △CIF 中,tan 2C =r

CE .

在Rt △BIF 中,tan 2B r

BF

=,

∴tan 2B +tan 2C =r r

CF BF +

=()BF CF r BF CF +=ar BF CF

.

由切线长可知:CF+BF=a,CE+AE=b,AD+BD=c.

又∵CE=CF,AD=AE,BD=BF,

∴CF=

12(a+b-c),BF=1

2

(a+c-b). ∴CF ·BF=12(a+b-c)(a+c-b)=14[a 2-(c-b )2]=14[b 2+c 2-(c-b)2]=1

2bc.

又∵1

2

bc= (a+b+c)r =S △ABC ,

∴bc=(a+b+c)r.

∴BF ·CF=1

2(a+b+c)r. ∴tan 2B +tan 2C =2

ar

a b c r ++=2a a b c ++.选A.

点评

由于I 为内心,由2B , 2

C

联想到连结BI,IC.在Rt △ABC 中用BF,CF 来表示出tan 2B ,tan 2

C

的值.再利用切线长定理表示出CF,BF 的长.

【好题妙解】

佳题新题品味

例1 如图,△ABC 的外接圆为⊙O,∠ACB=60°,N 是弧AB 的中点,H 是垂心. 求证:CN ⊥OH.

证明 连OC 、ON,延长AH 交⊙O 于H ′,连OH ′,CH ′. 由∠ACB=60°,得∠CAH ′=•30°, ∴∠COH ′=2∠CAH ′=60°.

∵OC=OH ′,∴△OCH ′是正三角形,即OC=OH ′=CH ′. ∵AH ⊥BC,CH ⊥AB.

∴B 、•Q 、H 、P 四点共圆,得∠CHH ′=∠CBA. 又∠CH ′B=∠CBA,从而知∠CHH ′=∠CH ′A,• 于是△CHH ′为等腰三角形.且有CH=CH ′. 由于H 为垂心,N 为AB 的中点. ∴CH ⊥AB,ON ⊥AB,

从而得CH ∥OH.又ON=OC=CH ′=CH,由此知四边形OCHN 为菱形. ∴OH ⊥CN. 点评

本题设法证明OH,CN 是菱形的对角线,从而使问题获证.

例2 在△ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,∠ACB=90°,CD 和BE 是△ABC 的两条中线,•且CD ⊥BE,求a:b:c.

解析 如图,设CD 、BE 相交于点F,

则F 为△ABC 的重心.设EF=x,DF=y,•则

FB=2x,CF=2y. 在Rt △BCE 中,∵CF ⊥BE,∴Rt △BCF ∽Rt △BEC, ∴a 2=2x ·3x=6x 2.同理,(

12

b )2

=x ·3x, 即b 2=12x 2.

在Rt △DFB 中,由勾股定理,得 (

12

c )2

=(2x)2+y 2,∴c 2=16x 2+4y 2. ① 又∵Rt △FEC ∽Rt △FCB,∴C F 2=EF ·BF.

即(2y 2

)=x ·2x,∴y 2

=1

2

x 2. ②

以②式代入①得c 2=18x 2,