纠错码原理

AWGN 信道中基于循环码的数字通信系统内容简介本文主要对循环码的译码算法进行基础性研究。

首先介绍了数字通信的基本结构，强调了信道编码在通信系统中的重要地位，指出循环码是一种经典码。

再者，详细介绍了循环码的基本原理，并将传输信道假设为加性高斯白噪声AWGN 信道，利用循环码的编码、译码原理及其在不同信噪比条件下传输的误码率。

并且利用matlab 对通信过程进行仿真，以此来说明卷积码对通行系统性能的改善。

实现方案 1、通信系统模型所有的数字通信系统都包括信源、信源编码、信道编码、调制、解调、信道译码、信源译码、信宿几个基本部分，可归结为下图所示的模型。

其中，信源编码的目的是把信源发出的消息、转换成二进制形式的信息序列，为了有效传输，去掉了一些与传输信息无关的冗余。

此信道是加性高斯白噪声AWGN 信道。

2、实验原理循环码编译码原理与特点设C 使某错误！未找到引用源。

线性分组码的码字集合，如果对任C c c c C n n ∈=--),,,(021 ，它的循环移位),,,(1032)1(---=n n n c c c c C 也属于C ，则称该错误！未找到引用源。

码为循环码。

该码在结构上有另外的限制，即一个码字任意循环移位的结果仍是一个有效码字。

其特点是：（1）可以用反馈移位寄存器很容易实现编码和伴随式的计算；（2）由于循环码有很多固有的代数结构，从而可以找到各种简单使用的译码办法。

如果一个错误！未找到引用源。

线性码具有以下的属性，则称为循环码：如果n 元组},,,{110-=n c c c c 是子空间S 的一个码字，则经过循环移位得到的},,,{201)1(--=n n c c c c 也同样是S 中的一个码字；或者，一般来说，经过j 次循环移位后得到的},,,,,,,{11011)(---+--=j n n j n j n j c c c c c c c 也是S 中的一个码字。

RS 码的编码系统是建立在比特组基础上的，即字节，而不是单个的0和1，因此它是非二进制BCH 码，这使得它处理突发错误的能力特别强。

码长：12-=mn 信息段：t n k 2-= （t 为纠错符号数）监督段：k n t -=2 最小码段：12+=t d最小距离为d 的本原RS 码的生成多项式为：g(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)…(x-αd-2) 信息元多项式为：：m(x)=m0+m1x+m2x2+…+mk-1xk-1循环码特点有：1）循环码是线性分组码的一种，所以它具有线性分组的码的一般特性，且具有循环性，纠错能力强。

2）循环码是一种无权码，循环码编排的特点为相邻的两个数码之间符合卡诺中的邻接条件，即相邻数码间只有一位码元不同，因此它具有一个很好的优点是它满足邻接条件，没有瞬时错误（在数码变换过程中，在速度上会有快有慢，中间经过其他一些数码形式，即为瞬时错误）。

3）码字的循环特性，循环码中任一许用码经过牡环移位后，所得到的码组仍然是许用码组。

对所有的i=0,1,2,……k-1，用生成多项式g(x)除n k ix-+，有：)()()(x b x g x a x i i i k n +=+- 式中)(x b i 是余式，表示为：,1,11,)(i i k n k n i i b x b x b x b ++=----因此，)(x b x i k n ++-是g(x)的倍式，即)(1x b x i k n ++-是码多项式，由此得到系统形式的生成矩阵为：它是一个k ⨯n 阶的矩阵。

同样，由G ⨯TH =0可以得到系统形式的一致校验矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------------0,01,01,00,1,21,20,11,11,10000010001b b b b b b b b b G k n x k k k n k k k k n k ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=------------1000100010,00,20,11,01,21,11,01,21,1b b b b b b b b b H k k k k k n k n k k n k已知（7，4）循环码的生成多项式和校验多项式分别为：1)(3++=x x x g ，1)(24+++=x x x x h 。

写得其生成矩阵和校验矩阵分别为：3、模块实现方法（1）信源模块利用randint 产生70000个随机数作为信源，如： msg=randint(bits,1,2); %随机产生的信息序列（2）encode 函数 功能：编码函数语法：code=encode(msg,N,K,method,opt)说明：用method 指定的方法完成纠错编码。

其中msg 代表信息码元，是一个K 列矩阵，N 是编码后的码字长度；K 是信息位的长度；opt 是有些编码方式需要的参数。

（3）decode 函数 功能：译码函数语法：msg=decode （code ，N ，K ，method ，opt1,opt2,opt3,opt4）;说明：这个函数对接收到的码字进行译码，恢复出原始的信息，译码参数和方式必须和编码时采用的严格相同。

