提公因式法及公式法因式分解练习题
八上数学每日一练：提公因式法因式分解练习题及答案_2020年综合题版
2020年 八 上 数 学 ： 数 与 式 _因 式 分 解 _提 公 因 式 法 因 式 分 解 练 习 题
1. (2018大石桥.八上期末) 分解因式：
（1） 10a－5a2－5； （2） (x2＋3x)2－(x－1)2. 考点： 提公因式法： 数 与 式 _因 式 分 解 _提 公 因 式 法 因 式 分 解 练 习 题 答 案
1.答案：
答案解析
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2.答案： 3.答案：
4.答案： 5.答案：
2. (2017临海.八上期末) 按要求解答：
（1）
计算：
；
（2）
因式分解：
；
（3）
先化简，再求值：
，其中
.
考点： 代数式求值;整式的混合运算;提公因式法因式分解;0指数幂的运算性质;负整数指数幂的运算性质;
3. (2017温岭.八上期末) 计算题：
（1）
（2）
因式分解：
（3）
解方程：
考点： 提公因式法因式分解;因式分解的应用;解分式方程;
4. (2017上杭.八上期末) 分解因式： （1） 3m（b﹣c）﹣2n（c﹣b） （2） （a﹣b）（a﹣4b）+ab． 考点： 提公因式法因式分解;
5. (2016柘城.八上期末) 分解因式： （1） 6x（a﹣b）+4y（b﹣a） （2） 9（a+b）2﹣25（a﹣b）2． 考点： 提公因式法因式分解;因式分解﹣运用公式法;
因式分解经典例题练习题
提公因式法提公因式法：确定公因式的一般方法：①各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的最大公约数；②字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. ③它们的乘积就是多项式的公因式例：用提公因式法分解因式（1）3a 2- 9ab 2 （2）-5x 2 + 25x 3 （3）4x 3y+2x 2y 2-6xy 3（4）-9m 2n-3mn 2+27m 3n 4 （5）2(x+y)2-4x(x+y) （6）2(a-1)+a(1-a)自我检测1、判断下列各题是否为因式分解：①m(a+b+c)= ma+mb+mc. ②a 2-b 2 = (a+b)(a-b) ③a 2-b 2 +1= (a+b)(a-b)+12、试一试：请找出下列多项式中各项的相同因式（公因式）（1） 3a+3b 的公因式是： （2）-24m 2x+16n 2x 公因式是：（3）2x(a+b)+3y(a+b)的公因式是： (4) 4ab-2a 2b 2的公因式是：3、.对下列多项式进行因式分解①－20a －25ab ②－32233b a b a - ③1+-m m aa④44252336279x a x a x a +- ⑤3a 2- 9ab4.、把下列各式分解因式①3 x 3 -3x 2 –9x ② 8a 2c+ 2b c ③ -4a 3b 3 +6 a 2 b-2ab ④ a(x-y)+by-bx5、把下列多项式分解因式① 2p 3q 2+p 2q 3 ② x n -x n y ③ a(x-y)-b(x-y)④ 4a 3b-2a 2b 2 ⑤323812a b ab c - ⑥ 323612ma ma ma -+-6、已知,x+y=2,xy=-3,求x 2y+xy 2的值.公式法（平方差公式）a 2-b 2=(a+b) (a-b)注意：①公式中的a 、b 可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式。
②分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。
因式分解———提公因式公式法
因式分解———提公因式公式法因式分解是数学中的一个重要的方法，它可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式。
常用的因式分解方法有提公因式法和公式法。
一、提公因式法提公因式法是一种常用的因式分解方法，它的基本思想是找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式3x^2+9x分解因式。
解题步骤：1.观察多项式中的每个项，找出它们的公因式。
在这个例子中，3和9都是3的倍数，所以可以提取出公因式3来，即3x^2+9x=3(x^2+3x)。
2.检查提取出的公因式是否是多项式的最大公因子。
这一步其实是用求最大公因子的方法来验证的。
在这个例子中，公因式3是最大公因子，因为3x^2和3x都可以被3整除，而且没有其他的公因子。
3.将提取出来的公因式和剩下的部分组合在一起。
在这个例子中，可以将公因式3和剩下的部分(x^2+3x)组合在一起，即3(x^2+3x)。
综上所述，多项式3x^2+9x可以分解因式为3(x^2+3x)。
二、公式法公式法是因式分解中的另一种常用方法，它适用于具有特定形式的多项式。
下面以一个具体的例子来说明：例题：将多项式x^2+4x+4分解因式。
解题步骤：1.观察多项式的各个项的系数。
在这个例子中，x^2的系数为1，4x的系数为4，4的系数为42.检查多项式是否具有特定形式。
在这个例子中，多项式的形式为x^2+4x+4，它的形式和公式(a+b)^2非常相似。
3.根据公式(a+b)^2，将多项式进行分解。
根据公式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可以将多项式x^2 + 4x + 4分解为(x+2)^2综上所述，多项式x^2+4x+4可以分解因式为(x+2)^2综合练习：1.将多项式6x^2+9x+3分解因式。
解：可以观察到，多项式的各个项的系数都是3的倍数，所以可以提取公因式3，即6x^2+9x+3=3(2x^2+3x+1)。
2.将多项式x^3-8分解因式。
八年级数学上册《提公因式法因式分解》练习题及答案
八年级数学上册《提公因式法因式分解》练习题及答案学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．将2(2)(2)m a m a -+-分解因式，正确的是（ ）A ．2(2)()a m m --B ．(2)(1)m a m -+C ．(2)(1)m a m --D ．(2)(1)m a m --2．计算1110(2)(2)---等于（ ）．A ．2-B ．21(2)-C ．1032-⨯D ．102- 3．下列各组多项式中没有公因式的是（ ）．A ．3x －2与 6x 2－4xB ．23()a b -与311()b a -C ． mx—my 与 n y—n xD ．ab—ac 与 ab—bc4．如图1的8张宽为a ，长为()b a b <的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ，当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则a ，b 满足（ ）A ．5b a =B ．4b a =C ．3b a =D ．b a =5．下列因式分解正确的是（ ）A ．2()x xy x x x y x -+=-+B ．32222()a a b ab a a b ++=+C ．2224(1)3x x x -+=-+D ．29(3)(3)ax a x x -=+•-6．把2a 2﹣4a 因式分解的最终结果是（ ）A ．2a （a ﹣2）B ．2（a 2﹣2a ）C ．a （2a ﹣4）D ．（a ﹣2）（a +2）二、填空题7．分解因式：252020m m -+=______．8．已知221062m n m n ++=-，则m n -=______．9．一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫_________．三、解答题10．计算：（1）a b a b ab ab +--；（2）2422x x x ---；（3）24m n m n m n m n -+-++；（4）321111x x x x x x -+-+-+++． 11．（1）已知53m n =，求222m m n m n m n m n+-+--的值； （2）已知12x x +=，求221x x +的值； （3）已知34(1)(2)12x A B x x x x -=+----，求实数A ，B ． 12．把下列各式分解因式：（1）2m （m ﹣n ）2﹣8m 2（n ﹣m ）（2）﹣8a 2b ＋12ab 2﹣4a 3b 3参考答案：1．C【分析】直接利用提取公因式法进行分解因式即可．【详解】解：2m ()2a -＋()2m a -＝2m ()2a -()2m a --＝()()21m a m --；故选C ．【点睛】本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键．2．C【详解】根据有理数的乘方可得()()111022(2)-=-⨯-，然后根据含乘方的有理数计算法则进行求解即可．【解答】解：1110(2)(2)---()()10102(2)2=-⨯---103(2)=-⨯-1032=-⨯．故选C ．【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则.3．D【分析】根据公因式的定义可直接进行排除选项．