量子力学. 卷Ⅰ5版(曾谨言著)思维导图

量子力学讲义1

量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。

量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。

综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。

它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。

⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。

量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。

因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。

三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。

1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。

2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。

但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。

四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。

2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。

五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。

⼒学量可以不连续地取值，且不确定。

2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。

它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。

六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。

2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。

3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。

(完整word版)量子力学-曾谨言-第五版-第1章序言-知识点汇总(良心出品必属精品)

第一章量子力学的历史渊源§1.1 Planck 的能量子假说经典物理学的成就到19世纪末，已经建立了完整的经典物理学理论：(1)、以牛顿三大定律和万有引力定律为基础的经典力学(从天空到地上的各种尺度力学物体的机械运动)，(2)、以麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式表述的电磁场理论(光的波动理论、电磁现象的规律)；(3)、热学以热力学三大定律为基础的宏观理论和统计物理所描述的微观理论（大量微观粒子的热现象等）。

这些理论能令人满意地解释当时所常见的物理现象，让当时绝大多数的物理学家相信物理学基本理论已经完成，剩下的工作在需要在细节上作一些补充和修正。

经典物理学所遇到的问题(1)、黑体辐射现象，(2)、光电效应；(3)、原子的光谱线系；(4)、原子的稳定性；(5)、固体的低温比热。

一、黑体辐射的微粒性 1、黑体辐射的几个物理量黑体：所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。

辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，用(,)E T ν表示。

所以在t ∆时间，从面积S ∆上发射出频率在ννν-+∆范围内的能量表示为： (,)E T t S νν∆∆∆因此，(,)E T ν的量纲为：22=1×⨯能量焦耳米秒米秒。

可以证明：（(,)v T ρ的单位为3⋅焦耳秒米）。

吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额，用(,)A T ν表示。

G. Kirchhoff （基尔霍夫）证明：对任何一个物体，辐射本领(,)E v T 与吸收率(,)A T ν之比是一个普适的函数，即（f 与组成物体的物质无关）。

对于黑体的吸收率(,)1A v T =，故其辐射本领(,)(,)E T f T νν=（等于普适函数与物质无关）。

所以只要黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。

辐射本领也可以用(,)E T λ描述, 由于单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量可写为：(,)(,)E v T dv E T d λλ∞∞=⎰⎰由于c νλ=知2cd d νλλ=-代入上式得：02(,)(,)cE v T d E T d λλλλ∞∞-=⎰⎰322(,)(,) (,)(,) ( )E v T E T E T E v T ccλνλλ⋅⇒==焦耳米秒或2、黑体的辐射本领黑体辐射的空间能量密度按波长（或频率）的分布只与温度有关。

曾谨言量子力学第一卷习题答案解析3第三章.docx

第三章：一维定态问题［1］对于无限深势阱屮运动的粒子（见图3・1）证明…上（1—亠212 / 兀 2并证明当"T 00时上述结果与经典结论一致。

［解］写出归一化波函数:(1)先计算坐标平均值：x=「|屮「曲=「dn 2竺曲显「（l — cos 込）xdx Jo X a agJo a 利用公式：. xcos px sin px xs in pxax — --------------------- 1 -------- ；—P P—f 1T/ 2 2 / f 2 2 - 2 MX J 1 f" 2/1 2勿才、, x - 屮才 ax- —x sin 〜 ---------- ax-— 才Pl — cos ---------- ) axJo J a a a利用公式［才2cos pxdx-—x 1 sin /zr +丄7才cos/zr —— sin pxJp矿p2/77LV(2)才 cos pxdx -xs in px cos px(3)(5) nnx得计算均方根值用s-$2 = 7-pj 2 J 以知，可计算7/__/ 12 ~ 2/72^2在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0, a ）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1,几率密度CD=-.a_ f" 」r z, 1 , a x - coxar = —xax=—Jo Jo a 2［解］（甲法）：根据波函数标准条件，设定各区间的波函数如下:（x<0 区）：屮=(x>a 区)：H 7 = De~kyX但仏三寸2腻人一Q 丨Hk 、三 J2同匕 _ Z ）/ 1i 写出在连接点x=0处连续条件（0<x<a 区）：屮=BdJC 沙(2) (1) (3)/c 2 三 J2/〃Z7力故当/?—> oo 时二者相一致。