它对接收到的码字，按method 指定的方式进行译码；opt1，…，opt4是可选项的参数。

（4）cycllic 函数功能：生成循环码的生成多项式。

（5）编码信道 A 基本原理循环码最大的特点就是码字的循环特性，所谓循环特性是指：循环码中任一许用码组经过循环移位后，所得到的码组仍然是许用码组，也就是说，不论是左移还是右移，也不论移多少位，仍然是许用的循环码组。

(),n k 循环码的生成多项式写为()g x ,它是(),n k 循环码码集中唯一的，幂次为n k -的码多项式，则()k x g x 是一个幂次为n 的码多项式。

按模1n x +运算，此时：()()()11k n nx g x R x Q x x x =+++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101000011010000110100001101G ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101110001011100010111H即()()k x g x R x ≡，且因()k x g x 也是n 次幂，故()1Q x =。

由于它是循环码，故()k x g x 按模1n x +运算后的“余式”也是循环码的一个码字，它必能被()g x 整除，即：()()()R x F x G x =由以上两式可以得到： ()()()()()()()11k n n x g x Q x x R x x F x G x =++=++()()()1n k x x F x G x +=+从上式中可以看出，生成多项式g(x)应该是1nx +的一个因式，即循环码多项式应该是1nx +的一个n k -次因式。

由生成多项式可以得出相应的典型生成矩阵及标准监督矩阵：1,11,11,02,12,12,00,10,10,0100010000k n k k k k n k k k n k G b b b bbbbb b ------------⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1,12,10,11,12,10,11,02,00,0100010001k n k k n k n k k k k k H b bbb bb b bb------------⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦已知（7，4）循环码的生成多项式和校验多项式分别为：()31g x x x =++，()421h x x x x =+++。

写得其生成矩阵和校验矩阵分别为：1 0 1 1 0 0 00 1 0 1 1 0 00 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1 1 1 0 1 0 00 1 1 1 0 1 00 0 1 1 0 0 1H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦循环码的编译码过程如下： 编码过程第一步：将信息码字表示为()m x ，其最高次幂为1k -；第二步：将()n k x m x -与()g x 求模得出相应的余式()r x ；第三步：编码结果为()()()n k c x x m x r x -=+。

译码过程第一步：由接收码字()R x与监督矩阵相乘得出错误图样S；第二步：判断S是否为零。

若不为零，则出错。

在假定至多只有一位错的情况下，可以有效地译了相应的信息码字。

第三步：在出错的情况下，将S与标准监督矩阵对比，得出错误的比特位并进行更正得出前四位为信息码字。

B、matlab实现方法①y=awgn(modbit1,snr（k),’measured’)用来对信道增加加性高斯白噪声，信噪比SNR 以db为单位。

如：n1=awgn(modbit1,SNR(indx),'measured'); %在传输序列中加入AWGN噪声②y=pskmod(x,M)用于对编码后的信号进行PSK调制，增强信号的抗干扰能力。

如：modbit2=pskmod(code,2); %解调（3）MATLAB完整代码：clcclear allbits=70000; %符号数msg=randint(bits,1,2); %随机产生的信息序列SNR=0:1:12; %信噪比L=length(SNR);BER1=zeros(1,L);BER2=zeros(1,L);modbit1=pskmod(msg,2); %调制for k=1:L %未编码的序列，调制后经过高斯白噪声信道，再解调制，求误码y1=awgn(modbit1,SNR(k),'measured'); %在传输序列中加入AWGN噪声demmsg1=pskdemod(y1,2); %解调recode=reshape(demmsg1',1,[]);error1=(recode~=msg');errorbits=sum(error1);BER1(k)=errorbits/length(msg);endcode=encode(msg,15,7,'syclic',[1 0 0 0 1 0 1 1 1]); %（15,7）循环编码modbit2=pskmod(code,2); %调制for k=1:L %编码的序列，调制后经过高斯白噪声信道，再解调制，再纠错后求误码y2=awgn(modbit2,SNR(k),'measured'); %在传输序列中加入AWGN噪声demmsg2=pskdemod(y2,2); %解调recode=reshape(demmsg2',1,[]);decodebit=decode(recode,15,7,'cyclic',[1 0 0 0 1 0 1 1 1]); %译码error2=(decodedbit~=msg');errorbits=sum(error2);BER2(k)=errorbits/length(msg);endsemilogy(SNR,(BER1),'b-*') %画图hold onsemilogy(SNR,(BER2),'r-o')grid onlegend('未编码','(15,7)循环编码');xlabel('SNR/dB');ylabel('BER');title('(15,7)循环编码性能')三、仿真结果与分析通过matlab仿真实现，可以知道系统误码率与信噪比之间的关系。