【详解】A 、由()264232x x x x -=-，所以32x -与264x x -有公因式()32x -，故不符合题意；B 、由()()2233b a a b -=-可得公因式为()2b a -，故不符合题意； C 、由()(),mx my m x y ny nx n x y -=--=--可得公因式为()x y -，故不符合题意；D 、由()(),ab ac a b c ab bc b a c -=--=-可得没有公因式，故符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查提取公因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．4．A【分析】分别表示出左上角阴影部分的面积S 1和右下角的阴影部分的面积S 2，两者求差，根据当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，即可求得a 与b 的数量关系．【详解】解：设左上角阴影部分的面积为1S ，右下角的阴影部分的面积为2S ，S 1=（BC -3a ）×b ，S 2=（BC -b ）×5a12S S S =-=（BC -3a ）×b -(BC -b ）×5a ．= 355bBC ab aBC ab=52b a BC ab当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，50b a， 5b a ．故选择：A ．【点睛】本题考查了多项式乘以单项式在几何图形问题中的应用，数形结合并根据题意正确表示出两部分阴影的面积之差是解题的关键．5．B【分析】根据提公因式法以及公式法分解因式，提取公因式后整理注意符号变化．【详解】解：A. 2(+1)x xy x x x y -+=-，故错误，不符合题意；B. 32222()a a b ab a a b ++=+，故正确，符合题意；C. 2224(1)3x x x -+=-+，不是因式分解，故错误，不符合题意；D. 29ax -无法因式分解，故错误，不符合题意.故选B.【点睛】本题主要考查了提公因式法以及公式法分解因式，正确理解应用因式分解是解题的关键.6．A【分析】2a 2-4a 中两项的公因式是2a ，提取公因式即可【详解】解：2a 2-4a = 2a (a - 2)；故选A ．【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，正确确定公因式是关键．7．5（m ﹣2）2【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：252020m m -+＝5（m 2﹣4m +4）＝5（m ﹣2）2．故答案为：5（m ﹣2）2．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2是解题的关键． 8．4【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得,m n 的值，进而代入代数式即可求解． 【详解】解：221062m n m n ++=-，2210620m n m n +-+∴+=，即()()22310m n -++=，3,1m n ∴==-，()314m n ∴-=--=，故答案为：4．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．9．提公因式法【解析】略10．（1）2a；（2）2x +；（3）3-；（4）1x x +． 【分析】（1）根据同分母分式的运算法则解题，注意负号的作用；（2）利用同分母分式的减法法则，结合平方差公式进行计算；（3）利用同分母分式的减法法则，结合提公因式化简解题；（4）根据同分母分式的加减法法则解题．【详解】解：（1）()22a b a b a b a b b ab ab ab ab a+-+---===； （2）2244(2)(2)22222x x x x x x x x x --+-===+----； （3）242(4)m n m n m n m n m n m n m n -+--+-=+++33m n m n --=+3()m n m n -+=+3=-； （4）32132(1)11111x x x x x x x x x x x x -+--++--+-==+++++． 【点睛】本题考查分式的加减混合运算，涉及平方差公式、提公因式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．11．（1）4116；（2）2；（3）A =1，B =2． 【分析】（1）先通分，再根据同分母的分式相加减法则进行计算，设m =5k ，n =3k ，再代入求出即可；（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（3）先通分，再根据同分母的分式相加减法则进行计算，再得出关于A 、B 的方程组，求出方程组的解即可．【详解】解：（1）222m m n m n m n m n +-+-- 2()()()()m m n m m n n m n m n -++-=+- 222()()m n m n m n -=+-，∵53m n =， ∵设m =5k ，n =3k ，当m =5k ，n =3k 时，原式222(5)(3)41(53)(53)16k k k k k k ⨯-==+-； （2）∵12x x +=， ∵2222111()2222x x x x x x +=+-⋅=-=； （3）12A B x x +-- (2)(1)(1)(2)A xB x x x -+-=-- ()(2)(1)(2)A B x A B x x ++--=--， ∵34(1)(2)12x A B x x x x -=+----， ∵324A B A B +=⎧⎨--=-⎩， 解得：A =1，B =2．【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，乘法公式等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．12．（1）2m （m ﹣n ）（5m ﹣n ）；（2）﹣4ab （2a ﹣3b ＋a 2b 2）【分析】（1）直接提取公因式2m （m ﹣n ），进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式﹣4ab ，进而分解因式得出答案．【详解】解：（1）2m （m ﹣n ）2﹣8m 2（n ﹣m ）＝2m （m ﹣n ）[（m ﹣n ）＋4m ]＝2m （m ﹣n ）（5m ﹣n ）；（2）﹣8a 2b ＋12ab 2﹣4a 3b 3＝﹣4ab （2a ﹣3b ＋a 2b 2）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．。
提公因式法练习题及答案
提公因式法练习题及答案提公因式法练习题及答案题目1：将多项式 $2x^3+4x^2+6x$ 用提公因式法进行因式分解。
解答1：首先观察到 $2x^3+4x^2+6x$ 的各项系数均有2的公因子，所以可以提取出公因式2。
$2x^3+4x^2+6x=2(x^3+2x^2+3x)$接下来，我们再观察到 $x^3+2x^2+3x$ 的各项系数均有x的公因子，所以可以再次提取出公因式x。
$2(x^3+2x^2+3x)=2x(x^2+2x+3)$因此，原多项式可以被因式分解为 $2x(x^2+2x+3)$。
题目2：将多项式 $3x^2+6xy+9y^2$ 用提公因式法进行因式分解。
解答2：首先观察到 $3x^2+6xy+9y^2$ 的各项系数均有3的公因子，所以可以提取出公因式3。
$3x^2+6xy+9y^2=3(x^2+2xy+3y^2)$接下来，我们再观察到 $x^2+2xy+3y^2$ 的各项系数均有1的公因子，所以无法再次提取公因式。
因此，原多项式无法再进行进一步的因式分解。
题目3：将多项式 $4x^3-12x^2y+9xy^2-27y^3$ 用提公因式法进行因式分解。
解答3：首先观察到 $4x^3-12x^2y+9xy^2-27y^3$ 的各项系数均有4的公因子，所以可以提取出公因式4。
$4x^3-12x^2y+9xy^2-27y^3=4(x^3-3x^2y+9xy^2-27y^3)$接下来，我们再观察到 $x^3-3x^2y+9xy^2-27y^3$ 的各项系数均有x的公因子，所以可以再次提取出公因式x。
$4(x^3-3x^2y+9xy^2-27y^3)=4x(x^2-3xy+9y^2-27y^2)$然后，再观察到 $x^2-3xy+9y^2-27y^2$ 的各项系数均有1的公因子，所以无法再次提取公因式。
因此，原多项式可以被因式分解为$4x(x^2-3xy+9y^2-27y^2)$。
题目4：将多项式 $6x^2+9xy-6y^2$ 用提公因式法进行因式分解。
因式分解方法汇总—经典题型汇总
(8) (2)2003 (2)2004 22005
3n4 3 3n (9) 32 3n2
(10) 8 a 2b n1 4 ab n1 2 ab n
3
3
3
5.已知 2x y 1 ， xy 2 ，求 2x4 y3 x3 y4 的值. 8
6.已知 (4x 2 y 1)2 xy 2 0 ，求 4x2 y 4x2 y2 2xy2 的值.
【因式分解的一般步骤】 一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来.
(2)二“套”：若多项式的各项无公因式(或已提出公因式)，第二步则看能不能用公式法或用 x 2 (a b)x ab 型
分解. (3)“三分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分成一组，使之分组后能 “提”或能“套”，当然要注意其要分解到底才能结束. (4)四“查”：可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.