#［2］试求在不对称势力阱屮粒子的能f 4= B+CI k\A = ikAB—C} x=a处连续条件Be ikl<i + Ce ikia = De kyi (6)Bd® - C严=竺De kyi（7）（4）（5）二式相除得k x B-Cik[ B + C（6）（7）二式相除得ik、_ B" _ C严石一Bd^ + C严从这两式间可消去B, C,得到一个k&出间的关系ik、_ （心 + 右 + ik石+%2）/"+（一£ +%2）才®k、cos k^a-k2 sin k、a/(心sin k’a* k z cos k z a\解出tgkg得tgk、a = /"J + "）+ 〃兀（〃=0,1,2,...）〜k；-心最后一式用E表示吋，就是能量得量子化条件:個〃〃 + 一夕）tg --------- a -- ------ -- 彳、，〜卉夕-JW-勾“一刀（乙法）在0<x<a区间屮波函数表示为(8)屮（才）=2?sin （禺才+§）现在和前一法相同写出边界条件:力=2?sin 5(在x=0处) (9)(在x=a处) k x A-局〃cos5 (10)(11) 一(2 方cos/a+M = k^De(12)(9) (10)相除得加 3+»)=写出(13) (14)的反正切关系式，得到:E------- + mn V x -E EF Z77T V x -EE V z -E前述两法的结果形式不同，作为一种检验，可以用下述方法来统一。

曾谨言量子力学(卷I)第四版(科学出版社)2007年1月...

曾谨言《量子力学》（卷I ）第四版（科学出版社）2007年1月摘录第三版序言我认为一个好的高校教师，不应只满足于传授知识，而应着重培养学生如何思考问题、提出问题和解决问题。

这里涉及到科学上的继承和创新的关系。

“继往”中是一种手段，而目的只能是“开来”。

讲课虽不必要完全按照历史的发展线索讲，但有必要充分展开这种矛盾，让学生自己去思考，自己去设想一个解决矛盾的方案。

要真正贯彻启发式教学，教师有必要进行教学与科学研究。

而教学研究既有教学法的研究，便更实质性的是教学内容的研究。

从教学法来讲，教师讲述一个新概念和新原理时，应力求符合初学者的认识过程。

在教学内容上，至少对于像量子力学这样的现代物理课程来讲，我信为还有很多问题并未搞得很清楚，很值得研究。

量子力学涉及物质运动形式和规律的根本变革.20世纪前的经典物理学(经典力学、电动力学、热力学与统计物理学等)，只适用于描述一般宏观从物质波的驻波条件自然得出角动量量子化的条件及自然理解为什么束缚态的能量是量子化的：P17~18；人类对光的认识的发展历史把原来人们长期把物质粒子看作经典粒子而没有发现错误的启发作用：P18；康普顿实验对玻尔电子轨道概念的否定及得出“无限精确地跟踪一个电子是不可能的”：P21；在矩阵力学的建立过程中，玻尔的对应原理思想起了重要的作用；波动力学严于德布罗意物质波的思想：P21；微观粒子波粒二象性的准确含义：P29；电子的双缝衍射实验对理解电子波为几率波的作用：P31在非相对论条件下（没有粒子的产生与湮灭），概率波正确地把物质粒子的波动性与粒子性联系起来，也是在此条件下，有波函数的归一化及归一化不随时间变化的结果：P32；经典波没有归一化的要领，这也是概率波与经典波的区别之一：P32；波函数归一化不影响概率分布：P32多粒子体系波函数的物理意义表明：物质粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，而一般说来是多维的位形空间中的概率波。

量子力学第四版卷一（曾谨言著）习题答案第5章-1

量⼦⼒学第四版卷⼀（曾谨⾔著）习题答案第5章-1第五章：对称性及守恒定律P248设粒⼦的哈密顿量为 )(2??2r V p H+=µ。

（１）证明V r p p r dtd ??-=?µ/)(2。

（２）证明：对于定态 V r T ??=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ++=?，运⽤⼒学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： )],,(,[21],[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p xz y x z y x z y x +++++++=µ（２）分动量算符仅与⼀个座标有关，例如xi p x ??=，⽽不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成： ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[21222V p z V p y V p xp p z p p y p p x z y x z z yy x x +++++=µµµ （３）前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下：222?2??x x x p i p i p i =+= （４）xVxi ??=?? （５）将（４）（５）代⼊（３），得：代⼊（１），证得题给公式：V r pp r dt d ??-=? µ2?)( （６）（２）在定态ψ之下求不显含时间t 的⼒学量A ?的平均值，按前述习题２的结论，其结果是零，令p r A ?= 则0)??(*2=??-==V r p d p r p r dt d τµτψψ（７）但动能平均值 µτψµψτ22?*22p d p T =≡由前式 V r T ??=21 P249 设粒⼦的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维⾥定理（Ｖirial theorem ）式中Ｖ是势能，Ｔ是动能，并应⽤于特例：（１）谐振⼦ T V = （２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n2,==（解）先证明维⾥定理：假设粒⼦所在的势场是直⾓坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场⽤直⾓坐标表⽰的函数，可以表⽰为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是⽆理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满⾜：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。