(4) (a b)n2 (a b)n
(5) a2 (x y) b2 ( y x)
(6) 49(m n)2 16(m n)2
二．完全平方公式： a 2 2ab b2 (a b)2
1.多项式 4a2 ma 25 是完全平方式，那么 m 的值是( )
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：
a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
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初中训练项目
因式分解
【★公式法巩固】
1. 平方差公式： a 2 b2 (a b)(a b)
因式分解提公因式法的做法步骤及例题
因式分解提公因式法的做法步骤及例题
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲因式分解提公因式法。
这可是数学里很重要的一招哦！
先来说说做法步骤吧。
你得像个小侦探一样，仔细瞅瞅式子，找到那个“公因数”。
这公因数就好比是一群式子里的老大，能把它们都统领起来。
找到它可不容易呢，得瞪大眼睛，用心去找。
找到公因数后，那就开始行动啦！把它提出来，就像把宝贝从一堆杂物里捡出来一样。
然后呢，剩下的部分就乖乖地待在那里啦。
咱举个例子哈，比如式子 4x + 8y，这里面 4 不就是公因数嘛！把 4 提出来，就变成了 4(x + 2y)，咋样，是不是挺神奇的呀！
再比如 3x² + 6x，公因数是 3x 呀，提出来后就是 3x(x + 2)。
你可别小瞧这提公因式法，它用处大着呢！就好像是一把钥匙，能打开很多难题的大门。
在做题的时候，咱得时刻保持清醒的头脑，别找错了公因数，那可就闹笑话啦！就好比你去参加派对，找错了舞伴，那多尴尬呀！
而且啊，这提公因式法还得多多练习，就像练功一样，只有练得多了，才能运用自如。
你想啊，要是你不练习，到时候要用的时候手忙脚乱的，那不就糟糕啦！
有时候，式子可能会复杂一点，但别怕，咱一步一步来，总能找到
那个公因数的。
就像爬山一样，虽然过程有点累，但到了山顶，那风
景可美啦！
大家要记住哦，因式分解提公因式法是数学里的好帮手，学会了它，很多难题都能迎刃而解啦！所以，别偷懒，多做做练习题，让自己的
数学本领越来越强！加油吧，朋友们！相信你们一定能掌握好这神奇
的提公因式法！。
提取公因式法因式分解练习题
提取公因式法因式分解练习题题组训练一：确定下列各多项式的公因式。
1.ay+ax^2，公因式为a。
2.3mx-6my^3，公因式为3m。
3.4a^2+10ab^4，公因式为2a。
4.15a^2+5a^5，公因式为5a^2.5.x^2y-xy2/6，公因式为xy。
6.-9x^2y^2，公因式为3xy。
7.m(x-y)+n(x-y)，公因式为(x-y)。
8.x(m+n)+y(m+n)，公因式为(m+n)。
9.abc(m-n)^3-ab(m-n)，公因式为ab(m-n)。
10.12x(a-b)^2-9m(b-a)^3，公因式为3(a-b)^2.题组训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1.2πR+2πr=2π(R+r)。
2.2πR+2πr=2π(R+r)/2.3.gt^1/2+gt^2/2=(gt^1/2+gt^2/2)^2.4.15a^2+25ab^2=5a(3a+5b^2)。
题组训练三：在下列各式左边的括号前填上“+”或“-”，使等式成立。
1.x+y=(x+y)。
2.b-a=-(a-b)。
3.-z+y=-(y-z)。
4.(y-x)=-(x-y)。
5.(y-x)^3=-(x-y)^3.6.-(x-y)^4=(y-x)^4.7.(a-b)^(2n)=(-1)^(2n)(b-a)^(2n)。
8.(a-b)^(2n+1)=(-1)^(2n+1)(b-a)^(2n+1)。
9.(1-x)(2-y)=-(1-x)(y-2)。
10.(1-x)(2-y)=(x-1)(y-2)。
11.(a-b)^2(b-a)=-(a-b)^3.题组训练四：把下列各式分解因式。
1.n(x-y)。
2.a(a+b)^2.3.2x(2x-3)。
4.2mn(4m+n)。
5.5x^2y^2(5y-3)。
6.3xy(4z-3x)。
7.3y(a-1)^2-3(a-1)y。
8.(a-b)(a-3b)。
9.-(x-3)(x+3)。
10.-4y(3x+2y)。
完整版)提公因式法因式分解练习题
完整版)提公因式法因式分解练习题因式分解——提公因式法以下是因式分解和不是因式分解的变形：1) 6a^3-3a^2b = 3a^2(2a-b) 是因式分解。
2) -x^2+x^3 = -x^2(1-x) 是因式分解。
3) (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 是因式分解。
4) (x-2)(x-3) = x^2-5x+6 是因式分解。
5) m^2 = m×m 不是因式分解。
6) m^2+m = m^3 不是因式分解。
二、用提公因式法因式分解1) 8ab^2-16a^3b^3 = 8ab^2(1-2a^2b^2)。
2) -m^2n+mn^2 = -mn(m-n)。
3) -15xy-5x^2 = -5x(x+3y)。
4) a^2b^2-1/4ab^3 = 1/4ab^2(a-4b)。
5) a^3b^3+a^2b^2-ab = ab(a^2b^2+a-b)。
6) -8a^3y+12a^2y^2-16ay^3 = -4ay(2a-y)(2a+3y)。
7) -3a^3m-6a^2m+12am = -3am(a^2+2a-4)。
8) -x^3y^2+2x^2y+xy = xy(-x^2+2x+1)。
用提公因式法因式分解(二)1) (a+b)-(a+b)^2 = -(a+b)(2a+b)。
2) x(x-y)+y(y-x) = 0.3) 6(m+n)^2-2(m+n) = 2(m+n)(3m+3n-1)。
4) 3(y-x)^2+2(x-y) = (y-x)(3y-3x+2)。
5) -3x(y-x)-(x-y) = -2(x-y)(x+3)。
6) m(m-n)^2-n(n-m)^2 = (m-n)^2(m+n)。
7) 6p(p+q)-4q(q+p) = 2p(3p-2q)。
8) 12a^2b(x-y)-4ab(y-x) = 4ab(3a-1)(y-x)。
9) (a+b)(x+y)-(a+b)(x-y) = 2(a+b)y。
因式分解（一）提公因式法（含习题及答案）
因式分解（一）——提公因式法教学目标：因式分解的概念，和整式乘法的关系，公因式的相关概念，用提公因式法分解因式，学会逆向思维，渗透化归的思想方法.教学重点和难点：1. 因式分解；2. 公因式；3. 提公因式法分解因式.教学过程：一、提出问题，感知新知1．问题：把下列多项式写成整式的乘积的形式(1)x2+x =_________ (2)x2−1 =_________ (3)am+bm+cm =_ _学生思考，得出结果．2．分析特点：根据整式乘法和逆向思维原理(1)x2+x = x(x+1)；(2)x2−1 = (x+1)(x−1)；(3)am+bm+cm = m(a+b+c)分析特点：等号的左边：都是多项式等号的右边：几个整式的乘积形式.3．得到新知总结概念：像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.与整式乘法的关系：是整式乘法的相反方向的变形.注意：因式分解不是运算，只是恒等变形.形式：多项式 = 整式1×整式2×…×整式n4．分析例题：(1)x2+x =_________ (2)am+bm+cm =_ _(1)中各项都有一个公共的因式x，(2)中各项都有一个公共因式m.因此，我们把每一项都含有的因式叫做公因式.5．认识公因式例：多项式 14m3n2+7m2n−28m3n3的公因式是？7m2n教师分析，学生解答二、学生动手，总结方法1．我们已经学习了公因式，下面请大家根据自己的理解完成下列的因式分解.把8a3b2−12ab3c分解因式.2．学生动手.3．分析过程：①先确定公因式：4ab2；②然后用每一项去除以公因式；③结果：4ab2(2a2b−3bc).4．总结方法：以上①②③的分解过程的方法叫做提公因式法.5．加强练习例：因式分解：① 2a(b+c)−3(b+c) ②3x3−6xy+x ③−4a3+16a2−18a ④6(x−2)+x(2−x)解：① 2a(b+c)−3(b+c) = (b+c)(2a−3)②3x3−6xy+x = x(3x2−6y+1)③−4a3+ 16a2−18a = −2a(2a2−8a+9)④6(x−2)+x(2−x) = (x−2)(6−x)三、小结：1．因式分解的概念；2．公因式；3．提公因式法.因式分解（二）——公式法教学目标：运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能说出平方差公式和完全平方公式的特点，会用提公因式法与公式法分解因式．培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．并能说出提公因式在这类因式分解中的作用，能灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准．教学重点和难点：1．平方差公式；2．完全平方公式；3．灵活运用3种方法．教学过程：一、提出问题，得到新知观察下列多项式：x2−25和9x2−y2它们有什么共同特征？学生思考，教师总结：(1)它们有两项，且都是两个数的平方差；(2)会联想到平方差公式．公式逆向：a2−b2 = (a+b)(a−b)如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式．二、运用公式例1：填空①4a2 = ( )2②b2 = ( )2③ 0.16a4 =( )2④1.21a2b2 = ( )2⑤2x4 = ( )2⑥5x4y2 = ( )2解答：① 4a2 = ( 2a)2；②b2 = (b)2；③ 0.16a4 = ( 0.4a2)2；④ 1.21a2b2 = (1.1ab)2；⑤2x4 = (x2)2；⑥5x4y2 = (x2y)2.例2：下列多项式能否用平方差公式进行因式分解①−1.21a2+0.01b2②4a2+625b2③16x5−49y4④−4x2−36y2解答：①−1.21a2+0.01b2能用②4a2+625b2不能用③16x5−49y4不能用④−4x2−36y2不能用问题：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测运用完全平方公式分解因式吗？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？分析：整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．即：a2±2ab+b2 = (a±b)2公式特点：多项式是一个二次三项式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的2倍或这两个数的积的2倍的相反数．例：分解因式：①16x2+24x+9 ②−x2+4xy−4y2解答：①16x2+24x+9 = (4x)2+2•3•(4x)+32 = (4x+3)2②−x2+4xy−4y2 = −[x2−2•x•2y+(2y)2] = −(x−2y)2随堂练习：三、小结：1．平方差公式；2．完全平方公式．典型例题1．如果a(a−b)2−(b−a) = (a−b)·M，那么M等于( )A．a(a−b) B．−a(a−b) C．a2−ab−1 D．a2−ab+1答案：D说明：因为a(a−b)2−(b−a) = a(a−b)2+(a−b) = (a−b)[a(a−b)+1] = (a−b)(a2−ab+1)，所以M = a2−ab+1，答案为D．2．下列各项的两个多项式中没有公因式的一组是( )A．6xy+8yx2与−4x−3 B．(a+b)2与−a−bC．a−b与−a2+ab D．ax+y与x+y答案：D说明：选项A，6xy+8yx2= 2xy(3+4x)，与−4x−3有公因式4x+3；选项B，(a+b)2与−a−b 有公因式a+b；选项C，−a2+ab = −a(a−b)，与a−b有公因式a−b；选项D，ax+y与x+y没有公因式，所以答案为D．3．下列式子中，不能用平方差公式分解因式的是( )A．−m4−n2 B．−16x2+y 2 C．−x4 D．(p+q)2−9答案：A说明：选项A不能用平方差公式分解因式；选项B，−16x2+y2= (y+4x)(y−4x)，可以用平方差公式分解因式；选项C，−x4 = (+x2)(−x2)，可以用平方差公式分解因式；选项D，(p+q)2−9 = [(p+q)+3][(p+q)−3]，也可以用平方差公式分解因式；所以正确答案为A．4．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是( )A．x2−xy+y2 B．x2+2xy−y2 C．x2+xy+y2 D．−x2+2xy−y2答案：D说明：观察四个选项中多项式的形式，不难得出A、B、C三个选项中的多项式不能用公式法进行因式分解，选项D，−x2+2xy−y2 = −(x2−2xy+y2) = −(x−y)2，可以用完全平方公式进行因式分解，所以答案为D．习题精选选择题：1．若多项式3x2+mx−4分解因式为(3x+4)(x−1)，则m的值为( )A．7 B．1 C．−2D．3答案：B说明：因为因式分解并不改变多项式的值，所以(3x+4)(x−1) = 3x2+mx−4，而(3x+4)(x−1) = 3x2+4x−3x−4 = 3x2+x−4，因此，m = 1，答案为B．2．下列各式的分解因式中，正确的是( )A．3a2x−6bx+3x = 3x(a2−2b) B．xy2+x2y =xy(y+x) C．−a2+ab−ac = −a(a+b−c) D．9xyz−6x2y2= 3xyz(3−2xy)答案：B说明：选项A，3a2x−6bx+3x = 3x(a2−2b+1)≠3x(a2−2b)，A错；选项B正确；选项C，−a2+ab−ac = −a(a−b+c)≠−a(a+b−c)，C错；选项D，9xyz−6x2y2 = 3xy(3z−2xy)≠3xyz(3−2xy)，D错；答案为B．3．若9x2−kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值为( )A．6 B．±6 C．12 D．±12答案：D说明：由已知可设9x2−kxy+4y2 = (mx+ny)2 = m2x2+2mnxy+n2y2，所以m2 = 9，n2 = 4，2mn = k，由m2 = 9，n2 = 4可得m2n2 = 36，即(mn)2 = 36，则有mn =±6，所以k = 2mn =±12，答案为D．4．分解因式的结果为(x−2)(x+3)的多项式是( )A．x2+5x−6 B．x2−5x−6 C．x2+x−6D．x2−x−6答案：C说明：因为(x−2)(x+3) = x2−2x+3x−6 = x2+x−6，所以分解因式的结果为(x−2)(x+3)应该是x2+x−6，答案为C．5．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是( )A．(x+1)(x−1) = x2−1 B．x2−1+x = (x+1)(x−1)+xC．x2−1 = (x+1)(x−1) D．2x·3x = 6x2答案：C说明：因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，则因式分解的结果首先应该是积的形式，因此，A、B都不正确；而选项D左边是两个单项式的乘积，它的变形过程只是简单的单项式乘以单项式的过程，不是因式分解，正确的答案应该是C．6．多项式5a3b3+ 15a2b−20a3b3的公因式是( )A．5a3b B．5a2b2 C．5a2b D．5a3b2答案：C说明：这个多项式中有三项，这三项的系数分别是5，15，−20，系数所含的公因式为5；第一项有因式a3，第二项中含因式a2，第三项中含因式a3，公因式则是a2，同样道理这三项还有公因式b，即这个多项式的公因式应该是5a2b，答案为C．7．下列分解变形中正确的是( )A．2(a+b)2−(2a+b) = 2(a+b)(a+b−1) B．xy(x−y)−x(y−x) =x(x−y)(y+1)C．5(y−x)2+3(x−y) = (y−x)(5x−5y+3) D．2a(a−b)2−(a−b) =(a−b)(a−b−1)答案：B说明：选项A，2a+b中没有a+b这个因式，因此，A中的变形是错误的；选项B，xy(x−y)−x(y−x) = (x−y)(xy+x) = x(x−y)(y+1)，B正确；选项C，5(y−x)2+3(x−y) =(y−x)[5(y−x)+3] = (y−x)(5y−5x+3)，C错误；选项D，2a(a−b)2−(a−b) = (a−b)[2a(a−b)−1] = (a−b)(2a2−2ab−1)，D错误；答案为B．8．下列式子中，能用平方差公式分解因式的是( )A．a2+4 B．−x2−y2 C．a3−1 D．−4+m2答案：D说明：根据平方差公式的形式，不难得到能用平方差公式分解因式的应该是−4+m2 = (m+2)(m−2)，答案为D．9．下列各题中，因式分解正确的是( )①(x−3)2−y2 = x2−6x+9−y2；②a2−9b2 = (a+9b)(a−9b)；③4x6−1 = (2x3+1)(2x3−1)；④(3x+2y)2−4y2 = 3x(3x+4y)A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③答案：C说明：①中的变形不是因式分解；②a2−9b2 = (a+3b)(a−3b)≠(a+9b)(a−9b)，②中因式分解错误；③4x6−1 = (2x3+1)(2x3−1)，③中因式分解正确；④(3x+2y)2−4y2 =(3x+2y+2y)(3x+2y−2y) = 3x(3x+4y)，④中因式分解正确，所以答案为C．解答题：1．把下列各式分解因式：①9(x+y)2−4(x−y)2；②−8a4b3+2a2b；③4(a+b)−(a+b)2−4；④(a−2)(a−3)+ 5a−42．答案：①(5x+y)(x+5y)；②2a2b(1+2ab)(1−2ab)；③−(a+b−2)2；④(a+6)(a−6)说明：①9(x+y)2−4(x−y)2 = [3(x+y)+2(x−y)][3(x+y)−2(x−y)] =(3x+3y+2x−2y)(3x+3y−2x+2y) = (5x+y)(x+5y)②−8a4b3+2a2b = 2a2b(−4a2b2+1) = 2a2b(1+2ab)(1−2ab)③4(a+b)−(a+b)2−4 = −[(a+b)2−4(a+b)+4] = −[(a+b)−2]2 = −(a+b−2)2④(a−2)(a−3)+5a−42 = a2−3a−2a+6+5a−42 = a2−36 = (a+6)(a−6)2．已知a、b、c为三角形的三条边，且满足：a2+b2+c2−ab−bc−ac = 0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．答案：a = b = c，等边三角形说明：因为2(a2+b2+c2−ab−bc−ac) = 2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ac= (a2−2ab+b2)+(a2−2ac+c2)+(b2−2bc+c2) = (a−b)2+(a−c)2+(b−c)2再由已知a2+b2+c2−ab−bc−ac = 0，知2(a2+b2+c2−ab−bc−ac) = (a−b)2+(a−c)2+(b−c)2 = 0因为(a−b)2≥0，(a−c)2≥0 ，(b−c)2≥0，所以(a−b)2 = 0，(a−c)2 = 0，(b−c)2 = 0即a = b = c，所以该三角形为等边三角形．3．已知矩形面积是(x+2)(x+3)+x2−4(x>0)，其中一边长是2x+1，求矩形的另一边长．答案：x+2说明：因为(x+2)(x+3)+x2−4 = (x+2)(x+3)+(x+2)(x−2) = (x+2)(x+3+x−2) =(x+2)(2x+1)，即该矩形的面积是(x+2)(2x+1)，而它的一边长为2x+1，所以它的另一边长为x+2．4．已知x3+x2+x+1 = 0，求1+x+x2+x3+…+x2003的值．答案：0说明：1+x+x2+x3+…+x2003 = (1+x+x2+x3)+(x4+x5+x6+x7)+…+(x4n+x4n+1+x4n+2+x4n+3)+…+(x2000+x2001+x2002+x2003) = (1+x+x2+x3)+x4(1+x+x2+x3)+...+x4n(1+x+x2+x3)+...+x2000(1+x+x2+x3) = (1+x+x2+x3)(1+x4+...+x4n+ (x2000)∵1+x+x2+x3 = 0，∴1+x+x2+x3+…+x2003 = (1+x+x2+x3)(1+x4+…+x4n+…+x2000) = 0。