量子力学(曾谨言)

d nx nx h e e dx n 0 n 0 d x 1 x 1 h (1 e ) (1 e ) dx h (e h kT 1)
17
n 0
e
于是，用电动力学和统计力学导出的公式
2 2 E ( , T ) kT （Rayleigh–Jeans） 2 c
13
能量量子化概念对难题的解释
黑体辐射从能量量子化假设出发，可以推导出同实验观测极为吻合的黑体辐射公式，即Planck公式
E ( )
e
c2 / T
c1
3
1
2 3
E ( ) c1 e
3 c2 / T
E ( ) 8kT / c
14
普朗克（Planck）大胆假设：无论是黑体辐射也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以分立的能量 nh 显示，即能量模式是不连续的。
23
光的波粒二象性
波粒二象性，又称为波动粒子两重性，是指物体，小到光子、电子、原子，大到子弹、足球、地球，都既有波动性，又有粒子性。频率为υ的单色光波是由能量为E =hυ 的一个个粒子组成的，这样的粒子被称为光子，或光量子。光子的粒子性－光电效应；光子的波动性－光的衍射和干涉。
24
光的波粒二象性
33
《量子力学》的作用
一般工科：建立概念与启迪思维，重点在了解。材料学：重点是建立正确的、系统的、完整的概念，为后续课程以及将来从事材料学领域的研究奠定基础。理科：四大力学之一，应该精通，并作为日后从事研究的工具。
34
学习《量子力学》时应注意的问题
概念是灵魂－建立起清晰的概念数学是桥梁－不必过分拘泥于数学推导结论是收获－铭记结论在材料学中的作用

曾谨言量子力学第五版答案

曾谨言量子力学第五版答案【篇一：量子力学第四版卷一 (曾谨言著)习题答案】量子力学的诞生1m?2x2中运动，用量子化条件求粒子能量e的可能取值。

2p?2m[e?v(x)]v()n?1,2,?,解：能量为e的粒子在谐振子势中的活动范围为 x?a（1）其中a 由下式决定：e?v(x)x?a?由此得a?1m?2a2。

?a 0 a x 22e/m?2 ，（2）x??a即为粒子运动的转折点。

有量子化条件p?得a?2a2?nh代入（ enx,y,z轴三个xxx即 px?2a?nxh（2a：一来一回为一个周期）pxnxh/2a,同理可得， py?nyh/2b, pz?nzh/2c,nx,ny,nz?1,2,3,?粒子能量enxnynz1?2?2222?(px?py?pz)?2m2m222??nxnyn?? ?2?z22??abc??nx,ny,nz?1,2,3,?1.3设一个平面转子的转动惯量为i，求能量的可能取值。