2023年中考数学---分式的运算与化简求值知识回顾与专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学---分式的运算与化简求值知识回顾与专项练习题（含答案解析）知识回顾1. 因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a −+=−22；完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。
③十字相乘法：在c bx x ++2中，若()均为整数，且n m b n m mn c =+=，则：()()n x m x c bx x ++=++2。
2. 分式的性质：分式的分子与分母同时乘上或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变。
()0≠÷÷==C CB C A BC AC B A 3. 约分与通分：①约分：将分式中能进行分解因式的分子分母分解因式，约掉公因式。
公因式等于系数的最大公约数乘上相同字母或式子的最低次幂。
②通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式的过程。
公分母等于系数的最小公倍数乘上所有式子的最高次幂。
4. 分式的乘除运算：①乘法运算步骤：I ：对分子分母因式分解；II ：约掉公因式；III ：分子乘以分子得到积的分子，分母乘以分母得到积的分母。
②除法运算法则：除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式。
5. 分式的加减运算：具体步骤：I ：对能分解的分母进行因式分解，并求出公分母；II ：将分式通分成同分母；III ：分母不变，分子相加减。
6. 分式的化简求值：将分式按照加减乘除的运算法则化简至最简分式，然后带入已知数据求值即可。
专项练习题（含答案解析）1、（2022•西藏）计算：224222−−−⋅+a a a a a a ． 【分析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【解答】解：原式＝•﹣ ＝﹣ ＝1．2、（2022•兰州）计算：()x x x +÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+211． 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝． 3、（2022•大连）计算：xx x x x x x 1422444222−−+÷+−−． 【分析】先算除法，后算减法，即可解答．【解答】解：÷﹣＝•﹣＝﹣＝．4、（2022•十堰）计算：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−+÷−a ab b a a b a 2222． 【分析】根据分式的运算法则计算即可．【解答】解：÷（a +）＝÷（+）＝÷＝•＝．5、（2022•常德）化简：212312+−÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+++−a a a a a ． 【分析】根据分式混合运算的法则计算即可．【解答】解：（a ﹣1+）÷ ＝[+]•＝•＝． 6、（2022•内蒙古）先化简，再求值：1441132−+−÷⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−x x x x x ，其中x ＝3．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x ＝3代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝﹣，当x ＝3时，原式＝﹣＝﹣5． 7、（2022•阜新）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛−−÷−+−21129622a a a a a ，其中a ＝4． 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a 的值代入计算即可．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝， 当a ＝4时，原式＝＝．8、（2022•资阳）先化简，再求值．111122−÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+−a a a ，其中a ＝﹣3． 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a 的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝＝当a ＝﹣3时，原式＝．9、（2022•黄石）先化简，再求值：1961212+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a a a ，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a 的值代入求值．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a 的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝÷＝•＝，由分式有意义的条件可知：a 不能取﹣1，﹣3，故a ＝2，原式＝＝． 10、（2022•朝阳）先化简，再求值：323444222++−+÷+−−x x x x x x x x ，其中x ＝（21）﹣2． 【分析】把除化为乘，再算同分母的分式相加，化简后求出x 的值，代入即可．【解答】解：原式＝•+＝+＝＝x ， ∵x ＝（）﹣2＝4，∴原式＝4．11、（2022•锦州）先化简，再求值：212112−−÷⎪⎭⎫ ⎝⎛−++x x x x ，其中13−=x ． 【分析】先对分式进行化简，然后再代入求解即可．【解答】解：原式＝＝＝＝， 当时， 原式＝． 12、（2022•盘锦）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+−−++−÷−−1111231322x x x x x x ，其中12+−=x ． 【分析】根据分式的运算法则“除以一个数等于乘以它的倒数”把除法改写成乘法；利用平方差公式和完全平方公式将分式的分子分母分别因式分解；约分化简后，求x 的值；去掉绝对值符号时注意正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，最后将x 的值代入原式．【解答】解：原式＝＝＝＝，∵＝， ∴原式＝＝＝13、（2022•郴州）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛−++÷−2221b a b b a b a ab ，其中a ＝5+1，b ＝5﹣1． 【分析】先算括号里，再算括号外，然后把a ，b 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：÷（+）＝÷ ＝•＝ab ，当a ＝+1，b ＝﹣1时，原式＝（+1）（﹣1）＝5﹣1＝4． 14、（2022•营口）先化简，再求值：14412512+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++−+a a a a a a ，其中a ＝9+|﹣2|﹣（21）﹣1． 【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解，则约分得到原式＝，然后根据算术平方根的定义、绝对值和负整数指数幂的意义计算出a 的值，最后把a 的值代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝•＝•＝， ∵a ＝+|﹣2|﹣（）﹣1＝3+2﹣2＝3，∴原式＝＝． 14、（2022•绵阳）（1）计算：2tan60°+|3﹣2|+（20221）﹣1﹣212； （2）先化简，再求值：y x y x y x y x xy x −+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−3，其中x ＝1，y ＝100． 【分析】（1）先算负整数指数幂、化简二次根式，再化简绝对值代入特殊角的函数值，最后算加减．（2）按分式的运算法则先化简分式，再代入求值．【解答】解：（1）原式＝2×+2﹣+2022﹣＝2+2﹣+2022﹣ ＝2024；（2）原式＝[﹣]÷＝× ＝× ＝× ＝． 当x ＝1，y ＝100时．原式＝100。
初中数学因式分解-提公因式与公式法(含解析)
初中数学因式分解-提公因式与公式法考试要求：知识点汇总：一、基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式；③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；③单项式因式写在多项式因式的前面；④每个因式第一项系数一般不为负数；⑤形式相同的因式写成幂的形式.二、提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.三、公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b ab b -=-+- 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++例题精讲：一、提公因式【例 1】判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.⑴ 22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+⑶ 232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++【答案】⑴不是，此变形是整式乘法运算；⑵不是，此等式不成立；⑶不是，等式右边不是整式乘积的形式；⑷是.【例 2】分解因式：⑴ad bd d -+； ⑵4325286x y z x y -⑶322618m m m -+- ⑷23229632x y x y xy ++ 【解析】 ⑴1(1)ad bd d d a d b d d a b -+=⋅-⋅+⋅=⋅-+最后一项1d d =⋅，系数1一般可省略，但因式分解时提出“d ”后，“1”不能漏掉.提公因分解因式时，提完公因式的那个因式等于原多项式除以公因式的商，故那个因式的项数等于多项式的项数.⑵43252422862(43)x y z x y x y yz x -=-，按照系数、字母(或多项式因式)确定公因式 ⑶323222618(2618)2(39)m m m m m m m m m -+-=--+=--+或32232261862182(39)m m m m m m m m m -+-=--=--若多项式第一项为负，一般有两种处理方法：①首先将“－”提出，初学时不要省略此步，再对提取“－”后的多项式提取公因式；②若多项式中含有系数为正数的项，也可将这一项写在第一项，然后再提取公因式. ⑷23222322291363(1269)(423)222xy x y x y xy x y x y xy x x y y ++=++=++ 因式分解后，最好使多项式中的系数为整数，这样比较整洁.【巩固】 分解因式：22(1)1a b b b b -+-+-【解析】222(1)1(1)(1)a b b b b a b b -+-+-=--+【巩固】 ⑴23361412abc a b a b --+；⑵32461512a a a -+-【解析】⑴23322614122(376)abc a b a b ab c ab a --+=-+-⑵32422615123(425)a a a a a a -+-=-+-【例 3】（2009•台湾）已知（19x ﹣31）（13x ﹣17）﹣（13x ﹣17）（11x ﹣23）可因式分解成（ax+b ）（8x+c ），其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c=（ ）A 、﹣12B 、﹣32C 、38D 、72【解析】首先要对原式正确因式分解，然后进行对号入座，即可得出字母的值．【答案】原式=（13x ﹣17）（19x ﹣31﹣11x+23）=（13x ﹣17）（8x ﹣8）∵可以分解成（ax+b ）（8x+c ），∴a=13，b=﹣17，c=﹣8，∴a+b+c=﹣12．故选A ．【点评】各项有公因式时，要先考虑提取公因式．【例 4】分解因式⑴23423232545224()20()8()x y z a b x y z a b x y z a b ---+-⑵346()12()m n n m -+-【解析】 ⑴原式22323224()(652)x y z a b yz x x y z =--+ ⑵原式[]34336()12()6()12()6()(122)m n m n m n m n m n m n =-+-=-+-=-+-【巩固】 分解因式：⑴55()()m m n n n m -+-⑵()()()2a a b a b a a b +--+ 【解析】 ⑴555556()()()()()()()m m n n n m m m n n m n m n m n m n -+-=---=--=-⑵()()()2a a b a b a a b +--+()()()()()()22a a b a b a b a a b b ab a b =+--+=+-=-+⎡⎤⎣⎦【巩固】 分解因式：1. 2316()56()m m n n m -+- ⑵(23)(2)(32)(2)a b a b a b b a +--+-【解析】⑴原式[]232216()56()8()27()8()(75)m n m n m n m m n m n m n m =-+-=-+-=--⑵原式(23)(2)(32)(2)(2)(55)5(2)()a b a b a b a b a b a b a b a b =+-++-=-+=-+【例 5】分解因式：⑴()()2121510n n a a b ab b a +---(n 为正整数) ⑵212146n m n m a b a b ++--(m 、n 为大于1的自然数)【解析】 ⑴原式()()()()()()212221510532535n n n n a a b ab a b a a b a b b a a b a b +=---=---=--⎡⎤⎣⎦注意整体思想的运用！⑵(21)(2)10n n n +-+=->，(21)(2)n n +>+，2121211462(23)n m n m n m n a b a b a b a b ++-+---=-【例 6】已知：2b c a +-=-，求22221()()(222)33333a abc b c a b c b c a --+-+++-的值. 【解析】原式22228()(2)333b c a =--=⨯-=【巩固】 分解因式：322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----.【解析】观察原式，我们发现公因式为2()x z x y --，故原式[]2()()()x z x y x y z a z y x z a =---+-++-- 2()()x z x y ax z xz yz ay =--+---.【例 7】（2008•宁夏）下列分解因式正确的是（ ）A 、2x 2﹣xy ﹣x=2x （x ﹣y ﹣1）B 、﹣xy 2+2xy ﹣3y=﹣y （xy ﹣2x ﹣3）C 、x （x ﹣y ）﹣y （x ﹣y ）=（x ﹣y ）2D 、x 2﹣x ﹣3=x （x ﹣1）﹣3【解析】根据提公因式法和公式法进行判断求解．【答案】A 、公因式是x ，应为2x 2﹣xy ﹣x=x （2x ﹣y ﹣1），错误；B 、符号错误，应为﹣xy 2+2xy ﹣3y=﹣y （xy ﹣2x+3），错误；C 、提公因式法，正确；D 、右边不是积的形式，错误；故选C ．【点评】本题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服．【例 8】若a*b=a 2+2ab ，则x 2*y 所表示的代数式分解因式的结果是（ ）A 、x 2（x 2+2y ）B 、x （x+2）C 、y 2（y 2+2x ）D 、x 2（x 2﹣2y ）【解析】把x 2*y 表示成一般形式，分解因式即可．【答案】x 2*y=x 4+2x 2y=x 2（x 2+2y ）．故选A ．【点评】正确理解题意，是解决本题的关键．【例 9】若（p ﹣q ）2﹣（q ﹣p ）3=（q ﹣p ）2E ，则E 是（ ）A 、1﹣q ﹣pB 、q ﹣pC 、1+p ﹣qD 、1+q ﹣p【解析】观察等式的右边，提取的是（q ﹣p ）2，故可把（p ﹣q ）2变成（q ﹣p ）2，即左边=（q ﹣p ）2（1﹣q+p ）．【解答】（p ﹣q ）2﹣（q ﹣p ）3=（q ﹣p ）2（1﹣q+p ）．故选C ．【点评】注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．【例 10】利用因式分解计算：2100﹣2101=（）A、﹣2B、2C、2100D、﹣2100【解析】提取公因式2100，整理并计算即可．【答案】2100﹣2101=2100﹣2100•2=2100（1﹣2）=﹣2100．故选D．【点评】主要考查提公因式法分解因式，要注意符号．【例 11】观察下列各式：①abx﹣adx；②2x2y+6xy2；③8m3﹣4m2+2m+1；④a3+a2b+ab2﹣b3；⑤（p+q）x2y﹣5x2（p+q）+6（p+q）2；⑥a2（x+y）（x﹣y）﹣4b（y+x）．其中可以用提公因式法分解因式的有（）A、①②⑤B、②④⑤C、②④⑥D、①②⑤⑥【解析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．【答案】①abx﹣adx=ax（b﹣d）；②2x2y+6xy2=2xy（x+3y）；③8m3﹣4m2+2m+1，不能用提公因式法分解因式；④a3+a2b+ab2﹣b3，不能用提公因式法分解因式；⑤（p+q）x2y﹣5x2（p+q）+6（p+q）2=（p+q）[x2y﹣5x2+6（p+q）]；⑥a2（x+y）（x﹣y）﹣4b（y+x）=（x+y）[a2（x﹣y）﹣4b]．所以可以用提公因式法分解因式的有①②⑤⑥．故选D．【点评】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，提取公因式后剩下的因式是用原多项式除以公因式所得的商得到的．【例 12】如果ax（3x﹣4x2y+by2）=6x2﹣8x3y+6xy2成立，则a、b的值为（）A、a=3，b=2B、a=2，b=3C、a=﹣3，b=2D、a=﹣2，b=3【解析】先将6x2﹣8x3y+6xy2提取公因式2x，再根据对应项的系数相等即可求出a、b的值．【答案】∵6x2﹣8x3y+6xy2=2x（3x﹣4x2y+3y2）=ax（3x﹣4x2y+by2），∴a=2，b=3．故选B．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，根据对应项系数相等求解是解本题的关键．【例 13】下列哪项是x4+x3+x2的因式分解的结果（）A、x2（x2+x）B、x（x3+x2+x）C、x3（x+1）+x2D、x2（x2+x+1）【解析】确定公因式为x2，然后提取公因式即可．【解答】x4+x3+x2=x2（x2+x+1）．故选D．【点评】考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式．【例 14】某天数学课上，老师讲了提取公因式分解因式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：﹣12xy 2+6x 2y+3xy=﹣3xy•（4y ﹣______）横线空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写（ ）A 、2xB 、﹣2xC 、2x ﹣1D 、﹣2x ﹣l【解析】根据题意，提取公因式﹣3xy ，再根据原式对余下的多项式续继分解．【答案】原式=﹣3xy×（4y ﹣2x ﹣1），空格中填2x ﹣1．故选C ．【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，同时要注意提取公因式后各项符号的变化．【例 15】﹣6x n ﹣3x 2n 分解因式正确的是（ ）A 、3（﹣2x n ﹣x 2n ）B 、﹣3x n （2﹣x n ）C 、﹣3（2x n +x 2n ）D 、﹣3x n （2+x n ）【解析】根据公因式的定义，确定出公因式是﹣3x n ，然后提取公因式整理即可选取答案．【答案】﹣6x n ﹣3x 2n =﹣3x n （2+x n ）．故选D ．【点评】本题考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键，要注意符号的处理．【例 16】分解因式：（x+3y ）2﹣（x+3y ）= ，（a ﹣b ）2﹣（b ﹣a ）3=【解析】（x+3y ）2﹣（x+3y ）可提取公因式（x+3y ），（a ﹣b ）2﹣（b ﹣a ）3可提取公因式（a﹣b ）2，然后整理即可．