提示：利用2?2p?d??nh,n?1,2,?, p?是平面转子的角动量。

转子的能量e?p?/2i。

解：平面转子的转角（角位移）记为?。

它的角动量p??i?（广义动量），p?是运动惯量。

按量子化条件 .2?p?dx?2?p?mh,m1,2,3,因而平面转子的能量p??mh，2em?p?/2i?m2?2/2i，m?1,2,3,?1.4有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,b,求粒子能量允许值.,设圆半径是r,线速度是v,用高斯制单bevc又利用量子化条件,令电荷角动量转角2?pdq??mrvd??2?mrv?nh (2)12be?nmv? 22mc即 mrv?nh(3) 由(1)(2)求得电荷动能=再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能 v磁矩*场强电流*线圈面积*场强ev*?r2*b=,v是电荷的旋转频率, v?,代入前式得2?rcccbe?n(符号是正的) 2mcbe?n点电荷的总能量=动能+磁势能=e= ( n?1,2,3)2mc运动电荷的磁势能=1.5，1.6未找到答案1.7（1）试用fermat最小光程原理导出光的折射定律nsin??nsin?112（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理射定律0这将导得下述折nsin??nsin?1331媒质到另一种媒质e仍不变，仍有?e是粒子能量，从一种?pdl?0a到定点b的i?n设ai?n1122又ab沿界面的投影c也是常数，因而，?12存在约束条件：atg?1?btg?2?c（2）求(1)的变分,而将,12看作能独立变化的,有以下极值条件in1asec1tg1d1n2bsec2tg2d20 (3)再求（2）的变分asec22bsec1d12d2c0(3)与(4)消去d和d?1222得nsin??nsin?1(5)[乙法]见同一图,取x为变分参数,取0为原点，则有: i?n1a2?x2?n2b2?(c?x2)求此式变分,令之为零,有： ?i?x?x1a?x22(c?x)?x2(cx)22这个式子从图中几何关系得知,就是(5).(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度 vg光程原理作?,依前题相速vpc2v,而vgc2gvcn,n是折射率,n是波前阵面更引起的,vp,这样最小作用p量原理仍可以化成最小光程原理.ndl?0前一非难是将光子的传播速度v看作相速度vp的误解.1.8对高速运动的粒子(静质量m)(3).计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:qih,本题中iqiv,p?p,因而im2c4?c2p2?v??pc2pmc?cp2422(4)从前式解出p(用v表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式. 其次求粒子速度v和它的物质波的群速度vg间的关系.运用德氏的假设: p??k于(3)式右方, 又用e于(3)式左方,遍除h:m2c422ck??(k) 2按照波包理论，波包群速度vg是角频率丢波数的一阶导数：vg?k=m2c422ck 2c2kmc22ck224c2pmc?cp2422最后一式按照（4）式等于粒子速度v，因而又按一般的波动理论，波的相速度vgv。

[理学]量子力学第1讲

Quantum Mechanics
主要参考书
量子力学，科学出版社曾谨言
量子力学原理，北京大学出版社王正行
量子力学原理，科学出版社 P.A.M. 狄拉克
高等量子力学， Quantum Theory
P. Roman Quantum Mechanics – Symmetries
矢量空间的元素称为矢量。
如果a是实数，则空间称为实数域上的矢量空间。
如果a是复数，则空间称为复数域上的矢量空间。
二、内积空间
内积：在矢量空间L 中按顺序任意取两个矢量和
，总有一个数c与之对应，记为：
(, ) c
称c为这两个矢量的内积或数积。内积运算要满足：
(1) (,) (,)*
(2) (, ) (,) (, )
左矢空间和右矢空间合在一起，与原来由矢量
构成的希尔伯特空间L 等价。
基矢的正交归一关系： ei | e j i j
| | ei ei |
i
| | ei ei |
| ei ei | 1
i
i
| | ei ei |
i
七、函数空间
对区间[a,b]上的所有连续的、平方可积的
证：
[
Aˆ (
n1)
,
Bˆ ]
Aˆ ,
[
Aˆ (
n)
,
Bˆ
]
设 Fˆ () e Aˆ Bˆe Aˆ
dFˆ () d
e
Aˆ
(
Aˆ Bˆ
Bˆ Aˆ )e
Aˆ
e Aˆ [Aˆ, Bˆ]e Aˆ
d2Fˆ () d2
d
d
e
Aˆ [
Aˆ,
Bˆ ]e

高等量子

a
b
3．内积空间的完备性：任一以内积空间 L ： { , , ,... } 中的矢量为元素构成的 1 , 2 , 3 ,... Cauchy ，若其 L 序列 L 极限也在中，则是完备的。 4．希尔伯特（Hilbert ）空间：
一个完备（全）的内积空间。
(或：在一个集合上定义了加法、数乘、内积而成的完备的空间)
加法： : , L, 总 : L, 使
（交）且：
（结） ( ) ( ) : L有: o : L, : 定义来推导出左矢空间对应的运算规则。 4．左、右矢运算的关系：
①若与任何则的内积都是零，
0
与任何的内积都是零, 则 0 证：ⅰ, ∵对任何都有 0 ∴可取为，这时 : 0
由内积条件有 0 ⅱ，左矢同理。
0
且内积规则满足：
( , ) ( , )* ( , ) ( , ) ( , ) ( , a) ( , )a 总有( , ) 0, 仅当 0时取"="号
称
L 为内积空间。
( 注意； , ) 只是内积记号，对应规则具体而定。
1．5 左矢和右矢
( , a) ( , )a; ( a, ) a *( , )
同一矢量作为左、右因子，其地位不同，
狄拉
克符在记法上保持其身份：右矢，左矢
( , )
内放对应矢量符号：内积表示为：