【答案】（x+3y ）2﹣（x+3y ）=（x+3y ）（x+3y ﹣1），（a ﹣b ）2﹣（b ﹣a ）3=（a ﹣b ）2（a ﹣b+1）．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，找出公因式是解题的关键，注意整体思想的利用．【例 17】分解因式：x （a ﹣y ）﹣y （y ﹣a ）= ．【解析】直接提取公因式（a ﹣y ）即可．【答案】x （a ﹣y ）﹣y （y ﹣a ），=（x+y ）（a ﹣y ）．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，解答此题的关键把（a ﹣y ）看作一个整体，利用整体思想进行因式分解．二、公式法【例 18】分解因式：⑴44a b -⑵2249()16()m n m n +-- ⑶22()()a b c d a b c d +++--+-⑷(2007年十堰中考题)34xy xy -； ⑷ 22()()a x y b y x -+-【解析】⑴44222222()()()()()a b a b a b a b a b a b -=-+=-++⑵原式[][]7()4()7()4()m n m n m n m n =++-+--(113)(311)m n m n =++⑶22()()(22)(22)4()()a b c d a b c d a c b d a c b d +++--+-=++=++⑷324(4)(2)(2)xy xy xy y xy y y -=-=-+⑸ 2222()()()()()()()a x y b x y x y a b x y a b a b ---=--=--+【例 19】分解因式：⑴(深圳市中考题)2242x x -+= ；⑵(泸州市中考题)244ax ax a -+= ；⑶2844a a --= ；⑷2292416x xy y -+=【解析】 ⑴2222422(21)2(1)x x x x x -+=-+=-⑵22244(44)(2)ax ax a a x x a x -+=-+=-⑶解首先把原式“理顺”，也就是将它的各项按字母a 降幂(或升幂)排列，从而有2844a a --2484a a =-+-24(21)a a =--+24(1)a =--按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施(简单的往往是有用的)，值得注意． ⑹ 2292416x xy y -+2(34)x y =-【巩固】 分解因式：44222()4p q p q +-【解析】4424444224422222222()4(2)(2)()()p q p q p q p q p q p q p q p q +-=+++-=+-22222()()()p q p q p q =+-+【巩固】 分解因式：⑴222()4()4x x x x +-++；⑵24()520(1)x y x y ++-+-【解析】 ⑴2222222()4()4(2)(1)(2)x x x x x x x x +-++=+-=-+；⑵2224()520(1)4()20()25(225)x y x y x y x y x y ++-+-=+-++=+-【巩固】 分解因式：()()222248416x x x x ++++ 【解析】 (24x +)相当于公式中的a ，4x 相当于公式中的b ．()()222248416xx x x ++++=()()()()2242222424416442x x x x x x x ++⋅+⋅+=++=+【例 20】（2009•台湾）已知（19x ﹣31）（13x ﹣17）﹣（13x ﹣17）（11x ﹣23）可因式分解成（ax+b ）（8x+c ），其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c=（ ）A 、﹣12B 、﹣32C 、38D 、72【解析】首先要对原式正确因式分解，然后进行对号入座，即可得出字母的值．【答案】原式=（13x ﹣17）（19x ﹣31﹣11x+23）=（13x ﹣17）（8x ﹣8），∵可以分解成（ax+b ）（8x+c ）∴a=13，b=﹣17，c=﹣8∴a+b+c=﹣12．故选A ．【点评】各项有公因式时，要先考虑提取公因式．【例 21】（2010•铁岭）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（）A、4B、﹣4C、±2D、±4【解析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab计算即可．【答案】∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+2，∴m=±4．故选D．【点评】本题要熟记有关完全平方的几个变形公式，本题考查对完全平方公式的变形应用能力．【例 22】直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长为（）A、182B、180C、32D、30【解析】设另一条直角边的长度为x，斜边的长度为z，则z2﹣x2=132，然后根据三角形的三边关系及数的整除的知识即可解答．【答案】设另一条直角边的长度为x，斜边的长度z，则z2﹣x2=132，且z＞x，∴（z+x）（z ﹣x）=169×1，∴，∴三角形的周长=z+x+13=169+13=182．故选A．【点评】本题考查数的整除的知识及直角三角形的特点，难度不大，注意得出z2﹣x2=132是解答本题的关键．【例 23】（2007•江苏）若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（）A、8B、16C、2D、4【解析】首先将a2+2ab+b2运用完全平方公式进行因式分解，再代入求值．【答案】∵a+b=4，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=42=16．故选B．【点评】本题考查用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子结构特征需记熟记牢．【例 24】（2005•玉林）因式分解4﹣4a+a2，正确的是（）A、4（1﹣a）+a2B、（2﹣a）2C、（2﹣a）（2+a）D、（2+a）2【解析】根据多项式的结构特点，可用完全平方公式进行因式分解．【答案】4﹣4a+a2=（2﹣a）2．故选B．【点评】本题考查利用完全平方公式分解因式，熟练掌握公式结构特点是解题的关键．【例 25】（2004•四川）下列各式正确的是（）A、a﹣（b+c）=a﹣b+cB、x2﹣1=（x﹣1）2C、a2﹣ab+ac﹣bc=（a﹣b）（a+c）D、（﹣x）2÷x3=x（x≠0）【解析】根据因式分解，去括号法则及单项式的除法法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．A、应为a﹣（b+c）=a﹣b﹣c，故本选项错误；B、应为x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故本选项错误；C、a2﹣ab+ac﹣bc=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c），正确；D、应为（﹣x）2÷x3=x﹣1，故本选项错误．【答案】故选C．【点评】本题主要考查了因式分解及去括号法则及单项式的除法．注意（﹣x）2=x2．【例 26】小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A、2种B、3种C、4种D、5种【分析】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数．【答案】该指数可能是2、4、6、8、10五个数．故选D．【点评】能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的关键，还要知道不大于就是小于或等于．【例 27】在多项式①x2+2xy﹣y2；①﹣x2﹣y2+2xy；①x2+xy+y2；①4x2+1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有（）A、①②B、②③C、①④D、②④【分析】用完全平方公式分解因式应具备以下特点：首先是三项式，还要其中有两项同号且均为一个整的平方，另一项是前两项幂的底数的积的2倍，符号可“正”也可“负．【答案】①x2+2xy﹣y2不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解；②﹣x2﹣y2+2xy符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解；③x2+xy+y2不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解；④4x2+1+4x符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解．所以②④选项能用完全平方公式分解因式．故选D．【点评】本题考查的是用完全平方公式进行因式分解的能力．解此类题要注意掌握完全平方公式的结构特征，并能灵活变形整理，如﹣x2﹣y2+2xy从形式上看也许不是，但从式中提出一个负号得：﹣（x2+y2﹣2xy），符合完全平方公式结构特征，可分解．【例 28】4x2﹣（y﹣z）2的一个因式是（）A、2x﹣y﹣zB、2x+y﹣zC、2x+y+zD、4x﹣y+z【解析】根据平方差公式进行因式分解，然后选取答案即可．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【答案】4x2﹣（y﹣z）2，=（2x+y﹣z）（2x﹣y+z）．故选B．【点评】本题考查了公式法分解因式，注意把y﹣z看作一个整体，在运用平方差公式时，注意符号的变化．【例 29】（2010•新疆）利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式．【解析】根据提示可知1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形，利用面积和列出等式即可求解．【答案】两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，所以a2+2ab+b2=（a+b）2．【点评】本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系．【例 30】若（x+y）2﹣6（x+y）+9=0，则x+y=．【解析】方程的左边刚好是完全平方式，可以利用完全平方公式分解，得到一个式子的平方是0，所以底数是0，从而求出要求的解．【答案】原方程化为（x+y﹣3）2=0，所以x+y﹣3=0，解得x+y=3．【点评】本题考查了完全平方式，完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差，这两数中一个是式子（x+y）．【例 31】若x2﹣y2=30，且x﹣y=﹣5，则x+y的值是（）A、5B、6C、﹣6D、﹣5【解析】运用平方差公式先把x2﹣y2分解因式，再代入数据计算即可求出x+y的值．【答案】∵x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=30，x﹣y=﹣5∴x+y=﹣6．故选C．【点评】本题考查了公式法分解因式，运用平方差公式先分解因式，再结合题意求出代数式的值，解决本题的关键是熟练掌握平方差公式．【例 32】已知248﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是、．【解析】先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．【答案】248﹣1=（224+1）（224﹣1），=（224+1）（212+1）（212﹣1），=（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；∵26=64，∴26﹣1=63，26+1=65，∴这两个数是65、63．【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范围内的解是本题解题的思路【例 33】若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类，应是什么三角形？【解析】 这是一道因式分解与等腰三角形联系的综合性问题．应先对等式进行化简，再利用等腰三角形的定义进行判断．在化简过程中，如果几个因式的乘积为0，则每一个因式都有可能为0，即若0ab =，则等价于0a =或0b =或0a b ==，所以由()()0a b b c --=，得到a b =或b c =或a b c ==，若第三个成立则ABC ∆是等边三角形，但等边三角形是特殊的等腰三角形，所以结论是等腰三角形．∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---∴()()()()0a b b a c a a b -----=，即()()0a b b c --=∴0a b -=或0b c -=，即a b =或b c =，∴ABC ∆是等腰三角形课后作业：1.已知y=2x ，则4x 2﹣y 2的值是 ．【分析】首先运用平方差公式将所求的代数式因式分解，然后再代值计算即可．【答案】∵y=2x ，∴2x ﹣y=0，∴4x 2﹣y 2=4x 2﹣y 2=（2x+y ）（2x ﹣y ）=（2x+y ）×0，=0．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式结构，整理出（2x ﹣y ）形式的多项式是解题的关键．2.分解因式：x （x ﹣1）﹣3x+4= ．【解析】首先去括号、合并同类项，再运用完全平方公式分解因式．【答案】x （x ﹣1）﹣3x+4=x 2﹣x ﹣3x+4=x 2﹣4x+4=（x ﹣2）2．【点评】此题考查的是运用公式法进行因式分解，需注意本题应先对所求的代数式进行整理，然后再运用完全平方公式因式分解．3.化简：（a+1）2﹣（a ﹣1）2= ．【解析】运用平方差公式即可解答．【答案】（a+1）2﹣（a ﹣1）2=（a+1+a ﹣1）（a+1﹣a+1）=4a ．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构并灵活运用是解题的关键．4.分解因式x （x+4）+4的结果 ．【解析】先将多项式展开，再利用完全平方公式进行因式分解．【答案】x （x+4）+4=x 2+4x+4=（x+2）2．【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，先利用单项式乘多项式的法则整理成多项式一般形式是解题的关键．5.如果x+y=﹣1，x﹣y=﹣2008，那么x2﹣y2=．【解析】首先把x2﹣y2利用平方差公式进行因式分解，然后代入已知数值即可求出结果．【答案】x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）∵x+y=﹣1，x﹣y=﹣2008∴x2﹣y2=1×2008=2008．故填空2008．【点评】本题考查了公式法分解因式，利用平方差公式把多项式分解，然后整体代入数据计算即可．6.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A、﹣a2+b2B、﹣x2﹣y2C、49x2y2﹣z2D、16m4﹣25n2p2【解析】只要符合“两项、异号、平方形式”，就能用平方差公式分解因式．【答案】A、符合“两项、异号、平方形式”，能用平方差公式分解因式；B、不符合异号，﹣x2和﹣y2是同号的；C、符合“两项、异号、平方形式”，能用平方差公式分解因式；D、符合“两项、异号、平方形式”，能用平方差公式分解因式．故选B．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．7.一次课堂练习，小明做了如下4道因式分解题，你认为小明做得不够完整的一题是（）A、x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2B、x2y﹣xy2=xy（x﹣y）C、x3﹣x=x（x2﹣1）D、x2﹣y2=（x﹣y）（x+y）【解析】根据提公因式法和公式法分解因式，对各选项分析判断后利用排除法求解．【答案】A、B、D都正确；C、分解结果x2﹣1可以继续分解为：（x+1）（x﹣1）．故选C．【点评】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，关键在于检查分解因式是否已经彻底．8.x2﹣y2=48，x+y=6，则x=，y=．【解析】因为x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=48，将x+y=6代入可得x﹣y的值，联立解方程组得x、y的值．【答案】∵x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=48，x+y=6∴x﹣y=8联立，解得．【点评】本题考查了多项式的因式分解与解方程组的综合运用，需要熟练掌握．9.把下列各式因式分解（1）﹣5a2+25a；（2）a2﹣9b2；（3）2x（a﹣3）﹣y（3﹣a）；（4）3x3﹣12x2y+12xy2．【解析】（1）可直接提公因式；（2）可直接按公式法因式分解；（3）先整理符号，再提公因式因式分解；（4）先提公因式，再按公式法因式分解．【答案】（1）﹣5a2+25a=﹣5a（a﹣5）；（2）a2﹣9b2=（a﹣3b）（a+3b）；（3）2x（a﹣3）﹣y（3﹣a）=2x（a﹣3）+y（a﹣3）=（a﹣3）（2x+y）；（4）原式=3x（x2﹣4xy+4y2）=3x（x﹣2y）2．【点评】此题考查因式分解，注意采取什么方法要根据多项式的特点而定，所以要认真观察式子的特点．。
因式分解常用方法
( )
⑧ 4 x 31x 15
3
分组分解法
拆项添项法
配方法
待定系数法
求根法
„„
一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式， 然后用原多项式除以公因式，把所 得的商与公因式相乘即可。往往与 其他方法结合起来用。 提公因式法随堂练习：
1）15(m–n)+13(n–m)
2）4(x+y)+4( 将符合其形式的公式套进去即可 完成因式分解，有时需和别的方 法结合或多种公式结合。
五、常用到的式子：
a b c 2ab 2ac 2bc (a b c) 2
2 2 2
a3 b3 c3 3abc (a b c)(a 2 b2 c2 ab bc ac)
二、公式法 公式法随堂练习：
1）(a2–10a+25)(a2–25)
方法四、换元法
对结构比较复杂的多项式，若把其中某些 部分看成一个整体，用新字母代替（即换 元），则能使复杂问题简单化、明朗化， 在减少多项式项数，降低多项式结构复杂 程度等方面有独到作用。
例题：（分解因式） （第12届“五羊杯” 竞赛题）
( x x 4)(x x 3) 10
x 4 2 x 3 3x 2 2 x 1
六*、待定系数法 试因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
a 2b 14 通过比较两式同类项的系数可得： 3a 3b 3 a 4 解得： b 5 ，∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)
因式分解(提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法)
整式乘法中，有 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
口答计算结果
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x-4) (3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
x2 px q
=
x2 (a b)x ab (x + a )(x + b)
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.
判别下列各式是不是 完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1.20042+2004能被2005整除吗?
2.先分解因式，再求值
4a2(x 7) 3(x 7)， 其中a 5, x 3.
20023 2 20022 2000 20023 20022 2003
六．利用分解因式计算： （1）-4.2×3.14-3.5×3.14+17.7×3.14 解：原式 =-3.14 ×(4.2+3.5-17.7)=-3.14×(-10)=-31.4
思维延伸
2. 对于任意的自然数n， (n+7)2－ (n－5)2能被 24整除吗? 为什么?
巩固练习：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ D ）