( , )
L 1．右矢空间：在集合： , , , 上定义：加 : , L, : L, 使法：且：

曾谨言量子力学第一卷习题答案解析11第十一章

根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元
xk/k =
∫
∞
−∞
) ψ k( 0 ' dx
（3）
( 0) 式中ψ k ( x) =
a π k!2
k
H k (ax ) ， a =
µω ℏ
~446~
要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式：
xψ k( 0 ) =
1 k ( 0) { ψ + α 2 k −1
~448~
−
a2 ( k ' + k )πx a cos }0 (k ' − k ) 2 π 2 a
'
4k 'ka ( −1) k + k − 1 = ⋅ π 2 (k ' 2 − k 2 ) 2
(3)
从最后一式知道，要使矩阵元 x k ' k ≠ 0 ， k ' + k 必需要是奇数。但这个规律也可以用别种方式叙述，当 k ' + k 是奇数时
∫ dϕ
ϕ =0
=
e
32πa 4 27 *5 ae 35
⋅ห้องสมุดไป่ตู้4!⋅(
π − 2a 5 1 ) ⋅ ( − cos 3 θ ) 2π 3 3 0
（11）
=
将三种值分别代入（7），得 C211,100 = 0, C21−1,100 = 0
C210 ,100 =
2 7⋅ 5 ⋅a i 35 ℏ[(ω k ' − ω k ) + ] τ
Wk 'k =
2 4π 2 q 2 x ρ (ω k ' k ) ' kk 3ℏ 2 2
' 64a 2 q 2 k' k 2 = ⋅ ⋅ [( −1) k + k − 1] 2 ⋅ ρ (ω k ' k ) 2 2 2 3π ℏ ( k ' − k 2 ) 4

量子力学曾谨言第五版第三章讲课稿(知识点)

[例]对于自由粒子，由于为实函数，且具有空间反射不变性。
[解]哈密顿量的本征值是二度简并的，对应两个独立的定态波函数：
，
它们不是实函数，也不具有确定的宇称。但总能组合成一组实的定态波函数
它们具有确定宇称。
除了波函数的自然条件外，有时还要用到波函数一阶导数的连接条件。
(iv)、①.在某处点，若连续或发生阶梯形跃变，则波函数的一阶导数连续；
（是简并度）
空间反射得：（），所以，集合也是与对应的定态波函数。
只要中有一个无确定宇称的波函数，例如，就可用有确定宇称的组合
来取代，而 ,最后总能组合成一组具有确定宇称的解。
总之，若空间反射不变，则无简并的定态波函数必有确定的宇称。对于简并的能级，总可以组合成有确定宇称的一组简并波函数。
推论（Corollary）：当具有空间反射不变性时，则
(1)、对于无简并的能级，定态波函数必有确定的宇称。
(2)、若能级有简并，则总能找到一组简并的定态波函数，其中每一个波函数都有确定的宇称。
证明：(1)、能级无简并情况：因能级无简并，则，即具有确定的宇称。
(2)、能级有简并情况：设集合是与能级对应的本征波函数
；
由波函数的归一化条件：，确定归一化系数为。
因此，能量本征波函数表示为
。
将能级和波函数用图表示如下:
对结果进行物理分析:
1、从能量公式分析
(i)、能级是量子化的，但经典动能 , 连续取值。
而最低能量，这与经典粒子不同，是微观粒子波动性的表现。因为“静止的波”是没有意义的。通常地，称为零点能(zero-point energy)，对应的这个状态称为基态(ground state)。

量子力学习题答案(曾谨言版)

和任意，所以
ˆ ˆ ) BA ˆ ˆ ( AB
P74 习题3.3
解答：利用
[ p, x ] i mx
m
m1
[ x, pn ] i npn1
[ p, F ]
mn 0 m n C [ p , x ] p mn
i
mn 0
C

mn
mx
m 1
p i F x
Rnl ( r ) N nl l e 2F ( n l 1, 2l 2, )
园轨道（l = n－1）下的径向概率分布函数
n,n1 ( r ) Cr e
2 d n,n1 ( r ) 0 dr
2
2 n 2 Zr na
最概然半径 rn 由下列极值条件决定：
(b) 对两个全同的Femi子，体系波函数必须满足交换反对称要求。
对Femi子不允许两个粒子处于相同的单态，因此它们只能处于不同的单态，此时反对称化的体系波函数： 1 (1, 2) [i (1) j (2) i (2) j (1)], i j 2 2 可能态数目 C3 3 所以，两个全同Femi子总的可能态数目3 (b) 对两个经典的粒子(可区分)，其体系波函数无对称性要求，即 (1, 2) i (1) j (2), i, j 1, 2, 3 可能态数目3 3 9
dp
( x, t ) (2 )
利用
1

e
t m 2 mx 2 [( p x) ] 2t 2m 2t i
dp

e d e
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